Top Banner
Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Prut (geometrický popis, vnější vazby, nehybnost, silové zatížení, složky reakcí) Reálné zatížení nosných stavebních konstrukcí Výpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku 2 Nosná stavební konstrukce Nosná stavební konstrukce slouží k přenosu zatížení objektu do horninového masívu, na němž je objekt založen. Musí mít dostatečnou únosnost a dlouhodobou použitelnost (blíže předmět Pružnost a plasticita). Kongresové centrum, Brno Skládá se z horní konstrukce a ze základové konstrukce 3 Třídění nosných konstrukcí podle geometrického tvaru 1 . Prutový konstrukční prvek (prut) – délka je výrazně větší než dva příčrozměry, idealizace dokonale tuhou čarou (přímá nebo zakřivená) Konstrukce je obecně složena z konstrukčních prvků: 2 . Plošný konstrukční prvek – tloušťka je výrazně menší než zbývající dva rozměry, idealizace rovinným nebo prostorově zakřiveným obrazcem. 3 . Masivní trojrozměrný konstrukční prvek Dělí se na stěny (zatížení ve vlastní rovině), desky (zatížení kolmo k rovině) a skořepiny (zakřivený plošný prvek). Nosnou konstrukci může tvořit jediný konstrukční prvek, zpravidla je tvořena několika konstrukčními prvky – soustava konstrukčních prvků. Nosná konstrukce z lepeného lamelového dřeva, soustava prutových prvků a desky, Lahti, Finsko, foto: Ing. Antonín Lokaj, Ph.D. 4 Zatížení nosné konstrukce Rozdělení zatížení: a) silové - vnější síly a momenty b) deformač- oteplení, sedání, poddolování a) statické - velikost, směr a umístění sil se v čase nemění, např. zatížení obytných budov b) dynamické - vyvoláno rychlou změnou velikosti, polohy nebo směru sil, vede k rozkmitání konstrukce, např. zatížení mostů jedoucími vozidly a) deterministické - vlastnosti jednoznačně vymezeny normou, např. měrné tíhy staviv b) stochastické (pravděpodobnostní přístup) – velikost zatížení není předepsáno jednou hodnotou, nýbrž pravděpodobnostní funkcí
15

Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Feb 27, 2019

Download

Documents

ledat
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Nosné stavební konstrukce

Výpočet reakcí

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

• Prut(geometrický popis, vnější vazby, nehybnost, silové zatížení, složky reakcí)

• Reálné zatížení nosných stavebních konstrukcí

• Výpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku

2

Nosná stavební konstrukce

Nosná stavební konstrukce slouží k přenosu zatížení objektu do horninového masívu, na němž je objekt založen. Musí mít dostatečnou únosnost a dlouhodobou použitelnost (blíže předmět Pružnost a plasticita).

Kongresové centrum, Brno

Skládá se z horníkonstrukce a ze základové konstrukce

3

Třídění nosných konstrukcí podle geometrického tvaru

1 . Prutový konstrukční prvek (prut) – délka je výrazně větší než dva příčnérozměry, idealizace dokonale tuhou čarou (přímá nebo zakřivená)

Konstrukce je obecně složena z konstrukčních prvků:

2 . Plošný konstrukční prvek – tloušťka je výrazně menší než zbývající dvarozměry, idealizace rovinným nebo prostorově zakřiveným obrazcem.

3 . Masivní trojrozměrný konstrukční prvek

Dělí se na stěny (zatížení ve vlastní rovině), desky (zatížení kolmok rovině) a skořepiny (zakřivený plošný prvek).

Nosnou konstrukci může tvořit jediný konstrukční prvek, zpravidla je tvořena několika konstrukčními prvky – soustavakonstrukčních prvků.

Nosná konstrukce z lepeného lamelového dřeva, soustava prutových prvků a desky, Lahti, Finsko,

foto: Ing. Antonín Lokaj, Ph.D.

4

Zatížení nosné konstrukce

Rozdělení zatížení:

a) silové - vnější síly a momentyb) deformační - oteplení, sedání, poddolování

a) statické - velikost, směr a umístění sil se v čase nemění,např. zatížení obytných budov

b) dynamické - vyvoláno rychlou změnou velikosti, polohynebo směru sil, vede k rozkmitání konstrukce, např. zatížení mostů jedoucími vozidly

a) deterministické - vlastnosti jednoznačně vymezeny normou,např. měrné tíhy staviv

b) stochastické (pravděpodobnostní přístup) – velikost zatížení nenípředepsáno jednou hodnotou, nýbrž pravděpodobnostní funkcí

Page 2: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

5

Základní pojmy:

+z

+y +x

a b

l

h

d

F2

F1=2F

FF

1 2

Rovina souměrnosti prutu

Řídící čára, osa prutu (přímý prut), střednice(přímý i zakřivený prut)

P1 P2

1 2

Raz Rbz

Rax

a b

l

Statické schéma –statický model nosnékonstrukce

Těžiště průřezu

Prut - geometrický popis prutu, idealizace

1,0,

≅l

dh

Průřez prutu

Prut rovinně nebo prostorově lomený.

6

• volný hmotný bod v rovině: nv=2

(posun v obecném směru rozložen do 2 kolmých směrů – osy souřadného systému)

• volný tuhý prut (deska) v rovině:nv=3 (posun ve dvou osách a pootočení)

• volný hmotný bod v prostoru:nv=3 (posun rozložen do tří os)

• tuhé těleso v prostoru: nv=6 ( obecný posun a pootočení)

Pohybové možnosti volných hmotných objektů

+x

+z

m[xm,zm]

x’

z’

γ

Stupeň volnosti nv : možnost vykonat jednu složku posunu v ose souřadného systému nebo pootočení.

7

Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti.

Název vazby Násobnost vazby Označení vazby a reakce

Kyvný prut

Posuvná kloubovápodpora

Pevný kloubovápodpora

Posuvné vetknutí

Dokonalé vetknutí

Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině

n–násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti.

Raz

Raz

Raz

Rax

Raz

Rax

Ma

Raz

Ma

1

2

2

3

1

nebo

nebo

Raz

Raz

Rax

8

Zajištění nehybnosti prutu

K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily všechny stupně volnosti nv.

v = nvPodepření objektu je kinematicky určité, zajištěna nehybnost objektu, použitelná jako stavební konstrukce.

v < nvPodepření objektu je kinematicky neurčité, nehybnost objektu není zajištěna, jako stavební konstrukce nepřípustná(nedostatečný počet vazeb).

v > nvPodepření objektu je kinematicky přeurčité, nehybnost objektu zajištěna, použitelná jako stavební konstrukce(větší počet vazeb než je nezbytně nutné).

Vazby musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost objektu – nesmí se jednat o tzv. výjimkový případ kinematicky určiténebo přeurčité konstrukce.

Page 3: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

9

321 .3.2 aaav ++=

a1 ... počet jednonásobných vazeb

a2 ... počet dvojnásobných vazeb

a3 ... počet trojnásobných vazeb

nv = v

nv < v

nv > v

staticky i kinematicky určitá soustava

staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava

staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava

Stupeň statické neurčitosti nosníku v rovině

3=vn

Stupeň statické neurčitosti s = v - nv

v = ve ... počet vnějších vazeb nosníku nv ... počet stupňů volnostinosníku v rovině

10

Kinematicky i staticky určitá konstrukce

Podepření objektu je kinematicky určité

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1 P2

Raz

RaxMay

P1 P2

a

v = nv

v = 3, nv = 3Prut je staticky určitý(3 složky reakcí, 3 podmínky rovnováhy)

Prostý nosník:

Konzola:

11

Kinematicky přeurčitá, staticky neurčitá konstrukce

kinematicky přeurčité, staticky neurčité podepření

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1 P2

Raz

RaxMay

P1 P2

a

Rbx

Rbz

Rbx

Mby

b

v > nv

v = 4

nv = 3

s = 1

v = 6

nv = 3

s = 3

Stupeň statické neurčitosti: s = v - nv

12

Kinematicky neurčitá konstrukce

b

Rbz

a

Raz

P1 P2

Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení

Ve stavební praxi nepoužitelné.

kinematicky neurčité podepřenív < nv

Page 4: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

13

Výjimkové případy podepření

Vazby musí být vhodně uspořádány – nesmí vzniknout výjimkovépřípady podepření, které jsou ve stavební praxi nepoužitelné.

b Rbxa

Raz

Rax

P1 P2

P1 P2

c

Rcz

a

Raz Rbz

b

Determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ.14

Idealizované silové zatížení prutů

Bodové momentyObr. 6.11. / str. 81

Bodová zatíženíObr. 6.10. / str. 81

(a)

(b)

(c) (b)

(a)

Bodová síla F (P)[kN], [N]

Bodový moment M[kNm], [Nm]

a) kroutícíb) ohýbající

Nejčastěji vzniká při přeloženíexcentrické síly do působiště na ose prutu (obr.6.10.c)

15

Liniová zatížení

Příklad příčného silového

liniového zatížení nosníkuObr. 6.12. / str. 82

Silové liniové zatížení – příčné p[kN/m], [N/m]

Příklady:

• tíha zděné příčky působící na stropnínosník

• nahodilé zatížení stropu [kN/m2]soustředěné na nosník formousběrného pásu

16

Příklad stropní konstrukce

Stropní konstrukce výzkumného energetického centra VŠB-TU Ostrava

Page 5: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

17

Staticky určitá konstrukce

Prut je staticky určitý3 neznámé složky reakcí lze vypočítat ze 3 podmínek rovnováhy.

b

Rbz

a

Raz

Rax

P1 P2

Raz

RaxMay

P1 P2

a

v = nv (v rovině: v = 3, nv = 3)

18

Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil

3) Užívané jsou také 3 momentové podmínky ke třem libovolným momentovým středům, které nesmí ležet v jedné přímce

Soustava je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x a z a součet všech momentů k libovolnému momentovému středu s je roven 0.

3 podmínky rovnováhy 1) 2 silové, 1 momentová: 0.1

1

, =∑=

n

i

xiP 0.21

, =∑=

n

i

ziP 0.31

, =∑=

m

i

siM

2) V praktických aplikacích je často výhodnější sestavit 2 momentovépodmínky k momentovým středům a, b:

Tyto podmínky se doplní třetí podmínkou - silovou:

pokud je v ose x pouze jedna neznámá složka reakce

0.1 , =∑ aiM 0.2 , =∑ biM 0.3 , =∑ ciM

0.31

, =∑=

n

i

xiP

0.1 , =∑ aiM 0.2 , =∑ biM

0.31

, =∑=

n

i

ziPpokud je v ose z pouze jedna neznámá složka reakce

19

Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil

P1 P2

1 2

Ra,z Rb,z

Ra,x a b

l

0=∑ ixP

0=∑ iaM

0=∑ ibM

P1

P2

1

2

Ra,x

Rb,x

Ra,z

a

b

l

0=∑ izP

0=∑ iaM

0=∑ ibM

Například :

aRa

P1P2

s1

Rc

b

Rb

01

=∑ sM

02

=∑ sM

03

=∑ sM

s3

s2

0: =∑ izPKontrola

0: =∑ ixPKontrola20

Příklad 1: PROSTÝ NOSNÍK

0F x,i =∑

0F z,i =∑

3 3

P =6kN

Snaha odhadnout směr reakcí

Rbx

RbzRaz

a b

Podmínky rovnováhy

Silová ve směru, ve kterém působípouze jedna složka reakce

0M a,i =∑ Momentová k jednomu podporovému bodu

0M b,i =∑ Momentová k druhému podporovému bodu

Kontrola: Silová ve směru, ve kterém působíobě složky reakcí

Po dosazení:

Rbx

RbzRaz

P

=

Rbx = 0kN

Rbz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm.

Raz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm.

Page 6: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

21

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

l = 6m

Snaha odhadnout směr reakcíRbx

RbzRaz

a b

Podmínky rovnováhy

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Kontrola:

M=12kNm

Příklad 2: PROSTÝ NOSNÍK

+

Rbx = 0

-M + 6.Rbz = 0 Rbz = 2 kN ( ) skut. směr

-M + 6.Raz = 0 Raz = 2kN ( ) skut. směr

Raz - Rbz = 0

22

Příklad 3: PROSTÝ NOSNÍK – superpozice předešlých úloh

3 3

P=6kN

Rbz,P = 3kNRaz,P = 3kN

a b

M=12kNm

Rbz,M = 2kNRaz,M = 2kN

3 3

P=6kN

Rbz,cel = 5kNRaz,cel =1kN

a b

M=12kNm

=

Popřemýšlet … , závěr ?

23

0F x,i =∑

0F z,i =∑

3 3

P=6kN Rbx

RbzRaz

a b

Podmínky rovnováhy

0M a,i =∑

0M b,i =∑Kontrola:

M=12kNm

Rbx = 0kN

Rbz = 5kN ( ) skut.směr

Raz = 1kN ( ) skut.směr

Příklad 4: PROSTÝ NOSNÍK – doma – doplňte podmínky rovnováhy a vyřešte reakce

+

24

Rax - Px = 0 Rax = 60,62 kN ( ) skut. směr

-2.Pz + 6.Rbz = 0 Rbz = 11,67 kN ( ) skut. směr

4.Pz - 6.Raz = 0 Raz = 23,33kN ( ) skut. směr

- Raz - Rbz + Pz = 0

Px = 60,62 kNPz = 35 kN

a bc

Rax

Raz Rbz

P = 70 kN

Px

Pz

2 46

60° 60°

Px

Pz

P

γ

γ

cos

sin

⋅=

⋅=

PP

PP

z

x

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Příklad 5: PROSTÝ NOSNÍK

+

Page 7: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

25

Rax = 0

- Q.6,5 + Rbz .10 = 0 Rbz = 13,65 kN ( )

Q.3,5 – Raz .10 = 0 Raz = 7,35 kN ( )

- Raz- Rbz + Q = 0

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

73

10

a bRax

RazRbz

q = 3kN/mQ = 3.7 = 21kN

náhradní břemeno

Příklad 6: PROSTÝ NOSNÍK

+

26

Rax = 0

- Q.6 + Rbz .9 = 0 Rbz = 12 kN ( )

Q.3 – Raz .9 = 0 Raz = 6 kN ( )

∑ Fiz = 0: - Raz- Rbz + Q = 0

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

9

a bRax

RazRbz

q = 4kN/mQ =0,5 .4.9 =18 kN

36

náhradní břemeno

Příklad 7: PROSTÝ NOSNÍK

+

27

Rax = 0

- Q.5 + Rbz .8 = 0 Rbz = 15 kN ( )

- Raz .8 + Q.3 = 0 Raz = 9 kN ( )

- Raz- Rbz + Q = 0

Q = 2,4 . 10 = 24 kNnáhradní břemeno:

8 2

10

a b

Rax

Raz Rbz

q = 2,4 kN/m

5 5

Q

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Příklad 8a: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM

+

28

Rax = 0

Rbz . 8 – Q1 . 4 – Q2 . 9 = 0 Rbz = 15 kN ( )

- Raz . 8 + Q1 . 4 – Q2 . 1 = 0 Raz = 9 kN ( )

- Raz- Rbz + Q1+ Q2 = 0

Q1 = 2,4 . 8 = 19,2 kN

Q2 = 2,4 . 2 = 4,8 kN

8 2

10

a b

Rax

Raz Rbz

q = 2,4 kN/m4 1

Q1 Q2

náhradní břemena:

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Příklad 8b: NOSNÍK S PŘEVISLÝM KONCEM

+

Page 8: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

29

Rax - Px = 0 Rax = 6,36kN ( )

- Raz + Pz = 0 Raz = 6,36kN ( )

Ma – Pz .5 = 0 Ma = 31,82kNm ( )

Ma – Raz . 5 = 0

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Rax

a b

Raz

Ma 45°P = 9kN

Pz

Px

5

Px = Pz = 6,36kN

Příklad 9: KONZOLA

+

30

Rbx = 0 kN

- Rbz+ Q = 0 Rbz = 12 kN ( )

- Mb + Q .6 = 0 Mb = 72 kNm ( )

- Mb + Rbz . 9 – Q.3 = 0

Rbx

a

Rbz

Mb

b

9

6 3

q = 2 kN/mQ = 12kN

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ biM

:0, =∑ aiM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Příklad 10: KONZOLA

+

31

3 3 P1 = 4kN

Rax

RbzRaz

a b

M = 3kNmP2 = 6kN

2 1

q = 4 kN/m

Příklad 11: NOSNÍK S PŘEVISLÝMI KONCI

Rax – P1 = 0 Rax = 4 kN ( ) skut. směr

-M + Rbz . 6 – Q1 . 2 – Q2 . 4,5 – P2 .7 = 0 Rbz = 18,5 kN ( )

-M - Raz . 6 + Q1 . 4 + Q2 . 1,5 – P2.1 = 0 Raz = 5,5 kN ( )

- Raz- Rbz + Q1+ Q2 + P2= 0

:0, =∑ xiF

:0, =∑ ziF

:0, =∑ aiM

:0, =∑ biM

Podmínky rovnováhy

Kontrola:

Q1 = 6kN (umístit do těžiště obrazce)

Q2= 12kN

+

32

Vnitřní síly

• Prut v rovině – 3°volnosti

• Podepření - 3 vazby, odebrány 3°volnosti, staticky určitá úloha

• Vnější zatížení a reakce – musí být v rovnováze, 3 podmínky rovnováhy, z nich 3 neznámé reakce

• Vnější zatížení a reakce se nazývají vnější síly

• Uvnitř nosníku působením vnějších sil vznikají vnitřní síly

• Obecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme na tři složky –• v ose x - normálová síla• v ose z - posouvající síla• ohybový moment

Page 9: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

33

Výpočet nosníku v osové úloze

Výpočet reakce a normálové síly v osové úloze Obr. 7.1. / str. 90

(a)

(b)

(c)

(d)

Působí-li zatížení pouze v ose nosníku. Jedna vnější vazba v ose x z podmínky rovnováhy:

RR0RR0RR

:0F

axaxax

x,i

=⇒=−⇒=+−

=∑

Složka vnitřních sil v ose nosníku – normálová síla N.

34

Normálová síla N

ba

F

+

ba

-

tah

tlak

FRax

Rax

NN

NN

N N osa nosníku

Normálová síla N v libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících v ose nosníku zleva nebo zprava od x.

Kladná normálovásíla vyvozuje v průřezu x tah a působí z průřezu. V opačném případěje normálová síla záporná a vyvozuje tlak.

+Vnější síly

35

Příklad – N síly

Řešení příkladu 4.2 Obr. 7.3. / str. 91

Zadání: sestrojit průběh normálových sil N

Průběh normálových sil po celé délce se znázorňuje graficky formou diagramu(grafu).

ba

b

a

F3 =16F1 =18

F3 =10

F2 =12

F1 =12 F2 =16Rax=18kN

Rbx=10kN

kladné normálové síly N sevynášejí nahoru, záporné dolů

36

Výpočet nosníku v příčné úloze

Zatížení – síly v ose z a momentové zatížení.

l/2 l/2

P Rbx=0

RbzRaz

a b

M

V příčné úloze dva druhy vnitřních sil: posouvající síla a ohybový moment.

Page 10: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

37

Posouvající síla V v libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících kolmo k ose nosníku zleva nebo zprava od x.

Kladná posouvající síla počítána zleva směřuje nahoru. V opačném případě je záporná.

Kladná posouvající síla počítána zprava směřuje dolů. V opačném případěje záporná.

Posouvající síla V

ba

VV

Rb

Ra

F

VV-+

+V

V

osa nosníku

Vnější síly

38

Příklad – V síly

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2

c d e

2 2

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kNF3=2kN

2 2c d e

2 2

kladné posouvající síly V se vynášejí nahoru, záporné dolů

Doplňte hodnoty V sil a znaménka:

V

…… s podporami

…… bez podpor, jen síly

-10

24 24

-16 -16

2 2+

-

+

-

39

Ohybový moment M v libovolném průřezu x nosníku je roven algebraickému součtu všech statických momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od x.

Kladný ohybový moment počítaný zleva otáčí po směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.

Kladný ohybový moment počítaný zprava otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.

Kladným ohybovým momentem jsou dolní vlákna tažena a hornítlačena (nosník je prohýbán směrem dolů). U záporného ohybového momentu je to naopak.

Ohybový moment M

M M

b

Rb

a

Ra

FM M

b

Rb

a

Ra FM M

tah

tah

tlak

tlak

-

+

+

osa nosníku

40

Příklad – ohybové momenty M

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2

c d e

2 2

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kNF3=2kN

2 2c d e

2 2

Doplňte hodnoty M a znaménka:

M

…… s podporami

…… bez podpor, jen síly

ohybové momenty M se vynášejí na stranu tažených vláken, u nosníku nahoru záporné, dolů kladnéhodnoty+

-

-

-20

28

-4

00

Page 11: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

41

M M

+V

V

N N

M M

-V

V

N N

Směr působení vnitřních sil

Kladné směry vnitřních sil:

Záporné směry vnitřních sil:

42

Schwedlerovy vztahy -Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové úloze

N N+dNx1

x2 x

x dx

z

n

-N + (N+dN) + n.dx = 0

→ nx

N−=

d

d

Rx = 0:

Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:

43

Schwedlerovy vztahy –Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze

V

V+dV

M M+dM

x1

x2x

x dx

z

m

q

dQ = q.dx

-V + (V+dV) + q.dx = 0

-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0

→ qx

V−=

d

d

→ mVx

M−=

d

d

Rz = 0:

Σ Mi,x2 = 0:

Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:

pro m=0: Vx

M=

d

d

+

44

Závěry ze Schwedlerových vztahů – extrémní hodnoty vnitřních sil

Závěry:( )

0d

d=

x

xfExtrém funkce f(x):

0d

d=−= q

x

V

0d

d== V

x

M

Extrém posouvajících sil Vje v průřezu, kde q=0

Extrém ohybových momentůM je v průřezu, kde V=0

nebo mění znaménko

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

Derivačně – integrační schéma

pro m=0:

qx

V−=

d

d

Vx

M=

d

d

Schwedlerovy vztahy

Johann Wilhelm Schwedler (1823-1894)významný německý inženýr

nx

N−=

d

d.1 q

x

V−=

d

d.2 V

x

M=

d

d.3

pro m=0:

Page 12: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

45

Extrém M může vzniknout:a) v podporových bodechb) v působištích osamělých sil

(znaménko V se mění skokem)c) pod spojitým zatížením v místě,

kde je V=0

Shrnutí - určení extrémních hodnot vnitřních sil

n = nebezpečný (kritický) průřez

0d

d== V

x

M Extrém M v průřezu, kde V=0 nebomění znaménko

n

Mmax2º

+

+

-

Mmax

M

Vn

+

+

-

46

Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil

Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103

qx

V−=

d

d

d

dV

x

M=

Závěry:

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech

2. místa extrému u V(x) a M(x)

47

7,35

Raz

Pravidla, která je nutno dodržet při řešení vnitřních sil

a b

Rax

Rbz

q = 3 kN/m

c

1° 2°

xnL

-13,65

22,05

xnP

Mmax = 31,05 kNm

Výpočet reakcídodržet všechna pravidla:3 podmínky rovnováhy + 1 kontrolní, zřetelné značení skutečného směru

d

n

n

(29,4)

= 0N

V

M

Vnitřní síly- vykreslit schéma pro všechny 3 vnitřní síly (i nulové)- N,V kladné nad osu, M na stranu tažených vláken- vlevo od každého schématu označit, o kterou vnitřnísílu se jedná. Značení v kroužku, např. N

- v každém obrazci zřetelné znaménko vnitřní síly- obrazce buď šrafovat kolmo na osu nosníku nebo ponechat prázdné

- značení stupňů polynomů- značení bodu, kde se mění stupeň polynomů (bod c)- všechny potřebné hodnoty vnitřních sil do obrázku:

v místě změny zatížení (bod c), minimálně 1 hodnota Mv poli pod spojitým zatížením (bod d), extrémní moment

- označit a okótovat místo nebezpečného průřezu- u V,N stačí potřebné hodnoty v obrázku, nejsou nutnérovnice výpočtu

- výpočet polohy nebezpečného průřezu - nutná rovnice- výpočet momentů – pro všechny hodnoty nutné rovnice

48

příklad 1 – normálové síly

a bc

Rax= 60,62kN

Raz= 23,33kN Rbz = 11,67kN

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN60°

2 4

6

a bcRax

Px

N

Nac = - Rax

Ncb = - Rax + Px

Nbc = 0

Nca = - Px

- 60,62

+ hodnoty kreslit nad osu

- 60,62 = Nca

+ +

+

+zleva:

zprava:

Ncb = 0

Page 13: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

49

příklad 1 – posouvající síly

a bc

Raz Rbz

V

23,33

- 11,67 = Vcb

Pz = 35 kN Vac = Raz

Vcb = Raz - Pz

Vbc = - Rbz

Vca = - Rbz + Pz

- 11,67

23,33 = Vca

+ hodnoty kreslit nad osu+ +

+

a bc

Rax= 60,62kN

Raz= 23,33kN Rbz = 11,67kN

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN

60°

2 4

6

+

zprava:

zleva:

+

50

zprava:Mb = 0

Mx = Rbz . x

Mc = Rbz . lbc

Mx = Rbz . x - Pz . (x - lbc)

Ma = Rbz . l - Pz . lac= 0

zleva:Ma = 0

Mx = Raz . x

Mc = Raz . lac

Mx = Raz . x - Pz . (x - lac)

Mb = Raz . l - Pz . lcb = 0

Raz

příklad 1 – ohybové momenty

a

bc

RbzPz = 35 kN

M

46,67 ( Raz . lac = Rbz . lbc )

oh.momenty vynášet na stranu

tažených vláken (dole + znaménko)

V

- 11,67

23,33

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN60°

lac = 2 lbc = 4

6

+

Rax

+

+

51

Rax = 6,36kN

bRaz = 6,36kN

Ma = 31,82kNm 45°P = 9kNPz=6,36

Px=6,36

5

xP

M(x)P = - Pz . xL

-6,36

6,36

-31,82

M(x)L = Raz . xP - Ma

xL

a

N

V

M

a b

Raz=6,36kN

Ma=31,82kNm45°

P = 9kN

5

x

Rax=6,36kN

zadání

příklad 2

řešení

52

příklad 3

M = 3kNm

6 39

a b

Raz = 0,333kN Rbz=0,333kN

-0,333

Mca =-2

Mcb =1

(- Raz . x)

czleva:

- úsek acMa = 0

Mx = - Raz . x

Mca = - Raz . 6

Mcb = - Raz . 6 + M

- úsek cbMx = - Raz . x + M

Mb = - Raz . l + M = 0

zprava:- úsek cb

Mb = 0

Mx = Rbz . x

Mcb = Rbz . 3

Mca = Rbz . 3 – M

- úsek caMx = Rbz . x - M

Mb = Rbz . l - M = 0

xL (zleva) xP (zprava)

v bodě c počítat hodnotu momentu 2krát!!! – momentový skok

= 0N

V

M

Page 14: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

53

Příklad 4 – odhadněte reakce a vykreslete průběh N,V,M

a bc

Px = 10 kN

Pz = 9 kN

2 4

6

M M

+V

V

N N

+

54

Příklad 4 – řešení

a bc

Px = 10 kN

Pz = 9 kN

2 4

6

Rbx

NM M

+V

V

N N

+

V

M

Raz Rbz

55

a

F2 =20kN

3

bF1 =18kN

test 2 – spočtěte reakce a vykreslete průběh N,V,M

M M

+V

V

N N

+

ba

F=100kN

l = 6m

33

c

A

B

F2 = 10 kN

56

Rbz

a

F2 =20kN

3

b

Mb

-

-

-20

-60

M

V

N

-18

F1 =18kN

-

test 2 – výsledek A

M M

+V

V

N N

+Rbx

Page 15: Nosné stavební konstrukce et reakcífast10.vsb.cz/lausova/komb 02-12-reakce,vnitrnisily.pdf · Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

57

b

Rbz

a

Raz

F1=100kN

l=6m

-

+

+M

V

33

Rax

N

c

M M

+V

V

N N

+

50

-50

150

test 2 – výsledek B

F2 = 10 kN

10+

58

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

• Výpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku

• Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerovy vztahy, využití

• Určení extrémních hodnot vnitřních sil

• Zatížení nosných stavebních konstrukcí

• Zajištění nehybnosti prutu, kinematická a statická určitost, neurčitost, přeurčitost, stupeň statické neurčitosti

• Typy podpor, složky reakcí ve vnějších vazbách

• Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů