FUNDAMENTE ALGEBRICE ALE INFORMATICII P… aun Marius 1 REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
FUNDAMENTE ALGEBRICEALE
INFORMATICII
P¼aun Marius
1
REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV
1. Notiuni introductive
1.1 Multimi si functiiConsider¼am notiunea de multime ca pe o notiune primar¼a cu care suntem în
parte familiarizati. Multimea este format¼a din elemente. Faptul c¼a elementula apartine multimii M , iar elementul b nu apartine lui M se scrie a 2 M sib =2 M: Dou¼a multimi sunt egale dac¼a contin aceleasi elemente, iar acest lucruse noteaz¼a M = N:
N se numeste submultime a lui M dac¼a toate elementele sale se g¼asesc înM; notatia �ind N �M:Multimea care nu contine nici un element o not¼am cu �:Intersectia a dou¼a submultimi M1 si M2 ale lui M este submultimea lui M
format¼a cu elementele comune celor dou¼a multimi.Reuniunea submultimilor M1 si M2 este submultimea lui M format¼a cu
elemente care apartin cel putin uneia din submultimile M1 sau M2:Dou¼a multimi se numesc disjuncte , M1 \ M2 = �: Dac¼a M1 � M se nu-
meste complementara multimii M1 în raport cu M notat¼a CMM1 submultimealui M care contine toate elementele din M care nu se g¼asesc în M1: De�nimdiferenta submultimilor M1 si M2 notat¼a M1 n M2 ca �ind M1 \ CMM2:Numim functie de�nit¼a pe M cu valori în N o corespondent¼a care ataseaz¼a
�ec¼arui element dinM un singur element din N: Dac¼a f :M ! N si g : N ! Psunt dou¼a functii, lor le putem atasa functia h : M ! P de�nit¼a astfel h(x) =g(f(x)): Compunerea functiilor este asociativ¼a. Pentru orice multime M exist¼afunctia 1M :M !M; 1M (x) = x:
f :M ! N se numeste injectiv¼a , 8x; y 2M x 6= y ) f (x) 6= f (y) :Compunerea a dou¼a functii injective este injectiv¼a.Propozitia 1.1.1 Fie f : M ! N si g : N ! P dou¼a functii. Dac¼a g � f
este injectiv¼a, atunci f este injectiv¼a.Demonstratie: Presupunem c¼a9x; y 2 M; x 6= y a.i. f (x) = f (y) ) g(f(x)) = g(f(y)) ) (gf) (x) =
(gf) (y) si cum g � f este injectiv¼a ) x = y:Propozitia 1.1.2 f :M ! N este injectiv¼a , oricare ar �multimea M 0 si
functiile g; g0 :M 0 !M a.i. f � g0 = f � g ) g0 = g:Demonstratie: Presupunem c¼a f nu e injectiv¼a9x; y 2M; x 6= y a.i. f (x) = f (y) :Atunci consider¼am M 0 = fx0; y0g si g : M 0 ! M; g (x0) = x; g (y0) = y si
g0 :M 0 !M g0 (x0) = g0 (y0) = x) f � g = f � g0 dar g 6= g0:Functia f :M ! N se numeste surjectiv¼a , 8y 2 N; 9x 2M a.i.f (x) = y:Propozitia 1.1.3 Fie f : M ! N; f e surjectiv¼a ,oricare ar � multimea
P si oricare ar � functiile g si g0 :M ! P din g � f = g0 � f ) g = g0:Demonstratie: Fie P o multime, f surjectiv¼a si g ; g0 : N ! P dou¼a functii
astfel încât g � f = g0 � f:
Fie y 2 N ) 9x 2M a:i:f (x) = y;(g � f) (x) = (g0 � f) (x)) g (f (x)) = g0 (f (x))) g (y) = g0 (y)) g = g0
2
f :M ! N este bijectiv¼a , e injectiv¼a si surjectiv¼a.
Fie f : M ! N si y 2 N:Numim preimagine a lui y si not¼am cu f�1 (y) =fx 2M j f (x) = yg : Dac¼a pentru orice y 2 M f�1 (y) contine un element sinumai unul, atunci între N siM stabilim o corespondent¼a de tip functie, notat¼af�1 si numit¼a inversa functiei f:Functia f se numeste în acest caz inversabil¼a.Propozitia 1.1.4 Functia f :M ! N e inversabil¼a , f este bijectiv¼a.Demonstratie: f este inversabil¼a , 8y 2 M; f�1(y) are un element si
numai unul; f injectiv¼a, 8y 2 N; f�1(y) are cel mult un element; f surjectiv¼a, 8y 2 N; f�1(y) are cel putin un element.Dou¼a multimi între care exist¼a o functie bijectiv¼a se numesc echipotente (sau
cardinal echivalente).Fie M 0 �M: Functia i :M 0 !M; i (x) = x se numeste injectia canonic¼a a
lui M 0 în M:Considerând f : M ! N si M 0 � M de�nim multimea f (M 0) astfel
f (M 0) = fy 2 N j 9x 2M 0a:i:f (x) = yg : Aceast¼a multime se numeste imag-inea prin f a multimii M 0: Pentru M 0 = M not¼am f (M) = Im f: Consider¼aminjectia canonic¼a i :M 0 !M; functia f :M ! N si compunerea f � i: Aceast¼afunctie se numeste restrictia lui f la M 0:Dac¼a I siM sunt dou¼a multimi, prin familie de elemente din M indexat¼a cu
multimea I se întelege o functie f : I !M: Asocierea i 2 I ! m 2M se noteaz¼ami si atunci functia f se scrie (mi)i2I : Dac¼a f : I ! P (M) spunem c¼a avemo familie de submultimi ale lui M:Se introduc similar notiunile de intersectie sireuniune a unei familii de multimi. Sunt veri�cate relatiile:1.Mi \ (Mj [Mk) = (Mi \Mj) [ (Mi \Mk)Mi [ (Mj \Mk) = (Mi [Mj) \ (Mi [Mk) ;8i; j; k 2 I2.CM [
i2IMi = \
i2ICMMi:
CM \i2I
Mi = [i2ICMMi:
Fie M si N dou¼a multimi. De�nim produsul lor cartezian, notat cu M �N;astfel:M �N = f(x; y) j x 2M;y 2 Ng :Observatia 1.1.1 M �N = ff : f1; 2g !M [N j f (1) 2M;f (2) 2 NgDemonstratia este imediat¼a pornind de la de�nitia produsului cartezian.În cazul în care avem o familie de multimi (Mi)i2I de�nim produsul lor
cartezian, notat �i2IMi;ca �ind multimea tuturor functiilor de�nite pe I cu val-
ori în [i2IMi si cu proprietatea f (i) 2 Mi;8i 2 I: Un element x 2 �
i2IMi se
noteaz¼a x = (xi)i2I si xi 2 Mi;8i 2 I: Dac¼a j 2 I de�nim pj : �i2IMi !
Mj astfel pj (x) = xj : Aceste aplicatii se numesc proiectiile canonice alepro-dusului cartezian pe factorii s¼ai. Ele sunt aplicatii surjective. În cazul în careMi = M oricare ar � i 2 I produsul �
i2IMi este multimea tuturor functiilor de
la I la M si se noteaz¼a M 0:Multimea M se numeste �nit¼a, dac¼a exist¼a un num¼ar natural n si o bijectie
f : M ! A = fx 2 N j x < ng :n este unic determinat de M si se spune c¼a M
3
are n elemente. Dac¼a f :M ! N este o bijectie,M este �nit¼a , N este �nit¼asi în acest caz M si N au acelasi num¼ar de elemente.
2. Relatii binare
1.2 Relatii binare.Fie M si N dou¼a multimi si � :M�N ! f0; 1g. Spunem c¼a elementul x 2M
se a�¼a în relatia � cu elementul y2 N , � (x; y) = 1. Dac¼a � (x; y) = 0spunem c¼a perechea (x; y) nu satisface relatia � . Numim relatie binar¼a întreM si N tripletul R =
�M;N; ��1 (1)
�. Dac¼a 8x 2 M exist¼a un unic y 2 N
a.i. (x; y) 2 ��1 (1)spunem c¼a avem stabilit¼a între M si N o relatie de tipfunctie. ��1 (1) se numeste gra�cul relatiei R: Numim domeniu de de�nitieal relatiei R multimea E = fx 2M j 9y 2 N a.i. � (x; y) = 1g si multimea devalori a relatiei R multimea F = fy 2 N j 9x 2M a.i. � (x; y) = 1g. De aicirezult¼a ��1 (1) � E � F � M �N . Not¼am ��1 (1) = G si pentru (x; y) 2 Gfolosim notatia xRy. În cazul în care M = N spunem c¼a am de�nit o relatiebinar¼a pe M:Fie R = (M;N;G) o relatie binar¼a între M si N: Observ¼am R este complet
de�nit¼a dac¼a cunoastem pe M;N si G: S¼a de�nim atunci reciproca sau inversarelatiei R: Fie G�1 = f(x; y) 2 N �M j (x; y) 2 Gg : Numim inversa relatiei Rtripletul R�1 =
�N;M;G�1
: De aici rezult¼a c¼a domeniul de de�nitie al relatiei
R este multime de valori pentru R�1 si invers.Teorema 1.2.1 Fie R1 = (M;N;G1) si R2 = (M;N;G2) :Dac¼a multimea
de valori a lui R1 coincide cu domeniul de de�nitie al lui R2 atunci au senscompunerile R1 �R2;R�11 �R�12 si avem satisf¼acut¼a relatia:(R1 �R2)�1 = R�11 �R�12Demonstratie: Pentru a demonstra relatia din teorem¼a s¼a not¼am R3 =
R2 � R1 = (M;P;G3) ; unde (x; y) 2 G , 9y 2 N a.i. (x; y) 2 G si (y; z) 2G2 �R�13 =
�M;P;G�13
�:
Not¼am R4 = R�11 � R�12 = (M;P;G4) ; unde (z; x) 2 G4 , 9y 2 N (z; y) 2G�12 si (y; x) 2 G�11 :R¼amâne s¼a demonstr¼am c¼a G�13 = G4 restul de elemente�ind egale.(z; x) 2 G�13 , (x; z) 2 G3 , 9y 2 N a.i. (x; y) 2 G1 si (y; z) 2G2 , 9y 2 N a.i(z; y) 2 G�12 si (y; x) 2 G�11 , (z; x) 2 G4 :Exemple: Fie M = f1; 2; 3g ; N = f2; 3g ; P = f1; 2; 3; 4g1.G1 = f(x; y) 2M �N j x < yg : Atunci relatia R1 = (M;N;G1) va avea
gra�cul G1 = f(1; 2) ; (1; 3) ; (2; 3)g ; domeniul de de�nitie E = f1; 2g multimeade valori F = f2; 3g :2.R2 = (N;P;G2 = f(y; z) 2 N � P j y � zg) va avea gra�cul G2 = f(2; 2) ;
(2; 3) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (3; 4)g domeniul de de�nitie F = f2; 3g ; multimea de valoriH = f2; 3; 4g :3.R�11 =
�N;M;G�11
�va avea gra�cul G�11 = f(2; 1) ; (3; 1) ; (3; 2)g si s¼a
observ¼am c¼a dac¼a R1 de�neste o relatie de tip " < " R�11 de�neste o relatie de
tip " > "4.R2 �R1 poate � de�nit¼a deoarece multimea de valori a lui R1 coincide cu
domeniul de de�nitie al lui R2: Gra�cul lui R2 �R1 �M � P contine pe(1; 2) deoarece (9) 2 2 N a.i.(1; 2) 2 G1 si (2; 2) 2 G2
4
(1; 3) deoarece (9) 2 2 N a.i.(1; 2) 2 G1 si (2; 3) 2 G2(1; 4) deoarece (9) 2 2 N a.i.(1; 2) 2 G1 si (2; 4) 2 G2(2; 3) deoarece (9) 3 2 N a.i.(2; 3) 2 G1 si (3; 3) 2 G2(2; 4) deoarece (9) 3 2 N a.i.(2; 3) 2 G1 si (3; 4) 2 G2) G3 = f(1; 2) ; (1; 3) ; (1; 4) ; (2; 3) ; (2; 4)g :Observ¼am c¼a relatia R2 � R1 este o relatie de tip " < ":Ea îns¼a difer¼a de
relatia R4 = (M;P;G4 = f(x; z) 2M � P j x < zg) : (G3 6= G4) :De�nitia 1.2.1 Fie R = (M;G) o relatie binar¼a pe M:Spunem c¼a relatia
este:
1. re�exiv¼a , xRx 8x 2M
2. irelexiv¼a , nu este re�exiv¼a
3. simetric¼a , 8x; y a.i. xRx) yRx
4. antisimetric¼a , 8x; y a.i. xRy si yRx) x = y
5. tranzitiv¼a , 8x; y; z a.i xRy yRz ) xRz:
Pricipalele tipuri de relatii binare sunt: relatia de echivalent¼a care este orelatie re�exiv¼a, simetric¼a si tranzitiv¼a; relatia de cvasiordine (re�exiv¼a si tranz-itiv¼a); relatia de ordine ( re�exiv¼a, antisimetric¼a si tranzitiv¼a).Exemple:
1. Fie p 2 N: De�nim urm¼atoarea relatie:
R = (Z;Gp = f(x; y) 2 Z � Z j 9k 2 Z a:i: x� y = k � pg) :
Aceast¼a relatie este re�exiv¼a (x� x = 0 � p) ; este simetric¼a (dac¼a xRy )9k 2 Z a:i: x� y = k � p si deci y� z = �k � p) yRx) si este tranzitiv¼a(dac¼a xRy si yRz ) 9k1; k2 2 Z a:i: x � y = k1 � p si deci y � z = k2 � patunci x� z = x� y + y � z = k1p+ k2p = (k1 + k2) p deci xRz).
Relatia de�nit¼a în acest mod se numeste relatie de congruent¼a modulo p:
2. Fie R = (Q;G = f(x; y) 2 Q�Q j x� y 2 Zg) : Relatia astfel de�nit¼aeste o relatie de echivalent¼a.
3. Fie = multimea triunghiurilor în plan. Asem¼anarea induce pe = o relatiede echivalent¼a, R = (=; G = f(T1; T2) 2 = � = j T1 � T2g)
4. FieA = f1; 2; 3g ; G � A�A;G = f(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; (2; 2) ; (2; 3) ; (3; 3) ; gsi R = (A;G) : Aceast¼a relatie este: re�exiv¼a pentru c¼a 1 2 A si (1; 1) 2G; 2 2 A si (2; 2) 2 G; 3 2 A si (3; 3) 2 G : nu este simetric¼a pentru c¼a deexemplu (2; 3) 2 G dar (3; 2) =2 G: este antisimetric¼a
: este tranzitiv¼a ( de exemplu (1; 2) 2 G; (2; 3) 2 G dar (1; 3) 2 G):Relatia de�nit¼a în acest exemplu este o relatie de ordine.
5
5. Dac¼a în exemplul 4 consider¼am:
G = f(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; (2; 1) ; (2; 2) ; (2; 3) ; (3; 3) ; g atunci R = (A;G)este re�exiv¼a si tranzitiv¼a dar nu este nici simetric¼a si nici antisimetric¼a.Ea este o relatie de cvasiordine.
S¼a consider¼am acum R = (M;G) o relatie de echivalent¼a pe M si x 2M:Not¼am Cx = fy 2M j xRyg :Multimea Cx o numim clasa de echivalent¼aa elementului x:
Teorema 1.2.2Cx = Cy , Cx \ Cy 6= �:
Demonstratie: S¼a observ¼am c¼a 8x 2 M Cx 6= � pentru c¼a xRx implic¼ax 2 Cx: Atunci �)�este evident¼a cu observatia anterioar¼a �(��e z 2 Cx \Cy xRa; a 2 Cx nCy si b 2 Cy nCx:Atunci xRa si xRz ) zRy si zRa) aRy )Cx � Cy
yRb si yRz ) zRb; zRx si zRb) bRx) Cy � Cx:Multimea format¼a cu toate clasele de echivalent¼a se numeste multime cât
sau multime factor si se noteaz¼a cu M=R.Un element dintr-o clasa de echivalent¼a se numeste reprezentant.Multimea format¼a cu câte un reprezentant din �ecare clas¼a de echivalent¼a
poart¼a numele de sistem de reprezentanti.Exemplul 1.2.1: S¼a consider¼am în Z congruenta modulo 3. Fie x 2 Z un
întreg oarecare. Putem atunci s¼a scriem x = k � 3+ r unde k; r 2 Z si 0 � r < 3de aici avem x� r = k � 3 deci Cx = Cr si orice clas¼a de echivalent¼a coincide cuC0; C1 sau C2: Putem spune c¼a x este un reprezentant al lui Cr si c¼a f�9; 7; 23gformeaz¼a un sistem de reprezentanti.S¼a consider¼am R = (M;G) o relatie de ordine. Spunem c¼a dou¼a elemente
x; y din M sunt compatibile dac¼a xRy sau yRx: Un element a 2M se numestemajorant (sau minorant) pentru submultimea K � M , xRa; 8x 2 K sau(aRx; 8x 2 K):MultimeaM se numeste �ltrant¼a la dreapta (stânga) dac¼a orice submultime
�nit¼a a lui M are un majorant.O multime M se numeste bine ordonat¼a dac¼a orice submultime a sa are
un cel mai mic element. Se spune c¼a multimea ordonat¼a M este total ordonat¼adac¼a oricare dou¼a elemente din M sunt comparabile.Exemple:
1. Multimea numerelor naturale N este, cu relatia de ordine obisnuit¼a, bineordonat¼a, total ordonat¼a, are cel mai mic element pe 0, dar nu are un celmai mare element.
2. Multimea numerelor întregi, Z, cu aceeasi relatie este total ordonat¼a darnu este bine ordonat¼a.
3. Pe N s¼a consider¼am relatia de divizibilitate: a j b , 9c 2 N a.i: b =ac:Relatia este re�exiv¼a, antisimetric¼a si tranzitiv¼a. Aceasta deci este orelatie de ordine. Ea nu este îns¼a o relatie de ordine total¼a ( nu oricare dou¼a
6
numere naturale sunt în relatia a j b sau b j a):Orice submultime �nit¼a denumere naturale admite un majorant (cel mai mic multiplu comun) si unminorant (cel mai mare divizor comun).
4. Relatia analog¼a pe Z nu este o relatie de ordine (nu este antisimetric¼a; a j�a si �a j a dar a 6= �a) este doar de cvasiordine. Prin intermediul acesteirelatii de cvasiordine putem introduce urm¼atoarea relatie de echivalent¼anumit¼a relatie de asociere si anume a � b, a = �b:
Fie R1 = (M;G1) si R2 = (N;G2) dou¼a relatii de ordine de�nite pe M si N(apunem c¼a M si N sunt dou¼a multimi ordonate) si �e ' :M ! N o functie.
' se numeste mor�sm de multimi ordonate (functie monoton¼a)
, 8x1; x2 2M; cu x1R1x2 ) ' (x1)R2' (x2) :
' se numeste antimor�sm de multimi ordonate
, 8x1; x2 2M; cu x1R1x2 ) ' (x2)R2' (x1) :
Un mor�sm ' : M ! N de multimi ordonate se numeste izomor�sm, dac¼aexist¼a un mor�sm : N ! M de multimi ordonate astfel încât ' = 1N si ' = 1M :Putem introduce o relatie de ordine si pe multimea tuturor relatiilor binare
de�nite pe M astfel: �e R1 = (M;G1) si R2 = (M;G2) : Spunem c¼a R1 � R2dac¼a din x1R1x2 ) x1R2x2:Fie M si N dou¼a multimi si f : M ! N o functie. Construim pe M o
relatie binar¼a de�nit¼a de functia f astfel: x; y 2 M;xRfy , f (x) = f (y) :Oastfel de relatie este re�exiv¼a (f (x) = f (y) ;8x 2M) simetric¼a (dac¼a x; y 2Msi f (x) = f (y) ;atunci f (y) = f (x)) si tranzitiv¼a (x; y; z 2M astfel ca f (x) =f (y) si f (y) = f (z)) f (x) = f (z) deci este o relatie de echivalent¼a pe M:S¼a de�nim acum în general notiunea de multime factor. Fie M;N dou¼a
multimi si p : M ! N o functie surjectiv¼a. Cuplul (N; p) se numeste multimefactor a multimii M , iar p se numeste surjectia canonic¼a.Propozitia 1.2.1 Fie (N; p) o multime factor a multimii M si f : M ! P
o functie.
1. exist¼a o functie u : N ! P astfel încât up = f dac¼a si numai dac¼a întrerelatiile de echivalent¼a Rp si Rf de�nite pe M avem Rp � Rf :
2. dac¼a u exist¼a ea este unic¼a
3. dac¼a u exist¼a ea este surjectiv¼a , f este surjectiv¼a
4. dac¼a u exist¼a este injectiv¼a , Rp = Rf :
Demonstratie:
7
1. ") " Presupunem c¼a 9u : N ! P a:i: up = f si s¼a presupunem c¼a avemx; y 2 M a.i p (x) = u (y)) u (p (x)) = u (p (y))) f (x) = f (y)) Rp �Rf
" ) "Presupunem c¼a Rp � Rf si s¼a de�nim u : N ! P astfel: �ey 2 N;9(pentru c¼a p e surjectiv¼a) x 2 M a.i. p (x) = y ; lu¼am u (y) =f (x) :Demonstr¼am c¼a u astfel de�nit este o functie, adic¼a de�nitia lui unu depinde de x 2M; ci numai de y 2 N: S¼a presupunem c¼a 9x0 2M a.i.p (x0) = y; dar Rp � Rf ; deci f (x0) = f (x) :
2. p este surjectiv¼a si cu presupunerea 1.3 rezult¼a c¼a u este unic¼a.
3. f surjectiv¼a up = f ) u surjectiv¼a. Pe dos u surjectiv¼a ) f este com-punerea a dou¼a functii surjective, deci este surjectiv¼a.
4. Consider¼am c¼a u exist¼a si este injectiv¼a. Fie x; x0 2 M a.i. f (x) =f (x0) ) u (p (x)) = u (p (x0)) ) p (x) = p (x0) ) Rf � Rp si cum dinipotez¼a Rp � Rf ) Rp = Rf :
Reciproc consider¼am Rp = Rf si �e y; y0 2 N a.i. u (y) = u (y0) ; p estesurjectiv¼a, deci 9x; x0 2M a.i. p (x) = y si p (x0) = y0:Avem f (x) = u (p (x)) = u (y) = u (y0) = u (p (x0)) = (up) (x0) = f (x0) ; Rp =
Rf )p (x) = p (x0)) y = y0
Exercitii
1. Fie A;B dou¼a multimi �nite si f : A ! B o functie. Not¼am cu n si mnum¼arul elementelor din A si din B. Determinati care dintre urm¼atoarelea�rmatii sunt adev¼arate.
(a) m � n) f surjectiv¼a
(b) f surjectiv¼a ) m � n
(c) m � n) f injectiv¼a
(d) f injectiv¼a ) m � n:
(e) f bijectiv¼a ) m = n
(f) m � n si f injectiv¼a ) f surjectiv¼a
(g) m � n si f surjectiv¼a ) f injectiv¼a
(h) f injectiv¼a ) f surjectiv¼a
(i) m = n; f injectiv¼a , f surjectiv¼a , f bijectiv¼a.
2. S¼a se determine câte elemente are multimea:
M =nx j x = n2+2
n2�n+2 ; n 2 N; n � 100o:
Ind.Consider¼am f : f0; 1; :::; 100g ! R; f (n) = n2+2n2�n+2 si se determin¼a
valorile m;n pentru care f (m) = f (n) :
8
3. Fie f : Z ! Z si g : Q ! Q; f (x) = 2x; g (x) = 2x: Ar¼atati c¼a f nu ebijectiv¼a, iar g este bijectiv¼a.
4. Fie f :M ! N injectiv¼a si A;B � X: S¼a se demonstreze c¼a dac¼a f (A) �f (B)) A � B:
5. Fie M = f1; 2g ; N = fa; b; cg : Câte functii f : M ! N exist¼a, câte suntsurjective, câte sunt injective? Câte functii g : N ! M exist¼a, câte suntsurjective, câte sunt injective?
6. Fie f; g : R ! R f (x) = ax4 si g (x) = bx2 � c; a; b; c 2 R�: S¼a searate c¼a f si g stabilesc aceeasi relatie de echivalent¼a pe R: Dac¼a f sig : C ! C r¼amâne adev¼arat¼a a�rmatia? Care dintre cele dou¼a inegalit¼atieste îndeplinit¼a Rf � Rg sau Rg � Rf?
7. Fie � o permutare din Sn: S¼a se demonstreze c¼a exist¼a k 2 N a.i. �k = e:
8. Fie � = (ij) o transpozitie din Sn: S¼a se demonstreze c¼a �2 = e:
3. Operatii algebrice
Consider¼am M o multime nevid¼a.De�nitia 1.3.1 Numim operatie n�ar¼a pe M o functie ' :Mn !M:Pentru n = 2 obtinem o operatie binar¼a.Spunem c¼a operatia binar¼a ' este asociativ¼a dac¼a, oricare ar � elementele
x; y; z 2M avem ' (x; ' (y; z)) = ' (' (x; y) ; z) :Obisnuim ca pentru operatiile binare s¼a folosim notatia x'y în loc de ' (x; y)
sau când nu pot interveni confuzii utiliz¼am notatia aditiv¼a x+ y sau multiplica-tiv¼a x � y:Dac¼a ' este o operatie algebric¼a pe M si N este o multime oarecare atunci
putem introduce pe MN (multimea tuturor functiilor de la N la M) o operatiealgebric¼a ; numit¼a operatie dedus¼a din '; astfel: dac¼a f; g 2 MN ; atunci (f; g) o de�nim ca:
(f; g) (x) = ' (f (x) ; g (x))
Propozitia 1.3.1 Dac¼a operatia ' pe M este asociativ¼a, atunci operatiadedus¼a pe MN este asociativ¼a.Demonstratia este imediat¼a folosind de�nitia lui :Spunem c¼a o operatie binar¼a ' pe M are element neutru dac¼a exist¼a un
element e 2M a.i. ' (x; e) = ' (e; x) = x oricare ar � x =M:Adunarea numerelor naturale are ca element neutru pe 0, iar înmultirea
numerelor naturale are ca element neutru pe 1. Dac¼a P � Z este multimeanumerelor naturale pare si pe P consider¼am operatiile de adunare si înmuultireinduse din Z observ¼am c¼a adunarea are element neutru pe 0, iar înmultirea nuare element neutru.Dac¼a M este o multime nevid¼a, ' o aplicatie binar¼a de�nit¼a pe M si care admite elementul
neutru e; operatia dedus¼a pe MN (N 6= 0) are element neutru functia � :N !M de�nit¼a astfel � (x) = e;8x 2 N:
9
(f; �) (x) = ' (f (x) ; � (x)) = 'f (x) ; e = f (x) ;8x 2 N: ( (f; �) = (�; f) = f) :Teorema 1.3.1 Fie 'o operatie algebric¼a pe M . Dac¼a e si e0 sunt elemente
neutre pentru ' atunci e = e0:Consider¼am ' o operatie algebric¼a binar¼a peM care admite elementul neutru
e si �e x 2 M: Spunem x e enversabil în raport cu ' dac¼a exist¼a x0 2 M a.i. ' (x; x0) = ' (x0; x) = e: x0 se numeste inversul lui x (în notatie aditiv¼a seutilizeaz¼a denumirea de simetric al lui x sau opus al lui x).Este evident c¼a e este inversabil si inversul s¼au este chiar e:Pentru adunarea din Z orice element are un opus dar pentru înmultire numai
�1 sunt inversabile.Pe multimea F = ff : A! Ag împreun¼a cu compunerea obisnuit¼a a functi-
ilor observ¼am c¼a f e inversabil¼a , f e bijectiv¼a.Teorema 1.3.2 Fie M o multime, ' o aplicatie algebric¼a asociativ¼a si cu
element neutru e de�nit¼a pe M . Dac¼a x 2M admite un element invers, acestaeste unic.Spunem c¼a o operatie algebric¼a ' de�nit¼a peM este comutativ¼a dac¼a oricare
ar � x; y 2M;' (x; y) = ' (y; x) :Operatiile de adunare si înmultire pe Z sunt comutative iar compunerea pe
F nu este în general comutativ¼a.Propozitia 1.3.2 Fie A 6= � si F = ff : A! Ag : Operatiile de compunere
a functiilor pe A este comutativ¼a , A este constituit¼a dintr-un singur element.Demonstratie: Dac¼a A = fa gatunci F = fe j e (a) = ag are un singur
element si e � e = e:"( " Presupunem c¼a A = fa; bg ; a 6= b si �e f : A! A; f (x) = a; 8x 2 A
si g : A! A; g (x) = b; 8x 2 A:Atunci (g � f) (x) = g (f (x)) = b si (f � g) (x) = f (g (x)) = a; 8x 2 A; deci
g � f 6= f � g:De�nitia 1.3.2 OmultimeM ¼ampreun¼a cu o operatie algebric¼a ' asociativ¼a
se numeste semigrup.Dac¼a în plus ' admite si element neutru, atunci M se numeste semigrup
unitar sau monoid.Exemple: (Z;+) este monoid comutativ;(Z; �) este monoid comutativ;P � Z;
multimea numerelor pare împreun¼a cu înmultirea este semigrup comutativ;(F; �)monoid comutativ (dac¼a A are mai mult de un element). Dac¼aM = fxg ; atuncipe M se poate de�ni o singur¼a operatie si în raport cu aceast¼a operatie M estemonoid comutativ.De�nitia 1.3.4 Fie (M;� ) si (N; �) dou¼a semigrupuri. O functie f :M ! N
se numeste mor�sm de semigrupuri dac¼a oricare ar � elementele x; y 2M avemîndeplinit¼a relatia f (x�y) = f (x) � f (y) :Dac¼a M si N sunt monoizi consider¼am doar mor�smele de semigrupuri care
duc element neutru în element neutru.Un mor�sm de semigrupuri f : M ! N se nemeste izomor�sm de semi-
grupuri dac¼a exist¼a un mor�sm f : N !M a.i. f � f 0 = 1N si f 0 � f = 1M :De aici rezult¼a c¼a f e izomor�sm dac¼a si numai dac¼a f e mor�sm si f e
bijectiv¼a.Fie I o multime cel mult num¼arabil¼a.
10
De�nitia 1.3.3 Numim cuvânt cu elemente din I , de lungime n un sis-tem �nit ordonat p1p2:::pn unde pi 2 I; 8i 2 f1; :::; ng ; altfel spus un cu-vânt este o aplicatie p care ataseaz¼a n � uplului (1; :::; n) o secvent¼a ordonat¼ap (1) p (2) :::p (n) ; notat¼a conventional p1p2:::pn:
p1; p2; :::; pn se vor numi simbolii cuvântului p; n este lungimea cuvântuluil (p) = n; pj este simbolul de pe pozitia j a cuvântului. Elementele multimii Ise vor numi litere sau simboluri si vom identi�ca aceste elemente cu cuvinte delungime 1. De�nim e, cuvântul de lungime 0, ca �ind unicul cuvânt care nu arenici un simbol. Not¼am cu I� multimea cuvintelor peste multimea I:Vom spune c¼a dou¼a cuvinte din I�; p = p1p2:::pk; q = q1q2:::qi; dac¼a i = k si
pj = qj ; 8j 2 f1; :::; kg :Pe I� introducem operatia binar¼a de concatenare care la dou¼a cuvinte p =
p1p2:::pk si q = q1q2:::qi asociaz¼a cuvântul r = pq = p1p2:::pkq1:::qi de lungimek + i:Din modul de de�nire se observ¼a c¼a aceast¼a operatie este asociativ¼a si admite
element neutru pe e: Notatia acestei operatii o consider¼am multiplicativ¼a si vomp¼astra atunci conventiile p0 = e; pp = p2; pnp = pn+1:În aceste conditii (I�; e; �) devine monoid necomutativ ( în general) numit
semigrupul liber al cuvintelor peste alfabetul I: În acest monoid este valabil¼asimpli�carea la dreapta pr = qr ) p = q:Dac¼a I = fag ; atunci în I� exist¼a un singur cuvânt de lungime n � care
este an si în aceste conditii dac¼a p = an si q = am avem pq = anam = an+m =am � an = qp; deci monoidul este comutativ.Propozitia 1.3.3 Dac¼a I = fag ; atunci I� este izomorf cu (N;+) :Demonstratie: Dac¼a I = fag ; am v¼azut c¼a elementele din I� sunt de forma
ak; k 2 N: Atunci în mod natural de�nim f : I� ! N; f�ak�= k:
f este mor�sm de semigrupuri, pentru c¼a:f�ak � an
�= f
�ak+n
�= k + n = f
�ak�= f (an) ;8n; k 2 N:
Observ¼am c¼a f (e) = 0: La fel functia g : N ! I�; g (n) = an este mor�sm demonoizi si f � g = 1N ; g � f = 1I� :Din aceast¼a propozitie rezult¼a c¼a toate semi-grupurile generate de un singur element sunt izomorfe între ele (�ind izomorfecu N , natura elementului din I neintervenind).Teorema 1.3.3 Fie I o multime, I� semigrupul liber generat de I; (�; �) un
monoid si faigi2I un sistem de elemente din S (cu I multime de indici). Atunciexist¼a un unic mor�sm de monoizi f : I� ! S a.i. f (i) = ai:Demonstratie: Avem din enunt de�nitia lui f pe simbolurile din I f (i) =
ai(considerând I � I� prin identi�carea elementelor lui I cu cuvintele din I�
de lungime 1). Extindem de�nitia lui f pe un cuvânt oarecare din I�:Fie p 2I�; p = p1p2:::pn; pk 2 I; f (p) = f (p1:::pn) = ap1 � ap2 � ::: � apn (compunere înS) si f (e) = 1 (elementul neutru din S).De�nind astfel pe f se observ¼a c¼a dac¼a p si q 2 I�; p = p1p2:::pn si q =
q1q2:::qm; avem f (pq) = ap1 � ap2 � ::: � apn � aq1 � ::: � aqm si f (p) = f (q) =(ap1 � ::: � apn)�(aq1 � ::: � aqm) ; dar în S compunerea este asociativ¼a, deci f (pq) =f (p)�f (q) dac¼a f este mor�sm de monoizi. R¼amâne de demonstrat c¼a este unic.Consider¼am alt mor�sm g : I� ! S a.i. g (i) = ai si �e p = p1p2:::pn un cuvântoarecare din I�: g (p) = g (p1:::pn) si din proprietatea de mor�sm rezult¼a
11
g(p1:::pn) = g (p1) � g (p2) � ::: � g (pn) = ap1 � ap2 � ::: � apn = f (p) ; de undef = g:Din aceast¼a teorem¼a rezult¼a c¼a la dou¼a multimi echipotente se asociaz¼a semi-
grupuri libere izomorfe.S¼a consider¼am acum E � I� si semigrupul liber generat de multimea E pe
care îl not¼am cu E�: Not¼am cuvintele din E cu p: Un element din E� este oaplicatie m care asociaz¼a n� uplului (1; 2; :::; n) elementul m = (p1; p2; :::; pn) �m se va numi propozitie, iar n se va numi lungimea propozitiei (L (m) = n) ;propozitia (p) va � format¼a doar din cuvântul p:
De�nim întinderea propozitiei m = (p1; :::; pn) ; num¼arul bl (m) = kPi=1
l (pi) :
Revenim la semigrupul liber generat de I si enunt¼am câteva propriet¼ati ar-itmetice ale lui I�:Teorema 1.3.4 Dac¼a p; q; r 2 I� si 9k 2 N astfel încât pqk = rkp; atunci
8n 2 N; pqn = rnp:Demonstratie: Considerând lungimile cuvintelor ce intervin în teorem¼a,
avem din pqk = rkp c¼a l (p)+kl (q) = kl (r)+ l (p) ; deci l (q) = l (r) :Dac¼a q = r;rezult¼a r = e si teorema este demonstrat¼a. La fel dac¼a r = e:Putem presupunedeci q; r 6= e: Consider¼am cazul n = h �k(n multiplu de k) si facem demonstratiaprin inductie dup¼a h: Veri�carea se face pentru h = 1 ea �ind proprietatea dinenunt. Presupunem proprietatea adev¼arat¼a pentru h si o demonstr¼am pentruh+ 1:
pq(h+1)k = p � qhkqk = rhkpqk = rhkrkp = rh(k+1)p si deci a�rmatia estedemonstrat¼a în cazul n = hk:Pentru cazul general s¼a observ¼am c¼a l (r) � 1) 9m 2 N a.i. l (p) � l (rm) ;
unde m = hk; putem considera atunci pqm = rmp de unde avem c¼a p = rt � r1cu 0 � t � m si deci rtr1qm = rmrtr1 sau r1qm = rmr1 adic¼a r1qm = rrm�1;aceast¼a egalitate impune r = r1r2:
r1qm = rmr1 = (r1r2)
mr1 = r1 (r2r1)
m; deci qm = (r2r1)
m si q = r2r1:Atunci 8n 2 N; p � qn = rtr1 (r2r1)
n= (r1r2)
t(r1r2)
nr1 = (r1r2)
n(r1r2)
tr1 =
rnp:Teorema 1.3.5 Dac¼a cuvintele p si q comut¼a, adic¼a pq = qp; atunci 9r 2 I�
si n1; n2 2 N a.i. p = rn1 si q = rn2 :Demonstratia o facem prin inductie dup¼a parametrulm; lungimea cuvântului
pq:Dac¼a m = 0; p = q = e = r0 si a�rmatia este adev¼arat¼a.Presupunem adev¼arat¼a a�rmatia pentru m si demonstr¼am pentru m+1.Fie
p si q dou¼a cuvinte astfel încât l (pq) = m + 1 si pq = qp; dac¼a p = e a�rmatiaeste adev¼arat¼a p = q0 si q = q1 (deci r = q; n1 = 0; n2 = 1):Presupunem c¼a 0 � l (p) � l (q) ; avem q = pn si din pq = qp rezult¼a
ppn = pnp; de unde pn = np deci 9r 2 I� si n1; n2 2 N a.i. p = rn1 si n = rn2
(pentru c¼a l (q) � m+ 1)) q = rn1+n2 si teorema este demonstrat¼a.De�nitia 1.3.5 Fie p; q; r 2 I� si ! = pqr: Atunci p se numeste pre�x al lui
!; q un in�x al lui ! si r un su�x al lui !:Dac¼a A � I� este o submultime de cuvinte, putem considera semigrupul
liber A� si deci putem vorbi si în cazul propozitiilor despre pre�xe, su�xe si
12
in�xe.Fie A � I� n feg :SufA si PrefA multimea tuturor su�xelor si pre�xelor
cuvintelor din A:De�nitia 1.3.6 O egalitate pe A este o expresie de forma:
pq1:::qms = p0q01:::q0ns0
unde s si s0 2 SufA; p; p0 2 PrefA ; q1 2 A;8i 2 f1; :::;mg ;q0j 2 A;8j 2 f1; :::; ng :Lungimea egalit¼atii este considerat¼a ca �ind l (pq1:::qms) :De�nitia 1.3.7 O egalitate se numeste ireductibil¼a pe A dac¼a este de forma
(1) si avem îndeplinite conditiile p = p0 = e sau p 6= p0 si pq1:::qj 6= p0q01:::q0k cu
0 � j � m; 0 � k � n exceptând cazul j = m; k = n; s = s0 = e: În caz contraregalitatea se numeste reductibil¼a.S¼a consider¼am acum A;B � I� n feg si m 2 A�; n 2 B�:De�nitia 1.3.8 Propozitia m 2 A� preegaleaz¼a propozitia n 2 B�; dac¼a
pentru orice m1;m2 2 A� cu m = m1m2; exist¼a n1; n2 2 B� cu n = n1n2 sibl (m1) = bl (n1) ;bl (m2) = bl (n2) : Vom nota m = n:Acest lucru înseamn¼a c¼a m =0 n dac¼a la orice descompunere a lui m în
propozitii corespunde o descompunere a lui n în propozitii care au corespunz¼atoraceeasi lungime ca si propozitiile lui m:Preegalarea între propozitii este o relatie de preordine. Ea permite compara-
rea cuvintelor ce formeaz¼a propozitiile, deci compararea pozitiilor separatorilorîntre cuvinte din propozitii.Dac¼a se cunoaste împ¼artirea în cuvinte a propozitieim atunci orice propozitie
n preegalat¼a de m se poate descompune în propozit¼aii de lungime egal¼a culungimea cuvintelor lui m:De�nitia 1.3.9 Propozitia m 2 A� egaleaz¼a propozitia n 2 B� dac¼a m =0 n
si n =0 m: Egalarea între propozitii o not¼am m^= n:
Egalarea între propozitii este o relatie de echivalent¼a.
Dac¼a m^= n propozitiile m si n sunt formate din acelasi num¼ar de cuvinte
si dac¼a se cunoaste împ¼artirea în cuvinte a propozitiei m se poate descompunela fel si propozitia n:Observatia 1.3.1 Dac¼a pentru dou¼a propozitii m 2 A�si n 2 B� avem
îndeplinite simultan relatiile L (m) = L (n) si l (m (1)) = l (n (1)) ; :::; l (m (�)) =
l (n (�)) ; atunci m ^= n:
De�nitia 1.3.10 Multimea A � I� este uniform¼a dac¼a l (p) = l (q) ;8p; q 2A:Exemple:
1. Fie I = fa; b; cg ; un singur cuvânt de lungime 3 este de exemplu p = aba;
a; b; a sunt simbolii cuvântului p; p (1) = a; p (2) = b; p (3) = a; dac¼aA � I� este multimea tuturor cuvintelor de lungime 2 cu simbolii din I;atunci A = faa; ab; ac; ba; bb; bc; ca; cb; ccg : Consider¼am cuvintele p = absi q = ba; atunci cuvântul m = pq este m = abba; p2 = abab:
13
2. Fie I = fa; b; cg ; ! 2 I�; ! = abbabcca: Consider¼am p = abb; q = abc; s =ca: Observ¼am c¼a ! = pqs:p este un pre�x pentru !; q este in�x si s estesu�x.
3. Fie I = fa; b; cg ; A = I� n feg ; p = a; q1 = ab; q2 = ac; s = c; p0 =aa; q0 = ba
s0 = cc; p00 = aab; q00 = a; s00 = cc; p00 = aab; s00 = c: Se veri�c¼a imediatc¼a: avem egalitatea pq1q2s = p0q0s0; c¼a egalitatea pq1q2s = p0q0s0 nu estereductibil¼a, egalitatea p0q0s0 = p00q00s00 este reductibil¼a p0q0 = p00q00; p0q0s0 6=p000q000s000:
4. Fie A si B dou¼a multimi de cuvinte A = fa; bg ; B = f�; �; g în carel (a) = 4; l (b) = 6; l (�) = 2; l (�) = 3; l ( ) = 4: Consider¼am propozitiilem pe A si n pe B astfel m = (a; b; b; a) si n = (�; �; �; �; �; �; ) :Atuncim =0 n:
Întradev¼ar �e m = m1m2 = (a) (b; b; a) atunci putem considera pe n =n1n2 = (�; �) (�; �; �; �; ) si avem bl (m1) = bl (n1) = 4; bl (m2) = bl (n2) =16:
-pentrum = m1m2 = (a; b) (b; a) lu¼am n = n1n2 = (�; �; �; �) (�; �; )
si deci bl (m1) = bl (n1) = 10 si bl (m2) = bl (n2) = 10-pentrum = m1m2 = (a; b; b) (a) lu¼am n = n1n2 = (�; �; �; �; �; �) ( )
si conditia de lungimi este îndeplinit¼a.
5. Fie A si B dou¼a multimi de cuvinte A = fa; b; cg ; B = f�; �g în carel (a) = l (c) = 3; l (b) = 4; l (�) = 4; l (�) = 3: Dac¼a m 2 A� si n 2 B� cum = (c; a; b) ; n = (�; �; �) ; atunci m ^
= n:
Putem ar¼ata c¼a m^= n pornind de la de�nitie, anume c¼a m =0 n si n =0 m
sau folosind Observatia 1. În acest caz vedem c¼a L (m) = L (n) = 3(propozitiile au câte 3 cuvinte), l (m (1)) = l (n (1)) = 3 (primul cuvânt în�ecare propozitie are lungimea 3), l (m (2)) = l (n (3)) = 3 si l (m (3)) =l (n (3)) = 4:
6. S¼a observ¼am c¼a, cuvintele unui semigrup liber, cu o multime �nit¼a degeneratori, pot � descrise cu ajutorul unui graf arborescent. Consider¼amI = fi1; i2; :::; ing alfabetul �nit care genereaz¼a semigrupul liber I�: Fie unarbore cu o multime num¼arabil¼a de vârfuri, �ecare vârf �ind conectat cun vârfuri arborescente, cele n muchii de conectare �ind notate i1; i2; :::; in.Fiecare vârf va �notat cu un cuvânt din I� obtinut prin concatenare a sim-bolilor care denumesc muchiile pe drumul care uneste acel vârf cu r¼ad¼acinaarborelui format¼a din vârful marcat cu e,elementul nul al semigrupului.Concatenarea se face pornind de la e: În cazul I = fa; bg vom avea: cu-vântul nul e, cuvinte de lungime 1 a; b, cuvinte de lungime 2 aa; ab; ba; bb;si asa mai departe; reprezentarea lor pe un graf arat¼a astfel:
14
DESEN
Pentru a descrie multimi �nite de elemente A � I� sunt folositi arbori �nitiîn care sunt marcate numai nodurile corespunz¼atoare elementelor din A si conex-iunile dintre ele. De exemplu pentru A = fe; b; ab; ba; babbg avem:
DESEN
4. Notiuni de teoria grupurilor
Fie (S;� ) un semigrup.De�nitia 1.4.1 Numim ideal stâng (drept) într-un semigrup (S;� ) e parte
S1 � S pentru care 8b 2 S avem a�b 2 S1: (b�a 2 S1) :Un ideal bilateral este o parte S1 � S care este simultan ideal drept si stâng.Idealele S1 pentru care � 6= S1 6= S se numesc ideale proprii.Idealul stâng (drept) generat de elementul a 2 S este multimea Sa =
fx 2 S j x = z�a; z 2 Sg ; (respectiv aS = fx 2 S j x = a�z; z 2 Sg):De�nitia 1.4.2 Fie (S;� ; e) un monoid, x 2 S: x se numeste inversabil la
stânga dac¼a ecuatia z�x = e este rezolvabil¼a (x�z = e e rezolvabil¼a) :Un element inversabil la stânga si la dreapta se numeste inversabil.De�nitia 1.4.3 Un monoid (S;� ; e) este un grup, dac¼a orice element al s¼au
este inversabil.Propozitia 1.4.1 Fie (S;� ; e) un monoid si a 2 S: Atunci urm¼atoarele
a�rmatii sunt echivalente:i) Sa = Sii) a este inversabil la stângaiii) a nu e continut în nici un ideal la stânga.Demonstratie: 00i)) ii)00 Dac¼a Sa = S ) 8x 2 S se scrie x = z�a si dac¼a
x = e rezult¼a c¼a a este inversabil la stânga.00ii) ) iii)00 a inversabil la stânga si s¼a presupunem a 2 K unde K este
un ideal stâng propriu. Atunci 8d 2 S avem d�a 2 K: Cum a are invers lastânga pe a0 atunci a0�a = e 2 K si de aici oricare ar � elementul b 2 S avemb�e 2 K ) S � K si deci K (K 6= �) nu este un ideal propriu.
00iii)) i)00 Sa este ideal stâng, a 2 Sa) Sa nu este ideal propriu ) Sa =S:Corolar: Un monoid (S;� ; e) este grup , S nu are ideale proprii.De�nitia 1.4.4 Numim ordinul unui grup (G;� ; e) cardinalul multimii G:De�nitia 1.4.5 Un complex în grupul G este o submultime K � G: Pro-
dusul a dou¼a complexe K1;K2 � G este complexul
K3 = fg j g = g1�g2; g1 2 K1; g2 2 K2g :
Propozitia 1.4.2 Multimea P (G) a complexelor grupului G; împreun¼a cuprodusul a dou¼a complexe este monoid.Demonstratia este imediat¼a, pentru c¼a asociativitatea produsului de com-
plexe este asigurat¼a de asociativitatea operatiei de�nit¼a pe G; iar elementulneutru este chiar complexul feg ; unde e este elementul neutru din G:
15
Not¼am K�1 multimea inverselor elementelor lui K:Avem
�K�1��1 = K; dar în general K �K�1 6= feg :
De�nitia 1.4.6 Un subgrup al grupului G este un complex H cu propri-etatea HH�1 � H:
Aplicatii:
1. Fie G un grup si consider¼am complexele K1 � L1 si K2 � L2 atunciK1K2 � L1L2:
Demonstratie:
Dac¼a x 2 K1 �K2 ) 9x1 2 K1 si 9x2 2 K2 a.i. x = x1 � x2 dar x1 2 K1 �L1 ) x1 2 L1 si la fel x2 2 L2 deci x 2 L1L2:
2. Dac¼a L1; L2 2 P (K) atunci (L1L2)�1 = L�12 L�11
3. Demonstratia este imediat¼a pornind de la a�rmatia cunoscut¼a c¼a într-unmonoid
(M;� ; e) dac¼a x si y sunt inversabili atunci x�y este inversabil si (x�y)0 =y0�x0:
Atunci,
dac¼a a 2 L = L1L2;9a1 2 L1 si 9a2 2 L2; a = a1�a2; a
0 = a0
2�a
0
1 2L�12 L�11 :
Pe dos,
dac¼a b0 2 L�12 L�11 9b02 2 L02 si b01 2 L�11 ; b0 = b0
2�b1 si b = b1
�b2 cu b1 2 L1si b2 2 L2, adic¼a b 2 L1L2 deci b0 2 (L1L2)�1 :
4. (K1 [K2)K3 � K1K3 [K2K3
Consider¼am a 2 (K1 [K2)K3 ) 9a1 2 (K1 [K2) si a3 2 K3 a. i.a = a1a3 ) [9a1 2 K1si a1 2 K2] si 9a3 2 K3 astfel încât a = a1a3 )(9a1 2 K1si a3 2 K3) sau (9a1 2 K1si a3 2 K3) astfel încât a = a1a3; decia 2 K1K3 [K2K3; adic¼a (K1 [K2)K3 � K1K3 [K2K3:
Incluziunea pe dos se demonstreaz¼a similar.
5. (K1 \K2)�1= K�1
1 \K�12
Pentru demonstratie pornim astfel:
a0 2 (K1 \K2)�1 , a 2 K1 \ K2 , a 2 K1si a 2 K2 , a0 2 K�1
1 sia0 2 K�1
2 , a0 2 K�11 \K�1
2 :
De�nitia 1.4.7. Subgrupul generat de complexul K � G este cel mai micsubgrup al lui G care îl contine pe K. El va � notat cu H (K) :În aceste ipoteze H (K) = \fL j K � L; L subgrup al lui Gg :Atunci pentru K = fag ; avem H (fag) = G; G este un grup ciclic, iar a
este generatorul acestui grup.
16
Fie G un grup, H � G un subgrup. Consider¼am familia de complexefxH j x 2 Gg unde xH este complexul fxgH:Teorema 1.4.1. Dac¼a x; y 2 G; avem:i) x 2 H ) xH = H si dac¼a y 2 xH ) yH = xHii) y =2 xH ) yH \ xH = �iii) [
x2GxH = G
Demonstratie:i) Din de�nitia lui xH si pentru c¼a x 2 H ) xH � H: Pentru a ar¼ata
H � xH consider¼am a 2 H si ecuatia în y, xy = a:H este subgrup deci grup siatunci aceast¼a ecuatie este rezolvabil¼a în H ) y = x�1a ) y 2 H�1H � H sideci H � xH:Dac¼a, y 2 xH atunci y = xz; z 2 H ) x = yz�1 2 yH si atunci dac¼a
a 2 yH ) a = yb; dary 2 xH ne d¼a y = xc) a = xcb) a 2 xH:a 2 xH ) a = yb; dar cum x 2 yH ) x = yb) a = ybc) a 2 yHii) Presupunem c¼a yH\xH 6= � si �e t 2 yH\xH ) t = ya = xb) ya = xb
sau y = xba�1 adic¼a y 2 xH deci contradictie.iii) Pentru c¼a xH � G) [
x2GxH � G:
Pentru incluziunea contrar¼a avem e 2 H; (H este subgrup al lui G) si atunci8x 2 G; x 2 xH deci G � [
x2GxH:
Fie G un grup. G se numeste grup �nit dac¼a multimea G este �nit¼a. Ordinuls¼au va � dat de num¼arul elementelor multimii G:Fie H un subgrup al lui G:Clasele xH sunt atunci si ele �nite si au acelasi num¼ar de elemente. Acestnum¼ar se numeste indicele subgrupului H:Teorema lui Lagrange: Dac¼a G este un grup �nit de ordin n si H este un
semigrup al s¼au de ordin h atunci n = h � i unde i este indicele lui H:Demonstratie: Este su�cient s¼a demonstr¼am c¼a dou¼a complexe xH si yH
au acelasi num¼ar de elemente. Consider¼am functia ' : xH ! yH de�nit¼a astfel' (xh) = yh; h 2 H: Din modul de de�nire aceast¼a functie este surjectiv¼a. Dac¼a' (xh1) = ' (xh2)) yh1 = yh2 ) h1 = h2 deci ' este bijectiv¼a.De�nitia 1.4.8. Fie G un grup si a 2 G: Vom numi elementului a ordinul
subgrupului ciclic generat de a:Dac¼a G este �nit atunci din teorema lui Lagrange ordinul elementului a
devine ordinul lui G: Ordinul elementului a este 1 dac¼a si numai dac¼a a = e:Ordinul elementului a este egal cu ordinul inversului s¼au a0:Propozitia 1.4.3. Fie G un grup si a 2 G un element de ordin �nit n:
Atunci n este cel mai mic num¼ar natural nenul pentru care an = e:Demonstratie: Fie A subgrupul lui G generat de a si k cel mai mic num¼ar
natural cu proprietatea ak = 1:(k exist¼a pentru c¼a 9p; q 2 N�; p 6= q astfel încâtap = aq c¼aci altfel A ar �multime in�nit¼a si atunci ap�q = e):Atunci oricare ar � p; q; k ) ap 6= aq(altfel ap�q = 1 si presupunând p > q
avem p � q < k contradictie) si deci A are k elemente distincte cel putin decik � n: Dac¼a ar¼at¼am c¼a A
0=�1; a; a2; :::; ak�1
este subgrup al lui G atunci
A � A0 si k � n deci demonstratia este încheiat¼a. Dar A0 este parte stabil¼a siinversul lui ap este ak�p 2 A0:
17
Corolar: Dac¼a G este un grup �nit de ordin n atunci oricare ar � a 2G; an = e:Demonstratie: G �nit ) grupul ciclic generat de a 2 G este �nit si dac¼a
ordinul lui a este k; k este �nit si n este multiplu al lui k , deci an = e:Propozitia 1.4.4. Orice grup ciclic este izomorf cu Zn:Demonstratie: Dac¼a G este grupul ciclic generat de elementul a ) G =
fam j m 2 Zg : Consider¼am functia f : Z ! G de�nit¼a astfel f (m) = am:f estemor�sm surjectiv de grupuri si deci G este izomorf cu grupul Z=K erf :Fie M o multime; atunci multimea functiilor de�nite pe M cu valori în M
împreun¼a cu compunerea functiilor este un semigrup. Elementele inversabile aleacestui semigrup (functiile bijective de la M la M) formeaz¼a un grup care senumeste grupul permut¼arilor sau substitutiilor lui M si care se noteaz¼a uzualS (M) :Dac¼aM este o multime �nit¼a cu n elemente atunci S (M) are n! elemente.Fie M = fa1; a2; a3; a4g :O permutare f o putem reprezenta astfel:sau punând în evident¼a corespondenta prin intermediul pozitiei:
f ��
a1 a2 a3 a4f (a1) f (a2) f (a3) f (a4)
�:
Ordinea elementelor a1; a2; ::: nu este esential¼a si se prefer¼a ordinea cresc¼a-toare. Esential¼a este îns¼a corespondenta ai ! f (ai) : Nici natura elementelormultimii M nu are important¼a. Pentru c¼a f este bijectiv¼a multimeaff (a1) ; f (a2) ; :::; f (an)g = M;elementele lui M �ind altfel ordonate. Fie
aceast¼a ordine fa�1 ; a�2 ; :::; a�n ; g ; adic¼a a�k = f (ak) ; k = 1; 2; :::; n: Indicii�1; �2; :::; �n reprezint¼a o alt¼a ordonare a indicilor f1; 2; :::; ng : În acest fel oricepermutare a multimii f1; 2; :::; ng si anume:
f ��
a1 a2 :::: anf (a1) f (a2) :::: f (an)
�=
�a1 a2 :::: ana�1 a�2 :::: a�n
�$�
1 2 :::: n�1 �2 :::: �n
�=
�1 2 :::: n
� (1) � (2) :::: � (n)
�� �:
Astfel, este su�cient s¼a studiem permut¼arile multimii f1; 2; :::; ng :Grupulacestor permut¼ari îl not¼am Sn:
Sn este un grup ( în raport cu compunerea functiilor= �nit cu n! elemente.Dac¼a �; � 2 Sn; atunci:
� � � =
�1 2 :::: n
(� � �)1 (� � �)2 :::: (� � �)n
�=
=
�1 2 :::: n
� (� (1)) � (� (2)) :::: � (� (n))
�:
Convenim ca aceast¼a compunere de permut¼ari s¼a o not¼am multiplicativ sis¼a o numim produs de permut¼ari. Elementul neutru este permutarea dat¼a defunctia identitate:
18
e =
�1 2 ::: n1 2 ::: n
�: Inversa unei permut¼ari:
� =
�1 2 :::: n
� (1) � (2) :::: � (n)
�va ���1 =
�� (1) � (2) :::: � (n)1 2 :::: n
�si cum ordinea elementelor nu conteaz¼a :
��1 =
�1 2 :::: n
��1 (1) ��1 (2) :::: ��1 (n)
�:
De exemplu:
� =
�1 2 3 4 55 1 2 3 4
�) ��1 =
�5 1 2 3 41 2 3 4 5
�=
�1 2 3 4 52 3 4 5 1
�:
Pentru n � 3; Sn nu este comutativ.Aceast¼a a�rmatie se demonstreaz¼a construind un exemplu în care �� 6= ��:Fie
� =
�1 2 3 4 :::: k :::: n3 1 2 4 :::: k :::: n
�si
� =
�1 2 3 4 :::: k :::: n1 3 2 4 :::: k :::: n
�;
�� =
�1 2 3 4 :::: k :::: n3 2 1 4 :::: k :::: n
�;
�� =
�1 2 3 4 :::: k :::: n2 1 3 4 :::: k :::: n
�si �� 6= ��:Pentru n = 1 sau n = 2 stim c¼a ordinul lui Sn < 5 si pe orice
grup cu ordin � 5 este comutativ. (Ordinul lui S3 = 3! = 6):De�nitia 1.4.9 O permutare se numeste transpozitie, dac¼a este de forma:
� =
�1 2 ::: i� 1 i i+ 1 i+ 2 :: n1 2 ::: i� 1 i+ 1 i i+ 2 :: n
�;
adic¼a dac¼a � este de�nit¼a astfel:
� (k) =
8<: k k 6= i ; k 6= i+ 1 ; k 2 f1; 2; :::; ngi+ 1 k = 1i k = i+ 1
Observatie: Inversa unei transpozitii coincide cu transpozitia dat¼a.Propozitia 1.4.5 Orice permutare � 2 Sn se poate scrie ca produs de
transpozitii.
Demonstratie: Fie � =�
1 2 :::: n�1 �2 :::: �n
�:S¼a presupunem c¼a �n <
n:Consider¼am produsul dintre transpozitia: (�n; �n + 1) si �:
19
� = (�n; �n+1) :
� =
�1 2 ::: n� 1 n�1 �2 ::: �n�1 �n + 1
�ceea ce înseamn¼a c¼a imaginea lui n a
crescut cu o unitate. Atunci efectuând un produs de tipul:� = (n� 1; n) (n� 2; n� 1) ::: (�n + 1; �n + 2) (�n; �n+1)�; vom obtine:
� =
�1 2 ::: n� 1 n�1 �2 ::: �n�1 n
�:
Proced¼am similar cu permutarea � astfel încât imaginea lui n� 1 s¼a devin¼an� 1; adic¼a efectu¼am produsul:
(n� 2; n� 1) (n� 3; n� 2) ::: (�n�1; �n�1 + 1) �
si vom obtine o permutare � :
� =
�1 2 ::: n� 2 n� 1 n�1 �2 ::: �n�2 n� 1 n
�:
Având de efectuat un num¼ar �nit de pasi tragem concluzia c¼a exist¼a trans-pozitiile �1; �2; :::; �k astfel încât �1; �2; :::; �k� = e deci � = (�k)
�1(�k�1)
�1 �::: � (�1)�1 si cum pentru o transpozitie � avem c¼a � = ��1 ) � = �k�k�1:::�1:
Exemplu: S¼a scriem permutarea � =�1 2 3 4 53 1 4 5 2
�ca produs de
transpozitii.Primul pas impune efectuarea urm¼atorului produs:
(4; 5) (3; 4) (2; 3)� =
= (4; 5) (3; 4)
�1 2 3 4 52 1 4 5 3
�=
= (4; 5)
�1 2 3 4 52 1 3 5 4
�=
=
�1 2 3 4 52 1 3 4 5
�= �
Observ¼am c¼a astfel am f¼acut ca imaginea lui 5 s¼a devin¼a 5. Din întâmplareavem realizate si corespondentele 3 ! 3 si 4 ! 4: Atunci (1; 2) � = e; deci(1; 2) (4; 5) (3; 4) (2; 3)� = e; deci
� = (2; 3)�1(3; 4)
�1(4; 5)
�1(1; 2)
�1 adic¼a � = (2; 3) (3; 4) (4; 5) (1; 2)În general descompunerea unei permut¼ari în produs de transpozitii nu este
unic¼a (putem impune în primul pas ca imaginea lui 1 s¼a �e 1).De�nitia 1.4.10 Perechea fi; kg se numeste regulat¼a fat¼a de permutarea �
dac¼a diferentele i � k si �i � �k au acelasi semn. Dac¼a semnele sunt contrarespunem c¼a perechea fi; kg este o inversiune pentru permutarea �:Not¼am cu inv (�) num¼arul tuturor inversiunilor permut¼arii �:Determinarea lui inv (�) poate � f¼acut¼a astfel. Se scrie � sub form¼a de
tablou. Ne pozition¼am pe prima coloan¼a (corespunz¼atoare lui 1 pe linia de sus)
20
si determin¼am num¼arul elementelor de pe linia a doua a�ate la dreapta lui �1si care sunt mai mici decât �1: Fie acest num¼ar m1: Trecem la a doua coloan¼a( corespunz¼atoare lui 2 pe linia de sus) si determin¼am num¼arul elementelor depe linia a doua a�ate la dreapta lui �2 si care sunt mai mici decât �2: Fieacest num¼ar m2: Repet¼am procesul pân¼a la ultima coloan¼a inclusiv. inv (�) =m1 +m2 + :::+mn�1:
Exemplu: S¼a determin¼am inv (�) pentru � =�1 2 3 4 5 63 1 5 6 2 4
�;
m1 = 2; (�1 = 3; �2 = 1; �5 = 2 < 3) ;m2 = 0;m3 = 2 (�3 = 5; �5 = 2; �6 = 4 < 5) ;m4 = 2;m5 = 0:Deci:inv (�) = m1 +m2 +m3 +m4 +m5 = 2 + 0 + 2 + 2 + 0 = 6De�nitia 1.4.11 Permutarea � 2 Sn se numeste par¼a, respectiv impar¼a,
dup¼a cum este inv (�) par sau impar.De�nitia 1.4.12 Se numeste signatur¼a a permut¼arii � 2 Sn num¼arul " (�) =
(�1)inv(�) :Propozitia 1.4.6 Fie � o transpozitie din Sn: Atunci " (�) = �1:Demonstratia rezult¼a din de�nitia transpozitiei.Num¼arul maxim de inversiuni ale unei permut¼ari este C2n iar num¼arul minim
este 0. Permut¼arile care realizeaz¼a acest lucru sunt:
i =
�1 2 ::: nn n� 1 ::: 1
�si e =
�1 2 ::: n1 2 ::: n
�Teorema 1.4.2 Dac¼a � 2 Sn atunci
" (�) =Y
1�i<j�n
i� j�i � �j
=Y
1�i<j�nsgn
i� j�i � �j
:
Demonstratie: Pentru c¼a � este o bijectie avem egalitatea multimilorf1; 2; :::; ng = f�1; �2; :::; �ng ; multimea tuturor multimilor cu dou¼a elementede tip f�i; �jg coincide cu multimea tuturor multimilor cu dou¼a elemente detip fi; jg : Atunci produsul
Q1�i<j�n
(i� j) difer¼a deQ
1�i<j�n(�i � �j) eventual
printr-un semn. DeciY1�i<j�n
i� j�i � �j
2 f�1; 1g având si egalitateaY
1�i<j�n
i� j�i � �j
=Y
1�i<j�nsgn
i� j�i � �j
:
Dac¼a sgn i�j�i��j = �1 rezult¼a c¼a perechea fi; jg este o inversiune.
Num¼arul tuturor factorilor negativi de acest tip va � deci inv (�) si atunciY1�i<j�n
sgni� j�i � �j
= (�1)inv(�) = " (�) :
Teorema 1.4.3 Oricare ar � �; � 2 Sn; " (��) = " (�) � " (�) :Demonstratie: Fie
21
� =
�1 2 ::: n
� (1) � (2) ::: � (n)
�si � =
�1 2 ::: n
� (1) � (2) ::: � (n)
�:
Pentru c¼a ordinea elementelor nu este esential¼a pe prima linie, putem s¼aaranj¼am prima linie a lui � în ordinea dat¼a de a doua linie a lui � deci:
� =
�� (1) � (2) ::: � (n)
� (� (1)) � (� (2)) ::: � (� (n))
�;
atunci
� (�) � " (�) =Y
1�i<j�n
� (i)� � (j)� (� (i))� � (� (j)) �
Y1�i<j�n
i� j� (i)� � (j) =
=Y
1�i<j�n
i� j� (� (i))� � (� (j)) = � (�; �)
Propozitia 1.4.7 Oricum am descompune o permutare în produs de trans-pozitii, descompunerile au ca num¼ar de factori aceeasi paritate.Demonstratie: Fie � = �1�2:::�k = � 01�
02:::�
0p dou¼a descompuneri distincte
în produs de transpozitii ale permut¼arii �:Conform teoremei 3 si propozitiei 6" (�) = (�1)k = (�1)p ; deci k si p trebuie s¼a aib¼a aceeasi paritate.Propozitia 1.4.8 Dac¼a � 2 Sn atunci " (�) = "
���1
�:
Demonstratie: Fie � 2 Sn si � = �1�2:::�p o descompunere a sa în produsde transpozitii.Atunci " (�) = (�1)p ; ��1 = ��1p ��1p�1:::�
�11 = �p�p�1:::�1 si "
���1
�=
(�1)pPropozitia 1.4.9 Dac¼a n � 2 multimea permut¼arilor pare si multimea
permut¼arilor impare din Sn au acelasi num¼ar de elemente.Demonstratie:Fie S+n si S
�n multimile permut¼arilor pare respectiv impare
de n elemente si � o transpozitie oarecare din Sn:Consider¼am functia f : S+n ! S�n ; f (�) = ��:Fie � 2 S�n si ecuatia f (�) = �; �� = �: Dar Sn e grup, deci aceast¼a ecuatie
admite solutie () f surjectiv¼a) ; unic¼a () f injectiv¼a) :Deci S+n si S�n au acelasi
num¼ar de elemente.
5. Inele si corpuri
De�nitia 1.5.1 Fie A o multime nevid¼a, înzestrat¼a cu dou¼a legi de com-pozitie pe A: Spunem c¼a A are o structur¼a de inel în raport cu operatiile deadunare (+) si înmultire (�) ; dac¼a sunt satisf¼acute urm¼atoarele axiome:1) Perechea (A;+) este grup comutativ.2) Legea de compozitie multiplicativ¼a (�) este asociativ¼a, adic¼a 8x; y; z 2 A
avem x � (y � z) = (x � y) � z3) Înmultirea este distributiv¼a fat¼a de adunare, adic¼a 8x; y; z 2 A; x�(y + z) =
x � y + x � z si (x+ y) � z = x � z + y � z:
22
De�nitia 1.5.2 Inelul (A;+; �) se numeste inel comutativ dac¼a legea decompozitie este comutativ¼a.De�nitia 1.5.3 Inelul (A;+; �) se numeste inel unitar dac¼a legea multiplica-
tiv¼a admite element unitate, adic¼a exist¼a un element notat cu 1; 1 2 A astfelîncât pentru orice x 2 A s¼a avem x � 1 = 1 � xPropriet¼ati:
1. Pentru orice x; y 2 A avem:
x � 0 = 0 � x = 0; (�x) y = x (�y) = � (xy) ; (�x) (�y) = xy:
Demonstratie: Pentru c¼a 0 este elementul neutru fat¼a de adunare avem:x = x+ 0 deci x � x = x � x+ x � 0 si deci 0 = x � 0Apoi 0 = 0 � y = [(�x) + x] y = (�x) y + xy deci (�x) y = � (xy) si0 = x � 0 = x � [(�y) + y] = x � (�y) + xy adic¼a x (�y) = � (xy) : Pentruultima relatie observ¼am c¼a (�x) (�y) = �x (�y) = � [� (xy)] = xy:
2. Dac¼a inelul (A;+; �) are cel putin dou¼a elemente atunci 1 6= 0:Demonstratie: Presupunem prin absurd c¼a 1 = 0: Atunci 8x 2 Aavem:x = x � 1 = x � 0 = 0 si deci A = f0g :
3. Pentru orice x 2 A;n 2 N; elementele (1� x) si�xn�1 + xn�2 + :::+ x+ 1
�comut¼a, adic¼a:
1�xn = (1� x)�xn�1 + xn�2 + :::+ x+ 1
�=�xn�1 + xn�2 + :::+ x+ 1
�(1� x)
4. Fie (A;+; �) un inel cu element unitate. Dac¼a pentru un element x 2 Aexist¼a n 2 N astfel încât xn = 0 atunci elementul 1� x este inversabil si(1� x)�1 = xn�1 + xn�2 + :::+ x+ 1:
De�nitia 1.5.4 Un element x 2 (A;+; �) pentru care 9n 2 N astfel încâtxn = 0 se numeste element nilpotent.Teorema 1.5.1 Fie (A;+; �) un inel comutativ si cu element unitate. Atunci
multimea tuturor elementelor inversabile din A formeaz¼a grup comutativ înraport cu operatia multiplicativ¼a din inel.Demonstratie: Fie G � A multimea elementelor din A inversabile.G nu
este vid¼a pentru c¼a 1 2 G si 1 este inversabil. G este parte stabil¼a fat¼a deînmultirea din A pentru c¼a dacp x 2 G ) x�1 2 G ti atunci dac¼a x; y 2 G )xy 2 G pentru c¼a xyy�1 = 1 si y�1x�1xy = 1 deci xy este inversabil decixy 2 G: Asociativitatea este asigurat¼a de asociativitatea înmultirii din A si lafel comutativitatea.De�nitia 1.5.5 Fie (A;+; �) un inel oarecare. Dou¼a elemente a; b 2 A se
numesc divizori ai lui 0 dac¼a a 6= 0; b 6= 0 ti ab = 0:a se numeste divizor stângiar b se numeste divizor drept.Propozitia 1.5.1 Fie (A;+; �) un inel cu element unitate. Atunci elementele
inversabile din I nu pot � divizori ai lui 0:
23
Demonstratie: Fie x un element inversabil , x�1 inversul s¼au si presupunemc¼a 9y 6= 0 astfel încât xy = 0: Astfel x�1xy = x�10 = 0 deci y = 0 contradictie.De�nitia 1.5.6 Un inel (A;+; �) se numeste domeniu de integritate dac¼a
este inel comutativ f¼ar¼a divizori au lui 0.Propozitia 1.5.2 Dac¼a (A;+; �) este un domeniu de integritate, atunci în
A este valabil¼a regula de simpli�care la stânga si la dreapta pentru elementenenule, adic¼a din egalitatea ax = ay si xa = ya cu a 6= 0 rezult¼a x = y:Demonstratie: Egalitatea ax = ay ne conduce, dac¼a not¼am cu �ay simet-
ricul lui ay; la relatia ax� ay = a (x� y) = 0:Dar a 6= 0 si deci x� y = 0 adic¼ax = y:Teorema 1.5.2 Dac¼a p 2 N; p � 2 si p este num¼ar prim atunci inelul
(Zp;+; �) al claselor de resturi modulo p este domeniu de integritate.Dac¼a p nu este num¼ar priim atunci inelul (Zp;+; �) are divizori ai lui 0:Demonstratie: Fie p num¼ar prim � 2 si presupunem prin absurd c¼a exist¼a
x; y 2 Zp; x 6= b0; y 6= b0 astfel încât xy = b0: Dar xy = b0 ) xy = 0 (mod p) decixy este multiplu de p; deci 9n a:i: xy = np; p �ind prim avem sau x = kp sauy = lp si deci x = b0 sau y = b0:Dac¼a p nu este prim, atunci exist¼a m;n 2 N a:i: m 6= 1n 6= 1;m < p; n < p si mn = p: Atunci bm � bn = bp = b0; deci bm; bn sunt divizori
ai lui 0.De�nitia 1.5.7 Fie (A;+; �) un inel cu element unitate. Se numeste carac-
teristic¼a a inelului A cel mai mic num¼ar natural nenul n cu proprietatea n�1 = 0:Dac¼a nu exist¼a astfel de num¼ar spunem c¼a inelul are caracteristica 0:Exemple:1. (Zp;+; �) este un inel de caracteristic¼a p:2. (Zp;+; �) este un inel de caracteristic¼a 0.Propozitia 1.5.3 Dac¼a (A;+; �) este un domeniu de integritate cu element
unitate atunci caracteristica sa este 0 sau un num¼ar prim.Demonstratie: Avem de demonstrat c¼a dac¼a domeniul este de caracteris-
tic¼a n 6= 0 atunci n este num¼ar prim. Fie n 6= 0 caracteristica lui (A;+; �) sis¼a presupunem c¼a n = pq; p; q 2 N; p; q 6= 1: Atunci (p � 1) (q � 1) = (pq) � 1 =n � 1 = 0: A este domeniu de integritate deci sau p � 1 = 0 sau q � 1 = 0: Avemp < n; q < n si n cel mai mic num¼ar natural nenul cu proprietatea n � 1 = 0deci contradictie.Propozitia 1.5.4 Fie (A;+; �) un inel comutativ, cu element unitate, de
caracteristic¼a n; n num¼ar prim. Atunci pentru orice x; y 2 A avem (x+ y)n=
xn+yn si înc¼a pentru orice k 2 N; k � 1; (x1 + x2 + :::+ xk)n = xn1+xn2+:::+x
nk :
Demonstratie: Dac¼a n este num¼ar prim atunci Ckn este un num¼ar care sedivide cu n pentru orice k; k 6= 0; k 6= n:A �ind inel comutativ functioneaz¼a înel formula dat¼a de binomul Newton, adic¼a:
(x+ y)n=
nXk=0
Cknxn�kyk:
Fie k 6= 0 si k 6= n:Atunci
24
Cknxn�kyk: = n � r � xn�k � yk = xn�kyk: + :::+ xn�kyk:
de n�r ori=
= (1 + 1 + :::+ 1)de n�r ori
xn�k � yk = r � (n � 1)xn�k � yk = r � 0 � xn�k � yk = 0
pentru c¼a n este caracteristica inelului. În consecint¼a (x+ y)n = xn + yn:Pentru cazul general avem
(x1 + x2 + :::+ xk)n=
= [x1 + (x2 + :::+ xk)]n= xn1 + (x2 + :::+ xk)
n= xn1 + [x2 + (x3 + :::+ xk)]
n=
= xn1 + xn2 + (x3 + :::+ xk)
n= xn1 + x
n2 + x
nk :
Corolar Pentru orice m 2 N si p 2 N; p num¼ar prim, num¼arul mp �m sedivide cu p:( mica teorem¼a a lui Fermat).Demonstratie: În propozitia anterioar¼a consider¼am A = Zp; p num¼ar prim
si x1 = x2 = ::: = xm = b1: Avem�b1 + b1 + :::+ b1�de m ori
p
= b1p + b1p + :::+ b1pde m ori
= b1 + b1 + :::+ b1de m ori
) mp�b1p = m�b1) mp�b1�m�b1 = 0(mp �m)b1 = b0; Zp este domeniu de integritate deci mp�m este un multiplu
de p:
Inele Booleene
De�nitia 1.5.8 Un inel (B;+; �) se numesc boolean dac¼a este comutativ silegea de compozitie multiplicativ¼a este idempotent¼a adic¼a pentru orice x 2 Bavem x2 = x:Exemple:
1. (Z2;+; �) este un inel boolean.
2. Fie U o multime universal¼a si P (U) multimea p¼artilor sale. Pe P (U)consider¼am dou¼a legi de compozitie si anume diferenta simetric¼a, (notat¼aaditiv) si intersectia, notat¼a multiplicativ, adic¼a:
8A;B 2 P (U) ; A+B = A�B = (A nB) [ (B nA) = (A \ CUB) [ (B \ CUA)si
A �B = A \B:
Se veri�c¼a usor c¼a:(P (U) ;+) este grup comutativ.
25
Intersectia este distributiv¼a fat¼a de diferenta simetric¼a, este asociativ¼a, co-mutativ¼a si idempotent¼a.Propozitia 1.5.5 Nu exist¼a inel boolean cu 3 elemente.Demonstratie: Presupunem prin absurd c¼a exist¼a (B;+; �) inel boolean cu
B = f0; a; bg : Stim c¼a exist¼a o singur¼a structur¼a de grup cu trei elementesi s¼a analiz¼am posibilit¼atile pentru cea de a doua lege. Prima linie si prima
coloan¼a vor �numai cu elementul 0 si mai avem impuse conditiile aa = a; bb = bdeci:Dac¼a a � b = 0; din b = a+ a avem 0 = ab = a (a+ a) = aa+ aa = a+ a = b
dar b 6= 0:Dac¼a a � b = a; din b = a+ a avem 0 = ab = a (a+ a) = aa+ aa = a+ a = bdar a 6= b:Dac¼a a � b = b; din ab = ba si a = b + b avem b = ba = b (b+ b) =
bb+ bb = b+ b = a; deci propozitia este demonstrat¼a.
Inele ordonate
De�nitia 1.5.9 Fie (A;+; �) un inel comutativ. A se numeste inel ordonatdac¼a exist¼a o submultime P � A astfel încât:
1. P este o parte stabil¼a fat¼a de adunare (8x; y 2 P; x+ y 2 P )
2. P este o parte stabil¼a fat¼a de înmultire (8x; y 2 P; xy 2 P )
3. 0=2 P
4. Pentru orice x 2 I numai una dintre urm¼atoarele a�rmatii este adev¼arat¼ax 2 P; x = 0;�x 2 P
Exemple:
1. (Z;+; �) este un inel ordonat deoarece N� = N nf0g � Z satisface conditi-ile din de�nitie.
2. (Q;+; �) este un inel ordonat pentru c¼a multimea Q+ =�mn j m;n 2 N
�satisface propriet¼atile din de�nitie.
3. (C;+; �) nu este ordonat.
Pentru a demonstra acest lucru presupunem c¼a exist¼a P � C care în-deplineste conditiile din de�nitia 9 si �e i 2 C; i 6= 0) i 2 P sau �i 2 P: Dac¼ai 2 P ) i2 2 P ) �1 2 P dar si i4 2 P ) 1 2 P contradictie. În cazul în care�i 2 P atunci (�i)3 2 P dar (�i)3 = i si în concluzie C nu este ordonat.
Subinele
De�nitia 1.5.10 Fie (A;+; �) un inel. O submultime I � A se numestesubinel al lui A dac¼a operatiile induse pe I fac din acesta un inel.Teorema 1.5.3 Fie (A;+; �) un inel oarecare si I � A: Urm¼atoarele a�rmatii
sunt echivalente:
26
1. (I;+; �) este subinel
2. (I;+) este subgrup al lui (A;+) si I este parte stabil¼a fat¼a de înmultire
3. Pentru orice x; y 2 I elementele x+ y;�x si xy apartin lui I
4. Pentru orice x; y 2 I elementele �x+ y si xy apartin lui I
5. Pentru orice x; y 2 I elementelex� y si xy apartin lui I:
Demonstratia este imediat¼a si o l¼as¼am pe seama cititorului.
Mor�sme de inele
De�nitia 1.5.11 Fie (A;+; �) si (B;�; �) dou¼a inele si f : A! B o functief se numeste:
a) homomor�sm (mor�sm) de inele dac¼a:
f (x+ y) = f (x)� f (y) si f (x � y) = f (x) f (y) ;8x; y 2 A:
b) izomor�sm de inele dac¼a f este mor�sm si f este bijectiv¼ac) automor�sm dac¼a f : A! A si f este izomor�sm.
CorpuriDe�nitia 1.5.11 Un inel unitar (K;+; �) pentru care orice element diferit
de 0 este inversabil se numeste corp.De�nitia 1.5.12Corpul K se numeste comutativ dac¼a înmultirea este co-
mutativ¼a.Observatia 1.5.1 Dac¼a (K;+; �) este un corp atunci (K� = K n f0g ; �) este
grup si K comutativ ) (K�; �) este comutativ.Observatia 1.5.2 Orice corp are cel putin dou¼a elemente.Observatia 1.5.3 Într-un corp nu exist¼a divizori ai lui 0.Observatia 1.5.4 (Z;+; �) este domeniu de integritate dar nu este corp.Propozitia 1.5.6 Orice domeniu de integritate care are un num¼ar �nit de
elemente este un corp comutativ.Demonstratie: Fie (K = f0; a1; a2; :::; ang ;+; �) un domeniu de integri-
tate, 0 �ind elementul neutru fat¼a de +: Este su�cient s¼a demonstr¼am c¼a(K� = K n f0g ; �) este grup si pentru aceasta este su�cient s¼a ar¼at¼am c¼a ecuatiaax = b are solutie unic¼a înK�: Fie ai 2 K� �xat. MultimeaAi = faia1; aia2; :::; aiang =K� pentru c¼a dac¼a aiak = aial pentru l 6= m;K �ind domeniu de integritate) ak = al pentru l 6= m contradictie. Atunci oricare ar � ak 2 K exist¼al 2 f1; :::ng astfel încât aial = ak deci ecuatia aix = ak are solutie. În plus dac¼aexist¼a x1 si x2 astfel încât aix1 = aix2 rezult¼a X1 = x2 deci (K�; �) este grup.La fel ca în cazul inelelor se de�neste si pentru corpuri notiunea de mor�sm
de corpuri.De�nitia 1.5.13 Fie (K;+; �) si (K 0;�; �) dou¼a corpuri si f : K ! K 0 o
functie.f se numeste homomor�sm (sau mor�sm) de corpuri dac¼a
27
8x; y 2 K avem f (x+ y) = f (x)� f (y) si f (x � y) = f (x) � f (y) :
Datorit¼a faptului c¼a structura de corp este mai restrictiv¼a decât cea de inelrezult¼a c¼a mor�smele de corpuri au propriet¼ati în plus.Propozitia 1.5.7 Fie f : K ! K 0 un mor�sm de corpuri. Atunci f este
sau mor�smul nul (f (x) = 0;8x 2 K) sau f (1) = 10 si în acest caz f este functieinjectiv¼a.Demonstratie: f mor�sm de corpuri ) f mor�sm de inele ) f (0) = 00:
Fie 1 elementul unitate al lui K si a0 imaginea sa prin f: f (1) = a0:Dac¼a a0 = 00 atunci pentru orice x 2 K avem:f(x) = f(x � 1) = f(x) � f(1) = f(x) � 00 = 00 deci f este mor�smul nul.Dac¼a a0 6= 00 atunci din 1�1 = 1 avem a0 = f(1) = f(1�1) = f(1)�f(1) = a0 �a0
deci a0(1 � a0) = 00 si de aici a0 = 10. S¼a ar¼at¼am c¼a f este si injectiv. Fiex1; x2 2 K;x1 6= x2 si f(x1) = f(x2) atunci f(x1 � x2) = f(x1 + (�x2)) =f(x1)� f(x2) = f(x1)� f(x2) = 00 , deci x1 � x2 = 0 contradictie.Ca si în cazul inelelor de�nim caracteristica unui corp ca �ind cel mai mic
num¼ar natural p pentru care px = 0 unde notatia px este conventional¼a si anumex+ x+ :::+ x = px
de p ori.
De�nitia 1.5.14 Fie (K;+; �) un corp si L � K:L se numeste subcorp dac¼aoperatiile induse de pe K fac din L un corp.Observatia 1.5.5 Un corp �nit are caracteristica diferit¼a de 0.Observatia 1.5.6 Fie K un corp de caracteristic¼a p în care not¼am cu e
elementul unitate. Atunci (S = fe; 2e; 3e; :::; (p� 1)eg ;+; �) este un subcorp allui K si S este izomorf cu Zp.De�nitia 1.5.15 Un corp prim este un corp K care nu include nici un
subcorp propriu.Exemple:
1. Corpul Q al numerelor rationale este prim.
Demonstratie: Presupunem c¼a exist¼a Q0 � Q un subcorp propriu.
(a) Atunci 10 = 1; z � 1 2 Q0;8z 2 Z si deci z�1t�1 2 Q0 cu z 2 Z si t 2 Z�
deci zt 2 Q0 adic¼a Q0 = Q .
2. Corpurile de caracteristic¼a p conform observatiei 6 includ un corp primizomorf cu Zp.
3. Zp este un corp prim.
Observatia 1.5.7 Intersectia arbitrar¼a a subcorpurilor unui corp este unsubcorp.Observatia 1.5.8 Intersectia tuturor subcorpurilor proprii ale unui corp K
este un corp prim numit subcorpul prim al corpului K.Observatia 1.5.9 Subcorpul prim al unui subcorp este corp comutativ.
28
Demonstratie: Fie e elementul unitate din corpul K si H subcorpul primal lui K:e 2 H: Atunci L = fz � e j z 2 Zg � H. Dac¼a L este corp atunci H = Lsi H este comutativ.Dac¼a L nu este corp atunci P =
�mene j m;n 2 Z; ne 6= 0
este corp comutativ
si P = H .
6. Module si spatii vectoriale
Fie I un inel si M un grup abelian. Convenim s¼a not¼am cu litere grecestielementele lui I si cu litere latine elementele lui M .De�nim aplicatiile 'S : I �M �! M si 'd : M � I �! M cu urm¼atoarele
propriet¼ati:
1. 'S(�+ �; x) = 'S(�; x) + 'S(�; x)
'd(x; �+ �) = 'd(x; �) + 'd(x; �)
2. 'S(�; x+ y) = 'S(�; x) + 'S(�; y)
'd(x+ y; �) = 'd(x; �) + 'd(y; �)
3. Notând cu " unitatea lui I avem
'S("; x) = x , 'd(x; ") = x
4. 'S(��; x) = 'S(�; 'S(�; x)) , 'd(x; ��) = 'd ('d(x; �); �)
De�nitia 1.6.1 Un I modul stâng este un triplet (I;M;'S), iar un I moduldrept este un triplet (I;M;'d).Exemple:
1. Orice inel I este un I modul stâng sau drept. Orice ideal la stânga al luiI este un I modul stâng si orice ideal la dreapta al inelului I este un Imodul drept.
2. Orice grup abelian este Z modul stâng sau drept.
(considerând 'S(�; x) = �x = x+ x+ :::+ xde � ori
)
3. Fie (A;+; �) si (B;�; �) dou¼a inele, f : A �! B un mor�sm de inele si'S : A�B ! B; 'S(�; x) = f(�) � x. Atunci B este un A modul stâng.
4. Fie G un grup abelian si EndG multimea endomor�smelor lui G . EndGpoate � înzestrat¼a cu o structur¼a de inel cu operatiile de adunare si decompunere a mor�smelor (�+�)(x) = �(x)+�(x) si (���)(x) = �(�(x))si cu endomor�smul identic ". De�nim 'S : EndGxG �! G;'S(�; x) =�(x) si astfel G este un EndG modul stâng.
De�nitia 1.6.2 Un submodul M , al unui I modul M este o submultimeM1 �M care este ea îns¼asi un I modul de aceeasi natur¼a ca si M .De�nitia 1.6.3 Un submodul se zice modul simplu sau ireductibil dac¼a el
nu admite submodule proprii de aceeasi natur¼a cu el.
29
Fie M un I modul stâng si S �M . Consider¼am o aplicatie i : S �! I nul¼aaproape peste tot (adic¼a i(x) 6= 0 pentru un num¼ar �nit de elemente din S).De�nitia 1.6.4 Numim combinatie liniar¼a de elemente din S un element
y 2M de forma y =Px2S
i(x) � x.
Se veri�c¼a imediat c¼a multimea acestor sume formeaz¼a un submodul N;S �N si N este inclus în orice submodul care îl contine pe S.Not¼am acest submodul N = N(S) si îl vom numi submodulul generat de S.De�nitia 1.6.5 Fie M un I modul , M1;M2 submodule ale sale.Suma submodulelor M1 si M2 este prin de�nitie:M1 +M2 = fx 2M j 9m1 2M1si 9m2 2M2 a.i. x = m1 +m2g :Se observ¼a c¼a M1 +M2 este un submodul.Observatia 1.6.1 M1 [M2 în general nu este submodul.Avem N(M1 [M2) =M1 +M2.De�nitia 1.6.6 Elementele m1;m2; :::;mk se numesc liniar dependente la
stânga dac¼a exist¼a k elemente din I nu toate nule astfel încât:�1m1 + �2m2 + :::+ �kmk = 0 (unde am notat �imi = 's(�imi))În caz contrar m1;m2; :::;mk se numesc liniar independete. (acest lucru se
traduce prin : orice combinatie liniar¼a a lor nul¼a este identic nul¼a).De�nitia 1.6.7 Complexul K � M se numeste liniar dependent dac¼a el
contine o multime de elemente liniar dependente. În caz contrar K este liniarindependent sau liber.Dac¼a complexul K este liber atunci orice element din N(K) se exprim¼a în
mod unic în functie de elementele din K si reciproc. În acest caz complexul Keste o baz¼a pentru submodul N(K).De�nitia 1.6.8 Un I modul M care posed¼a o baz¼a se numeste modul liber.Exemple:
1. Z este un Z modul liber.
2. Fie G un grup �nit abelian de ordin n. Z modulul G nu este liber pentruc¼a 8x 2 G;nx = 0.
De�nitia 1.6.9 Perechea de elemente x; y 2 M este congruent¼a dup¼a sub-modulul M1; x � y (mod M1) dac¼a x� y 2M1.Relatia indrodus¼a de de�nitia 9 este o relatie de echivalent¼a. Clasa de
echivalent¼a a elementului x este complexul M1 + x = bx. De�nind adunareaa dou¼a clase bx + by = b
x+ y si înmultirea cu un element al inelului abx = bax ,
multimea claselor de echivalent¼a devine un I modu·l: modulul cât al lui M prinM1 , notat M=M1 .De�nitia 1.6.10 Fie M1 si M2 dou¼a I module de aceeasi natur¼a si f :
M1 �! M2:f se numeste homomor�sm de module (sau mor�sm de module)dac¼a:
1. f(x+ y) = f(x) + f(y) oricare al � x; y 2M1
2. f(�x) = �f(x) oricare ar � x 2M1 si pentru orice � 2 I.
30
Un homomor�sm bijectiv se numeste izomor�sm.De�nitia 1.6.11 Numim nucleul mor�smului f :M1 �!M2 multimea Ker
f = fx 2M1 j f(x) = 0 2M2g, iar imaginea mor�smului Im f = f(M1).Observatie: Ker f este submodul al lui M1 iar Im f submodul al lui M2.Ker f = f0g () f este mor�sm injectiv.Not¼am Hom(M1;M2) multimea tuturor homomor�smelor de module de la
M1 la M2.De�nitia 1.6.12 Un sir exact de dou¼a homomor�sme este o pereche f; g
de homomor�sme f 2 Hom(M1;M2) si g 2 Hom(M2;M3) cu proprietatea Imf = Kerg.
Observatie: f0g �!M1f�!M2 este sir exact () f este mor�sm injectiv.
M1g�!M2 �! f0g este sir exact () f este mor�sm surjectiv.
Spatii vectoriale
De�nitia 1.6.13 Un spatiu liniar (sau vectorial)V peste un corp K, numitcorp de scalari, este o multime de elemente a; b; :::; x; y:::; înzestrat¼a cu dou¼aoperatii, una intern¼a notat¼a aditiv în raport cu care V este grup comutativsi una extern¼a de�nit¼a K � V �! V pe numit¼a înmultire cu scalari care areurm¼atoarele propriet¼ati:1. (�+�) = �x+�x;8�; � 2 K si 8x 2 V (distributivitate fat¼a de adunarea
din K).2. �(x + y) = �x + �y;8� 2 K si 8x; y 2 V (distributivitate fat¼a de
adunarea din V ).3. (��) = �(�x);8�; � 2 K si 8x 2 V4. Dac¼a not¼am cu 1 elementul unitate din K atunci 8x 2 V avem 1 �x = x.Observatie: Un I modul stâng pentru care I este corp este un spatiu vecto-
rial.Exemple: 1. Fie K un corp si K 00 = K �K � :::�K| {z }
de n ori
(produsul cartezian).
Un element din K 00 va � un n-uplu (�1; �2; :::; �n).K 00 = fx = (�1; �2; :::; �n) j �i 2 K; i 2 f1; 2; :::; ngg.Pe K 00 introducem adunarea de vectori si înmultirea cu un scalar astfel:(�1; �2; :::; �n) + (b1; b2; :::; bn) = (�1 + b1; �2 + b2; :::; �n + bn)�(�1; �2; :::; �n) = (��1; ��2; :::; ��n)K 00 devine astfel un K spatiu vectorial.2. În particular dac¼a K = f0; 1; :::; q � 1g avem Card(K 00) = q00
3. Un alt caz particular este n = 1 si deci corpul K poate � privit ca spatiulvectorial peste el însusi.4. Multimea tuturor polinoamelor de o nedeterminat¼a cu coe�cienti într-un
corp K împreun¼a cu adunarea polinoamelor si înmultirea polinoamelor cu unelement din K formeaz¼a un spatiu vectorial peste K.5. Multimea matricilor m=n cu elemente dintr-un corp K.De�nitia 1.6.14 Un subspatiu vectorial al spatiului V este o multime V1 �
V care în raport cu operatiile induse este tot un spatiu vectorial peste K.
31
Spatiile vectoriale �ind K-module, dac¼a M � (�1; �2; :::; �n) not¼am cuG(M) subspatiul generat de M . El este cel mai mic subspatiu liniar care îlcontine pe M si se obtine ca intersectia tuturor subspatiilor care îl contin peM .De�nitia 1.6.15 Complexele M1 si M2 incluse în V sunt echivalente dac¼a
G(M1) = G(M2).De�nitia 1.6.16 Fie U un spatiu al lui V . Numim subspatiu cât al spatiului
vectorial V prin subspatiul vectorial U , spatiul vectorial al claselor fx+ U j x 2 V gcu operatiile considerate anterior.De�nitia 1.6.17 Numim baz¼a a spatiului vectorial V o multime M � V
liniar independent¼a pentru care G(M) = V .Se poate ar¼ata c¼a în orice spatiu liniar 6= f0g exist¼a baze.Studiul nostru se m¼argineste la spatiile vectoriale pentru care exist¼a o baz¼a
�nit¼a.Propozitia 1.6.1 Fie B1si B2 dou¼a baze pentru spatiul liniar V peste K .
Atunci Card(B1) = Card(B2).Demonstratia acestei propozitii o l¼as¼am ca exercitiu.De�nitia 1.6.18 Numim dimensiune a spatiului vectorial V si not¼am dimV
cardinalul unei baze a spatiului.Observatie: Dac¼a V 0 � V este un subspatiu liniar al spatiului V atunci
dimV � dimV si dac¼a dimV 0 = dimV =) V 0 = V .Dac¼a dimV 0 = m si dimV = n =) dimV j V 0 = n�m.S¼a demonstr¼am aceast¼a ultim¼a a�rmatie.Fie B = fv1; v2; :::; vm; vm+1; :::; vng o baz¼a pentru V astfel încât B1 =
fv1; v2; :::; vmgs¼a �e o baz¼a pentru V 0. S¼a consider¼am un element x 2 V ; atuncix = �1v1+�2v2+ :::+�mvm+ :::+�m+1vm+1+ :::+�nvn si în consecint¼a avemx = �1v1 + �2v2 + ::: + �nvn(modV
0) . S¼a not¼am cu bx clasa lui x(modV 0)si cu bvj clasele elementelor vj ; j = m + 1; :::; n . Complexul fbvm+1; :::; bvng esteliniar independent si avem c¼a bx = �m+1bvm+1+ :::+�nbvn deci orice element dinV j V 0 se poate exprima unic ca o comboinatie de n �m vectori adic¼a dimVj V 0 = n�m :De�nitia 1.6.19 O form¼a liniar¼a este o aplicatie f : V �! K cu propri-
etatea f(�x+ �y) = �f(x) + �f(y);8�; � 2 K si 8x; y 2 V .S¼a not¼am cu L(V ) = ff j f : V �! K; f form¼a liniar¼ag . Înzestr¼am aceast¼a
multime cu operatiile de adunare si înmultire cu scalari de�nite astfel: (f +g)(x) = f(x) + g(x) si (�f)(x) = �f(x).
L(V ) devine astfel un spatiu liniar peste corpul K. (veri�care exercitiu).De�nitia 1.6.20 Spatiul liniar L(V ) construit anterior se numeste dualul
lui V .Propozitia 1.6.2 Fie V un spatiu vectorial astfel încât dimV = n.Atunci dimL(V ) = n.Demonstratie: Fie B = fe1; e2; :::; eng o baz¼a în V . Dac¼a x 2 (V ) atunci
x = �1e1 + �2e2 + :::+ �nen.Consider¼am f 2 L (V ) ; f (x) = �1f (e1)+ �2f (e2) + :::+ �nf (en) :Rezult¼a c¼a în baza B forma f este determinat¼a dac¼a cunoastem comportarea
ei pe vectorii e1; e2; :::; en ai bazei B.
32
Atunci s¼a alegem B0 = ff1; f2; :::; fng un sistem de n forme liniare de�nit
astfel: fj (ej) = �ij =1 i = j0 i 6= j
si s¼a demonstr¼am c¼a B0 este o baz¼a pentru
L (V ) : Observ¼am c¼a dac¼a x 2 V; x = �1e1 + �2e2 + ::: + �nen; fj (x) = �jsi f (ej) = �j atunci f (x) = �jfj (x) deci B
0 este sistem de generatori pentruL (V ) : este si liniar independent pentru c¼a dac¼a presupunem c¼a B0 nu este liniar
independent atunci dinnPi=1
�ifi(x) = 0 avem cel putin un �i 6= 0 pentru orice x.
Consider¼am atunci x = ei si de aici rezult¼a �i = 0.De�nitia 1.6.21 Fie V si W dou¼a spatii liniare peste corpul K . O form¼a
biliniar¼a în spatiile V si W peste K este o aplicatie � : V � W ! K cupropriet¼atile:1. �(x1 + x2; y) = �(x1; y) + �(x2; y) si �(x; y1 + y2) = �(x; y1) + �(x; y2)2. �(�x; y) = ��(x; y) si �(x; �y) = �(�)�(x; y)unde x1; x2; x3 2 V , y1; y2; y3 2 W;� 2 K; � : K �! K automor�sm cu
pproprietatea c¼a �(�(�)) = �.În cazul în care K = R lu¼am pentru � automor�smul identitate iar dac¼a
K = C putem lua �(�) = � sau �(�) = � (conjugatul num¼arului complex �).S¼a presupunem c¼a fv1; v2; :::; vng este o baz¼a pentru V si fw1; w2; :::; wmg
este o baz¼a pentru W .De�nitia 1.6.22Matricea formei biliniare � corespunz¼atoare bazelor fv1; :::; vng
si fw1; :::; wmgeste B = (�ij)i21;:::;nj21;:::;m
unde �ij = �(vi; wj).
Observatie: Dac¼a V si W sunt spatii liniare peste R si dac¼a x 2 V; y 2W;x =
nPi=1
�ivi si y =mPj=1
�jwj , atunci:
�(x; y) =nPi=1
mPJ=1
�i�j�ij ;matricea B �ind în acest caz cu elemente complexe.
Dac¼a în forma biliniar¼a �(x; y) se �xeaz¼a y, forma devine o form¼a liniar¼a înx si avem �(0; y) = �(x; 0) = 0.Fix¼am ey 2 W si consider¼am Ker(x; ey) nucleul formei liniare în x pentru ey
�xat. Fie Nx = \fKer(x; ey) j ey 2Mg spatiul tuturor vectorilor x 2 V careanuleaz¼a forma biliniar¼a oricare ar � y 2M .Similar putem de�ni Ny ca spatiul tuturor vectorilor y 2 M care anuleaz¼a
forma biliniar¼a � oricare ar � x 2 V .Propozitia 1.6.3 Fie fv1; :::; vng o baz¼a a lui V si fw1; :::; wmg o baz¼a a lui
W . Atunci Nx este multimea solutiilor sistemului�(x;wj) = 0; j = 1; :::;m iar Ny este multimea solutiilor sistemului�(vi; y) = 0; i = 1; :::; n:Demonstratia o l¼as¼am ca exercitiu.De�nitia 1.6.23 O form¼a biliniar¼a pe spatiul V (V =W ) se numeste simet-
ric¼a dac¼a �(x; y) = �(y; x) si antisimetric¼a dac¼a �(x; y) = ��(y; x) ,8x; y 2 V .Propozitia 1.6.4 Orice form¼a biliniar¼a poate � scris¼a ca suma dintre o
form¼a simetric¼a si una antisimetric¼a.Demonstratie: Forma �1(x; y) =
12 [�(x; y) + �(y; x)] este simetric¼a, forma
�2(x; y) =12 [�(x; y)� �(y; x)]este antisimetric¼a si � = �1 + �2 .
33
De�nitia 1.6.24 Forma biliniar¼a � : V �W �! C se numeste hermitian¼adac¼a �(x; y) = �(y; x) .De�nitia 1.6.25 În cazul V =W forma p¼atratic¼a a formei biliniare simet-
rice �(x; y) este functia �(x) = �(x; x) . Forma p¼atratic¼a este pozitiv de�nit¼adac¼a 8x 6= 0; �(x) � 0 , este negativ de�nit¼a dac¼a 8x 6= 0; �(x) � 0 , e sisemide�nit¼a pozitiv sau negativ dac¼a inegalit¼atile nu sunt stricte.Propozitia 1.6.5 Dac¼a x 2 V si x 2 (�1; �2; :::; �n) este exprimarea lui x
într-o baz¼a dat¼a, atunci expresia unei forme p¼atratice este:
� (x) = (�1; :::; �n)
0BBBB@�11 : : : �1n: : : : :: : : : :: : : : :�n1 : : : �nm
1CCCCA0BBBB@
�1:::�n
1CCCCA cu �ij = �ji;8i; j 2
f1; :::; ngadic¼a
�(x) =nPi=1
mPJ=1
�ij�i�j .
O form¼a p¼atratic¼a � este degenerat¼a dac¼a det� = 0. Formele de�nite suntnedegenerate. Dac¼a forma p¼atratic¼a �(x) = �(x; x) este de�nitiv¼a pozitiv exist¼a
o baz¼a în care �(x) = (�1)2 + (�2)
2 + :::+ (�n)2 unde x =
nPi=1
�iei.
De�nitia 1.6.26 Un produs scalar pe spatiu V (dimV = n) este o form¼abiliniar¼a simetric¼a a carei form¼a p¼atratic¼a este pozitiv de�nit¼a.
Not¼am produsul scalar al vectorilor x; y 2 V cu hx; yi .De�nitia 1.6.27 Numim norm¼a a vectorului x 2 V; V spatiu vectorial cu
produs scalar, m¼arimea kxk =phx; yi .
De�nitia 1.6.28 Unghiul vectorilor x; y 2 V este unghiul ' dat de relatiacos' = hx;yi
kxkkykDe�nitia 1.6.29 Doi vectori sunt ortogonali dac¼a produsul lor scalar este
0. Dou¼a subspatii sunt ortogonale dac¼a hx; yi = 0;8x 2 V1 si 8y 2 V2 .Propozitia 1.6.6 Subspatiile vectoriale V1 si V2 ale lui V sunt ortogonale
dac¼a si numai dac¼a vectorii unei baze din V1 sunt ortogonali pe vectorii uneibaze din V2.Demonstratie: 00 =)00 V1 ortogonal pe V2 si fe1; e2; :::; eng ; ff1; f2; :::; fkg
baze pentru V1 si V2 . Atunci 8x 2 V1 si 8y 2 V2; hx; yi = 0 si în particularhei; fji = 0;8i 2 f1; :::; ng si 8j 2 f1; :::; kg .
00 =)00Dac¼a bazele sunt ortogonale atunci �e x 2 V1; x =nPi=1
�iei si y 2
V2kPj=1
�jfj .
hx; yi =*
nPi=1
�iei;2kPj=1
�jfj
+=
nPi=1
�inP
j=1
�j hei; fji = 0
Fie V1 un subspatiu al lui V si V2 = fx 2 V j hx; x1i = 0;8x1 2 V1g
34
Propozitia 1.6.7 V2 construit anterior este un subspatiu liniar al lui V ,numit subspatiul nul al lui V1.Demonstratie: x; y 2 V2 =) hx; x1i = hy; x1i = 0;8x1 2 V1 =) hx+ y; x1i =
0 =) x+ y 2 V2Fie x 2 V2 si � 2 K atunci din h�x; x1i = � hx; x1i = 0 ,8x1 2 V1 =) �x 2
V2:
7. Aplicatii
1. Fie M o matrice de tip m�n cu elemente din corpul K. Folosim notatiauzual¼a pentru spatiul liniar K 00 si anume Vn. Orice linie din matriceaM poate �privit¼a ca un vector din Vn. Dimensiunea subspatiului liniar generat de vectoriilinie ai matricei M poart¼a numele de rangul linie al matricei M .De�nim ca transformare elementar¼a de linii una din urm¼atoarele trei trans-
form¼ari:i) înmultirea elementelor unei linii cu o constant¼a � 2 K.ii) adunarea la elementele unei linii a elementelor altei linii înmultite eventual
cu un element � 2 K.iii) schimbarea a dou¼a linii între ele.Dac¼a lu¼am M o matrice cu m linii si n coloane atunci transform¼arile ele-
mentare asupra lui M se pot efectua prin înmultirea la stânga a matricii M cuurm¼atoarele matrici p¼atratice de dimensinue m:
Ci =
0BBBBBBB@1 0 ::::
i0 :::: 0
0 1 :::: 0 :::: 0::::::::::::::::::::0 0 :::: a :::: 0:::::::::::::::::::::0 0 :::: 0 :::: 1
1CCCCCCCA;
CjM are ca efect înmultirea liniei j din matricea M cu elementul �.
Pij =
0BBBBBBBBBBB@
1 0 ::i::j
0 :::: 00 1 :::: 0 :::: 0::::::::::::::::::::0 0 ::1: a :::::::::::::::::::::::::0 0 :::: 1 :::: 0:::::::::::::::::::::0 0 :::: 0 :::: 1
1CCCCCCCCCCCAi; PijM are ca rezultat o matrice obtinut¼a din
matricea M astfel: se las¼a totul pe loc în afar¼a de linia i pe care avem adunateelementele de pe linia j înmultite în prealabil cu a:
35
Sij =
0BBBBBBBBBBB@
1 0::::::::i0::::
j
0::::00 1:::::::0::::0::::0::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::0::::1 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1::::0::::::::::::::::::::::::::::::::0 0 ::::::::0::::0:::: 1
1CCCCCCCCCCCA;
SijM are ca efect asupra matricii M schimbarea între ele a liniilor i si j:Considerînd acum matricile Cj ; Pij ; Sij ca �ind matrici de dimensiune n si
luînd transpusele lor, obtinem matricile tCj ; Pij ; Sij care înmultind la dreaptape M realizeaz¼a transform¼ari elementare asupra coloanelor lui M:Matricile care realizeaz¼a transform¼ari elementare asupra liniilor sau coloanelor
unei matrici se numesc matrici elementare.Cele 6 matrici elementare sunt nesingulare. Demonstratia acestei a�rmatoo
este imediat¼a pornind de la de�nitia unui determinant si detCj = a; detPij =1; detSij = �1:Exercitiul 1: Transform¼arile elementare efectuate asupra unei matrici nu îi
schimb¼a rangul.Demonstratie: Un produs de matrici nesingulare este o matrice nesingular¼a
si înmultirea la dreapta sau la stânga cu o matrice nesingular¼a nu modi�c¼a rangulmatricei M.Exercitiul 2: Dac¼a not¼am M1 matricea obtinut¼a din M printr-un sir de
transform¼ari elementare, atunci dimensiunile subspatiilor liniare generate de Msi M1 coincid.Exercitiul 3: Fie M o matrice de tip m � n si P o matrice nesingular¼a de
ordin m: Atunci liniilor matricilorM si P �M genereaz¼a acelasi subspatiu liniar:Rezolvare: Fie U si V subspatiile generate de M si P � M: Din de�nitia
înmultirii de matrici liniile lui P �M sunt combinatii liniare de liniile luiM; decitoti generatorii lui V sunt în U si deci V � U: Pentru a demonstra implicatiape dos pornim de la faptul c¼a P este nesingular¼a deci 9P�1; deci putem scrieM = P�1(PM) adic¼a liniile lui M sunt combinatii liniare de liniile lui P �Mdeci repet�nd rationamentul anterior ) U � V:
Exercitiul 4: Se d¼a M =
0@ 3 2 1 6�2 1 2 14 �2 1 3
1A :
S¼a se determine rangul linie, rangul coloan¼a, s¼a se reduc¼a aceast¼a matricela forma canonic¼a, s¼a se scrie reducerea ca produs de matrici elementare cumatricea MRezolvare: Fie l1 = (3; 2; 1; 6) ; l2 = (�2; 1; 2; 1); L3 = (4;�2; 1; 3) liniile ma-
tricii M: Dac¼a l1; l2; l3 sunt liniar independente atunci subspatiul generat de eleare dimensiunea 3. Reamintim .l1; l2; l3 liniar independente , orice combinatieliniar¼a a lor nul¼a, adic¼a din �1l1 + �2l2 + �3l3 = �1 = �2 = �3 = 0: Putemconsidera l1; l2; l3 2 R4 si atunci 0 = (0; 0; 0; 0) : Atunci �1l1+�2l2+�3l3 = 0,
36
(3�1; 2�1; �1; 6�1) + (�2�2; �2; 2�2; �2) + (4�3;�2�3; �3; 3�3) = (0; 0; 0; 0) ,8>><>>:3�1 � 2�2 + 4�3 = 02�1 + �2 � 2�3 = 0�1 + 2�2 + �3 = 06�1 + �2 + 3�3 = 0Acest sistem admite doar solutia banal¼a �1 = �2 = �3 = 0 (veri�cati!)Deci rangul linie al matricii A este 3.
Fie c1 =
0@ 3�24
1A ; c2 =
0@ 21
�2
1A ; c3 =
0@ 121
1A ; c4 =
0@ 613
1A coloanele lui
M:S¼a determin¼am dimensiunea subspatiului generat de B = fc1; c2; c3; c4g
adic¼a s¼a determin¼am o submultime maximal¼a a lui B format¼a din elementeliniar independente.fc1g 6= f0g deci este liniar independent¼a. fc1c2g este liniar independent¼a
(�1c1 + �2c2 = 0) �1 = �2 = 0 (veri�cati!)) : fc1; c2; c3g este liniar independentî(veri�cati!) , iar fc1; c2; c3; c4g nu este liniar independent¼a ( putem considerac1; c2; c3; c4 2 R3 si în R3 multimi cu maxim 3 elemente sunt liniar indepen-dente (dim R3 = 3) deci fc1; c2; c3; c4g formeaz¼a un sistem liniar independent.Veri�cati si direct!) Deci rangul coloan¼a al matricii M este 3.S¼a reducem matricea M la forma canonic¼a:0@ 3 2 1 6�2 1 2 14 �2 1 3
1A l1=3t
0@ 1 2=3 1=3 2�2 1 2 14 �2 1 3
1A l2+2l1t
0@ 1 2=3 1=3 20 7=3 8=3 54 �2 1 3
1A l3+4l1t0@ 1 2=3 1=3 20 7=3 8=3 50 �14=3 �1=3 �5
1A l2+7=3t
0@ 1 2=3 1=3 20 1 8=7 15=70 14=3 �1=3 �5
1A l1�2=3l2t
l3�14=3l20@ 1 0 �3=7 9=140 1 8=7 15=70 0 �17=3 �11
1A l3=� 173t
0@ 1 0 �3=7 9=470 1 8=7 15=70 0 1 33=17
1A l1+3=7l3t0@ 1 0 0 351=238
0 1 8=7 15=70 0 1 33=17
1A l2� 87 l3t
0@ 1 0 0 351=2380 1 0 24=1190 0 1 33=17
1A :
Obsrev¼am c¼a am efectuat numai transform¼ari pe linii si deci forma canonic¼aa matricii M o putem obtine din urm¼atoarele înmultiri:0@ 1 0 0
0 1 8=70 0 1
1A0@ 1 0 3=70 1 00 0 1
1A0@ 1 0 00 1 00 0 �17=3
1A0@ 1 0 00 1 00 �14=3 1
1A0@ 1 �2=3 00 1 00 0 1
1A :0@ 1 0 00 7=3 00 0 1
1A0@ 1 0 00 1 0
�4 0 1
1A0@ 1 0 02 1 00 0 1
1A0@ 1=3 0 00 1 00 0 0
1A0@ 8 2 1 6�2 1 2 14 �2 1 3
1A :
Exercitiul 5: Consider¼am M =
0@ 3 2 1 6�2 1 2 14 �2 1 3
1A : S¼a construim spatiul
nul al matricei M:
37
Rezolvare: Trebuie s¼a determin¼am multimeaM? a vectorilor perpendicularipe matricea M:
xtM = 0, (a; b; c; d)
0BB@3 �2 42 1 �21 2 16 1 3
1CCA = 0
Deci
8<: 3a+ 2b+ c+ 6d = 0�2a+ b+ 2c+ d = 04a� 2b+ c+ 3d = 0
de unde a = b = c = �d deci spatiul nul al matricii M este: M? =fx = (�d;�d;�d; d) ; d 2 RgExercitii propuse:1. Fie V un spatiu liniar real si U1; U2 dou¼a subspatii ale sale proprii. Dac¼a
U1 si U2 sunt ortogonale atunci U1 \ U2 = f0g :2.Se p¼astraz¼a proprietatea de la exercitiul 1 dac¼a V este spatiu liniar peste
un corp �nit?Indicatie: Considerati K = f0; 1g si U1 � K4; x = (1; 1; 0; 0) ; U2 spatiul nul
al lui U1:Determinati dac¼a x apartine sau nu lui U2:3. Fie V un spatiu liniar, G = fx1; x2; :::; xng un sistem de generatori pentru
subspatiul V1 si x 2 V: Demonstrati c¼a dac¼a x ? G atunci x 2 V2; V2 �ind spatiulnul al lui V1:4. Fie V un spatiu liniar cu dimV = n; V1 un subspatiu al s¼au cu dimV1 = k
si V1 spatiul s¼au nul. Ar¼atati c¼a dimV2 = n� k:5. Ar¼atati c¼a dac¼a V2 este subspatiul nul al lui V1 atunci V1 este subspatiul
nul al lui V2:
Test de autoevaluare
I. De�nim un cod ciclic ca pe un subspatiu V � Vn cu proprietatea c¼a dac¼av = (v1; v2; :::; vn) 2 V atunci si (vn; v1; :::; vn�1) 2 V: Un cod ciclic este completdeterminat de un polinom g (x) care divide pe xn�1; codul �ind idealul generatde g (x) : Polinomul g se va numi polinom generator al codului.
1. Dac¼a xn � 1 = g (x)h (x) demonstrati c¼a codul ciclic generat de geste spatiul nul al idealului generat de h:
2. K = f0; 1g ; p (x) = x7 � 1 = (1 + x)�1 + x+ x3
� �1 + x2 + x3
�si
g (x) = 1 + x+ x3 determinati matricea G a codului generat de g (x) :3. Determinati matricea de control a parit¼atii codului generat de g (x) :4. Codul generat de G este un cod Hamming5. De�nim un cod ciclic pentru care polinoamele atasate vectorilor cod
au ca r¼ad¼acini pe �m; �m+1; :::; �m+d�2; unde � este un element primitiv dintr-oextensie a corpului K: Ar¼atati c¼a un astfel de cod are distanta minim¼a cel putind:
6. Ar¼atati c¼a un cod BHC este perfect.II. Fie K = f0; 1g ; codul
38
C (5; 3) = f00000; 10000; 01000; 00100; 11000; 10100; 01100; 11100g si tabloulstandard
00000 10000 01000 00100 11000 10100 01100 1110000010 00010 10010 01010 00110 11010 10110 01110 1111000001 00001 10001 01001 00101 11001 10101 01101 1110100011 00011 10011 01011 00111 11011 10111 01111 11111
1. Decodi�cati pas cu pas mesajul �01111�2. Acest tablou detecteaz¼a erori simple?3. Alc¼atuiti un tablou standard care corecteaz¼a erori simple.Indicati si r¼aspunsuri1. Dac¼a grad g = r atunci codul generat de g are dimensiunea n � r;
dimensiune egal¼a cu a gradului lui h deci a�rmatia.2. polinomul g (x) poate genera un cod ciclic C (7; 4) r = 3; n� r = 4Avem pe rândg (x) = 1 � x0 + 1 � x1 + 0 � x2 + 1 � x3xg (x) = 0 � x0 + 1 � x1 + 1 � x2 + 0 � x3 + 1 � x4x2g (x) = 0 � x0 + 0 � x1 + 1 � x2 + 1 � x3 + 0 � x4 + 1 � x5x3g (x) = 0 � x0 + 0 � x1 + 0 � x2 + 1 � x3 + 1 � x4 + 0 � x5 + 1 � x6Polinoamele considerate sunt liniar independente (exercitiu) iar polinoamele
corespunz¼atoare codului �ind combinatii liniare de aceste polinoame putem luaca matrice generatoare a codului matricea
G =
0BB@1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 0 1 00 0 0 1 1 0 1
1CCA3. Putem face în dou¼a moduri si anume direct (ca în exemplul din curs) sau
scriind codul generat de h (x) = 1 + x+ x2 + x4:Coe�cientii polinoamelor g si h sunt în K si de aceea g(x)h(x) = x7 � 1Se obtine
H =
0@ 0 0 1 0 1 1 10 1 0 1 1 1 01 0 1 1 1 0 0
1A4. Codul Hamming (7,4) si codul generat de G au matricile de control a
parit¼atii identice pân¼a la o permutare de coloane deci codurile sunt echivalente.5. Codul (BCH) din enunt având r¼ad¼acinile polinomului minimal �m; �m+1; :::; �m+d�2
este spatiul nul al matricii
H =
0BBBBBB@1 �m (�m)
2 � � � (�m)n�1
1 �m+1��m+1
�2 � � ���m+1
�n�11 �m+2
��m+2
�2 � � ���m+2
�n�1...
...... � � �
...1 �m+d�2
��m+d�2
�2 � � ���m+d�2
�n�1
1CCCCCCA39
Consider¼am matricile de ordin d�1 cu elemente dinH care au determinantulnenul (este Vandermode si �m; �m+1; :::; �m+d�2 sunt distincte) astfel nici omultime de d� 1 coloane nu este liniar dependent¼a de unde rezult¼a exercitiul.6. R¼amâne exercitiu.II. 1,2,3 urm¼ariti exemplele din curs.
Test de autoevaluare
1. Pe R�R de�nim relatia 00 �00 astfel: (x; y) � (u; v), jxj+ jyj = juj+ jvj :Demonstrati c¼a relatia este o relatie de echivalent¼a, determinati o clas¼a deechivalent¼a si un sistem de reprezentanti.
2. Fie (G; �) un grup comutativ cu 10 elemente, pentru care 00e00 este elementulneutru. Ar¼atati c¼a dac¼a exist¼a 6 elemente distincte în G cu proprietateax2 = e atunci x2 = e 8x 2 G:
3. Scrieti permutarea�1 2 3 4 5 6 7 88 3 1 7 6 2 4 5
�ca produs de transpoz-
itii.
4. Fie (A;+; �) un inel unitar. Dac¼a x; y sunt dou¼a elemente nilpotente carecomut¼a atunci x�y si xy sunt nilpotente.
5. Fie n un num¼ar natural > 1 si A o matrice p¼atratic¼a cu elemente numereîntregi având determinantul �1: Ar¼atati c¼a în sirul A;A2; A3; :::; An; :::exist¼a cel putin o matrice cu proprietatea c¼a orice element al s¼au estecongruent modulo n cu elementul de pe aceeasi pozitie din matricea invers¼acorespunz¼atoare.
6. Ar¼atati c¼a oricare ar �multimea nevid¼a X = fxigi2I si oricare ar � inelulunitar (A;+; �) exist¼a un A -modul liber de baz¼a X:
7. Fie M =
0@ 2 1 3 0�1 1 0 51 1 2 2
1A si P =
0@ 1 1 01 0 10 1 1
1A :Atunci liniile matri-
cilor M si PM genereaz¼a acelasi spatiu liniar.
8. S¼a se reduc¼a M =
0@ 3 2 1 40 3 2 12 �1 3 1
1A la forma canonic¼a în scar¼a.
9. Fie V si W dou¼a spatii liniare izomorfe si B o baz¼a pentru V:Ar¼atati c¼af (B) este o baz¼a pentru W:
Indicatii si r¼aspunsuri:
1. Se veri�c¼a direct propriet¼atile relatiei de echivalent¼a. O clas¼a de ecivalent¼aeste un p¼atrat cu diagonalele pe axele de coordonate iar un sistem dereprezentanti este format din orice semidreapt¼a cu originea în origineaaxelor de coordonate.
40
2. Indicatie: H =�x 2 G j x2 = e
este subgrup (se va veri�ca!) si cu teo-
rema lui Lagrange rezult¼a a�rmatia.
3. Urmati rezolvarea de la pag .....
4. Indicatie: dac¼a dou¼a elemente comut¼a atunci si puterile lor comut¼a (demon-strati!) si cu cele dou¼a elemente functioneaz¼a regulile de calcul prescurtat.
5. Fie A o matrice de dimensiune k care respect¼a cerintele, atunci A�1 areaceleasi propriet¼ati. Not¼am cu bA matricea obtinut¼a înlocuind în A �ecareelement cu clasa sa modulo n: Dac¼a not¼am cu (G; �) grupul elementelorinversabile din Zn si cu p ordinul acestui grup atunci bAp = � bA�1�p si deaici exercitiul.
6. AI este A-modul liber si �e feigi2I în AI si disjunct¼a fat¼a de X: FieF = X [ Y: Aplicatia ei 7�! xi poate � extins¼a la o bijectief : AI ! F:Pentru a 2 A si x; y 2 F de�nim x + y = f
�f�1 (x) + f�1 (y)
�si ay =
f�af�1 (y)
�: Cu aceste operatii F devine A-modul liber si o baz¼a a sa
este X:
7. Direct sau cu exercitiul 3 pag.....
8. Vezi exercitiul 4 pag.... ambele metode.
9. Se veri�c¼a direct proprietatea cerut¼a.
2.Elemente de teoria codurilor
Fie I un alfabet cu card(i) � I� semigrupul liber generat de I,H � I� n feg ;H� semigrupul liber generat de H.De�nitia 2.1.1 O aplicatie de admisibilitate pe H este o aplicatie � :
H� ! P (I�) astfel încât 8r 2 I� ; p; q 2 H si m;n 2 H�s¼a avem îndepliniteconditiile:
1. bm 2 � (m)
2. dac¼a r 2 � (m)atunci l (r) = l (bm)3. dac¼a � (p) \ (q) 6= � atunci p = q
4. � (mn) = � (m) � � (n)
Recapitul¼am, dac¼a I este un alfabet, I� este multimea cuvintelor formatecu alfabetul I, H este o multime de cuvinte ce nu contine cuvântul nul, H�
este multimea propozitiilor formate cu cuvinte din H, aplicatia ataseaz¼a uneipropozitii m cuvântul bm format prin concatenarea cuvintelor din m.Observ¼am c¼a proprietatea 4 ne asigur¼a c¼a � este un homomor�sm de semi-
grupuri deci aplicatia � este unic determinat¼a dac¼a stim actiunea ei pe multimeade generatori H.
41
Aplicatia i : H� ! P (I�) ; i (m) = fbmgeste o aplicatie de admisibilitate.De�nitia 2.1.2 Numim cod pe alfabetul I o pereche (H;�) cu H � I� nfeg
si � o aplicatie de admisibilitate.Dac¼a � = 1 codul se numeste cod simplu.Dac¼a card(I) = 2 codul se numeste binar.În cele ce urmeaz¼a convenim s¼a not¼am (H; i) = H; i(m) = fbmg , si s¼a
consider¼am în special cazul în care H este multime �nit¼a.De�nitia 2.1.3 Dac¼a (H;�) este un cod, atunci orice cuvânt p 2 H se
numeste cuvânt-cod, iar orice propozitie m 2 H� se numeste mesaj. Multimea� (m) este �� domeniul de admisibilitate al lui m (pe scurt domeniul) iar oriceelement v = � (m) este � admisibil.Dac¼a (H;�) este un cod si p 2 H atunci domeniul de � admisibilitate al lui
p (deci � (p) ) este format din acele cuvinte din I� care pot � receptionate cândse transmite cuvântul p.Dac¼a v 2 � (p) , diferenta dintre p si v este un model de eroare descris de
aplicatia �.Pentru codurile simple observ¼am c¼a � (p) = bp = p;8p 2 H. Acesta înseamn¼a
c¼a transmisia cuvintelor cod p nu este afectat¼a de erori, spunând în acest caz c¼aavem un canal de transmitere f¼ar¼a zgomot.În acest context putem comenta cerintele din de�nitia aplicatiei de admis-
ibilitate. Prima cerint¼a bm 2 � (m) înseamn¼a c¼a atunci când se transmite uncuvânt cod si este receptionat corect el este decodi�cat în cuvântul transmis. Adoua cerint¼a impune ca toate cuvintele admisibile pentru cuvântul cod p s¼a aib¼aaceeasi lungime ti în acest caz pot � tratate numai erorile de substituire si nucele de lungime.Conditia a treia în cazul codurilor simple impune ca toate cuvintele-cod s¼a �e
distincte iar în cazul codurilor (H;�) se asigur¼a decodi�carea f¼ar¼a ambiguitatea unui cuvânt cod receptionat. Nu acelasi lucru se întâmpl¼a în cazul mesajelor,unde pentru decodi�car¼ari f¼ar¼a ambiguitate se folosesc coduri speciale.Exemplu: Fie I = f0; 1g ;H = f0; 01g ; � (0) = f0; 1g ; � (0:1) = f01; 11; 00g :Dac¼a se receptioneaz¼a 0 decidem în mod unic c¼a a fost transmis cuvântul 0.Dac¼a îns¼a reception¼am mesajul 01 decodi�carea nu mai este neambigu¼a pen-
tru c¼a mesajul 01 poate proveni din transmiterea mesajului f0; 0g sau din trans-miterea cuvântului 01.Alegerea aplicatiei de admisibilitate � este o operatie complicat¼a pentru c¼a
prin intermediul acestei aplicatii trebuie comb¼atute efectele zgomotelor de pecanalele de transmisie.De obicei � (p) contine acele cuvinte din I� care se pot obtine din p prin
schimbarea în cuvântul cod p a unui num¼ar de t � k litere în orice mod posibil.k este în acest caz num¼arul maxim de erori ce pot � corectate. Aplicatia � senoteaz¼a în acest caz cu �k: În particular �0 (p) = fpg :Exemplu: I = f0; 1g ;H = f0001; 010g ; atunci�2 (0001) = f0001; 1001; 0101; 0011; 0000; 1101; 1011; 1000; 0111; 0100; 0010g
�2 (010) =
�010; 1
"10; 00
"0; 011
"; 1"0"0; 1"11"; 00"1"
�
42
S¼agetile indic¼a în ce pozitii s-au f¼acut schimb¼atri în toate modurile posibile,maxim 2.Putem construi pe � îns¼a si de asa manier¼a ca num¼arul de erori corectibile
s¼a depind¼a de lungimea cuvântului-cod.Consider¼am aplicatia v : H �! N�; p 7�! v)p = indicele cuvântului cod
p. Atunci � se va nota �0. Pentru exempli�care lu¼am:I = f0; 1g ;H = f00100; 101g ; v (00100) = 1; v (101) = 3 si vom obtine:�2 (00100) = f00100; 10100; 01100; 00000; 00110; 00101g�2 (010) = f101; 001; 111; 100; 011; 000; 110; 010gDe�nitia 2.1.4 Codul extins al codului (H;�) este codul simplu (� (H) ; i)
unde � (H) = [ (� (p) j p 2 H) si i este aplicatia de�nit¼a anterior.Exemplu:I = f0; 1g ;H = f0; 01g ; � : H ! P (I�) ;Codul extins este codul simplu(� (H) ; i) = (f0; 1; 01; 11; 00g ; i) cu i (0) = f0g ; i (1) = f1g ; i (01) = f01g ;i(11) = f11g ; i (00) = f00g :De�nitia 2.1.5Multimea de siruri admisibile pentru codul (??)H;� este (H;�) =
[f� (m) j m 2 H�gDac¼a (H; i) este un cod simplu atunci codul s¼au extins coincide cu codul
dat, adic¼a (i (H) ; i) = (H; i).
Propozitia 2.1.1 (H;�) = � (H�) = �� bH�� : �� bH��este imaginea lui
� (H�) homomor�smul de semigrupurib)Demonstratie:z 2 � (H�), 9m = (p1; p2; :::; pn) 2 H� si z 2 � (m), z 2 � (p1; p2; :::; pm),
z� (p1) � � (p2) � ::: � � (pn), z = z1 � z2 � ::: � zmcuzk 2 � (pk) ; k = 1; :::; n , z = (z1; :::; zn) si zk 2 � (pk) ; k = 1; :::; n , z 2
�� bH�� :Observatie: Multimile de siruri admisibile pentru un cod si pentru codul s¼au
extins coincid. Acest lucru înseamn¼a c¼a pentru orice cod (H;�) exist¼a un codsimplu cu aceeasi multime de siruri admisibile. Deci pentru acele propriet¼ati alecodurilor care decurg din multimea de siruri admisibile se poate folosi codul datsau codul s¼au extins si presupunerea c¼a lucr¼am cu un cod simplu nu restrângegeneralitatea.De�nitia 2.1.6 O proprietate a unui cod este o proprietate care se refer¼a
la multimea sirurilor admisibile.
2.2 Aplicatii asociate unui cod
Fie (H;�) un cod si (� (H) ; i) codul s¼au extins. Consider¼am aplicatia :� (H) ! H; (v) = p , v 2 � (p). Astfel de�nit¼a este o functie pentru c¼a8v 2 � (H), exist¼a un singur p 2 H a:i: v 2 � (p) si este o aplicatie surjectiv¼a.De�nitia 2.2.1 Homomor�smul de corectare pentru codul (H;�) este homo-
mor�smul surjectiv :�� (H)
��! H� extins în mod unic din : � (H)! H.
43
Homomor�smul de corectare asociaz¼a �ec¼arei propozitii v pe � (H) o propoz-itie pe H care contine în �� domeniul s¼au pe bv (cuvintele din v concatenate).Teorema 2.2.1 Fiind dat m 2 H� si z 2 � (m), exist¼a v 2 (� (H))� astfel
încât z = bv si (v) = m.Demonstratie:Consider¼am propozitia m = (p1; p2; :::; pn) si z 2 � (m).Atunci z = � (p1) �� (p2) � ::: �� (pk) deci z = z1 � z2 � ::: � zk cu z 2 � (pi) ; i 2
f1; :::; kg. Deci zi 2 � (H) si (zi) = pi.Atunci v = (z1; z2; :::; zk) 2 (� (H))�. Prin constructie avem z = bv si (v) =
( (z1) ; (z2) ; :::; (zk)) = (p1; p2; :::; pk) = m.De�nitia 2.2.2 O aplicatie de decodi�care pentru codul (H;�) este o apli-
catie � : (H;�)! H� cu z 2 �� (z) ;8z 2 (H;�).Aplicatia de decodi�care asociaz¼a unei propozitii admisibile un mesaj din
H� în a c¼arui �-domeniu se g¼asesc propozitia admisibil¼a dat¼a.De�nitia 2.2.3 O aplicatie de scindare pentru codul (H;�) este o apli-
catie surjectiv¼a � : (H;�) ! (� (H))� astfel încât z = � (bz) pentru orice
z 2 (H;�).Astfel de�nit¼a operatia de scindare are ca efect desp¼artirea unei propozitii
� admisibil¼a în cuvintele din � (H) din care este format¼a.Observatia 1: O aplicatie de scindare pentru codul (H;�) este o aplicatie
de decodi�care pentru codul extins (� (H) ; i) deoarece i (� (z)) = f� (z)g siz 2 i (� (z)), z = � (z).Pentru codurile simple notiunile de aplicatie de decodi�care si aplicatie de
scindare coincid. Dac¼a (H; i) este un cod simplu atunci � : (H; i) ! H� esteo aplicatie de scindare pentru (H; i) , z 2 (H; i) avem z = � (z) , z 2i (� (z)), � este aplicatie de decodi�care.Leg¼aturile între diversele aplicatii introduse pot �prezentate schematic astfe·l:
DESEN
Teorema 2.2.2 Pentru �ecare aplicatie de decodi�care � (scindare�) pentrucodul (H;�)9 o aplicatie de scindare � (decodi�care �) astfel încât urm¼atoareadiagram¼a este comutativ¼a:
DESEN
si dac¼a � este homomor�sm de scindare atunci � este homomor�sm de de-codi�care.Demonstratie: Fie dat¼a aplicatia de decodi�care � pentru codul (H;�) :
De�nim aplicatia � astfel: pentru z 2 (H;�) ; z 2 �� (z) punem � (z) = u ,bu = z si (u) = � (z). Pentru c¼a z = � (z) ; � este o aplicatie de scindare pentrucodul (H;�). În plus � (z) = (u) = � (z) deci diagrama este comutativ¼a.Dac¼a este dat¼a aplicatia de scindare � pentru codul (H;�), lu¼am � = �
asigurând comutativitatea diagramei. R¼amâne s¼a ar¼at¼am c¼a � este o aplicatiede decodi�care pentru codul (H;�).
z 2 (H;�) ) z = � (z) 2 � � (z) = �� (z) , deci � este o aplicatie dedecodi�care.Dac¼a � este homomor�sm de scindare atunci
44
� (z1;z2) = � (z1 � z2) = (� (z1) � � (z2)) = (� (z1)) (� (z2)) = � (z1) � (z2),deci
� este homomor�sm de decodi�care.�Traducerea�într-un limbaj neformalizat a notiunilor introduse anterior este
urm¼atoarea. Presupunem c¼a este receptionat un sir admisibil z 2 (H;�).Aplicatia de scindare distribuie virgulele (separatorii) între literele lui z descompunându-l pe z în cuvintele din � (H), deci � (z) 2 (� (H))� este o propozitie pe � (H).Homomor�smul de corectare asociaz¼a lui � (z) o propozitie pe H, adic¼a unmesaj din H� care contine pe z în �-domeniul s¼au. Prin aplicatia de decodi�-care, � = � pentru orice sir admisibil z 2 (H;�), acest � (z) este versiuneadecodi�cat¼a a lui z obtinut¼a prin scindarea propozitiei admisibile z în cuvintedin � (H), cuvinte în care pot ap¼area erori si apoi corectarea cuvintelor din� (H) prin cuvinte cod din H.Teorema 2.2.3 Fie � un homomor�sm de decodi�care pentru codul (H;�)
si m 2 H�. Dac¼a z 2 � (m), atunci m =0 m1 = � (z).Demonstratie: Fie m = (p1; p2; :::; pk) 2 H�, atunci z = z1z2:::zkcu
zj 2 � (pj). Dac¼a not¼am � (zj) = rj ; j = 1; :::; k, atunci � (z) = m1 =� (z1; z2; :::; zk) = � (z1) � � (z2) � ::: � � (zk) = r1r2 � ::: � rk. Pentru c¼a �este unhomomor�sm de decodi�care pentru codul (H;�) avem zj 2 �� (zj) = � (zj),deci l (zj) = l (rj). Din zj 2 � (pj) avem l (pj) = l (zj) = l (rj) ; j = 1; :::; k, decim preegaleaz¼a pe m1.Teorema 2.2.4 Fie m1;m2 2 H�. Dac¼a m1b=m2 si d (m1) \ d (m2) 6= �,
atunci m1 = m2.Demonstratie: Dac¼am1b=m2, atuncim1 = (p1; p2; :::; pk) ;m2 = (q1; q2; :::; qk)
cu lungimile l (p1) = l (qi) ; i = 1; :::; k, avem deci � (p1)� (p2) :::� (pk)\ � (q1) :::� (qk) 6=� si ca urmare � (p1)\ � (q1) 6= � si � (p2) :::� (pk)\ � (q2) :::� (qk) 6= �, dar� (p1)\ � (q1) 6= � si în continuare procedând similar ) p1 = q1;8i 2 f1; :::; kg,deci m1 = m2.Teorema 2.2.5 Dac¼a � este un homomor�sm de decodi�care pentru codul
(H;�), atunci el este unic.Demonstratie: Fie �1 si �2 dou¼a homomor�sme de decodi�care pentru
codul (H;�) si z 2 (H;�) . Atunci z 2 ��1 (z) ; z 2 ��2 (z) deci �1 (z) =0
�2 (z) si �2 (z) =0 �1 (z) deci �1 (z) b=�2 (z) si pentru c¼a z 2 ��1 (z)\��2 (z)implic¼a conform teoremei 4, �1 = �2.Nu acelasi lucru se poate spune despre aplicatiile de decodi�care. De exem-
plu dac¼a I = f0; 1g ;H = f01; 10; 0110g si � = i. Putem considera aplicatiilede decodi�care �1; �2 : H� ! H� care s¼a difere cel putin pentru propozitiaadmisibil¼a 0110 2 bH � adic¼a �1 (0110) = 0110 si �2 (0110) = (01) (10) .Teorema 2.2.6 Dac¼a exist¼a un homomor�sm de decodi�care � pentru
codul (H;�), atunci � (z) este unica propozitie din H� cu proprietatea m =0
� (z)8m 2 H� unde z 2 � (m).Demonstratie: Teorema 3 ne asigur¼a c¼a8m 2 H� cu z 2 � (m) , avem
m =0 � (z). Trebuie ar¼atat c¼a � (z) este singura propozitie cu aceast¼a proprietate.Presupunem c¼a exist¼a si propozitia m1 2 H� cu z 2 � (m1) si m =0 m1;8m 2H� cu z 2 � (m) . Dar z 2 �� (z) deci � (z) =0 m1 si din z 2 � (m1) avemm1 =
0 � (z) si z 2 � (m1) \ �� (z)) m1 = � (z).
45
Dac¼a pentru codul (H;�) exist¼a un homomo�sm de decodi�care �, atuncipentru determinarea lui � este su�cient¼a cunoasterea actiunii sale pe o multimede generatori ai semigrupului (H;�), lucru important în cazul în care (H;�)posed¼a un sistem de generatori �nit.Stim c¼a (H;�) este o multime de generatori pentru (H;�). Pot exista în
� (H) cuvinte care nu sunt produse de dou¼a sau mai multe elemente din � (H).Fie 0 submultimea lui � (H) format¼a din totalitatea cuvintelor cu aceast¼aproprietate.Teorema 2.2.7 (H;�) = � (0) si 0 este unica multime minimal¼a de
generatori a lui (H;�) continut¼a în � (H).Teorema 2.2.8 Fie �1 si �2 dou¼a aplicatii de decodi�care pentru codul
(H;�). Atunci:
1. �1 (0) � H
2. �1 (u) = �2 (u) ;8u 2 0
Demonstratie: Proprietatea 1 rezult¼a din alegerea lui . Dac¼a u 2 0 )�1 (u) 2 H�nH , deci �1 (u) = m cu l (m) � 2, adic¼am = m1m2 cum1m2 2 H�.u 2 ��1 (u) = � (m) = � (m1)� (m2)ceea ce contrazice alegerea lui 0. Pentruproprietatea 2 avem u 2 ��1 (u)\ ��2 (u) ; �1 (u) ; �2 (u) 2 H deci �1 (u) = �2 (u)si teorema este demonstrat¼a.În concluzie 0 este submultimea maximal¼a a lui � (H) pe care toate apli-
catiile de decodi�care coincid.
3. Coduri iredundante
De�nitia 2.3.1 Un cod iredundant este un cod (H;�) pentru care 8� (H)exist¼a un mesaj unic m 2 H�cu v 2 � (m).Observatie: Pentru un cod simplu � = i; i (H) = H ) p = i (p) deci pentru
coduri simple iredundante nici un cuvânt cod -p 2 H nu-i un produs de altecuvinte-cod din H:Teorema 2.3.1 Fie (H;�) un cod. Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:IR1) Codul (H;�) este iredundantIR2) Codul extins (� (H) ; i) este iredundantIR3) � (H) = IR4) Toate aplicatiile de decodi�care pentru codul (H;�) coincid pe � (H)IR5) Toate aplicatiile de scindare pentru codul (H;�) coincid pe � (H)IR6) Dac¼a p = H;m 2 H� si � (p) \ � (m) 6= �; atunci m = pDemonstratie: Demonstr¼am teorema dup¼a diagrama aceasta:
DESEN
a) Presupunem c¼a (� (H) ; i) nu este iredundant. Atunci 9u 2 (� (H))� siv 2 � (H) astfel încât u =2 � (H) si v = bu deci m¼acar un cuvânt v din � (H)este un produs de cuvinte din � (H) : Deoarece (u) b=v dar u nu îl egaleaz¼a ¼aev (u are mai multe cuvinte decât v) ) (u) 6= (v) : Dar v 2 � (u) \ � (v) ;
46
iar bu 2 � (u) si bu = v: Rezult¼a c¼a exist¼a (u) ; (v) 2 H� cu (u) 6= (v) siv 2 � (u) ; v 2 � (v) deci (H;�) nu este cod iredundant.b) 8v 2 i (� (H)) ; exist¼a unic u 2 (� (H))� cu v = i (u) deci v = bu: Cum
v = bu este singurul element din (� (H))� cu aceast¼a proprietate. Rezult¼a u = vsi L (u) = 1: Deci 8v 2 � (H) nu-i produs de dou¼a sau mai multe elemente din� (H) deci v 2 0 de unde � (H) = 0c) Rezult¼a din teorema 8 din paragraful anteriord) Fie v 2 � (p) \ � (m) : Atunci exist¼a aplicatiile de decodi�care �1 si �2
pentru codul (H;�) cu �1 (v) = p si �2 (v) = m cu v 2 (H;�) dar conform cuIR4) rezult¼a p = m:e) v 2 � (H) si v 2 � (m)) 9 si p 2 H cu v 2 � (p) iar din IR6) ) p = m;
deci exist¼a un singur m 2 H�(anume p 2 H)cu v 2 � (m) deci (H;�) esteiredundant.f) Pentru c¼a orice aplicatie de decodi�care pentru un cod simplu este o
aplicatie de scindare echivalenta IR1,IR4 antreneaz¼a IR2,IR54.Coduri precorectoareDe�nitia 2.4.1 Un cod precorector este un cod (H;�) pentru care avem:8z 2
(H;�) ; exist¼a un mesaj m 2 H� cu z 2 � (m) si cu proprietatea ca dac¼a9m1 2 H�cu z 2 � (m1) ; atunci m1 =
0 m:Teorema 2.4.1 Fie (H;�) un cod. Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:PC1) (H;�) este cod protectorPC2) Codul extins (� (H) ; i) este precorectorPC3) Exist¼a un homomor�sm de decodi�care pentru (H;�)PC4) Exist¼a un homomor�sm de scindare pentru (H;�)PC5) Dac¼a m1 =
0 m;m2 =0 m si z 2 � (m1) \ � (m2) \ (m) :
Demonstratie: Pentru Demonstratie folosim schema urm¼atoare:
DESEN
a) Fie z 2 (H;�) si m 2 H� cu z 2 � (m) si m1 =0 m;8m1 2 H� cu
z 2 � (m1) deci m1 =0 m: Dar u b= m1 si deci u =0 v:
b) Pentru z 2 (H;�) exist¼a o singur¼a propozitie v 2 (� (H))� cu z = bv siu =0 v;8u 2 (� (H))� cu z = bu:De�nim aplicatia � : (H;�)! (� (H))
� punând � (z) = v: Avem z = �b(z)deci � este o aplicatie de scindare pentru codul (H;�) :Trebuie s¼a ar¼at¼am c¼a � este homomor�sm.Fie
z1; z2 2 (H;�) ; � (z1) = v1; � (z2) = v2;
adic¼az1 = bv1; z2 = bv2
si �e� (z1; z2) = v: z1; z2 = bv1bv2 ) v1v2:
Atunci dac¼a v = u1u2 si v1 =0 u1; v2 =0 u2 ) l (bv1) = l (bu1) si l (bv2) = l (bu2) :De aici z1z2 = bv = u1bu2 si z1z2 = bv1bv2 adic¼a bu1bu2 = bv1bv2 si cum I� este subgrupliber avem bu1 = bv1 = z1 si bu2 = bv2 = z2 deci u1 =0 v1 si u2 =0 v2:Avem în
47
continuare u1b=v1 si u2b=v2 si cum i (u1) \ i (v1) 6= � 6= i (v2) \ i (u2) ceea ceconduce la u1 = v1 si u2 = v2 deci � (z1z2) = v1v2 = � (z1)� (z2)c) rezult¼a imediat din teorema 2 din primul paragraf al acestui capitold) Fie z 2 � (m1) \ � (m2) si �e m = � (z) unde � este homomor�smul de
decodi�care dat de PC4. Atunci m1 =0 m si m2 =
0 m: Avem z 2 � (m1) \� (m2) \ � (m) :e) Fie z 2 (H;�) ; atunci exist¼a m 2 H� cu z 2 � (m) :l (z) = l (bm))M = fm j m 2 H�; z 2 � (m)g este multime �nit¼a si deci �e
M = fm1;m2; :::;mkg cu L (m1) � L (m2) � ::: � L (mk) :z 2 � (mj) \ � (mk) ;8j 2 f1; :::; kg ; deci exist¼a mS(j) 2 H� cu mj =
0
mS(j);mk =0 mS(j) si
z 2 � (mj) \ � (mk) \ ��mS(j)
�; deci mS(j) 2 M si din mk =
0 mS(j);)L (mk) � L
�mS(j)
�) L (mk) = L
�mS(j)
�; adic¼a mS(j) = mk si mj =
0 mk;8jsi deci mj =
0 mk�p8j 2 f1; :::; kg :Teorema 2.4.2 Un cod (H;�) este precorector , (H;�) este semigrup
liber.Demonstr¼am numai implicatia dreapta stânga. S¼a presupunem c¼a (H;�)
este un semigrup liber. Exist¼a atunci un homomor�sm g : (H;�)! (� (H))�
astfel încâtbg = 1(H;�):De aici rezult¼a c¼a g este un homomor�sm de scindare pentru codul (H;�) si
deci codul (H;�) este un cod precorector.Exemplu: Fie H = fp1; p2; p3; p4g cu p1 = 01; p2 = 10; p3 = 0111; p4 = 1110:
Fie � (p1) = f01; 11g ; � (p2) = f10g ; � (p3) = f0111g ; � (p4) = f1110; 0000g :Codul (H;�) este precorector deoarece (H;�) este un semigrup liber gen-
erat de 0 = f01; 10; 11; 0000g :Codul(H; i) nu este precorector deoarece 011110 = p1p4 = p3p4 si niciuna
dintre propozitiile (p1; p4) si(p3; p2) nu preegaleaz¼a pe cealalt¼a.(z = (p1; p4) = (p3; p4) ; � = i) :
Coduri corectoare
De�nitia 2.5.1 Un cod corector este un cod (H;�) cu proprietatea: 8z 2 (H;�) ;9m 2 H�cu z 2 � (m) si m este unic cu aceast¼a proprietate.Observatie: Dac¼a � = i conditia de cod corector implic¼a 8z 2 (H;�) ;9m 2
H�cu z = bm si m este unic cu aceast¼a proprietate, deci din p1; :::pk = q1; :::; qrsi pi = qi;8i = i; :::; k; adic¼a proprietate de unic¼a descifrabilitate. În acest cazaplicatia ^ este bijectiv¼a pe H�:D¼am f¼ar¼a Demonstratie urm¼atoarele teoreme:Teorema 2.5.1 Fie (H;�) un cod. Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:C1) Codul (H;�) este corectorC2) Codul (� (H) ; i) este cu unic¼a descifrabilitateC3) Exist¼a o singur¼a aplicatie de scindare pentru codul (H;�)C4) Exist¼a o singur¼a aplicatie de decodi�care pentru codul (H;�)C5) Exist¼a un homomor�sm de decodi�care � pentru codul (H;�) astfel
încât dac¼a m 2 H� si z 2 � (m) atunci m = � (z)
48
C6) Exist¼a un homomor�sm de scindare � pentru codul (H;�) astfel încâtdac¼a v 2 (� (H))� si z = bv atunci � (z) = vC7) Semigrupul (H;�) este liber pe � (H)C8) Dac¼a m1;m2 2 H� si � (m1) \ � (m2) 6= � atunci m1 = m2
C9) Dac¼a m1;m2 2 H� si � (m1) (H;�) \ � (m2) (H;�) 6= � si l (bm1) �l (bm2) atunci m1 2 Pref fm2gC10) Dac¼a p1; p2 2 H si � (p1) (H;�)\� (p2) (H;�) 6= � atunci p1 = p2:Teorema 2.5.2 Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:1. Codul(H;�) este corector2. Codul (H;�) este precorector si iredundant.
Coduri decodabile (coduri cu întârziere m¼arginit¼a)
De�nitia 2.6.1 Un cod (H;�) este decodabil dac¼a are proprietatea: 9n 2N� astfel încât l (bm) � n si � (m) I� \ � (m1) 6= � atunci m (1) = m1 (1)De�nitia 2.6.1 Cel mai mic num¼ar natural n pentru care codul (H;�) este
decodabil se numeste întârzierea codului si îl vom nota nd:Observatie: Pentru un cod simplu (H; i) ; decodabil, exist¼a n 2 N� astfel
încât dac¼a l (bm) � n si bmr = bm1 cu m1;m2 2 H� si r 2 I� atunci m (1) =m1 (1) ; deci mesajele m si m1 au primul cuvânt comun.Un cod decodabil se mai numeste si cod cu întârziere m¼arginit¼a. Pentru un
cod simplu decodabil dac¼a mesajele p1; p2; ::: si p01; p02; ::: au primii n1 simboli
egali atunci p1 = p01: Altfel spus pentru mesajele de lungime cel putin n1 primulcuvânt al mesajului este unic determinat.Dac¼a printr-un canal de transmitere a informatiei circul¼a cuvintele unui cod
decodabil cu întârziere nd; atunci la receptionarea unei propozitii admisibile,identi�carea primului ei cuvânt se poate face dup¼a transmiterea primelor ndsimboluri deci cu o întârziere de nd tacte fat¼a de începutul transmisiei, de undesi numele de cod cu întârziere m¼arginit¼a.Teorema 2.6.1 Un cod decodabil (H;�) este si corector.Demonstratie: Fie (H;�) un cod cu întârziere cel mult n si �e � (m1) \
� (m2) 6= �) � (m1mn11 ) \ � (m2m
n12 ) 6= �;8n1: Alegem n1 astfel ca l (bmn1
1 ) �n: De aici aplicând repetat proprietatea de decodabilitate a codului (H;�)obtinem m1 (1) = m2 (1) ; deci m1 este un pre�x al lui m2 si simetric decim1 = m2 deci (H;�) este corector.Teorema 2.6.2 Fie (H;�) un cod. Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:D1) (H;�) este decodabilD2) 9m 2 N� astfel încât dac¼a l (v) � n1; vu 2 � (m1) si vw 2 � (m2) atunci
m1 (1) = m2 (2)D3) 9n 2 N� astfel încât dac¼a v1; v 2 (� (H))� ; l (v) � n si i (v) I�\ i (v1) 6=
� atunci v (1) = v1 (1)D4) 9n0 2 N� astfel încât dac¼a r 6= e; l (r) � n0 si r 2 � (p) (H;�) I� \
� (q) (H;�) ; atunci p = q:D5) Codul (H;�) este corector si exist¼a h 2 N� astfel încât dac¼a z1; z2 2
(H;�) si l (z2) � h; r 2 I� si z1z2r 2 (H;�) ; atunci zr 2 (H;�) :
Coduri prompte (coduri instantanee)
49
De�nitia 2.7.1 Un cod prompt este un cod (H;�) pentru care 8m1;m2 2H�; r 2 I� si � (m1) r \ � (m2) 6= � ) m2 = m1m cu m 2 H� adic¼a m1 2Pr ef fm2gTeorema 2.7.1 Codul (H;�) este prompt , p 2 H;m1 2 H�; r 2 I� si
� (p) r \ � (m1) 6= � implic¼a p = m1 (1) :Aceast¼a teorem¼a ne arat¼a c¼a pentru un cod prompt, dac¼a un cuvânt din
� (p) ; p 2 H este un pre�x al unei propozitii admisibile din � (m) atunci p estecuvânt al lui m, oricare ar �m 2 H� cu aceast¼a proprietate. Deci, orice cuvântreceptionat este recunoscut de îndat¼a ce se termin¼a treansmisia sa, proprietatece justi�c¼a si denumirea de cod prompt sau cod instantaneu.Un cod prompt este decodabil cu nd � lmax si deci este si corector.Un cod simplu prompt are deci si proprietatea de unic¼a descifrabilitate.De�nitia 2.7.2 Multimile de cuvinte atasate multimii sirurilor admisibile
ale unui cod (H;�) sunt:S = fr j r 2 I�; r ( (H;�) n feg) \ ( (H;�) n feg) 6= �gD = fr j r 2 I�; ( (H;�) n feg) r \ ( (H;�) n feg) 6= �gB = fr j r 2 I�; r ( (H;�) n feg) \ ( (H;�) n feg r) 6= �g :D¼am f¼ar¼a demonstratie urm¼atoarea teorem¼a:Teorema 2.7.2 Fie (H;�) un cod. Urm¼atoarele a�rmatii sunt ecivalente:P1) Codul (H;�) este promptP2) � (p) r \ � (m) 6= �) p = m (1)P3) i (v1) r \ i (v2) 6= �) v1v = v2P4) D = (H;�) si dac¼a � (p) r \ � (m) 6= �) p = mP5) Dac¼a � (p) I� \ � (q) (H;�) 6= �) p = qObservatie: Pentru un cod prompt, nici un cuvânt dintr-un domeniu de
admisibilitate nu-i pre�x pentru un cuvânt din alt domeniiu de admisibilitate.În cazul codurilor simple (H; i) aceasta revine la faptul c¼a nici un cuvânt dincod nu este pre�x pentru alt cuvânt din cod.
Coduri presincronizabile
De�nitia 2.8.1 Un cod presincronizabil este un cod (H;�) pentru careB = (H;�).Propozitia 2.8.1 Un cod presincronizabil este si precorector.Demonstratie: (H;�) � S \D � B =) (H;�) = S \D.D¼am în continuare f¼ar¼a demonstratie urm¼atoarea teorem¼a:Teorema 2.8.1 (Levenstein) Fie (H;�) un cod. Urm¼atoarele a�rmatii sunt
echivalente:L1) Exist¼a n 2 N� astfel încât dac¼a r 2 I�; l(r) � n si urv 2 (H;�)
atunci r admite cel putin o descompunere de forma r = r1r2 astfel încât dac¼az1rz2 2 (H;�), atunci z1r1 2 (H;�) sau z1r1 = e si z2r2 2 (H;�) sauz2r2 = e.L2) Exist¼a n1 2 N�, astfel încât dac¼a r 2 I�; l(r) � n1si rI� \ (H;�) 6=
� 6= I�r \ (H;�), atunci r 2 (H;�)L3) Exist¼a n1 2 N�, astfel încât dac¼a r 2 I�; l(r) � n1 si rI� \ �(m) 6= � 6=
I�r \ �(m) cu m 2 H� atunci r 2 (H;�)
50
L4) Exist¼a n1 2 N�, astfel încât dac¼a r 2 I�; l(r) � n1 si rI�r\(H;�) 6= �,atunci r 2 (H;�)Teorema 2.8.2 Fie (H;�) un cod. Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:PS1) (H;�) este cod presincronizabilPS2) Dac¼a yz; zy 2 (H;�) atunci y; z 2 (H;�)PS3) S \D = (H;�) si are loc una din a�rmatiile L1, L2, L3, L4.
Coduri sincronizabile
De�nitia 2.9.1
1. (a) Codul (H;�) este corector
(b) Exist¼a n 2 N�, astfel încât dac¼a r 2 I�;l(r) � n si urv 2 (H,�)atunci r admite cel putin o descompunere r = r1r2 si din z1rz2 2(H;�), rezult¼a c¼a z1r1 2 (H;�) sau z1r1 = e si z2r2 2 (H;�) sauz2r2 = e.
Cel mai mic num¼ar natural n pentru care codul (H;�) este sincronizabil senumeste întârzierea de sincronizare a codului notat cu ns.Un cod este sincronizabil () este corector si presincronizabil.Un cod simplu este sincronizabil dac¼a exist¼a n 2 N� astfel încât dac¼a r 2
I�; l(r) � n si urv 2 H� atunci r = r1r2 si din z1rz2 2 H� urmeaz¼a existentamesajelor m1;m2 2 H� cu z1r1 = bm1 si z2r2 = bm2
Teorema 2.9.1 Dac¼a (H;�) este un cod sincronizabil cu ns � n, atunci(H;�) este un cod decodabil cu nd � n+ 1.Demonstratie: S¼a presupunem c¼a (H;�) este un cod sincronizabil cu ns �
n. Fie v 2 I�cu l(v) � n+ 1 si vu 2 �(m1); vw 2 �(m2);m1m2 2 H�:Vom ar¼ata c¼a m1(1) = m2(1). Fie v = v1r cu l(r) = n si deci v1 6= e.Codul (H;�) �ind sincronizabil din v1ru 2 �(m1) � (H;�) si l(r) = n =)
r admite o descompunere de forma r = r1r2 si v1r1 2 (H;�),r2u 2 (H;�).Analog, pornind de la vw 2 �(m2) se obtine r2w 2 (H;�) . Din vr 2
(H;�) =) 9 unic mesaj m 2 H� n feg cu v1r1 2 �(m) pentru c¼a (H;�) estesi corector. Mesajul m este un pre�x al mesajelor m1;m2 deci m1(1) = m(1) =m2(1) . Codul (H;�) este decodabil cu nd � n+ 1.D¼am f¼ar¼a demonstratie si:Teorema 2.9.2 Fie (H;�) un cod. Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:S1) (H;�) este cod sincronizabil.S2) B = (H;�) si dac¼a r�(m1)\�(m2)r 6= �; p 2 H;m 2 H� atunci p = mS3) Dac¼a r�(m1) \ �(m2)r 6= �; r 2 I�;m1;m2 2 H�atunci exist¼a m 2 H�
cu mm1 = m2m si r 2 �(m)S4) Dac¼a r 2 I� n feg si r�(m1) \ �(m2)r 6= � cu m1;m2 2 H� atunci
l(r) � l(m2(1))S5) Dac¼a r 2 I� n feg si r�(m1) \ �(m2)r 6= � cu m1;m2 2 H� atunci
l(r) � l(m; (�))S6) Codul extins (�(H); i) este sincronizabil.
Coduri liniare si coduri ciclice
51
Fie K = f0; 1; :::; q � 1g un corp �nit , q este o putere a unui num¼ar prim ,Vn spatiul liniar al n-uplelor peste corpul K.Avem Card jVnj = qn:De�nitia 2.10.1 Un cod liniar este un subspatiu liniar C al lui Vn: Vectorii
din C se numesc cuvinte cod.C este subgrup al lui (Vn;+), deci CardC = qk; 0 � k � n unde dim C = k.
Vom folosi pentru codul C notatia C(n; k).Observatia 1: Pentru q = 2 obtinem coduri liniare binare.Acestea se mai numesc si coduri grup sau alfabete grup deoarece 8C �
Vn; (C;+)grup =) C este subspatiu liniar deci C este cod.Exemplul 1: Fie K = f0; 1g ; n = 5 Card(Vn) = 25 = 32. Convenim s¼a
not¼am vectorul x 2 Vn; x = (x1; x2; x3; x4; x5) cu x = x1; x2; x3; x4; x5.Fie C = f00000; 10000; 01000; 11000g. C este un cod C(5; 2).S¼a consider¼am C(n; k) un cod liniar peste corpul K.De�nitia 2.10.2 Omatrice generatoare pentru codul liniar C este o matrice
G ale c¼arei linii formeaz¼a o baz¼a pentru subspatiul liniar C. Matricea G aretipul k � n.Exemplul 2: Pentru C(5; 2) din exemplul 1 putem s¼a ne alegem
G1 =
�1 0 0 0 00 1 0 0 0
�sau G2 =
�1 0 0 0 01 1 0 0 0
�sau G3 =�
0 1 0 0 01 1 0 0 0
�;
de unde observ¼am c¼a matricea generatoare a unui cod liniar nu este unic¼adeoarece, în general, pentru un spatiu liniar putem alege mai multe baze.Orice vector apartinând codului liniar C este o combinatie liniar¼a de vectorii
unei baze alese, deci vectorul v apartine lui C () 9x 2 Kk astfel încât v = xGunde G este o matrice generatoare. De aici tragem concluzia c¼a este mult maifacil s¼a reprezent¼am un cod prin intermediul matricii generatoare.S¼a consider¼am C(n; k) un cod liniar, C?(n; n � k) subspatiul ortogonal lui
C si s¼a lu¼am H o matrice generatoare pentru C?:Atunci putem trage concluzia c¼a un vector x 2 Vn este din C () x �tH = 0.Matricea H este de dimensiune (n � k) � n si dac¼a x = x1x2:::xn;H =
(hij)i2f1;:::;n�kgj2f1;:::;ng
atunci conditia x �tH = 0 se mai poate scrie sub forma urm¼a-
torului sistem liniarnPj=1
xjhij = 0; i = 1; :::; n� k
De�nitia 2.10.3 Sistemul anterior poart¼a numele de conditii de veri�carea parit¼atii iar H este matricea de veri�care a parit¼atii pentru codul liniar C.Exemplul 3: Fie K = f0; 1g siC(5; 3) = f00000; 10101; 11011; 01010; 11111; 100001; 01110; 00100g. Putem
alege:
G =
0@ 1 0 1 0 11 1 0 1 10 1 0 1 0
1A :
52
Pentru acest cod avem C?(5; 2) = f00000; 100001; 11011; 01010g si H =�1 0 0 0 11 1 0 1 1
�:
Conditiile de veri�care a parit¼atii vectorilor din C sunt x = x1x2x3x4x5; x �t
H = 0 =)�
x1 + x5 = 0x1 + x2 + x4 + x5 = 0
:
Codurile C si C? poart¼a numele de coduri duale.S¼a observ¼am c¼a pentru exemplul ales C\ C? 6= 0 (ba chiar C? � C). Nu
este obligatoriu s¼a se întâmple acest lucru.Dac¼a C = f00000; 10011; 01010; 11001; 00101; 10110; 01111; 11100g atunci
C? = f00000; 11010; 10101; 01111g si C \ C? 6= 0 dar C? � C.De�nitia 2.10.4 Codurile C si C? se numesc coduri duale.
M¼asura si distanta Hamming
Fie C(n; k) un cod liniar si Vn spatiul n-uplelor peste corpul K.De�nitia 2.11.1 M¼asura Hamming este o aplicatiem : Vn �! N cum(v) =
Card fj j �j 6= 0g unde v = (�1; �2; :::; �n).Cu alte cuvinte, m¼asura Hamming a unui vector v este dat¼a de num¼arul
componentelor nenule ale lui v.Observatie: Avem propriet¼atile:1. m(v) � 0 si m(v) = 0 =) v = 0.2. m(v1 + v2) � m(v1) +m(v2).Teorema 2.11.1 Suma m¼asurilor tuturor cuvintelor dintr-un cod liniar
C(n; k), peste corpul K = f0; 1; :::; q � 1g este egal¼a cu nqk�1(q � 1).Demonstratie: S¼a observ¼am c¼a toti vectorii care au în pozitia j elementul
0 formeaz¼a subgrup relativ la grupul dat de cod.Descompunem codul în clase dup¼a acest subgrup. Fiecare clas¼a va contine
toti vectorii care au pe pozitia j elementul i. Exist¼a q = CardK clase si �ecareclas¼a are qk�1 elemente. S¼a form¼am o matrice ale c¼arei linii sunt toti vectoriicod din C.Suma m¼asurilor tuturor vectorilor cod este egal¼a cu suma numerelor de ele-
mente diferite de 0 de pe �ecare coloan¼a.Avem n coloane, q�1 elemente diferite de 0 si �ecare element apare de qk�1
ori. Teorema este astfel demonstrat¼a.De�nitia 2.11.2 Distanta Hamming este 0 aplicatie d : Vn�Vn �! N dat¼a
de d(u; v) = m(u� v):Propozitia 2.11.1 Distanta Hamming este o metric¼a pe Vn.Demonstratie: avem de veri�cat:
1. d(u; v) = d(v; u). Num¼arul elementelor diferite de 0 din u� v si din v� ucoincid. (dac¼a pe pozitia i vectorul u � v are valoarea j atunci vectorulv�u are pe pozitia i valoarea q� j dac¼a j 6= 0 si atunci evident q� j 6= 0,sau valoarea 0 dac¼a j = 0).
2. d(u; v) � 0 si d(v; u) = 0() u = v.
53
Din modul de de�nire d(u; v) � 0 . Apoi d(v; u) = 0 () m(u � v) =0() u� v = 0() u = v.
3. d(u; v) � d(u;w) + d(w; v)
Demonstratia acestei propriet¼ati o l¼as¼am ca exercitiu.Observatia 2: Dac¼a C este un cod liniar si u; v 2 C atunci d(u; v) este m¼asura
unui cuvânt cod.De�nitia 2.11.3 Distanta minim¼a a unui cod liniar este egal¼a cu m¼asura
minim¼a a vectorilor nenuli din C.În exemplul 3 distanta minim¼a a codului liniar C este 1 iar pentru C?
distanta minim¼a este 2.Teorema 2.11.2 Dac¼a D este distanta minim¼a a codului liniar C(n; k),
atunci d � nqk�1(q�1)qk�1 .
Demonstratie: Avem qk � 1 elemente de m¼asur¼a nenul¼a, suma m¼asurilornqk�1(q � 1) si d � m¼asura medie a cuvintelor, de unde rezult¼a teorema.Pentru K = f0; 1g ; Vn = Kn si C(n; k) un cod liniar binar, consider¼am pe
Vv operatiile �;\ de�nite astfel:
u� v = w , wi =
�1 pentru ui 6= vi0 în rest
; i = 1; :::; n
care înseamn¼a de fapt adunare obisnuit¼a pe componente si
u \ v = w , wi =
�1 pentru ui = vi = 10 în rest
; i = 1; :::; n
care înseamn¼a un produs pe componente.Teorema 2.11.3 m(u� v) = m(u) +m(v)� 2m(u \ v)Demonstratie: m(u� v) este num¼arul de indici pentru care ui 6= vi:Dar m(u) este num¼arul de indici pentru care ui 6= 0, m(u \ v) num¼arul de
inidici pentru care ui = vi = 1 deci m(u) �m(u \ v) este num¼arul de indici ipentru care ui 6= 0 si vi = 0. Similar m(v)�m(u \ v) este num¼arul de indici ipentru care ui = 0 si vi 6= 0 deci teorema este demonstrat¼a.Observatia 3: d(u; v) = m(u� v)Folosind formulele date de teorema 3 si observatia 3 putem exprima matricial
distantele dintre toate perechile de vectori dintr-un cod liniar binar. Fie Mmatricea care are drept linii toti vectorii din codul C(n; k).Matricea simetric¼a M:tM observ¼am c¼a
mij =
�m(vi) i = j
m (vi \ vj) i 6= j
si putem forma matricea simetric¼a
D = (dij)i=1;:::;kj=1;:::;k
; dij = d (vi; vj)
unde v� este un vector din codul C.
54
Exemplul 4: Fie codul liniar binar C = f00000; 10101; 11001; 01100g
M =
0BB@0 0 0 0 01 0 1 0 11 1 0 0 10 1 1 0 0
1CCA)t M =
0BBBB@0 1 1 00 0 1 10 1 0 10 0 0 00 1 1 0
1CCCCA
M �tM =
0BB@0 0 0 00 3 2 10 2 3 10 1 1 2
1CCA si D =
0BB@0 3 3 23 0 2 33 2 0 32 3 3 0
1CCATeorema 2.11.4 Un cod liniar are distanta minim¼a cel putin egal¼a cu d+1
dac¼a si numai dac¼a pot � detectate toate tipurile de erori continând cel mult derori elementare.Demonstratie: Not¼am distanta minim¼a a codului liniar cu dc si presupunem
c¼a este cel putin egal¼a cu d+ 1. Atunci dac¼a în transformarea unui cuvânt codapar cel mult d erori cuvântul cod este transformat într-un vector ce nu apartinecodului C si deci eroarea este detectat¼a.Pe dos, dac¼a distanta minim¼a dc � d atunci exist¼a u; v 2 C a.i. dc = d(u; v).
În acest caz eroarea care se produce când este transmis u si se receptioneaz¼a vnu poate � detectat¼a pentru c¼a v 2 C.Teorema 2.11.5 Un cod liniar C are distanta minim¼a cel putin egal¼a cu
2d+ 1 dac¼a si numai dac¼a pot � corectate toate tipurile de erori continând celmult d erori elementare.Demonstratie: S¼a presupunem c¼a distanta minim¼a a codului este dc �
2d+1. Atunci dac¼a în transmiterea cuvântului cod u apar d0 � d erori elementareatunci vectorul v obtinut la receptie difer¼a de toti vectorii cod din C n fug celputin pe d+1 pozitii. Deci decodi�carea cea mai probabil¼a, acceptabil¼a pentruv este u deci v poate � corectat.Invers, dac¼a dc � 2d+1 atunci exist¼a probabilitatea ca un vector receptionat,
afectat de d erori elementare s¼a se a�e la distant¼a egal¼a de dou¼a cuvinte coddiferite si deci eroarea nu poate � corectat¼a.Corolarul 1: Un cod liniar are distanta minim¼a cel putin egal¼a cu d1+d2+1,
cu d2 � d1 dac¼a si numai dac¼a pot � detectate toate tipurile de erori având celmult d1 erori elementare si pot � corectate toate tipurile de erori având cel multd2 erori elementare.Se poate stabili între distanta minim¼a a unui cod liniar C si matricea de
veri�care a parit¼atii urm¼atoarea teorem¼a:Teorema 2.11.6 Pentru orice cuvânt v 2 C cu m(v) = h, exist¼a h coloane
liniar dependente în matricea H de veri�care a parit¼atii si pentru �ecare hcoloane dependente liniar din H exist¼a un cuvânt cod de m¼asur¼a h.Demonstratie: Fie v = a1a2:::an 2 C si H = (H1;H2; :::;Hn) matricea de
veri�care a parit¼atii codului C, unde Hi este coloana i a matricii H.Dac¼a m(v) = hatunci din
55
vtH = 0 =) viHi1 + vi2Hi2 + :::+ vihHih = 0
unde vij sunt componente nenule ale vectorului v. De aici rezult¼a c¼a coloaneleHi1 ;Hi2 ; :::;Hih sunt liniar dependente.Reciproc din dependenta liniar¼a a h coloanele ale matricii H rezult¼a c¼a
9�1; �2; :::; �h 2 Ka:i:�i1Hi1 + �i2Hi2 + :::+ �ihHih = 0
si putem construi vectorul v = (v1; v2; :::; vn) astfel vj =�
�l j = il0 în rest
:
Vectorul v 2 C pentru c¼a vtH = 0 si în plus m(v) = h .Corolarul 1: Un cod liniar C are diferenta minim¼a cel putin egal¼a cu h dac¼a
si numai dac¼a orice multime de h� 1 coloane din H este liniar independent¼a.Observatia 4: M¼asura minim¼a a unui cod liniar se exprim¼a cu ajutorul ran-
gului matricii de veri�care a parit¼atii si anume: dc � rangH + 1
Coduri liniare echivalente
Fie C un cod liniar si G o matrice generatoare a sa.S¼a not¼am cu G
0o matrice care se obtine din G prin permut¼ari de coloane.
De�nitia 2.12.1 Codurile C si C 0 generate de G si G0 se numesc coduriliniare echivalente.
Exemplu1: Fie C = f00000; 10101; 01010; 11111g, G =�1 0 1 0 10 1 0 1 0
�:
S¼a lu¼am G0 =
�0 1 1 0 11 0 0 1 0
�atunci C 0 = f00000; 01101; 10010; 11111g
si C echivalent cu C0.Observatia 1: Dac¼a matriceaG1 se obtine dinG prin transform¼ari elementare
asupra liniilor atunci G si G1 genereaz¼a acelasi cod liniar.Dac¼a îns¼a G si G1 sunt combinatorial echivalente (G1 se obtine din G prin
transform¼arile elementare de linii si prin permutarea coloanelor) atunci codurilegenerate de G si G1 sunt doar echivalente.Observatia 2: Deoarece orice matrice este combinatorial echivalent¼a cu o
matrice canonic¼a în scar¼a, rezult¼a c¼a orice cod liniar este echivalent cu un codgenerat de o matrice canonic¼a în scar¼a.Fie G o matrice generatoare pentru codul C(n; k) si
G1 =
0BB@1 0 ::: 0 p11 ::: p1n�k0 1 ::: 0 p21 ::: p2n�k� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �0 0 ::: 1 pk1 ::: pkn�k
1CCA =
�Ik...P�
matricea canonic¼a în scar¼a combinatorial echivalent¼a cu G:Fie C1 codul liniar generat de matricea G1. Vectorul v 2 C1 dac¼a exist¼a x
astfel încât v = xG1 = x(Ik...P ) = (x; xP ) unde x 2 Vk; v = (v1; :::; vk; u1; :::; un�k); xi =
vi;8i 2 f1; :::; kg si uj =kPi=1
xipij cu j 2 f1; :::; n� kg.
56
Se observ¼a c¼a, în acest caz, primele k componente sunt independente si pot� alese ca valoare, de cel care efectueaz¼a transmisia, în timp ce ultimele n � kcomponente se calculeaz¼a în functie de primele, prin intermediul primelor kvalori transmise si prin intermediul matricii P . Atunci aceast¼a exprimare, aceste
relatii, uj =kPi=1
xipij , pot servi ca relatii de control al transmiterii corecte.
De�nitia 2.12.2 Componentele v1; v2; :::; vk din v se numesc simboli infor-mationali (servesc la transfer de informatie) iar componentele u1; u2; :::; un�k senumesc simboli de control (servesc la veri�carea parit¼atii).Observatia 3: Num¼arul simbolilor informationali egaleaz¼a dimensiunea co-
dului liniar C, deci rangul matricii generatoare G iar num¼arul simbolilor decontrol egaleaz¼a dimensiunea codului liniar dual al lui C, deci rangul matriciiH de control al parit¼atii.De�nitia 2.12.3 Un cod liniar C(n; k) este sistematic dac¼a în �ecare cuvânt
cod sunt �xate primele k pozitii pentru simbolii informationali si celelalte n� kpozitii pentru simbolii de control.Observatia 4: Un cod liniar generat de o matrice în scar¼a este un cod sis-
tematic.Observatia 5: Orice cod liniar este echivalent cu un cod liniar sistematic.S¼a consider¼am acum un cod liniar sistematic generat de o matrice canonic¼a
în scar¼a G = (Ik...P ).
Teorema 2.12.1 Fie C un cod liniar sistematic generat de matricea G
de�nit¼a anterior. Atunci C este spatiul nul al matricii H = (�tP...In�k).
Demonstratie: Se veri�c¼a prin calcul direct c¼a G�tH = 0 si cum rangG = ksi rangH = n� k rezult¼a c¼a spatiul generat de G este spatiul nul al matricii H.Exemplul 2: Consider¼am codul liniar C = f00000; 10011; 11001:00101:10110:01111:11100g
O matrice generatoare pentru acest cod este G =
0@ 1 0 0 1 11 1 0 0 11 1 1 0 0
1A :
Matricea canonic¼a scar¼a combinatorial echivalent¼a cu G este
G =
0@ 1 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 1
1A =
�I3...P�unde P =
0@ 1 11 00 1
1AMatricea de veri�care a parit¼atii va �(�tP
...I2) deciH1 =
�1 1 0 1 01 0 1 0 1
�Acest lucru semni�c¼a faptul c¼a în codul binar liniar C primele 3 simboluri
din cele 5 ale unui vector-cod pot � alese arbitrar în timp ce ultimele dou¼asimboluri trebuie s¼a veri�ce relatii de paritate si anume dac¼a v = v1v2v3v4v5relatiile de paritate date de matricea H sunt:�
v1 + v2 + v4 = 0v1 + v3 + v5 = 0
si tinând cont c¼a avem un cod binar�v4 = v1 + v2v5 = v1 + v3
Exercitiu: Repetati calculele anterioare pentru codulC = f00000; 11001; 10101; 01010; 00110; 01100; 10011; 11111g
Tabloul standard pentru un cod liniar
57
Fie C(n; k) un cod liniar, v1; v2; :::; vqk cuvintele cod cu v1 = 00:::0.Codul, �ind subspatiu liniar al lui Vn, este subgrup al unui grup comutativ
si cum orice subgrup al unui grup comutativ este subgrup normal putem formagrupul cât Vn=C(n; k).Vom forma un tablou asa cum se arat¼a în continuare. Pe prima linie sunt
plasate elementele lui C(n; k) începând cu v1. Pe linia a doua se a�¼a elementeleclasei g1+C(n; k) unde g1 =2 C(n; k) si g1 difer¼a de v1 în cât mai putine pozitii.Cuvântul g1 este astfel mai probabil de a � receptionat atunci când se transmitev1 si apar erori.Se continu¼a astfel alegându-se de �ecare dat¼a un vector gj care nu apare în
clasele precedente si difer¼a în cât mai putine pozitii de vectorul cod v1 formându-se clasa gj + C(n; k).Dup¼a un num¼ar �nit de pasi se epuizeaz¼a toti vectorii din Vn obtinându-se
qn�k clase unde n� k este num¼arul simbolurilor de veri�care a parit¼atii. Avemastfel tabloul:
v1 v2 ....... vp ....... vqkg1 g1 + v1 g1 + v2 ....... g1 + vp ....... g1 + vqk...gj gj + v1 gj + v2 ....... gj + vp ....... gj + vqk...
gqn�k gqn�k + v1 gqn�k + v2 gqn�k + vp gqn�k + vqk
De�nitia 2.13.1 Tabloul anterior este tabloul standard atasat codului iarv1; g1; :::; gqn�k sunt reprezentantii principali ai claselor.Observatia 1: Tabloul standard atasat unui cod nu este unic deoarece de-
pinde de alegerea reprezentantilor principali.Exemplul 1: Fie codul liniar C = f00000; 11001; 10101; 01010; 00110; 01100; 10011; 11111g.
Un tabel standard atasat este urm¼atorul:
00000 11001 10101 01010 00110 01100 10011 1111100001 00001 11000 10100 01011 00111 01101 10010 1111000010 00010 11011 10111 01000 00100 01110 10001 1110110000 10000 01001 00101 11010 10110 11100 11100 01111
Pentru o alt¼a alegere a reprezentantilor principali obtinem un alt tabel, tottoate elementele din Vn dar grupate altfel în clase.
00000 11001 10101 01010 00110 01100 10011 1111110000 10000 01001 00101 11010 10110 11100 00011 0111101000 01000 10001 11101 00010 01110 00100 01011 1011100001 00001 11000 10100 01011 00111 01101 10010 11110
Tablourile standard se folosesc pentru decodi�care astfel:
58
se decodi�c¼a orice vector primit prin cuvântul cod a�at în capul coloaneic¼areia îi apartine. În anumite conditii de alegere a reprezentantilor principali,se obtin tablouri standard care permit decodi�c¼ari ce corecteaz¼a erori.De�nitia 2.13.2 Un cod liniar perfect este un cod liniar pentru care exist¼a
un num¼ar natural p si un tablou standard astfel încât drept reprezentanti prin-cipali apar toti vectorii v 2 Vn cu m¼asura mai mic¼a decât p(m(v) � p) si numaiei.Codul de la exemplul 1 este un cod perfect.De�nitia 2.13.3 Un cod liniar cvasiperfect este un cod liniar pentru care
exist¼a un num¼ar natural p si un tablou în care drept reprezentanti principaliapar toti vectorii din Vn cu m(v) � p si unii vectori v0 cu m(v0) = p+ 1.Un cod perfect este si cvasiperfect.De�nitia 2.13.4 Tipul de eroare introdus în transmisii este vectorul u� v
unde v este vectorul transmis iar u este vectorul receptionat.Teorema 2.13.1 Dac¼a este folosit un tablou standard pentru decodi�care,
atunci un vector primit u va � decodi�cat corect în vectorul transmis v dac¼a sinumai dac¼a tipul de eroare u� v apartine reprezentantilor principali.Demonstratie:" =) "u� v = gj atunci u = v+ gj si u apare pe linia j+1
a tabloului standard pe coloana lui v deci va � decodi�cat corect în v." =) " dac¼a u � v nu este în multimea reprezentantilor principali atunci
u� v = gj +w iar vectorul u = gj + w + v nu se va mai g¼asi pe coloana lui v.De�nitia 2.13.5 Sindromul unui vector v 2 Vn fat¼a de matricea H de
veri�care a parit¼atii pentru codul liniar C(n; k) este vectorul s 2 Vn�k dat des = v �t H.Observatia 2: Dac¼a vectorul v 2 C(n; k) () sindromul s¼au este vectorul
nul.Deoarece componentele lui s sunt membrii stângi din relatiile de veri�care a
parit¼atii, vectorul s se mai numeste si vectorul de control al parit¼atii.Sindromul unui vector poate � folosit pentru detectarea erorilor ce apar în
transmisie. Astfel dac¼a este receptionat vectorul u avem dou¼a posibilit¼ati:�s = u0H = 0 si u 2 C(n; k) presupunându-se atunci c¼a vectorul transmis
este chiar acest u.�s = u0H 6= 0 atunci u =2 C(n; k) si este detectat¼a eroarea.Teorema 2.13.2 Doi vectori w1 si w2 2 Vn sunt în aceeasi clas¼a dintr-un
tablou standard dac¼a si numai dac¼a au acelasi sindrom.Demonstratie: " =) "Dac¼a w1 si w2 apartin aceleiasi clase dintr-un tablou
standard atunci w1 � w2 = (gj + v0) � (gj � v00) = v
0 � v00 2 C(n; k) =)
(w1 � w2) �t H = 0 deci w1 �t H = w2 �t H." =) "w1 �t H ne conduce la w1 � w2 2 C(n; k) si deci w1 si w2 apartin
aceleiasi clase din tabloul standard.Observatia 3: Folosindu-se sindromul, procesul de decodi�care poate � sim-
pli�cat. În locul tabloului standard se utilizeaz¼a un tablou în care sunt trecutireprezentantii principali cu sindromul corespunz¼ator.Când este receptionat un vector u se calculeaz¼a sindromul s¼au s = u �t H ,
se caut¼a reprezentantul principal gj dib clasa de sindrom s si vectorul u� gj seconsider¼a a � vectorul transmis.
59
Astfel, dac¼a decodi�carea se face cu ajutorul unui calculator, putem retineîn memoria acestuia nu întregul tablou ci doar lista reprezentantilor principalicu sindroamele acestora.Exemplul 2: pentru codul prezentat în acest paragraf la exemplul 1 alegem
G =
0@ 1 1 0 0 10 1 0 1 01 0 1 0 1
1A de unde G1 =
0@ 1 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 1 0
1A deci
H =
�1 1 1 1 01 0 0 0 1
�:
Atunci tabloul cu sindroamele reprezentantilor principali ai primului tabloustandard din exemplu va �
Reprezentanti formali 00000 00001 00010 10000Sindrom 00 01 10 11
Iar pentru cazul celui de al doilea tablou standard avem
Reprezentanti principali 00000 10000 01000 00001Sindrom 00 11 10 01
Observatia 4: Pentru corectarea unei erori detectate se caut¼a în fond s¼a sedetermine vectorul cod cel mai apropiat de vectorul primit eronat.Dac¼a exist¼a mai multi vectori cod a�ati la aceeasi distant¼a de vectorul primit,
eroarea detectat¼a nu poate � corectat¼a.�Puterea de corectare�a unui cod estedeterminat¼a de distanta minim¼a a codului, deci de m¼asura vectorilor cod.De�nitia 2.13.6 M¼asura clasei gj + C(n; k) dintr-un tablou standard este
min fm(v) j v 2 gj + C(n; k)gTeorema 2.13.3 Probabilitatea de codi�care corect¼a pentru un cod liniar si
un canal simetric este maxim¼a dac¼a se foloseste ca tabel de decodi�care un tabelstandard în care reprezentantii au m¼asura minim¼a în clasa lor. Se presupune c¼atoate cuvintele cod sunt egal probabile în a � transmise.Demonstratie: Trebuie întâi g¼asit¼a probabilitatea de decodi�care corect¼a.
Fie un tablou standard atasat codului liniar C(n; k) si vij vectorul a�at în acesttablou pe linia i si coloana j:Fie dij = d (v�j ; vij) unde v�j este vectorul cod depe coloana j în care vij este decodi�cat, linia 0 continând cuvintele codului.Dac¼a P este probabilitatea de eroare a canalului si Q = 1�P atunci proba-
bilitatea ca �ind transmis vectorul cod v�j s¼a �e receptionat vij este P dijQn�dij
pentru c¼a vectorii v�j si vij coincid în dij pozitii si difer¼a în n� dij pozitii.Dac¼a este transmis cuvântul cod v�j si în transmitere se produc erori atunci,
pentru ca vectorul primit s¼a �e decodi�cat corect trebuie s¼a se receptioneze unvector vij de pe coloana vectorului cod v�j . Deoarece evenimentele de primire adou¼a cuvinte distincte de pe coloana j sunt incompatibile urmeaz¼a c¼a probabili-
tatea de decodi�care corect¼a când este transmis v�j este P id:c: =qn�kPi=0
P dijQn�dij :
Deoarece exist¼a qk cuvintele cod care sunt presupuse egal probabile de a �transmise, probabilitatea de decodi�care corect¼a atunci când este transmis uncuvânt cod oarecare este
60
Pd:c: =
qn�kXi=0
qkXj=0
1
qkP dijQn�dij
Pentru �ecare pereche de indici i si j avem în suma (1) un singur termen
P dijQn�dij =�PQ
�dijQn. Pentru c¼a P < Q rezult¼a c¼a functia
�PQ
�dijQn este
strict descresc¼atoare dac¼a consider¼am variabila dij ; deci ea este maxim¼a cândvectorul primit este decodi�cat în cel mai apropiat vector cod în sensul distanteiHamming.Deci probabilitatea de decodi�care corect¼a Pd:c: va � maxim¼a atunci când
orice vector primit este decodi�cat în cel mai apropiat cuvânt cod.S¼a consider¼am acum un vector primit u care se a�¼a într-un tablou standard
în coloana vectorului cod v si �e d1 = d (u1; v1) : Avem deci d1 � d:Fie reprezentantul principal al clasei care contine vectorul u adic¼a g = u�v:
Avem c¼am (g) = d (u� v) = d: Deoarece u�v1 = g+(v � v1)) u�v1 apartinetot clasei cu reprezentant principal g pentru c¼a v�v1 2 C (n; k) : Dar pentru c¼ag este elementul de m¼asur¼a minim¼a în clasa sa avem si d � d1 si deci vectorulprimit u este tot atât de apropiat de v ca si v1:Observatia 5: S¼a not¼am cu as num¼arul de reprezentanti principali de m¼asura
s dintr-un tablou standard atasat codului liniar C (n; k) :M¼asura unui reprezen-tant principal gj este egal¼a cu distanta dintre un vector de pe linia j si vectorulcod de pe coloana în care se a�¼a acest vector.Probabilitatea de decodi�care corect¼a atunci când se transmite vectorul cod
v0j este: PjDC =
1qk
nPi=0
aiQn�1P i:
Decodi�carea pas cu pas
S¼a consider¼am C (n; k) un cod liniar peste corpul K; K = f0; 1; :::; q � 1gsi s¼a presupunem c¼a, pentru �ecare vector receptionat, este posibil ca s¼a sedetermine un element de m¼asur¼a minim¼a din clasa la care apartine acel vec-tor într-un tablou standard. De exemplu, dac¼a tabloul este astfel format careprezentantii principali s¼a aib¼a m¼asur¼a minim¼a în clasa lor, atunci, acest lucrueste posibil dac¼a este dat un tablou care stabileste corespondenta dintre sindromsi reprezentantul clasei. Astfel, decodi�carea poate � f¼acut¼a printr-un procedeunumit �Decodi�care pas cu pas�.Iat¼a care este principiul acestui procedeu. Se ordoneaz¼a elementele corpului
K astfel încât elementul 0 s¼a �e ultimul. ( Este singura cerint¼a a acestei or-don¼ari). Vectorii din cod se ordoneaz¼a �alfabetic�astfel: vectorul (y1; y2; :::; yn)urmeaz¼adup¼a vectorul (x1; x2; :::; xn) dac¼a:- primele j � 1 coloane coincid- yj urmeaz¼a în ordine stabilit¼a pe K dup¼a xj :Fie acum (a1; a2; :::; an) vectorul receptionat. Se stabileste m¼asura clasei la
care apartine acest vector. Componenta a1 se înlocuieste pe rând cu a1�h1; a1�h2; :::; a1 � hq unde hj sunt elementele corpului K ordonate. Dac¼a cu primacom¼aponent¼a a1�hj ; m¼asura clasei este mai mic¼a decât m¼asura clasei vectorului
61
primit si hj este primul element cu aceast¼a proprietate atunci componenta a1 seînlocuieste cu componenta a1�hj si se trece la adoua component¼a. Dac¼a pentrunici un hj nu se realizeaz¼a cerintele de mai sus, prima component¼a r¼amâneneschimbat¼a si se trece la componenta urm¼atoare. Se prelucreaz¼a astfel toatecomponentele si se ajunge la un vector de m¼asur¼a nul¼a, deci apartin¼ator codului.Acesta este cuvântul cod în care decodi�c¼am prin procedeul pas cu pas vectorulprimit.De�nitia 2.15.1 Vectorul z este un decendent imediat pentru vectorul u
dac¼a z se poate obtine din u prin schimbarea în 0 a unei componente diferit¼ade 0.De�nitia 2.15.2 Vectorul z este un descendent pentru vectorul u dac¼a
exist¼a un sir �nit u = u1; u2; :::; um = z în care ui+1 este descendentul imediatal vectorului ui; i = 1; :::;m� 1:Teorema 2.15.1 Dac¼a u este un vector de m¼asur¼a minim¼a în clasa sa si z
este un descendent al s¼au, atunci z are m¼asur¼a minim¼a în clasa sa.Demonstratie: Este su�cient¼a demonstratia pentru descendenti imediati.
Fie z un descendent imediat al lui u: Atunci z � w = u si m (v) = 1: Oriceelement din clasa lui u difer¼a numai printr-o component¼a de un anume elementdin clasa lui z, deci m¼asura clasei lui poate diferi numai cu 1 fat¼a de m¼asuraclasei lui z si cum u are m¼asur¼a minim¼a în clasa sa rezult¼a c¼a z are m¼asur¼aminim¼a în clasa sa.Teorema 2.15.2 Dac¼a u este un vector de m¼asur¼a minim¼a în clasa sa care
precede toti ceilalti vectori de m¼asur¼a minim¼a din clasa sa si z este un descendental s¼au atunci z are m¼asur¼a minim¼a în clasa sa si precede pe toti ceilalti vectoride m¼asur¼a minim¼a din clasa sa.Demonstratie: Prima parte a a�rmatiei este dat¼a de teorema 1 r¼amânând
de demonstrat doar precedenta.Fie z un descendent imediat al lui u:z�w = u;m (w) = 1 si w = (0; :::; 0; wh; 0; :::; 0) :
Orice element de m¼asur¼a minim¼a din clasa sa are 0 pe componenta h: S¼a com-par¼am vectorii z si z1 din clasa lui z: z = u+w; z1 = u1+w: În vectorii z si z1componentele h coincid cu 0 iar celelalte componente coicid cu ale lui u si u1:Cum u precede pe u1 rezult¼a c¼a z precede pe z1:
Test de evaluare
1. Fie R = (A;G) o relatie binar¼a simetric¼a pe A: Ar¼atati c¼a dac¼a G estemultime �nit¼a cu un num¼ar impar de elemente atunci 9x 2 A a.i.(x; x) 2 G:
2. Folosind teorema lui Lagrange, demonstrati c¼a avem un grup �nit (G; �) ; A =fx 2 G j x comut¼a cu toate elementele din Gg si CardA = [(Card G) =2]+1 atunci G este grup comutativ.
3. Fie Mn = fz 2 C j zn = 1g înzestrat¼a cu operatia obisnuit¼a de înmultirede numere complexe. Demonstrati c¼a ecuatia ax = b are solutie în Mn:
4. S¼a se arate c¼a un grup comutativ (G;� ; �) dac¼a de�nim legea a doua x �y =e:
62
5. Fie (A;+; �) un inel si I � A: Demonstrati c¼a urm¼atoarele a�rmatii suntechivalente:
(a) i. (I;+; �) este subinelii. 8x; y 2 I avem c¼a x+ y;�x; x � y 2 I
6. Fie A un inel unitar I 6= � si AI multimea tuturor functiilor f : I ! A:Pentru orice f; g 2 AI si pentru orice a 2 A de�nim:(f + g) (x) = f (x) + g (x) si (af) (x) = af (x) : Demonstrati c¼a AI esteun A� modul.
7. Fie M;N dou¼a A�module si X = fxi 2Mgi2I ; Y = fyi 2 Ngi2I si f :M ! N un mor�sm de module cu proprietatea f (xi) = yi oricare ar �i 2 I: Demonstrati c¼a:
(a) i. dac¼a f este injectiv¼a si X este liniar independent atunci Y esteliniar independent.
Bibliogra�e
1. Creang¼a I., Simovici D. - Teoria codurilor, E.D.P. Bucuresti, 1975.
2. Cullman G. - Coduri detectoare si corectoare de erori, Ed. Tehnic¼a, Bu-curesti, 1972.
3. Beju A., Beju I. - Compendiu de matematic¼a, Ed. St. si enciclopedic¼a,Bucuresti, 1983.
4. Becheanu M., C¼az¼anescu V., N¼ast¼asescu C., Rudeanu S. - Logic¼a si teoriamultimilor, E.D.P., Bucuresti.
5. Bourbaki N., Algebre, Chapt 1-9, act. sci. ind. Herman, Paris, 1971.
6. Ion d., Radu N. - Algebr¼a, E.D.P. Bucuresti, 1975.
7. Lascu Al. - Exercitii de algebr¼a, Ed. Tehn. Bucuresti, 1967.
8. N¼ast¼asescu C., Tena M., Andrei G., Ot¼ar¼asanu I. - Probleme de structurialgebrice, Ed. Acad. R.S.R. Bucuresti, 1988.
63
Related Documents
