Oct 29, 2015
Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho
Instituto de Geocincias e Cincias Exatas
Campus de Rio Claro
Introduo Matemtica aos Modelos
Cosmolgicos
Nilton Flvio Delbem
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-
Graduao Mestrado Prossional em Ma-
temtica Universitria do Departamento de
Matemtica como requisito parcial para a ob-
teno do grau de Mestre
Orientador
Prof. Dr. Wladimir Seixas
2010
516.36
D344i
Delbem, Nilton Flvio
Introduo Matemtica aos Modelos Cosmolgicos/ Nilton Flvio
Delbem- Rio Claro: [s.n.], 2010.
144 f.:il., gs.
Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti-
tuto de Geocincias e Cincias Exatas.
Orientador: Wladimir Seixas
1. Geometria Diferencial. 2. Teoria e Histria da Cosmologia. 3.
Teoria da Relatividade. 4. Mtodos Matemticos. I. Ttulo
Ficha Catalogrca elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP
Campus de Rio Claro/SP
TERMO DE APROVAO
Nilton Flvio Delbem
Introduo Matemtica aos Modelos Cosmolgicos
Dissertao aprovada como requisito parcial para a obteno do grau de
Mestre no Curso de Ps-Graduao Mestrado Prossional em Matemtica
Universitria do Instituto de Geocincias e Cincias Exatas da Universidade
Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, pela seguinte banca examina-
dora:
Prof. Dr. Wladimir Seixas
Orientador
Prof. Dr. Manoel Borges Ferreira Neto
Ibilce - Unesp/So Jos do Rio Preto
Prof. Dr. Henrique Lazari
IGCE - Unesp/Rio Claro
Rio Claro, 15 de Outubro de 2010
Agradecimentos
Sou extremamente grato ao meu pai Altamiro, a minha me Jandira e a minha irm
Flvia, pela ateno, apoio, amor incondicional e por sempre acreditarem em mim mais
do que eu mesmo. Se hoje consigo alcanar mais este objetivo em minha vida, isto se
deve ao fato de sempre t-los ao meu lado, incentivando e dando foras nesta longa
caminhada.
minha av Adelaide em especial, que no pode acompanhar o desfecho deste
trabalho, mas que foi fundamental para o incio de tudo, servindo de fonte de inspirao
para superar os obstculos e os momentos difceis pelos quais passei. V no sei como
agradecer todo o carinho e tudo o que fez por mim, mas posso dizer que esta conquista
nossa.
Ao meu orientador Prof. Dr. Wladimir Seixas pela orientao presente e motiva-
dora, pelos ensinamentos, ateno, pacincia e principalmente pela conana deposi-
tada em meu trabalho e a amizade cultivada durante este perodo.
Ao Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto pela amizade, por seus ensinamentos, por
sua pacincia e generosidade, pelas sugestes, conselhos e dicas informais em momentos
de difceis escolhas. Em especial por acreditar em meu trabalho e por ser um excelente
professor que me forneceu uma base slida para que pudesse seguir adiante em meus
estudos.
A todos os professores que tive durante o mestrado pela boa qualidade dos cursos
que ministraram e pela amizade que cultivei com todos eles durante este perodo.
A todos meus amigos de curso. Obrigado pela amizade, generosidade, ateno,
apoio e a oportunidade de ter cursado meu mestrado com pessoas to fantsticas e
especiais. Saibam que levarei para sempre um pouco de cada um comigo.
Aos meus amigos de repblica Juraclio (Jura), Gustavo, Henrique e Ribamar
(Ribamlios). Realmente no tm como agradec-los o tanto que zeram por mim.
Obrigado.
A todos os amigos que convivi na poca da repblica R.C.R. em So Jos do Rio
Preto, que sempre me deram fora, motivao e apoio nesta caminhada.
Em especial aos amigos Artur, Cassius, Cleiry, Daniel Veronese, Elder, Fabio Ma-
chado (Fabinho), Iger, Jos Maro (Maranho), Juliana Scapim, Leandro Martinelli
(Uru), Luiz Fernando (Fefa), Oreste, Pedro Alexandre (Pedro), Reginaldo Izelli, Ro-
berto Cavali (Bob), Rodrigo (Grutinha), Tatiana Miguel (Tati ), por diversos motivos,
entre eles: o apoio, a troca de conhecimento (matemtico, histrico, a vivncia, etc.),
o calor humano que me passaram, as brincadeiras, os jogos de futebol, os momentos de
conversa e descontrao nos banquinhos da Unesp de Rio Preto, as festas, os churrascos
e tantas outras coisas que me proporcionaram a alegria e o prazer de ter convivido com
todos.
Agradeo a Deus e a Nossa Senhora de Aparecida por iluminar e me proteger por
estes caminhos e por fazer com que eu encontrasse pessoas maravilhosas em minha
vida.
Voc no sabe
O quanto eu caminhei
Pr chegar at aqui
Percorri milhas e milhas
Antes de dormir . . .
(Composio: Toni Garrido / Lazo / Da Gama / Bino)
Resumo
Esta dissertao tem a proposta de organizar, discutir e apresentar de maneira
precisa os conceitos matemticos de variedade diferencivel e de tensores envolvidos
no estudo da Cosmologia sob o ponto de vista da Teoria da Relatividade Geral para
o modelo de Friedmann-Lematre-Robertson-Walker. Busca-se assim apresentar um
texto didtico que possa ser utilizado tanto nos cursos de graduao em Matemtica
como de Fsica para uma disciplina optativa de Introduo Matemtica Cosmologia.
Palavras-chave: Geometria Diferencial, Teoria e Histria da Cosmologia, Teoria da
Relatividade, Mtodos Matemticos.
Abstract
The goal of this dissertation is to organize and discuss in a rigorous way the mathe-
matical concepts of manifolds and tensors needed to the study of Cosmology and the
Friedmann-Lematre-Robertson-Walker model under the point of view of the General
Relativity. In this way, this dissertation was written as textbook that could be used in
an undergraduate course of Physics and Mathematics.
Keywords: Dierential Geometry, Theory and History of Cosmology, Relativity The-
ory, Mathematical Methods.
Lista de Figuras
2.1 Modelo Pirocntrico de Filolau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Sistema Heliocntrico proposto por Coprnico . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Modelos cosmolgicos de Ptolomeu, Coprnico e Tycho Brahe . . . . . 29
2.4 Nebulosa M51, hoje conhecida como galxia Rodamoinho . . . . . . . . 36
2.5 Todos os universos de Friedmann comeam com uma exploso. . . . . . 47
2.6 Dois modos de imaginar o Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1 Superfcie regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Espao Tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Referenciais Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Referenciais R e R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Sumrio
1 Introduo 15
2 Histria da Cosmologia 17
2.1 O que Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 As Origens Cosmolgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Os grandes cosmlogos da Antiguidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 A Cosmologia na Renascena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 O Mecanicismo de Ren Descartes. A Teoria da Gravitao de Isaac
Newton e o Determinismo de Pierre Simon Laplace . . . . . . . . . . . 30
2.6 Conhecendo o Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 O surgimento das Teorias de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Modelos Cosmolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9 Modelos de Friedmann-Lematre-Robertson-Walker para o Universo . . 46
3 Geometria Riemanniana 53
3.1 Histria da Geometria Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Curvas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Vetor tangente e curva regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3 Comprimento de arco de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.4 Curvas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.5 As equaes de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Superfcies Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Curvas na Superfcie. Plano Tangente e Vetor Normal. . . . . . 67
3.4 As Formas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.1 A Primeira Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.2 A Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 O Teorema Egregium de Gauss e as Equaes de Compatibilidade. . . . 77
3.6 Variedade Diferenciveis e Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1 Variedade Diferenciveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.2 Espaos Tangente e Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6.3 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6.4 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6.4.1 Propriedades de Tensor de Riemann . . . . . . . . . . 92
3.6.4.2 Tensor de Ricci e Escalar de Curvatura . . . . . . . . . 92
3.7 Toro e Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7.1 Contribuies de lie Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7.2 O mtodo do quase-paralelogramo de lie Cartan . . . . . . . . 95
4 Relatividade 99
4.1 Origens da Teoria da Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99