Numerical Intergration §1. Newton-Cotes Integration 1) Trapezoidal Rule

국민대학교 기계•자동차 공학부 1

Numerical Intergration§1. Newton-Cotes Integration 1) Trapezoidal Rule 2) Simpson’s Rule 3) Unequal segments 4) Open Integration formula§2. Integration of Equations 1) Romberg integration 2) Gauss Quadrature

Numerical differentiation§1. High- Accuracy Differentiation formulas§2. Ridchardson Extrapolation§3. Unequally Spaced Data

Numerical Differentiation and Integration

국민대학교 기계•자동차 공학부 2

§1. Newton-Cotes Integration

b

a

b

an dxxfdxxfI )()(

nn

nn

n

xaxa

aaxf

1

1

10)(

b

a

b

adxxfdxxfI )()( 1

국민대학교 기계•자동차 공학부 3

세 개의 직선 선분 아래의 면적에 대한 적분의 근사값

폐구간 적분 공식 개구간 적분 공식

국민대학교 기계•자동차 공학부 4

1) Trapezoidal Rule

b

a

b

adxxfdxxfI )()( 1

)()()(

)()(1 axab

afbfafxf

2

)()()(

bfafabI

3))((''12

1abfEt 사다리꼴 적분 공식의 그래프적인 표현

# 사다리꼴 적분공식

국민대학교 기계•자동차 공학부 5

1) Trapezoidal Rule

xn

xn

x

x

x

xdxxfdxxfdxxfI

1

2

1

1

0)()()(

2

)()(

2

)()(

2

)()( 12110 nn xfxfh

xfxfh

xfxfhI

# 합성 사다리꼴 적분 공식

1

1

0 )()(2)(2

n

i

ni xfxfxfh

I

n

xfxfxfabI

n

i

ni

2

)()(2)()(

1

1

0

''12

)(2

3

fn

abEa

국민대학교 기계•자동차 공학부 6

2) Simpson’s Rule# Simpson 1/3 공식

b

a

b

adxxfdxxfI )()( 2

dxxfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxI

x

x

2

02

1202

101

2101

200

2010

21)(

))((

))(()(

))((

))(()(

))((

))((

6

)()(4)()(

210 xfxfxfabI

)(90

1 )4(5 fhEt )(2880

)( )4(5

fab

Et

)]()(4)([3

210 xfxfxfh

I

국민대학교 기계•자동차 공학부 7

2) Simpson’s Rule# 합성 Simpson 1/3 공식

xn

xn

x

x

x

xdxxfdxxfdxxfI

1

4

2

2

0)()()(

n

xfxfxfxf

abI

n

i

n

n

j

ji

3

)()(2)(4)(

)(

1

5,3,1

2

6,4,2

0

)4(4

5

180

)(f

n

abEa

6

)()(4)(2

6

)()(4)(2

6

)()(4)(2

12

432210

nnn xfxfxfh

xfxfxfh

xfxfxfhI

국민대학교 기계•자동차 공학부 8

2) Simpson’s Rule# Simpson 3/8 공식

b

a

b

adxxfdxxfI )()( 3

)(3)(3)(3)(8

33210 xfxfxfxf

hI

8

)()(3)(3)()(

3210 xfxfxfxfabI

)(6480

)( )4(5

fab

Et

국민대학교 기계•자동차 공학부 9

§2. Integration of Equations1) Romberg integration

합성 사다리꼴 적분 공식과 Simpson 공식들은 높은 효율성과 작은 오차를 필요로 하는 문제에 대해서는 부적합 .

Romberg 적분법은 이러한 결함을 제거시키기 위해서 설계된 기법 중 하나이다 .

국민대학교 기계•자동차 공학부 10

1) Romberg integration# Richardson 보외법

; 보다 정확한 근사값을 구하는 3 차로 계산하기위해 두개의 적분 추정값을

사용한다 .

)()( hEhII )()()()( 2211 hEhIhEhI

2

2

2

1

2

1

)(

)(

h

h

hE

hE

2

2

121 )()(

h

hhEhE

)()()()( 22

2

2

121 hEhIh

hhEhI

)()( 22 hEhII

221

212

)/(1

)()()(

hh

hIhIhE

''12

2 fhab

E

국민대학교 기계•자동차 공학부 11

)(3

1)(

3

412 hIhII

)(15

1)(

15

1612 hIhII

)(63

1)(

63

6412 hIhII

)()(1)/(

1)( 12

221

2 hIhIhh

hII

# Richardson 보외법

: 구간이 1/2 로 줄어든 경우

: 구간이 1/4 로 줄어든 경우

: 구간이 1/8 로 줄어든 경우

국민대학교 기계•자동차 공학부 12

1) Romberg integration# Romberg integration 알고리즘

14

41

1,1,11

,

k

kjkjk

kjII

I

I11 I12 I13 I14

I21 I22 I23

I31 I32

I41

1/3

4/3 16/15

1/15 1/63

64/63

%100,1

1,1,1

k

kka

I

II

국민대학교 기계•자동차 공학부 13

2) Gauss Quadrature

2

)()()(

bfafabI

(a) 와 같은 사다리꼴 적분공식은 양 끝점을 지나야 되기 때문에 큰 오차를 생성해 낸다 .

반면에 (b) 에서 처럼 고정된 기준점에 제약을 제외 시킨다면 곡선상에 있는 어떤 두 점을 연결하는 직선 아래의 면적을 자유롭게 계산 할 수 있게 된다 . Gauss구적법은 이러한 전략을 구현하는 기법중의 하나이다 .

국민대학교 기계•자동차 공학부 14

# Method of undetermined coefficients

2) Gauss Quadrature

)()( 10 bfcafcI

2/)(

2/)(10 1

ab

abdxcc

2/)(

2/)(1022

ab

abxdx

abc

abc

국민대학교 기계•자동차 공학부 15

# Method of undetermined coefficients

210

abcc

)(2

)(2

bfab

afab

I

abcc 10

022

10

ab

cab

c

2) Gauss Quadrature

국민대학교 기계•자동차 공학부 16

# 두점 Gauss-Legendre Formulas

2) Gauss Quadrature

)()( 1100 xfcxfcI

21)()(1

11100 dxxfcxfc

3/2)()(1

1

21100 dxxxfcxfc

0)()(1

11100 xdxxfcxfc

0)()(1

1

31100 dxxxfcxfc

국민대학교 기계•자동차 공학부 17

# 두 점 Gauss-Legendre Formulas

110 cc

...577350629.03

10

x

...577350629.03

11 x

)3

1()

3

1( ffI

2) Gauss Quadrature

국민대학교 기계•자동차 공학부 18

Numerical differentiation

§1. High Accuracy Differentiation Formulas

2

12

)('')(')()( h

xfhxfxfxf

iiii

)(2

)('')()()(' 21

hOhxf

h

xfxfxf

iiii

)()()(

)('1

hOh

xfxfxf

iii

)()(2)(

)(''2

12hO

h

xfxfxf

iii

국민대학교 기계•자동차 공학부 19

§1. High Accuracy Differentiation Formulas

)(2

)()(2)()()()(' 2

2

121hOh

h

xfxfxf

h

xfxfxf

iiiiii

)(2

)(3)(4)()(' 212

hOh

xfxfxfxf

iiii

h

xfxfxf

iii

)()()('

1

h

xfxfxfxf

iiii

2

)()(4)()('

12

전진차분에 의한 1 차 도함수 : 오차

)(hO

)( 2hO

국민대학교 기계•자동차 공학부 20

§1. High Accuracy Differentiation Formulas

후진차분에 의한 1 차 도함수 : 오차

h

xfxfxf

iii

)()()('

1

h

xfxfxfxf

iiii

2

)()(4)(3)('

21

)(hO

)( 2hO

중앙차분에 의한 1 차 도함수 : 오차

h

xfxfxf

iii

2

)()()('

11

h

xfxfxfxfxf

iiiii

12

)()(8)(8)()('

2112

)( 2hO

)( 4hO

국민대학교 기계•자동차 공학부 21

§2. Ridchardson Extrapolation

두 가지 도함수 추정법을 사용해서 보다 정확한 근사값을 구하는 방법 .

)]()([1)/(

1)( 12

221

2 hIhIhh

hII

)(3

1)(

3

412 hhII

)(3

1)(

3

412 hDhDD

국민대학교 기계•자동차 공학부 22

§3. Unequally Spaced Data

))((

2)()('

111

11

iiii

iii

xxxx

xxxxfxf

))((

2)(

11

11

iiii

iii

xxxx

xxxxf

))((

2)(

111

11

iiii

iii

xxxx

xxxxf

각각 인접한 불균등한 간격을 갖는 세게의 점들에서 2 차 Lagrange 보간다항식에 적합시키면 :