Nagelneue Algebraische Strukturen - MATHEMATIK 2014 Strukturen.pdf · - YouTube-Video MathHistory23b von N.Wildberger . Die Anwendung der Mehrdimensionalität geschieht z.B. in der

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Strukturmathematik1

Heutzutage treten bei einigen Schülern immer öfter Schwierigkeiten mit

dem Rechnen und insbesondere mit dem Umgang der Zahlen Null und

Eins auf. Typisch ist ein Ausspruch wie:

0x0 = 1 und 1x1 = 2

Und es ist kein Witz, dass manche Schüler bei der Aufgabe eine Zahl

durch 1 zu teilen, sagen

„Moment, ich muss erst den Taschenrechner rausholen!“

Man kennt einfach nicht die herausragende Bedeutung der Nichtigkeit (0)

und der Einheit (1). Und diese grundlegende Einmaligkeit dieser beiden

Zahlen kann nirgends besser verstanden werden als bei der algebraischen

Strukturuntersuchung: Die Zahlen bilden bezüglich des

Zusammenzählens die Struktur einer Gruppe mit dem neutralen

Element >>Null<< und bezüglich des Malnehmens eine Gruppe mit dem

neutralen Element >>EINS<<. Und wer dies begriffen hat, wird keine

derartigen Fehler mehr machen! Beide Gruppen zusammen bilden mit den

Distributivgesetzen eine Körperstruktur.

Auf dieser aufbauend kann man Vektorräume2 bilden wie z.B. der

Vektorraum RxR (sprich R kreuz R)= R² (sprich R-zwei) der Zahlenpaare

einer Ebene und der VR der Zahlentripel RxRxR = R³ des 3D-Raumes.

1 Was heißt SED? Nein, nicht Sozialistische Einheitspartei Deutschlands sondern Struktur-Erkennungs-Dienst 2 Es muss dabei für alle Vektoren x und y der additiven Gruppe von Vektoren und für alle Zahlen a und b eines Körpers (d.h. Zahlen mit additiver und multiplikativer Gruppenstruktur etc.) gelten, dass 1 mal x =x a(bx) = (ab) x mult. Assgesetz a(x+y) = ax +ay die zwei Dristributivgesetze (a+b) x = ax+bx

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Doch leider wird inzwischen in der Schule die Gruppentheorie ebenso

vollständig ignoriert, wie die Behandlung der komplexen Zahlen.

Beides ist aber in der Physik unerlässlich, wie wohl jeder ernst zu

nehmender Physiker zugesteht!

(Man denke nur an die Relativitätstheorie, oder an die irreduziblen

Darstellungen für Elementar-Teilchen).

Wir wollen uns im Folgenden mit den endlichen Gruppen, den nicht-

unendlichen <<Zahlengruppen<<. befassen, aber nur mit den

primitivsten Anfängen, und nur bis zur sechsten Ordnung.

Im Allgemeinen sind die Gruppen kommutativ. So sind alle Gruppen bis

zur sechsten Ordnung3 abelsch, d.h. die Gruppentafel ist also symmetrisch

zur Hauptdiagonalen. Insbesondere sind auch alle endlichen Zahlenkörper

kommutativ oder abelsch, d.h. auch die Faktoren einer Multiplikation sind

immer vertauschbar (was ja bei der Matrizenmultiplikation z.B. nicht gilt).

.

Von besonderem Interesse sind in der mathematischen Forschung die

Strukturen nicht-vertauschbarer Gebilde, wie etwa die

höherdimensionalen Zahlenkörper4 oder die Lie-Gruppen.

3 D.h. aus sechs Elementen bestehend. 4 Sie haben die Dimension 4, 8 oder 16 und sind nicht mehr kommutativ (oder nicht mehr assoziativ).

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Was bringt uns die Gruppentheorie?

Es gibt viele gruppentheoretische Erkenntnisse5, wie beispielsweise, dass

jedes linksinvere Element stets auch zugleich rechtsinvers sein muss,

- es gibt also auch in nicht-kommutativen Gruppen immer nur ein

inverses Element.

In jüngerer Zeit kommt man mit Computerhilfe zeigen, dass es nur

endlich viele sog. sporadische (einfache und nicht kommutative) Gruppen

gibt, und man fand auch die größte, die Monstergruppe:

-� YouTube-Video MathHistory23b von N.Wildberger

.

Die Anwendung der Mehrdimensionalität geschieht z.B. in der

elektrotechnischen Datenübertragung

�. IV.12 Kuss-Zahl und dichteste Kugelpackungen

Wir aber beschränken uns im Folgenden nur auf die primitivsten Anfänge

und beschränken uns auf Gruppen mit höchstens sechs Elementen!

Für Fortgeschrittenere �.IV.13 Geometrie und Gruppentheorie

5 Die Geschichte der Gruppentheorie beginnt mit der Auflösbarkeit von Gleichungen höheren Grades, bei der Permutationsgruppen von entscheidender Bedeutung sind, und zieht sich hin bis zum Monster mit Mondschein, der größten der endlich vielen nichtkommutativen einfachen sog. Sporadischen Gruppen �YouTubeVideo N.Wildberger

MathHistory23 und MathHistory23b.

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Endliche Gruppen

Die denkbar kleinste Gruppe besteht aus zwei Elementen, etwa 0 und I

(bezüglich das Addierens, links)

(oder multiplikativ 1 und -1, rechts).

plus 0 I mal 1 -1

0 0 I 1 1 -1

I I 0 -1 -1 1

0 ist neutral 1 ist neutral

Dabei ist das eine Element immer neutral und das andere ist stets zu sich

selbst invers. Schreiben wir an Stelle von Null = g wie gerade und Eins =

u (ungerade liefert den Rest 1 bei der Teilung durch 2), dann sieht die

Verknüpfungstafel so aus:

+, x g u mal p n

g g u p p n

u u g n n p

g ist neutral p ist neutral

g sei eine gerade Zahl und u eine ungerade Zahl. Die Summe (bzw.

das Produkt) einer geraden Zahl und einer geraden ist wiederum gerade,

während die (bzw. das Produkt) einer geraden Zahl und einer ungeraden

immer ungerade ist, und die Summe (bzw. das Produkt) zweier ungeraden

aber wieder gerade ist, so dass g und u gleich oft vorkommen.

Entsprechend ergibt plus mal plus wieder plus und aber auch eine

negative Zahl mit einer negativen multipliziert wird positiv ( n mal n = p )

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bzw. bei verschiedenen Vorzeichen erhält man n (d.h. ein negatives

Vorzeichen).

Natürlich gibt es noch viele Beispiele für diese minimalste Gruppe, wie

etwa das Ein- oder Aus-Schalten oder etwas das Wenden, oder die

Permutation von zwei Elementen. Nehmen wir als weiteres Beispiel eine

Achsenspiegelung (Klappung) an einer symmetrischen Figur (oder auch

eine Punktspiegelung = Drehung um 180°), oder die Vertauschung von

zwei Elemente {a, b}, dann erhalten wir die gleiche Gruppen-Struktur wie

oben.

tun Nichts tun vertausche

Nichts tun nichts tun vertauschen

vertauschen vertauschen nichts tun

Verwendet man „Blatt wenden“

dann ergibt das zweimalige wenden soviel wie „nichts getan“ Diese Verknüpfung bildet die kleinstmögliche Gruppe.

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Die Dreiergruppe6:

0 ^

⁄ \

Z ← I

Die Drei-Stunden–Uhr

(null-eins-zwei und es geht wieder von vorne los)

0 = Teilbarkeit durch 3 Rest 0 oder Drehung um 0°

I = Teilbarkeit durch 3 Rest 1 Drehung um 120°

Z = Teilbarkeit durch 3 Rest 2 Drehung um 240°

Diese Zahlen kann man sich (nicht auf einer Zahlengeraden sondern) auf

einem Kreis als Kreislauf (Zyklus) vorstellen (� Abbildung der

Dreistundenuhr), oder als die endlosen Drehung um jeweils 120°, die der

Addition mit Eins entspricht, wobei sich nach je drei Drehungen die

Ausgangssituation immer wieder herstellt.

plus 0 I Z

0 0 I Z mal I Z

I I Z 0 I I Z

Z Z 0 I Z Z I

Additionsgruppe mod 3 Multiplikationsgruppe7

Beachte, dass bei der Multiplikation stets das bezüglich der Addition neutrale Element (= das Nullelement)

auszuschließen ist!

6 Gruppe mit drei Elementen oder der Ordnung drei! 7 Allerdings ist I mal I = I modulo 3 (da vier durch drei den Rest 1 hat) und aber auch Z mal Z = I modulo 3, aber I geteilt durch Z = Z modulo 3.

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Die Multiplikative Gruppe ist um das neutrale Element der Addition kleiner,

denn für die Sonderzahl 0 gilt ja

Das Produkt mit Null liefert immer Null 0x1 = 0x2 = 0x3 = …= 0

und nur wenn ein Faktor Null ist, wird das Produkt Null!

Anders bei den Viererrestklassen, wo das Produkt zweier durch zwei teilbare

Zahlen auch durch vier teilbar und somit 2 * 2 = 0 ist.

mal 1 2 3 mal 0 1 2

1 1 2 3 0 0 0 0

2 2 0 2 1 0 1 2

3 3 2 1 2 0 2 1

Modulo 4 Modulo 3

Diese beiden Verknüpfungstafeln zeigen keine Gruppenstruktur

Frage: Warum nicht?

Die Null hat keinen Kehrwert ( = inverses Element)

0 x ? = 1,

also keine Zahl, die sie zur Einheit neutralisiert8

Da somit die Null kein multiplikativ-inverses Element (keinen

Kehrwert = ∞) hat, ist sie auszuschließen!

Die Restklassen 1, 2 und 3 bezüglich der Teilbarkeit durch 4 bilden aber,

was die Multiplikation anbetrifft, keine Gruppe9, da ja das

Abgeschlossenheitsgesetz nicht gilt: 2 mal 2 ist Null (Abbildung links).

8 Wäre 0 x ∞ = 1, dann wäre dies aber auch z.B. 2, denn 2 : ∞ ist ebenfalls 0 ! 9 Bei nicht primen Restklassen modulo n bilden diese (wie immer ohne das neutrale Element der Addition) keine multiplikative Gruppe, denn es fehlen zu den Teilern von n die inversen Elemente: Das Produkt zweiter n ergebenden Teiler ergibt nämlich die Null-Restklasse; man sagt, die Null ist nicht mehr teilerfrei. In sog. Zahlenkörpern ist das Produkt nämlich nur dann Null, wenn (zumindest) ein Faktor Null ist, aber z.B. für die

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Die (vier) Gruppengesetze lauten:

1.) Abgeschlossenheitsgesetz:

Die Operation bringt als Ergebnis stets einen Wert aus der Menge:

2.) Es gilt das Assoziativgesetz

Hier, da es nur auf die u- bzw. g-Anzahl und nicht auf die Reihenfolge der Ausführung ankommt: Nur eine ungerade Anzahl der einen Sorte und eine gerade der anderen Sorte ergeben u, sonst ist der Ergebniswert stets g

3.) Es gibt ein sog. neutrales Element, mit deren Verknüpfung nichts

geschieht, nämlich g hier

(bei der Addition ist es die Null10,

weil a+0 = 0 ist!)

4.) Es existiert zu jedem Element ein Umkehrelement (inverses oder

Gegenelement), das dieses neutralisiert, denn die beiden Elemente sind

zugleich ihr eigenes Gegenpart (sind zu sich selbst invers)

g wegen g+g = g und u wegen u+u = g

(bei der Addition ist es die Gegenzahl, die mit einem Minus gekennzeichnete

entsprechende negative Größe: a+ (-a) = 0 neutral! )

und zudem gilt (für kommutative Gruppen – wenn die Diagonale

Symmetrieachse ist) noch das Vertauschungsgesetz g+u = u+g.

Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch vier ist die Multiplikation auch Null ohne einen Faktor Null

2mod4 mal 2mod4 = 0mod4

Somit wird ein Produkt zumindest für zwei Primzahlen auch Null, obwohl kein Faktor Null ist: p mal q = 0 mod n (nichtprim). Mithin gibt es im Beispiel zur Zwei keinen Kehrwert, das heißt, kein Element existiert das, wenn mit zwei multipliziert das multiplikative neutrale Element 1 ergibt. 10 Ähnlich wie man dachte, die Luft sei nichts, meinte man auch die Null ist NICHTS, wofür man dann auch kein Symbol bräuchte. Daher wurde die für die Stellenwertsysteme so wichtige Ziffer 0 erst spät eingeführt.

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INFO: Wem dies zu schnell ging

wer das erst noch richtig verdauen muss

oder es ausführlicher erklärt bekommen will,

dem empfohlene ich folgende Videos

https://www.youtube.com/watch?v=y6IpzyZS3DA

Einführung in die Grupprnthrorie

Was ist eine Gruppe? - Teil 1/3 (Idee, Nutzen, Beispiel, Definition) Wieso Gruppen die "Atome der Algebra" sind,

das zeige ich euch an einem einfachen Beispiel in diesem 1. Teil

Gruppentheorie 1

https://www.youtube.com/watch?v=JcA19U_Ydtc

oder anspruchsvoller noch von Norman Wildberger

https://www.youtube.com/watch?v=DgSJH-xXDxo

https://www.youtube.com/watch?v=G1rxXcS0mpM

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Die Gruppenstruktur sichert die eindeutige Auflösbarkeit von

Gleichungen.

Wie beim Sudoku kommt in der Gruppen-Verknüpfung jedes Element

genau einmal in jeder Zeile und jeder Spalte vor11.

Denn wäre in einer Zeile ein Element doppelt vorhanden, so wäre das

Ergebnis zweier Verknüpfungen, etwa mit b und mit c, gleich.

Aus

a °°°° b = a °°°° c

folgt aber, wenn man die Gleichung mit dem Inversen a-1 von a

verknüpft, dass

a-1°°°° a °°°° b = a-1

°°°° a °°°° c

also in Wahrheit b = c ist.

Analoges gilt für die Spalten: Wären zwei Spaltenelemente gleich, etwa

a °°°° c = b °°°° c

dann folgt mit a °°°° c °°°° c-1 = b °°°° c °°°° c-1, dass

a = b ist.

11 Beim Sudoku (su ist japanisch und heißt Zahl, doku einzig, einsam) kommt zudem jede Ziffer ≠ 0 des 9x9-Quadrats auch in den neun 3x3-Qudaraten einmalig vor. Mit nur 16 Vorgaben kann man aber das Sudoku nicht eindeutig lösen, wie kürzlich mit Hilfe eines Computers, der fast an Jahr rechnete, bewiesen wurde. � Spektrum der Wissenschaften, April 2010


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Sie können sich unterstützend auch YouTube-Videos ansehen:

Die eindeutige Auflösbarkeit von Gleichungen

https://www.youtube.com/watch?v=y6IpzyZS3DA


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Bei Primzahlenresten bildet nun neben der Addition auch die Multiplikation

(ohne das Nullelement) eine Gruppe und beide zusammen bilden einen

sog. (Struktur-) Körper12. Dazu gilt noch das distributive

Verteilungsgesetz, welches die Addition und Multiplikation vermöge

(a + b) x c = a x c + b x c

verbindet.

Wegen der Vertauschbarkeit der Faktoren gilt nun auch

a x ( b + c ) = a x b + a x c

Bei endlichen Körpern (wie den Primzahlrestklassen) wird die

Kommutativität der Multiplikation aus deren der Addition erzwungen13.

(Ferner soll 1xa = a sein, womit manche Schüler Schwierigkeiten haben!)

12 Mit diesen Körpern kann man dann noch höhere Strukturen wie einen

Boolschen Verband oder den Vektorraum aufbauen.

13 Endliche Schiefkörper sind kommutativ. Kap.5 in Aigner-Zieglers >>Buch der Beweise<<, Springer 2002. Bildet die Multiplikation keine Gruppe, dann spricht man von einem (endlichen) Ring, wie z.B. dem der Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch vier (allgemein durch eine Nicht-Primzahl). Auch die Matrizen bilden einen (unendlichen) Ring, wobei dieser durch die Einschränkung, dass ihre Determinante nicht Null sei, zum Schiefkörper wird.


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Schon ab der Ordnung vier (bei vier Elementen) gibt es nun (zwei)

verschiedene Gruppenstrukturen14: Links (0 und 2 sind selbstinvers bez.

der Addition modulo 4) und mittig (1 und 4 sind selbstinvers bezüglich

dem Produkt modulo 5) haben dieselbe Struktur, nämlich die zyklische.

Rechts ist die Kleinsche mit der Diagonalen-Neutralität, und jedes Element

ist zu sich selbst invers. Beide sind symmetrisch bezüglich der ersten

Diagonalen (also kommutativ oder abelsch).

+ 0 1 2 3 X 1 2 3 4 °°°° n a b p

0 0 1 2 3 1 1 2 3 4 n n a b p

1 1 2 3 0 2 2 4 1 3 a a n p b

2 2 3 0 1 3 3 1 4 2 b b p n a

3 3 0 1 2 4 4 3 2 1 p p b a n

Addition mod 4 isomorph zur Multiplikation mod 5 Kleinsche 4er-Gruppe

Unter der ersten Gruppe können wir uns die Addition auf einer

Vierstundenuhr vorstellen. Die Zahlenrestklassen bezüglich der Teilbarkeit

durch die Vier (oder jeweils Drehungen um 0°, 90°, 180° und 270° ums

Zentrum) sind

n = die Zahl ist durch vier teilbar: Rest 0 a = bei der Teilung durch vier bleibt der Rest 1 b = bei der Teilung durch vier bleibt der Rest 2 c = bei der Teilung durch vier bleibt der Rest 3

Es ist eine zyklische Gruppe (ebenso wie die zweite bezüglich der

Multiplikation modulo 5) , denn man kann die ganze Gruppe aus einem

Element erzeugen, aus dem Einselement (oder hier um 90° drehen)

nämlich

14 Während endliche Körper (die Restklassenkörper Zp mit p Primzahl) immer eindeutig

sind, d. h. wenn sie gleiche Anzahl von Elementen haben sind sie isomorph.


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0+1 = 1 0° + 90° = 90°, 1+1 = 2 90° + 90° = 180°,

2+1 = 3 180° + 90° = 270°, 3+1 = 0 270° + 90° = 360° ≡ 0° (Identität)

Algemeiner ergibt sich eine zyklische Gruppe n-ter Ordnung beim

regelmäßigen n-Eck durch eine Drehung um 360°/n.

Die Zeilen entstehen durch einen Zyklus (Kreislauf):

Aus der ersten 0 1 2 3 wird um eins verschoben die zweite 1 2 3 0 daraus um eins verschoben die dritte 2 3 0 1 und schließlich die vierte 3 0 1 2

INFO:

Youtube-Video über zyklische Gruppen zB.

•

Zyklische Gruppen von Filip Muncan

oder (wenn sie englisch können) geben sie in die Suchmaschine

„Finite cyclic groups“

oder „grouptheory“ etc. ein


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Die zweite Vierergruppen-Struktur, - die sog. Kleinsche-, ist nicht zyklisch,

d.h. sie lässt sich nicht allein aus einem Element erzeugen. Da jedes

Element zu sich selbst invers ist, ist sie auch symmetrisch: Sie enthält das

neutrale Element n in der Diagonalen, bezüglich der sie gespiegelt werden

kann.

n = nichts tun (neutral)

um 0° (bzw. 360°) um den Schnittpunkt S der beiden senkrechten Achsen drehen

a = Spiegelung an der Achse a (Klappung um die Achse a)

A � D und B � C u.u.

b = Spiegelung an der Achse b (Klappung um b)

A � B und D � C u.u.

p = die Ecken über die Diagonalen vertauschen, also Punktspiegelung

A � C und B � D u.u.

(bzw. nacheinander an den beiden senkrechten Achsen a und b spiegeln

= Drehung um Schnittpunkt mit 180°)

Jedes Element der Kleinschen Vierergruppe ist dabei zu sich selbst

invers und enthält die maximale Anzahl an Untergruppen (Untergruppen

sind kleinere Gruppen in der Gruppe; sie müssen immer das neutrale

Element enthalten!), während die zyklische keine hat. Mann kann sie sich

als Symmetriegruppe des Rechtecks vorstellen:


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Zweimal hintereinander punkt-spiegeln ist p • p = Identität,

d. h. zweimal um 180° drehen ist also um 360°°°° drehen, was als Ergebnis

dasselbe ist, wie um 0°°°° drehen oder nichts tun,

also n (neutrales Element oder identische Abbildung).

Beispielsweise ist a • b = p (sprich „a nach b“) die Nacheinader-

Ausführung zweier Klappungen (Achsenspiegelungen) zuerst um a

klappen und danach um b. Das Resultat ist eine Drehung um den

doppelten Schnittwinkel, die Punktspiegelung an S, also p15.

a nach p ergibt b, denn p kann ersetzt werden durch eine Spiegelung an

beliebigen zwei senkrecht aufeinander stehenden Achsen das heißt also

durch a nach b, wobei ja a zu sich selbst invers, also a² = n ist:

a • • • • p = a • a • b = a² • b = b

Das ist übrigens zugleich die Gruppe der folgenden vier 2x2 Matrizen

bezüglich der Matrizen-Multiplikation:

1 0 -1 0 0 1 0 -1

0 1 0 -1 1 0 -1 0

neutral Punktspiegelung die beiden Klappungen

am Ursprung (0, 0) Spiegelung an y=x und y=-x

x´= -x und y´=-y

15 Normalerweise ist es ein Unterschied, ob ich zuerst an der Geraden a und dann an b spiegele, oder ob ich zuerst um b klappe und danach erst um die Achse a: Das Ergebnis ist jeweils eine Drehung um den doppelten Schnittwinkels bezüglich des Achsenschnitts, aber in verschiedener Orientierung, also in verschiedene (positive und negative) Drehrichtungen. Die Drehung im Uhrzeigersinn (negative) um α kann durch eine Drehung mit dem Winkel 360°-α ersetzt werden.


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Zwischenfrage für´s Verständnis:

Ist die folgende Gruppe zyklisch oder eine Kleinsche Vierergruppe?

mal i -1 -i 1

i -1 -1 1 i

-1 -i 1 i -1

-i 1 i -1 -i

1 i -1 -i 1

Hinweis:

i = √-1 ist die imaginäre Einheit,

also ist i² = -1, i³=-i und i4=1

Wer tiefer ins Komplexe einsteigen möchte:

Zeige dass auch k² = -1 ist

Der Zugang zu den Quaternionen geschieht über die Matrizen

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf


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Natürlich ist die additive Gruppe der Teilbarkeitsklassen durch 5

(Restklassen modulo 5 genannt16) eine zyklische Gruppe. Aber auch sie

multiplikative Gruppe mod 5, - die ja nur vier Elemente enthält, da die

Null ausgeschlossen werden muss17-, ist eine „(versteckt)-zyklische“

Vierergruppe. Sie sieht folgendermaßen aus:

mal 1 2 3 4 mal 1 2 4 3

1 1 2 3 4 1 1 2 4 3

2 2 4 1 3 2 2 4 3 1

3 3 1 4 2 4 4 3 1 2

4 4 3 2 1 3 3 1 2 4

Die multiplikative Vierergruppe modulo 5 hat auch eine zyklische Struktur

Die multiplikative Restklassen-Gruppe der Teilbarkeit durch fünf (mod 5) ist somit nichts anderes als die zyklische Vierergruppe der Restklassen-Addition für die

Teilbarkeit durch vier (modulo 4), was man bei Vertauschung von 3 und 4 sieht!

16 Diese zyklischen, kommutativen Restklassen sind die Quotientengruppen (Zn,+) mit

Zn: = Z / {nz | z ist ganze Zahl}

{nz | z ist ganze Zahl} ist eine Untergruppe der Ganzzahlengruppe (Z, +) und somit ein sog. Normalteiler, die - grob gesagt - ein Maß für die Abweichung von der Kommitativität liefern (bei kommutativen oder abelschen Untergruppen sind Linksnebenklassen zugleich Rechtsnebenklassen, sprich solche Normalteiler). Besonders interessant ist die Zerlegbarkeit bzw. Unzerlegbarkeit (Irreduzibilität) von Gruppen, ähnlich wie bei den ganzen Zahlen die teilerfremden Primzahlen hervorstechen, weil jede Zahl eindeutig in Faktorprodukte aus Primzahlen zerlegbar ist. So ist auch jede endliche kommutative Gruppe ein (direktes) Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. 17 Null hat bezüglich dem Malnehmen keinen Kehrwert:

Es gibt keine Gegennull 0-1

mit 0 x 0-1

= 1, so dass deren Produkt mit Null zur Einheit

neutralisiert würde, denn 0-1

müsste Eins geteilt durch Null, also ∞ sein. Aber dies wäre zudem nicht eindeutig, da ja 0 geteilt durch jede andere Zahl ebenfalls unendlich wird!


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Das neutrale Element der Multiplikation ist wegen a mal 1 = a die Einheit

oder das 1-Element (d.h. bei der Teilung einer Zahl bleibt der Rest 1).

Zwei Zahlen mit Rest 1 miteinander multipliziert, ergeben

(5n +1)( 5m +1) = 25nm + 5(n + m) +1

also wieder eine Zahl mit dem Rest 1, wenn man sie durch fünf teilt.

Entsprechend ergeben zwei Rest-Vierer-Zahlen (modulo 5) auch eine Zahl

mit Rest 1 (modulo 5):

4(mod 5) x 4(mod5) → (5n + 4)(5m +4) = 5x5nm + 5x(4n+4m) + 16 → 1(mod 5)

und teilt man diese Zahl durch fünf, geht das bei den ersten beiden

Summanden auf, und man muss nur noch die 16 durch fünf teilen,

was den Rest 1 ergibt.

Die 4 modulo 5 ist also zugleich ihre eigenes multiplikatives Gegenstück

(ihr Kehrwert), denn mit sich selbst multipliziert neutralisiert sich die

(Restklassen-)Vier bezüglich der Teilung durch 5.

16 : 5 = 3 Rest 1 d.h. 16 = 1 mod 5

Man sagt, die Vier ist zu sich selbst invers oder ihr eigenes Inverse.

°°°° 1 2 3 4 1 2 3 4 mal 1 2 3 4

1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4

2 2 1 4 3 2 2 3 4 1 2 2 4 1 3

3 3 4 1 2 3 3 4 1 2 3 3 1 4 2

4 4 3 4 1 4 4 1 2 3 4 4 3 2 1 Kleinsche 4erGruppe zyklische zyklische4erGruppe

Alle 4erGruppen sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen

Bei der Kleinschen Vierergruppe links ist jedes Element zu sich selbst

invers, und {1, 2}, {1, 3} und {1, 4} bilden je eine (zwei-elementige)

Teilgruppe, die für sich genommen eine eigene kleinere Gruppe, eine sog.

Untergruppe bilden. Bei einer Untergruppe muss immer das neutrale

Element dabei sein, und die Gruppenverknüpfung muss „abgeschlossen“

sein, d.h. a °°°° b darf nicht c sein, wenn c nicht in der Untergruppe liegt.


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Währen also die Kleinsche Vierergruppe drei Untergruppen hat, ist bei der

mittigen zyklischen nur {1, 3}, und bei der rechten zyklischen nur {1, 4}

eine Untergruppe. Es gibt nur diese beiden verschiedenen

Vierergruppenstrukturen, die linke kleinsche und die zyklische (mittig und

rechts sind strukturgleich wie z.B. auch die Drehgruppe um eine Punkt mit

den Drehwinkeln 90, 180, 270 und 360 Grad – es gibt immer nur ein

selbstinverses Element außer dem Neutralen). Die zyklische Vierergruppe

ist allerdings zerlegbar als (direktes) Produkt18 zweier Zweiergruppen Z2

{0, 1} x {0, 1 } ={0, 1}²,

was man in der dualen Schreibweise 1 = 01, 2 = 10 und 3 = 11

sehr schön sehen kann:

+ 00 01 10 11

00 00 01 10 11

01 01 10 11 00

10 10 11 00 01

11 11 00 01 10

Definiert man als Gruppen-Verknüpfung statt der Addition der binären

Codes die Stellenweise Addition mod 2, bei der 1+1= 0 ist ohne Übertrag,

dann erhält man die Kleinsche Gruppe, bei der jedes Element zu sich

selbst invers ist.

00 01 10 11

00 00 01 10 11

01 01 00 11 10

10 10 10 00 01

11 11 10 01 00

Die Kleinsche 4erGruppe ist’

die (direkte) Summe zweier zwei-elementiger Gruppen

Z2 x Z2

18 Jede endliche kommutative Gruppe G ist als ein (direktes) Produkt solcher zyklischen

Restklassengruppen anzusehen G = Zn1

+ Zn2 + … + Zni


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Verständnisfrage:

•••• | ∆ □

□ ∆ | ••••

∆ □ •••• |

| •••• □ ∆

Um was für eine 4er-Gruppe handelst es sich? Kleinsch oder zyklisch?

Wie sähe die andere 4er-Gruppe aus?


50 2014

Die Gruppen von Primzahlordnung (die also p Element haben und p ist

prim) haben alle eine eindeutige Struktur. Also gibt es auch nur eine

Gruppenstruktur 5ter Ordnung.

Jetzt wird´s interessant: Die erste nicht-kommutative Gruppe

gibt es bei den Gruppen 6-ter Ordnung

Nehmen wir nun die Gruppe sechster Ordnung in näheren

Augenschein. Es gibt zweii verschiedene Strukturen sechster Ordnung.

1.) Die Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch sechs bilden die

zyklische Gruppe (Drehgruppe des Sechsecks mit Drehungen um je

weitere 60°).

Ebenso bilden die durch die prime Sieben teilbare Zahlenreste eine Gruppe

mit sechs Elementen, da ja die additiv-neutrale Null ausgeschlossen

werden muss. Und beide Gruppen haben dieselbe (zyklische) Struktur,

wie man durch das Vertauschen einiger Elemente sieht

a plus b 0

1

2

3

4

5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

Die zyklische Gruppe Z6der Addition modulo 6

ist isomorph zur direkten Summe einer zweiten mit einer dritten Ordnung


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a mal b 1 2 3 4 5 6 1

3

2

6

4

5

1 1 2 3 4 5 6 1 1 3 2 6 4 5

2 2 4 6 1 3 5 3 3 2 6 4 5 1

3 4 1 5 2 6 3 2 2 6 4 5 1 3

4 3 6 2 5 1 4 6 6 4 5 1 3 2

5 5 3 1 6 4 2 4 4 5 1 3 2 6

6 6 5 4 3 2 1 5 5 1 3 2 6 4

Die multiplikative Gruppe der Restklassen bezüglich der Teilbarkeit durch sieben (links) ist strukturgleich (isomorph) zur zyklischen Gruppe Z6

(rechts; vergleiche mit a+b zuvor: es wurde 2 und 3 vertauscht (4 mit 6 und 6 mit 5)

• AlgTopReview 4: Free abelian groups and non-commutative groups von N. Wildberger

Gruppen sind strukturell gleich, wenn sie operationstreu sind

(d. h. es besteht ein Gruppen-Homorphismus zwischen beiden Gruppen)

Ist diese Abbildung ein-eindeutig (= umkehrbar-eindeutig oder bijektiv),

dann spricht man von einem Isomorphismus (Gleichgestaltigkeit oder -

strukturiertheit)


50 2014

n

a

b

c

d

e

n

n

a

b

c

d

e

a a b n e c d

b b n a d e c

c c e d b a n

d d c e a n b

e e d c n b a

Ist das eine weitere Gruppe 6ter Ordnung? Die Antwort ist nein, wie wir gleich zeigen werden.

Sind G und H zwei endliche zyklische Gruppen, dann bildet man einfach

die geordneten Paare (g, h)

wobei g ein Element der Gruppe G ist und h ein Element der Gruppe H

Diese bilden wieder eine Gruppe mit dem neutralen Element (nG, n

H)

Die Verknüpfung geschieht vermöge

(g1, h

1) (g

2, h

2) = (g

1+ g

2, h

1+ h

2)

zB. (0,1)+ (1,2) = (1,0) da 1+2=0ist

So wie 2 mal 3 gleich 6 ist, kann man eine Gruppe aus Z2 und Z3

konstruieren. 0 1 0 1 2 1 0 „kreuz“ bzw. + 1 2 0 2 0 1

und man spricht von einer (direkten) Summe zweier endlicher Gruppen

In unserem Fall für Z6 ergibt sich daraus wieder eine Zyklische Gruppe

mit dem erzeugenden Element (1,1) ---� nächste Seite


50 2014

n

00 a

01 b

02 c

11 d

10 e

12

n 00 00 01 02 11 10 12

a 01 01 02 00 12 11 10

b 02 02 00 01 10 12 11

c 11 11 12 10 02 01 00

d 10 10 11 12 01 00 02

e 12 12 10 11 00 02 01

Diese Gruppe ist in zwei Gruppen zerlegbar

und ist die direkte Summe der zwei-elementigen mit der drei-elementigen

Z2+Z

3

Dies ist auch eine zyklische Gruppe, denn das erzeugende Element ist 11

00+11= 1x 11

11+11 = 02 = 2 x 11

11 +11+11=10 = 3 x 11

11 +11+11 +11 =01 = 4 x 11

11 +11+11 +11 +11 =12 = 5 x 11

11 +11+11 +11 +11 +11 =00 = 6 x 11

Da es nur eine zyklische Gruppe mit n Elementen gibt, ist diese

Gruppe gleichgestaltig zu den anderen obigen (auch zyklischen) Gruppen


50 2014

2.) Die aus drei Klappungen a, b und c und drei Drehungen um 0° oder

360°, um 120° sowie um 240° bestehende Decksymmetriegruppe des

regelmäßigen Dreiecks! Es ist die erste nicht-kommutative Gruppe!!

Dreiecks-

symmetrien

0◦

120◦

240◦

a

b

c

0◦ 0

◦ 120

◦ 240

◦

a b c

120◦ 120

◦ 240

◦ 0

◦

b c a

240◦ 240

◦ 0

◦ 120

◦

c a b

a a b c 0

◦ 240

◦ 120

◦

b b c a 120

◦ 0

◦ 240

◦

c c a b 240

◦ 120

◦ 0

◦

Die deckungsgleichen Kongruenzabbildungen eines reg. Dreiecks19 bildet die kleinste nicht-kommutative Gruppe

Beachte die Nichtsymmetrie zur Hauptdiagonalen im hinteren unteren Bereich

Dreh-UG

0◦

120◦

240◦

0◦ 0

◦ 120

◦ 240

◦

120◦ 120

◦ 240

◦ 0

◦

240◦ 240

◦ 0

◦ 120

◦

Die Drehungen bilden eine kom. Untergruppe 3. Ordnung20 Die Drehung um 240° ist identisch mit der Drehung um -120°

Vergleiche mit den Drehsymmetriegruppen des regelmäßigen n-Ecks!

19 Dies sind auch alle Abbildungen des Minimalmodells der Euklidischen Geometrie (2 Punkte je Gerade; insgesamt sechs Geraden und vier Punkte, wobei durch jeden Punkt – auch durch den fixen Ursprung - die Geraden gehen), die den Ursprung in sich abbilden. Die Drehungen bilden auch eine 3x3 Untergruppe (strukturelle Gleichheit – drei Selbstinverse neben der Identität) 20 Eine sog. Normale Untergruppe, auch Normalteiler genannt!


50 2014

Die sog-Di-edergruppen Dn sind die Deckabbbildungen des reg. n-Ecks,

(d.h. es ist die Permutationsgruppe der n-Ecks-Ecken)

Sie bestehen aus n Spiegelungen und n Drehungen.

Hier die Gruppe D3 = S3 des regulären Dreiecks und D4 des Quadrats


Die Gruppe der Deckabbildungen regulärer Vielecke sind nie kommutativ,

da das Hintereinanderausführen von Abbildungen

i. a. nicht vertauschbar ist!


50 2014

Diese Dreieckssymmetriegruppe ist gleichwertig (isomorph) zur

Permutationsgruppe aus drei Elementen21, d.h. beide haben die

gleiche-Struktur. Bekanntlich hat eine aus n Elementen bestehende

Menge n! Permutationen (beispielsweise gibt es 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Möglichkeiten die Buchstaben des Worte „mit“ umzustellen22 nämlich für

den ersten Buchstaben drei und für jeden dieser für den zweiten

Buchstaben noch zwei – der dritte ist dann der noch übrig bleibende B

uchstabe)).

Die sechs Permutationen einer drei-elementigen Menge sind

n = (1�1; 2�2; 3�3) identische Abbildung (= neutrales Element)

sowie die drei Transpositionen

(entspricht den Klappungen)

1 = (1��1; 2�3; 3�2) nur 2 und 3 werden vertauscht (selbstinvers)

= (2,3)

2 = (1�3; 2��2; 3�1) nur 1 und 3 werden vertauscht (selbstinvers)

= (1,3)

3 = (1�2; 2�1; 3��3) nur 2 und 1 werden vertauscht (selbstinvers)

= (1,2)

und die zwei Dreierzyklen

(entspricht den Drehungen)

4 = (1�2; 2�3; 3�1) = (2,3,1) = (1,3) (2,3)

5 = (1�3; 2�1; 3�2) = (3,1,2) = (2,3) (1,3)

21 der Gruppe aller Vertauschungen dreier Elemente, 3! = 3x2x2= 6 Möglichkeiten 22 Dreibuchstabige Wörter zu bilden sind dagegen 26

3 Möglichkeiten, wenn das Alphabet

26 Buchstaben hat: Leicht lassen sich viele dreibuchstabige Vornamen oder Tiere finden,

z.B. UHU, Kuh, Reh, Ara, Hai, Wal, Gnu, Emu oder Vornamen mit drei Buchstaben: Eva, Ida, Ina, Kia, Mia, Pia, Ute, Alf, Kai, Kim, Tim, Udo


50 2014

n 1 2 3 4 5

n n 1 2 3 4 5

1 1 n 5 4 3 2

2 2 4 n 5 1 3

3 3 5 4 n 2 1

4 4 2 3 1 5 n

5 5 3 1 2 n 4

Es ist 1 ◌ 2 = 5 („◌“ bedeutet die Nacheinander-Ausführung etwa von Abbildungen, die nicht vertauschbar sein müssen) Also zuerst die Vertauschung der 2 und 3 und danach wird 3 und 1 vertauscht, was also 123->132->312 was die 5. Abbildung ergibt

aber 2 ◌◌◌◌ 1 = 4

2 ◌ 1 bedeutet: 1 nach 3 nach 2, 2 nach 2 nach 3, 3 nach 1 nach 1:

123-� 231 = 4

Es gilt also die Vertauschbarkeit nicht! 1•2 ≠ 2•1

Zwei mal die 4. Abbildung gibt 4 ◌ 4 = 4h = 5

und auch 5 ◌ 5 = 5h = 4

Was ist nun die inverse Abbildung zu 5 = (1�3; 2�1; 3�2)?

Dies ist (1�2; 2�3; 3�1) also 4 ◌ 5 = n = 5 ◌ 4

Somit ist 4 zu 5 invers und ungekehrt 5 zu 4

Die Drehung um 240° ist identisch mit der Inversen von 120°; der Drehung um -120° und zweimal um 240° gedreht ist wie um 120° gedreht


50 2014

INFO für Leute, denen das alles viel zu viel war :

Youtube-Video https://www.youtube.com/watch?v=XTJ9K4bvGgI

Mathematik für Informatik Studenten - Algebraische Grundstrukturen : Permutationen

https://www.youtube.com/watch?v=JcA19U_Ydtc

Jeder Permutation ist ein Produkt von Transpositionen (Vertauschungen)

wie z.B. diese zwei Dreiezyklen (1, 7, 6) und (2, 5, 3)

sind durch diese vier Zweierzyklen

(1 gegen 7) (7 gegen 6) (2 gegen5) (5 gegen 3)

ersetzbar

(die 4 bleibt unverändert)

• AlgTopReview4: Free abelian groups and non-commutative groups von N. Wildberger


50 2014

Da ja jede Algebra durch Matrizen realisierbar ist, wollen wir noch zwei

Matrizengruppen sechster Ordnung erörtern. Zuvor noch etwas über die

Bedeutung der Gruppen für die ( oder genauer gesagt, für eine)

Geometrie. Eine Geometrie besteht nicht nur aus einer Ansammlung

geometrischer Objekte wie Punkte, Strecken, Flächen und Körper, sondern

wird viel eher durch die Bewegungsmöglichkeiten dieser Objekte

bestimmt, d.h. dadurch, welche Abbildungen des Raumes auf sich

existieren, welche Transformationen möglich sind. Welche sog.

Bewegungen, das sind Kongruenzabbildungen wie Verschiebungen,

Drehungen und Spiegelungen sind möglich? Diese

„Bewegungsmöglichkeiten“ sind Abbildungen des geometrischen Raumes

in sich; und sie bilden eine Gruppe!

Beispielsweise ist es charakteristisch für die Nicht-Euklidischen

Geometrien, dass sie keine Ähnlichkeitsabbildungen kennen - weswegen

übrigens der Satz des Pythagoras auch nicht gilt! Alle Dreiecke mit

gleichen Winkeln sind schon deckungsgleich (kongruent), und jedes

Dreieck ist gewissermaßen fast schon ein Individuum, denn es gibt ihm

nichts Ähnelndes, wie z.B. beim Pol-Aquator-Dreieck mit den drei rechten

Winkeln auf der Kugel.

Eine Geometrie entsteht also erst, wenn man neben den geometrischen

Objekten bzw. der Punktmenge noch eine Gruppe von Transformationen

vorgibt, wobei jeder Gruppe eine andere besondere Geometrie entspricht.

Dies zeigte das Studium der Nicht-Euklidischen Geometrien nach dem

1872 veröffentlichten sog. Erlanger Programm von Felix Klein (1849-

1925)

Im Folgenden wollen wir uns einmal das endlicheste Modell der Geometrie

ansehen


50 2014

Stellen Sie sich nun vor, eine Gerade hätte sehr viele, aber eben

nicht unendlich viele Punkte, sagen wir auf jeder lägen „ nur“ 10 hoch

1000 Punkte23. Könnten wir irgend einen, wenn auch noch so kleinen

Unterschied feststellen? Ganz klar, nein! Im krassesten Fall kann man die

Anzahl der Punkte, die auf jeder Gerade liegen, sogar auf zwei reduzieren

und erhält dann das überhaupt kleinstmögliche endliche Modell der

Euklidischen Geometrie. Zur Strukturuntersuchung kann man die kleinste

endliche Gruppe bzw. Zahlenkörper (0, I) verwenden:

Minimalstmodell {0,1}² der euklidischen Ebene24:

Nur zwei Punkte liegen auf jeder Geraden

und drei Geraden gehen durch jeden Punkt

Die insgesamt sechs Geraden sind die schwarzen geraden Verbindungen Der gelbe Kreis ist keine Gerade,

sondern ein Kreis, und eine Spiegelung an ihm ist die Identität.

Will man das Modell mit sechs sich nicht schneidenden Geraden

darstellen, so muss man in den Raum gehen: Die sechs Geraden sind die

sechs Kanten eines Tetraeders, der bekanntlich vier Ecken hat.

23 Eine so riesige Zahl (Gogol), mit der niemand etwas anfangen kann! 24 Wären es Atome, könnte man z.B. an NH3 oder SO3 denken!


50 2014

Durch jeden Punkt gehen immer genau drei Geraden, und je drei Geraden

schneiden sich immer in drei Punkten. Alle Punkte haben denselben

Abstand 1 voneinander (es gibt ja nur den Abstand 0 oder 1), und

daher gibt es genau vier Kreise, die einen der vier Ebenenpunkte als

Zentrum haben und durch die anderen drei verlaufen; der Radius ist r=1

(eine anderen gibt es ja nicht).

Es ist aber kein Minimalstmodell der Projektiven Ebene, das ja das

Parallelenpostulat erfüllt ist. Das minimalste Modell der Projektiven

Geometrie ist ein Dreieck mit seinen drei Punkten und Seiten, wobei

letztere die Geraden repräsentieren.

Es gibt als Ortsvektordifferenzen vier mögliche Richtungen und somit vier

Translationen (mit der Nullvektor-Verschiebung), die eine (Unter-) Gruppe

bilden: Für Translationen ergeben sich die vier möglichen

Verschiebungsvektoren (0, 0) = id, (1, 0), (0, 1) oder (1, 1). Sie bilden

eine kommutative 4er-Gruppe Z2X Z2, wobei jede Translation selbstinvers

ist:

Zwei Klappungen an verschiedenen nichtparallelen Achsen ergeben immer

Drehungen um den doppelten Achsenschnittwinkel. Aber welche Winkel

gibt es überhaupt? Den Vollwinkel in drei Teile zu teilen sollte nicht

möglich sein, könnte man meinen, wenn es nur die Zahlen 0 und 1 gibt!

Es gäbe nur die Winkel 0○ (Drehung um 0○ ist die Identität) und 1○!

Wobei zweimal um den Drehwinkel 1○ zu drehen aber doch nicht 2○

bedeuten könnte, da doch 1+1 = 0 ist, denn die 2 existiert nicht im

Körper:

Alle Deckabbildungen, die den Ursprung fix lassen (die drei Drehungen D0,

D+ und D- um ihn, und die drei Klappungen um eine Ursprungsgerade),

bilden bezüglich der Hintereinanderausführung (Matrizen-Multiplikation:

Zeile mal Spalte) ebenso eine Gruppe sechster Ordnung, die der 2x2


50 2014

Matrizen mit Determinante25 1 (also flächentreue) nämlich; alle anderen

haben verschwindende Determinanten: Es gibt überhaupt keine nicht

flächentreuen Abbildungen (insbesondere gibt es keine echten

Ähnlichkeitsabbildungen), denn die Determinante kann ja nur Null oder

Eins werden!

Die Drehungen sind das Ergebnis einer Komposition zweier

Achsenspiegelungen an sich schneidenden Achsen (Schnittpunkt = fixer

Drehpunkt), denn diese können keine Verschiebungen ergeben, da sie ja

keinen Punkt fest lassen, außer bei der (identischen) Verschiebung um

den Nullvektor (0, 0). Und die hintereinander ausgeführten drehsinn-

vertauschenden Spiegelungen an zwei sich nicht schneidenden Geraden

(Parallelen) ergeben eine drehsinn-erhaltende Translation (Verschiebung).

Allgemein werden alle homogenen26 Abbildungen des Rn auf sich durch

Abbildungsgleichungen dargestellt, die in Matrixform geschrieben werden:

x´ = M x

Sie haben immer mindestens einen Fixpunkt, denn sie bilden den

Ursprung auf sich ab. Sie können aber auch eine Fixpunktgerade haben.

Die allgemeinen linearen (= inhomogenen) Abbildungen x´ = Mx + v

sind solche, die durch eine zusätzliche Translation erhältlich sind, die also

einen zusätzlichen Verschiebungsvektor v haben.

Ist der Betrag der Determinante 1, so handelt es sich immer um eine

Flächen erhaltende Abbildung, wie es die Kongruenzabbildungen sind27:

Negative Determinante -1 liefert Klappungen (der Drehsinn wird dabei

25 Det A = a11 a22 - a12 a2 ist die Subtraktion der Diagonalprodukte

26 „Null auf Null abbilden“ – die den Nullpunkt fix lassen

27 es gibt aber auch inhaltstreue Abbildungen, die nicht längen- und winkeltreu sind

z.B. Scherungen, Eulerabbildungen.


50 2014

umgekehrt28), während +1 die Orientierung erhaltenden (Drehungen um

O) liefert, die für sich alleine schon eine kommutative Gruppe bilden.

Die Matrix 0 1 1 0 beispielsweise bedeutet die Abbildung mit x´= 0*x+1y y´= 1*x+0*y d.h. hier wird das x-Koordinatenbild zu y und umgekehrt ist das y-Bild die

ursprüngliche x-Koordinate; die Abszissen und Ordinaten werden also

vertauscht. Es handelt sich somit um die Spiegelung an der ersten

Winkelhalbierenden y = x (die bei Graphen ihre Umkehrabbildung liefert).

Diese Matrix ist zu sich selbst invers, denn das zweimalige Spiegeln an derselben Geraden liefert ebenso die Identität, wie ihr Matrizenprodukt: (Zeile mal Spalte!) 0 1 0 1 0*0+1*1 0*1+1*0 1 0

mal = = 1 0 1 0 1*0+0*1 1*1+0*0 0 1 Wenn wir zuerst an der Winkelhalbierenden y = x spiegeln und dann an der y-Achse (x=0), die nur die x-Werte negiert, dann erhalten wir eine Drehung um den doppelten Schnittwinkel der beiden Spiegelachsen, also eine Drehung um 90° im mathematisch positiven Sinne, Die Matrix29 -1 0 0 1 0 -1 0 1 mal 1 0 ergibt 1 0 oder a´= 0*a -1*b b´= 1*a+0*b Der senkrechte Vektor zu (a; b) ist (-b; a), ein sog. Normalenvektor.

28 Man denke daran, dass ja auch der linke und rechte Schuh verschiedene Orientierungen haben und durch eine Ebenspiegelung deckungsgleich sind. 29

Die Matrix 0 1 -1 0 0 1

1 0 mal 0 1 ergibt -1 0 eine Drehung um 270° = -90° A• B heißt „ A nach B “ d.h. also die Abbildung B zuerst ausführen und

danach erst die Abbildung A.


50 2014

1 1

1 0

ist eine Drehung, welche den x-Einheitsvektor (1, 0) auf (1, 1) abbildet,

und (1, 1) auf die y-Einheit (0, 1) und diese schließlich auf die x-Einheit

„dreht“. Ich nenne sie D+, da positiv orientiert gedreht wird, wohingegen

D- die Drehung in die andere (negative) Orientierung sei. Führt man D+

zweimal hintereinander aus, dann erhält man

1 1 1 1 0 1 1 1

1 0 mal 1 0 ergibt 1 1 wobei 1 0 hoch drei die

Einheitsmatrix (Diagonale nur Einsen, sonst Nullen) bzw. die Identität D0

(Drehung um Null) ist.

Diese neuerliche Drehung D+² ist nun also D-

0 1

1 1

und macht die y-Einheit zu (1, 1), die x-Einheit zur y-Einheit, und

schließlich (1, 1) zur y-Einheit und somit ist kein Punkt außer (0, 0)

Fixpunkt. Zweimaliges Hintereinanderausführen von D- liefert obige D+

als zu dieser hier inverse Matrix bzw. Umkehrabbildung.

01 01 11 01

11 mal 11 = 10 wobei 11 hoch drei auch die Identität D0 ist.

D+³ = D-³ = D0

D- mal D- liefert also D+.

Und D- mal D+ = D+ mal D- = D0 (linksinvers = rechtsinvers)30.

30 Man muss also dreimal drehen um zur Identität zu gelangen, womit man quasi 1/3 und 2/3 Volldrehungen hat! Erinnert dies nicht sehr an die Elementarteilchenphysik mit ihren Spin-Tripletts oder den Quarks mit den entsprechenden Elementarladungen?


50 2014

Welche Abbildungen (Matrizen) gibt es, die den Ursprung in sich abbilden

und gerdentreu (lineare Abb.) sind.

a ° b 10 01

11 10

01 11

10 11

11 01

01 10

10

01

10

01

11

10

01

11

10

11

11 01

01

10

11

10

11

10

11

10

10

01

01

10

10

11

11

01

01

11

01

11

10

01

11

10

11

01

01

10

10

11

10

11

10

11

11

01

01

10

10

01

11

10

01

11

11 01

11 01

01

10

10

11

01

11

10

01

11

10

01

10

01

10

10

11

11

01

11

10

01

10

10

01

Alle Kongruenzabbildungen, die den Ursprung in sich abbilden,

sind hier die 2x2 Matrizen mit nicht-verschwindender Determinante. Sie bilden bezüglich der Multiplikation eine nicht-kommutative Gruppe,

welche die kommutative Gruppe der Drehungen als 3er-Untergruppe enthält.

Es gibt drei selbst inverse Achsenspiegelungen und drei Drehungen, wobei um 0°

= 360° zu drehen die identische Abbildung ist und als neutrales Element fungiert;

diese drei Drehungen bilden eine sogar kommutative Untergruppe (Normalteiler)

(nicht so die drei Klappungen, da zwei Klappungen immer eine Drehung ergeben)


50 2014

Dreiecks-

symmetrien

0◦

120◦

240◦

a

b

c

0◦

0◦

120◦

240◦ a b c

120◦ 120

◦ 240

◦ 0

◦ b c a

240◦

240◦

0◦

120◦ c a b

a a b c 0

◦ 240

◦ 120

◦

b b c a 120

◦ 0

◦ 240

◦

c c a b 240

◦ 120

◦ 0

◦

Die deckungsgleichen Kongruenzabbildungen eines reg. Dreiecks31

sind die aus drei Klappungen um die drei Symmetrieachsen a, b und c und

die aus den drei Drehungen um 0◦ oder 360

◦, um 120

◦ oder um 240

◦

bestehende Decksymmetriegruppe des regelmäßigen Dreiecks!

Auch hier taucht also diese minimalste nicht-abelsche (=nicht kom.)

Gruppe wieder auf.

Aber auch drei-mal-drei Matrizen mit dieser nicht-kommutativen

Gruppenstruktur finden sich im folgenden Beispiel.

31 Dies sind (wie wir gleich sehen werden) auch alle Abbildungen des Minimalmodells der Euklidischen Geometrie (2 Punkte je Gerade; insgesamt sechs Geraden und vier Punkte, wobei durch jeden Punkt – auch durch den fixen Ursprung - die Geraden gehen), die den Ursprung in sich abbilden. Die Drehungen bilden auch eine 3x3 Untergruppe


50 2014

Die nicht-kommutative Gruppe der Dreieckssymmetrie ist auch

strukturgleich (isomorph) mit den folgenden sechs 3x3 - Matrizen aus

nur Einsen und Nullen, wobei in jeder Zeile und jeder Spalte nur genau

einmal die 1 vorkommen darf, bezüglich dem Matrizenprodukt

(Hintereinander ausführen von Abbildungen). Diese Matrizen mit der

Determinante 1 beschreiben also die Permutationen dreier Elemente:

Die Einheitsmatrix

100 010 001

ist n

das neutrale Element (die identische Abbildung), denn

100 1 1 010 mal 2 = 2 001 3 3

(Zeile mal Spalte ergibt für x 1x1+0x2+0x3 =1 für y 0x1+1x2+0x3 =2

für z 0x1+0x2+1x3 =3)

100 001 010

ist das Element (Achsenspiegelung) 1= (2,3),

denn

100 1 1 001 mal 2 = 3 010 3 2

diese Transposition vertauscht 2 und 3

001 010 100

ist die Achsenspiegelung 3= (1,3)

denn


50 2014

001 1 3 001 mal 2 = 2 100 3 1

diese Transposition vertauscht 1 und 3

100 010 100

Achsenspiegelung 2 = (1,3)

010 001 100

ist die Rotation 4 = (1�2; 2�3; 3�1) = (2,3,1) = (1,3) (2,3)

denn

010 1 2 001 mal 2 = 3 100 3 1

Aber auch die Matizenmultiplikation (1,3) mal (2,3)

001 100 010 mal 001 100 010

ergibt

010 001 100

und schließlich

001 100 010

ist die andere Drehung bzw.

5 = (1�3; 2�1; 3�2) = (3,1,2) = (2,3) (1,3)


50 2014

n 1 2 3 4 5 100 010 001

100 010 100

010 100 001

001 010 100

010 001 100

001 100

010 n n 1 2 3 4 5

100 010 001

100 010 001

100 001 010

010 100 001

001 010 100

010 001 100

001 100 010

1 1 n 5 4 3 2 100 001 010

100 001 010

100 010 001

001 100 010

010 001 100

001 010 100

010 100 001

2 2 4 n 5 1 3 010 100 001

010 100 001

010 001 100

100 010 001

001 100 010

100 001 010

110 010 100

3 3 5 4 n 2 1 001 010 100

001 010 100

001 100 010

010 001 100

100 010 001

010 100 001

100 001 010

4 4 2 3 1 5 n 010 001 100

010 001 100

010 100 001

001 010 100

100 001 010

001 100 010

100 010 001

5 5 3 1 2 n 4 001 100 010

001 100 010

001 010 100

100 001 010

100 010 001

100 010 001

010 001 100

Diese nicht-zyklische Gruppe enthält vier Untergruppen, nämlich drei

zwei-elementige

(n mit den Selbstinversen 1, 2 oder 3) und eine drei-elementige {n, 4, 5}

Die letztere Gruppe der Drehungen ist auch noch eine normale oder

invariante Untergruppe, und wird auch als. Normalteiler32 bezeichnet, da

die Untergruppenordnung ja immer ein Teiler der Gruppenordnung sein

muss (Satz von Lagrange). Als nächstes sind Link- und Rechtnebenklassen

dran, sowie die Frage, wann die Linksnebenklasse immer dasselbe ergibt

wie die Rechtnebenklasse.

32 N = Kern eines Homomorphismus, =Menge der Elemente, die auf das bneutrale Element der Bildgruppe abgebildet werden. Die Linksnebenklassen gN von N stimmen mit den Rechtsnebenklassen Ng überein, für alle Elemente g der Gruppe. Somit ist gNg-1 = N also invariant für alle g aus G. Ex: Bei der General Linear Group GL(n) sprich den n x n Matrizen, deren Determinante ungleich Null (=nicht entartete Abbildung, da Flächenerhaltend) ist, bilden die flächen- und orientierungstreuen Abbildungen (d.h. Determinante =1) den Normalteiler. Bei den Permutationsgruppen Sn sind es die geraden Permutationen An


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Normalteiler = abgeschwächte Kommutativität33

Ein Normalteiler N ist eine invariante Untergruppe: gNg-1=N für alle g aus G

� https://www.youtube.com/watch?list=PL6763F57A61FE6FE8&v=xPeeFp_Hd3A

Die zweielementigen Untergruppen der Achsenspiegelungen sind aber

keine Normalteiler, denn die Linksnebenklassen sind keine

Rechtsnebenklassen.

Da die Dreierzyklen sich durch je zwei Vertauschungen ersetzen lassen, handelt es sich um sog. gerade Abbildungen (bei einer geradzahligen Anzahl Transpositionen - es gibt genau so viel gerade wie ungerade Abbildungen, nämlich ½n!) Man nennt sie auch die alternierende Gruppe A3. Die alternierenden Gruppen An sind der einzige Normalteiler der symmetrischen Gruppe

Sn.(=Permutationsgruppe), zumindest für n>434; dann spricht man auch von der

Einfachheit der An , da sie keinen (echten) Normalteiler haben.

Für n=4 ist übrigens die Kleinsche Vierergruppe der größtmöglicher Normalteiler der A4.

33 Bei kommutativen Gruppen ist jede Untergruppe eine normale (= Normalteiler)! 34

Für die Auflösbarkeit von Gleichungen höheren als vierten Grades ist die Auflösbarkeit der symmetrischen Gruppe Sn.notwendig. Und diese ist nach einem Satz von Abel eben

für n>4 nicht auflösbar!


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Normalteiler N: Für jedes Gruppenelement muss die Linksnebenklasse mit

der Rechsnebenklasse übereinstimmen.

Hier ist bei der Linksnebenklasse von g1 interessanterweise das Bild mit (123)

nicht mit demjenigen des von rechts verknüpften g1 identisch,

die gesamte Menge aber ist schon gleich.

Weitergehende Fragen

Was aber sind Quotientengruppen, auch Faktorgruppen genannt?

(die Gruppe der Nebenklassen einer Untergruppe UG der Gruppe G

auch als G/UG (lies G nach U) bezeichnet!

Hier bei der S3 gibt es keine solchen Faktorgruppen S3/UG


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Die nicht-zyklische 6er-Gruppe kann man wie gesagt auch durch 3 x 3

Matrizen35 erhalten, die nur aus Nullen und Einsen bestehen,

wobei die 1 nur einmal in jeder Zeile und Spalte vorkommt

100 010 001

100 010 100

010 100 001

001 010 100

010 001 100

001 100

010

100 010 001

100 010 001

100 001 010

010 100 001

001 010 100

010 001 100

001 100 010

100 001 010

100 001 010

100 010 001

001 100 010

010 001 100

001 010 100

010 100 001

010 100 001

010 100 001

010 001 100

100 010 001

001 100 010

100 001 010

110 010 100

001 010 100

001 010 100

001 100 010

010 001 100

100 010 001

010 100 001

100 001 010

010 001 100

010 001 100

010 100 001

001 010 100

100 001 010

001 100 010

100 010 001

001 100 010

001 100 010

001 010 100

100 001 010

100 010 001

100 010 001

010 001 100

Dies sind lineare, bijektive

Abbildungen des dualen euklidischen Minimalraums auf sich!

{0.1}³ →→→→ {0.1}³

x →→→→ M x

sind natürlich auch geradentreu bzw. ebenentreu, denn durch je zwei bzw.

drei Punkte geht genau eine Gerade bzw. Ebene. Diese acht Dualpunkte

des binären Minimalst-Raumes bilden je drei Punkte eine Ebene: Eine

acht-elementige Menge hat 8 über 3 = 8x7x6/1x2x3 = 56 Möglichkeiten

für Ebenen, wenn in einer Ebene nur drei Punkte lägen. Ebenen bestehen

35 wie allgemein jede Permutationsgruppe mit n Elementen durch solche binären n mal n Matrizen darstellbar sind (die allgemeine Matrizengruppe, die General Linear Group GL(n) ist also noch viel reichhaltiger als die Permutationsgruppen Sn)


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aber aus deren vier! Es sind also weniger Ebenen. Das ist jetzt aber nicht

die Frage, sondern, was für eine Abbildung ist zB.

001 010 100

x´ = M x

für die acht Raumpunkte

( Einheitswürfel des 3d-Raumes)

001 1 0

010 mal 0 = 0 100 0 1

001 0 0 010 mal 1 = 1

100 0 0 Fixpunkt

001 0 1 010 mal 0 = 0 100 1 0

001 1 0 010 mal 1 = 1 100 0 1

001 1 1 010 mal 0 = 0

100 1 1 Fixpunkt

001 0 1 010 mal 1 = 1 100 1 0

und immer wird 111 auf 111 abgebildet

001 1 1 010 mal 1 = 1 100 1 1


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Also ist die Gerade durch den Ursprung und durch (1,1,1) eine

Fixpunktgeraden bei allen Abbildungen (`= Drehungen um diese Achse

und Klappungen = Ebenenspiegelung) denn auch der Ursprung ist ja

immer ein Fixpunkt

001 0 0 010 mal 0 = 0 100 0 0

Dies ist offensichtlich eine Ebenenspiegelung, bei der 100 und 001

vertauscht werden sowie 110 und 011.

Die drei Transpositionen sind also Spiegelungen (Klappungen) an den drei

„diagonalen“ Ursprungsebenen durch einen der Nachbarpunkte des

Ursprungs (die drei Achsen-Einheiten nämlich), die alle die Gerade

enthalten, welche durch den Ursprung und durch den „Gegenpol“ 111

geht.

Und die beiden Dreierzyklen sind zwei Ebenenspiegelungen, also wohl

zwei Drehungen um die gemeine Ursprungsgerade durch 000 und 111 mit

doppeltem Schnittwinkel als Drehwinkel.


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Da die Umstellungen (Permutationen) überhaupt alle möglichen

Kombinationen erfassen, ist jede endliche Gruppe eine Untergruppe einer

Permutationsgruppe, deren allgemeine Struktur allerdings sehr kompliziert

ist: Jede endliche Gruppe G ist strukturgleich zu einer Untergruppe

der Permutationsgruppe Pn, wobei n nicht größer als die Ordnung von

G ist (Satz von Cayley).


Die Permutationsgruppen nennt man auch die

symmetrischen Gruppen Sn

Die “Gruppen-Theorie“ ist das Studium der Symmetrieen!

Vgl. auch die 7 eindimensionalen Friezegruppen, die 17 zweidimensionalen Symmetriegruppen = Wallpaper- und die 230 dreidimensionalen Kristallgruppen ----� IV.13 Geometrie und Gruppentheorie


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Hier noch eine Übersicht der endlichen Gruppenanzahlen bis zur 25. Ordnung:

AnzahlElemente

Anzahl von Guppen

Kommutativ Nicht

kommutativ

4 2 2 0 5 1 1 0 6 2 1 1 7 1 1 0 8 5 3 2 9 2 2 0

10 2 1 1 11 1 1 0 12 5 2 3 13 1 1 0 14 2 1 1 15 1 1 0 16 14 5 9 17 1 1 0 18 5 2 3 19 1 1 0 20 5 2 3 21 2 1 1 22 2 1 1 23 1 1 0 24 15 3 12 25 2 2 0


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Anhang

zur den unendlichen zyklischen Gruppen der Zahlen,

mit denen wir rechnen


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Nun aber noch kurz etwas zu den eigentlichen Rechenoperationen

der zyklischen unendlichen Gruppen!

Wenn wir die unendliche Produktbildung betreiben

{0, 1} x {0, 1 } x {0, 1 } x {0, 1 } x {0, 1 } … = {0, 1}n,

und n immer größer bis ins Unendliche gehen lassen, dann kommen wir

nicht mehr zur Eins zurück, wie es bei den endlichen Kreisgruppen ja stets

der Fall war. Wir erhalten also kein selbstinverses Element mehr am

Anfang bzw. „in der Mitte“, zwischen positiven und negativen Zahlen,

denn die Mitte von Unendlich ist sozusagen selbst unendlich. Nur die

Erweiterung mit neuen Inversen in Form negativer Zahlen liefert uns die

zyklische Gruppenstruktur, wobei die Neutralen Nullelemente in der

Diagonalenrichtung „durch den Ursprung“ gehen. Norman Wildberge

spricht daher von freien abelschen Gruppen.

0 1 10 11 4 101 110 111 1000 1001 1010 1100

- 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1011

- -1 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1010

-10 -1 0 1 10 11 100 101 110 111 1001

-11 -10 -1 0 1 10 11 100 101 110 1000

-100 -11 -10 -1 0 1 10 11 100 101 111

-1 0 1 10 11 100

-10 -1 0 1 10 11 -11 -10 -1 0 1 10 -100 -11 -10 -1 0 1 -101 - -11 -10 1 0

Die Vielfachen von Z sind nZ , also z.B. 3Z={3, 6, 9, 12, 15 …} Die 3er-Gruppe ist isomorph zu der Gruppe mit den drei Elementen Z + 0 Restklasse 0), 3Z+1 (Restklasse 1) und 3Z+2 (Rest 2). So kommt man zu Z3 Und allgemeiner spricht man von den Quotienten- oder Faktorgruppen Die Quotientengruppen von Z in Zeichen Z/ nZ sind die zyklischen Restklassen- oder Modulogruppen Zn

Nagelneue Algebraische Strukturen - MATHEMATIK 2014 Strukturen.pdf · - YouTube-Video MathHistory23b von N.Wildberger . Die Anwendung der Mehrdimensionalität geschieht z.B. in der

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