Metodo trapezoidal

1. INTRODUCCINComo es conocido, el primer trabajo en el que se habla del mtodode las dos distribuciones Beta y de su aplicacin a la valoracin deTierras es el artculo de Ballestero, E. (1971) . En el mismo, en la p.226, el autor afirma: Es frecuente que las estadsticas de transaccionesindiquen un precio mnimo, un precio mximo y un precio normal (moda dela distribucin de precios) ... Las mismas razones que aconsejan el uso de ladistribucin Beta en el clculo de tiempos medios de las actividades de unPERT, aconsejan tambin el uso de dicha distribucin en el problema que nosocupa, y a continuacin presenta una aplicacin del mtodo a laconcentracin parcelaria. Este primer trabajo es, sin duda, el origende otros posteriores a los que se har referencia ms adelante.El Mtodo de las dos Betas fue formalmente presentado porBallestero, E. (1973) , como mejora del mtodo sinttico que comose sabe est basado simplemente en la proporcionalidad entre el pre-cio de la parcela y el valor de un ndice. Como mejora de este mto-do sinttico en la literatura americana y europea tambin se habausado el anlisis de regresin, relacionando ciertas variables explica-tivas (exgenas) con el precio de mercado (endgena) y estimandouna funcin lineal a partir de los datos empricos disponibles.

57

Estudios Agrosociales y Pesqueros, n . 185, 1999. (pp. 57-80) .

(*) Departamento de Economa Aplicada. Universidad de Almera.(**) Departamento de Direccin y Gestin de Empresas. Universidad de Almera.(***) Departamento de Mtodos Cuantitativos para la Economa.

El mtodo de las dos funcionesde distribucin: la versin

trapezoidalJOS GARCA PREZ (*)

JUAN E. TRINIDAD SEGOVIA (**)JUAN GMEZ GARCA (***)

Ballestero, E. (1973) , dentro de la lnea sinttica describe el mtodo delas dos Betas en la forma siguiente: La variable valor de mercado de unbien obedecer estadsticamente a la funcin de distribucin F. Por su parte,el ndice, parmetro o variable explicativa obedecer estadsticamente a otrafuncin de distribucin G. Suponemos que las funciones F y G tienen formade campana o similar, entonces el mtodo de las dos Betas establece una rela-cin entre ambas variables. Para ello es preciso adoptar la siguiente hiptesis: Si el ndice Li de unactivo Fi es mayor que el Lj de otro activo Fj, el valor de mercado Vi corres-pondiente al primer activo ser tambin mayor que el valor de mercadoVj correspondiente al segundo. A partir de ello, conocida la distribucinF del valor de mercado y la G del ndice, el valor de mercado Vk corres-pondiente a un ndice Lk se establece mediante la transformacin:

[1]

La dificultad del mtodo est en conocer la forma de la funcin .En su trabajo, Ballestero, E. (1973) adverta que para aplicar el mtodode las dos Betas es preciso disponer de unas tablas de la funcin de dis-tribucin de la Beta, y afirmaba literalmente: La aplicacin prctica delmtodo requiere la utilizacin de unas tablas que esperamos preparar en breve.La forma que adopten F y G van a determinar la dificultad que supo-ne encontrar , ya sea mediante tablas (como en el caso de la Beta)o analticamente si suponemos otros casos.Caballer, V. (1975) expone detalladamente un mtodo y realiza unaaplicacin prctica mediante el uso de tablas estadsticas, suponepara el ndice G una Beta de parmetros:

[2]

con moda:[3]

y a partir de a (Valor Pesimista) , b (Valor optimista) y m (Valor msprobable) , determina:

[4]h = 2(b a)2m (a + b)

m = aq + bpp + q

p = h + 2 q = h 2

Vk = (LK ) F( VK ) = G(LK )

58

Jos Garca Prez, Juan E. Trinidad Segovia y Juan Gmez Garca

y de ah calcula p y q; esto le permite ir a las tablas. Basta con repetirla operacin con el valor (F) .El trabajo de Romero, C. (1977) extendiendo el caso de las dos Betas conel uso de otras funciones de distribucin para F y G (Triangular yUniforme), viene a resolver el problema de la utilizacin prctica, de talmodo que el propio autor de la idea original afirma (Ballestero 1991a,p. 337): El mtodo de las dos Betas se llama tambin mtodo de comparacin defunciones de distribucin; y en la misma obra, p. 338, sentencia que entre lasdistribuciones posibles de Fy G las mejores son la Beta y la Triangular.Romero, C. (1977) justifica el uso de la distribucin triangular enlugar de la Beta, basndose en las siguien tes razones:a) Una distribucin triangular est per fectamente determinada

cuando se conoce la moda y los extremos, la Beta no (1) .b) Apoyndose en un trabajo de MacRimmon y Ryavec (1964) ,

puede afirmarse que los errores cometidos al usar la distribucinBeta son aproximadamente de la misma magnitud que los come-tidos al usar la triangular.

c) El uso de la triangular permite obtener unas frmulas que directa-mente nos dan el valor del activo a partir del valor del ndice, si el valordel activo y el del ndice son ambos menores que sus modas.

59

El mtodo de las dos funciones de distribucin: la versin trapezoidal

Figura 1

a V m b a L m b

(1) Evidentemente, el problema de PERT es que para determinar la Beta con los datos a, b, y m es necesario supo-ner que la varianza 1/ 36(b-a)2. Vase Figueras (1964), esta familia de betas, que es la del PERT clsico, no coin-cide necesariamente con la familia determinada por la restriccin impuesta por Caballer, es decir, elegir p = h 2 yq = h + 2.

[5]

y cuando el valor del ndice y del activo estn ambos a la derecha dela moda

[6]

Adems, se estudia el caso en que ambas funciones de distribucinson uniformes, muy til cuando se dispone de pocos datos y no esposible estimar la moda, obtenindose una relacin:

V = b'+ (b L) (b'm')(b'a' )(b m)(b a)

60


V1 = a +(L a) (m'a' )(b'a' )

(m a)(b a)

Figura 2

a Vm b a Vm b

Figura 3

a V b a L b

[7]

y el caso en el que el ndice sigue una distribucin triangular y elValor de Mercado una Uniforme. Para establecer estas frmulas denuevo hay que distinguir si el ndice est a la izquierda o la derechade su moda.Ballestero, E. y Caballer, V. (1982) recogen en su trabajo todo el desa-rrollo mencionado anteriormente, y sobre lo que ellos llaman lavariante del tringulo comentan la ventaja de disponer de una fr-mula. Afirmando, como en el caso de la Beta, que no es necesarioexigir la proporcionalidad del ndice del Mercado y del Valor delActivo. Desde entonces, este mtodo de valoracin sinttica del acti-vo ha aparecido en los libros de texto y en manuales de economa,entre otros el texto de Ballestero, E. (1991a) , el de Caballer (1975) ,el de Caballer, V. (1994) , y el de Ballestero, E. (1991b) .Existen aplicaciones prcticas del mtodo, como la realizada porAlonso, R. y Lozano, J. (1985) utilizando datos de Daz Berengueret al. (1985) , que proporcionan resultados satisfactorios en cuantoa la valoracin de fincas; no obstan te, este mtodo se ha extendidoa otras aplicaciones fuera del campo netamente agrcola. En elcampo de la econom a de la empresa podemos citar el trabajo deRomero, C. (1989) , donde se aplica este mtodo a la Valoracin deAcciones.El contenido del presente trabajo es el siguiente :En el Apartado 2 se realizan una serie de crticas sobre la utilizacinde las distribuciones de probabilidad que habitualmente se hanempleado en el Mtodo de las dos Funciones de Distribucin.En el Apartado 3 se presenta un nuevo modelo probabilstico y secomentan las ventajas que su uso ofrece sobre los modelos anterior-mente empleados.En el Apartado 4 se desarrolla todo el aparato matemtico que per-mite aplicar este nuevo modelo al Mtodo de las dos Funciones deDistribucin , obten indose expresiones fcilmen te ejecutablesmediante el uso de Hojas de Clculo. En el Apartado 5 se aplica el modelo al caso expuesto en Alonso yLozano (1985) , obtenindose resultados satisfactorios. Para concluir, en el Apartado 6 se comentan las conclusiones gene-rales y las posibles lneas de investigacin que se derivan de este tra-bajo.

V = L + (L a)(b'a' )b a

61


2. ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LAS DISTRIBUCIONESEMPLEADAS

Se trata de plantear algunas obser vaciones respecto al uso de las fun-ciones de distribucin elegidas, no al mtodo empleado.En cuanto al uso de las distribuciones Beta, los mismos autores yacitados, Romero, Ballestero y Caballer, reconocen que no es posibledeterminar una sola Beta de entre todas las Betas Unimodales a par-tir de tres datos a, b y m por ser la Beta una distribucin cuatripara-mtrica (2) . Por lo tanto, igual que en el PERT, hay que restringir laeleccin de la Beta a una subfamilia, o intentar obtener ms infor-macin para poder ajustar a cada caso la distribucin Beta corres-pondiente.En cuanto a la distribucin Triangular, se puede decir que las fr-mulas obtenidas por Romero, C. (1977) exigen que tanto el valor delndice como del activo cumplan la hiptesis de partida de estar situa-dos en el mismo segmento de las respectivas modas, es decir, amboshan de estar en (a, m) y (a, m) respectivamente, o (m, b) y (m, b)respectivamente, ya que en el trabajo de Romero, C. (1977) no secontempla otra posibilidad. Sin embargo, como afirma el profesorBallestero (3) (1991) ni el principio ni el razonamiento matemtico obli-gan a que exista una correspondencia entre las modas respecto de las distri-buciones estadsticas, situacin que, como podemos comprobar,podra darse.Si nos fijamos en la siguiente figura:

62


(2) Si todas las razones a favor de usar la Beta en el PERT se aplican a este caso (Ballestero, 1973), tambinpodrn serles hechas todas las crticas que en ese momento recibi este mtodo, crticas que son muy conocidas.

(3) Ballestero (1991).Mtodos Evaluatorios de Auditora. Captulo 9, apartado 5.

Figura 4

A D

C

B A ED B

CF

se puede ver que si el rea del tringulo CDB es mayor que la deCDB existir un tringulo FEB cuya rea es igual a la de CDB, ysiempre que cojamos el valor del ndice en el interior del segmentoDE (a la derecha de m) el correspondiente valor para el activo quecumpla la condicin (1) estar forzosamente en el interior del seg-mento AD (a la izquierda de m) . Para este caso no podremos utili-zar ninguna de las frmulas propuestas por Romero C. (1977), ya quel acepta de entrada que el valor del ndice y el del Activo debenestar situados en el mismo inter valo respecto a la moda. Es intere-sante comprobar que, para que esto se cumpla, es preciso imponerque el rea del tringulo CDB sea igual a la del formado por CDB,lo que implica:

[8]

o lo que es equivalente, el rea del tringulo ACD sea igual a la deltringulo ACD, es decir:

[9]

Si dividimos miembro a miembro (8) y (9) obtenemos que:

[10]

La interpretacin correcta de este resultado es que para explicar lavariante del tringulo, tal y como la expone Romero, C. (1977) , espreciso exigir la proporcionalidad entre los valores optimista, pesi-mista y modal del valor del ndice y del Activo como establece la rela-cin [10] , ya que en otro caso, como se ha puesto de manifiesto, nose podra aplicar la variante del tringulo de forma general. La varian te del tringulo ha sido aplicada sin problemas en dife-ren tes trabajos, en tre otros: Alonso y Lozano (1985) ; Guadalajara,N. (1996) ; Caas, J. A., Domingo, J. y Martnez, J. A. (1994) .Refirindonos al ejemplo que aparece en Alonso y Lozano (1985)(4) , podemos comprobar que en los tringulos cor respondien tesal Valor de Mercado y al ndice no se cumple la igualdad en tre lasreas, es decir:

b am a =

b'm'm'a'

m ab a =

b'm'm'a'

b mb a =

b'm'b'a'

63


(4) Ver Alonso y Lozano (1985).

m

El rea de ACD es igual a 1860 , mientras que la formada por ACD es 2560 .Podemos demostrar que el rea del tringulo AEF, siendo es igual a

la del tringulo formado por ACD, y por lo tanto la frmula (3) deRomero (1977) , no se podr utilizar para valores comprendidosentre 30.606 y 32.500, puesto que de usarla obtendramos:

Los valores aportados por la frmula de Romero no mantienen la igual-dad entre las reas. Los que s la mantienen son los aportados por Alonsoy Lozano, si bien estos ltimos no sealan la frmula que han usado.El problema de la asimetra diferente de la variable valor de merca-do y la variable explicativa se halla resuelto sistemticamente en eltexto de Caballer (1998) , en el que se presentan cuatro frmulas quecontemplan las distintas posibilidades en que se pueden encontrar lavariable explicativa y el valor de mercado respecto de sus modas,admitiendo que estn en posicin similar o distinta respecto de ellas.No obstante, la aplicacin de estas frmulas requiere de antemanoconocer estas posiciones.En este trabajo se presenta un nuevo modelo probabilstico ms fle-xible que el Triangular, para el que no sea necesario el uso de tablas,como en el caso de las Betas, y que de algn modo viene a mejorarlos resultados obtenidos con los mtodos anteriores.

64


Figura 5

A D

C

B A

E

D B

C

F

Valor de mercado ndice

250.000 325.000 500.000 20.000 32.500 50.000

V. Caracterstico Valor de MercadoAlonso y Lozano Frmula de Romero

31.000 327.857 327.87132.000 335.853 334.852

3. MODELO PROBABILSTICO TRAPEZOIDAL.SU DETERMINACIN A PARTIR DE LAS TRESESTIMACIONES CLSICAS : a, b y m

El modelo trapezoidal surge en el mbito de las distribuciones apli-cadas en el PERT: Beta, Triangular y Uniforme (5) , como un h bri-do entre la distribucin Triangular y la Rectangular. En esta distri-bucin se facilita la labor del supuesto experto, ya que puede situarla moda entre un inter valo m1 y m2.Su funcin de densidad corresponde a la expresin:

[11]

de cuya grfica ha tomado el nombre:

f( x) =

0 Si x = a2

b a +m2 m1. x am1 a

Si a x m12

b a +m2 m1 Si m 1 x m2

2b a +m2 m1

. b xb m2 Si m 2 x b

0 Si x b

65


Figura 6

a= pesimista

ba m1 m2

b= optimista

(m1, m2)= intervalo modal

(5) Sobre este tema se pueden consultar los trabajos de Romero, C. (1991), Surez (1990), o Herreras, R.,Miguel, S. (1989).

Las caractersticas estocsticas de la distribucin trapezoidal son (6) :

[12]

Es fcil ver que dicha distribucin coincide con la uniforme si a = m1y b = m2, o con la triangular si m1 = m2 = m.Nos interesa resaltar un resultado que sobre este tipo de distribucio-nes han presentado Callejn, J., Prez Rodrguez E. y Ramos, A.(1996) , donde puede verse la siguiente demostracin:

Teorema: Si , entonces la media de la distribu-cin trapezoidal est en el inter valo (c, m2) o bien en el inter valo(m1, c) , segn sea la distancia entre c y m2 mayor o menor, respecti-vamente, que la distancia entre m1 y c.

Atendiendo a este resultado y recordando que tanto en la distribu-cin Triangular como en la Beta, en los casos de asimetra el valoresperado pertenece al inter valo determinado por el valor modal y el

m1 < c = a + b2

centro, o bien entre el centro y la moda, segn sea sta menor omayor que aqul. Se propone la siguiente regla de actuacin paraobtener un modelo trapezoidal a partir de las tres estimacionesdadas por el experto (para el modelo Beta o Triangular) .Para lo cual se tomar m1 = m y m2 = c en la asimetra derecha:

y m1 =m y m2 = m en la asimetra a la izquierda:

Si se comparan las estimaciones de la media y la varianza obtenidaspor este mtodo, con las obtenidas utilizando los modelos Beta yTriangular a partir de los mismos valores a, b, m, comparacin quepuede realizarse grficamente estandarizando los valores a, b y mpara que a=0, b=1 y que m vare entre ellos, se pueden obtener dosconclusiones de vital importancia para el objetivo de este trabajo.1) La media proporcionada por el modelo trapezoidal CPR (1996)

est ms prxima al centro del inter valo que cualquiera de lasotras dos. Es decir, este modelo proporciona una esperanza mscentrada y es ms moderado en sus estimaciones.

2) La varianza de la distribucin Trapezoidal es muy parecida a ladel modelo Triangular, si bien ligeramente superior cuando est

67


Figura 8

a m c b

Figura 9

a c m b

68


Grfico 1Representacin grfica de las medias

0,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0,4

0,3

0,2

0,1

beta triangular trapezoidal

Grfico 2Representacin grfica de la varianza

0,00

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0,01


prxima a los extremos del in ter valo y siempre mayor a lavarianza de la Beta. Como se sabe (7) , la varianza indica el ries-go de no acertar en la estimacion de la media, en la filosofa delPERT, la varianza expresa la incertidumbre y, por ello, no in te-resa minorarla, pues, si se hace, concluye con resultados finalesms atrevidos.

En definitiva, el modelo trapezoidal CPR (1996) conducir a resul-tados finales ms moderados en media y ms conser vadores envarianza. Por esta razn se ha elegido este modelo probabilsticopara una extensin del mtodo de las dos betas.En adelante, este modelo lo vamos a llamar CPR (96) , que son las ini-ciales de Callejn, Prez y Ramos, en el ao de presentacin del tra-bajo.

4. EL MODELO TRAPEZOIDAL CPR (96) Y EL MTODODE LAS DOS DISTRIBUCIONES

Para obtener el valor del activo x, conociendo tres estimaciones a,by c (menor, mayor y modal) a partir del valor conocido de un ndi-ce x y de tres estimaciones a, b, m del mismo (menor, mayor ymodal) , se elige como modelo probabilstico para ambos v. a.x y x,el modelo trapezoidal CPR (96) . Adems, se impone como condi-cin inicial que en ambos casos el modelo tenga al misma simetra,es decir, ambos sean asimtricos a la derecha, figura 8 o asimtricosa la derecha, figura 9.Esta hiptesis, que no es tan restrictiva como la que se ha visto queera necesaria para el modelo Triangular, encuentra su justificacinen el siguiente razonamiento: si la simetra del modelo Trapezoidal delndice es distinta a la del modelo Trapezoidal del valor del Activo o Valor delMercado, entenderemos que se no es un ndice adecuado para este valor.Como se ve, se trata de un primer test en el que se decide si se acep-ta o no el ndice.Dicho lo anterior, el problema queda planteado en los siguientes tr-minos:

4.1. Asimetra a la izquierdaDadas las dos distribuciones trapezoidales CPR (96) asimtricas a laizquierda.

69


(7) Vase Taha, H. A. (1981) y Herreras, R. (1989).

Se trata de hallar la transformacin x = (x) que mantiene el reabajo la cur va, es decir:

[13]

F1(x) y F2(x) son las funciones de distribucin respectivas:

[14]

[15]

Se puede demostrar que el resultado y la regla de actuacin seran:

F2( x' ) =

4(b'a' )(b'+2m'3a' )( x'a' )

2 Si x' a' , a'+b'2

4x -3a -bb +2m -3a Si x '

a'+b'2 ,m'

1 - 2(b' -x' )2

(b' -m' )(2m' -3a'+b' ) Si x' m',b'[ ]

F1( x) =

4(b a)(b + 2m 3a)( x a)

2 Si x a, a +b2

4x -3a -bb +2m -3a Si x

a +b2 ,m

1 - 2(b - x)2

(b -m)(2m -3a +b) Si x m,b[ ]

x'=( x) F1( x) = F2( x)

70


Figura 9a

a bmxa + b2 a bmxa + b

2

Definicin 1Si llamamos:

y en general S = F1(x) la transformacin de la expresin [13] quese expresar como:

A) Si S1 > S1

[16]

B) Si S1 < S1 S = F1(x)

[17]x'= ( x) =

a'+ K b'a'b a ( x a) 0 S S1

a'+ K(b'a' )( x 3a + b'4 ) 0 S S'13a'+b'

4 +K x 3a + b

4

S'1 S S'2

b' 2K(b'm') b +m2 x

S'2 S S2

b' K b'm'b m (b x) S'2 S 1

x'=( x) =

a'+ K b'a'b a ( x a) 0 S S'13a'+b'

4 +K( x a)2(b a) S'1 S S1

3a'+b4 +K x

3a + b4

S1 S S2

b'+m'2 K

(b x)22(b m) S2 S S'2

b' K b'm'b m (b x) S'2 S 1

S1 = F1 a + b2

=

b ab + 2m 3a ; S'1 = F2

a'+b'2

=

b'a'b'+2m'3a'

y S2 = F1(m) = 4m 3a b2m 3a + b ; S'2 = F2(m') =4m'3a'b2m'3a'+b' '

K = b'+2m'3a'b + 2m 3a

71


C) Si S1 = S1

[18]

4.2. Asimetra a la derechaEn el supuesto de que la moda est a la izquierda de a + b2 , tendre-mos asimetra a la derecha.

Las funciones de distribucin seran:Para el ndice:

[19]F1( x) =

( x a)2m a .

23b 2m a Si x a,m[ ]

2x a m3b + 2m a Si x m,

a +b2

1 4(b x)2

(b a)(3b 2m a) Si x a +b

2 ,b

x'=( x) =

a'+ K b'a'b a ( x a) 0 S S13a'+b

4 +K x 3a + b

4

S1 S S2

b' K b'm'b m (b x) S'2 S 1

72


Figura 10

a bm x a + b2 a bm xa + b

2

Para el valor del activo:

[20]

Dando la siguiente definicin:Definicin 2.

Se puede demostrar que tendramos los siguientes casos para latransformacion que cumple [13] .A) Si S1 > S1

[21]x =( x) =

a + K (m a )(m a) .( x a) 0 S S1

a + b2 +

12

( x a)2m a .K S1 S S1

12 ( a + m ) +(2x a m)K[ ] S1 S S23 b + a

4 K(b x)2(b a) S2 S S2

b K ( b a )(b a) (b x) S2 S 1

S1 = F1(m) =2(m a)

3b 2m a , S2 = F1a + b

2

=

2(b m)3b 2m a ,

S1 = F2 a + b2

=

2( m a )3 b 2 m a K =

3 b 2 m a3b 2m a ,

S2 =2( b a )

3 b 2 m a y S = F1(X)

F2( x ) =

( x a )2m a .

23 b 2 m a Si x a , m[ ]

2 x a m3 b + 2 m a Si x m ,

a + b2

1 4(b x)2

( b a )(3 b 2 m a ) Si x a + b2 , b

73


(x)

B) Si Si S1 > S1 S = F1(x)

[22]

C) Si S1 = S1

[23]x =( x) =

a + K ( m a )(m a) ( x a) 0 S S112 ( a + m ) +(2x a m)K[ ] S1 S S2

b x b mb m (b x) S2 S 1

x =( x) =

a +( x a) K (m' a )(m a) 0 S S1

a'+ (2x a m)(m'a)K S1 S S112 ( a + m ) +(2x a m)K[ ] S1 S S'2

b' 12 (3b + a 4x)(b'a' )K S'2 S S2

b (b x) K ( b a )(b a) S2 S 1

74


K

75


En d

efini

tiva,

la re

gla qu

e deb

emos

segu

ir, en

gene

ral, p

ara o

bten

er el

valor

del

Activ

o o d

el M

erca

do x

cuan

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ce el

valor

del

ndi

ce x,

y sie

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, b, m

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b, m

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asig

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a+

b 2

my

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a+

b 2

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(Defi

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Asim

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a la d

erec

ha

1)Ca

lculam

os S 1

, S 1,

S 2, S

2, K

y S

S 1> S

1ut

ilizo (

1.16)

2)S 1

< S 1

utiliz

o (1.1

7) p

ara c

alcul

arx

a par

tir d

e xS 1

= S 1

utiliz

o (1.1

8)

1)Ca

lculam

os S 1

, S 1,

S 2, S

2, K

y S

S 1> S

1ut

ilizo (

1.21)

2)S 1

< S 1

utiliz

o (1.2

2) p

ara c

alcul

arx

a par

tir d

e xS 1

= S 1

utiliz

o (1.2

3)

5. CASO PRCTICOEn relacin al ejemplo ya sealado de Alonso y Lozano (1985) , tene-mos:

Para el ndice Para el Activob: 50.000 b: 500.000a: 20.000 a: 250.000m: 32.500 m: 325.000

: 375.000

Si utilizamos el Modelo Trapezoidal:

Realizada la regresin obtenemos:Y1 = 76549,556531080 + 8,432310829 X1 R2 = 0,992donde Y1 es el Valor del Activo o de Mercado y X1 el Valor del ndice.6. CONCLUSIONESLo que en principio fue una mejora del mtodo sinttico en el mbi-to de la valoracin agraria, ha terminado por tomar cuerpo como un

76


a + b2

a + b2

: 35.000

Indice Valor de Mercado Indice Valor de Mercado

20.000 250.000 35.000 368.269,2321.000 257.442 36.000 377.211,8722.000 264.884,1 37.000 385.982,4523.000 272.326,2 38.000 394.753,0324.000 279.768,33 39.000 403.523,6125.000 287.210,4 40.000 412.294,1926.000 294.652,50 41.000 421.064,7727.000 302.094,08 42.000 429.835,3528.000 309.535,67 43.000 438.605,9329.000 316.978,75 44.000 447.376,5130.000 324.420,84 45.000 456.147,0931.000 332.176,92 46.000 464.917,6732.000 340.669,2 47.000 473.688,2533.000 349.807,69 48.000 482.458,8334.000 359.038,46 49.000 491.229,41

50.000 500.000

mtodo que en principio puede utilizarse siempre que se dispongade un Indice que pueda particularizarse para un Activo determina-do. Este mtodo ser til siempre que no se disponga de muchainformacin (8) , e incluso podra utilizarse para realizar prediccio-nes sobre la valoracin de un Activo si se dispone de predicciones delndice.En este trabajo se ha puesto de manifiesto que el modelo CPR (96) ,ms moderado en media y ms conser vador en varianza, es muyapropiado para el mtodo de las dos funciones de distribucin, yaque presenta las siguientes ventajas:a) La nica hiptesis inicial, es decir, que la asimetra del Indice y del

valor del activo sean del mismo gnero, se puede considerar comoun test previo respecto de la bondad del Indice, de modo que sino se da esta hiptesis desechamos la utilizacin del mtodo, yaque el comportamiento estocstico del Indice y del valor delActivo no son similares.

b) No necesitamos tablas.

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Grfico 3FALTA TITULO PARA EL GRAFICO!!!###!!!!!#######$##


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(8) Ya que si se dispusiera de suficiente informacin se podran usar otros mtodos ms precisos.

c) La aplicacin de las frmulas desarrolladas en este trabajo es fcil-mente incorporable a una hoja de clculo, basta con introducir a,b, m, x, as como a, b, y m, para obtener rpidamente (9) x.

Una posible lnea alternativa a la expuesta en este trabajo podraconsistir en tratar de ajustar una funcin de distribucin ms gene-ral recur riendo a Funciones Generadoras de Disfribucin deProbabilidad y al uso de mayor informacin sobre el ndice y elActivo.

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(9) En un reciente proyecto de investigacin sobre valoracin de empresas que se ha llevado a cabo en laUniversidad de Almera con la colaboracin con la empresa Microdata Softaware S.L. se est desarrollando unaaplicacin informtica de la variante del trapecio.

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RESUMENEl mtodo de dos funciones de distribucin: la versin trapezoidal

Este artculo est centrado en la teora general de valoracin y, concretamente, en el mto-do de las dos funciones de distribucin, idea original de Ballestero (1971) . En este trabajo,se hace un anlisis de sus fundamentos y de las distintas distribuciones utilizadas en los dife-rentes trabajos publicados en estos ltimos aos. Adems, se presenta una nueva funcin dedistribucin: la trapezoidal (CPR, 1996) , y se justifican las ventajas de utilizar esta distribu-cin, al tratarse de una funcin ms moderada en media y ms conser vadora en varianza,por lo que sus resultados, como se pone de manifiesto en el caso prctico que se presenta,son ms moderados que los obtenidos con las dems distribuciones, teniendo un mejorcomportamiento para valores extremos, por lo que resulta la ms adecuada para trabajar enambientes de incertidumbre.

PALABRAS CLAVE: Valoracin, mtodo de las dos betas, distribucin trapezoidal.

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SUMMARYThe two-distribution-functions method: the trapezoidal version

This paper is focused on the general theor y of valuation and, namely, on the two distribu-tion functions method, that was an original idea of Ballestero (1971) . In this work, he analy-zes the foundations of this method and the different distributions used in several paperspublished in last years. Moreover, a new distribution function is presented: the trapezoidalone (CPR, 1996) and the advantages to use it, because this function is more moderate inmean and more conser vative in variance, so, its results, as it can be seen in the practical casepresented here, are more moderate than the obtained ones with the remaining distribu-tions. Finally, they have a better behaviour for the extreme values and thus they turn out tobe the most adequate to work in an uncertainty situation.

KEYWORDS: Valuation, two betas methods, trapezoidal distribution.

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Metodo trapezoidal

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