Prädikatenlogik First-Order Logic. KI 8-Prädikatenlogik2 Überblick Warum Prädikatenlogik (PL) ? Syntax und Semantik von PL Anwendung Wumpus-Welt in PL.

Prädikatenlogik

First-Order Logic

KI 8-Prädikatenlogik 2

Überblick

• Warum Prädikatenlogik (PL) ?

• Syntax und Semantik von PL

• Anwendung

• Wumpus-Welt in PL

• Wissensrepräsentation in PL


Vor- und Nachteile der Aussagenlogik

Aussagenlogik ist deklarativ

Aussagenlogik erlaubt unvollständige / disjunkte / negierte Information– (im Gegensatz zu den meisten Databasen)

Aussagenlogik ist kompositional:– Bedeutung von B1,1 P1,2 wird abgeleitet von der Bedeutung von B1,1 und

P1,2

Bedeutung ist in Aussagenlogik kontext-unabhängig– (im Gegensatz zu natürlicher Sprache)

Aussagenlogik hat sehr begrenzte Möglichkeiten, Wissen zu repräsentieren– (im Gegensatz zu natürlicher Sprache)

– Z.B. kann nicht ausgedrückt werden „Falltüren verursachen Luftzug in angrenzenden Feldern“ (außer durch explizites Aufstellen der Sätze für jedes Quadrat)

–•

–•

–•

–

•


Prädikatenlogik

• Während Aussagenlogik voraussetzt, dass die Welt aus Fakten besteht, basiert

• Prädikatenlogik (wie natürliche Sprache) darauf, dass die Welt folgendes enthält:– Objekte: Leute, Häuser, Zahlen, Farben,

Baseballspiele, …

– Relationen: Rot, rund, prim, Bruder von, größer als, Teil von, steht zwischen, …

– Funktionen: Vater von, Freund von, einer mehr als, plus, …

–

–

•


Syntax von FOL: Grundelemente

• Konstanten KingJohn, 2, Stuttgart, ...

• Prädikate Bruder, >, ...

• Funktionen Sqrt, LinkesBeinVon, ...

• Variable x, y, a, b,...

• Verknüpfungen , , , , • Gleichheit =

• Quantoren ,

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Syntax

Satz AtomarerSatz

| (Satz Verknüpfung Satz)

| Quantor Variable, … Satz

| Satz

AtomarerSatz Prädikat(Term, …)

| Term = Term

Term Funktion(Term, …)

| Konstante

| Variable

Verknüpfung | | | | Quantor | Konstante A | Wumpus | John | …

Variable a | x | s | …

Prädikat Vor | HatFarbe | EsRegnet | …

Funktion Mutter | LinkesBein | …


Atomare Sätze

AtomarerSatz = Prädikat (Term1,...,Termn) oder Term1 = Term2

Term = Funktion (Term1,...,Termn) oder Konstante oder Variable

Beispiele:• Bruder(KingJohn, RichardTheLionheart) • > (Länge(LinkesBeinVon(Richard)),

Länge(LinkesBeinVon(KingJohn)))


Komplexe Sätze

Komplexe Sätze entstehen aus atomaren durch Verknüpfungen:

S, S1 S2, S1 S2, S1 S2, S1 S2,

• Geschwister(KingJohn,Richard) Geschwister(Richard,KingJohn)

• >(1,2) ≤ (1,2)

• >(1,2) >(1,2)


Wahrheit

• Sätze sind wahr in Bezug auf ein Modell und eine Interpretation.

• Modelle enthalten Objekte (Domänenelemente) und Relationen zwischen diesen.

• Interpretation spezifiziert den Bezug fürKonstantensymbole → ObjektePrädikatssymbole → RelationenFunktionssymbole → Funktionale Relationen

• Ein atomarer Satz Prädikat(Term1,...,Termn) ist wahr wenn die Objekte, auf die sich Term1,...,Termn beziehen, in der Relation stehen, auf die sich Prädikat bezieht.

•

–•


Beispiel


Logik - Allgemeines

• Ontologische Bindungen:

Voraussetzungen über die Realität– Aussagenlogik: Es gibt nur Fakten.– Prädikatenlogik: Es gibt Objekte, Beziehungen, Funktionen.

• Epistemologische Bindungen:

Mögliche „Wissenszustände“ des Agenten– Aussagen- und Prädikatenlogik: Wahr, falsch, unbekannt.– Wahrscheinlichkeitstheorie: Glaubensgrad zwischen 0 und 1.


Logik - Allgemeines

Sprache Ontologische Bindung

Epistemologische Bindung

Aussagenlogik Fakten1 Wahr / falsch / unbekannt

Prädikatenlogik Fakten1, Objekte, Relationen

Wahr / falsch / unbekannt

Temporale Logik Fakten1, Objekte, Relationen, Zeiten

Wahr / falsch / unbekannt

Wahrscheinlichkeits-theorie

Fakten1 Glaubensgrad 0 …1

Fuzzy Logik Fakten mit Wahrheitsgrad 0 … 1

Intervallwert

1… und die Fakten sind in der Welt wahr oder falsch.


Logik - Allgemeines

• Prädikatenlogik: Logik erster Stufe

• Logik höherer Stufe:– Relationen und Funktionen sind selbst

Objekte


Allquantor

<Variable> <Satz>

Jeder in Stuttgart ist schlau: x In(x, Stuttgart) Schlau(x)

x P ist wahr für ein Modell m, wenn der logische Ausdruck P wahr ist für jedes Objekt x des Modells m.

• Vereinfacht gesagt: x P ist äquivalent zur Konjunktion der Instantiatiierungen von P:

In(KingJohn, Stuttgart) Schlau(KingJohn) In(Richard, Stuttgart) Schlau(Richard) In(Stuttgart, Stuttgart) Schlau(Stuttgart) ...

••

•


Allquantor

Achtung:

• Meist ist die wichtigste Verknüpfung mit .• Häufiger Fehler: Gebrauch von als Verknüpfung mit :

x In(x,Stuttgart) Schlau(x)

heißt: „Jeder ist in Stuttgart und jeder ist schlau”.

•


Existenzquantor

<Variable> <Satz>

• Irgendjemand in Stuttgart ist schlau: x In(x,Stuttgart) Schlau(x)

x P ist wahr in einem Modell m, wenn der logische Ausdruck P wahr ist für jedes Objekt x des Modells m.

• Vereinfacht gesagt: x P ist äquivalent zur Disjunktion der Instantiatiierungen von P:

In(KingJohn,Stuttgart) Schlau(KingJohn) In(Richard,Stuttgart) Schlau(Richard) In(Stuttgart,Stuttgart) Schlau(Stuttgart) ...

•

•


• Meist ist die wichtigste Verknüpfung mit

• Häufiger Fehler: Gebrauch von als Verknüpfung mit :

x In(x,Stuttgart) Schlau(x)

ist wahr, wenn es irgendjemand gibt, der nicht in Stuttgart ist!

Existenzquantor


Eigenschaften der Quantoren

x y ist dasselbe wie y x x y ist dasselbe wie y x

x y ist nicht dasselbe wie y x x y Liebt(x,y)

– „Es existiert ein x, so dass für alle y …“– „Es gibt eine Person, die jeden auf der Welt liebt.”

y x Liebt(x,y)– „Für jedes y existiert ein x so dass …“– „Jeder auf der Welt wird von mindestens einer Person geliebt”.

• Dualität der Quantoren: Quantoren können durch den jeweils anderen ausgedrückt werden x IsstGerne(x,Eis) x IsstGerne(x,Eis) x IsstGerne(x,Broccoli) x IsstGerne(x,Broccoli)

•––

•

•


Gleichheit

• Term1 = Term2 ist bei gegebener Interpretation genau dann wahr, wenn Term1 und Term2 sich auf dasselbe Objekt beziehen.

• Z.B. Definition von Geschwister mittels Elter:

x,y Geschwister(x,y)

[ (x = y) m,v (m = v) Elter(m,x) Elter(v,x) Elter(m,y) Elter(v,y) ]

•


Anwendung der Prädikatenlogik

Verwandtschafts-Domäne:

• Brüder sind Geschwister: x,y Bruder(x,y) Geschwister(x,y)

• Mutter ist weiblicher Elternteil: m,k Mutter(k) = m ( Weiblich(m) Elter(m,k))

• “Geschwister” ist symmetrisch: x,y Geschwister(x,y) Geschwister(y,x)

–••

–


Mengen-Domäne:

m Menge(m) (m = { } ) ( x,m2 Menge(m2) m = {x | m2})

(Menge ist leer oder entsteht durch Hinzufügen eines Elements zu einer Menge)

x,m {x | m} = { } (Leere Menge ist nicht zerlegbar)

x,m x m m = {x | m} (Hinzufügen vorh. Elements wirkungslos)

x,m x m [ y,m2 (m = {y | m2} (x = y x m2))]

(Nur Elemente drin, die hinzugefügt wurden)

m1,m2 m1 m2 (x x m1 x m2) (Teilmenge)

m1,m2 (m1 = m2) (m1 m2 m2 m1)

x,m1,m2 x (m1 m2) (x m1 x m2)

x,m1,m2 x (m1 m2) (x m1 x m2) (Vereinigung)

(Schnittmenge)

(Gleichheit)•

Anwendung der Prädikatenlogik


Knowledge Engineering in PL

1. Aufgabe verstehen!

2. Erforderliches Wissen sammeln.

3. Vokabular von Prädikaten, Funktionen, und Konstanten

festlegen.

4. Allgemeines Domänenwissen kodieren.

5. Beschreibung des speziellen Problems kodieren.

6. Anfragen an WB stellen, Antworten prüfen.

7. WB debuggen.

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12.

13.

•


Domäne der elektronischen Schaltkreise

Ein-bit Volladdierer

•Summanden 0 0

0Übertrag

Summe 0

0Übertrag




•Summanden 1 0

0Übertrag

Summe 1

0Übertrag




•Summanden 0 1

0Übertrag

Summe 1

0Übertrag




•Summanden 1 1

0Übertrag

Summe 0

1Übertrag




•Summanden 0 0

1Übertrag

Summe 1

0Übertrag




•Summanden 1 0

1Übertrag

Summe 0

1Übertrag




•Summanden 0 1

1Übertrag

Summe 0

1Übertrag




•Summanden 1 1

1Übertrag

Summe 1

1Übertrag


1. Aufgabe verstehen:– Addiert der Schaltkreis richtig? (Verifikation des Schaltkreises)

2. Relevantes Wissen sammeln:– Besteht aus Drähten und Gattern– Typen der Gatter: AND, OR, XOR, NOT– Irrelevant: Größe, Form, Farbe, Kosten der Gatter

3. Vokabular festlegen– Alternativen:

Typ(X1) = XOR

Typ(X1, XOR)

XOR(X1)

•

–•–•

•



4. Kodiere allgemeines Domänenwissen

1 ≠ 0

p Signal(p) = 1 Signal(p) = 0

p1,p2 Verbunden(p1, p2) Signal(p1) = Signal(p2)

p1,p2 Verbunden(p1, p2) Verbunden(p2, p1)

g Typ(g) = NOT Signal(Ein(1,g)) ≠ Signal(Aus(1,g))

g Typ(g) = OR ( n Signal(Ein(n,g)) = 1 Signal(Aus(1,g)) = 1)

g Typ(g) = AND ( n Signal(Ein(n,g)) = 0 Signal(Aus(1,g)) = 0)

g Typ(g) = XOR (Signal(Ein(1,g)) ≠ Signal(Ein(2,g)) Signal(Aus(1,g)) = 1)

– (Unterscheide: Logisches wahr/falsch vs. Signal 0/1)

•



5. Kodiere spezifisches Problem

Typ(X1) = XOR Typ(X2) = XORTyp(A1) = AND Typ(A2) = ANDTyp(O1) = ODER

Verbunden(Aus(1,X1), Ein (1,X2)) Verbunden(Ein(1,C1), Ein(1,X1))Verbunden(Aus(1,X1), Ein (2,A2)) Verbunden(Ein(1,C1), Ein(1,A1))Verbunden(Aus(1,A2), Ein (1,O1)) Verbunden(Ein(2,C1), Ein(2,X1))Verbunden(Aus(1,A1), Ein (2,O1)) Verbunden(Ein(2,C1), Ein(2,A1))Verbunden(Aus(1,X2), Aus(1,C1)) Verbunden(Ein(3,C1), Ein(2,X2))Verbunden(Aus(1,O1), Aus(2,C1)) Verbunden(Ein(3,C1), Ein(1,A2))



6. Stelle Anfragen Was sind die erlaubten Wertemengen aller Ein- und

Ausgänge des Schaltkreises C1?

e1,e2,e3,a1,a2 Signal(Ein(1,C_1)) = e1 Signal(Ein(2,C1)) = e2 Signal(Ein(3,C1)) = e3 Signal(Aus(1,C1)) = a1 Signal(Aus(2,C1)) = a2

7. WB debuggenZ.B. 1 ≠ 0 wird leicht vergessen!

–•



Wissensbasis für die Wumpus-Welt in PL

• Perzeption z,g,t Perzept([Gestank,z,g],t) Gestank(t) s,g,t Perzept([s,Zug,g],t) Zug(t) s,z,t Perzept([s,z,Glitzern],t) Bei(Agent,Gold,t)

• Ortseigenschaften: x,y,t Bei(Agent,x,y,t) Gestank(t) Stinkig(x,y)

x,y,t Bei(Agent,x,y,t) Zug(t) Zugig (x,y)

• Geometrie x,y,u,v Neben([x,y],[u,v]) [u,v] {[x+1,y], [x-1,y],[x,y+1],[x,y-1]}

s – Gestank, z – Zug, g – Glitzern, t – time, (x,y), (u,v) – Orte.


Erschließen versteckter Eigenschaften

Quadrate sind zugig nahe einer Falltür:

Diagnostische Regel – schließe Ursache aus Wirkung

x,y Zugig(x,y) u,v Neben(x,y,u,v) Falltür(u,v)

Kausale Regel – schließe Wirkung aus Ursache

u,v Falltür(u,v) ( x,y Neben(u,v,x,y) Zugig(x,y))

Definition Prädikat Zugig(.,.):

x,y Zugig(x,y) [ u,v Neben(x,y,u,v) Falltür(u,v) ]

Beachte: Regeln sind unvollständig, denn sie sagen nichts über weiter entfernte Felder aus.


Aktionen

• Reflex

t Bei(Agent,Gold,t) BesteAktion(Greifen,t)

• Reflex mit innerem Zustand

t Bei(Agent,Gold,t) Hat(Gold,t) BesteAktion(Greifen,t)

Beachte: • Hat(Gold,t) kann nicht beobachtet werden!• Daher: Veränderungen speichern!

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Repräsentation von Veränderungen

Situationskalkül repräsentiert Veränderungen in PL:

• Fluents: Prädikate und Funktionen, die sich mit der Situation ändern.

• Füge zu jedem Fluent-Prädikat ein Situations-Argument hinzu, z.B.

Jetzt in Hat(Agent,Gold,Jetzt)

• Situationen werden durch Funktion Resultat verbunden:

Result(a,s) ist die Situation, die aus Situation s durch Aktion a entsteht.

Fakten gelten für bestimmte Situationen, aber nicht immer.

Z.B. Hat(Agent,Gold,Jetzt) statt Hat(Agent,Gold)


Zwei komplementäre Möglichkeiten, Effekte von Aktionen zu beschreiben:

• Effekt-Axiome: Beschreibe Veränderung durch Aktionen

s Bei(Agent,Gold,s) Hat(Agent,Gold,Resultat(Greifen,s))

• Frame-Axiome: Beschreibe, was Aktion unverändert lässt

s Hat(Agent,Pfeil,s) Hat(Agent,Pfeil,(Resultat(Greifen,s))

Repräsentation von Veränderungen


Frame-Problem• Gegeben:

– A Aktionen

– F Fluent-Prädikate

– E Effekte pro Aktion (maximal),

– T Aktionen nacheinander

• Frame-Problem: Beschreibe alles in der Welt, was sich nicht ändert.

• Repräsentation erfordert O(AF) Axiome

• Berechnung der Effekte einer Aktionsfolge aus T Schritten erfordert Aufwand O(FT).

• Repräsentationelles Frame-Problem ( nächste Folie):

Eigentlich wären nur O(AE) Axiome nötig, wobei meist E<<F (denn eine Aktion beeinflusst meist nur wenige Prädikate).

• Inferentielles Frame-Problem ( später):

Reduziere Berechnung der Effekte einer Aktionsfolge auf O(ET).


• Nachfolgezustand-Axiome lösen repräsentationelles Frame-Problem.

• Idee: Stelle Axiome auf für die Fluent-Prädikate statt Axiome für die Aktionen.

• Nachfolgezustand-Axiome haben die FormAktion ist möglich [ Fluent ist im Nachfolgezustand wahr Effekt der Aktion hat ihn wahr gemacht

(Er war schon vorher wahr Er wurde durch die Aktion nicht verändert) ]

• Damit wird Folgezustand vollständig aus dem aktuellen Zustand abgeleitet.

Nachfolgezustand-Axiome


• a – Aktion, s – Situation, x, y, z – Orte• „Agent ist bei y, nachdem er entweder dorthin gegangen ist

oder schon dort war und die letzte Aktion ihn nicht bewegt hat“:Möglich(a,s) [ Bei(Agent,y,Resultat(a,s)) a = Gehe(x,y) (Bei(Agent,y,s) a ≠ Gehe(y,z)) ]

• „Agent hat Gold, nachdem er gegriffen hat oder es bereits hatte und nicht losgelassen hat“: a,s Hat(Agent,Gold,Resultat(a,s)) (a = Greifen Bei(Agent,Gold,s) (Hat(Agent,Gold,s) a ≠ Loslassen)(Beachte: Greifen immer möglich)

Nachfolgezustand-Axiome: Beispiele


• Qualifikations-Problem:Beschreibung realer Aktionen erfordert immensen Aufwand: Gold ist glitschig (genaue Beschreibung des Greifvorgangs), Agent stolpert (genaue Beschreibung des Gehens), Wumpusbauch zu dick + Pfeil bricht ab (genaue Beschreibung des Zielens).

• Ramifikations-Problem:Reale Aktionen haben viele Nebeneffekte, z.B. Gehen macht Geräusch und alarmiert Wumpus, gegen Wand laufen gibt Beule am Agentenkopf, Greifen zerreißt Handschuhe.

Repräsentation von Veränderungen: Probleme

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Interaktion mit WB

• Ein Agent in der Wumpus-Welt verwendet eine WB in PL. Er nimmt Gestank und Luftzug wahr (aber kein Glitzern) zur Zeit t=4:

Tell(WB, Perzept([Stench,Breeze,Nix],4))Ask (WB, a BesteAktion(a,4))

• D.h. folgt aus der WB eine beste Aktion zur Zeit t=4 ?

• Antwort: Ja, {a / Schießen} ← Ersetzung

• Notation:Gegeben sei ein Satz S und eine Ersetzung σ, dann bezeichnet

Sσ das Result des Einsetzens von σ in S; z.B.S = Schlauer(x,y)σ = {x / Hillary, y / Bill}Sσ = Schlauer(Hillary,Bill)

• Ask(WB,S) gibt einige / alle σ zurück, so dass WB╞ σ.

•

•

»


Planen

Anfangsbedingung in WB:Bei(Agent,(1,1),S0)Bei(Gold, (1,2),S0)

Anfrage: „In welcher Situation s wird Agent Gold haben?“Ask(WB, s Hat(Agent,Gold,s))

Antwort: „Gehe vorwärts, greife Gold“ {s / Resultat(Greifen, Resultat(Vorwärts, S0))}

Es wurde angenommen, dass S0 die einzige in der WB bekannte Aktion ist und der Agent von S0 aus plant.


Planen

• Repräsentiere Pläne als Aktionsfolgen: [a1, a2, a3, … an]

• PlanResultat(p,s) ist die Situation, die aus der Ausführung von Plan p in Situation s resultiert.

• Anfrage:

Ask(WB, p Hat(Agent, Gold, PlanResultat(p,S0))

• Antwort: {p / [Vorwärts,Greifen]}

• Definition von PlanResultat durch Resultat:

s PlanResultat([], s) = s

a,p,s PlanResultat([a1,a2,…an], s) =

PlanResultat([a2,…an], Resultat(a1,s))

• Planungssysteme sind spezialisierte Algorithmen, die diesen Typ der Inferenz effizienter ausführen als general-purpose Inferenzmaschinen.


Zusammenfassung

• Prädikatenlogik:– Syntax: Konstanten, Funktionen, Prädikate, Gleichheit,

Quantoren

– Objekte und Relationen sind semantische Primitive

• Erheblich mächtiger als Aussagenlogik: Wumpus-Welt kann repräsentiert werden!

• Zum Planen sind spezielle Algorithmen erforderlich.

•

Prädikatenlogik First-Order Logic. KI 8-Prädikatenlogik2 Überblick Warum Prädikatenlogik (PL) ? Syntax und Semantik von PL Anwendung Wumpus-Welt in PL.

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