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Nilton Flávio

Oct 29, 2015

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  • Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho

    Instituto de Geocincias e Cincias Exatas

    Campus de Rio Claro

    Introduo Matemtica aos Modelos

    Cosmolgicos

    Nilton Flvio Delbem

    Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

    Graduao Mestrado Prossional em Ma-

    temtica Universitria do Departamento de

    Matemtica como requisito parcial para a ob-

    teno do grau de Mestre

    Orientador

    Prof. Dr. Wladimir Seixas

    2010

  • 516.36

    D344i

    Delbem, Nilton Flvio

    Introduo Matemtica aos Modelos Cosmolgicos/ Nilton Flvio

    Delbem- Rio Claro: [s.n.], 2010.

    144 f.:il., gs.

    Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti-

    tuto de Geocincias e Cincias Exatas.

    Orientador: Wladimir Seixas

    1. Geometria Diferencial. 2. Teoria e Histria da Cosmologia. 3.

    Teoria da Relatividade. 4. Mtodos Matemticos. I. Ttulo

    Ficha Catalogrca elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP

    Campus de Rio Claro/SP

  • TERMO DE APROVAO

    Nilton Flvio Delbem

    Introduo Matemtica aos Modelos Cosmolgicos

    Dissertao aprovada como requisito parcial para a obteno do grau de

    Mestre no Curso de Ps-Graduao Mestrado Prossional em Matemtica

    Universitria do Instituto de Geocincias e Cincias Exatas da Universidade

    Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, pela seguinte banca examina-

    dora:

    Prof. Dr. Wladimir Seixas

    Orientador

    Prof. Dr. Manoel Borges Ferreira Neto

    Ibilce - Unesp/So Jos do Rio Preto

    Prof. Dr. Henrique Lazari

    IGCE - Unesp/Rio Claro

    Rio Claro, 15 de Outubro de 2010

  • Agradecimentos

    Sou extremamente grato ao meu pai Altamiro, a minha me Jandira e a minha irm

    Flvia, pela ateno, apoio, amor incondicional e por sempre acreditarem em mim mais

    do que eu mesmo. Se hoje consigo alcanar mais este objetivo em minha vida, isto se

    deve ao fato de sempre t-los ao meu lado, incentivando e dando foras nesta longa

    caminhada.

    minha av Adelaide em especial, que no pode acompanhar o desfecho deste

    trabalho, mas que foi fundamental para o incio de tudo, servindo de fonte de inspirao

    para superar os obstculos e os momentos difceis pelos quais passei. V no sei como

    agradecer todo o carinho e tudo o que fez por mim, mas posso dizer que esta conquista

    nossa.

    Ao meu orientador Prof. Dr. Wladimir Seixas pela orientao presente e motiva-

    dora, pelos ensinamentos, ateno, pacincia e principalmente pela conana deposi-

    tada em meu trabalho e a amizade cultivada durante este perodo.

    Ao Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto pela amizade, por seus ensinamentos, por

    sua pacincia e generosidade, pelas sugestes, conselhos e dicas informais em momentos

    de difceis escolhas. Em especial por acreditar em meu trabalho e por ser um excelente

    professor que me forneceu uma base slida para que pudesse seguir adiante em meus

    estudos.

    A todos os professores que tive durante o mestrado pela boa qualidade dos cursos

    que ministraram e pela amizade que cultivei com todos eles durante este perodo.

    A todos meus amigos de curso. Obrigado pela amizade, generosidade, ateno,

    apoio e a oportunidade de ter cursado meu mestrado com pessoas to fantsticas e

    especiais. Saibam que levarei para sempre um pouco de cada um comigo.

    Aos meus amigos de repblica Juraclio (Jura), Gustavo, Henrique e Ribamar

    (Ribamlios). Realmente no tm como agradec-los o tanto que zeram por mim.

    Obrigado.

    A todos os amigos que convivi na poca da repblica R.C.R. em So Jos do Rio

    Preto, que sempre me deram fora, motivao e apoio nesta caminhada.

    Em especial aos amigos Artur, Cassius, Cleiry, Daniel Veronese, Elder, Fabio Ma-

    chado (Fabinho), Iger, Jos Maro (Maranho), Juliana Scapim, Leandro Martinelli

    (Uru), Luiz Fernando (Fefa), Oreste, Pedro Alexandre (Pedro), Reginaldo Izelli, Ro-

    berto Cavali (Bob), Rodrigo (Grutinha), Tatiana Miguel (Tati ), por diversos motivos,

  • entre eles: o apoio, a troca de conhecimento (matemtico, histrico, a vivncia, etc.),

    o calor humano que me passaram, as brincadeiras, os jogos de futebol, os momentos de

    conversa e descontrao nos banquinhos da Unesp de Rio Preto, as festas, os churrascos

    e tantas outras coisas que me proporcionaram a alegria e o prazer de ter convivido com

    todos.

    Agradeo a Deus e a Nossa Senhora de Aparecida por iluminar e me proteger por

    estes caminhos e por fazer com que eu encontrasse pessoas maravilhosas em minha

    vida.

  • Voc no sabe

    O quanto eu caminhei

    Pr chegar at aqui

    Percorri milhas e milhas

    Antes de dormir . . .

    (Composio: Toni Garrido / Lazo / Da Gama / Bino)

  • Resumo

    Esta dissertao tem a proposta de organizar, discutir e apresentar de maneira

    precisa os conceitos matemticos de variedade diferencivel e de tensores envolvidos

    no estudo da Cosmologia sob o ponto de vista da Teoria da Relatividade Geral para

    o modelo de Friedmann-Lematre-Robertson-Walker. Busca-se assim apresentar um

    texto didtico que possa ser utilizado tanto nos cursos de graduao em Matemtica

    como de Fsica para uma disciplina optativa de Introduo Matemtica Cosmologia.

    Palavras-chave: Geometria Diferencial, Teoria e Histria da Cosmologia, Teoria da

    Relatividade, Mtodos Matemticos.

  • Abstract

    The goal of this dissertation is to organize and discuss in a rigorous way the mathe-

    matical concepts of manifolds and tensors needed to the study of Cosmology and the

    Friedmann-Lematre-Robertson-Walker model under the point of view of the General

    Relativity. In this way, this dissertation was written as textbook that could be used in

    an undergraduate course of Physics and Mathematics.

    Keywords: Dierential Geometry, Theory and History of Cosmology, Relativity The-

    ory, Mathematical Methods.

  • Lista de Figuras

    2.1 Modelo Pirocntrico de Filolau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.2 Sistema Heliocntrico proposto por Coprnico . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.3 Modelos cosmolgicos de Ptolomeu, Coprnico e Tycho Brahe . . . . . 29

    2.4 Nebulosa M51, hoje conhecida como galxia Rodamoinho . . . . . . . . 36

    2.5 Todos os universos de Friedmann comeam com uma exploso. . . . . . 47

    2.6 Dois modos de imaginar o Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.1 Superfcie regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.2 Espao Tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.1 Referenciais Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    4.2 Referenciais R e R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

  • Sumrio

    1 Introduo 15

    2 Histria da Cosmologia 17

    2.1 O que Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2 As Origens Cosmolgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3 Os grandes cosmlogos da Antiguidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.4 A Cosmologia na Renascena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.5 O Mecanicismo de Ren Descartes. A Teoria da Gravitao de Isaac

    Newton e o Determinismo de Pierre Simon Laplace . . . . . . . . . . . 30

    2.6 Conhecendo o Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.7 O surgimento das Teorias de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.8 Modelos Cosmolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.9 Modelos de Friedmann-Lematre-Robertson-Walker para o Universo . . 46

    3 Geometria Riemanniana 53

    3.1 Histria da Geometria Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    3.2 Curvas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.2.2 Vetor tangente e curva regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.2.3 Comprimento de arco de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.2.4 Curvas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    3.2.5 As equaes de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    3.3 Superfcies Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3.3.1 Curvas na Superfcie. Plano Tangente e Vetor Normal. . . . . . 67

    3.4 As Formas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.4.1 A Primeira Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    3.4.2 A Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.5 O Teorema Egregium de Gauss e as Equaes de Compatibilidade. . . . 77

    3.6 Variedade Diferenciveis e Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.6.1 Variedade Diferenciveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.6.2 Espaos Tangente e Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    3.6.3 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

  • 3.6.4 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    3.6.4.1 Propriedades de Tensor de Riemann . . . . . . . . . . 92

    3.6.4.2 Tensor de Ricci e Escalar de Curvatura . . . . . . . . . 92

    3.7 Toro e Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    3.7.1 Contribuies de lie Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    3.7.2 O mtodo do quase-paralelogramo de lie Cartan . . . . . . . . 95

    4 Relatividade 99

    4.1 Origens da Teoria da Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99