PNS - Permbledhje

Perpunimi Numerik i Sinjaleve

Teori & Ushtrime Faqe 1

Sinjale Diskrete

1. Prpunimi digjital i sinjaleve merret me paraqitjen e sinjaleve prmes vargjeve t numrave apo t simboleve dhe me prpunimin e tyre.

2. Qllimi i prpunimit t sinjalit mund t jet vlersimi i parametrave t rndsishm t tij, apo transformimi i tij nga nj domen n t tjetrin me

qllim t veimit m t leht t informacionit q prcjell ai.

Ndarja e Sinjaleve:

a) Sinjale te vazhduara b) Sinjale Diskrete

o Sinjale Analog - variabli i varur dhe i pavarur jane te vijueshem o Sinjale Diskrete variabli i varur eshte i vijueshem dhe variabli i

pavarur eshte diskret.

o Sinjale te Kuantizuar variabli i pavarur i vijueshem dhe variabli i pavarur eshte diskret.

o Sinjale Numerike variabli i varur dhe i pavarur eshte diskret.

Sinjali diskret eshte nje funksion i nje variabli diskret qe e shenojme :

x(tk) tk variabli diskret i percaktuar nga indeksi k.

Vlerat e tk jane te baraslarguara dhe:

tk = kT T numer real cfaredo k- numer i plote

Pra shenohet x(kT)

Sinjalet elementare diskrete



Nje sinjal cfaredo mund te shprehet si shuma e peshuar e impulseve njesi.

x(k) = ( ) ( )

Sinjalet, Energjia, Zgjatja dhe Periodiciteti. Marredhenia mes tyre.

Sinjali diskret quhet periodik kur plotesohet kushti: X(k) = x(k+N)

ku: N perioda e sinjalit. Pra sinjali eshte nje sinjal me periode.

Sinjali quhet me zgjatje te fundme kur x(k) eshte i percaktuar per M k N. ku: M dhe N, jane numra te fundem.

Energjia e nje sinjali percaktohet nga shprehja ( )

Ku vlera absolute paraqet modulin e x(k).

Pra sinjali quhet me energji te fundme kur: ( )

Sistemet Diskrete

Sistemi diskret eshte nje algoritem per njehsim, qe kryen veprime

matematikore, sipas nje rregulli te percaktuar, ne sinjalin hyres x(k) te

quajtuar sinjal hyres, per te perfituar nje sinjal tjeter diskret qe quhet

sinjal dales y(k), ose pergjigje e sistemit.

Sistemi diskret matematikisht paraqitet si nje operator qe sinjalin hyres x(k) e pasqyron ne sinjalin dales y(k).



Vetite e sistemit diskret

a) Kujtesa/Memoria e sistemit Sistemi diskret nuk ka kujtese (eshte pa kujtese) nese pergjigja e

tij y(k) varet vetem nga vlera aktuale e sinjalit hyres e jo edhe nga

vlerat e meparshme apo te mevonshme te x(k). Ne te kundert

sistemi eshte ka kujtese (eshte me kujtese).

Shembull:

y(k) = 2x(k-3) sistemi eshte me kujtese

y(k) = 3x(k) sistemi eshte pa kujtese

y(k) = 2x(k-4) + 5x(k) sistemi eshte me kujtese

b) Lineariteti i sistemit Sistemi eshte linear kur pergjigja e shumes eshte e barabarte me

shumen e pergjigjeve.

[ax1(k) + bx2(k)] = ax1(k) + ax2(k)

c) Invarianca e sistemit Sistemi eshte invariant nese per x(k) = y(k), atehere ndodh qe x(k-k0) = y(k-k0). Pra: y(k) = x(k 5) sistemi eshte invariant

y(k) = kx(k+2) sistemi eshte variant

d) Shkakesore/Joshkakesore Sistemi eshte shkakesore, paraqitja e te cilit (dalja y(k)) nuk ndodh

perpara ngacmimit (hyrjes x(k)), dmth pasoja perftohet pas

shkakut. Pra:

Ne qofte se x(k) = 0 per k < l

atehere y(k) = 0 per k < l

e) Qendrueshmeria e sistemit Sistemi eshte i qendrueshem kur per:

x(k) < N per cdo k

kemi ne dalje y(k) < M per cdo k

ku N dhe M jane numra te fundem.



Pergjigja impulsive.

a) Pergjigja impulsive e sistemeve linear dhe invariant Kur ne hyrje te sistemit (hyrja eshte arbitrare) vepron impulsi

njesi (k), atehere ne dalje te sistemit fitohet pergjigja impulsive g(k).

g(k) = { (k) } Le te kete sistemi vetem vetine e linearitetit dhe zberthejme sinjalin hyres permes impulseve njesi, si:

Pergjigja impulsive e sistemit linear x(k) do te jete:

y(k) = {x(k)} = { ( ) ( l)} = ( )

( l)}

y(k) = ( ) ( l)

Pra:

Operatori e kapercen shumen sepse eshte aditiv dhe i kapercen termat x(l) (sepse nuk varet nga koha k), sepse eshte linear.

g(k- l) paraqet pergjigjen e sistemit ne impulsin e vonuar per l

pozita.

Pra:

Nese sistemi, pervec vetise se linearitetit, ka edhe ate te

invariances, atehere vlen:

{ (k)} = g(k), atehere sjell qe { (k- l)} = g(k- l) Pra per nje sistem linear invariant vlen:

y(k) = ( ) ( l) = x(k) * g(k) thurja e x(k) dhe g(k)

Perfundime:

-Sistemi linear dhe invariant eshte teresisht i percaktuar me

pergjigjen e vet impulsive g(k). - x(k) * g(k) kjo shprehje quhet konvolucion

- * simboli matematikor i thurjes

b) Pergjigja impulsive e sistemeve lineare, invariant dhe shkakesore.

Ne nje sistem linear, invariant dhe shkakesor kemi:

g(k) = 0 per k < 0

E provojme:



Le te fiksohet nje cast kohor k0 dhe le te percaktohet dalja me

thurje:

y(k0) = ( ) ( )

y(k0) = ( ) ( ) + ( ) (

)

Sistemi eshte shkakesor nese dalja ne k = k0 nuk varet nga hyrja

ne castet e ardhshme k0 +1, k0 +2,......

Kusht per kete eshte:

g(k) = 0 per k < 0

c) Pergjigja impulsive e sistemeve linear, invariant dhe te qendrueshem.

Nje sistem invariant eshte i qendrueshem ne qofte se:

( )

Ekuacionet e diferences Nje forme tjeter e shprehjes se marrdhenies hyrje-dalje te nje

sistemi eshte dhe ekuacioni i diferences.

( ) ( ) ( ) ( )

Ku:

N dhe M numra te plote pozitiv an(k) dhe bm(k) koeficente qe percaktojne sjelljen e sistemit per nje k te dhene.

N quhet rendi i ekuacionit.

Shembull ushtrimi Percakto permes thurjes sinjalin ne dalje te sistemit, nese x(k)

dhe g(k) duken si ne figure.

Ne fillim gjejme g(l) duke krijuar grafikun. Pra g(-l) e cila

pasqyrohet sipas boshtit te oy.



Sqarim: g(-l -3) dhe g(-l -2) zhvendosen perkatesisht 3 dhe 2 njesi

majtas. Ndersa pika e perbashket eshte y(k). Ne grafik shohim se

x(k) dhe x(l) kane te njejtin grafik dhe ne formule behet

zevendesim i x(k) me x(l) sepse jane variabla diskrete qe te dy.

Keshtu perdorim ekuacionin.

Sqarim: g(-l -1), g(-l -0) dhe g(-l +1) zhvendosen perkatesisht 1 njesi

majtas, 0 njesi (qendron ne vend) dhe 1 njesi djathtas. Ndersa



pika e perbashket eshte y(k). Ne grafik shohim se x(k) dhe x(l) kane

te njejtin grafik dhe ne formule behet zevendesim i x(k) me x(l)

sepse jane variabla diskrete qe te dy. Keshtu perdorim

ekuacionin.

Sqarim: g(-l +2), g(-l +3), g(-l +4) dhe g(-l +5) zhvendosen perkatesisht 2

njesi, 3 njesi, 4 njesi dhe 5 njesi djathtas. Ndersa pika e

perbashket eshte y(k). Ne grafik shohim se x(k) dhe x(l) kane te

njejtin grafik dhe ne formule behet zevendesim i x(k) me x(l) sepse

jane variabla diskrete qe te dy. Keshtu perdorim ekuacionin.

Si perfundim,

Per cdo k, gjetem piken e perbashket. Pra kemi nje varg (k, y(k)) i

formuar nga pikat e perbashketa te g(k) dhe x(k).



Transformimi Z Nderkohe qe transformimi Furie perdoret per sistemet e

vazhdueshem ne kohe, transformimi Z perdoret per sistemet

diskrete ne kohe.

Per te pasur transformim Furie, sinjali x(k) duhet te plotesoje

kushtin:

( )

Shume sinjale te rendesishme nuk e plotesojne kete kusht. Por

nese ato nuk kane transformim Furie, ato mund te kene

transformim Z.

Transformimi Z mundeson qe shume veprime ne sinjale te

kryhen me operacione te thejshta algjebrike.

Perkufizim:

Transformimi Z i sinjalit x(k) do te shenohet me X(z) dhe do te

percaktohet me:

X(z) = ( ) , z eshte numer i plote

Zona e konvergjences (Transformimi Z)

Per cdo sekuence te dhene, nje grup vlerash per Z per te cilat

transformimi Z konvergjon, quhet zona e konvergjences.

Pra:

X(z) eshte transformimi Z i x(k), i cili zakonisht eshte i definuar

(d.m.th ka vlera te fundme) ne nje unaze ne rrafshin kompleks z,

e cila quhet zone e konvergjences.



o Vetite e zones se konvergjences.

- Zona e konvergjences eshte nje unaze ose nje disk ne

planin z me qender ne origjine.

- Transformimi Furie i x(k) konvergjon atehere dhe vetem

atehere kur zona e konvergjences e transformimit z eshte

rrethi njesi. z = 1.

- Pozitat e poleve te X(z) percaktojne zonen e

konvergjences, e cila kufizohet nga polet, por nuk

permban asnje pol.

- Nese x(k) eshte nje sekuence me zgjatje te fundme, per

shembull nje sekuence qe eshte zero pervec ne nje interval

te fundem - N2 > -, zona e konvergjences zgjatet

brenda drejt polit me te vogel deri tek z = 0.

- Zona e konvergjences duhet te jete nje zone e

nderlidhur/kompakte, pra nuk mund te perbehet nga dy

apo me shume unaza te ndara.(rreth me qender ne

origjine).

Shembull Te percaktohen te gjitha zonat e mundshme te

kovergjences per:

Do te kemi keto grafike te zonave te mundshme te

konvergjences:



Shohim se shenjat negative (perkatesisht per -2.5 dhe -1.5

hiqen sepse po flasim per vlere absolute).

Shembull

Kemi dy sinjale x1(k) = anu(k) dhe x2(k) = -a

ku(-k-1). Gjeni

transformimet Z per secilin nga ekuacinonet dhe ndertoni

zonen e konvergjences per X(z) perkatese.

Pra gjejme transformimin Z per ekuacionin e pare:

X1(z) = ( ) ek.1

X1(z) = ek.2

X1(z) = (

) ) ek.3

X1(z) =

=

ek.4

Sqarim: Ne ekuacionin 2, k =- kthehet ne k =0, sepse kemi u(k) = u(k+0). Dhe zevendesimi behet tek skaji

poshte i shumatores sepse eshte ekuacion me sekuanca te

djathta.

Ku z > a, sepse eshte ekuacion i djathte. Ose i thene ndryshe me sekuenca te djathta. Sepse sistemi eshte sistem

shkakesore sepse ( ) , per x



Dallimi behet:

- I djathte, eshte kur eshte vlera e k eshte pozitive

(fillon me shenjen +). Ne kete rast konvergjon per z > a.

- I majte, eshte kur vlera e keshte negative (fillon me

shenjen -). Ne kete rast konvergjon per z < a. Keto dallime (sekuenca te djathta/te majta) i bejme ne

ekuacionin e dhene x(k). Nese ekuacioni x(k) nuk

jepet, atehere flasim pper mundesine e zonave te

konvergjences (kjo ndodh kur kemi transformimin Z te

sinjalit)

Gjithashtu nese kemi nje zgjatje te pafundme

(shumatore me skaje infinit) ne kete rast:

- Sistemi shkakesor, do te thote sekuenca te djathta. Ne kete rast eshte shkakesore nese x(k)=0, per cdo x0.

E ndertojme:

Gjejme transformimin Z per ekuacionin e dyte.

X2(z) = ( ) ek.1

X2(z) = ( ) ek.2

X2(z) =1 ( ) ek.3

X2(z) =1 -

ek.4

X2(z) =

ek.5

X2(z) =( )( )

( )( ) ek.6

X2(z) =

ek.7



Ne kete rast z < a, sepse kemi ekuciaon me sekuenca te majta, pra eshte ekuacion me k negative. Sistemi eshte

jo shkakesor, sepse ( ) , per x > 0.

Transformimi Furie Transformimi Furie i nje sinjali diskret jepet nga shprehja:

X(f) = ( )

ku:

x(f) eshte ne pergjithesi funksion kompleks i variablit real te

vijueshem f.

Shuma e mesiperme, konvergjon kur ( ) < . Bashkesia e sinjaleve qe kenaqin konvergjencen e mesiperme

ka energji te fundme.

( ) < ( ) <

Ku termi ne te majte te barazimit paraqet energjine e sinjalit.

E anasjellta nuk eshte gjithmone e vertete.

Ne do te pranojme qe transformimi Furie (TF) ekziston

per te gjitha sinjalet me energji te fundme.

o Vetite e transformimit Furie Vetia e periodicitetit

X(f) percakton nje funksion periodik me periode 1.

E vertetojme:

X(f+1) = ( ) ( )

X(f+1) = ( )

Meqe = 1, atehere:

X(f+1) = ( )

Pra: X(f+1) = X(f)



Ne pergjithesi X(f) eshte nje funksion kompleks, i

cili mund te shkruhet si me poshte:

X(f) = ReX(f) + ImX(f)

X(f) = X(f) ( )

Ne kete rast:

X(f) spektri i amplitudes se sinjalit

argX(f) spektri i fazes se sinjalit

Ne kete rast, nese variabli k paraqet kohe, atehere f

paraqet frekuence. Frekuenca me e larte per te cilen

X(f)= 0, percakton brezin e sinjalit.

o Vetia e konjugimit

o Teorema e voneses Pra do tregojme qe vonesa e paster nuk ndryshon spektrin

e amplitudes se sinjalit, por fut nje zhvendosje faze shtese

-2fk. Pra duke pasur: y(k) = x(k-l) , kemi:

Y(f) = ( ) ( )

= ( ) ( )

Y(f) = ( ) ( )

Y(f) = ( ) ( )

Y(f) = ( ) ( )

Y(f) = X(f)

Transformimi i kundert Furie Transformimi i kudnet Furie (TKF) jepet nga relacioni:

( ) ( )

df



Pergjigja ne frekuence Y(f) = G(f) X(f) G(f) quhet pergjigja ne frekuence e sistemit me pergjigje

impulsive g(k).

Lidhja midis G(f) dhe g(k) :

G(f) = ( )

Filtrat

Filtra quhen ato sisteme qe kane si qellim paresor modifikimin e spektrit te

sinjalit te hyrjes.

Ato ndahen ne:

Filter i frekuencave te uleta, i cili lejon frekuenca te uleta te

sinjalit dhe pengon (shtyp) frekuencat e larta, perkatesisht ne

brezat e quajtur brezi i lejimit dhe brezi i pengimit.

FFU

Filter i frekuencave te larta, i cili lejon frekuencat e larta te sinjalit dhe pengon frekeuncat e uleta.

FFL

Filter i brezit, i cili lejon frekuencat e sinjalit ne nje brez te dhene dhe pengon frekuencat e sinjalit jashte ketij brezi.

FB

Filter shtypes, i cili pengon frekuencat e sinjalit ne nje brez te dhene dhe lejon cdo frekuence jashte ketij brezi te dhene.

FSH



Filter ideal (i tejshkueshem), kur pengesa e frekuencave te padeshirueshme te sinjalit eshte e pafundme dhe e frekuencave te

dobishme eshte

FI

Funksioni i Auto/Vetekorrelacionit dhe Nderkorrelacionit. Ne perpunimin e sinjaleve shpesh lind nevoja e krahasimit te dy

sinjaleve. Nje mase ngjashmerie (lidhjeje) e sinjaleve

percaktohet nga funksioni i korrelimit.

Funksionin e Autokorrelacionit. Percaktohet nga shprehja:

( ) ( ) ( )

Ky eshte nje funksion cift dhe merr vleren maksimale ne

origjine, k = 0. Si funksion cift:

( ) ( )

nga ku rrjedh qe:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Perfundimisht, del se:

Rx(0) Rx(k) per cdo vlere te k.

Spektri i energjise se nje sinjali, jepet nga shprehja:

( ) ( )

Qe gjithashtu eshte dhe transformimi Furie (TF) i

funksionit te autokorrelacionit.

Pra lidhja midis spektrit te energjise dhe funksionit te

autokorrelacionit eshte qe spektri i energjise se nje

sinjali eshte transformimi furie i funksionit te

autokorrelacionit.

Funksioni i nderkorrelacionit. Funksioni i nderkorrelacionit te dy sinjaleve x(k) dhe y(k)

percaktohet nga shprehja:

( ) ( ) ( )

PNS - Permbledhje

Documents