Nilton Flávio

Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho

Instituto de Geocincias e Cincias Exatas

Campus de Rio Claro

Introduo Matemtica aos Modelos

Cosmolgicos

Nilton Flvio Delbem

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-

Graduao Mestrado Prossional em Ma-

temtica Universitria do Departamento de

Matemtica como requisito parcial para a ob-

teno do grau de Mestre

Orientador

Prof. Dr. Wladimir Seixas

2010

516.36

D344i

Delbem, Nilton Flvio

Introduo Matemtica aos Modelos Cosmolgicos/ Nilton Flvio

Delbem- Rio Claro: [s.n.], 2010.

144 f.:il., gs.

Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti-

tuto de Geocincias e Cincias Exatas.

Orientador: Wladimir Seixas

1. Geometria Diferencial. 2. Teoria e Histria da Cosmologia. 3.

Teoria da Relatividade. 4. Mtodos Matemticos. I. Ttulo

Ficha Catalogrca elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP

Campus de Rio Claro/SP

TERMO DE APROVAO

Nilton Flvio Delbem

Introduo Matemtica aos Modelos Cosmolgicos

Dissertao aprovada como requisito parcial para a obteno do grau de

Mestre no Curso de Ps-Graduao Mestrado Prossional em Matemtica

Universitria do Instituto de Geocincias e Cincias Exatas da Universidade

Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, pela seguinte banca examina-

dora:

Prof. Dr. Wladimir Seixas

Orientador

Prof. Dr. Manoel Borges Ferreira Neto

Ibilce - Unesp/So Jos do Rio Preto

Prof. Dr. Henrique Lazari

IGCE - Unesp/Rio Claro

Rio Claro, 15 de Outubro de 2010

Agradecimentos

Sou extremamente grato ao meu pai Altamiro, a minha me Jandira e a minha irm

Flvia, pela ateno, apoio, amor incondicional e por sempre acreditarem em mim mais

do que eu mesmo. Se hoje consigo alcanar mais este objetivo em minha vida, isto se

deve ao fato de sempre t-los ao meu lado, incentivando e dando foras nesta longa

caminhada.

minha av Adelaide em especial, que no pode acompanhar o desfecho deste

trabalho, mas que foi fundamental para o incio de tudo, servindo de fonte de inspirao

para superar os obstculos e os momentos difceis pelos quais passei. V no sei como

agradecer todo o carinho e tudo o que fez por mim, mas posso dizer que esta conquista

nossa.

Ao meu orientador Prof. Dr. Wladimir Seixas pela orientao presente e motiva-

dora, pelos ensinamentos, ateno, pacincia e principalmente pela conana deposi-

tada em meu trabalho e a amizade cultivada durante este perodo.

Ao Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto pela amizade, por seus ensinamentos, por

sua pacincia e generosidade, pelas sugestes, conselhos e dicas informais em momentos

de difceis escolhas. Em especial por acreditar em meu trabalho e por ser um excelente

professor que me forneceu uma base slida para que pudesse seguir adiante em meus

estudos.

A todos os professores que tive durante o mestrado pela boa qualidade dos cursos

que ministraram e pela amizade que cultivei com todos eles durante este perodo.

A todos meus amigos de curso. Obrigado pela amizade, generosidade, ateno,

apoio e a oportunidade de ter cursado meu mestrado com pessoas to fantsticas e

especiais. Saibam que levarei para sempre um pouco de cada um comigo.

Aos meus amigos de repblica Juraclio (Jura), Gustavo, Henrique e Ribamar

(Ribamlios). Realmente no tm como agradec-los o tanto que zeram por mim.

Obrigado.

A todos os amigos que convivi na poca da repblica R.C.R. em So Jos do Rio

Preto, que sempre me deram fora, motivao e apoio nesta caminhada.

Em especial aos amigos Artur, Cassius, Cleiry, Daniel Veronese, Elder, Fabio Ma-

chado (Fabinho), Iger, Jos Maro (Maranho), Juliana Scapim, Leandro Martinelli

(Uru), Luiz Fernando (Fefa), Oreste, Pedro Alexandre (Pedro), Reginaldo Izelli, Ro-

berto Cavali (Bob), Rodrigo (Grutinha), Tatiana Miguel (Tati ), por diversos motivos,

entre eles: o apoio, a troca de conhecimento (matemtico, histrico, a vivncia, etc.),

o calor humano que me passaram, as brincadeiras, os jogos de futebol, os momentos de

conversa e descontrao nos banquinhos da Unesp de Rio Preto, as festas, os churrascos

e tantas outras coisas que me proporcionaram a alegria e o prazer de ter convivido com

todos.

Agradeo a Deus e a Nossa Senhora de Aparecida por iluminar e me proteger por

estes caminhos e por fazer com que eu encontrasse pessoas maravilhosas em minha

vida.

Voc no sabe

O quanto eu caminhei

Pr chegar at aqui

Percorri milhas e milhas

Antes de dormir . . .

(Composio: Toni Garrido / Lazo / Da Gama / Bino)

Resumo

Esta dissertao tem a proposta de organizar, discutir e apresentar de maneira

precisa os conceitos matemticos de variedade diferencivel e de tensores envolvidos

no estudo da Cosmologia sob o ponto de vista da Teoria da Relatividade Geral para

o modelo de Friedmann-Lematre-Robertson-Walker. Busca-se assim apresentar um

texto didtico que possa ser utilizado tanto nos cursos de graduao em Matemtica

como de Fsica para uma disciplina optativa de Introduo Matemtica Cosmologia.

Palavras-chave: Geometria Diferencial, Teoria e Histria da Cosmologia, Teoria da

Relatividade, Mtodos Matemticos.

Abstract

The goal of this dissertation is to organize and discuss in a rigorous way the mathe-

matical concepts of manifolds and tensors needed to the study of Cosmology and the

Friedmann-Lematre-Robertson-Walker model under the point of view of the General

Relativity. In this way, this dissertation was written as textbook that could be used in

an undergraduate course of Physics and Mathematics.

Keywords: Dierential Geometry, Theory and History of Cosmology, Relativity The-

ory, Mathematical Methods.

Lista de Figuras

2.1 Modelo Pirocntrico de Filolau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Sistema Heliocntrico proposto por Coprnico . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Modelos cosmolgicos de Ptolomeu, Coprnico e Tycho Brahe . . . . . 29

2.4 Nebulosa M51, hoje conhecida como galxia Rodamoinho . . . . . . . . 36

2.5 Todos os universos de Friedmann comeam com uma exploso. . . . . . 47

2.6 Dois modos de imaginar o Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1 Superfcie regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Espao Tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1 Referenciais Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2 Referenciais R e R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Sumrio

1 Introduo 15

2 Histria da Cosmologia 17

2.1 O que Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 As Origens Cosmolgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Os grandes cosmlogos da Antiguidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 A Cosmologia na Renascena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 O Mecanicismo de Ren Descartes. A Teoria da Gravitao de Isaac

Newton e o Determinismo de Pierre Simon Laplace . . . . . . . . . . . 30

2.6 Conhecendo o Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7 O surgimento das Teorias de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8 Modelos Cosmolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.9 Modelos de Friedmann-Lematre-Robertson-Walker para o Universo . . 46

3 Geometria Riemanniana 53

3.1 Histria da Geometria Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Curvas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.2 Vetor tangente e curva regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.3 Comprimento de arco de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.4 Curvas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.5 As equaes de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Superfcies Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.1 Curvas na Superfcie. Plano Tangente e Vetor Normal. . . . . . 67

3.4 As Formas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4.1 A Primeira Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.2 A Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5 O Teorema Egregium de Gauss e as Equaes de Compatibilidade. . . . 77

3.6 Variedade Diferenciveis e Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6.1 Variedade Diferenciveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6.2 Espaos Tangente e Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.6.3 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6.4 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.6.4.1 Propriedades de Tensor de Riemann . . . . . . . . . . 92

3.6.4.2 Tensor de Ricci e Escalar de Curvatura . . . . . . . . . 92

3.7 Toro e Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.7.1 Contribuies de lie Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.7.2 O mtodo do quase-paralelogramo de lie Cartan . . . . . . . . 95

4 Relatividade 99

4.1 Origens da Teoria da Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99