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NILTON ROJAS_4TOB

Apr 06, 2018

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    Elaborado por :

    Coordinador : Nilton Rojas

    Diseador : Anthony Yaranga

    Editor . : Jos Lpez

    CreativosJoe Chumpitaz

    Alvaro Pezo

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    INDICE

    INDICE.2Presentacin.........3

    1 PROBABILIDADES..4Definicion...5Propiedades...10

    Problemas resueltos.......13Problemas propuestos ...18

    2 TRIGONOMETRIA.21

    Definicion .....22Trigonometria en la historia ..24Calculos trigonomtricos 29Problemas propuestos ..38

    3 GEOMETRIA ...44

    Tipos de geomtria ..47Teorema de Tales 53Tales de Mileto ....57

    4 JUGANDO CON LOS NUMEROS................................66

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    Final.72

    PRESENTACION

    Estimados estudiantes:

    Este boletn tiene el objetivo de presentar un mtododiferente, prctico y agradable para ustedes jvenes y notan jvenes lectores, que permita mejorar los niveles decomprensividad y razonamiento matemtico. Este trabajo

    elaborado por estudiantes del colegio Fe Y Alegra N39para estudiantes en especial del 3 y 4 de Secundaria elcual permita que el estudiante desarrolle sus capacidadesintelectuales y despierte el inters en el rea dematemtica.

    Agradecemos a nuestros profesores por el apoyo mximoque nos dieron y orientacin al elaborar y lograr concretareste proyecto.

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    Los Autores.

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    PROBABILIDADES

    Nuestra vida cotidiana est llena de imponderables, cosasque nos suceden sin que podamos predecir los resultadoscon exactitud. Por ejemplo, tras esparcir dulce sobre unarebanada de pan, sta se nos puede caer de las manos.Sabemos a ciencia cierta si a consecuencia de elloensuciaremos el piso? Claramente no, pues nuestraexperiencia nos indica que algunas veces el lado con dulcecae para abajo y otras para arriba. Cuando el refer de unpartido revolea la moneda para determinar qu equipo harel saque, sabemos con seguridad a cul le tocar hacerlo?La respuesta es "tampoco".

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    Definicin:

    Cuando un experimento aleatorio es simtrico, es decir, enun nmero muy grande de pruebas los distintos sucesosocurren con igual frecuencia o todos los eventos sonequiprobables, la probabilidad de un suceso se obtienedividiendo el nmero de casos favorables al suceso entre elnmero de casos posibles del experimento.

    Esta definicin. Debido aLAPLACE, solo esaplicable a losexperimentos aleatoriosdotados de simetra y,por lo tanto, tiene unalcance de aplicacin muyrestringido

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    Ahora veamos quien es Laplace

    Fue astrnomo, fsico y matemtico francs que invent ydesarroll la transformada de Laplace y la ecuacin deLaplace. Fue un creyente del determinismo causal.

    Nacido en una familia de granjeros de la baja Normanda,march a estudiar en la Universidad de Caen donde fuerecomendado a D'Alembert, quien, impresionado por suhabilidad matemtica, lo recomend para un puesto deprofesor en la Escuela Militar de Pars en 1767.

    Laplace cre una curiosa frmula para expresar laprobabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. l decaque la probabilidad era de (d + 1) / (d + 2), donde d es el

    nmero de das que el sol ha salido en el pasado. Laplacedeca que esta frmula, que eraconocida como la regla de sucesin,poda aplicarse en todos los casosdonde no sabemos nada, o donde loque conocamos fue cambiado por lo

    que no.

    Ejemplo 1:

    Sabias que

    El matemtico

    Laplace fue

    ateo

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    Se tiro un dado acompaado de una moneda. Calcula laprobabilidad de obtener:

    a.- Puntaje par acompaado de sello en la moneda.

    b.- Puntaje no menos de 3 y acompaado de cara en lamoneda

    Resolucin:

    Dado 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

    Moneda S S S S S S C C C C C C

    N de probabilidades: 12

    Luego:

    a.- El numero de caras favorables al evento: Sale punto pary sello, es:

    N(A) = 3 P(A) = 3/12 = 1/4

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    b.- El nmero de casos favorables al evento: Sale puntajeno menor de 3 y acompaado de cara en la moneda, es :

    N(A)= 4 P(A)= 4/12 = 1/3

    Veamos ms !!!

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    Propiedades de las probabilidades:

    PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES

    La probabilidad de un suceso es un nmero . . .. comprendido entre 0 y 1.

    La suma de las probabilidades de todos los ,. -. resultados elementales de un experimentoaleatorio es igual a 1.

    La probabilidad de un suceso compuesto es igual ala suma de las probabilidades de los resultadoselementales que lo componen.

    La probabilidad de un suceso compuesto es igual a..la suma de las probabilidades de los resultados..elementales que lo componen.

    La probabilidad del suceso seguro es igual a 1.

    La probabilidad del suceso imposible es igual a 0.

    Si dos suceso, A y B, son contrarios se verifica :

    P(A) + P(B) = 1

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    Nos damos cuenta que las propiedades de probabilidades esla misma que la de las fruecuencias relativas.

    PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIASRELATIVAS

    La frecuencia relativa de un suceso es un nmerocomprendido entre 0 y 1.

    La suma de las frecuencias relativas de todos losresultados elementales de un experimento aleatorioes igual a 1

    La frecuencia relativa de un suceso compuesto esigual a la suma de las frecuencias relativas de losresultados que lo componen.

    La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.

    La frecuencia relativa del suceso imposible esigual a 0.

    Si dos suceso, A y B, son incompatibles severifica: fr (A o B) = fr (A) + fr (B)

    Si dos sucesos A y B, son contrarios se verifica:

    fr (A) + fr (B) = 1

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    Ejemplo 2:

    Ral rinde su prctica calificada y la calificacin es de 0 a

    20. Cul es la probabilidad de que obtenga uno por mayorque 12?

    Resolucin:

    El espacio muestral tendra 21 elementos (la nota va desde0 a 20) veamos:

    Probabilidades: {0,1,2,3,4,5 . 19,20}

    Consideramos ahora el evento

    A = Nota por mayor de 12

    A = {14, 16, 18, 20} n(A) = 4

    P(A) = 4/21

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    Problemas Resueltos:

    1 Una caja contiene 7 lapiceros negros y 5 lapiceros azulesse extraen uno de ellos al azar. Determinar la probabilidadde que el lapicero extrado no sea de color azul.

    Resolucin:E: El lapicero extrado no es azul

    De acuerdo a la definicin de probabilidad tenemos :

    P(E) =

    P(E) = 7/12

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    2 Cuantos nmeros de 4 dgitos se pueden formar con lascifras 0,1,. . . ,9?

    1. permitiendo repeticiones;

    2. sin repeticiones;

    3. Si el ultimo digito ha de ser 0 y no se permitenrepeticiones?

    Resolucin:

    Asumamos que para que un nmero sea de 4 dgitos su

    primer digito debe ser distinto de cero.

    1. Puesto que debe formarse un nmero de 4 dgitos, elprimero de estos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueveposibilidades para el primer digito y diez para cada uno delos tres dgitos restantes, obtenindose un total de

    9 x = 9000 nmeros posibles.

    2. Al igual que en el apartado anterior, el primer digito nopuede ser cero. Como adems no se permiten repeticiones,hay nueve posibilidades para el segundo digito: el cero y lasocho no escogidas para el primer digito. Por tanto, se

    pueden formar x 8 x 7 = 4536 nmeros.

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    3. Fijamos el ltimo digito y, como no puede haberrepeticiones, se obtiene un total de 9 x 8 x 7 x 1 = 504nmeros.

    Ahora un poco ms difcil

    3 Dos hermanos salen de caza. El primero mata unpromedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo unapieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a

    una misma pieza, cul es la probabilidad de que la maten?

    Entonces:

    Muy Fcil!!!!!

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    4 Los estudiantes A y B tienen respectivamente

    probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen.La probabilidad de que suspendan el examensimultneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad deque al menos uno de los dos estudiantes suspenda elexamen.

    Bien

    Hecho!!!

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    5 Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas.

    Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio

    muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

    1.- Con

    remplazamiento.

    2.- Sin reemplazamiento.

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    Problemas Propuestos:

    1.-Al lanzar 2 dados Cul es la probabilidad de obtener una

    suma mayor que 10?

    a) 11/12 b) 10/15 c) 13/12

    d) 1/6 e) 13/15

    2.- Se lanza 3 Dados. Hallar la probabilidad de que los tresdados salgan con el nmero 1.

    a) 1/18 b) 2/72 c) 3/72

    d) 1/72 e) 1/216

    En una caja hay 10 bolas de billar, de las cuales solo 4 son

    amarillas, se sacan una al azar. Hallar la probabilidad de queresulte color amarilla.

    a) 1/30 b) 15/24 c) 10/12

    d)1/6 e) 4/10

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    3.- Se sacan dos bolas de una urna que se compone de unabola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Es