ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

K=150 için açık sistemin Bode diyagramını çizen ve marjinleri hesaplayan MATLAB programını yazınız.clc;clearK=150;pay=6*K;payda=[1 26 196 0];bode(pay,payda)[gm,pm,wp,wg]=margin(pay,payda)gm=5.6622 (lineer skalada genlik marjı)

pm=57.8596 (derece)

w2=14 rad/s

w1=4.2913 rad/s

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

PM

GM

wp

wg

dB06.15GM

)6622.5(10Log*20GM

)gm(Log*20GM 10

K=150 için KG(s) düzlemi

K=150 için sistem kararlıdır ve K değeri sistem kararlılık sınırına gelene kadar 5.6622 kat yani 15.06 dB arttırılabilir.


Buna göre kritik kazanç değeri Kcr

33.8496622.5*150gm*KKcr

33.84910*15010*KK

K

Klog2006.15)dB(GM

20

06.15

20

06.15

cr

cr10

veya

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

PM=0

GM=0 dB

K=849.33 için KG(s) düzlemi


Kazanç Marjı GM=6 dB olacak şekilde K kazancını belirleyelim.

9953.110Oran 20

6

425.67349953.1

33.849

Oran

KK cr

K=Kcr’de Kazanç Marjı GM=0 dB’dir. GM=6 dB olabilmesi için K değeri Kcr’den 6 dB düşük olmalıdır.

Veya K=150 için GM=15.06 dB idi. GM=6 dB yeterli ise K kazancı 15.06-6 =9.06 dB daha arttırılabilir. Bu durumda

67.42510*150K150

K10Log*2006.9 20

06.9

yy

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

PM=23.1587°

GM=6 dB-6

-156.8413°

K=425.67 için


K=425.67 için kapalı sistemin adım girdiye cevabında aşma değerini yaklaşık olarak bulunuz

K=425.67 için faz marjı PM=23.1587° dir. Buna göre sönüm oranı

2316.0100

1587.23

100

PM

4717.0eeAsma22 2316.01/2316.0*1/

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Zaman (s)

Cev

ap

1.5110

clc;clearK=425.67;pay=6*K;payda=[1 26 196 6*K];sys=tf(pay,payda);[c,t]=step(sys);plot(t,c)overs=max(c)-c(length(c))

Aşma = %51


Kapalı sistemin sönüm oranını % 65 yapmak için kazanç devresine ardışık nasıl bir kontrol devresi uygulanmalıdır? Bu devrede C= 1μF ise R1 ve R2 değerlerini belirleyiniz.

Sönüm oranını ξ=0.65 yapmak için faz ekle devresi kullanırız. Eklenecek faz

65°-23.16°=41.84° dir. Genlik kesim frekansı (genliğin 0 dB olduğu frekans) w1=9.49 rad/s olduğu için bu frekansta faz eklenecektir (faz marjının okunduğu frekans). Buradan

5)84.41sin(1)84.41sin(1

sin1sin1

a o

o

M

M

2

2m aT

1

0471.049.9*5

1a

1T 22

m

1s0471.01s2356.0

s0471.01s0471.0*51

Ts1aTs1

)s(Gc

0

2

4

6

8

10

12

14

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

103

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

41.84º

9.49 rad/s

Görüldüğü gibi Faz Ekle devresi 9.49 rad/s’de sistemin faz marjını 41.84º arttırıyor.


k23510x10471.0*5

CaT

R 61

k75.584

2350004

RR

4151aRR

1RR

RRR

a

12

2

1

2

1

2

21


a) K=60 için açık sistemin Bode diyagramını çizen ve marjinleri hesaplayan program.

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-360

-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

clc;clearK=60;pay=K;payda=conv(conv([1,3],[1,3]),conv([1,3],[1,1]));bode(pay,payda)[gm,pm,w2,w1]=margin(pay,payda)

gm=2.3040 (lineer skalada genlik marjı)

pm=53.6062 (derece)

w2=2.3238 rad/s

w1=1.3535 rad/s

Faz Marjı

Genlik Marjı

K=60 için KG(s) düzlemi

-7.24 dB

GM=20*log10(2.3040)=7.25 dB

K=60 için sistem kararlıdır ve K değeri sistem kararlılık sınırına gelene kadar 2.3040 kat yani 7.24 dB arttırılabilir.


Buna göre kritik kazanç değeri Kcr

24.1383040.2*60gm*KKcr veya

24.13810*6010*KK

K

Klog2025.7)dB(GM

20

25.7

20

25.7

cr

cr10

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-360

-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

GM=0

PM=0

K=138.24 için KG(s) düzlemi


-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-360

-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Kazanç Marjı GM=6.2 dB olacak şekilde K kazancını belirleyelim.

0417.210Oran 20

2.6

K=150 için KG(s) düzlemiKararsız

Kararsız

K=150 için

7.670417.2

24.138

Oran

KK cr

Veya K=60 için GM=7.25 dB idi. GM=6.2 dB yeterli ise K kazancı 7.25-6.2 =1.05 dB daha arttırılabilir. Bu durumda

7.6710*60K60

K10Log*2005.1 20

05.1

yy

olarak bulunabilir.

15 10s7s6s42s

23 R(s) + C(s)

-

ÖRNEK FAZ EKLE-ÇIKAR

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

-210

-180

-150

-120

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-8.7526

-165.5474PM=14.4562

GM=8.7526 dB

2.1209 3.4675

>>pay=[15 30];

>>payda=[4 6 7 -10];

>>bode(pay,payda)

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

ess

Overshoot=%97

Adım Girdi Cevabı

1.5

Örnek:

313.05.1

5.197.1

c

ccOV

ss

ssmax

css’e göre aşma değeri


Overshoot’u azaltmak için sönüm ilavesi amaçlı faz ekle devresi tasarlayalım. İlk durumda ξ≈PM/100=14.4562/100=0.1445. Sönüm oranını 0.3 yapmak için φ=30-PM=30-14.4562=15.5438 derece faz ekleyelim. Faz ekleme frekansı Faz marjininin ölçüldüğü frekansdır ω=2.1209 rad/s.

7321.1)5438.15sin(1)5438.15sin(1

sin1sin1

a o

o

M

M

3583.01209.2*7321.1

1a

1T 22

m

1s3583.01s6206.0

s3583.01s3583.0*7321.11

Ts1aTs1

)s(Gc

Ts1aTs1

)s(Gc

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

0

5

10

15

20

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

15.5438>>pay=[0.6206 1];

>>payda=[0.3583 1];

>>bode(pay,payda)

15.5438º

2.1209 rad/sGörüldüğü gibi Faz Ekle devresi 2.1209 rad/s’de sistemin faz marjını 15.5438º arttırıyor.


20s035.37s8171.17s1498.6s4332.130s618.33s309.9

)s(H 234

2

>>pay=[9.309 33.618 30];>>payda=[1.4332 6.1498 17.8171 37.035 20];>> step(pay,payda)

Overshoot azaldı!

ess =0.5 değişmedi!

FAZ EKLE DEVRESİ TÜREVSEL KONTROLCÜYE BENZER BİR ETKİ OLUŞTURDU.

15 10s7s6s42s

23 R(s) + C(s)

-1s3583.01s6206.0

Faz Ekle

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Overshoot=%70

ess

1.5

133.05.1

5.17.1

c

ccOV

ss

ssmax



Düzenli rejim hatasını azaltabilmek amacı ile ilk sisteme faz azalt devresi ekleyelim. İlk durumda faz marjı PM=14.4562° idi. Sistemin stabilitesini bozmadan 8° faz azaltalım.

7557.0)8sin(1)8sin(1

sin1sin1

a o

o

M

M

5424.01209.2*7557.0

1a

1T 22

m

1s5424.03233.1s5424.0

)s(G

s5424.01s5424.0*7557.01

7557.01

Ts1aTs1

a1

)s(G

c

c

Ts1aTs1

a1

)s(Gc

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

-8

-6

-4

-2

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-8°

2.1209 rad/s

Görüldüğü gibi Faz Azalt devresi 2.1209 rad/s’de sistemin Faz marjını -8º azaltıyor.

699.29s6975.37s9328.17s2544.7s1696.2699.39s1215.36s136.8

)s(H 234

2


0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.5

1

1.5

2

2.5

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Overshoot=%115

ess

=0.3341

Düzenli rejim hatası ess azaldı!

Overshoot arttı!

Düzenli rejime ulaşma zamanı arttı!

FAZ AZALT DEVRESİ INTEGRAL KONTROLCÜYE BENZER BİR ETKİ OLUŞTURDU.

15 10s7s6s42s

23 R(s) + C(s)

-1s5424.0

3233.1s5424.0

Faz Azalt

FAZ EKLE VE FAZ AZALT DEVRERELERİNİN BİRLİKTE KULLANILMASIYLA İSTENİLEN ÇIKTI ELDE EDİLEBİLİR.

clc;clearpay=[8.136 36.1215 39.699];payda=[2.1696 7.2544 17.9328 37.6975 29.699];syst=tf(pay,payda);[c,t]=step(syst)

574.03341.1

3341.11.2

c

ccOV

ss

ssmax


ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

Documents