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p-Ádicos Anel dos Adelos (A Q ) Grupos Duais O Anel dos Adelos dos Racionais Edgar Costa Encontro Nacional NTM, 2007 Edgar Costa O Anel dos Adelos dos Racionais
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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

O Anel dos Adelos dos Racionais

Edgar Costa

Encontro Nacional NTM, 2007

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Grupos Duais

Tópicos

1 p-ÁdicosIntroduçãoA MétricaQp

2 Anel dos Adelos (AQ)

3 Grupos DuaisIntroduçãoQ ∼= AQ/QQ ∼=R/nZ

←−

Edgar Costa O Anel dos Adelos dos Racionais

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Tópicos

1 p-ÁdicosIntroduçãoA MétricaQp

2 Anel dos Adelos (AQ)

3 Grupos DuaisIntroduçãoQ ∼= AQ/QQ ∼=R/nZ

←−

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Introdução aos p-Ádicos

Completação de um espaço, o que é?Construção sempre possível e única.

R é uma completação de Q.Cada Qp (corpo p-ádico) também é uma completação deQ.1

Quais são as diferenças?A métrica!(xn) é Cauchy sse ∀ε ∃N n, m > N ⇒ d(xn, xm) < ε

1em que p é um primo.Edgar Costa O Anel dos Adelos dos Racionais

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IntroduçãoA MétricaQp

Introdução aos p-Ádicos

Completação de um espaço, o que é?Construção sempre possível e única.

R é uma completação de Q.Cada Qp (corpo p-ádico) também é uma completação deQ.1

Quais são as diferenças?A métrica!(xn) é Cauchy sse ∀ε ∃N n, m > N ⇒ d(xn, xm) < ε

1em que p é um primo.Edgar Costa O Anel dos Adelos dos Racionais

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IntroduçãoA MétricaQp

Introdução aos p-Ádicos

Completação de um espaço, o que é?Construção sempre possível e única.

R é uma completação de Q.Cada Qp (corpo p-ádico) também é uma completação deQ.1

Quais são as diferenças?A métrica!(xn) é Cauchy sse ∀ε ∃N n, m > N ⇒ d(xn, xm) < ε

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IntroduçãoA MétricaQp

Introdução aos p-Ádicos

Completação de um espaço, o que é?Construção sempre possível e única.

R é uma completação de Q.Cada Qp (corpo p-ádico) também é uma completação deQ.1

Quais são as diferenças?A métrica!(xn) é Cauchy sse ∀ε ∃N n, m > N ⇒ d(xn, xm) < ε

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IntroduçãoA MétricaQp

Introdução aos p-Ádicos

Completação de um espaço, o que é?Construção sempre possível e única.

R é uma completação de Q.Cada Qp (corpo p-ádico) também é uma completação deQ.1

Quais são as diferenças?A métrica!(xn) é Cauchy sse ∀ε ∃N n, m > N ⇒ d(xn, xm) < ε

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IntroduçãoA MétricaQp

Introdução aos p-Ádicos

Completação de um espaço, o que é?Construção sempre possível e única.

R é uma completação de Q.Cada Qp (corpo p-ádico) também é uma completação deQ.1

Quais são as diferenças?A métrica!(xn) é Cauchy sse ∀ε ∃N n, m > N ⇒ d(xn, xm) < ε

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IntroduçãoA MétricaQp

Tópicos

1 p-ÁdicosIntroduçãoA MétricaQp

2 Anel dos Adelos (AQ)

3 Grupos DuaisIntroduçãoQ ∼= AQ/QQ ∼=R/nZ

←−

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

A Métrica

Definição

ordpn(±ΠPpαii ) = αn

|.|p : Q −→ Rx −→ p−ordp(x)

dp(x , y) = |x − y |p

Exemplo

x = 178 |x |2 = 8 |x |17 = 1

17 ∀p 6=2,17|x |p = 1 |x |∞ = x

dp(x , y) ≤ max{dp(x , z), dp(y , z)}ΣNbn converge sse lim bn = 0Se duas bolas se intersectarem então uma está contida naoutra.

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IntroduçãoA MétricaQp

A Métrica

Definição

ordpn(±ΠPpαii ) = αn

|.|p : Q −→ Rx −→ p−ordp(x)

dp(x , y) = |x − y |p

Exemplo

x = 178 |x |2 = 8 |x |17 = 1

17 ∀p 6=2,17|x |p = 1 |x |∞ = x

dp(x , y) ≤ max{dp(x , z), dp(y , z)}ΣNbn converge sse lim bn = 0Se duas bolas se intersectarem então uma está contida naoutra.

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

A Métrica

Definição

ordpn(±ΠPpαii ) = αn

|.|p : Q −→ Rx −→ p−ordp(x)

dp(x , y) = |x − y |p

Exemplo

x = 178 |x |2 = 8 |x |17 = 1

17 ∀p 6=2,17|x |p = 1 |x |∞ = x

dp(x , y) ≤ max{dp(x , z), dp(y , z)}ΣNbn converge sse lim bn = 0Se duas bolas se intersectarem então uma está contida naoutra.

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IntroduçãoA MétricaQp

A Métrica

Definição

ordpn(±ΠPpαii ) = αn

|.|p : Q −→ Rx −→ p−ordp(x)

dp(x , y) = |x − y |p

Exemplo

x = 178 |x |2 = 8 |x |17 = 1

17 ∀p 6=2,17|x |p = 1 |x |∞ = x

dp(x , y) ≤ max{dp(x , z), dp(y , z)}ΣNbn converge sse lim bn = 0Se duas bolas se intersectarem então uma está contida naoutra.

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IntroduçãoA MétricaQp

A Métrica

Definição

ordpn(±ΠPpαii ) = αn

|.|p : Q −→ Rx −→ p−ordp(x)

dp(x , y) = |x − y |p

Exemplo

x = 178 |x |2 = 8 |x |17 = 1

17 ∀p 6=2,17|x |p = 1 |x |∞ = x

dp(x , y) ≤ max{dp(x , z), dp(y , z)}ΣNbn converge sse lim bn = 0Se duas bolas se intersectarem então uma está contida naoutra.

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

A Métrica

Definição

ordpn(±ΠPpαii ) = αn

|.|p : Q −→ Rx −→ p−ordp(x)

dp(x , y) = |x − y |p

Exemplo

x = 178 |x |2 = 8 |x |17 = 1

17 ∀p 6=2,17|x |p = 1 |x |∞ = x

dp(x , y) ≤ max{dp(x , z), dp(y , z)}ΣNbn converge sse lim bn = 0Se duas bolas se intersectarem então uma está contida naoutra.

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

A Métrica

Definição

ordpn(±ΠPpαii ) = αn

|.|p : Q −→ Rx −→ p−ordp(x)

dp(x , y) = |x − y |p

Exemplo

x = 178 |x |2 = 8 |x |17 = 1

17 ∀p 6=2,17|x |p = 1 |x |∞ = x

dp(x , y) ≤ max{dp(x , z), dp(y , z)}ΣNbn converge sse lim bn = 0Se duas bolas se intersectarem então uma está contida naoutra.

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Tópicos

1 p-ÁdicosIntroduçãoA MétricaQp

2 Anel dos Adelos (AQ)

3 Grupos DuaisIntroduçãoQ ∼= AQ/QQ ∼=R/nZ

←−

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

C = Cp(Q) = {(xn) : (xn) é Cauchy com respeito a dp}N = {(xn) : lim |xn|p = 0}Qp = C/NQp = {

∑k≥n akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, n ∈ Z}

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

C = Cp(Q) = {(xn) : (xn) é Cauchy com respeito a dp}N = {(xn) : lim |xn|p = 0}Qp = C/NQp = {

∑k≥n akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, n ∈ Z}

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

C = Cp(Q) = {(xn) : (xn) é Cauchy com respeito a dp}N = {(xn) : lim |xn|p = 0}Qp = C/NQp = {

∑k≥n akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, n ∈ Z}

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

n = 1 X ≡ 3, 4 n = 2 X ≡ 10, 39n = 3 X ≡ 108, 235 n = 4 X ≡ 2166, 235

Este processo pode ser continuado indefenidamente

Temos então duas soluções: x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)ou x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)= (−3,−10,−108,−2166, . . .) = −x1

αn+1 ≡ αn mod 7n

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

n = 1 X ≡ 3, 4 n = 2 X ≡ 10, 39n = 3 X ≡ 108, 235 n = 4 X ≡ 2166, 235

Este processo pode ser continuado indefenidamente

Temos então duas soluções: x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)ou x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)= (−3,−10,−108,−2166, . . .) = −x1

αn+1 ≡ αn mod 7n

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

n = 1 X ≡ 3, 4 n = 2 X ≡ 10, 39n = 3 X ≡ 108, 235 n = 4 X ≡ 2166, 235

Este processo pode ser continuado indefenidamente

Temos então duas soluções: x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)ou x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)= (−3,−10,−108,−2166, . . .) = −x1

αn+1 ≡ αn mod 7n

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IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

n = 1 X ≡ 3, 4 n = 2 X ≡ 10, 39n = 3 X ≡ 108, 235 n = 4 X ≡ 2166, 235

Este processo pode ser continuado indefenidamente

Temos então duas soluções: x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)ou x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)= (−3,−10,−108,−2166, . . .) = −x1

αn+1 ≡ αn mod 7n

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IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

n = 1 X ≡ 3, 4 n = 2 X ≡ 10, 39n = 3 X ≡ 108, 235 n = 4 X ≡ 2166, 235

Este processo pode ser continuado indefenidamente

Temos então duas soluções: x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)ou x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)= (−3,−10,−108,−2166, . . .) = −x1

αn+1 ≡ αn mod 7n

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

n = 1 X ≡ 3, 4 n = 2 X ≡ 10, 39n = 3 X ≡ 108, 235 n = 4 X ≡ 2166, 235

Este processo pode ser continuado indefenidamente

Temos então duas soluções: x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)ou x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)= (−3,−10,−108,−2166, . . .) = −x1

αn+1 ≡ αn mod 7n

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

n = 1 X ≡ 3, 4 n = 2 X ≡ 10, 39n = 3 X ≡ 108, 235 n = 4 X ≡ 2166, 235

Este processo pode ser continuado indefenidamente

Temos então duas soluções: x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)ou x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)= (−3,−10,−108,−2166, . . .) = −x1

αn+1 ≡ αn mod 7n

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

n = 1 X ≡ 3, 4 n = 2 X ≡ 10, 39n = 3 X ≡ 108, 235 n = 4 X ≡ 2166, 235

Este processo pode ser continuado indefenidamente

Temos então duas soluções: x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)ou x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)= (−3,−10,−108,−2166, . . .) = −x1

αn+1 ≡ αn mod 7n

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

As sucessões são as soma parciais de uma expansão 7-ádica

x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)

3 = 3

10 = 3 + 1× 7

108 = 3 + 1× 7 + 2× 72

2166 = 3 + 1× 7 + 2× 72 + 6× 73

. . .

x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)

4 = 4

39 = 4 + 5× 7

235 = 4 + 5× 7 + 4× 72

235 = 4 + 5× 7 + 4× 72 + 0× 73

. . .

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

X 2 ≡ 2 mod 7n

As sucessões são as soma parciais de uma expansão 7-ádica

x1 = (3, 10, 108, 2166, . . .)

3 = 3

10 = 3 + 1× 7

108 = 3 + 1× 7 + 2× 72

2166 = 3 + 1× 7 + 2× 72 + 6× 73

. . .

x2 = (4, 39, 235, 235, . . .)

4 = 4

39 = 4 + 5× 7

235 = 4 + 5× 7 + 4× 72

235 = 4 + 5× 7 + 4× 72 + 0× 73

. . .

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

Zp = {x ∈ Qp : |x |p ≤ 1}sub-anel maximal compacto de Qp

Zp = {∑

k≥0 akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}Zp=lim←−Z/pnZ={(xn) : xn ∈ Z/pnZ αn+1 ≡ αn mod pn}xn = Σn

k=0akpk

Existem outras completações de Q?Teorema de Ostrowski

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

Zp = {x ∈ Qp : |x |p ≤ 1}sub-anel maximal compacto de Qp

Zp = {∑

k≥0 akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}Zp=lim←−Z/pnZ={(xn) : xn ∈ Z/pnZ αn+1 ≡ αn mod pn}xn = Σn

k=0akpk

Existem outras completações de Q?Teorema de Ostrowski

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Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

Zp = {x ∈ Qp : |x |p ≤ 1}sub-anel maximal compacto de Qp

Zp = {∑

k≥0 akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}Zp=lim←−Z/pnZ={(xn) : xn ∈ Z/pnZ αn+1 ≡ αn mod pn}xn = Σn

k=0akpk

Existem outras completações de Q?Teorema de Ostrowski

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

Zp = {x ∈ Qp : |x |p ≤ 1}sub-anel maximal compacto de Qp

Zp = {∑

k≥0 akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}Zp=lim←−Z/pnZ={(xn) : xn ∈ Z/pnZ αn+1 ≡ αn mod pn}xn = Σn

k=0akpk

Existem outras completações de Q?Teorema de Ostrowski

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

Zp = {x ∈ Qp : |x |p ≤ 1}sub-anel maximal compacto de Qp

Zp = {∑

k≥0 akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}Zp=lim←−Z/pnZ={(xn) : xn ∈ Z/pnZ αn+1 ≡ αn mod pn}xn = Σn

k=0akpk

Existem outras completações de Q?Teorema de Ostrowski

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

Zp = {x ∈ Qp : |x |p ≤ 1}sub-anel maximal compacto de Qp

Zp = {∑

k≥0 akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}Zp=lim←−Z/pnZ={(xn) : xn ∈ Z/pnZ αn+1 ≡ αn mod pn}xn = Σn

k=0akpk

Existem outras completações de Q?Teorema de Ostrowski

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Qp

Zp = {x ∈ Qp : |x |p ≤ 1}sub-anel maximal compacto de Qp

Zp = {∑

k≥0 akpk : ak ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}Zp=lim←−Z/pnZ={(xn) : xn ∈ Z/pnZ αn+1 ≡ αn mod pn}xn = Σn

k=0akpk

Existem outras completações de Q?Teorema de Ostrowski

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Uma aplicação dos corpos p-Ádicos

Principio Global-Local2

A existência ou não existência de soluções em Q (soluçõesglobais) de uma equação diofantina podem ser encontradasestudando, para cada p ≤ ∞, as soluções da equação em Qp

(soluções locais).

Teorema:O princípio Global-Local é teorema no caso das equaçõesda seguinte forma:Σi,jaijxixj = 0 aij ∈ Z (formas quadráticas)

2Não é um teorema, mas sim um “plano de ataque”.Edgar Costa O Anel dos Adelos dos Racionais

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Uma aplicação dos corpos p-Ádicos

Principio Global-Local2

A existência ou não existência de soluções em Q (soluçõesglobais) de uma equação diofantina podem ser encontradasestudando, para cada p ≤ ∞, as soluções da equação em Qp

(soluções locais).

Teorema:O princípio Global-Local é teorema no caso das equaçõesda seguinte forma:Σi,jaijxixj = 0 aij ∈ Z (formas quadráticas)

2Não é um teorema, mas sim um “plano de ataque”.Edgar Costa O Anel dos Adelos dos Racionais

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãoA MétricaQp

Uma aplicação dos corpos p-Ádicos

Principio Global-Local2

A existência ou não existência de soluções em Q (soluçõesglobais) de uma equação diofantina podem ser encontradasestudando, para cada p ≤ ∞, as soluções da equação em Qp

(soluções locais).

Teorema:O princípio Global-Local é teorema no caso das equaçõesda seguinte forma:Σi,jaijxixj = 0 aij ∈ Z (formas quadráticas)

2Não é um teorema, mas sim um “plano de ataque”.Edgar Costa O Anel dos Adelos dos Racionais

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

Tópicos

1 p-ÁdicosIntroduçãoA MétricaQp

2 Anel dos Adelos (AQ)

3 Grupos DuaisIntroduçãoQ ∼= AQ/QQ ∼=R/nZ

←−

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

Anel dos Adelos

Definição

AQ ={

x ∈ Πp∈P∪{∞}Qp : xp ∈ Zp para quase todo o p}

AQ(P) = {x ∈ AQ : xp ∈ Zpp /∈ P} = Πp∈PQp × Πp∈P−PZp{∞} ⊂ P finito ⊂ {∞} ∪ P

Topologia nos adelos tem como base os conjuntos AQ(P)

φ : Q ↪→ AQ

x −→ (x , x , . . . , x , . . .).

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

Anel dos Adelos

Definição

AQ ={

x ∈ Πp∈P∪{∞}Qp : xp ∈ Zp para quase todo o p}

AQ(P) = {x ∈ AQ : xp ∈ Zpp /∈ P} = Πp∈PQp × Πp∈P−PZp{∞} ⊂ P finito ⊂ {∞} ∪ P

Topologia nos adelos tem como base os conjuntos AQ(P)

φ : Q ↪→ AQ

x −→ (x , x , . . . , x , . . .).

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

Anel dos Adelos

Definição

AQ ={

x ∈ Πp∈P∪{∞}Qp : xp ∈ Zp para quase todo o p}

AQ(P) = {x ∈ AQ : xp ∈ Zpp /∈ P} = Πp∈PQp × Πp∈P−PZp{∞} ⊂ P finito ⊂ {∞} ∪ P

Topologia nos adelos tem como base os conjuntos AQ(P)

φ : Q ↪→ AQ

x −→ (x , x , . . . , x , . . .).

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

Anel dos Adelos

Definição

AQ ={

x ∈ Πp∈P∪{∞}Qp : xp ∈ Zp para quase todo o p}

AQ(P) = {x ∈ AQ : xp ∈ Zpp /∈ P} = Πp∈PQp × Πp∈P−PZp{∞} ⊂ P finito ⊂ {∞} ∪ P

Topologia nos adelos tem como base os conjuntos AQ(P)

φ : Q ↪→ AQ

x −→ (x , x , . . . , x , . . .).

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

Alguns Resultados sobre AQ

Resultadosφ(Q) é um subgrupo discreto de AQ

AQ/φ(Q) é compacto.

Z é um subgrupo discreto de RR/Z (= T) ∼= S1 e é compacto.

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

Alguns Resultados sobre AQ

Resultadosφ(Q) é um subgrupo discreto de AQ

AQ/φ(Q) é compacto.

Z é um subgrupo discreto de RR/Z (= T) ∼= S1 e é compacto.

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

Alguns Resultados sobre AQ

Resultadosφ(Q) é um subgrupo discreto de AQ

AQ/φ(Q) é compacto.

Z é um subgrupo discreto de RR/Z (= T) ∼= S1 e é compacto.

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Tópicos

1 p-ÁdicosIntroduçãoA MétricaQp

2 Anel dos Adelos (AQ)

3 Grupos DuaisIntroduçãoQ ∼= AQ/QQ ∼=R/nZ

←−

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Introdução

Definição

K = {h : h : K −→ T, h é um homomorfismo contínuo}Os elementos de bK designam-se por caracteres.

Exemplos

Z = TT = ZAnálise Harmónica

f : R/Z −→ C bf : Z −→ Cbf (n) =

ZS1

f (z)e−nızdz f (z) = Σn∈Zbf (n)enız

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Introdução

Definição

K = {h : h : K −→ T, h é um homomorfismo contínuo}Os elementos de bK designam-se por caracteres.

Exemplos

Z = TT = ZAnálise Harmónica

f : R/Z −→ C bf : Z −→ Cbf (n) =

ZS1

f (z)e−nızdz f (z) = Σn∈Zbf (n)enız

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Introdução

Definição

K = {h : h : K −→ T, h é um homomorfismo contínuo}Os elementos de bK designam-se por caracteres.

Exemplos

Z = TT = ZAnálise Harmónica

f : R/Z −→ C bf : Z −→ Cbf (n) =

ZS1

f (z)e−nızdz f (z) = Σn∈Zbf (n)enız

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Introdução

Exemplos

R = RQp = Qp

AQ = AQ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Tópicos

1 p-ÁdicosIntroduçãoA MétricaQp

2 Anel dos Adelos (AQ)

3 Grupos DuaisIntroduçãoQ ∼= AQ/QQ ∼=R/nZ

←−

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Caracteres e Auto-Dualidade dos Adelos

Seja G um Qp ou R, seja χ1 um carácter não trivial de G,então qualquer carácter desse grupo consegue-seescrever da seguinte forma χa(x) = χ1(ax).O mapa de a −→ χa é um isomorfismo entre G e o seudual.χ(x) = Πχp(xp) em que χp(Zp) = 1 para quase todo o p.χ∞(x∞) = e−2πıx∞ χp(xp = ξp + np ∈ Q + Zp) = e2πıξp

AQ ∼= AQ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Caracteres e Auto-Dualidade dos Adelos

Seja G um Qp ou R, seja χ1 um carácter não trivial de G,então qualquer carácter desse grupo consegue-seescrever da seguinte forma χa(x) = χ1(ax).O mapa de a −→ χa é um isomorfismo entre G e o seudual.χ(x) = Πχp(xp) em que χp(Zp) = 1 para quase todo o p.χ∞(x∞) = e−2πıx∞ χp(xp = ξp + np ∈ Q + Zp) = e2πıξp

AQ ∼= AQ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Caracteres e Auto-Dualidade dos Adelos

Seja G um Qp ou R, seja χ1 um carácter não trivial de G,então qualquer carácter desse grupo consegue-seescrever da seguinte forma χa(x) = χ1(ax).O mapa de a −→ χa é um isomorfismo entre G e o seudual.χ(x) = Πχp(xp) em que χp(Zp) = 1 para quase todo o p.χ∞(x∞) = e−2πıx∞ χp(xp = ξp + np ∈ Q + Zp) = e2πıξp

AQ ∼= AQ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Caracteres e Auto-Dualidade dos Adelos

Seja G um Qp ou R, seja χ1 um carácter não trivial de G,então qualquer carácter desse grupo consegue-seescrever da seguinte forma χa(x) = χ1(ax).O mapa de a −→ χa é um isomorfismo entre G e o seudual.χ(x) = Πχp(xp) em que χp(Zp) = 1 para quase todo o p.χ∞(x∞) = e−2πıx∞ χp(xp = ξp + np ∈ Q + Zp) = e2πıξp

AQ ∼= AQ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Caracteres e Auto-Dualidade dos Adelos

Seja G um Qp ou R, seja χ1 um carácter não trivial de G,então qualquer carácter desse grupo consegue-seescrever da seguinte forma χa(x) = χ1(ax).O mapa de a −→ χa é um isomorfismo entre G e o seudual.χ(x) = Πχp(xp) em que χp(Zp) = 1 para quase todo o p.χ∞(x∞) = e−2πıx∞ χp(xp = ξp + np ∈ Q + Zp) = e2πıξp

AQ ∼= AQ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Q ∼= AQ/Q

Γ = φ(Q)⊥ = {a = (ap) ∈ AQ : χa(ξ) = 1 ξ ∈ φ(Q))}φ(Q) ⊂ Γχa(ξ) = χ(aξ) e aξ ∈ Q

AQ = φ(Q) + [1/2,−1/2]× ΠPZp

Γ = φ(Q)

G/H⊥ ∼= H

AQ/Q ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q)⊥ ∼= φ(Q) ∼= Q

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Q ∼= AQ/Q

Γ = φ(Q)⊥ = {a = (ap) ∈ AQ : χa(ξ) = 1 ξ ∈ φ(Q))}φ(Q) ⊂ Γχa(ξ) = χ(aξ) e aξ ∈ Q

AQ = φ(Q) + [1/2,−1/2]× ΠPZp

Γ = φ(Q)

G/H⊥ ∼= H

AQ/Q ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q)⊥ ∼= φ(Q) ∼= Q

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Q ∼= AQ/Q

Γ = φ(Q)⊥ = {a = (ap) ∈ AQ : χa(ξ) = 1 ξ ∈ φ(Q))}φ(Q) ⊂ Γχa(ξ) = χ(aξ) e aξ ∈ Q

AQ = φ(Q) + [1/2,−1/2]× ΠPZp

Γ = φ(Q)

G/H⊥ ∼= H

AQ/Q ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q)⊥ ∼= φ(Q) ∼= Q

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Q ∼= AQ/Q

Γ = φ(Q)⊥ = {a = (ap) ∈ AQ : χa(ξ) = 1 ξ ∈ φ(Q))}φ(Q) ⊂ Γχa(ξ) = χ(aξ) e aξ ∈ Q

AQ = φ(Q) + [1/2,−1/2]× ΠPZp

Γ = φ(Q)

G/H⊥ ∼= H

AQ/Q ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q)⊥ ∼= φ(Q) ∼= Q

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Q ∼= AQ/Q

Γ = φ(Q)⊥ = {a = (ap) ∈ AQ : χa(ξ) = 1 ξ ∈ φ(Q))}φ(Q) ⊂ Γχa(ξ) = χ(aξ) e aξ ∈ Q

AQ = φ(Q) + [1/2,−1/2]× ΠPZp

Γ = φ(Q)

G/H⊥ ∼= H

AQ/Q ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q)⊥ ∼= φ(Q) ∼= Q

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Q ∼= AQ/Q

Γ = φ(Q)⊥ = {a = (ap) ∈ AQ : χa(ξ) = 1 ξ ∈ φ(Q))}φ(Q) ⊂ Γχa(ξ) = χ(aξ) e aξ ∈ Q

AQ = φ(Q) + [1/2,−1/2]× ΠPZp

Γ = φ(Q)

G/H⊥ ∼= H

AQ/Q ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q) ∼= AQ/φ(Q)⊥ ∼= φ(Q) ∼= Q

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

Tópicos

1 p-ÁdicosIntroduçãoA MétricaQp

2 Anel dos Adelos (AQ)

3 Grupos DuaisIntroduçãoQ ∼= AQ/QQ ∼=R/nZ

←−

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

lim←−R/nZ

Definição

lim←−R/nZ ={(xn) : xn ∈ R

nZ ; xm ≡ xn mod n ∀n|m}

Q =< {1n : n ∈ N} >

ϕ : Q −→ T1n −→

cnn mod 1

(cn) ∈ lim←−R/nZ

Q ∼= lim←−R/nZ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

lim←−R/nZ

Definição

lim←−R/nZ ={(xn) : xn ∈ R

nZ ; xm ≡ xn mod n ∀n|m}

Q =< {1n : n ∈ N} >

ϕ : Q −→ T1n −→

cnn mod 1

(cn) ∈ lim←−R/nZ

Q ∼= lim←−R/nZ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

lim←−R/nZ

Definição

lim←−R/nZ ={(xn) : xn ∈ R

nZ ; xm ≡ xn mod n ∀n|m}

Q =< {1n : n ∈ N} >

ϕ : Q −→ T1n −→

cnn mod 1

(cn) ∈ lim←−R/nZ

Q ∼= lim←−R/nZ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

lim←−R/nZ

Definição

lim←−R/nZ ={(xn) : xn ∈ R

nZ ; xm ≡ xn mod n ∀n|m}

Q =< {1n : n ∈ N} >

ϕ : Q −→ T1n −→

cnn mod 1

(cn) ∈ lim←−R/nZ

Q ∼= lim←−R/nZ

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p-ÁdicosAnel dos Adelos (AQ)

Grupos Duais

IntroduçãobQ ∼= AQ/QbQ ∼=R/nZ←−

lim←−R/nZ

Definição

lim←−R/nZ ={(xn) : xn ∈ R

nZ ; xm ≡ xn mod n ∀n|m}

Q =< {1n : n ∈ N} >

ϕ : Q −→ T1n −→

cnn mod 1

(cn) ∈ lim←−R/nZ

Q ∼= lim←−R/nZ

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Conclusões e Bibliografia

Conclusões

Os Corpos p-Ádicos são uma construção interessante eútil.Existe o Anel dos Adelos dos Racionais que nos permiteter uma visão global de todos as completações de Q,existindo um paralelismo entre este e os Reais.Uma compreensão mais profunda do Anel dos Adelos porAQ/Q ∼= lim←−R/nZ, visto o limite inverso ser um modelomais simples e intuitivo do que o anel dos Adelos.

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Conclusões e Bibliografia

Bibliografia

Fenando Q. Gouvêap-adic Numbers.

A. WeilBasic Number Theory

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