PREDAVANJE-GEODEZIJA-GFV

Sveučilište u Zagrebu-Geotehnički fakultet Varaždin-Geodezija-Milan Rezo

1

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Geotehnički fakultet Varaždin

G E O D E Z I J A

Milan Rezo

Varaždin, 2007./2008.


2

DEFINICIJE GEODEZIJE

Klasična definicija s kraja 19. stoljeća (Helmert 1880.): geodezija (grč. γη=zemlja i δαιω=djelim) je znanost o izmjeri i kartiranju Zemljine površine.

Klasična definicija s kraja 20. stoljeća (Torge 1991.): geodezija je znanost koja se bavi

određivanjem oblika i vanjskog polja ubrzanja sile teže Zemlje i drugih nebeskih tijela kao vremenski promjenljivih veličina, kao i određivanjem srednjeg Zemljinog elipsoida na temelju opažanih parametara na i izvan Zemljine fizičke površine.

Moderna definicija geodezije s početka 21. stoljeća (informatičko društvo):

geodezija/geomatika je znanost koja se bavi modeliranjem i realizacijom prostornih sustava, definiranjem načina prikupljanja prostornih podataka, njihovim analiziranjem, vizualizacijom i interpretacijom.

Podjela geodezije:

Globalna geodezija (engl. global geodesy): uključuje određivanje oblika i veličine Zemlje, njene orijentacije u prostoru i njena vanjskog polja ubrzanja sile teže,

Geodetska izmjera (engl. geodetic survey): obuhvaća određivanje Zemljine površine

i njenog polja ubrzanja sile teže na području neke države ili više država (državna izmjera),

Izmjera u ravnini (engl. plane surveying): obuhvaća određivanje detalja Zemljine

površine na lokalnom nivou, pri čemu se njena zakrivljenost i utjecaji ubrzanja sile teže u pravilu zanemaruju (topografska izmjera, katastarska izmjera, inženjerska izmjera).

Osnovni pojmovi: Sukladno ISO/DIS 19111 (2000) Draft International Standard – Geographic information – Spatial referencing by coordinates (ICS 35.240.70), 1-42.

Datum parametar ili skup parametara koji mogu poslužiti kao referenca ili osnova za izračunavanje drugih parametara; datum definira položaj ishodišta, mjerilo i orijentaciju osi koordinatnog sustava

Geodetski datum datum koji opisuje vezu koordinatnog sustava u odnosu na

Zemljino tijelo (u većini slučajeva uključuje definiciju elipsoida)

Koordinata poredani niz N brojeva (Ntorka) koji označavaju položaj točke u N-dimezionalnom prostoru

Koordinatni sustav skup (matematičkih) pravila nužnih za definiranje kako se

koordinate pridružuju točkama

Referentni koordinatni sustav koordinatni sustav koji se prema stvarnom svijetu odnosi uz pomoć datuma


3

Geodetski (elipsoidni) koordinatni sustav koordinatni sustav u kojem je položaj specificiran geodetskom (elipsoidnom) širinom, geodetskom (elipsoidnom) dužinom i (u trodimenzionalnom slučaju) geodetskom (elipsoidnom) visinom

Elipsoid površina oblikovana rotacijom elipse oko njene male osi

Velika poluos a najdulji polumjer elipsoida (za elipsoid koji predstavlja Zemlju to je

radijus ekvatora)

Mala poluos b najkraći polumjer elipsoida (za elipsoid koji predstavlja Zemlju to je udaljenost od središta elipsoida do jednog od polova)

Spljoštenost µ (f) odnos razlike velike (a) i male (b) poluosi elipsoida prema velikoj

poluosi; µ=(a-b)/a (ponekad je umjesto toga zadana recipročna vrijednost spljoštenosti 1/µ)

Meridijan presjek elipsoida ravninom koja sadrži malu poluos (b) elipsoida

Početni (nulti) meridijan meridijan od kojega se kvantificiraju drugi meridijani

Greenwich-ki meridijan meridijan koji prolazi kroz Greenwich, Velika Britanija

(većina geodetskih datuma koriste Greenwich-ki meridijan kao početni)

Geodetska (elipsoidna) širina φ kut između ekvatorijalne ravnine i normale (okomice) na elipsoid kroz zadanu točku, sjeverno od ekvatora se uzima kao pozitivna

Geodetska (elipsoidna) dužina λ kut između ravnine početnog (Greenwich-kog)

meridijana i ravnine meridijana zadane točke, istočno od početnog meridijana se uzima kao pozitivna

Geodetska (elipsoidna) visina h udaljenost točke od elipsoida mjerena duž normale

(okomice) od elipsoida do te točke, prema gore ili izvan elipsoida se uzima kao pozitivna

Geoid N nivoploha koja najbolje odgovara srednjoj razini mora bilo lokalno ili

globalno (nivoploha je ekvipotencijalna ploha Zemljinog polja ubrzanja sile teže koja je svuda okomita na smjer ubrzanja sile teže)

Otklon težišnice (vertikale) θ kut između tangente na smjer ubrzanja sile teže

(težišnice) i okomice na elipsoid (normale) u promatranoj točki; često se rastavlja na meridijansku komponentu ξ i komponentu u ravnini okomitoj na ravninu meridijana – ravnini prvog vertikala η

Srednja razina mora prosječna razina površine mora kroz sva stanja plime

Visina, nadmorska visina h ili H udaljenost točke od izabrane referentne površine

duž pravca okomitog na tu površinu, izvan te površine uzima se pozitivna


4

0. OBLIK I DIMENZIJE ZEMLJE

Budući se geodetska mjerenja izvode na Zemljinoj površini ili u njenoj neposrednoj blizini, to pri anaalizi zadataka vezanih za geodetska mjerenja koja obuhvaćaju veće površine, neophodno je poznavati oblik I dimenzije Zemlje. Naime da bi se izradila topografska karta većeg područja Zemljine površine, potrebno je prije svega definirati oblik i dimenzije Zemlje.

Povijesni pregled shvatanja i saznanja o obliku Zemlje

Stari Asirci i Babilonci smatrali su Zemlju ravnom pločom i to shvatanje održalo se

sve do VI. stoljeću prije Krista. Tvrdnjom da Zemlja ima oblik kugle, Pitagora je još u VI. stoljeću prije Krista pred

znanstveni svijet toga vremena postavio pitanje problema rješavanja dimenzija i oblika Zemlje. Svoju tvrdnju o Zemlji kugli Pitagora je temeljio na vidljivom kružnom luku sjene Zemlje u trenutku pomrčine Mjeseca (Čubranić 1972). Prva približna rješenja o obliku i dimenziji Zemlje dao je aleksandrijski učenjak, upravnik aleksandrijske knjižnice, Eratosten (276-195 g. prije Krista). Opseg i polumjer Zemlje izračunan u stadijima (stadij-jedinica za dužinu iz tog vremena) prema Eratostenu iznosili su 250000 stadija, a polumjer 39790 satadija. Ukoliko se prema njemačkom znanstveniku F. Schmidt-u uzme da jedan stadij iznosi 157,5 metara, dolazi se do zaključka da je određivanje dimenzija Zemlje po Eratostenu bilo u usporedbi s današnjim dimenzijama, relativno dobro.

Važnost ovog prvog definiranja dimenzije Zemlje je u tome što se mjerenjima

potvrdilo da je Zemlja oblika kugle, da su dimenzije približno točne, a metoda mjerenja duljine luka meridijana i određivanja pripadnog kuta, kojom se koristio, ostala jedna od najtočnijih i napouzdanijih metoda sve do danas. Mnogobrojna mjerenja koja su provedena u svrhu određivanja dimenzija i oblika Zemlje temeljila su se na geodetskim i astronomskim opažanjima nebeskih tijela. Geodetskim mjerenjima određivala se dužina luka meridijana između dvije točke, a astronomskim pripadni kut koji odgovara izmjerenom luku (slika 0.1).

BA

Df

M

P

E O

Ds

Slika 0.1: Određivanje duljine luka meridijana.


5

Parametri oblika i dimenzije ovako prihvaćene Zemlje određivali su se tzv. gradusnim mjerenjima (ibid.). Kako su se sva znanstvena priopćavanja u vrijeme ovih mjerničko-opažačkih radova pisala na latinskom jeziku, gdje se za stupanj kaže gradus, onda se i određivanje duljine ∆s nad lukom od 1°(slika 1.1), zajedno s određivanjem njemu pripadnog kuta ∆ϕ i nazivalo gradusnim mjerenjima. Najveći problem kod određivanja parametara Zemlje predstavljalo je mjerenje duljine luka meridijana. Duljinu od 200 km postojećim instrumentarijem, ili bolje rečeno različitim pomagalima nije se moglo izravno mjeriti pa se ona često i procjenjivala. Veliki napredak, osobito u geodetskim mjerenjima, učinjen je pronalaskom triangulacije početkom XVII stoljeća. Taj novi način mjerenja, koji se sastojao od mjerenja dužine jedne stranice trokuta, naslanjajući trokut do trokuta, i mjerenja kutova u trokutovima, pa se onda računskim putem dobiju dužine strana, kao i dužina između krajnjih točaka pronašao je i u geodetsku praksu po prvi puta uveo Nizuzemac Willebrand Snelius (Macarol 1977). S obzirom na tada nisku znanstvenu i tehničku razinu pratećih struka, prije svega fizike, opisani radovi, te ideje o određivanju dimenzija i oblika Zemlje, imali su mnogo nedostataka i u geodetskom i u astronomskom smislu. Ubrzanim razvojem različitih znanstvenih grana, osobito fizike u XVII stoljeću, i Newton-ovim otkrićem zakona gravitacije i općeg zakona o privlačenju masa, uz dosadašnja astro-geodetska mjerenja u definiranju dimenzija i oblika Zemlje uključena su i fizikalna saznanja. Newton je već 1665. i 1666. godine dokazao da sila koja drži Mjesec na njegovoj stazi nije ništa drugo nego sila privlačenja Zemlje. Uz prihvaćanje da je taj zakon ispravan mora postojati odnos (Čubranić 1972):

2

2

rR

Fg= , (0.1)

gdje je F sila kojom Zemlja privlači jedinicu mase Mjeseca, g sila kojom Zemlja privlači jedinicu mase na njenoj površini, R udaljenost Zemlje od Mjeseca i r polumjer Zemlje.

Znatan znanstveni doprinos dao je Huygens otkrićem centrifugalne sile 1673. godine,

te uzimajući u obzir silu privlačenja moralo se doći do zaključka da Zemlja nije kugla, nego da mora imati oblik elipsoida, odnosno da je spljoštena na polovima. Ako uzmemo da sila privlačenja Zemlje AB koja djeluje na točku A, a ima smjer prema centru O i centrifugalnu silu AC, dobivamo za rezultantu silu AD. Nivo ploha u točki A, mora se postaviti okomito na smjer rezultante AD, i zato nivo ploha ne će više biti ploha kugle, već će zauzeti neki položaj PAE (na slici 2.2 prikazan crtkano). Newton je došao do zaključka da oblik Zemlje mora biti elipsoid male spljoštenosti, koji je i odredio na principima hidrostatike, uz neke pretpostavke o rasporedu gustoće tekućine. Uz Newtona veliki značaj u istraživanju spljoštenosti Zemlje dao je Clairut. On je spljoštenost Zemlje dokazivao mjereći ubrzanje sile teže na površini, nezavisno od rasporeda gustoće unutar Zemlje. Ovakvu teoriju o spljoštenosti Zemlje moglo se dokazati samo mjerenjem duljine luka meridijana većih udaljenosti i to na sjevernoj i južnoj strani luka (ibid.).

Usavršavanjem instrumentarija za mjerenje kutova, boljim definiranjem jedinice za

dužinu toaza, tvrdnja o spljoštenosti Zemlje potvrđena je i astro-geodetskim mjerenjima. Međutim, Zemlja kao planet kroz vremenski period mijenja svoje stvarne dimenzije pod utjecajem gibanja tektonskih ploča, otapanjem ledenjaka i podizanjem razine mora, te sve dosadašnje, a i buduće parametre elipsoida moramo vezati isključivo za vrijeme prikupljanja podataka, odnosno epohu mjerenja.


6

Slika 0.2: Dokaz elipsoidnog oblika Zemlje.

Usavršavanjem instrumentarija za mjerenje kutova, boljim definiranjem jedinice za

dužinu toaza, tvrdnja o spljoštenosti Zemlje potvrđena je i astro-geodetskim mjerenjima. Međutim, Zemlja kao planet kroz vremenski period mijenja svoje stvarne dimenzije pod utjecajem gibanja tektonskih ploča, otapanjem ledenjaka i podizanjem razine mora, te sve dosadašnje, a i buduće parametre elipsoida moramo vezati isključivo za vrijeme prikupljanja podataka, odnosno epohu mjerenja.

Važno je spomenuti i gradusna mjerenja koja je obavljao Bessel na području istočne

Pruske, i to u dva navrata 1831.-1838. i 1837.-1841. godine. Kako bi što pouzdanije definirao parametare elipsoida, Bessel je uzeo prethodno dobivene rezultate gradusnih mjerenja iz više epoha, na različitim geodetskim širinama kao što su: peruansko, dva indijska, francusko, englesko, hannoversko, dansko, prusko, rusko i švedsko, ukupne dužine luka 50°34′, gdje je bilo 38 izmjerenih geodetski širina (više o gradusnim mjerenjima vidi u Čubranić 1972).

Nakon sažetog povijesnog pregleda o nastojanju mnogobrojnih znanstvenika da se

definiraju dimenzije i oblik Zemlje, odnosno parametri elipsoida na kojem se želi računati, može se prema Bašiću (2000) dati definicija geodetskog datuma, koja glasi: “geodetski datum je matematička reprezentacija veličine i oblika Zemlje, a predstavlja ju skup parametara, koji definiraju oblik referentne plohe (a, b), kao i položaj Zemljinog tijela u prostoru”. S obzirom na definiciju, geodetske datume možemo podijeliti na lokalne i globalne geodetske datume.

PS

PN

EEEW

A

ϕ

y

x

O a

b

Slika 0.3: Parametri elipsoida a i b

AP C

DB

O

E


7

Usvojeni elipsoid s parametrima koje je dao Bessel 1841 godine poznat kao Besselov elipsoid 1841 poslužit će kao ploha računanja. Mjerene veličine na Zemljinoj fizičkoj površini treba reducirati na nivo plohu elipsoida gdje se ujedno radi i izjednačenje tih mjerenja. Redukcija mjerenja izvodi se najčešće metodom projeciranja uzduž normale na elipsoid (slika 1.3) Znajući da je smjer normale nepoznat, može se približno odrediti astronomskim mjerenjima kojim se određuje smjer vertikale, u odnosu na geoid. Stoga se kod državne izmjere javljaju sljedeći problemi (Bašić 2000):

mjerenje se izvodi na fizičkoj površine Zemlje, na kojoj se ne može računati, slika 0.4,

računanje se izvodi na plohi na kojoj se ne može mjeriti (elipsoid), slika 0.5,

mjerenja i računanja trebaju se odnositi na geoid “STVARNI OBLIK ZEMLJE”, na kojem se u pravilu ne može niti mjeriti ni računati, slika 0.6.


8

Za jednostavnu definiciju geoida može se napisati: Ako se pretpostavi, odnosno,

zamisli idealna površina mora (nulta ploha mora) da se proteže ispod kopnenog dijela Zemlje (kontinenta), to se tijelo koje omeđuje ovu površinu naziva “geoid”.

Međutim, zbog utjecaja raznih vanjskih i unutarnjih sila na Zemljinu površinu, kao što

su: plima, oseka, barometriski tlak, različiti rasporedi Zemljinih masa u njenoj unutrašnjosti, dinamika tektonskih ploča, definira geoid kao nepravilno matematičko tijelo. Prema tome stvarnu površinu Zemlje nije moguće matematički definirati, osim u njenim diskretnim točkama, te je nužna aproksimacija fizičke površine Zemlje plohom elipsoida, kao matematički definiranog tijela.

Projeciranje točaka s fizičke površine Zemlje provodi se duž normale koja prolazi

točkom i okomita je na plohu elipsida.

H

h

N

Geoid (W=W0)

Referentni elipsoid

Zeml zj ain fi ička površina

P h ( , )ϕ λ,

Slika 0.7: Redukcija mjerenih veličina na plohe računanja.


9

1. GEODETSKI DATUM Godetski datum je matematička reprezentacija veličine i oblika Zemlje, a

predstavlja ju skup parametara, koji definiraju oblik referentne plohe (a, b), kao i položaj Zemljinog tijela u prostoru”. S obzirom na definiciju, geodetske datume možemo podijeliti na lokalne i globalne geodetske datume.

S

M

Lokalni eloipsoid

Globalni elipsi d

r uZem jl ina

fizička po vr šina

N

H

h

q

c

q q

norm

ala Verti

kala

1.1 LOKALNI GEODETSKI DATUM

Lokalni datum se najčešće određuje tako da je definiran u odnosu na (lokalni) geoid

(Bašić 2000). Definiciju lokalnog geodetskog datuma teorijski možemo napisati: ur || rr , odnosno rotacijska os elipsoida je paralelna s rotacijskom osi Zemlje. Iz praktičnih realizacija lokalnih datuma poznata su odstupanja od definicije u pogledu kuteva rotacije oko sve tri osi u kartezijevom kordinatnom sustavu. Postoji fundamentalna točka P0 u kojoj su poznati otklon vertikale ϑ i geoidna undulacija N. Na taj način je smješten elipsoid u odnosu na Zemljino tijelo. Ovo može biti ostvareno i poznavanjem pomaka središta elipsoida M(XM, YM, ZM) u odnosu na centar Zemljinih masa S. Oblik i veličina rotacijskog elipsoida definirani su sljedećim parametrima: a, b (ili a, f), gdje je a velika, b mala poluos elipsoida, a f spljoštenost elipsoida. Na temelju rečenog slijedi da je općenito S≠M. Stoga je neki lokalni geodetski datum definiran s minimalno pet parametara (ibid.): a, f (a, b) …. dva parametra za plohu, ϕ0, λ0, h0, (ξ0, η0, N0) …. tri parametra položaja. 1.1.1 Hrvatski državni koordinatni sustav (HR1901)

Lokalni dvodimenzionalni koordinatni sustav u Hrvatskoj zasnovan je na triangulacijskim mjerenjima Vojno-geografskog instituta iz Beča (MGI) iz 1901. godine, koja


10

su kasnije dopunjena od strane Vojno-geografskog instituta iz Beograda. U mrežama su mjereni kutevi, kasnije i dužine, a računanja su provedena na Besselovom elipsoidu s ishodišnom točkom Hermanskögel kraj Beča. Besselov elipsoid je dvoosni rotacijski elipsoid jednoznačno definiran dimenzijama velike i male osi još iz 1841. godine. Parametri Besselovog elipsoida su prikazani u tablici 2.1 (Hofmann i Wellenhof 1994).

Kako je krajnji cilj uspostave triangulacije I. reda izrada topografskih zemljovida i katastarskih planova, 1924. godine usvojena projekcija u ravnini je Gauss-Krügerova konformna poprečna cilindrična projekcija. Teritorij Hrvatske preslikan je u dvije zone s ishodišnim meridijanima 15° (5. zona) i 18° (6. zona) i mjerilom preslikavanja mo=0,9999 (Borčić 1976).

Tablica 2.1: Parametri Besselovog elipsoida.

Besselov ellipsoid a 6377397.15508 m b 6356078.96290 m

2

222

abae −

= 6.67437223115 x 10-3

2

222

bbae −

=′ 6.71921879852 x 10-3

abaf −

= 3.34277318185 x 10-3

baban

+−

= 1.67418480095 x 10-3

1.2 GLOBALNI GEODETSKI DATUM

Više stoljetna stremljenja geodeta za određivanjem globalnog elipsoida (ranije poznat po imenu Zemljin elipsoid) završavala su ipak na teorijskim osnovama definiranja takvog elipsoida, i to prvenstveno zbog nemogućnosti astro-geodetskih mjerenja u to vrijeme čitavog teritorija Zemlje. Međutim, svakako su stvorene temeljne odrednice na kojima je kasnije definiran globalni geodetski datum opažanjem prirodnih i umjetnih Zemljinih satelita. Globalni geodetski datum najbolje aproksimira veličinu i oblik Zemlje u cijelosti, a definiran je tako da (Bašić 2000):

njegov volumen bude jednak volumenu geoida – suma odstupanja po visini geoida od

elipsoida da bude jednaka nuli, središte elipsoida se poklapa sa geocentrom, S=M, mala os elipsoida se poklapa s rotacijskom osi Zemlje, ur = rr (vidi sliku 2.4).

Nama najpoznatiji globalni datum je GRS80 koji predstavlja ujedno i apsolutni,

gravimetrijski datum. Budući da vrijedi S = M ne trebaju nam nikakvi parametri položaja, te


11

je globalni datum određen sa dva parametra za plohu elipsoida, velikom osi i spljoštenosti elipsoida (a, f).

Veza između lokalnog i globalnog datuma uspostavlja se obično pomoću sedam parametarske transformacije i to: tri komponente vektora translacije, tri parametra prostorne rotacijske matrice i jedan parametar mjerila. Budući da su svi kartografski prikazi, kao i dobar dio topografsko katastarskih planova (30%) prikazani u državnom koordinatnom sustavu (HR1901), potrebno je koordinate novoodređenih GPS točaka transformirati u taj sustav, barem toliko dugo dok se u Hrvatskoj pretežito ne prijeđe na novi geodetski datum. 1.3 Terestički referentni sustavi

Najpoznatiji terestički referentni sustavi su World Geodetic System 1984 (WGS84) i International Terrestrial Reference Frame (ITRF), kojemu se uz kraticu piše i godina realizacije (npr. ITRF96) (Bačić i Bašić 1999). WGS je geocentrički koordinatni sustav realiziran na osnovi TRANSIT opažanja iz koordinata više od 1500 referentnih točaka, a od 1987. godine koristi se kao referentni elipsoid za GPS. Prvobitna realizacija WGS-84 sustava određena je s točnošću (1 - 2 m) (Malys i Slater 1994). Uviđajući da ova realizacija ne zadovoljava točnošću, pristupilo se poboljšanju WGS sustava. Poboljšanje se odnosi prije svega na koordinate GPS opažačkih stanica koje su na osnovi GPS rezultata popravljeni u dva navrata. Ove realizacije nose oznake prema GPS tjednima u kojima je realizacija ostvarena, tako da je prva realizacija označena WGS84 (G730), a druga WGS84 (G873) (Malys i dr. 1997). Smatra se da je podudaranje WGS84 i ITRF96 datuma danas unutar 2 cm.

International Terrestrial Reference System (ITRS) je sustav nastao na osnovi visokopreciznih satelitskih mjernih tehnika (SLR, VLBI, LLR, GPS) (Seeber 1993). Geodetske znanstvene ustanove iz cijelog svijeta skupljaju te podatke na oko 150 točaka diljem svijeta i šalju ih u International Earth Rotation Service (IERS), koji kombinira sva ta mjerenja i računa zajedničko rješenje svih tih mjerenja za jednu godinu, koje nazivamo Terrestrical Reference Frame (ITRF). Točnost ovako definiranog koordinatnog sustava danas je kojeg centimetra ili bolje. Prva realizacija ITRS sustava bila je ITRF89, a sada aktualna realizacija je ITRF2000. Orbita tj. precizni efemeridi GPS mjerenja dani su redovito u aktualnom ITRF sustavu. ITRF sustav baziran je na GRS80 (Geodetic Reference System 1980) elipsoidu. Osnivanjem EUREF-European Reference Frame potkomisije pri Međunarodnoj organizaciji za geodeziju i geofiziku (IUGG-International Union of Geodesy and Geophisics) 1987. godine imala je za cilj uspostavu kontinentalne mreže. Razvoj satelitske geodezije (GPS tehnologije) tijekom 80-tih i posebno 90-tih godina XX. stoljeća ukazao je na potrebu uspostavljanja i održavanja jedinstvenog koordinatnog sustava za Europski kontinet. Na temelju postavljenih ciljeva, EUREF potkomisija odlučila je da jedinstveni europski koordinatni sustav bude povezan samo sa stabilnim dijelom euroazijske ploče kako bi se izbjegla nužna uzimanja u obzir promjena koordinata uzrokovanih godišnjim iznosima pomaka litosfernih ploča. Tako je definiran novi europski koordinatni sustav ETRS89, a baziran je na WGS84 elipsoidu. U projektu “Prijedlog službenog geodetskog datuma za Republiku Hrvatsku” Bašić i dr. (2000) proveli su ispitivanje u cilju sagledavanja mogućih razlika u kordinatama između GRS80 i WGS84 elipsoida za područje republike Hrvatske. Velika os oba elipsoida je jednaka dok se spljoštenost vrlo malo razlikuje (vidi tablicu 1.2).


12

Tablica 1.2: Parametri GRS80 i WGS84 elipsoida.

Elipsoid GRS80 WGS84 a 6378137.000 m 6378137.000 m f 1/298.257223563 1/298.257222101

Ispitivanje je provedeno na način da su izračunati transformacijski parametri između

ETRS89 datuma i našeg uporabnog Besselovog datuma, koristeći prvo WGS84, a potom GRS80 elipsoid (Bašić i dr. 2000). Usporedbom elipsoidnih koordinata točaka koje su upotrebljene za transformaciju vidljivo je da se elipsoidna duljina i visina ne razlikuju dok se elipsoidne širine razlikuju za 0.1 mm što za praktična računanja nema nikakvo značenje. Obzirom da obrada GPS mjerenih veličina završava s elipsoidnim koordinatama na WGS84 elipsoidu u tablici 2.3 prikazani su njegovi parametri (Hofmann-Wellenhof i dr. 1994): Tablica 2.3: Parametri GRS80 i WGS84 elipsoida.

Parametri GRS80 WGS84 a 6378137.00000 m 6378137.00000 m b 6356752.31414 m 6356752.31425 m

JGM 3986005 x 108 m3 s-2 3986005 x 108 m3 s-2

C2,0 108263 x 10-8 -484.16685 x 10-6

ω 7292115 x 10-11 rad s-1 7292155 x 10-11 rad s-1

J2=- 0,25C 108263 x 10-8 108262.998905 x 10-8

2

222

abae −

= 6.69438002290 x 10-3 6.694379990 x 10-3

2

222

bbae −

=′ 6.73949677548 x 10-3 6.73949674226 x 10-3

abaf −

= 3.35281068118 x 10-3 3.35281066474 x 10-3

baban

+−

= 1.67922039463 x 10-3 1.67922038638 x 10-3


13

2. SUSTAVI MJERA ZA DUŽINE, POVRŠINE, KUTEVE, UBRZANJE SILE TEŽE I GEOMAGNETIZAM

Novi međunarodni sustav počeo se stvarati 1954. godine, kada je Generalna

konferencija za mjere i utege odlučila, da se prihvate osnovne jedinice za mjerenje, a to su: metar, sekunda, kilogram, amper, kelvin i kandela. Taj sustav se zove na svi jezicima SI.sustav (od francuskog: System International d'Unites).

2.1 Jedinica za dužinu

Jedinica za dužinu je metar (oznaka „m“). Metar je dužina jednaka 1.650.763.73

valnih dužina zračenja u vakuumu, koje odgovara prijelazu između razine 2p10 i 2p5 atoma kriptona 86.

Veće jedinice od metra su dekametar, hektametar i kilometar, a menje jedinice su decimetar, centimetar, milimetar, mikrometar i nanometar. U tablici 2.1 dani su odnosi ovih jedinica.

Tablica 2.1.: Odnos jedinca za dužinu spram metra

Veće jedinice od metra 1 dam dekametar 10 m 1 hm hektametar 100 m 1 km kilometar 1000 m

Manje jedinice od metra 1 dm decimetar 10-1 m 1 cm centimetar 10-2 m 1 mm milimetar 10-3 m 1 µm mikrometar 10-6 m 1 ηm nanometar 10-9 m

U Republici Hrvatskoj naslijeđen je tzv hvatni sustav za dužine, koji je upotrebljavan

u katastarskim izmjerama na području Republike Hrvatske za vrijeme Austro-ugarske monarhije. Jedinica je 1 bečki hvat, koji se dijeli na 6 stopa, a stopa na 12 palaca. U tablici 2.2. prikazan je odnos hvatnih mjera s metrom odnosnom dijelovima metra. Tablica 2.2.: Odnos hvatne mjere s metrom odnosnom dijelovima metra.

Odnos hvatne mjere s metrom odnosnom dijelovima metra 1° hvat 1.896484 m 1 ′ stopa 0.316081 m 1 ″ palac 2.634 cm


14

2.2 Jedinica za površine

Osnovna jedinica za površinu je 1 m2 (metar kvadratni). Vošekratnici kvadratnog

metra su: ar, hektar i kvadratni kilometar. U tablici 2.3. dan je prikaz odnosa kvadratnog metra s višekratnikom.

Tablica 2.3.: Prikaz odnosa kvadratnog metra s višekratnikom

Odnos kvadratnog metra s višekraticima 1ar ar 100 m2 1 ha hektar 10 000 m2

1 km2 kvadratni kilometar 1 000 000 m2

Zbog tradicionalno nasljeđenih i ustaljenih jedinica u pojedinim dijelovima Republike Hrvatske, upotrebljavaju se različite jedinice za površinu.

U hvatnom sustavu jedinica za površinu je 1 čhv (četvorni hvat). Višekratnik

četvornog hvata je jedno jutro (1 j). U tablici 2.4 dan je odnos jednog četvornog hvata i metarskih jedinica za površinu. Tablica 2.4.: Odnos četvornog hvata i metarske jedinice za površinu.

Odnos četvornog hvata i metarske jedinice za površinu 1čhv četvorni hvat 3.596652 m2 1 j jutro = 1600 čhv 0.5754642 ha

1 m2 0.278036 čhv 1 ha = 1 j + 1180.364 čhv

Metarski sustav jedinica za površinu vezan je uz čestice (katastarska čestica) i objekte

na čestici za koju se vodi evidencija u katastrarskim uredima, dok je hvatna jedinica za površinu vezana za istu česticu i objekte na njoj za koju se vodi evidencija u Zemljišnim knjigama (ZK) ili među pukom ustaljenijim nazivom „Gruntovnici“.

Novije katastarske izmjere vode jedinstvenu evidenciju za katastar i ZK u metarskom

sustavu jedinica za površinu.

2.3 Jedinica za pravce - kuteve

Veličina kuta može se izraziti u seksagezimalnim stupnjevima i u lučnoj (analitičkoj) mjeri.

U seksagezimalnom sustavu jedinica je 1° (stupanj), koji je tristošezdeseti dio punog

kruga, odnosno, devedeseti dio pravog kuta. Stupanj se dijeli na minute, sekunde i dijelove sekune. U tablici 2.5. dan je odnos stupnja, minute i sekunde.


15

Tablica 2.5: Odnos stupnja minute i sekunde

Odnos stupnja, minute i sekunde 1° stupanj 360 dio punog kruga

1° = 60′ (′) minuta šezdesti dio stupnja 1′ = 60″ (″) sekunda šezdesti dio minute

Najčešće operacije s kutevim, odnosno, pravcima su zbrajanje i oduzimanje. U

primjeru 2.1 i 2.2 dani su primjeri zbrajanja i oduzimanja pravaca. Primjer 2.1.: Sa stajalošta A izmjeren je pravac prema točci B i prema točci C. Potrebno je izračunati vrijednost kuta BAC. Pravac A⇒B 174°56′12″.742613 Pravac A⇒C 285°58′47″.943617 ______________________________ Kut BAC = 111°02′35″.201004

A

B

C

285-58-47.943617

174-56-12.742613

111-02-35.201004

U analitičkoj i lučnoj mjeri jedinica je jedan radijan (rad). Radijan je ravninski kut između dvaju polumjera, koji na kraju kruga isjecaju luk diljine jednake polumjeru

(1 rad = 1m/1m = 1).

Veza između kružne i stupanjske mjere dana je odnosom:

°° = 360:2: παα rarc i ako je radijus kruga r jednak jedinici dalje sljedi:

αραπ

α arcarc °°

° ==2

360


16

Treba li prema tome kut, zadan arcusom, izraziti u stupnjevim, minutama ili sekundama množit će se veličćina luka vrijednošću ρ (radijanom), koja daje centralni kut, čiji je luk jednak dužini radijana.

Vrijednost za ρ (radijan) u segsagezimalnoj mjeri su:

''''''

'''

20626581.206264343875.3437

29578.572

360

≅=

≅=

== °°

°

ρ

ρπ

ρ

2.4 Jedinica za ubrzanje sile teže

Jedinica za ubrzanje sile teže u Systeme International d’ Unites (SI) je ms-2, a za komponente gradijenta ubrzanja sile teže s-2. U praksi se za iskazivanje odstupanja stvarnog polja sile teže od modela, odnosno za nesigurnosti mjerenja, koriste manje jedinice, a to su (Bašić 1999):

1µms-2 = 10-6 ms-2 i 1 nms-2 = 10-9 ms-2 . Pored službenih jedinica, u uporabi su se zadržale i stare jedinice (Wenzel 1985):

1 Gal = 10-2 ms-2, 1 mGal = 10-5 ms-2 i 1 µGal = 10-8 ms-2 ,

koje su izvedene od jedinice 1Gal = 1 cms-2 definirane u CGS-sustavu mjera (ime prema Galileiu). Pored spomenutih jedinica, u englesko-američkoj literaturi se često upotrebljava 1 µms-2, a naziva se jedinica ubrzanja sile teže (engl. “gravity unit”).

Kao stara jedinica iz CGS-sustava mjera za gradijent ubrzanja sile teže često se koristi jedinica Eötvös, koja također nije u skladu sa SI-sustavom i za koju vrijedi sljedeći odnos (Torge 1989):

1 E = 10-9 s-2 = 0,1 mGal/km.

2.5 Jedinica za magnetsko polje Zemlje

Međunarodno udruženje za geomagnetizam i aeronomiju (IAGA), čiji je

zadatak unapređenje istraživanja magnetizma i aeronomije Zemlje i ostalih tijela

Sunčevog sustava i međuplanetarnog prostora, odlučilo je da se magnetsko polje

opisuje magnetskom indukcijom Fr

. To je vektorska veličina čija je SI jedinica 1 tesla

(1 T = 1 Nm-1A-1). Mjerna jedinica geomagnetskog polja jest dakle Tesla (T) koji je

vezan, u odnosu na odgovarajuću mjernu jedinicu u sustavu CGS u.e.m., Gauss (G), iz

relacije:


17

1G = 10-4 T

U opisu Zemljina magnetskog polja često se primjenjuje jedinica 1 nanotesla (1

nT = 10-9 T). U studiji planetarnih magnetskih polja, gdje polja koje tretiramo imaju

mali intenzitet, upotrebljava se često jedinica γ (1γ = 10-5 Gauss ), vezana za mjernu

jedinicu B u sustavu SI sa relacijom:

1γ = 10-9 T = 1nT

Intenzitet magnetskog polja na Zemljinoj površini prima vrijednosti koje idu od 30000 nT na ekvatoru do 70000nT na polovima.

2.6 Odnos veličine u prirodi i planu/karti-Mjerilo

Kod svih vrsta nacrta, projekata, topografskih podloga, u cilju predstavljanja linearnih

veličina, dolazi do potrebe njihovog smanjenja ili uvećanja. Odnos u kome se obavlja ta promjena osnovnih dimenzija tih veličina naziva se MJERILO.

Tako, odnos između dužine predstavljene na planu i stvarne veličine te dužine u prirodi (ali ne kose u prostoru, već njene horizontalne projekcije) jeste MJERILO PLANA.

Označimo sa:

D — dužinu ortogonalne projekcije na horizontalnu ravninu neke dužine iz prirode, d — dužinu te iste veličine predstavljenu na karti ili pak planu — crtežu, onda se odnos:

MDd=

označva kao mjerilo (M) toga nacrta, karte, plana. Ako lijevu stranu jednadžbe podjelimo sa d i pri tome označimo nazivnik: D/d sa n dobit će se:

ndDM 11

==

Broj n označva koliko se puta veličina d sadrži u velični D, tj. koliko se puta neka veličina predstavljena na nekom crtežu smanjuje ili povećva. Mjerilo izraženo prethodnom jednadžbom je brojno mjerilo. Brojno mjerilo je uvjek predstavljeno u vidu razlomka, kod koga je brojnik jednak jedinici, a nazivnik je broj koji kazuje koliko je puta odnosna velična umanjena ili uvećana. Na primjer: M = 1:100, gde je n 100, predstavlja mjerilo gdje je osnovna veličina D umanjena 100 puta. Kod usporedbe dvaju mjerila kaže se za jedno mjerilo


18

da je krupnije, ako je njen broj n1 manji i obratno, za drugo mjerilo se kaže da je sitnija ako je njen broj ,n2 veći, tj. mora biti n1 < n2 da bi mjerilo M1 bilo krupnija od mjerila M2 i obratno.

Izbor mjerila je funkcija od više parametara. Prvi i osnovni parametar je namjena plana, karte ili crteža. Zatim, mjerilo je uvjetovano tačnošću kojom se traži da se kod toga predstavljanja održi: vrsta, veličina, oblik i međusobni odnos objekata koje treba predstaviti upotrebom mjerila. Mjerila u kojima se u Republici Hrvatskoj, uglavnom, rade planovi su: 1:250, 1:500, 1:1.000, 1:2.000, 1:2.500 i 1:5.000.

Medutim, karte se kod nas rade počev od mjerila 1:5.000, koja predstavlja granice izmedu karte i plana. Gornja granica mjerila za karte nije strogo određena. Mjerila od 1:10.000 do 1:100.000 su mjerila u kojima se uglavnom izrađuju tzv. :Topografske karte, koje se najčešće upotrebijavaju pri izradi raznih vrsta projekata i studija, dok se karte u sitnijim mjerilima rade za specijalne svrhe i tzv. geografske karte.


19

3. KOORDINATNI SUSTAVI I OSNOVNE FORMULE ELIPSOIDNE GEODEZIJE

Na elipsoidu je moguće definirati položaj točke pomoću sustava elipsoidnih

koordinata izraženih u kutnoj mjeri. Položaj točke potpuno je određen geodetskom širinom i dužinom odnosno normalom u promatranoj točki.

Geodetska širina je kut u ravnini meridijana, između elipsoidne ravnine ekvatora i

normale na elipsoidu u točki AZ (slika 3.1). Geodetska dužina je kut u ravnini ekvatora između ravnine nultog meridijana i

meridijanske ravnine kroz točku AZ (slika 3.1) Sustav pravokutnih (kartezijevih) prostornih koordinata definiran je položajem osi Z

koja se podudara s rotacionom osi elipsoida, os X definirana je presjecištem ravnine početnog meridijana i ravnine ekvatora, osi Y se nalazi u ravnini ekvatora i okomita je na XZ ravninu.

Slika 3.1: Kartezijeve i elipsoidne koordinate na elipsoidu

3.1 Polumjeri zakrivljenosti na elipsoidu

Zbog iznimno velike primjene i značenja polumjera zakrivljenost meridijanske elipse (M), prvog vertikala (N) i srednjeg radijusa (R) u rješavanju mnogobrojnih geodetskih zadataka na elipsoidu kao što su: računanje duljine luka meridijana, razlika širina točaka na Zemljinom rotacijskom elipsoidu, rješavanju glavnih geodetskih zadataka, određivanje dužine luka paralele, razlike dužina i azimuta, redukcijama mjerenih dužina, te u veznim relacijama


20

između elipsoidnih i kartezijevih koordinata, proveden je postupak računanja polumjera zakrivljenosti s kratkom analizom dobivenih rezultata. Polumjer zakrivljenosti meridijanske elipse (M) na krajevima luka moguće je napisati kao (Bašić 2000):

23

22

2

)sin1(

)1(

ϕe

eaM−

−= , (3.1)

dok se polumjer zakrivljenosti po prvom vertikalu (N) može izračunati :

21

22 )sin1( ϕe

aN−

= , (3.2)

kod prijelaza s elipsoida na sferu često se koristi srednji polumjera zakrivljenosti (R) koji glasi:

MNR = , (3.3) gdje su a velika poluos elipsoida, e2 prvi numerički ekscentritet i ϕ geodetska širina točke za koju se računaju polumjeri zakrivljenosti. Iz izraza (3.1) i (3.2) vidljivo je da su M i N ovisni o geodetskoj širini.

Da se ne radi o razlikama malih vrijednosti (M, N, R) može se vidjeti u tablici 3.1 gdje je za poznate geodetske širine na istoku, zapadu, sjeveru i jugu Republike Hrvatske, izračunata vrijednost polumjera zakrivljenosti. Tablica 3.1: Polumjeri zakrivljenosti RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Sveuciliste u Zagrebu GEOMATIKA Geodetski fakultet PROGRAM : Zavod za geomatiku Autor: Milan Rezo M-N-R : RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Ulazna datoteka:DATOTE02.INP Izlazna datoteka:DATOTE02.OUT Ime tocke: M N R T182 MONTAUR 6366955.6465 6388158.8047 6377548.4140 T316 SVETI ANDRIJA 6364050.1406 6387186.9296 6375608.0398 T212 SLJEME 6367679.5660 6388400.9057 6378031.8208 T249 OSIJEK FR. CRK 6367301.7154 6388274.5431 6377779.5083

Iz dobivenih rezultata vidljivo je da se srednji radijus R mijenja za ≈2.4 km u odnosu na srednji radijus sfere definiran za područje bivše države (R=6378 km) i to u smjeru sjever – jug za razlike geodetskih širina od 3°.


21

3.2 Duljina luka meridijana

Za rješavanje mnogobrojnih geodetskih zadataka potrebno je poznavati duljinu luka meridijana. Duljine luka meridijana od ekvatora do zadane vrijednosti geodetske širine (ϕ) moguće je izračunati u dva smjera, i to:

računanje udaljenosti na osnovi zadane geodetske širine i računanje geodetske širina iz zadane udaljenosti luka meridijana (dužina luka u

metrima).

Da bi se računanje moglo uspješno provesti potrebno je poznavati parametre elipsoida i pomoćne veličine (Bašić 2000):

2

222,

22,2

2

2

cos

1

)(

bbae

e

baN

G

−=

=

+=

ϕη

η

ϕ

, (3.4)

baban

l

tgt

+−

=

−=

=

0

0

)(

λλλ

ϕ

gdje je G(ϕ) dužina luka meridijana od ekvatora, N radijus zakrivljenosti prvog vertikala za ϕ, η2, n i t pomoćne veličine, e’2 drugi numerički ekscentritet, λ0 geodetska duljina glavnog meridijana i l= λ-λ0 razlika geodetskih duljina. Duljinu luka meridijana G(ϕ) može se dobiti po sljedećim izrazima (Hofmann-Wellenhof i dr. 1994):

[ ]...8sin6sin4sin2sin)( +++++= ϕεϕδϕγϕβϕαϕG , (3.5) gdje su α , β , γ , δ , ε koeficijenti, a dobiju se pomoću izraza:

...)641

411(

242 +++

+= nnbaα , (3.6) ...

323

169

23 53 +−+−= nnnβ , (3.7)

...3215

1615 42 +−= nnγ , (3.8) ...

256105

4835 53 −+−= nnδ , (3.9) ...

512315 4 += nε (3.10)

Duljina luka meridijana upotrebljava se za izračunavanje Gauss-Krügerovih y, x

koordinata iz elipsoidnih ϕ, λ koordinata (vidi poglavlje računanja ravninskih iz elipsoidnih koordinata).


22

U tablici 3.2 izračunate su vrijednosti koeficijenata i dužina luka meridijana za

geodetsku širinu ϕ = 45° 48′ 29,5141″ (širina permanentne GPS stanice na Geodetskom fakultetu u Zagrebu). Tablica 3.2: Duljina luka meridijana u metrima s pripadajućim koeficijentima. RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Sveuciliste u Zagrebu GEOMATIKA Geodetski fakultet PROGRAM : Zavod za geomatiku Autor: Milan Rezo D_LUKA_M : RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Ulazna datoteka:DATOTE01.INP Izlazna datoteka:DATOTE01.OUT Ime tocke : ZGF1 P.S.G.F.ZAGREB Geodetska sirina : 45 48 29.514100 ALFA = 6366742.5203 BETA =-.002511274561861262 GAMA = .000002627710143401 DELTA =-.000000003421655792 EPSILON = .000000000004833416 G(Fi) = 5074252.1868 m U slučaju računanja geodetske širine ϕ iz poznate duljine luka meridijana vrijedi (Bašić 2000):

baban

e

tgtev

vcN

+−

=

=

=

+=

=

022,2

0

00

022,

0

00

cos

cos1

ϕη

ϕϕ

, (3.11)

gdje je ϕ0 početna geodetska širina za apscisnu os x, N0 radijus zakrivljenosti prvog vertikala, c zakrivljenost meridijanske elipse na sjevernom i južnom polu, v0 pomoćna veličina, e’2 drugi numerički ekscentritet, n treća spljoštenost elipsoida, t0 i η0

2 pomoćne veličine i λ0 geodetska duljina osnovnog (glavnog) meridijana. U prvom koraku potrebno je izračunati početnu geodetsku širinu za apscisnu os x po sljedećim izrazima (Hofmann-Wellenhof i dr. 1994):

...8sin6sin4sin2sin0 +++++=α

εα

δα

γα

βα

ϕ xxxxx , (3.12)

gdje su α , β , γ , δ , ε koeficijenti, a dobiju se kao:

...)641

411(

242 +++

+= nnbaα , (3.13) ...

512269

3227

23 53 ++−= nnnβ (3.14)


23

...3255

1621 42 +−= nnγ ,(3.15) ...

128417

96151 53 +−= nnδ (3.16) ...

5121097 4 += nε (3.17)

Geodetska širina dobivena iz dužine luka meridijana upotrebljava se za izračunavanje

elpsoidnih ϕ, λ koordinata iz Gauss-Krügerovih ravninskih y, x koordinata (vidi poglavlje računanja elipsoidnih koordinata iz ravninskih).

Uzme li se za duljinu luka meridijana izraženu u metrima vrijednost izračunana u

tablici 3.2 (udaljenost permanentne GPS stanice na Geodetskom fakultetu od ravnine ekvatora po meridijanu) može se izračunati pripadajuća geodetska širina s odgovarajućim koeficijentima (tablica 3.3). Tablica 3.3: Računanje geodetske širine iz pripadajuće dužine luka meridijana s odgovarajućim koeficijentima. RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Sveuciliste u Zagrebu GEOMATIKA Geodetski fakultet PROGRAM : Zavod za geomatiku Autor: Milan Rezo GEOD.SIRINA IZ DULJINE MERIDIJANA: RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Ulazna datoteka:DATOTE01.INP Izlazna datoteka:DATOTE01.OUT Ime tocke : ZGF1 P.S.G.F.ZAGREB Duzina luka meridijana = 5074252.1868 m ALFA = 6366742.5203 BETA = .002511273242083375 GAMA = .000003678785853528 DELTA = .000000007380968752 EPSILON = .000000000016832563 Geodetska sirina = 45 48 29.514100

Važno je napomenuti, da su dobiveni koeficijenti konstantne veličine za referentni elipsoid na kojem se obavljaju računanja, te se kao takve mogu u proceduri izrade programa unijeti kao konstantne varijable.

3.3 Veza između elipsoidnih ϕ, λ, h i kartezijevih X, Y, Z koordinata

Transformacija GPS rezultata obuhvaća nekoliko zasebnih operacija. Računanje GPS koordinata izvodi se u geocentričkom koordinatnom sustavu u kojem je pozicija točke izražena kartezijevim koordintama X, Y, Z. Kako ovaj način prikazivanja nije toliko uobičajen, u praksi se češće koriste elipsoidne koordinate ϕ, λ, h. Relacije između kartezijevih i elipsoidnih koordinata dane su izrazima (3.18), (3.19) i (3.20) (Hofmann-Wellenhof i dr. 1994):

ϕ

λϕλϕ

sin

sincos)(coscos)(

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=+=

hNabZ

hNYhNX

, (3.18)


24

gdje su a i b velika i mala poluos elipsoida na kojem se prijelaz radi (lokalni ili globalni elipsoid), a N radijus zakrivljenosti prvog vertikala (vidi raniji izraz za N), za koji ovdje dajemo nešto drugačiju formulu.

ϕϕ 2222

2

sincos baaN+

= . (3.19)

Odabirom parametara elipsoida na kojem se provodi računje, uz pomoć jednostavnog izraza 3.18, sračunate su vrijednosti kartezijevih koordinata za točku permanentne GPS stanice na Geodetskom fakultetu (tablica 3.4) Tablica 3.4: Računanje kartezijevih (X, Y, Z) iz elipsoidnih koordinata (ϕ, λ, h/H). RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Sveuciliste u Zagrebu GEOMATIKA Geodetski fakultet PROGRAM : Zavod za geomatiku Autor: Milan Rezo BLHXYZR : RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Ime tocke = P.S.G.F.ZAGREB Geodetska sirina = 45 48 29.514100 Geodetska duzina = 15 58 5.524700 Ortometrijska visina = 147.597 m X - koordinata = 4281365.3293 m Y - koordinata = 1225090.6669 m Z - koordinata = 4550058.8844 m Polumjer zakrivlj. N= 6388366.8402 m

Obrnuti postupak računanja elipsoidnih koordinata (ϕ, λ, h) iz (X, Y, Z) uobičajno se

radi iterativnim putem (Bačić i Bašić 1999):

NYX

h

XY

arctg

hNNe

YX

Zarctg

−+

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+⋅−

+=

−

ϕ

λ

ϕ

cos

1

22

12

22

, (3.20)

gdje se iteracija izvodi za ϕ i h, a λ potom direktno sračuna.

Direktno rješenje prethodnog problema može se dobiti rješavanjem jednadžbe četvrtog stupnja (Lapaine 1991):


25

22 YX +=ρ , bZ

baam22 −+

=ρ ,

bZaban

22 −+=

ρ ,

31+

=mnp ,

4

22 nmq −= , 32 pqD +=

31

31

)()( DqDqy +−+−= ,

12 +−= yyt , ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−=

121

2ymtns , tssx −+−= 2 , (3.21)

kada je konačno

bxxa

212tan−

=ϕ , XY

=λtan , ϕsin

112

2 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−=

xxbZh . (3.22)

Pomoću izraza 3.20 i 3.21, te primjenom posebno razvijenog vlatitog programa XYZ-

BLH.EXE sračunate su vrijednosti elipsoidnih koordinata za točku permanentne GPS stanice na Geodetskom fakultetu (tablica 3.5) Tablica 3.5: Izračunate elipsoidne iz Kartezijevih koordinata. RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Sveuciliste u Zagrebu GEOMATIKA Geodetski fakultet PROGRAM : Zavod za geomatiku Autor: Milan Rezo XYZ-BLH/h: RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Ime tocke = GFZ1 P.S.G.F.ZAGREB X - koordinata = 4281365.3293 m Y - koordinata = 1225090.6669 m Z - koordinata = 4550058.8844 m Geodetska sirina = 45 48 29.514120 Geodetska duzina = 15 58 5.524700 Elipsoidna visina = 147.597 m


26

4. PRESLIKAVANJE ZEMLJE (ELIPSOIDA) NA RAVNINU

Kako je ranije spomenuto, Zemlja je općenito uzevši oblo tijelo — elipsoid — a njena se površina preslikava na ravninu plana putem tzv. projekcija. Zemlja se projicira po zakonima ortogonlne ili centralne projekcije na ravninu ili tijelo, čiji se plašt može razviti u ravninu. Prema izboru plohe na koju se Zemlja projicira, dijele se projekcije na:

1. Perspektivne projekcije, kod kojih se Zemlja preslikava po zakonima linearne perspektive na ravninu, a iz točke na jednom od dijametara Zemlje, obično onom okomitom na ravninu preslikavanja (slika 4.1). U ovisnosti od udaijenosti D centra zraka, kojima se vrši preslikavanje od centra Zemlje, dijele se perspektivne projekcije na:

ortografske, kod kojih je centar projekcionih zraka u beskonačosti (D = co) — zrake preslikavanja su paralelne;

vanjske, kod kojih je centar projekcionih zraka na proizvoljnoj udaljenosti od centra Zemlje, a nalaze se izvan nje (D> R);

stereografske, kod kojih je centar projekcionih zraka na samoj površini Zemije (D = R);


27

Slika 4.1: Stereografske projekcije

centralne ili gnomoničke, kod kojih je centar projekcionih zraka u centru Zemlje (D=O). Ravnina preslikavanja može dirati Zemlju u polu, u nekoj tački ekvatora ili u bilo kojoj tački Zemlje. Prema tome, se te projekcije dijele na polarne, poprečne, ekvatorijalne projekcije i kose ili horizontalne projekcije.

2. Konusne projekcije, kod kojih se Zemlja preslikava na konus koji dira Zemlju ili ju siječe. I ove projekcije prema položaju konusa obzirom na polarnu os Zemlje dijele se na: polarne, kod kojih je vrh konusa u produženju polarne osi Zemlje; poprečne, kod kojih je vrh konusa u ekvatorskoj ravnini; kose, kod kojih vrh konusa leži proizvoljno obzirom na os Zemlje.


28

Slika 4.2: Konusne projekcije

3. Cilindrične projekcije, kod kojih se Zemlja preslikava na plašt cilindra koji dira ili siječe Zemlju. I ove mogu biti polarne, poprečne ili kose.

Zemlja se kao obla ploha ni u kojem slučaju ne može u ravninu preslikati neprekinuto, a da se slike pojedinih dijelova Zemlje na planu ne deformiraju. Slika Zemlje u ravnini može se deformirati različito pa se projekcije, obzirom na karakter deformacija, dijele na:

1. Projekcije kod kojih je saučuvana jednakost površina na Zemlji i planu, tzv. ekvivalentne projekcije.

2. Projekcije kod kojih su sačuvani kutovi između linija na Zemlji i njihovih slika na planu tzv. konformne projekcije.

3. Općenite projekcije kod kojih ne postoji nijedno od gornjih svojstava. Među ovima su osobite tzv. ekvidistantne projekcije, kod kojih postoji, uzduž stanovite linije, jednakost dužina između pojedinih točaka na Zemlji i njihovih slika na planu.

Deformacije na planu su to veće, što se na istu plohu preslikavaju veće površine. Deformacije plana rastu s udaljavanjem od dodirne tačke (kod perspektivnih) ili dodirne linije (kod konusnih cilindričnih projekcija). Radi toga se za svaki veći teritorij — državu — uzima posebna ploha preslikavanja.

Izbor plohe projekcije (ravnine, cilindra ili konus), te karakteristika koje će projekcija obzirom na deformacije imati (ekvivalentnost, konformnost itd.) zavisi o tome kakovog je


29

oblika teritorij koji će se preslikati — izdužen po meridijanu ili po paraleli, manje-više okrugao. Te o svrsi za koju se plan ili karta izrađuje. Tako je za planove krupnog mjerila naše države uzeta konformna projekcija Zemlje kao elipsoida Bessela na eliptične cilindre koji diraju Zemlju po meridijanu, tzv. Gauss_Krugerova* projekcija (o kojoj će kasnije biti više govora). Problemima projekcija općenito, njihovim izborom, sadržajem i oblikom karata itd. bavi se posebna grana geodezije — kartografija.

Slika 4.3: Cilindrične projekcije

Ranije, pri sistematizacijama projekcija vidjelo se da se geometrijsko značenje preslikavanja sastoji u tome, da se nađe probodište centralne ili paralelne zrake, položene kroz neku točku na Zemlji, s plohom preslikavanja. Matematički preslikati znači naći pomoću matematskog zakona odnos između neke točke na Zemlji i njene slike na projekciji.

Točka na Zemlji kao elipsoidu zadana je tzv. geodetskim koordinatama. Ako se na određenim kutnim razmacima polože ravnine kroz malu — polarnu — os Zemljinog elipsoida, te ravnine sijeku elipsoid u meridijanima. Ravnine položene paralelno s


30

ekvatorskom ravninom elipsoida sijeku ga u paralelama. Položaj neke točke na elipsoidu određen je geodetskim koordinatama i to:

1. geodetskom širinom, koja je kut izmedu okomice na elipsoid u toj točki i ravnine ekvatora.

2. geodetskom dužinom ill razlikom dužina, koja je kut između neke početne meridijanske ravnine i meridijanske ravnine položene kroz dotičnu točku.

Kao početna meridijanska ravnina uzima se danas ona koja je položena kroz zvjezdarnicu u Greenwichu kraj Londona. Nekada su točke na elipsoidu bile po dužini određivane obzirom na početnu meridijansku ravninu kroz Pariz ili otok Ferro na Kanarskom otočju.

Položaj neke točke na Zemlji kao geoidu dan je tzv. astronomskim koordinatama; astronomska širina neke točke je kut između vertikale (okomice na geoid u točki i ravnine ekvatora), a astronomska dužina je kutna uda1jenost ravnine položene kroz tu točku i polarnu os (meridijanska ravnina te točke) i neke početne meridijanske ravnine.

Položaj točka na Zemlji kao kugli određen je tzv. sfernim koordinatama. U ravnini projekcije svaka točka definirana je ravnim ortogonalnim koordinatama x i y.

Projicirati znači dakle naći funkcionalnu vezu elipsoidnih — geodetskih koordinata neke točke na Zemlji i ravnih koordinata njene slike na planu:

x = F1(ϕ, λ),

y = F2(ϕ, λ),

Oblik funkcija preslikavanja F1 i F2 izabere se tako da u njima bude sadržano i to, na kakvu se plohu preslikava površina Zemlje, a i svojstva te projekcije, tj. da li će ona biti ekvivalentna, konformna itd.


31

5. GAUSS-KRUGEROVA PROJEKCIJA

Posebnu grupu projekcija čine tvz. “geodetske projekcije”, tj. projekcije za potrebe državne izmjere. Projekcija za potrebe državne izmjere, je projekcija koja će poslužiti za preračunavanje koordinata trigonometrijskih točaka u ravninu. U toj će projekciji, prema tome, biti određene definitivne pravokutne koordinate trigonometrijskih točaka u ravnini. Ta projekcija treba poslužiti kao matemtička osnova za sva računanja u ravnini i za izradu planova i karata najkrupnijih mjerila.

Za potrebe državne izmjere u većini zemalja upotrebljava se danas Gauss-Krugerova projekcija. To je konformna poprečna cilindrična projekcija elipsoida na ravninu. Zašto upravo ta projekcija, a ne neka druga odgovorit ćemo u posebnom poglaviju pod naslovom “Izbor projekcije”.

Austrija je bila prva država koja je uvela Gauss-Krügerovu projekciju za potrebe državne izmjere. Bilo je to 1917. godine. Njemačka je to isto učinila 1923. godine. Bivša Jugoslavija je Gauss-Krugerovu projekciju uvela 1924. godine. Izbor projekcije izvršila je komisija u kojoj su bili najpoznatiji geodetski stručnjaci tog vremena. Komisija je nakon detaljne analize u opsežnom pismenom izvještaju, kao najpogodniju predložila Gauss Krugerovu projekciju.

Projekcija je dobila ime po velikom njemačkom znanstveniku Carlu-Friedrichu Gaussu (1777-1855) koji je i geodeziju zadužio mnogim otkrićima. Između 1821. i 1825. godine Gauss je pri izračunavanju hanoverske triangulacije za preslikavanje s elipsoida na ravninu primjenio način preslikavanja koji danas nosi naziv Gauss-Krugerova projekcija. Prof. dr L. Kruger je 1912. objavio knjigu o toj projekciji, a 1919. zbirku formula za praktičnu primjenu. Od tada ta projekcija se naziva Gauss-Krugerova. U literaturi engleskog jezičnog područja ova se projekcija susreće pod nazivom Transverse Mercator Projection.

Budući da se geodetske projekcije osim za izradu karata krupnih mjerila koriste kao osnova za sva računanja u ravnini, to je u njihovom proučavanju osim računanja ravninskih koordinata u ravnini iz elipsoidnih koordinata i obrnuto, potrebno riješiti i niz ostalih zadataka:

- računanje elipsoidnih koordinata iz pravokutnih koordinata u ravnini,

- računanje konvergencije meridijana iz elipsoidnih i pravokutnih koordinata,

- računanje linearnog mjerila iz elipsoidnih i pravokutnih koordinata,

- računanje redukcije pravaca i dužina,

- računanje pravokutnih koordinata točke, kad su zadane pravokutne koordinate jedne točke, duljina i azimut geodetske linije,

- računanje duljina i azimuta geodetske linije iz pravokutnih koordinata dviju točaka,

- transformacija koordinata između susjednih koordinatnih sustava.


32

5.1 Svojstva Gauss-Krugerove projekcije

Gauss-Krugerova projekcija određena je ovim uvjetima:

1. projekcija je konformna,

2. srednji mendijan preslikava se u pravoj veličini ili je mjerilo duž njega konstantno,

3. os X pravokutnog koordinatnog sustava se poklapa sa srednjim meridijanom. Ishodište se može postaviti u bilo kojoj točki srednjeg meridijana, obično se uzima u presjeku srednjeg meridijana i ekvatora.

Za Gauss-Krugerovu projekciju također kažemo daje poprečna cilindrična projekcija elipsoida na ravninu, što će reći da kod ove projekcije zamišljamo da točke s elipsoida preslikavamo na plašt cilindara (valjka) koji dodiruje Zemlju duž srednjeg meridijana područja preslikavanja ili na plašt valjka koji siječe Zemlju.

Slika 5.1: Poprečna cilindrična projekcija

Napomena: Sve formule u Gauss-Krugerovoj projekciji bit će izvedene uz pretpostavku da je mjerilo na srednjem meridijanu jednako jedinici (m0 = 1). Koordinate izvedene uz taj uvjet nazivaju se nereducirane i označavaju s yx, , j. Jednostavnosti radi u svim izvodima pisat ćemo x, y, a tek na kraju u konačnim formulama prijeći na prave oznake yx, .


33

5.2 Konformno preslikavanje pomoću analitičkih funkcija

Osnovne formule konformnog preslikavanja moguće je izvesti na različite načine. Za proučavanje konformnih preslikavanja vrlo prikladan matematički aparat su matematičke funkcije kompleksne varijable.

Funkcija kompleksne varijable ima oblik

W = f(z),

w = x + iy, z = u + iv,

x = f1(u, v), y = f2(u,v)

Funkciju kompleksne varijable geometrijski možemo interpretirati kao preslikavanje iz kompleksne z - ravnine u kompleksnu w - ravninu:

Slika 5.2: Geometrijska intepretacija funkcije kompleksne varijable

Ako je funkcija kompleksne varijable

w=f(z)

analitička, preslikavanje je konformno.

Jednoznačna neprekinuta funkcija f(z) naziva se analitička u nekom području G ako ima određenu neprekinutu derivaciju u svakoj točki područja. Nužni uvjet da funkcija kompleksne varijable z ima derivaciju u točki z je da zadovoljava Cauchy-Riemannove diferencijalne jednadžbe:


34

vx

uy

vy

ux

δδ

δδ

δδ

δδ

−=

= ,

Pri konformnom preslikavanju pomoću analitičkih funkcija veliku važnost imaju izometrijske koordinate.

5.2 Uvođenje linearne deformacije na srednjem meridijanu i praktično značenje tog postupka

Govoreći o osnovnim svojestvima Gauss-Krugerove projekcije naveli smo da u toj projekciji nema deformacija na srednjem meridijanu, tj. srednji meridijan se preslikava u pravoj veličini. To se najbolje vidi iz formule:

2

2

2Ryd =

Što je y veći to su i deformacije veće. Zanima nas sada da vidimo kako rastu deformacije udaljavanjem od osi x, tj. srednjeg meridijana. Prikazat ćemo zakon rasporeda deformacija u grafičkom obliku. Na os y nanosit ćemo udaijenosti od srednjeg meridijana, a na os X deformacije i to deformacije na kilometar dužine izražene u milimetrima.

Sad se postavlja pitanje kolike se maksimalne deformacije mogu dozvoliti u jednom koordinatnom sustavu. Deformacije projekcije moraju biti manje od pogrešaka mjerenja u poligonskoj mreži odnosno triangulaciji IV. reda iii drugim riječima točnost projekcije mora biti veća od točnosti mjerenja u tnangulacijskoj mreži IV. reda ili poligonskoj mreži. Obično se uzima da je relativna linearna pogreška poligonske mreže 1:3 000. Ako uzmemo da je točnost projekcije 1:10 000 očito je točnost projekcije tri puta veća od točnosti poligonske mreže i da se takva deformacija projekcije može prihvatiti, a da o njoj ne moramo voditi računa u računanju poligonske mreže.

Iz krivulje linearnih deformacija na slici 5.3 vidimo da od srednjeg meridijana možemo ići na istok ili zapad do 90 km, a da linearne deformacije ne budu veće od 0.0001 (1:10 000). Dakle širina koordinatnog sustava uz tu točnost može iznositi 180 km.


35

Slika 5.3: Krivulja linearnih deformacija

Postavlja se pitanje ne bi li se uz istu točnost 1:10 000 moglo povećati područje preslikavanja tako da se sa što manje sustava obuhvati zadano područje. Zadatak smo riješili uvođenjem negativnih deformacija na srednjem meridijanu. Na srednjem meridijanu uveli smo maksimalnu negativnu deformaciju. Očito da u torn slučaju kad su deformacije u intervalu od -0.0001 do + 0.0001 je područje preslikavanja veće nego u slučaju kad se deformacije kreću u intervalu od 0 do +0.0001. Uvođenjem negativne deformacije na srednjem meridijanu područje preslikavanja je prošireno i iznosi 127 km istočno i zapadno od srednjeg meridijana to znači 254 km.

Osnovne jednadžbe za y i x izveli smo uz uvjet da nema deformacija na srednjem meridijanu i dobili:


36

.)()(

,)()()(

42

21

53

321

lxlxBx

lylylyy

++=

++=

Postavlja se pitanje kako doći do koordinata kod kojih je na srednjem meridijanu uvedena negativna deformacija. Do tih koordinata doći ćemo množenjem koordinata y i x s modulom m0 koji treba biti jednak mjerilu na srednjem meridijanu, tj.:

.

,

0

0

mxx

myy

⋅=

⋅=

Deformacija na srednjem meridijanu iznosi:

d = -0.0001,

a kako je d = m -1, to je m0 = 0.9999.

Koordinate y i x azivamo nereducirane (nesmanjene), a koordinate y, x reducirane (smanjene).

Za sve praktične radove u nžioj geodeziji (ravninskoj) za sva kartiranja koristimo reducirane koordinate (y, x), jer su te koordinate omogućile da se s dva koordinatna sustava pokrije područje Hrvatske.

Nereducirane koordinate ( y i x ) koristimo samo u onim računanjima kad se radi o preslikavanju između elipsoida i ravnine Gauss-Krugerove projekcije, jer su sve formule izvedene uz uvjet da nema deformacija na srednjem meridijanu. Npr. ako imamo zadane koordinate y i x, a treba izračunati ϕ i λ onda moramo prvo iz y i x izračunati pa izračunati y i x pa tek nakon toga ϕ i λ.

Zaključak Razlika reduciranih i nereduciranih koordinata je samo u rasporedu deformacija. Kod nereduciranih koordinata na srednjem meridijanu nema deformacija, udaljavanjem od srednjeg meridijana deformacije rastu i maksimalne su na granici sustava. Kod reduciranih koordinata na srednjem meridijanu su maksimalne negativne deformacije, udaljavanjem od srednjeg meridijana deformacije se smanjuju i na 90 km jednake su nuli. Nastavkom udaljavanja deformacije rastu. Ovakav raspored deformacija omogućio je veće područje preslikavanja kod reduciranih koordinata.


37

5.3 Sustavi Gauss-Krugerove projekcije u Hrvatskoj

Ustanovili smo u prethodnom odjeljku da primjenom reduciranih koordinata širina područja preslikavanja iznosi 127 km istočno i zapadno od srednjeg meridijana, to u stupanjskoj mjeri iznosi 1.5° ili čitava širina jednog sustava 3°. Kako projekcija ekvatora predstavlja os y, to apscise x računamo od ekvatora. Prednost takvog računanja za područja sjeverno od ekvatora jest u tome što su apscise uvijek pozitivne i to prema veličini apscise možemo približno zaključivati o položaju točke na Zemljinoj površini.

Da bismo izbjegli negativne ordinate dodajemo svim ordinatama 500 000 metara odnosno os y ima koordinatu y = 500 000 metara. Tako točke koje leže istočno od apscisne osi, odnosno od srednjeg meridijana, imaju ordinate veće od 500 000 m, a točke koje se nalaze zapadno od srednjeg meridijana imaju ordinate manje od 500 000 m, ali uvijek pozitivne. Broj koordinatnog sustava u kojem se dotična točka nalazi stavlja se ispred iznosa ordinate. Tako npr. točka s koordinatama

y = 5 550 635.17

x = 5 050 127.18

nalazi se u 5. sustavu i to 50 635.17 m istočno od srednjeg meridijana. Točka s koordinatama

y= 6 451 832.54 x= 5 060 382.44

nalazi se u 6. sustavu i to 48 167.46 m zapadno od srednjeg meridijana.


38

Prema tome da bismo dobili stvarnu udaljenost točke od srednjeg meridijana odnosno od osi x moramo od ordinata y oduzeti za

5. sustav: K = 5 500 000

6. sustav: K = 6 500 000.

Prema tome kod prelaza s y i x na y, x bit će:

.

,

,

,

0

0

0

0

mxx

mKyy

mxx

Kmyy

=

−=

⋅=

+⋅=


39

5.4 Veza između geodetskih (ϕ, λ) i ravninskih Gauss-Krügerovih (y, x) koordinata

Izračunate koordinate na referentnom Besselovom elipsoidu (ϕ λ), za potrebe različitih geodetsko-kartografskih radova nužno je preslikati u ravninu, birajući kartografsku projekciju prema njenim svojstvima. Komisija za izbor projekcije bivše države prihvatila je 1924. godine, konformno preslikavanje u ravninu Gauss-Krügerove projekcije (Borčić 1976). Osnovno svojstvo konformnog preslikavanja je sačuvati kutove između linija na površini Zemlje i njihovih slika na planu. Preslikavanje se vrši na cilindar gdje se ishodišni meridijan i ekvator preslikavaju kao pravci (slika 2.23).

PolProjekcijameridijana

Projekcijaekvatora

Slika 2.23: Geometrijski prikaz Gauss-Krügerovog preslikavanja.

Da bi se izračunale ravninske koordinate potrebno je poznavati duljinu luka meridijana G(ϕ) izraženu u metrima. U poglavlju 2.5.2 dan je izraz s pomoćnim veličinama i koeficijentima kao konstantnim veličinama za izračunavanje duljine luka meridijana kao funkcije geodetske širine. Izračunate ravninske, nereducirane koordinate (y, x), u odnosu na proizvoljno odabrani ishodišni meridijan, u ovom radu poslužit će za usporedbu transformacija i njenih rezultata u ravnini (Helmertova 2D transformacija) s 3D Helmertovom transformacijom.


40

...)17947961(cos5040

)5814185(cos120

1

)1(cos61cos

...)54331111385(cos40320

)3302705861(cos720

)495(cos24

cos2

)(

76427

5222425

3223

864428

6222426

4422422

+−+−+

+−++−

++−+=

+−++−+

+−++−+

+++−++=

ltttNt

ltttN

ltNlNy

lttttNt

ltttNt

ltNtlNtGx

ϕ

ηηϕ

ηϕϕ

ϕ

ηηϕ

ηηϕϕϕ

. (2.19)

Prema (Hofmann-Wellenhof i dr. 1994) za razliku l = ± 3.5° dobivaju se pogreške od

1 mm za y i x izračunati po izrazima (2.19). Tablica 2.16: Računanje ravninskih iz elipsoidnih koordinata u odnosu na 15° meridijan. RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Sveuciliste u Zagrebu GEOMATIKA Geodetski fakultet PROGRAM : Zavod za geomatiku Autor: Milan Rezo FILAUYX : RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Ulazna datoteka:DATOTE01.INP Izlazna datoteka:DATOTE01.OUT Ime tocke = GFZ1 P.S.G.F.ZAGREB Geodetska sirina tocke = 45 48 29.514100 Geodetska duzina tocke = 15 58 5.524700 Duzina luka meridijana = 5074252.1868 m Polumjer zakrivljenostu N = 6388366.8402 m Ordinata Y = 75249.5757 m Apscisa X = 5074708.0799 m

Primjenom posebno razvijenog vlastitog programa FILA-YX.EXE (koji omogućava računanje koordinata u odnosu na 15°, 18° ili slobodno definirani ishodišni meridijan) izračunane su nereducirane Gauss-Kügerove y, x koordinate (tablica 2.16). 5.5 Veza između ravninskih Gauss-Krügerovih (y, x) i geodetskih (ϕ, λ) koordinata

Baza koordinata za trigonometrijske i poligonske točke uglavnom se sastoji od Gauss-Krügerovih reduciranih ili nereduciranih koordinata. Kako bi se uspostavila veza između geodetskih koordinata (ϕ, λ) i koordinata u kartezijevom koordinatnom sustavu (X, Y, Z), a koje nam služe za formiranje matrice koeficijenata i prikraćenih mjerenja u postupku transformacija, potrebno je izračunati elipsoidne iz ravninskih koordinata. Ovu vezu moguće je ostvariti uz poznavanje dužine luka meridijana, početne geodetske širine za apscisnu os x, koeficijenata i pomoćnih veličina danih u poglavlju 2.5.2.


41

...)1575409536331385(40320

)45162107459061(720

)936635(24

)1(2

860

40

208

0

0

620

40

20

20

20

40

206

0

0

440

20

40

20

20

20

204

0

02202

0

00

+++++

+++−−−−+

+−−−+++−−+=

ytttN

t

yttttN

t

ytttNty

Nt

ηηη

ηηηηηϕϕ

( )

( )

( ) ...720132066261cos5040

1

8624285cos120

1

21cos61

cos1

760

40

20

07

0

520

20

20

40

20

05

0

320

20

03

0000

+−−−−+

++++++

+−−−++=

ytttN

ytttN

ytN

yN

ϕ

ηηϕ

ηϕϕ

λλ

. (2.20)

Točnost dobivanja elipsoidnih koordinata pomoću izraza (2.20) u odnosu na

proizviljno uzeti ishodišni meridijan, prema Hofman-Wellenhofu i dr. (1994) za razliku l = ± 3.5° dobivaju se pogreške od 0.00003″za ϕ i λ, što odgovara vrijednosti od 1 mm. Tablica 2.17: Računanje elipsoidnih iz ravninskih koordinata u odnosu na 15° meridijan. RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Sveuciliste u Zagrebu GEOMATIKA Geodetski fakultet PROGRAM : Zavod za geomatiku Autor: Milan Rezo YX-U-FILA: RMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMR Ulazna datoteka:DATOTE01.INP Izlazna datoteka:DATOTE01.OUT Ime tocke = GFZ1 P.S.G.F. Ordinata Y = 75249.5757 m Apscisa X = 5074708.0799 m Polumjer zakrivljenostu N = 6388368.3713 m Pocetna geodetska sirina = 45 48 44.281830 Geodetska sirina tocke = 45 48 29.514100 Geodetska duzina tocke = 15 58 5.524700

Uz poznavanje početne geodetske širine ϕo, te primjenom programa YX-FILA.EXE dobivene su elipsoidne koordinate (ϕ, λ) točke permanentne GPS stanice na Geodetskom fakultetu (tablica 2.17).

PREDAVANJE-GEODEZIJA-GFV

Documents