1 9b Rotation
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Transcript
1
9b Rotation
2
Cavendish Experiment
3
Zusammenfassung
Θ=ΔΔΘ
=→Δ dt
dtt 0
limω
Winkelgeschwindigkeit
Einheit der Winkelgeschwindigkeit[rad/s]
ωr=v
ωωαdtd
tt=
ΔΔ
=→Δ 0
lim
Winkelbeschleunigung
Einheit der Winkelbeschleunigung[rad/s²]
αra =tantangential
Raaa rrr+= tan
raR ²rv² ω==
radial
Rechte Hand Regel
22
1
2
21
21 ωω IrmEK
n
iiiR =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑
=
Kinetische Energie der Rotation
TrägheitsmomentZusammenhanglineare Beschleunigung
Zusammenhanglineare Geschwindigkeit
DrehmomentKraft wird über den Hebelarm l übertragen
ατ I=∑Beschleunigung ist Summe aller Drehmomente
Θ== sinFrFlτ
Zweites Newtonsches Gesetz für die Rotation
ωIL = DrehimpulsSI Einheit [kg m²/s]
∑ ΔΔ
=tLτ
4
Steinerscher Satzparallel-axis theorem
20MrII CM +=
Betrachte Rotation um eine Achse die durch
den Massenschwerpunkt (CM) verläuft
( ) ( )[ ]( ) ( )
20
20
2
20
2000
20
20
00
2 2²²
²
MrII
dmrdmRI
dmyxdmyydmxxdmyxI
dmyyxxI
dmrI
CM +=
+++=
+++++=
−+−=
=
∫ ∫∫∫∫∫
∫∫
CM 0x0y0rr
0yy −
0xx −
dm
y
x
∫
∫
==
==
0 1
0 1
dmyM
y
dmxM
x
CM
CM
Definition des Schwerpunkts
kein Drehmoment!
Das Trägheitsmoment um eine Achse parallel zu dieser CM-Achse ist
Steinerscher Satz
Beweis
R
Neue Drehachse R
s. Script
5
Anwendung des Steinerschen Satzes
Trägheitsmoment eines Stabes der Länge L um eine Achse durch den Schwerpunkt
2
121 MLICM =
Erwartung Das Trägheitsmoment ist größer, da die Masse auf einen größeren Abstand zur Drehachse verteilt ist
22
2
2121
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
+=
LMML
MxII CM
Trägheitsmoment bei Rotation um eines der Enden des Stabes
2
22
31
123
121
MLI
MLMLI
=
+=
Steinerscher Satz
L
4-fach höheres Trägheitsmoment
x=L/2
x
6
JudoEinsatz des Drehmoments
sinn Uhrzeigerim da negativ, s²
rad-6
m² kg 15
α
α
ατ
=
=
=∑I
Ires
Annahmen
cm 301 =d cm 122 =d
7
JudoSchwarzer Gürtel
Wenn der zu Werfende den Boden verlassen hat, wirken nur noch die Kraft des Werfers F und die Gewichtskraft Fg
( )( ) FdFrFr
Fr
1sinsin
−==Θ=Θ=
⊥ττ
Drehmoment ist negativ aufgrund der Drehung im Uhrzeigersinn
Optimaler WurfDrehung erfolgt so, dass Schwerpunkt des Geworfenen
und Drehpunkt übereinstimmen.
0r0r g ==⇒= ⊥⊥ gFτ
( ) N 300m 0.3
s²rad/ 6m² kg 15
1111 =
−⋅−=−=⇒=
dIαFIαF-d
∑= ατ Ires
Drehmoment
8
JudoNovize
∑= ατ Ires2g2 drdr mgFg
Ungünstiger FallSchwerpunkt und Drehpunkt stimmen nicht überein
Dann wirken zwei Drehmomente
==⇒= ⊥⊥ τ
mgdd
dIαFIαmgdFd
1
2
12221- +−=⇒=+
m 0.11
s²m9.81kg 80
s²rad6m² kg 15
2 212 =⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅
==⇒=mgIαdFF
Kraftanstrengung verdoppelt sich!
9
Drehimpuls
analog zum linearen Impuls p=mv
ωIL = Definition des DrehimpulsesSI Einheit [kg m²/s]
Zweites Newtonsches
Gesetz∑
∑
ΔΔ
=
⇓ΔΔ
=
tL
tpF
τ
wenn Trägheitsmoment konstant
ατ I=∑ατ
ωωωτ
ωωωα
It
ItII
tL
tt
=ΔΔ
=Δ−
=ΔΔ
=
Δ−
=ΔΔ
=
∑∑ 12
12bekannt
Wenn keine Drehmomente angreifen ändert sich der Drehimpuls nicht!
Erhaltung des Drehimpulses
10
Drehimpulserhaltung
Vereinfachtes Modell einer Eislauftänzerin
% 35Füßebeiden der Masse
%12Armeder Masse %53
Rumpf und Kopf von Masse55Tänzerinder Masse
=
=
=
=
F
TA
TR
T
M
MM
MM
kgM
Punktmasse
Zylinder
Stab
cm 53=ArmR
Übungsaufgabe:Wieviel schneller dreht sich die Tänzerin, wenn sie Arme und Bein anzieht
Gewichtsaufteilung im menschlichen Körper
cm 30=RumpfD
cm 51=BeinD
cm 08=BeinL
11
Leben in der Zentrifuge
Eine Rotationsperiode 22m40s320ms-22m41s320ms =100 msCan go up to 20gAnzeige mit 12 g
Standbild
12
Zentrifugalbescheunigung
12 g8 g4 g1 g
13
Rotationsperiode
40s320ms
41s320ms
Zeit für eine UmdrehungΔt=1s
R~10m
s1 14.62
==Tπω
ga
a
a
rarmam
R
R
R
R
R
38.0s²m3.77
m 10s
6.14
²²
2
007007
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
==ω
ω
kein Grund zur Panik 007
14
Drehimpuls eines Teilchens
rr
x
y
vrΘ
Betrachte Bewegung eines Teilchens mit Geschwindigkeitsvektor v in einem festen Koordinatensystem
prLrpL ⊥⊥ ==rr
oder
⊥r
Θ⋅=×=
sinvmrLprL rrrDefinition des Drehimpulses über das Vektorprodukt
Nach rechte Hand Regel zeigt der Drehimpulsvektor in die TafelebeneΘ
vr
15
16
Die Tag, an dem die Erde stillstand
constL =∑r
Drehrichtung der Erde
Superman dreht sich zu Beginn mit der Winkelgeschwindigkeit der Erde
Trägheitsmoment der Erde (Kugel)
km 6380kg 106
Erdeder Eckdaten 24
=⋅=
E
E
RM
( )m² kg1077.9
m 106.38kg 10652
52
37
2624
2
⋅=
⋅⋅⋅=
=
E
E
EE
I
I
RMI
srad1027.7
s 360024rad 2
rad 2
5E
E
E
−⋅=
⋅=
=
ω
πω
πω
tgtg
tg
Winkelgeschwindigkeit der Erde
ECKCK IL ω=Drehimpuls von Superman vernachlässigbar
srad m² kg 101.7
srad107.27m² kg 109.77
37
537
⋅=
⋅⋅⋅=
=
−
E
E
EEE
L
L
IL ω
Erhaltung des Drehimpulses!
17
Die Tag, an dem die Erde stillstand
Drehstuhlphysik
Superman und die Erde haben zusammen einen resultierenden Drehimpuls
Ändert einer der Partner seinen eigenen Drehimpuls verändert sich auch der des anderen
constL =∑r
Drehrichtung der Erde
Flugrichtung von Superman
Erhaltungssatz
18
Die Tag, an dem die Erde stillstand
Drehstuhlphysik
Superman und die Erde haben zusammen einen resultierenden Drehimpuls
Ändert einer der Partner seinen eigenen Drehimpuls verändert sich auch der des anderen
constL =∑r
Drehrichtung der Erde
Flugrichtung von Superman Erhaltung des Drehimpulses!
Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde nimmt zu.
Das ist nicht gewollt!
Erhaltungssatz
19
Die Tag, an dem die Erde stillstand
Wenn die Erde anhält, hat Superman den gesamten Drehimpuls aufgenommen!
FlughöheSupermanSupermanSuperman dmL v=
Erde steht
Superman fliegt
Erhaltung des Drehimpulses
ωErdeSuperman IL =
d
d
dmIE
1s
m²1088.8v
1s
rad107.27kg 80
m² kg109.77v
1v
31CK
537
CK
CK
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
ω
Geschwindigkeit, die Superman erreichen muss
Flughöhe 107 m=10000 km
c1624CK 103
sm1088.8v ⋅=⋅=
20
Die Tag, an dem die Erde stillstand
ωErdeFlughöheSupermanSupermanSuperman IdmL == v
Erde steht
Superman fliegt
Erhaltung des Drehimpulses
CKv1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=mId Eω
Supermans Orbit
Maximal Lichtgeschwindigkeit!gilt auch für Superman
lj103.13m1096.2sm103
sm²1088.8
v
723
8
31
CK
⋅=⋅=
⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
=
=
d
d
c
Durchmesser des Universums
lj 106.9m101.9 1026 ⋅=⋅=Univerumd
21
Translation vs Rotation
Wegstück
Geschwindigkeit
Beschleunigung
träge Masse
Impuls
Kraft
Kinetische Energie
Arbeit
sd Winkel
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Trägheitsmoment
Drehimpuls
Drehmoment
Rotationsenergie
Arbeit
r
sr&
r=v
sar&&
r&
r== v
m
vrr mp =
ar&r
rmpF ==
²v21 mKE =
sdFdW rr=
Θvd
Θ= &rrω
Θ== &&r&rrωα
I
ωvrIL =
ατr&rr IL ==
2
21 ωv&r ILRE ==
Θ=rrddW τ
22
Eine Frage des Standpunkts
Fiktive KraftZentrifugalkraft
rmFc
v²=
Der Beobachter auf der rotierenden Scheibe sieht, dass der Ball nach außen rollt und dabei nach rechts abgelenkt wird. Er deutet diese Krafteinwirkung als Zentrifugalkraft.
Das beobachtet ein außen stehender Zuschauer:Der Ball hat aufgrund der Rotation der Scheibe eine gewisse Anfangsgeschwindigkeit in einer bestimmten Richtung. Der Zuschauer beobachtet, dass der Ball gradlinig und tangential zur Bewegung der Scheibe beschleunigt wird und am Rand der Scheibe herunter fällt. Er sieht genau das, was er aufgrund des ersten Newtonschen Gesetzes erwarten würde.
Die Situation: Ein Junge auf deiner rotierenden Scheibe und
legt einen Ball auf den Boden vor sich. Was beobachtet man?
Erwartung , wenn es eine Zentrifugalkraft gäbe.
Alltägliche Erfahrung: Der Ball fliegt in
Richtung der Tangente
Das passiert aber nicht!
23
Kurvenfahrt eines Autos
Summe der Reibungskräfte der
Reifen
Tendenzielle Bewegungsrichtung des BaggersmgFF Nr μμ ==
rmmaF Rr
²v==∑
Kraft, den Laster in der Spur zu halten
Reibungskraft
²v v
²v ²v
≈⇒=
⇓⇓
=⇒=
rµrg
µgr
rmmgμ
24
Geneigte Fahrbahn
Θ
Θ NFΘcosNF
ΘsinNF
gF
rmFN
²vsin =Θ
Die geneigte Fahrbahn liefert einen zusätzlichen Beitrag in Richtung der Zentripedalkraft
Offensichtlich ist eine geringere Kraft ist notwendig, um den Wagen in der Spur zu halten
Θ=⇒=−Θ
cos0cos mgFmgF NN
Berechnung der Normalkraft
1cos da ≤Θ
≥ mgFN
Bemerkung
rgv²tan²vsin
cos=Θ⇒=Θ
Θ=
rmmgFN
25
Eine Rennstrecke für den Kaiser
Avus, Berlin
Θ
Θ NFΘcosNF
ΘsinNF
gF
Rekordversuch 1928: Fritz von Opel im beschleunigt raketengetriebenen Opel RAK 2 auf über 230 km/h
m4376.43tan
s²m9.81
s 3600h 1
kmm 1000 230
tanv²
2
=°
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒Θ
=g
r
"Und das ärgerte den Kaiser, der selbst einen Kaiserpreis für ein Rennen im Jahre 1907 im Taunus gestiftet hatte, und diesenPokal nahm ausgerechnet ein Ausländer, ein Italiener, entgegen, und so entstand die Idee, wir müssen etwas tun für den
Rennsport in Deutschland. Wir brauchen eine Rennstrecke." Richard Kitschigin, Motorsportexperte aus Berlin. "Im Jahre 1909
wurde dann eine Gesellschaft gegründet, eine GmbH mit dem Titel Automobil Verkehrs- und Übungsstraße, abgekürzt Avus."
Avus Nordkurve8 m hoch, 18 m und ein Neigungswinkel von 43.6°
Notwendiger Radius der Steilkurve
26
Nichtgleichförmige Kreisbewegung
FRF
Ftan
aRa
FR verursacht weiterhin eine Beschleunigung in Richtung O, während Ftan dazu führt, dass sich die
Geschwindigkeit des Körpers erhöht bzw. erniedrigt
O O
atan
Wenn die resultierende Kraft nicht in Richtung des Kreisursprungszeigt setzt sich F aus zwei immer senkrecht zueinander stehenden Komponenten zusammen.
ra
ta
Rv²
vtan
=
ΔΔ
=
2tan
2tan
tan
aaaaaa R
aa
R
R
+=⇒+=⊥rr
rrr
Betrag der Beschleunigung
27
Corioliseffekt
28
Corioliseffekt
Luftmassen strömen in Richtung des niedrigeren Druckes
PGFpressure gradient force
LuftmassenLuftmassen, die , die ausaus einemeinem GebietGebiet mitmit hohemhohemLuftdruckLuftdruck wegfliessenwegfliessen, , werdenwerden durchdurch die die
CorioliskraftCorioliskraft nachnach rechtsrechts abgelenktabgelenkt, so , so dassdass eineinWirbelWirbel um um dasdas HochHoch imim UhrzeigersinnUhrzeigersinn entstehtentsteht..
LuftmassenLuftmassen, die in , die in einein GebietGebiet mitmit niedrigemniedrigemLuftdruckLuftdruck fliessenfliessen werdenwerden durchdurch die die CorioliskraftCorioliskraftnachnach rechtsrechts abgelenktabgelenkt, so , so dassdass einein WirbelWirbel um um dasdas
TiefTief entgegenentgegen demdem UhrzeigersinnUhrzeigersinn entstehtentsteht..
29
CorioliseffektEinfluß auf die Windströmungen
WindrichtungN oder S
WindrichtungW or O
Winderichtungdiagonal
Venus Erde, MarsBeispielAuf der
Nordhalbkugelwerden aus reinen
NordwindenNordostwinde
(Passate)
Jupiter, SaturnNeptun
Passatwinde
30
ZirkulationszellenEinfluß der Coriloliskraft
31
Seltsamer StrudelAuf der Südhalbkugel dreht sich der Badewannenstrudel andersrum als auf der Nordhalbkugel
TiefdruckgebietDrehung entgegen dem Uhrzeigersinn
Hurrikan Katrina
2005
Nordhalbkugel
Die Corioliskraft spielt nur bei der Bewegung großer Luftmassen eine Rolle, wie z.B. Hurrikane oder Vb Wetterlage
Geschätzter Faktor im Vergleich zu allen anderen zufälligen Einflüssen (Unebenheiten, Einlassen des Wassers etc) 10000
Stimmt nicht. Die Legenden über die wundersamen Auswirkungen der Corioliskraft sind vielfältig. So berichtet ein Afrika-Tourist von einem geschickten Eingeborenen eines am Äquator gelegenen Dorfes, der das folgende Kunststück vorführt: Er hält eine Schüssel mit Wasser, auf dem Blätter schwimmen. Durch ein Loch am Boden fließt das Wasser ab. Stellt er sich ein paar Meter nördlich des Äquators hin, so wirbeln die Blätter in der einen Richtung, ein paar Meter südlich des Äquators dreht sich der Strudel in der anderen Richtung. Steht der Mann genau auf dem Äquator, dann fließt das Wasser strudellos abDie Zeit 26/ 1997.
32
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