Poinçonnement des dalles sur poteaux rectangulaires

Poinçonnement– H. Thonier – 12 septembre 2011– p. 1/27

POINCONNEMENT DES DALLES

SUR POTEAUX RECTANGULAIRES

DIMENSIONNEMENT ET FERRAILLAGE

Eurocode 2-1-1 – Art. 6.4 et 9.4

Sommaire 1 Notations 2 Détermination de l'effort tranchant de calcul 3 Dimensionnement 4 Poteau rectangulaire intérieur - Vérifications, armatures et chapiteaux éventuels 5 Poteau rectangulaire intérieur – Ferraillage 6 Poteau intérieur - Cas des poteaux rectangulaires allongés ou de voiles courts 7 Poteau rectangulaire intérieur - Exemple numérique 8 Poteaux rectangulaires de rive 9 Poteaux rectangulaires d'angle 10 Ouvertures dans la dalle 11 Calcul du coefficient de majoration de l'effort de poinçonnement VEd12 Poteaux circulaires 13 Exemple de poteau d'angle avec trémie Annexe A Coefficient de majoration des réactions d'appuis dû à la continuité Annexe B Calcul du paramètre W1

1 - Notations c1 largeur du poteau rectangulaire suivant Oy (c1 ≥ c2) c2 largeur du poteau rectangulaire suivant Oz (c2 ≤ c1) c3 débord de la dalle de rive ou d'angle, // Oy à partir de l'axe du poteau c4 débord de la dalle de rive ou d'angle, // Oz à partir de l'axe du poteau d hauteur utile moyenne de la dalle = 0,5 (dy + dz) dy hauteur utile des armatures // Oy dz hauteur utile des armatures // Oz fck résistance caractéristique du béton fyk limite élastique de l'acier

.VEd charge de poinçonnement de calcul coefficient de majoration dû à l'excentricité de la charge C coefficient de sécurité sur le béton S coefficient de sécurité sur l'acier

Asy section des armatures longitudinales // Oy sur une largeur c2 + 6d Asz section des armatures longitudinales // Oz sur une largeur c1 + 6d Asy0 section des armatures longitudinales // Oy par unité de largeur : )d6c/(AA 2sy0sy

Asz0 section des armatures longitudinales // Oz par unité de largeur : )d6c/(AA 1sz0sz Asw aire des cours d'armatures de poinçonnement sur un cours périmétrique autour du poteau sr espacement radial des cours d'armatures st espacement des armatures sur un cours périmétrique 2 - Détermination de l'effort tranchant de calcul La charge totale ELU VEd de poinçonnement reprise par le poteau doit tenir compte de la réaction de continuité éventuelle. A défaut de calcul plus précis, on peut admettre une majoration forfaitaire des charges pour les poteaux voisins de rive par application du paragraphe 5.1.3 (2)P NOTE de NF EN 992-1-1/NA [1] et §5.1.3 (1)P NOTE des Recommandations Professionnelles [2].


Pour des dalles continues d'au moins trois travées, la majoration est au maximum de 10 % pour un appui voisin de rive. Cependant, elle ne se cumule pas pour un appui qui est voisin de rive dans les deux directions, (voir Annexe A). Conformément à l'Eurocode 2, il doit être tenu compte de la présence d'un moment d'encastrement du poteau dans la dalle qui génère une majoration (coefficient ) des contraintes de cisaillement (Fig. 6.19 de l'Eurocode 2), même si ce moment est négligé dans le calcul de flexion de la dalle ou du flambement du poteau. L'Eurocode 2 [1 ] donne des formules de calcul du coefficient de majoration à prendre en compte dans un certain nombre de cas de figure (§ 6.4.3) (voir en 11 ci-dessous et la Feuille Excel N° 130 [7]). 3 – Dimensionnement Les dimensions du poteau sont déterminées pour satisfaire les conditions de force portante compte tenu du flambement. L'épaisseur de la dalle est déterminée pour satisfaire les conditions de flèches limites et de résistance à la flexion. Ces dimensions peuvent être augmentées pour satisfaire les conditions de cisaillement dû au poinçonnement, avec création éventuelle de chapiteaux et nécessité ou non de disposer d'un ferraillage vertical autour des poteaux.

Fig. 1 – Types de chapiteaux : rectangulaires ou tronconiques Des barres relevées, d'usage peu courant en France, peuvent aussi être utilisées. Pour les dalles précontraintes par post-tension, la composante verticale P.sin de l'effort de traction des câbles situés à moins de 0,5d du nu du poteau peuvent être prise en diminution de l'effort VEd. On peut choisir de créer des chapiteaux ou d'augmenter leurs dimensions pour éviter d'avoir à mettre en place un ferraillage vertical. Le ferraillage éventuel peut consister en épingles (ou étriers) disposés en rayons et disposés sur des cours périmétriques suivant la Fig. 6.22A de l'Eurocode 2. Il existe également sur le marché des dispositifs préfabriqués (Halphen, LinkStudPSR, ...) constitués de rails avec goujons-connecteurs [4]. Une autre disposition du ferraillage peut consister en quatre bandes d'épingles (ou de connecteurs) disposés en croix suivant la Fig. 6.22B de l'Eurocode 2. On notera que cette disposition de ferraillage ne permet pas de reprendre des efforts importants. En effet, le périmètre nécessaire uout de l'équation (6.54) de l'Eurocode 2 augmente proportionnellement à l'effort .VEd alors que le périmètre de la figure 6.22B est constant quel que soit le nombre de cours d'armature parallèle aux côtés du poteau (Voir Fig. 5B ci-après). On doit procéder à des vérifications de contraintes :

h

hH

c1

L1

h

hH

L1

c1


- au droit du poteau avec un périmètre u0 où le cisaillement agissant v0 = ( .VEd) / (u0.d) ne doit pas excéder1 vRd,max = 0,4 .fcd

- à une distance 2d du poteau avec un périmètre u1, dit contour de contrôle de référence, où le

cisaillement agissant d.u

V.v1

Ed1 ne doit pas excéder

5,0ck

5,13/1ckl

Cc,Rd f.k035,0;)f.100.(k.18,0Maxv .

Nous étudierons successivement les poteaux rectangulaires intérieurs, de rive, d'angle et les poteaux circulaires (intérieurs, de rive et d'angle). 4 – Poteau rectangulaire intérieur - Vérifications, armatures et chapiteaux éventuels

)d3c.(dA

2y

syly

)d3c.(dA

1z

szlz

lzlyl .

)dd(5,0d zy

)cc(2u 210 d.4uu 01

d.u

V.v

0

Ed0

d.u

V.v

1

Ed1

250

f16,0 ck

C

ckmax,Rd

f.4,0v

S

ykydef,ywd

ff)d1(250f (d en m)

A) - Calcul de vRd,c pour une hauteur utile d

)mend(2d

2,01k

5,0

d/A.A 0sz0syl avec zyzy d.d)dd(5,0d

5,0ck

5,13/1ckl

Cc,Rd f.k035,0;)f.100.(k.18,0Maxv

B) – Calcul de rcont , rayon du contour de contrôle de référence, pour un débord de chapiteau identique sur les 4 faces du poteau et une hauteur utile d

d2)2c(69,0;)2c).(2c(56,0Minr 221cont (c1 ≥ c2)

1 Le coefficient 0,5 a été modifié en 0,4 par le Corrigendum n° 2 de l'Eurocode 2. Voir le site www.egfbtp.com, rubrique documentation technique et économique, Eurocode 2 – interprétations et décisions de la commission EC2

http://www.egfbtp.com/


v0 ≤ vRd,max

Chapiteauv1 ≤ vRd,c débord 2

retombée r2

Cisaillement v2

fiche c

v2 ≤ vRd,cPas de chapiteau Pas de chapiteau ChapiteauDalle non armée Dalle armée débord 1

(Asw/sr)1 retombée r1

et a1 Dalle non arméeChapiteau

fiche a fiche b Débord 2 Chapiteau ChapiteauRetombée r2 débord 2 débord 3

Dalle non armée retombée r2 retombée r3

Dalle armée Dalle non armée(Asw/sr)2

et a2 fiche e

fiche d

Fig. 2 - Organigramme

au choix au choix

oui non

oui

au choixau choix

non

nonoui

dx

c1

c2

c1

dyy

c1

a1

dx

c1 11

1

1

c2

r1

dy

c1 22

2

2

c2

r2

dy

c1 33

3

3

c2

r3

dy

c1

a2

22

r2

2

c2

2


Fiche a

c,Rd

Edout v.d

V.u : contour limite au-delà duquel les armatures de poinçonnement ne sont plus nécessaires

ef,ywd

1c,Rd1

1r

sw

f5,1u).v75,0v(

sA : section d'un cours d'armatures nécessaires divisé par la distance entre deux

cours périphériques

d5,1v.d.2

V.ac,Rd

Ed1 : distance au centre du poteau de l'armature la plus éloignée

Fiche b Vérifications Contour u'1 tel que : c,RdcontEd v.d.r.2V. Contour u1 tel que : 1c,Rd110Ed v.d).d.4u(V.

Fig. 3

d

c1 11

r1d1

u1 u'1

Débord 1 tel que2

d2v.d.2

V.)2c(69,0;)2c).(2c(56,0Min

c,Rd

Ed121211

Retombée telle que : 1c,Rd110Ed v).rd.()rd.(4uV. vRd,c1 est calculé suivant le A) ci-dessus en remplaçant d par d1 Dimensions du chapiteau : 11211 r)2c()2c( Fiche c Vérifications Contour u0 tel que : max,Rd20Ed v.d.uV. Contour u'0 tel que : max,Rd0Ed v.d.'uV.

Contour u'1 tel que : c,RdcontEd v.d.r.2V. avec cont'1 r.2u

Contour u1 tel que : 1c,Rd110Ed v.d).d.4u(V. avec d.4uu 01

d

c1 22

r2d2

u1 u'1u0 u'0

Fig. 4

200 8u'u

Débord : 0max,Rd

Ed2 u

v.dV.

.81

Retombée : dv.uV.

rmax,Rd0

Ed2

d2)2c(69,0;)2c).(2c(56,0Minr 2222212cont

2cont2 r.2u

d.uV.

v2

Ed2

Dimensions du chapiteau : 22221 r)2c()2c( Fiche d

c,Rd

Edout v.d

V.u

ef,ywd

1c,Rd1

2r

sw

f5,1u).v75,0v(

sA

2 (1/ )0,5 = 0,564 et (1,5/ )0,5 = 0,691. Recherche d'un cercle de même surface que le chapiteau et pour un chapiteau rectangulaire de surface 1,5 celle du chapiteau.


d5,12

ua out

2

Fiche e Vérifications Contour u3 tel que : 1c,Rd3Ed v.d.uV. avec 3cont3 r.2u

3cont3 r.2u Débord 3 tel que

d2v.d.2

V.)2c(69,0;)2c).(2c(56,0Min

c,Rd

Ed323231

Retombée : 33 5,0r Dimensions du chapiteau: 33231 r)2c()2c( Voir la feuille Excel N° 133. 5 - Poteau rectangulaire intérieur – Ferraillage Le ferraillage peut être constitué de cours périmétriques (A) ou de bandes en croix (B) suivant la Fig. 6.22 de l'EC2 reproduite ci-dessous.

<= 2d

contour uout

<= 1,5d

A B

d

> 2d

1,5d

d

d

d

contour uout

contour u1

A) Ferraillage en rayons et cours périmétriques B) Ferraillage en croix

Fig. 5 - Fig. 6.22 de NF EN 1992-1-1

Distances maximales : - entre armatures d'un même cours à l'extérieur du contour de contrôle de référence (situé à 2d du nu du poteau) : 2d - entre armatures d'un même cours à l'intérieur du contour de contrôle de référence (situé à 2d du nu du poteau) : 1,5d - entre le dernier cours d'armatures et le contour extérieur limite uout : 1,5d Distance du premier cours d'armatures au nu du poteau : compris entre 0,3d et 0,5d. Distance maximale entre deux cours périmétriques d'armatures : 0,75d.


Choix du schéma A ou B Pour le schéma B, comme on peut le voir sur la figure 5B, la longueur du contour extérieur uout est limitée par la condition de débord maximal de d. Ce qui limite l'utilisation de cette disposition de ferraillage à des cisaillements peu élevés. Nombre de rayons (nt) et nombre de cours périmétriques (nr) Le contour uout est un contour polygonal (Fig. 5A) inscrit dans un cercle de rayon uout. On admettra, pour simplifier les calculs, de prendre le périmètre du cercle à la place du périmètre du polygone.

L'erreur ainsi commise est faible : t

t

nsin.

n1

en fonction du nombre de rayons nt.

nt différence 8 2,6%

12 1,1% 16 0,6% 20 0,4% 24 0,3% 28 0,2%

- nombre de rayons (nt = nombre d'armatures par cours périmétriques) : entier supérieur de d2

d.3uout

- nombre de cours périmétriques (nr = nombre d'armatures par rayon) : entier supérieur de

1d75,0

d5,0d5,1c5,0r 2out en supposant c2 ≤ c1 et un premier cours périmétrique situé à 0,5d du nu

du poteau et avec 2ur out

out

Le premier cours périmétrique est parallèle aux côtés du poteau à une distance comprise entre 0,3d et 0,5d. Pour des raisons d'économie, on retiendra 0,5d. Le dernier cours est un polygone régulier de rayon rout. Les cours intermédiaires seront répartis uniformément entre les deux cours extrêmes de sorte que sur un même rayon, les espacements sr soient identiques. Comme c2 ≤ c1, le plus grand espacement sr est obtenu pour le rayon parallèle au petit côté, la section

maximale d'une armature Asw0 est obtenue par r

r

r

sw0sw n

s.

sA

A avec 1n

d5,0d5,1c5,0rs

r

2outr .

On en déduit le diamètre et le choix épingle ou étrier nécessaires. On vérifie ensuite que pour les cours d'armatures situés à l'intérieur3 du contour de contrôle de référence u1 (situé à une distance 2d des nus du poteau), les espacements le long de ces cours sont inférieurs à 1,5d. 6 – Poteau intérieur - Cas des poteaux rectangulaires allongés ou des voiles courts Si le poteau a des longueurs de côtés nettement différentes, le premier contour sera allongé et le dernier est circulaire (cercle assimilé au polygone régulier) : Fig. 6A. De plus les espacements transversaux sr seront très irréguliers.

3 Nous ne prendrons en compte que les cours d'armatures entièrement à l'intérieur du contour de référence et non ceux dont certaines armatures sont à l'extérieur.


-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

poteau

épingles HA10

rayons

pas de chapiteaucontour uout,ef

contour u1

A)

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

poteau

épingles HA10

rayons

pas de chapiteau

contour uout,ef

contour u1

B)

Fig. 6 – Deux types de contour périmétrique

Il est préférable (et plus économique) de considérer un contour extérieur rectiligne parallèle aux grands côtés du poteau pour la partie centrale de ces côtés. Pour cela, on peut considérer les deux centres des demi-cercles situés aux abscisses ± 0,5(c1 – c2) Fig. 6B) [4]. On peut retenir le schéma A) pour c1 < c2 + d par exemple. 7 – Poteau rectangulaire intérieur - Exemple numérique a) Données Plancher-dalle de trame 8 m x 10 m Poteau voisin de rive du grand côté et intérieur pour l'autre direction : c2 = 0,35 m et c1 = 0,50 m Épaisseur de la dalle : h = 0,32 m Béton fck = 30 MPa Acier fyk = 500 MPa Charge d'exploitation : q = 2,5 kN/m2 Armatures longitudinales : - supérieures // Oy : HA16, s = 0,15 m - supérieures // Oz : HA14, s = 0,15 m Classe d'environnement XC1

Fig. 7 b) Résultats intermédiaires

10,00

8,00

10,00

8,00

Charge de calcul ELU : 55,145,25,132,02535,1q5,1h2535,1p kN/m2 Enrobage cnom = cmin + cdev de la classe S3 (moins une classe pour une dalle) = 10 + 10 = 20 mm Hauteurs utiles : dy = h – cnom – Øy/2 = 320 – 20 – 16/2 = 292 mm

et dz = dy - Øy/2 - Øz/2 = 292 – 16/2 – 14/2 = 277 mm hauteur utile moyenne : (292 + 277) / 2 = 284,5 mm

Majoration de l'effort dû à l'excentricité de la charge. Le rapport des longueurs des travées de 8 m dans une direction et 10 m dans l'autre ne différant pas plus de 25 %, on peut prendre la valeur forfaitaire = 1,15 pour un appui intérieur. Majoration pour continuité dans une direction (voir Annexe A), avec l = petite portée = 8 m et L = 10 m :

28810

2810,155,1415,1

2.L

2..p.V

2222

Ed

= 1 392 kN = 1,392 MN

Pour une charge isostatique 14,55 × 8 × 10 × 1,15 = 1 339 kN, soit un coefficient majorateur de 1 392 / 1 339 = 1,04 au lieu de = 1,10. Contrainte limite ne nécessitant pas d'armatures :


2838,12845,0

2,01d2,01k

00459,015,0292,0

1001,2s.d

A 4

yy

syyl

00371,015,0277,0

1054,1s.d

A 4

zz

szzl

00413,000371,000459,0. lzlyl

51,0)30413,0(838,15,118,0f.100.k.

Cv 3/13/1

cklC

c,Rdc,Rd MPa

478,030838,1035,0f.k035,0v 5,05,12/1ck

2/3min MPa < 0,51

c) Dimensionnement et section d'armatures nécessaires - Au nu du poteau : 70,1)50,035,0(2)cc(2u 210 m

88,27,12845,0

392,1u.dV.v

0

Ed0 MPa <

5,130

2503016,04,0

f250f

16,04,0vC

ckckmax,Rd

= 5,51 MPa OK - Au contour de contrôle de référence :

275,52845,047,1d.4uu 01 m

93,0275,52845,0

392,1u.d

V.v1

Ed1 > 0,407 MPa ferraillage ou bien chapiteau

321)2845,01(250)d1(250f ef,ywd MPa

98,593215,1

10275,5)51,075,093,0(f5,1

u).v75,0v(s

A 4

ef,ywd

1c,Rd1

r

sw cm2/m

594,951,02845,0

392,1v.dV.

uc,Rd

Edout m.

527,12594,9

2ur out

out m

d) Ferraillage

Nombre de rayons : 2,122845,02

2845,03594,9d2

d.3un out

t

nt arrondi à nt = 13. Par raison de symétrie on pourrait prendre un multiple de 4, c'est-à-dire 16, ce qui n'est pas très économique. Espacement maximal des armatures sur le cours extrême :

d2d87,1532,013

2845,03594,9n

d.3us

t

outt OK

Nombre de cours périmétriques : 7,412845,075,0

2845,0235,05,0527,11d75,0

d5,0d5,1c5,0rn 2out

r

arrondi à nr = 5 .Espacement maximal des cours, perpendiculairement au grand côté :

d75,0d69,0m196,015

2845,022/35,0527,11n

d5,0d5,12/crs

r

2outr OK

La vérification de l'espacement maximal des armatures des cours situé à l'intérieur du contour de référence (situé à une distance 2d du nu du poteau) est délicate. Le programme N° 104 (Fig. 8) montre que les 3 premiers contours sont à l'intérieur du contour de contrôle de référence (dessin de la page 4 de la feuille


Excel) et que le 3e cours a un espacement maximal de 1,28d < 1,5d (tableau à droite de la page 2). C'est donc vérifié. Le schéma de ferraillage est représenté sur la Fig. 8.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

poteau

étriers HA8

rayons

pas de chapiteaucontour uout,ef

contour u1

Fig. 8 – Schéma de ferraillage de poinçonnement

On peut éviter de mettre des armatures en disposant d'un chapiteau qui sera dimensionné tel que la contrainte de cisaillement sur le contour de contrôle de référence extérieur au chapiteau ne dépasse pas vRd,c (ce qui permet de déterminer le débord 1) et que le contour de contrôle de référence du poteau ne dépasse pas vRd,c1, sachant que vRd,c1 diminue lorsqu'augmente l'épaisseur de la dalle (ce qui permet d'obtenir la hauteur utile d1 et donc la retombée r1) : - contour u'1 tel que : c,RdcontEd v.d.r.2V. - contour u1 tel que : 1c,Rd110Ed v.d).d.4u(V.

Fig. 9

d

c1 11

r1d1

u1 u'1

Or, la hauteur utile d1 (dalle + chapiteau) est fonction de vRd,c1 qui lui-même est fonction de d1. On procédera donc par approches successives. Pour simplifier, on retiendra un même débord pour les quatre faces du poteau. On trouve ainsi un débord 1 = 0,645 m et une retombée r1 = 0,175 m. On vérifie : - dimensions du chapiteau : 79,150,0645,02c2L 111 m et L2 = 2 x 0,645 + 0,35 = 1,64 m

- 959,0284,0264,169,0;64,179,156,0Mind2]L;L[Min69,0;L.L56,0Minr 2121cont m - 03,6959,02r.2u cont1 m - 594,9u605,9284,0403,6d.4u out1 OK - hauteur utile : d1 = 0,284 + 0,175 = 0,459 m


- 66,1459,0

2,01k1

- 00255,0459,0284,000413,0l (règle de trois)

- 41,041,0.392,0Max3066,1035,0;)30255,0(66,112,0Maxv 5,05,13/11c,Rd MPa

- à la distance du poteau : 468,7459,0470,1d.4u'u 101 m et

406,0468,7459,0

392,1'u.d

V.'v11

Ed1 < vRd,c1 = 0,41 MPa OK.

Choix de l'armature : épingle ou étrier, diamètre

904,013196,098,59

ns

.s

AA

t

r

r

sw0sw cm2 que nous obtiendrons avec un étrier HA8 = 1,01 cm2.

Soit au total nt × nr = 5 × 3 = 65 étriers HA8 disposés suivant la Fig. 8. Voir la feuille de calcul Excel n° 104. 8 - Poteaux rectangulaires de rive

a) – Contours u0, u1, *1u et coefficient

Suivant que le poteau est au ras de la rive de la dalle, en retrait ou en débord, on définit les contours de contrôle de référence suivant le tableau Tab. 1. Tableau 1 – Poteaux de rive

Poteau au ras Poteau en retrait Poteau saillant

c1

c2

2d

2d

2d

c3 = 0

c1/2

c2

2d

2d

2dc3

c1/2

c1

c2

2d

2d

2d

c3

120 c2;d3Mincu 120 c2;d3Mincu 3120 c2c2;d3Mincu

d.2cc2u 211 3211 c2d.2ccu 3211 c2d.2cc2u

]d3;c[Mind.2cu 12*1 ]d3;c[Mind.2cu 12

*1 ]d3;c[Mind.2cu 12

*1

1outout

cur 321outout

c2ccur 321outout

c2ccur

= 1,4 - si c3 = 0,5 c1 = 1,4 - si c3 ≥ 0,5c1 + 0,5c2 + .d = 1,15

Interpolation entre ces valeurs = 1,4

Voir les limites d'utilisation des valeurs forfaitaires de en 2) ci-dessus, sinon, voir en 11 ci-dessous.

Tab. 1 – Poteau de rive [1] et [3]


b – Dimensionnement et ferraillage La longueur du contour de contrôle de référence uout est issue de la même formule que pour un poteau intérieur :

c,Rd

Edout V.d

V.u

Le rayon du contour de contrôle rout est donné dans Tab.1 Les calculs sont identiques à ceux d'un poteau intérieur en prenant les valeurs données dans le tableau Tab. 1.

<= 2d

contour uout

<= 1,5d

<= 1,5d

c3-c1/2 c1

c2

<= 2d

contour uout

<= 1,5d

<= 1,5d

c3-c1/2c1

c2

c2/2

Poteau carré (ou presque) Poteau allongé (par exemple c1 > c2 + d)

Fig. 10 – Schémas de ferraillage des poteaux de rive

9 - Poteaux rectangulaires d'angle

b) – Contours u0, u1, *1u et coefficient

Suivant que le poteau est au ras de la rive de la dalle, en retrait ou en débord, on définit les contours de contrôle suivant le tableau Tab. 2.


Poteau au ras Angle saillant Angle rentrant

c1

c2

2d

2d

c3 = c1/2 et c4 = c2/2

c1/2

c2/2

c4

2d

2dc3

c1

c2

2d

2d

c3

c4

2d

2d

]d5,1;c[Minu 10 ]d5,1;c[Min 2

]d5,1;c[Minu 10 ]d5,1;c[Min 2

210 ccu ]d5,1;c[Min]d5,1;c[Min 21

d.ccu 211 d.ccc5,0c5,0u 43211 d.3ccc5,1c5,1u 43211

]d5,1;c5,0[Mind.u 1*1

]d5,1;c5,0[Min 2

2143*1 c5,0c5,0ccd.u

]d5,1;c5,0[Min]d5,1;c5,0[Min 21 4321

*1 ccc5,0c5,0d.3u

]d5,1;c5,0[Min]d5,1;c5,0[Min 21

5,0c5,0c5,0u

r 21outout

5,0ccccu

r 4321outout

5,1ccc5,1c5,1u

r 4321outout

= 1,5 d.3cc)c5,0c5,0cc(35,0

5,1;d.2cc5,0c5,0

4,1;d.2cc5,0c5,0

4,1Max21

2143

1

24

2

13

si d.cc 23 ou si d.cc 14

ou si d.cc5,0c5,0c 4213 = 1,15

Si 13 c5,0c et si 24 c5,0c = 1,275 Interpolation entre ces valeurs

Voir les limites d'utilisation des valeurs forfaitaires de en 2) ci-dessus, sinon, voir en 11 ci-dessous..

Tab. 2 – Poteau d'angle [1] et [3]


b – Dimensionnement et ferraillage La longueur du contour de contrôle uout est issue de la même formule que pour un poteau intérieur :

c,Rd

Edout V.d

V.u

Le rayon du contour de contrôle rout est donné dans Tab.2 Les calculs sont identiques à ceux d'un poteau intérieur en prenant les valeurs données dans le tableau Tab. 2.

<= 2d

contour uout

<= 1,5d

<= 1,5d

c3 c1/2

c4 <= 1,5d

<= 1,5d

c2/2

<= 2d

contour uout

<= 1,5d

<= 1,5d

c3 c1/2

c4 <= 1,5d

<= 1,5d

c2/2

0,5 c2

Poteau carré (ou presque) Poteau allongé – même principe

Fig. 11 – Schémas de ferraillage des poteaux d'angle

10 – Ouvertures dans la dalle Pour les ouvertures situées à moins de 6d du nu du poteau, on neutralise un secteur défini sur la Fig. 12

by

bz

2d 2dc1

c2

2d

2d

+

<= 6d

L2>=L1

L1

trém

ie

by

bz

2d 2dc1

c2

2d

2d

+

<= 6d

L2<L1

L1

trémie

(L1.L

2)0,5

A B

Fig. 12 – Ouverture et neutralisation du contour de contrôle u1 Dans le cas où L1 est supérieur à L2, la hauteur de trémie à prendre en compte est > L2 (Fig. 12B). Il en est de même pour les contours u0 et uout. 11 – Calcul du coefficient de majoration de l'effort de poinçonnement VEd

L'annexe I-1 de l'Eurocode 2 propose quatre méthodes de calcul des planchers-dalles dont :

a) la méthode du portique équivalent,


b) la méthode du réseau de poutres. Dans le cas a) les moments d'encastrement la dalle dans les poteaux sont connus et peuvent être utilisés directement dans les formules de l'EC2 permettant de calculer . Dans le cas b), les moments d'encastrement de la dalle dans les poteaux ne sont pas pris en compte et sont donc non connus. 11-1 - Calcul des rotations des nœuds poteaux-dalle

On suppose que les poteaux supérieurs et inférieurs sont articulés à une certaine hauteur : en extrémité ou à mi-hauteur ou à une position intermédiaire à choisir par le projeteur. On obtient les valeurs maximales des efforts de poinçonnement en un nœud en chargeant les deux travées adjacentes du nœud (appui de la dalle). On ne commet pas une grande erreur en prenant la combinaison des chargements de toutes les travées avec p = 1,35 g + 1,5 q.4 Par la méthode des rotations, pour n appuis, on a un système de n équations à n inconnues qui sont les n rotations sur appuis i.[8]

L1 L2

A C

articulation

B

D

E

ha

hb

Fig. 13 - Calcul des rotations

12L.p

12L.p.

LI.E45,0.

LI.E45,0.

hI.E3

hI.E3

LI.E4

LI.E4 2

11222

C2

B1

Ab

b

a

a

21

Les moments d'encastrement des poteaux dans la dalle sont donnés par : b

b

a

aEd h

IhI.i.E3M

Connaissant les moments d'encastrement des poteaux dans la dalle on en déduit la valeur du coefficient multiplicateur de la charge (voir en 11-2C ci-dessous)

ha

hb

L1

1

L2 L3 L4 L5

2 3 4 5 6

articulations

Fig. 14 - Coupe verticale de la dalle avec ses poteaux supérieurs et inférieurs. 11-2 – Détermination de L'Eurocode 2 propose trois méthodes de détermination des coefficients .

a) Des valeurs forfaitaires utilisables que dans le cas où la dalle ne participe pas au contreventement

de la structure et où les longueurs de deux travées adjacentes diffèrent pas plus de 20 % : = 1,15 pour les poteaux intérieurs, = 1,4 pour les poteaux de rive et = 1,5 pour les poteaux

d'angle. 4 En toute rigueur, il faudrait étudier les cas de charges : - travées impaires chargées, - travées paires chargées - couples de deux travées consécutives chargées


poteau d'angle : = 1,5

poteau de rive : = 1,4

poteau intérieur : = 1,15

Fig.15 – Valeurs forfaitaires pour

b) Des formules simplifiées : les expressions 6.43 pour les poteaux intérieurs, 6.44 pour les poteaux de rive et 6.46 pour les poteaux d'angle. Voir Tableau 3 ci-après.

c) une formule générale 6.39 qui ne prend en compte le moment que dans une direction.

c1

2d

c2 2d

Fig.16 – Répartition des contraintes de cisaillement dues à un moment non équilibré sur poteau intérieur

Nous proposons de généraliser l'expression 6.39 au cas de moments dans les deux directions par combinaison vectorielle des moments, à l'instar de l'expression 6.43 qui prend en compte les excentricités (e = MEd/VEd) dans les deux directions.

1

1

Ed

Ed

Wu.

VM.k1 (6.39)

à remplacer par :

2

z,1

1

Ed

z,Edz

2

y,1

1

Ed

y,Edy W

u.

VM

.kWu

.V

M.k1 (6.39bis)

Le paramètre W1 pour les différents cas de figure est donné dans l'annexe B. Voir feuille de calcul Excel N° 130


Tableau 3 – Formules approchées (à l'exception de 6.39) de calcul de

Poteau intérieur

c1

c2y

z

Éq. 6.39

1

1z W

u.e.k1

avec Ed

y,Edz V

Me

d.4c2c2u 211 Pour W1, voir Annexe B

c1/c2 ≤ 0,5 1 2 ≥ 3

k 0,45 0,6 0,7 0,8

c1

c2y

z

Éq. 6.43

2

y

z2

z

y

be

be

8,11

ey résulte d'un moment autour de l'axe z ez résulte d'un moment autour de l'axe y

Poteau de rive

c1

c2y

z

Éq. 6.44

*1

1

uu

d.2cc2u 211

d.2cd3;cMinu 21*1

c1

c2y

z

Éq. 6.44

z1

1*1

1 e.Wu

.kuu

d.2cc2u 211

d.2cd3;cMinu 21*1

c1/(2c2) ≤ 0,5 1 2 ≥ 3 k 0,45 0,6 0,7 0,8

Poteau d'angle

c1

c2x

y

Éq. 6.46

*1

1

uu

d.ccu 211

d.d3;cMind3;cMinu 21*1


12 – Poteaux circulaires

La méthode et les formule de calcul sont les mêmes que pour un poteau rectangulaire à l'exception des dispositions suivantes. c diamètre du poteau circulaire d hauteur utile c3 et c4 débords du bord de dalle par rapport au centre du

poteau

Fig. 17 – Dimensions et position d'un poteau circulaire c3 c/2

c4

Fig. 17 – Poteau circulaire


Tableau 4 – Contours des poteaux circulaires

Poteau Contour du poteau

Contour de contrôle de référence Contour de chapiteau

Contour *1u uout W1

intérieur

c.u0 )d4c.(u1 Hcont Lc5,0d2r

c5,0)hd(2r Hint,cont

- )d4c.(uout d.c8d16cr4W 222

1

de rive Nord

ou Sud 40 c2

2c.u

)d4c.(5,0u1

4c2;)d4c.(5,0Min 2c.u*

1

4out c2d.2

2c.u Voir annexe B

de rive Ouest ou Est

30 c22c.u

)d4c.(5,0u1

3c2;)d4c.(5,0Min 2c.u*

1

3out c2d.2

2c.u Voir annexe B

d'angle 430 c2c24c.

u

)d4c.(25,0u1

3c2;)d4c.(5,0Min

4c2;)d4c.(5,0Min

4c.

u *1

43out c2c2d.4c.u

Voir annexe B

Formule approchée :d4c

e.6,01


13 - Exemple de poteau d'angle avec trémie Données c1 = c2 = 0,30 m c3 = c4 = 0,50 m d = 0,284 m VEd = 0,34 MN fck = 30 MPa fyk = 500 MPa

C = 1,5 et S = 1,15 l = 0,4 % d'armatures longitudinales dans chaque direction

Présence d'une trémie

0,5

0,3

0,30,5

1,1 0,3

0,3

1,1

u1

Fig. 18 – Exemple de poteau d'angle

Dans notre exemple, l'angle "d'ombre" de la trémie peut être calculé par : 2,0275,02/23,0

2tan

D'où = 22,6° = 0,395 rd

Longueur du contour du poteau situé dans le cône d'ombre : 10,024

tan123,02 m

Contour u0 au nu du poteau : 50,010,0]d3;cc[Minu 210 m Contour de contrôle de référence à 2d : estimation de la zone d'ombre d'après dessin : 0,34 m 852,134,0d.ccc5,0c5,0u 43211 m

L'EC2 donne une formule de calcul approchée du coefficient de majoration : *1

1

uu pour le cas de

poteau d'angle sans débord du poteau, mais pas pour le cas de débord comme dans cet exemple. 092,110,0822,015,015,010,0d.]c5,0;d5,1[Min]c5,0;d5,1[Minu 21

*1 m

Le rapport *1

1

uu vaut 1,70 > 1,5, valeur forfaitaire pour un poteau d'angle, valeur que nous retiendrons.

D'où .VEd = 1,5 × 0,34 = 0,51 MN

Contraintes limites

22,45,1

302503016,04,0f.4,0v cdmax,Rd MPa

839,1284,0

2,01d2,01k < 2

5;0ck

5,13/1cklc,Rdc,Rd f.k035,0;)f.100k.CMaxv

505,030839,1035,0;30004,0100839,15,118,0Maxv 5,05,13/1

c,Rd MPa

Vérifications des contraintes

22,459,3284,050,0

51,0d.u

V.v0

Ed0 MPa OK (les mêmes valeurs que dans l'exemple numérique

précédent)

504,097,0284,0852,1

51,0d.u

V.v1

Ed1 MPa : la dalle doit être armée ou avoir un chapiteau.

Contrainte de calcul de l'acier : 321435;)284,01(250Minf;)d1(250Minf ydef,ywd MPa


Armatures :

74,223215,1

10852,1)505,075,097,0(f5,1

u).v75,0v(s

A 4

ef,ywd

1c,Rd1

r

sw cm2/m

Sur un périmètre au-delà duquel les armatures de poinçonnement ne sont plus nécessaires :

556,3284,0505,0

51,0d.v

V.uc;Rd

Edout m

qui correspond à un développé selon un quart de cercle + deux segments droits – la zone d'ombre

556,3)395,0571,1(r30,1r.2

ccu outout43out m d'où

173,2176,1

00,1556,3395,0571,1

ccur 43outout m

Rayon du dernier cours d'armatures : r = rout – 1,5d = 1,747 m

Nombre d'espacement des cours d'armatures : 8,6213,0

15,0568,0173,2d75,0

2/cd2rn 1out

soit 8 cours et d75,0d73,0208,07

15,0568,0173,21n

2/cd2rs 1out

r OK

Nombre d'espaces pour chacun des deux secteurs du quart de cercle :

8,1284,02

747,1)395,0571,1(5,0d2

r.2

5,0

arrondi à 2 espaces, soit 3 rayons Nombre de rayons : nr = (2 + 2) × 2 = 8 Nombre d'armatures : 8 × 8 = 64 On vérifie bien que l'on a un espacement inférieur à 1,5d pour les deux cours d'armatures situés dans le périmètre de contrôle u1. Nature de l'armature

591,08

208,074,22ns.

sAA r

r

sw0sw cm2

soit 64 étriers HA 8 = 1,01 cm2.

u1

rout

uout

1,5d1,5d

0,5d

Fig. 19 – Ferraillage d'un poteau d'angle avec trémie

Remarque. On a pris un coefficient forfaitaire de 1,5. La dalle est constituée de 4 travées de 6,50 m dans chaque direction, sans poteaux supérieurs, une charge permanente de 11,6 kN/m2 et une charge d'exploitation q = 4 kN/m2. Un calcul suivant l'équation 6.39 généralisée (programme N° 130) donne un coefficient en angle de 1,426, au lieu de 1,5, soit un rapport 0,951. On peut ainsi réduire la section d'armatures nécessaire.

90,203215,1

10852,1)505,075,0951,0*97,0(f5,1

u).v75,0v(s

A 4

ef,ywd

1c,Rd1

r

sw cm2/m

566,0283,02543,08

208,090,20ns

.s

AA r

r

sw0sw cm2 avec des étriers HA6 au lieu d'étriers

HA8. Économie d'acier : 1 – 0,566 / 1,01 = 44 %


ANNEXE A

Coefficient de majoration des réactions d’appui des planchers-dalles sur les appuis voisins des appuis de rive

Les efforts de poinçonnement correspondent aux réactions d'appui de la dalle sur les poteaux. Comme la dalle est calculée en continuité, il convient de tenir compte de la réaction hyperstatique de continuité. Pour les poutres, par simplification, il est admis de prendre la charge isostatique majorée forfaitairement par un coefficient. A l'article § 5.1.3 (1)P NOTE, les Recommandations professionnelles ont repris les valeurs du BAEL : coefficient 1,10 pour les appuis voisins de rive des dalles de plus de deux travées et 1,15 pour les poutres de deux travées. Pour un plancher à poutres croisées, le poteau voisin de rive dans les deux directions ne reçoit pas 1,1 × 1,1 = 1,21 fois la charge isostatique, mais il reprend les charges apportées par la poutre dans une direction avec un coefficient 1,10 et les charges apportées dans l'autre direction avec un coefficient 1,10, soit un coefficient 1,10 pour la totalité des charges. Pour un appui voisin de rive dans une seule direction, on appliquera une majoration sur les charges dans une direction et pas dans l'autre. Le coefficient final sera inférieur à 1,10 (1,05 dans le cas d'une maille carrée régulière). Soit le coefficient de continuité retenu pour l’appui voisin de l’appui de rive d’une poutre continue, par exemple : = 1,10 pour plus de deux travées. Soit le coefficient de majoration de l’art. 6.4.3 (6) de l’Eurocode 2-1-1 pour tenir compte de l’excentrement des charges (moment transmis par la poutre au poteau, même s’il n’est pas pris en compte dans les calculs). La maille est de longueur L et de largeur . En A, appuis voisins d’appuis de rive dans les deux directions : .L.p..VEd En B, appui voisin de l’appui de rive dans une seule direction avec L (sens N-S), la zone verte est reprise par la grande portée, la zone rouge par la petite.

2

.L2

..p.V22

Ed

En C, appui voisin de l’appui de rive dans une seule direction avec L (sens E-W) :

2

.L.2

.p.V22

Ed

Ailleurs : .L.p.VEd p = charge répartie uniforme sur la surface .L .

Fig. A-1 – Attribution des charges selon les lignes d’appui

Soit le coefficient de continuité retenu pour l’appui voisin de rive d’une poutre continue (Recommandations Professionnelles EC2, 1,1 par exemple) et le coefficient de majoration de l’art. 6.4.3 (6) de l’EC2-1-1 En A, appuis voisins d’appuis de rive dans les deux directions : .L..VEd

En B, sens N-S : 2

.L2

.V22

Ed

En C, sens E-W : 2

.L.2

V22

Ed

Ailleurs : .L.VEd

Long

LargA B

C

S

N


ANNEXE B – CALCUL DE W1

D'après § 6.4.3 (3) de l'Eurocode 2 : 1u

1 ds.eW

ds longueur élémentaire du contour de contrôle de référence u1 e distance de ds à l'axe autour duquel le moment MEd agit 1 – Poteau rectangulaire intérieur Moment autour de l'axe Oz De A à B : d2c5,0OAe 1 et 2c5,0s

221221

1 c.d4c.cd.c4c.c

4W

De B à C : cos.d22ce 1 et d.d2ds

d.d2.cos.d2c5,04W2/

011

21

2/0

211 d16c.d.2sin.d4.c4W

De C à D : 2

cdx.x4W

211c5,0

01

D'où 12

221

21

1 c.d.2d16c.d4c.c2

cW

On retrouve bien l'expression (6.41) de l'EC2.

A

B

MCD

z

yO

MEd

0,5c1 2d

2d

0,5c2

Fig. B.1 – Poteau intérieur

Moment autour de l'axe Oy Par symétrie par rapport à la 1re bissectrice, on permute c1 et c2.

22

121

22

1 c.d.2d16c.d4c.c2

cW

A

B

MCD

z

yOMEd

0,5c1 2d

2d

0,5c2

Fig. B.1bis – Poteau intérieur


2 – Poteau rectangulaire de rive Ouest avec débord de la dalle Moment autour de l'axe Oz

De A à B : 221

1 c.d22c.c

W (la moitié du cas précédent)

De B à C : 211 d8c.d.W (d°)

De C à D : 4

cW

21

1 (d°)

De D à E : 231 cW

D'où 12

221

212

31 c.d.d8c.d22c.c

4c

cW

Pour un bord de dalle au ras du poteau : c3 = 0,5 c1, d'où :

12

221

21

1 c.d.d8c.d22c.c

2c

W

A

B

MCD

z

yO

MEd

0,5c1 2d

2d

0,5c2

E

c3

Fig. B.2 – Poteau de rive

Moment autour de l'axe Oy

De A à B : 4cdz.z2W

22

2c5,0

01

De B à C : 221 d8c.d.W (par permutation de c1 et c2)

De C à E : e = c2/2 + 2d et s = 0,5 c1 +c3

313221

312

1 c.d4c.d2c.c2c.c

)cc5,0.(d22

c2W

D'où 22

3121

32

22

1 c.d.d8c.d4c.d22c.c

c.c4

cW

Pour un bord de dalle au ras du poteau : c3 = 0,5 c1, d'où :

22

121

22

1 c.d.d8c.d4c.c4

cW

On retrouve bien l'expression (6.45) de l'EC2.

A

B

MCD

z

yOMEd

0,5c1 2d

2d

0,5c2

E

c3

B.2bis – Poteau de rive


3 – Poteau rectangulaire d'angle avec débord de dalle des deux côtés Moment autour de l'axe Oz De A à B :

221

44112

41 c.d4c.cc.d2

2c.cd2

2c.

2ccW

De B à C : 211 d4

2c.d.

W

De C à D : 8

cW

21

1

De D à E : 2

cW

23

1

D'où

2c.d.

d4c.d2c.d4c.c

2c.c

8c

2c

W 1242

214121

23

1

A

B

CD

z

yO

MEd

0,5c1 2d

c4

E

c3

2d

0,5c2

Fig. B.3 – Poteau de rive

Pour un bord de dalle au ras du poteau : c3 = 0,5 c1 et c4 = 0,5c2 d'où :

2c.d.

d4c.d22c.c

4c

W 122

2121

1

Moment autour de l'axe Oy Par permutation du cas précédent de c1 avec c2 et c3 avec c4 D'où

2c.d.

d4c.d2c.d4c.c

2c.c

8c

2c

W 2231

213222

24

1

Pour un bord de dalle au ras du poteau : c3 = 0,5 c1 et c4 = 0,5c2 d'où :

2c.d.

d4c.d22c.c

4c

W 221

2122

1

A

B

C

D

z

yOMEd

0,5c1 2d

c4

E

c3

2d

0,5c2

Fig. B.3bis – Poteau de rive


4– Poteau circulaire intérieur Moment autour de n'importe quel axe

d.rds avec d2c5,0r et cos.re

2/

0

2/

0

21 d.cos.r4ds.e4W

d.c8d16cr4W 2221

M

y

z

0,5c 2d

Fig. B.4 – Poteau intérieur

5– Poteau circulaire de rive avec débord de dalle Pour un moment autour de l'axe Oz

De A à B : c.d4d82

cr2W 22

21

De B à C : 23

23

1 c2c.2W

D'où c.d4d82

ccW 22

231

Pour un moment autour de l'axe Oy

De A à B : c.d4d82

cr2W 22

21

De B à C : 3331 c.d4c.cc.d22c2W

D'où 233

2

1 d8c.d4c.d4c.c2

cW

y

z

0,5c 2d

A

BC

c3

0,5c

2d

Fig. B.5 – Poteau de rive avec débord

6– Poteau circulaire d'angle avec débord de dalle sur les deux côtés Pour un moment autour de l'axe Oz

De A à B : 44

41 c.d22c.cd2

2c.cW

De B à C : c.d2d44

crW 22

21

De C à D : 2

cW23

1

D'où 424

23

2

1 c.d2c.d2d42c.c

2c

2cW

Pour un moment autour de l'axe Oy On permute c3 et c4.

D'où 323

24

2

1 c.d2c.d2d42c.c

2c

2cW

y

z

0,5c 2dc3

c4

2d

A

B

D C

Fig. B.6 – Poteau d'angle avec débord


Bibliographie [1] Norme NF EN 1992-1-1 – octobre 2005 – Eurocode 2 – Calcul des structures en béton – Partie 1-1 – Règles générales et règles pour le bâtiment. Et son annexe nationale NF EN 1992-1-1/NA – mars 2007. [2] Recommandations professionnelles pour l'application de la norme NF EN 1992-1-1 et de son annexe nationale – Eurocode 2, partie 1-1, relatives au calcul des structures en béton – mars 2007 – Éditions SEBTP – 32 p. [3] La précontrainte dans le bâtiment – Les nouvelles règles de calcul – février 2001 – Éditions SEBTP – 72 p. Disponible sur www.egfbtp.com, rubrique documentation technique et économique, Eurocode 2 [4] Design Manual to EC2 – LinkstudPSR – BS EN 1992-1-1: 2004, version 3, march 2011, disponible par "linkstudPSR manual EC2" sur Google – 39 p. [5] Le Projet de béton armé – H. Thonier – Éditions SEBTP – 2011 – 263 p. [6] L'Eurocode 2 pratique – H. Thonier – Presses des ponts – 2009 – 581 p., disponible par "précontrainte dans le bâtiment" sur Google – 39 p. [7] Feuilles de calcul Excel - www.egfbtp.com, rubrique documentation technique et économique, Eurocode 2 [8] Résistance des matériaux – Cours de l'École nationale des ponts et chaussées – Tome 2 - Jean Courbon – Dunod – 1971 – 862 p.



Poinçonnement des dalles sur poteaux rectangulaires

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