Top Banner
caderno do volume 3 – 2009 PROFESSOR MATEMÁTICA ensino fundamental - SÉRIE
56

MATEMATICA_CP_6s_Vol3 - Completo [Unlocked by Www.freemypdf.com] (1)

Dec 18, 2014

Download

Documents

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript

caderno doPROFESSOR

ensino fundamental

- SRIE 6volume 3 2009

MATEMTICA

Coordenao do Desenvolvimento dos Contedos Programticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Cincias Humanas e suas Tecnologias Filosoa: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Lus Martins e Ren Jos Trentin Silveira Geograa: Angela Corra da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimares, Regina Araujo, Regina Clia Bega dos Santos e Srgio Adas

Linguagens, Cdigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educao Fsica: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Srgio Roberto Silveira LEM Ingls: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lvia de Arajo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Lngua Portuguesa: Alice Vieira, Dbora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, Jos Lus Marques Lpez Landeira e Joo Henrique Nogueira Mateos Matemtica Matemtica: Nlson Jos Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, Jos Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moiss, Rogrio Ferreira da Fonseca, Ruy Csar Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produo Coordenao Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, Jos Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy Csar Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenao Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Mrcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edio e Produo Editorial: Conexo Editorial, Edies Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto grco) APOIO FDE Fundao para o Desenvolvimento da Educao CTP, Impresso e Acabamento Esdeva Indstria Grca

Governador Jos Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretrio da Educao Paulo Renato Souza Secretrio-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedaggicas Valria de Souza Coordenador de Ensino da Regio Metropolitana da Grande So Paulo Jos Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundao para o Desenvolvimento da Educao FDE Fbio Bonini Simes de Lima

Histria: Paulo Miceli, Diego Lpez Silva, Glaydson Jos da Silva, Mnica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Cincias da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabola Bovo Mendona, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Cincias: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, Joo Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Czar Foschini Lisba, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Mara Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogrio Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordo, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Fsica: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Iv Gurgel, Lus Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurcio Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puricao Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Qumica: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valena de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidio

EXECUO Coordenao Geral Maria Ins Fini Concepo Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Ins Fini Ruy Berger GESTO Fundao Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gesto de Tecnologias aplicadas Educao: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAO TCNICA CENP Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas

A Secretaria da Educao do Estado de So Paulo autoriza a reproduo do contedo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educao do pas, desde que mantida a integridade da obra e dos crditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* devero ser diretamente negociados com seus prprios titulares, sob pena de infrao aos artigos da Lei n 9.610/98. * Constituem direitos autorais protegidos todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que no estejam em domnio pblico nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogao na Fonte: Centro de Referncia em Educao Mario Covas

So Paulo (Estado) Secretaria da Educao. S239c Caderno do professor: matemtica, ensino fundamental - 6 - srie, volume 3 / Secretaria da Educao; coordenao geral, Maria Ins Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, Jos Luiz Pastore Mello, Nlson Jos Machado, Roberto Perides Moiss, Walter Spinelli. So Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-364-6 1. Matemtica 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Ins. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, Jos Luiz Pastore. IV. Machado, Nlson Jos. V. Moiss, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Ttulo. CDU: 373.3:51

Caras professoras e caros professores,

Tenho a grata satisfao de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor. Vocs constataro que as excelentes crticas e sugestes recebidas dos proissionais da rede esto incorporadas ao novo texto do currculo. A partir dessas mesmas sugestes, tambm organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno. Recebemos informaes constantes acerca do grande esforo que tem caracterizado as aes de professoras, professores e especialistas de nossa rede para promover mais aprendizagem aos alunos. A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoi-los, mobilizando todos os recursos possveis para garantir-lhes melhores condies de trabalho. Contamos mais uma vez com a colaborao de vocs.

Paulo Renato SouzaSecretrio da Educao do Estado de So Paulo

SumRioSo Paulo faz escola uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno 7 8 5

orientao geral sobre os Cadernos Situaes de Aprendizagem 12

Situao de Aprendizagem 1 A noo de proporcionalidade Situao de Aprendizagem 2 Razo e proporo Situao de Aprendizagem 3 Razes na Geometria 22 35

12

Situao de Aprendizagem 4 Grico de setores e proporcionalidade Orientaes para Recuperao 52

45

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreenso do tema 53 Contedos de matemtica por srie / bimestre do Ensino Fundamental 54

CuRRiCulAR PARA o EStAdo

So PAulo FAz ESColA umA PRoPoStA

Prezado(a) professor(a), com muita satisfao que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5 - a 8 - sries do Ensino Fundamental Ciclo II e do Ensino Mdio do Estado de So Paulo. sempre oportuno relembrar que esta a nova verso, que traz tambm a sua autoria, uma vez que inclui as sugestes e crticas recebidas aps a implantao da Proposta. tambm necessrio relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma objetiva, na Base Curricular, referncia comum a todas as escolas da rede estadual, e deram origem produo dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicao de professores, pais e famlias para que nossas crianas e jovens possussem registros acadmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado. J temos as primeiras notcias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de aula. Este mrito , sem dvida, de todos os proissionais da nossa rede, especialmente seu, professor! O objetivo dos Cadernos sempre ser o de apoiar os professores em suas prticas de sala de aula. Podemos dizer que este objetivo est sendo alcanado, porque os professores da rede pblica do Estado de So Paulo izeram dos Cadernos um instrumento pedaggico com bons resultados. Ao entregar a voc estes novos volumes, reiteramos nossa coniana no seu trabalho e contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicao para que todas as crianas e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educao bsica de qualidade cada vez maior.

Maria Ins FiniCoordenadora Geral Projeto So Paulo Faz Escola

5

6

FiChA do CAdERnoProporo na medida certanome da disciplina: rea: Etapa da educao bsica: Srie: Volume: temas e contedos: Matemtica Matemtica Ensino Fundamental 6a 3 Proporcionalidade: variaes diretamente e inversamente proporcionais Razo e porcentagem Razes na geometria Gricos de setores

7

oRiEntAo gERAl SobRE oS CAdERnoSOs temas escolhidos para compor o contedo disciplinar de cada bimestre no se afastam, de maneira geral, do que usualmente ensinado nas escolas, ou do que apresentado nos livros didticos. As inovaes pretendidas referem-se forma de abordagem, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princpios norteadores do presente currculo, destacando-se a contextualizao dos contedos, as competncias pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemtica, bem como os elementos culturais internos e externos Matemtica. Em todos os Cadernos, os contedos esto organizados em oito unidades de extenso aproximadamente igual, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o nmero de aulas disponveis por semana, o professor explorar cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolher uma escala adequada para sua abordagem. A critrio do professor, em cada situao especica, o tema correspondente a uma unidade pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simpliicado. desejvel que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, elas compem um panorama do contedo do bimestre, e, muitas vezes, uma unidade contribui para a compreenso das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstncia particular, e levando em considerao seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos so apresentadas, alm de uma viso panormica do contedo do bimestre, quatro Situaes de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ao em sala de aula. As situaes so independentes e podem ser exploradas pelo professor com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razo das limitaes no espao dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situaes de Aprendizagem, mas a expectativa de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. So apresentados tambm, em cada Caderno, sempre que possvel, materiais disponveis (textos, softwares, sites, vdeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compem o Caderno ainda algumas consideraes sobre a avaliao a ser realizada, bem como o contedo considerado indispensvel ao desenvolvimento das competncias esperadas no bimestre, em cada Situao de Aprendizagem apresentada.

8

Matemtica 6 - srie Volume 3

Contedos bsicos do bimestreO tema principal deste Caderno, a proporcionalidade, um dos conceitos matemticos mais importantes do ensino bsico. Ele est presente em muitos dos contedos estudados ao longo das sries, tanto no Ensino Fundamental como no Mdio. A ideia de proporcionalidade permeia direta ou indiretamente o estudo dos mltiplos e das fraes, da semelhana em iguras geomtricas, da anlise da variao de grandezas, das sequncias e progresses numricas, das funes, da trigonometria, entre outros assuntos. A variao das grandezas do mundo fsico geralmente envolve algum tipo de proporcionalidade. Dessa forma, a noo de proporcionalidade de extrema importncia para fundamentar o estudo de outras disciplinas, como a Geograia, a Fsica, a Biologia, entre outras. Muitas situaes cotidianas requerem a capacidade de resolver e identiicar problemas de proporcionalidade. A interpretao da escala de um mapa ou da planta de uma casa, a adaptao de uma receita culinria para mais pessoas ou a comparao de preos de produto em quantidades diferentes so alguns exemplos que ilustram o uso da noo de proporcionalidade no dia a dia. A proporcionalidade constitui um dos temas centrais estudados na 6a srie. No se trata de um assunto novo para o aluno, pois essa noo j vem sendo construda desde as sries iniciais.

Nesta etapa da escolaridade, o aluno j possui os conhecimentos bsicos que permitem a ele resolver muitos problemas de proporcionalidade. Ele certamente j lidou com proporcionalidade de maneira informal, em problemas de ampliao e reduo de iguras, em problemas de escalas de mapas ou no estudo de fraes equivalentes. No entanto, este o momento em que a noo de variao diretamente proporcional ou inversamente proporcional apresentada e aprofundada, permitindo que o aluno identiique e diferencie as situaes em que a proporcionalidade aparece. Tradicionalmente, o ensino da proporcionalidade era feito de forma pragmtica e descontextualizada, privilegiando o uso da regra de trs e a formalizao algbrica das relaes de proporcionalidade. Partia-se da deinio de razo e chegava-se ao conceito de proporo como uma igualdade entre duas razes. O carter algbrico e formalista desse tipo de abordagem acabava por afastar o aluno do real entendimento da ideia de proporcionalidade e cristalizava o uso indiscriminado da regra de trs na resoluo de qualquer problema. Esse fato comumente apontado pelos professores do Ensino Mdio ao proporem problemas envolvendo variaes exponenciais ou quadrticas, nos quais no possvel usar a regra de trs. No presente Caderno, propomos uma abordagem que prioriza a construo da noo de proporcionalidade pelo aluno, incentivando sua capacidade de interpretar problemas e de identiicar o tipo de proporcionalidade envolvida. No caso da 6a srie, esse tema pode

9

aparecer sem uma preocupao formal com o uso da representao simblica ou da regra de trs. Esses procedimentos podem ser introduzidos mais adiante, no contexto das fraes algbricas e da resoluo de equaes. Os principais contedos abordados neste Caderno so, alm da proporcionalidade, o conceito de razo, a porcentagem como razo, a probabilidade como razo, as razes constantes na Geometria, a representao de porcentagens em gricos de setores, entre outros. A im de organizar melhor o trabalho no bimestre, dividimos esses contedos em oito unidades principais. importante ressaltar, contudo, que o professor deve ter autonomia para escolher a escala adequada para tratar cada tema, podendo dedicar mais tempo em um tema e menos em outro, dependendo das caractersticas de cada turma. As quatro Situaes de Aprendizagem desenvolvidas neste Caderno percorrem as oito unidades apresentadas de uma forma direta ou indireta. Na Situao de Aprendizagem 1 A noo de proporcionalidade, propomos uma sequncia de situaes-problema envolvendo o reconhecimento da existncia de proporcionalidade. A construo da noo de proporcionalidade envolve tambm a capacidade de identiicar situaes em que ela no est presente. Propomos uma metodologia alternativa para a resoluo dos clssicos problemas envolvendo a variao diretamente ou inversamente proporcional entre duas ou mais grandezas. Em vez de usar a frmula da regra de trs composta, o aluno convidado a desenvolver

uma sequncia de transformaes proporcionais inspirado por um jogo de palavras chamado duplex, criado por Lewis Carroll, autor de Alice no pas das maravilhas. Na Situao de Aprendizagem 2 Razo e proporo, passamos a tratar diretamente do conceito de razo, construdo a partir das situaes-problema envolvendo proporcionalidade direta. Apresentamos tambm situaes-problema envolvendo diferentes tipos de razo, como a porcentagem, a escala em mapas e desenhos, a velocidade ou rapidez, a densidade, etc. Inclumos tambm a probabilidade como uma razo que expressa a chance de ocorrncia de um evento em um determinado espao amostral, como no lanamento de moedas, dados, etc. Para inalizar a sequncia, propomos uma atividade prtica envolvendo as razes presentes no corpo humano, a partir do desenho de Leonardo Da Vinci chamado Homem vitruviano. Com base nesse desenho, os alunos podero observar e explorar o conceito de razo por meio de medidas e comparaes. Na Situao de Aprendizagem 3 Razes na geometria, procuramos explorar a ideia de proporcionalidade nas formas planas geomtricas. Inicialmente, apresentamos uma situao envolvendo a ampliao de uma igura, com o objetivo de construir a noo de proporcionalidade geomtrica. Em seguida, analisamos os principais casos envolvendo a determinao da razo de proporcionalidade entre as partes de uma igura geomtrica, tais como a razo entre a diagonal e o lado do quadrado ( 2 ) ou a razo entre o comprimento

10

Matemtica 6 - srie Volume 3

da circunferncia e seu dimetro, chamada de pi (). A opo por incluir essas duas razes, que usualmente aparecem somente na 8a srie ou no Ensino Mdio, deve-se ao fato de que ambas constituem um exemplo bastante ilustrativo da existncia de proporcionalidade em iguras geomtricas simples. Apresent-las agora aos alunos, sem a preocupao de formalizar o conjunto dos nmeros irracionais, contribui em muito para a compreenso da proporcionalidade na Geometria. Por fim, a Situao de Aprendizagem 4 grficos de setores e proporcionalidade articula, de maneira bastante pertinente, dois blocos temticos do currculo de Matemtica: o eixo denominado grandezas e medidas e o eixo tratamento da informao. A elaborao e a interpretao de gricos de setores envolvem tanto a noo de proporcionalidade e a compreenso da razo parte/todo como a capacidade de representar informaes por meio de tabelas e gricos. Propomos, inicialmente, algumas atividades que exploram a proporcionalidade na circunferncia (entre ngulos e arcos). Em seguida, passamos s situaes-problema envolvendo desde a interpretao e a leitura de gricos de setores at a construo desses gricos a partir de tabelas com dados estatsticos. Gostaramos de ressaltar, por im, que as atividades propostas a seguir constituem um referencial para que o professor possa direcionar as atividades em sala de aula. Nesse

sentido, elas so atividades exemplares que tratam de alguma dimenso importante do tema estudado. Com base em cada uma delas, o professor poder criar atividades similares para os alunos, de acordo com as caractersticas de cada grupo/classe. As oito unidades temticas que compem este Caderno esto relacionadas a seguir.

Quadro geral de contedos do 3o bimestre da 6a srie do Ensino Fundamental SITuAO DEunidade 1 Explorando a noo de proporcionalidade. unidade 2 Proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa. unidade 3 Problemas envolvendo variao diretamente ou inversamente proporcional. unidade 4 A razo de proporcionalidade. unidade 5 Principais tipos de razo. unidade 6 A porcentagem como razo. unidade 7 Razes na geometria. unidade 8 Grico de setores e porcentagem.

11

SituAES dE APREndizAgEmAPRENDIzAGEM 1 A NOO DE PROPORCIONALIDADEO objetivo principal desta Situao de Aprendizagem ampliar as noes de variao diretamente e inversamente proporcionais de uma grandeza, aprimorando no aluno a capacidade de resolver problemas e fazer previses em situaes que envolvam proporcionalidade. bom lembrar que os alunos, provavelmente, j possuem um conhecimento intuitivo sobre proporcionalidade, derivado da sua experincia em situaes concretas da vida cotidiana. A partir da 6a srie, devemos capacitar o aluno a reconhecer o tipo de proporcionalidade envolvida em diferentes situaes e a operar e relacionar os valores envolvidos. Inicialmente, so propostas atividades envolvendo o reconhecimento da proporcionalidade. Elas tm por objetivo sondar o conhecimento prvio dos alunos sobre proporcionalidade, cuja noo j vem sendo trabalhada desde as sries anteriores, como no estudo das fraes equivalentes ou dos mltiplos de um nmero natural. Entendemos que a noo de proporcionalidade envolve tambm a capacidade de identificar as situaes em que ela no est presente. Sugerimos que os alunos analisem determinadas situaes a fim de verificar se h ou no proporcionalidade. Outro aspecto a ser destacado que no basta duas grandezas variarem no mesmo sentido, ou seja, aumentarem simultaneamente, por exemplo, para que elas sejam diretamente proporcionais. preciso que, se uma delas dobrar de valor, a outra tambm dobre; se uma delas triplicar, a outra tambm triplique, e assim por diante. As situaes propostas na atividade 5 tm por objetivo caracterizar a diferena entre as variaes diretamente proporcionais e as inversamente proporcionais. importante, tambm, que os alunos saibam que a proporcionalidade direta entre duas grandezas envolve sempre uma multiplicao por um fator constante, chamado de razo de proporcionalidade. No inal, propomos uma atividade ldica que favorecer ao aluno compreender, na prtica, as noes de proporcionalidade apresentadas nas atividades anteriores. Baseada num jogo denominado duplex, a atividade sugere uma estratgia bastante simples para a resoluo de problemas envolvendo a variao de duas ou mais grandezas proporcionais (diretamente ou inversamente), sem o uso da regra de trs composta.

12

Matemtica 6 - srie Volume 3

tempo previsto: 2 semanas. Contedos e temas: proporcionalidade; variao diretamente proporcional; variao inversamente proporcional; razo de proporcionalidade. Competncias e habilidades: identiicar situaes em que existe proporcionalidade entre grandezas; usar a competncia leitora para interpretar problemas de proporcionalidade; resolver problemas envolvendo a variao diretamente e inversamente proporcional entre grandezas. Estratgias: anlise e resoluo de situaes-problema; discusso coletiva sobre as solues obtidas pelos alunos em cada situao-problema; uso de jogo para facilitar a compreenso da variao proporcional.

Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 1Reconhecendo a proporcionalidadeAs atividades 1 e 2 tm como objetivo avaliar a capacidade de reconhecimento das situaes que envolvem proporcionalidade. Na atividade 1, o aluno deve analisar se as previses feitas obedecem a algum tipo de proporcionalidade ou no.

b) um time marcou 2 gols nos primeiros 15 minutos de jogo. Portanto, no inal do primeiro tempo (45 minutos), ele ter marcado 6 gols. Apesar de os nmeros do problema apresentarem proporcionalidade, a situao no permite uma previso conivel, pois o rendimento de um time no constante ao longo de um jogo, existindo uma srie de outros fatores que inluenciam o nmero de gols, como uma melhor marcao dos jogadores da defesa do time adversrio. c) uma banheira contendo 100 litros de gua demorou, aproximadamente, 5 minutos para ser esvaziada. Para esvaziar uma banheira com 200 litros de gua sero necessrios aproximadamente 10 minutos. A previso consistente, pois o tempo de vazo depende do volume de gua a ser escoado. (Supe-se, nesse caso, que a velocidade de vazo no varie signiicativamente, podendo ser considerada constante.)

Atividade 1Analise as seguintes situaes e veriique se as previses feitas so coniveis e se h proporcionalidade entre as grandezas envolvidas. Justiique sua resposta. a) um pintor gastou 1 hora para pintar uma parede. Para pintar duas paredes iguais quela, ele levar 2 horas. A previso consistente, pois h proporcionalidade entre o nmero de paredes e o tempo gasto para pint-las.

13

d) Em 1 hora de viagem, um trem com velocidade constante percorreu 60 km. Mantendo a mesma velocidade, aps 3 horas ele ter percorrido 150 km. A previso est errada, pois mantida a velocidade, o trem deveria percorrer 180 km. Nesse caso, a distncia percorrida diretamente proporcional ao tempo de viagem. e) um estacionamento cobra R$ 3,00 por hora. Para um automvel que icou estacionado 2 horas, foi cobrado o valor de R$ 6,00. Se ele ficasse estacionado 6 horas, o valor cobrado seria de R$ 18,00. Nesse caso, a previso est correta, pois o valor a ser cobrado proporcional ao nmero de horas que o carro icaria estacionado. f) Em 20 minutos, uma pessoa gastou R$ 30,00 no supermercado. Se ela icar 40 minutos, gastar R$ 60,00. A previso no consistente, pois o valor gasto em um supermercado no diretamente proporcional ao tempo de permanncia nele. g) Ao tomar um txi da minha casa at a escola, o motorista passou por 4 avenidas diferentes. O valor cobrado pela corrida foi de R$ 10,00. Na volta, ele passar somente por 2 avenidas, portanto o valor cobrado ser de R$ 5,00. A previso est errada, uma vez que no existe relao direta entre o nmero de avenidas pelas quais o txi passa e o valor cobrado.

As situaes anteriores ilustram algumas caractersticas da proporcionalidade. Primeiramente, deve haver algum grau de dependncia entre as grandezas envolvidas. Nos itens f e g, por exemplo, no h dependncia direta entre as grandezas envolvidas. Em segundo lugar, a variao entre as grandezas tem de ser a mesma. No item d, o clculo correto seria 180 km para o percurso aps 3 horas.

Atividade 2Em cada um dos casos a seguir, veriique se h ou no proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas correspondentes. a) A altura de uma pessoa diretamente proporcional sua idade? No. Quando a idade de uma pessoa dobra digamos, passa de 2 a 4 anos , no verdade que sua altura tambm dobra. Se houvesse proporcionalidade direta, imagine a altura de uma pessoa aos 40 anos. b) O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro diretamente proporcional quantidade de litros usada? Sim. O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro depende da quantidade de litros abastecida. Se para abastecer com 10 litros gasta-se R$ 25,00, o valor para abastecer com o triplo de litros (30 litros) ser trs vezes maior (R$ 75,00). c) A massa de uma pessoa diretamente proporcional sua idade? A massa de uma pessoa no diretamente proporcional sua idade.

14

Matemtica 6 - srie Volume 3

d) O permetro de um quadrado diretamente proporcional ao seu lado? Sim. O permetro de um quadrado igual a quatro vezes o seu lado. Se o lado aumenta, o permetro aumenta proporcionalmente. O permetro de um quadrado diretamente proporcional ao seu lado, sendo a constante de proporcionalidade igual a 4. e) A distncia percorrida por um automvel em 1 hora de viagem diretamente proporcional velocidade mdia desenvolvida? Sim. Um automvel que desenvolve uma velocidade mdia de 60 km/h ir percorrer 60 km em 1 hora. Se dobrarmos a velocidade, a distncia percorrida dobrar, na mesma proporo.

os limites da proporcionalidadeNa atividade 3, exploramos os limites da proporcionalidade em diferentes contextos. Existem situaes em que a variao numrica envolve proporcionalidade, mas que, na realidade, no so viveis ou possveis. J na atividade 4, os alunos devem perceber que a proporcionalidade ocorre em situaes que envolvem a multiplicao por um fator constante.

Atividade 3Analise as situaes a seguir e avalie se elas so possveis. a) um professor corrige 20 provas em 1 hora de trabalho. Aps 30 horas, ele ter corrigido 600 provas. No. Diicilmente o professor conseguir manter o mesmo ritmo de trabalho durante 30 horas. b) um corredor percorre 10 km em 1 hora. Portanto, aps 20 horas, ele ter percorrido 200 km. No. Mesmo para um atleta, seria impossvel manter esse ritmo de corrida por tanto tempo. c) uma pessoa leu trs livros na semana passada. Em um ano, ela ler 156 livros. No. O fato de ela ter lido trs livros na semana anterior no garante que ela v manter o mesmo ritmo de leitura ao longo do ano. Isso depende de outras variveis, como tamanho do livro, disponibilidade de tempo e dinheiro, disposio, etc.

importante orientar o aluno a fazer determinadas perguntas para decidir se uma situao envolve ou no proporcionalidade direta: avaliar se uma grandeza depende da outra; verificar se elas variam no mesmo sentido; calcular de quanto essa variao. Deve-se chamar a ateno para o fato de que, para haver proporcionalidade direta, no basta que as duas grandezas variem no mesmo sentido, isto , quando uma crescer a outra tambm cresce, e vice-versa. preciso que o aumento de uma delas seja proporcional ao aumento da outra.

15

importante discutir com os alunos que a proporcionalidade direta ocorre quando a variao resulta de um processo multiplicativo, e no aditivo. Ou seja, ambas as grandezas so multiplicadas pelo mesmo fator. Deve-se observar que a multiplicao por um fator entre 0 e 1 equivalente diviso por um nmero. Por exemplo, multiplicar por 0,5 o mesmo que dividir por 2. Multiplicar por 0,25 o mesmo que dividir por 4.

de R$ 400,00 para R$ 300,00. Houve proporcionalidade no desconto dado nos dois produtos? Justiique sua resposta. A reduo no preo dos dois produtos foi diretamente proporcional aos preos originais. A variao no preo do computador foi de 750 1 000 = 0,75, e da impressora, de 300 400 = 0,75. Ou seja, ambos foram multiplicados pelo mesmo fator.

Atividade 4Veriique se houve variao proporcional nos seguintes casos. a) uma empresa resolveu dar um aumento de R$ 200,00 para os funcionrios. O salrio de Joo passou de R$ 400,00 para R$ 600,00, enquanto o salrio de Antnio passou de R$ 1 000,00 para R$ 1 200,00. Houve proporcionalidade no aumento salarial dado aos dois funcionrios? Justiique sua resposta. O aumento no foi proporcional, pois embora ele tenha sido o mesmo em termos absolutos (R$ 200,00), em termos relativos eles foram diferentes. Os R$ 200,00 de aumento representam metade do salrio de Joo, enquanto para Antnio esse acrscimo representa apenas um quinto de seu salrio. A variao para Joo foi de 600 400 = 1,5 e para Antnio, 1 200 1 000 = 1,2. b) uma empresa de informtica resolveu dar um desconto de 25% no preo de toda a sua linha de produtos. O preo de um computador passou de R$ 1 000,00 para R$ 750,00, e o de uma impressora passou

grandezas diretamente ou inversamente proporcionaisA atividade 5 tem como objetivo a caracterizao da diferena entre a proporcionalidade direta e a proporcionalidade inversa. Na proporcionalidade direta, as grandezas variam no mesmo sentido, isto , se uma delas aumenta, a outra tambm aumentar na mesma proporo. J na proporcionalidade inversa, as variaes ocorrem em sentidos opostos, isto , se uma grandeza aumenta, a outra diminui, e vice-versa, de modo que se uma dobrar a outra se reduz metade, se uma 1 triplicar a outra reduz de e assim por diante. 3

Atividade 5Analise as situaes a seguir e veriique se as grandezas envolvidas so diretamente ou inversamente proporcionais. a) um pintor demora, em mdia, 2 horas para pintar uma parede de 10 m2. nmero de pintores nmero de paredes de 10 m2 tempo gasto (horas) 1 1 2 1 2 4 2 1 1 2 2 2

16

Matemtica 6 - srie Volume 3

f O tempo gasto inversamente proporcional ao nmero de pintores. f O tempo gasto diretamente proporcional ao nmero de paredes. Se o nmero de pintores dobrar, o tempo gasto para se pintar uma parede ser a metade, etc. O tempo gasto inversamente proporcional ao nmero de pintores. Contudo, se o nmero de paredes dobrar o tempo necessrio para concluir o servio tambm vai dobrar. Portanto, o tempo gasto diretamente proporcional ao nmero de paredes. b) um automvel gasta 2 horas para percorrer 200 km, viajando com uma velocidade mdia de 100 km/h. Velocidade mdia (km/h) distncia percorrida tempo gasto (horas) 100 200 2 100 400 4 50 400 8 50 100 2

duplex e os problemas de proporcionalidadeAs atividades a seguir tm como objetivo principal desenvolver a noo de proporcionalidade direta e inversa de uma forma ldica e signiicativa. Ela permite resolver os famosos problemas de regra de trs composta de uma forma diferente, sem o uso de uma frmula algbrica. Lewis Carroll, autor de Alice no pas das maravilhas, era um matemtico que adorava desenvolver quebra-cabeas. Em 1879, ele criou o duplex, um quebra-cabea que consiste em ligar duas palavras de mesmo comprimento, propostas como o incio e o im de um encadeamento, por meio de palavras intermedirias que constituem elos e que diferem entre si apenas por uma letra. Essas palavras-elo devem ter sentido na lngua materna. Por exemplo: ouRo muRO MudO MEDO lEDO LiDO LIXO Proponha aos alunos que resolvam alguns duplex para perceber o mecanismo do jogo. Eles devem notar que em cada etapa apenas uma letra muda, as outras permanecem inalteradas.

f A distncia percorrida diretamente proporcional velocidade. f O tempo gasto inversamente proporcional velocidade. Dobrando a velocidade, o automvel percorrer o dobro da distncia no mesmo tempo. Portanto, a distncia percorrida diretamente proporcional velocidade. Por outro lado, se a velocidade mdia for reduzida metade, o tempo gasto para percorrer a mesma distncia dobrar. O tempo gasto inversamente proporcional velocidade.

17

Atividade 6Resolva os duplex a seguir: tiA TUA PoR PAR MAR liSo PISO PESO PESA luA mAl PEnA PoEtA PONTA PONTO TONTO TANTO tAngo

Havendo proporcionalidade direta, a razo entre os valores correspondentes das duas grandezas deve ser constante. Portanto, se a quantidade vendida cai pela metade (10 para 5), o valor recebido tambm cair pela metade (30 para 15). Da mesma forma, se o valor recebido aumenta em 7 vezes, a quantidade vendida tambm ser multiplicada por 7.

Observao: podem haver outras solues para os duplex. Vamos propor a seguir um problema matemtico que pode ser resolvido por meio de uma estratgia semelhante utilizada no duplex. Em vez de letras, o incio e o im do encadeamento so nmeros, encadeados segundo uma determinada proporcionalidade.

A partir da tabela anterior, pode-se chamar a ateno para o fato de que algo permanece constante na comparao entre as colunas. Pea aos alunos que dividam o valor da segunda coluna pelo da primeira, em todas as linhas. Eles vo perceber que a relao entre o valor recebido e a quantidade vendida sempre3. (30 10 = 15 5 = 3 1 = 21 7 = 42 14 = 420 140 = 3)

Atividade 7Na tabela a seguir, registraram-se a quantidade vendida e o valor recebido pela venda de um mesmo produto. Contudo, alguns valores no foram preenchidos. Preencha-a mantendo a proporcionalidade direta entre a quantidade vendida e o valor recebido. Quantidade vendida 10 .1 2 5 .1 5 .7 1 7 .10 14 140 .2 Valor recebido 1 R$ 30,00 . 2 . 1 R$ 15,00 5 R$ 3,00 .2 R$ 21,00 R$ 42,00 R$ 420,00 .10 .7

Esse o preo unitrio do produto, cujo valor aparece na tabela quando a quantidade vendida unitria. Trata-se, na verdade, da razo de proporcionalidade entre as duas grandezas. Dessa forma, podemos airmar que, se duas grandezas so diretamente proporcionais, a razo entre os valores correspondentes permanece constante, sendo chamada de razo de proporcionalidade. Vejamos agora uma situao que envolve grandezas inversamente proporcionais.

Atividade 8um clube dispe de uma quantia ixa de dinheiro para comprar bolas de futebol para os treinamentos. Com o dinheiro disponvel, possvel comprar, de um fornecedor, 24 bolas a R$ 6,00 cada uma. O gerente pesquisou outros fabricantes e anotou as informaes

18

Matemtica 6 - srie Volume 3

na tabela a seguir. Complete-a obedecendo ao princpio de proporcionalidade e descubra qual foi o menor preo pesquisado pelo gerente. Preo de uma bola R$ 6,00 R$ 12,00 R$ 4,00 R$ 2,00 R$ 24,00 R$ 1,00 R$ 72,00 nmero de bolas 24 12 36 72 6 144 2

Atividade 9Para produzir 1 000 m de um cabo telefnico, 24 operrios trabalham regularmente durante 6 dias. Quantos dias sero necessrios para produzir 1 250 m de cabo com 10 operrios trabalhando? a) Indique se as grandezas, duas a duas, so diretamente ou inversamente proporcionais entre si.

O menor preo pesquisado foi de R$ 1,00, como mostra a tabela. O prximo exemplo envolve a variao de trs grandezas distintas que possuem uma relao de interdependncia. importante que os alunos questionem-se sobre o tipo de proporcionalidade (direta ou inversa) envolvida entre cada par de grandezas.

f Fixando-se a quantidade de cabos, o tempo de produo inversamente proporcional ao nmero de operrios.

f Fixando-se o tempo de trabalho, a produo de cabos diretamente proporcional ao nmero de operrios.

f Fixando-se o nmero de operrios, a quantidade de cabos diretamente proporcional ao tempo de produo.

b) Preencha a tabela a seguir mantendo a proporcionalidade entre as linhas. Produo de cabos (m) 1 000 2 000 2 000 500 500 500 250 125 1 250 1 250 nmero de tempo de operrios produo (dias) 24 24 48 12 24 6 3 3 30 10 6 12 6 6 3 12 12 6 6 18

Nesse caso, os alunos devero perceber que quanto maior o preo, menor a quantidade de bolas que se pode comprar. Portanto, as grandezas so inversamente proporcionais, e o que se mantm constante no a razo, mas o produto entre elas:6 . 24 = 12 . 12 = 4 . 36 = 2 . 72 = 24 . 6 = 1 . 144 = 72 . 2 = 144

Ou seja, duas grandezas so inversamente proporcionais quando o produto do valor de uma delas pelo correspondente da outra for constante. No problema em questo, esse produto nada mais do que a quantia de dinheiro disponvel para comprar as bolas.

19

Professor, comente com os alunos que, em cada linha, h uma grandeza que permanece constante, enquanto as demais variam, de forma direta ou inversamente proporcional. Na segunda linha, considerando o mesmo nmero de operrios, para se produzir o dobro da metragem de cabos ser necessrio o dobro do tempo, uma vez que se trata de grandezas diretamente proporcionais.

Procurando adequar sua empresa nova legislao trabalhista, o diretor reduziu a jornada de trabalho de 10 para 8 horas ao dia e contratou mais funcionrios. Ao mesmo tempo, a demanda por pias aumentou, e ser necessrio aumentar a produo. Nesse novo contexto, quantos dias sero necessrios para produzir 540 pias de granito, contando com 25 pessoas trabalhando 8 horas por dia? a) Relacione duas a duas as grandezas, mantendo as demais constantes, e indique o tipo de proporcionalidade envolvida (direta ou inversa). A produo de pias diretamente proporcional ao nmero de funcionrios. O tempo de produo inversamente proporcional ao nmero de funcionrios. O tempo de produo diretamente proporcional ao nmero de pias a serem produzidas. A produo de pias diretamente proporcional ao nmero de horas trabalhadas por dia. O nmero de funcionrios inversamente proporcional ao nmero de horas trabalhadas. O tempo de produo inversamente proporcional ao nmero de horas trabalhadas. b) Preencha a tabela apresentada a seguir e ache a soluo do problema. Um possvel caminho o seguinte:

Na atividade anterior, os passos para chegar resposta do problema j estavam preenchidos na tabela. Ou seja, havia um caminho que levava da situao inicial (produo de 1 000 metros de cabos, com 24 operrios, em 6 dias) para a situao inal desejada (saber quantos dias seriam necessrios para produzir 1 250 metros de cabo com 10 operrios trabalhando). Na prxima atividade, o aluno dever construir o seu prprio caminho, partindo de uma situao inicial e chegando resposta do problema. Da mesma forma que no duplex, cada aluno poder construir um caminho diferente, desde que mantidas as relaes de proporcionalidade entre as grandezas.

Atividade 10Para produzir 180 pias de granito, 15 pessoas trabalham durante 12 dias, em uma jornada de 10 horas de trabalho por dia.

20

Matemtica 6 - srie Volume 3

Produo de pias 180 180 180 180 180 540

nmero de funcionrios 15 15 15 5 25 25

tempo de produo (dias) 12 60 15 45 9 27

nmero de horas trabalhadas por dia 10 2 8 8 8 8

Consideraes sobre a avaliaoAo inal dessas atividades, espera-se que os alunos sejam capazes de reconhecer situaes que envolvam algum tipo de proporcionalidade direta e inversa. Eles devem ser capazes de quantiicar a variao das grandezas e veriicar se existe ou no proporcionalidade direta entre elas. Do mesmo modo, espera-se que eles consigam distinguir as situaes em que as grandezas variam de modo diretamente proporcional daquelas em que variam entre si de maneira inversamente proporcional. Alm disso, que saibam resolver problemas envolvendo duas ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. A avaliao da aprendizagem dos alunos em relao a esses tpicos poder ser feita a partir da aplicao de atividades similares s propostas ao longo da Situao de Aprendizagem. A organizao da resoluo e a capacidade de identiicar as informaes pertinentes, organiz-las em tabelas, calcular as variaes ocorridas, classiic-las quanto sua natureza

e realizar os clculos obedecendo ao princpio de proporcionalidade so aspectos que devem ser trabalhados pelo professor e, consequentemente, avaliados por meio de um ou mais instrumentos: provas, tarefas de casa, trabalhos em dupla, discusses coletivas, etc. Cabe ao professor a escolha do instrumento de avaliao mais adequado a ser utilizado em funo das caractersticas de seus alunos e do seu planejamento efetivo de aulas. importante, tambm, que o professor considere no apenas a aquisio do conceito matemtico estudado no caso, a proporcionalidade , mas todas as dimenses envolvidas na resoluo dessas atividades, como a competncia leitora, que fundamental para a interpretao dos enunciados das situaes-problema. Ou ainda, a capacidade de expresso, seja na lngua materna, seja na matemtica usada para dar as respostas dos problemas. Alm disso, deve-se valorizar tambm a capacidade de argumentao, envolvida na escolha de determinado caminho na resoluo de um problema.

21

SITuAO DE APRENDIzAGEM 2 RAzO E PROPOROA Situao de Aprendizagem 2 trata de um conceito fundamental na Matemtica: a razo. Ele est presente nos mais diversos contextos, desde o trabalho com medidas at o estudo de funes e progresses numricas, passando pela semelhana geomtrica, trigonometria, etc. Optamos por formalizar o conceito de razo depois do estudo das variaes proporcionais entre grandezas, pois, dessa forma, os alunos j estariam inseridos no contexto da comparao entre grandezas. A ideia da existncia de um fator constante que relaciona duas grandezas, chamado de razo de proporcionalidade, foi problematizada na Situao de Aprendizagem 1. Agora, vamos ampliar o conceito de razo para outros contextos. Inicialmente, consideramos importante partir do signiicado que a palavra razo assume no senso comum, ou seja, do entendimento que os alunos tm dessa palavra, para depois introduzir o conceito especico que ela assume na Matemtica. Em seguida, propomos uma discusso sobre as formas de representao de uma razo, desde a forma fracionria at a porcentagem. So apresentadas tambm algumas situaes-problema envolvendo os tipos mais comuns de razo, como a escala usada em mapas, a velocidade de um objeto, a densidade, o PIB per capita, etc. A probabilidade apresentada como uma razo especica que expressa a relao entre o nmero de possibilidades de ocorrncia de um evento particular e o nmero total de possibilidades de um espao amostral determinado. Por im, propomos a realizao de uma atividade prtica envolvendo as razes presentes no corpo humano. Partindo de um texto e de uma obra de Leonardo Da Vinci, conhecida como Homem vitruviano, os alunos devem empregar o conceito de razo para averiguar se as propores do desenho correspondem s razes citadas no texto. Os alunos devem realizar medidas do desenho de Da Vinci e calcular as razes entre as partes do corpo humano. Essa atividade mobiliza uma srie de competncias dos alunos: a competncia leitora e escritora para interpretar um texto e traduzi-lo em linguagem matemtica, a competncia de realizar medidas com preciso, a capacidade de comparar medidas, razes e mdias, entre outras. importante lembrar que as atividades propostas a seguir constituem apenas um referencial para que o professor possa direcionar as atividades em sala de aula. Dessa forma, elas so apenas ilustrativas, podendo ser reduzidas, ampliadas e modiicadas pelo professor de acordo com as caractersticas de cada grupo/classe.

22

Matemtica 6 - srie Volume 3

tempo previsto: 2 semanas. Contedos e temas: razo; proporcionalidade; escala; porcentagem; probabilidade. Competncias e habilidades: compreender o conceito de razo na Matemtica; saber calcular a razo entre duas grandezas de mesma natureza ou de natureza distinta; conhecer os principais tipos de razo: escala, porcentagem, velocidade, probabilidade, etc.; realizar medidas com preciso. Estratgias: explorao, resoluo e discusso de situaes-problema envolvendo os diferentes tipos de razo; atividade prtica de investigao das razes e propores no corpo humano.

Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 2o conceito de razoAntes de introduzir formalmente o conceito de razo em Matemtica, pode-se perguntar aos alunos o que eles entendem pela palavra razo. Muitas interpretaes devero surgir, uma vez que esse conceito est extremamente disseminado em nossa lngua e assume diversos signiicados, de acordo com os contextos em que aparece. Em seguida, pode-se solicitar aos alunos que consultem um dicionrio para encontrar as deinies da palavra razo, para que tenham uma ideia da diversidade de acepes dessa palavra. Algumas delas, segundo o dicionrio Aurlio, so:Razo. [Do lat. ratione.] S.f. 1.Faculdade que tem o ser humano de avaliar, julgar, ponderar ideias universais; raciocnio, juzo. 2.Faculdade que tem o homem de estabelecer relaes lgicas, de conhecer, de compreender, de raciocinar; raciocnio, inteligncia. 3.Bom senso; juzo; prudncia. 4.A lei moral; o direito natural; justia; direito. 5.Causa, motivo. FERREIRA, Aurlio Buarque de Holanda. Novo Dicionrio Aurlio da lngua portuguesa. Curitiba: Positivo, 2004. CD-ROM. Adaptado para ins didticos.

Em Matemtica, a palavra razo tem um signiicado especico. Ela representa a relao existente entre dois nmeros a e b, e se escreve a na forma a . Assim, se a razo igual a c, b b isto signiica que a = b . c. importante diferenciar o conceito de razo do de frao. A frao uma forma de expressar a razo entre dois nmeros inteiros. Assim, toda frao tambm uma razo, mas nem toda razo pode ser expressa como uma frao. bom lembrar que os nmeros irracionais no podem ser escritos na forma de frao, e o nmero , que irracional, representa a razo entre o comprimento da circunferncia e o seu dimetro. O conceito de razo est intimamente ligado ao de proporo. Na atividade 7, chamamos a ateno para o fato de que havia um valor constante que relacionava as duas grandezas envolvidas. Em qualquer uma das linhas da tabela, ao dividirmos o valor recebido pela quantidade vendida, obtinha-se sempre o mesmo resultado, o nmero 3. Naquele contexto, esse valor signiicava o preo unitrio do produto vendido. Em termos matemticos, tal valor corresponde razo de proporcionalidade entre as grandezas envolvidas.

23

Esse conceito poderia ter sido introduzido antes do estudo das variaes proporcionais. Contudo, achamos que seria mais significativo para o aluno compreender o conceito de razo a partir das situaes de proporcionalidade estudadas, ou seja, como o nmero que expressa a relao de proporcionalidade entre duas grandezas. Duas grandezas so diretamente proporcionais quando a razo entre os valores de uma e os valores correspondentes da outra constante. Esse valor constante a razo de proporcionalidade . A razo pode no estar diretamente ligada a uma situao de proporcionalidade. Ela pode simplesmente representar a relao entre duas grandezas em determinado momento ou circunstncia. Por exemplo, o nmero de gols por partida de um jogador em um determinado campeonato, ou a relao entre o nmero de meninos e meninas em uma classe. A razo uma forma de comparao entre os valores de duas grandezas de mesma natureza, ou de naturezas diferentes.

inteiro. Por exemplo: uma impressora imprime 300 pginas em 10 minutos. Portanto, a razo pginas por minuto igual a 30. Quando o resultado da diviso no for exato, a razo poder ser escrita na forma decimal ou fracionria. Por exemplo: um terreno de 35 m2 custa R$ 12 000,00. Portanto, a razo reais por m2 de, aproximadamente, 342,85; para fazer determinado refresco, deve-se utilizar 1 parte de suco concentrado para 5 partes de gua. Tal razo pode ser escrita na forma de frao: 1 . 5 Alm da notao fracionria, muito comum o uso da lngua materna para expressar a razo entre duas grandezas. Por exemplo: 1 em cada 10 brasileiros gosta de jogar vlei, em vez de usar a frao 1 . 10 Outra forma muito usual de expressar uma razo por meio da porcentagem. A porcentagem uma razo particular, em que se compara certo nmero a 100. Ela til para expressar razes que, de outra forma, seriam de difcil compreenso na forma decimal ou fracionria. Consideremos, por exemplo, uma pesquisa feita sobre os hbitos de prtica esportiva em uma cidade. Consultando-se 17 425 pessoas, constatou-se que 3 721 faziam exerccios fsicos regularmente. A partir dos nmeros apresentados, difcil fazer uma ideia exata da proporo de pessoas que praticam exerccios fsicos regu3721 , larmente, seja na forma fracionria 17 425

Representao de uma razoum aspecto que pode ser explorado com os alunos so as diferentes formas de representao de uma razo. Sendo a razo a diviso indicada entre dois nmeros, ela pode ser escrita de diversas maneiras. Quando o resultado da diviso for exato, a razo poder ser escrita como um nmero

24

Matemtica 6 - srie Volume 3

seja na decimal (0,214). Contudo, se tal razo fosse apresentada como 21,4%, teramos uma noo mais clara dessa proporo: em cada 100 habitantes, aproximadamente 21 fazem exerccios fsicos regularmente. A porcentagem facilita no s a leitura, mas tambm a comparao entre razes. Suponha que um aluno tenha acertado 12 questes de 20 em uma prova, e 17 questes de 26 em outra. O uso da porcentagem permite comparar a razo de acertos em cada prova, facilmente: 1a prova, a razo de acertos foi de 60%, e na 2a, de 65,4%. Trata-se de uma comparao entre fraes de mesmo denominador (100), ou seja, uma comparao entre equivalentes. Essa facilidade para leitura e comparao faz da porcentagem uma forma bastante utilizada para representar razes que expressem uma relao entre a parte e o todo. Assim, costumamos ouvir expresses do tipo: a porcentagem de analfabetos em uma populao; a porcentagem de acertos em um teste; a porcentagem de meninos em uma escola, etc. Para poder expressar uma razo como porcentagem, precisamos capacitar o aluno a transformar nmeros escritos na forma decimal em porcentagens. A porcentagem uma forma de representar fraes cujo denominador 100. Escrevemos 5% para representar a 40 5 , e 40% para representar . Em frao 100 100 notao decimal, a centsima parte da unidade representada na casa dos centsimos. A leitura do nmero 0,02 (dois centsimos)

remete sua representao fracionria,

2 , 100 e, consequentemente, sua forma percentual: 2%. Na atividade 1 so apresentadas algumas razes expressas em notao decimal, as quais devem ser transformadas para a forma percentual.

Atividade 1Calcule o resultado das razes e expresse-o em termos de porcentagem: a) razo 3 : 150 A razo 3 : 150 tem como resultado 0,02 (2 centsimos). Em porcentagem, a razo de 2%. b) razo 24 : 40 A razo 24 : 40 tem como resultado 0,6 (6 dcimos), que equivale a 0,60 (60 centsimos), ou seja, 60%. c) razo 4 : 50 A razo 4 : 50 tem como resultado 0,08 (8 centsimos), ou seja, 8 %. d) razo 9 : 125 A razo 9 : 125 tem como resultado 0,072 (7 centsimos e 2 milsimos), ou seja, 7,2 %. e) razo 165 : 300 A razo 165 : 300 tem como resultado 0,55 (55 centsimos), ou seja, 55 %.

25

BA

Algumas razes recebem um nome especial, devido sua ampla utilizao em algumas reas do conhecimento, como: escalas, renda per capita, velocidade mdia, densidade, entre outras. As atividades a seguir exploram o clculo de algumas dessas razes.

Braslia GO MG Belo Horizonte ES SP So Paulo PR SC RS RJ Rio de Janeiro

Escala a razo entre a medida de um objeto representado em um desenho e a medida correspondente ao objeto real. Geralmente, um mapa traz essa informao para facilitar a transposio da medida do desenho para a medida real.

Florianpolis

Atividade 2O mapa a seguir foi feito na escala 1 : 30 000 000 (l-se um para trinta milhes). Esta notao representa a razo de proporcionalidade entre o desenho e o real, ou seja, cada unidade no desenho , na realidade, 30 milhes de vezes maior. utilizando uma rgua e a escala fornecida, determine: a) a distncia real entre Braslia e Rio de Janeiro. A distncia entre Braslia e Rio de Janeiro no mapa de aproximadamente 4 cm. Como cada centmetro no desenho corresponde a 30 milhes de centmetros na realidade, ento 4 cm correspondero a 120 milhes de centmetros. Convertendo para quilmetros, obtemos o resultado de 1 200 km, que muito prximo ao valor real (1 148 km).

A OCE

L AT O N

N T

IC O

N O L S

1 : 30 000 000

Mapa ilustrativo. Elaborado especialmente para o So Paulo faz escola.

b) a distncia real entre Florianpolis e Braslia. A distncia entre Florianpolis e Braslia no mapa de aproximadamente 5,5 cm. Como cada centmetro no desenho corresponde a 30 milhes de centmetros na realidade, ento 5,5 cm correspondero a 165 milhes de centmetros. Convertendo para quilmetros, obtemos o resultado de 1 650 km, que muito prximo ao valor real (1 673 km).

26

Conexo Editorial

Razes conhecidas

Matemtica 6 - srie Volume 3

Professor, voc pode discutir com os alunos o fato de que as diferenas observadas se devem, provavelmente, a aproximaes e erros de medida, ou impreciso do desenho. Outro aspecto a ser considerado na leitura de mapas de regies da Terra que eles retratam a transposio de uma superfcie esfrica para uma superfcie plana. Assim, algum tipo de impreciso inerente a qualquer mapa da superfcie terrestre, dependendo do tipo de projeo usada para transpor as informaes da esfera para o plano. Duas so as possibilidades: se quisermos preservar os ngulos, as distncias so alteradas; se quisermos preservar as distncias, os ngulos que so alterados. Assim, para os pilotos de avies e navios, o importante preservar o ngulo, perdendo-se a preciso nas medidas de distncia. Em alguns tipos de projeo, a forma preservada localmente, facilitando a interpretao das distncias em escala.

seja, o nmero de batimentos por minuto. O normal em uma pessoa ter pulsao entre 60 e 100 batimentos por minuto. Outra medida de rapidez frequentemente usada na informtica: a taxa de transmisso de dados, cuja unidade o quilobytes por segundo (kbps); ela signiica que em 1 segundo possvel fazer uma transferncia eletrnica de dados de 1 quilobyte, ou 1 000 bytes. O byte a unidade bsica de informao em computadores.

Atividade 3Determine: a) a velocidade mdia de um automvel que percorreu 530 km em 6 horas. A velocidade mdia a razo entre o deslocamento de 530 km e o intervalo de tempo para efetu-lo, ou seja, 6 horas. Portanto, a velocidade mdia nesse caso de aproximadamente 88 km/h. b) a pulsao (batimentos por minuto) de uma pessoa cujo corao bate 12 vezes a cada 10 segundos. Se o corao dessa pessoa bate 12 vezes a cada 10 segundos, em 1 segundo ele bater 1,2 vez e, em 60 segundos, 72 vezes. Portanto, a pulsao de 72 batimentos por minuto.

VelocidadeEm Fsica, a velocidade a medida da rapidez com que um objeto altera a sua posio. Em nosso cotidiano, a palavra velocidade geralmente signiica velocidade mdia, que a razo entre um deslocamento e o intervalo de tempo gasto para efetu-lo. Dessa forma, quando nos referimos velocidade de um carro (80 km/h) ou de um corredor (4 m/s), estamos nos referindo sua velocidade mdia. O conceito de velocidade pode ser estendido para outras situaes anlogas. Por exemplo: a pulsao ou frequncia de batimentos cardacos exprime a rapidez com que o corao bate, ou

Densidade ou densidade absoluta deinida como a razo entre a massa e o volume de um corpo. A unidade mais usada para se expressar a densidade de um corpo grama por centmetro cbico (g/cm3). Por exemplo, a densidade da gua de 1 grama por centmetro cbico (g/cm3).

27

Densidade demogrica a razo entre o nmero de habitantes que vivem em uma regio e sua rea.

Atividade 4Com base nas deinies de densidade e densidade demogrica, resolva as questes a seguir. a) 300 g de uma substncia ocupam um volume de 450 cm3. Determine a densidade dessa substncia. A densidade dessa substncia de aproximadamente 0,67 g/cm3. b) A populao estimada do Estado de So Paulo, em 1o de julho do ano de 2007, era de, aproximadamente1, 40 653 736 habitantes. Sabendo que a rea do Estado de aproximadamente 248 209 km2, calcule sua densidade demogrica. A densidade demogrica do Estado de So Paulo em 2007 era de, aproximadamente, 164 habitantes por quilmetro quadrado.

b) O PIB da ndia em 2006 foi de uS$ 903 bilhes, para uma populao estimada em 1 bilho e 150 milhes de habitantes. Determine o PIB per capita da ndia em 2006. O PIB per capita indiano em 2006 era de aproximadamente US$ 785 por habitante. Nesse ltimo exemplo, vale a pena fazer alguns comentrios. O primeiro que a medida do PIB per capita representa uma mdia, no retratando de fato a condio econmica da maioria da populao de um pas. Certamente no real o fato de que cada brasileiro participe da produo nacional anual com o equivalente a uS$ 5 727, ou, expresso em reais de 2006, o equivalente a R$ 12 490. Isso se deve ao fato de que existe uma desigualdade de renda no pas, segundo a qual uma minoria da populao concentra a maior parte da renda, e essa minoria responde por uma parcela proporcionalmente bem menor. Existem outros parmetros para avaliar a condio socioeconmica de uma populao, como o ndice de Desenvolvimento Humano (IDH), a taxa de analfabetismo, a expectativa de vida, etc.

PIB per capita a razo entre o valor de todos os bens e servios produzidos em um pas em 1 ano e o total da populao.

Atividade 5Resolva as questes a seguir: a) O PIB brasileiro em 2006, medido em dlares, foi de aproximadamente uS$ 1,071 trilho para uma populao estimada em 187 milhes de pessoas. Determine o PIB per capita brasileiro nesse ano. O PIB per capita brasileiro era de aproximadamente US$ 5 727 por habitante.1

ProbabilidadeA probabilidade um tipo especial de razo, na qual compara-se o nmero de possibilidades de ocorrncia de um evento particular com o nmero total de possibilidades relacionadas a esse evento. Por exemplo, no lanamento de uma moeda, a probabilidade de obter a face cara de uma em duas, ou seja, 1 uma chance em duas, ou , ou, ainda, 50%. 2

Fundao SEADE. Disponvel em: . Acesso em: 26 maio 2009.

28

Matemtica 6 - srie Volume 3

a razo entre o nmero de possibilidades de obter cara (1) e o nmero total de possibilidades, cara ou coroa (2). No lanamento de um dado numerado de 1 a 6, a probabilidade de obter o nmero 5 de uma em seis, ou 1 , ou 16,7%. 6 Para determinar a probabilidade de ocorrncia de um determinado evento, devemos quantiicar o nmero de casos em que este evento ocorre e o nmero total de casos possveis, chamado de espao amostral. A razo entre esses valores o que chamamos de probabilidade. O resultado dessa razo pode ser expresso como nmero decimal ou como porcentagem.

A probabilidade de obter duas coroas de uma em quatro, ou 0,25, ou 25%. c) uma urna contm 7 bolas, sendo 3 vermelhas e 4 pretas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja vermelha? E preta? A probabilidade de retirar uma bola vermelha de 3 em 7, ou 0,429, ou 42,9%. A probabilidade de retirar uma bola preta de 4 em 7, ou 0,571 ou 57,1%. d) um baralho contm 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe (copas, ouros, espadas e paus). Retirando-se uma carta ao acaso, qual a probabilidade de se obter uma carta de copas? E de se obter um valete? A probabilidade de retirar uma carta de copas de 13 em 52, ou 0,25, ou 25%. Existem 4 valetes no baralho, um de cada naipe. Portanto, a probabilidade de obter um valete de 4 em 52, ou 0,077, ou 7,7%. Muitas outras razes so utilizadas e frequentam os jornais e as revistas semanais, embora no recebam nenhum nome especial. A relao candidato/vaga nos concursos vestibulares, a proporo de mdicos por habitantes, a taxa de natalidade, etc. Na atividade 7 so apresentadas algumas situaes para que o aluno identiique a existncia de proporcionalidade e calcule o valor da razo. Para isso, necessrio que ele saiba veriicar se as grandezas variaram proporcionalmente e, em seguida, calcular o quociente entre uma grandeza e a outra.

Atividade 6Resolva as questes a seguir. a) No lanamento de um dado numerado de 1 a 6, qual a probabilidade de se obter um nmero par? E um nmero maior que 4? O nmero total de possibilidades no lanamento de um dado 6. O nmero de ocorrncias de nmero par so 3 (2, 4 ou 6). Portanto, a probabilidade de obter um nmero par de 3 em 6, ou 0,5, ou 50%. J o nmero de ocorrncias de nmeros maiores que 4 so 2 (5 ou 6). Portanto, a probabilidade desse evento de 2 em 6, ou 0,333..., ou aproximadamente 33%. b) Jogando-se ao acaso duas moedas, qual a probabilidade de se obter duas coroas? O espao amostral do lanamento de duas moedas : cara-cara; cara-coroa; coroa-cara; coroa-coroa (4 possibilidades).

29

Atividade 7Analise as situaes descritas a seguir. Construa uma tabela com os valores fornecidos, calcule a razo de proporcionalidade e veriique se houve variao proporcional. a) Se 5 bolas de futebol custam R$ 100,00, ento 7 bolas custaro R$ 140,00. A razo obtida foi de R$ 20,00 por bola. H proporcionalidade direta, pois a razo de proporcionalidade permaneceu constante. nmero de bolas 5 7 Valor pago em reais 100 140 Razo (preo por bola) 100 5 = 20 140 7 = 20

nmero de rolos 4 12

Valor pago em reais 3 8

Razo (preo por rolo) 3 4 = 0,75 8 12 = 0,67

d) Em uma receita de milk-shake, recomenda-se colocar 3 bolas de sorvete de chocolate para 2 xcaras e meia de leite (1 xcara equivale a 250 ml). Para 1 litro de leite, devemos colocar 7 bolas de sorvete. Nesse item, precisamos fazer a converso para uma unidade de volume comum. Como 1 xcara equivale a 250 ml, ento: 1 litro = =1 000 ml = 4 . 250 ml = 4 xcaras. No h proporcionalidade no aumento da receita, pois a razo aumentou de 1,2 bola por xcara para 1,75 bola por xcara. bolas de sorvete 3 7 nmero de xcaras de leite 2,5 4 Razo (bolas por xcara) 3 2,5 = 1,2 7 4 = 1,75

b) um automvel percorreu 120 km em 1 hora e meia. Em 2 horas, ele ter percorrido 160 km. A velocidade mdia nos 2 perodos foi de 80 km/h.H proporcionalidade direta, pois a razo de proporcionalidade permaneceu constante. distncia percorrida em km 120 160 tempo em horas 1,5 2 Razo (velocidade) 120 1,5 = 80 160 2 = 80

e) Em determinado dia, uS$ 20,00 eram vendidos por R$ 36,00, e uS$ 50,00 por R$ 90,00. Sim, h proporcionalidade, pois o preo do dlar foi o mesmo nas duas situaes, ou seja, R$ 1,80 por dlar. Quantidade de dlares 20 50 Valor em reais 36 90 Razo (reais por dlar) 36 20 = 1,80 90 50 = 1,80

c) um supermercado vende 4 rolos de papel higinico por R$ 3,00, e 12 rolos por R$ 8,00. Nesse caso, no h proporcionalidade, pois a razo obtida em cada situao foi diferente: R$ 0,75 por rolo para 4 rolos, e R$ 0,67 por rolo para 12 rolos.

30

Matemtica 6 - srie Volume 3

Na atividade 8, os alunos realizaro medidas e clculos de razes no corpo humano, a partir das razes indicadas por Leonardo Da Vinci, no Homem vitruviano. Proponha

inicialmente a leitura do texto a seguir e, na sequncia, pea aos alunos que completem a tabela que indica as diferentes razes apresentadas no texto. Bettmann/Corbis-Latinstock

Homem vitruviano e as razes no corpo humanoLeonardo Da Vinci foi uma das iguras mais criativas de seu tempo. Ele viveu na Itlia no sculo XV e criou algumas das obras mais famosas de todos os tempos, como a Mona Lisa, A ltima ceia e a virgem das rochas. Leonardo realizou estudos nas mais diversas reas: pintura, arquitetura, engenharia, anatomia, entre outras. Ele conseguiu, como ningum, aproximar a cincia da arte. Leonardo tambm produziu um estudo sobre as propores do corpo humano, baseado num tratado feito pelo arquiteto romano Marcus Vitruvius, que viveu no sculo I a.C. Vitruvius havia descrito as propores ideais do corpo humano, segundo um padro de harmonia matemtica. Assim como muitos outros artistas, Leonardo interessou-se pelo trabalho de Vitruvius e registrou-o em um de seus cadernos de anotao. No meio de suas anotaes, desenhou a igura de um homem dentro de um crculo e de um quadrado. Essa igura, chamada de Homem vitruviano, acabou se tornando um de seus trabalhos mais conhecidos, simbolizando o esprito renascentista. O desenho de Da Vinci evidenciou a retomada e valorizao de princpios da tradio greco-latina, tais como beleza, harmonia, equilbrio e proporo. A obra Homem vitruviano atualmente faz parte da coleo da Gallerie dellAccademia (Galeria da Academia), em Veneza, na Itlia.

f Reproduzimos, a seguir, alguns trechos do texto de Leonardo Da Vinci que acompanham a gravura do Homem vitruviano. (...) O comprimento dos braos abertos de um homem igual sua altura (...); desde o fundo do queixo at ao topo da cabea um oitavo da altura do homem (...); a maior largura dos ombros contm em si prpria a quarta parte do homem. (...) Desde o cotovelo at o ngulo da axila um oitavo da altura do homem. A mo inteira ser um dcimo da altura do homem. (...) O p um stimo do homem (...); a distncia entre o fundo do queixo e o nariz e entre as razes dos cabelos e as sobrancelhas a mesma e , como a orelha, um tero da cara. Disponvel em: . Acesso em: 29 maio 2009.

31

Clculo das razes Atividade 8Construa uma tabela e escreva as razes entre as partes do corpo humano descritas no texto de Da Vinci. Represente-as na forma fracionria, decimal e percentual, conforme o exemplo a seguir: f Razo entre a largura dos ombros e a altura: 1 = 0,125 = 12,5% 8 Razo entre Longitude dos braos e altura Altura da cabea e altura Largura dos ombros e altura Distncia do cotovelo s axilas e altura Comprimento da mo e altura Comprimento do p e altura Distncia do queixo ao nariz e face Distncia da sobrancelha raiz dos cabelos e face Na atividade 9, os alunos devero realizar as medidas das partes do corpo humano descritas no texto a partir do desenho do Homem vitruviano reproduzido a seguir. O professor deve orientar os alunos a usarem corretamente a rgua para fazer medidas precisas.

Nesta atividade, o aluno dever usar a competncia leitora para interpretar corretamente as frases do texto original. Por exemplo, a frase a maior largura dos ombros contm em si prpria a quarta parte do homem, signiica que a razo entre a largura dos ombros e a altura do homem de 1 para 4, ou seja, 1 = 0,25 = 25%. 4

Frao1 1 1 8 1 4 1 8 1 10 1 7 1 3 1 3

decimal 1,0 0,125 0,25 0,125 0,1 0,143 0,333... 0,333...

% 100 12,5 25 12,5 10 14,3 33,3 33,3

As razes no desenho de Leonardo Da Vinci Atividade 9Ser que as razes descritas por Leonardo

Da Vinci realmente esto presentes no corpo humano retratado em seu desenho? Para averiguar isso, voc deve realizar medidas (com uma rgua milimetrada) a partir do desenho do Homem vitruviano reproduzido a seguir. Anote os resultados em uma tabela e calcule as razes, colocando-as na forma decimal e percentual. Em seguida, compare os resultados percentuais com as razes obtidas na atividade anterior.

32

Matemtica 6 - srie Volume 3

Bettmann/Corbis-Latinstock

33

A seguir apresentamos uma tabela preenchida com as medidas aproximadas e o clculo

da razo das partes do corpo em relao altura do homem e altura da face: medidas em cm 10,7 10,8 1,3 2,7 1,3 1,1 1,5 1,0 0,3 0,3 Em relao altura 1,001 ou 100,1% 0,121 ou 12,1% 0,252 ou 25,2% 0,121 ou 12,1% 0,102 ou 10,2% 0,139 ou 13,9% 0,30 ou 30% 0,30 ou 30%Obs.: valores aproximados.

Partes do corpo Altura longitude dos braos Altura da cabea largura dos ombros do cotovelo s axilas Comprimento da mo Comprimento do p Altura da face (do queixo raiz dos cabelos) do queixo ao nariz da sobrancelha raiz dos cabelos

Em relao face

As medidas sempre esto sujeitas a imprecises, assim como a reproduo da imagem no est na proporo do desenho original. Mesmo assim, as razes obtidas devem se aproximar muito das razes descritas no texto de Da Vinci. Talvez seja necessrio orientar os alunos na identiicao de determinadas distncias entre partes do corpo, como entre o cotovelo e as axilas. O desenho traz marcas que ajudam a perceber o incio e o im de cada membro. importante diferenciar o tamanho da cabea do tamanho da face.

o conceito de razo na Matemtica e saibam reconhec-lo, calcul-lo e problematiz-lo em diversas situaes e problemas. Acreditamos que os exemplos e as situaes-problema apresentados possam contribuir para um aprendizado signiicativo e contextualizado do conceito de razo. A atividade 9, alm de despertar a curiosidade dos alunos em relao ao prprio corpo, envolve uma srie de competncias e habilidades especicas, tais como: leitura e interpretao de texto; observao de imagem; clculo de razes e mdias; realizao de medidas. Do mesmo modo que na Situao de Aprendizagem anterior, o professor poder escolher os instrumentos de avaliao mais apropriados de acordo com as caractersticas do grupo e

Consideraes sobre a avaliaoNo inal deste percurso de aprendizagem, a expectativa de que os alunos compreendam

34

Matemtica 6 - srie Volume 3

de seus objetivos em relao aos alunos: prova, trabalho em grupo, tarefas de casa, etc. As atividades propostas nesta Situao de Aprendizagem podem servir de referncia para a elaborao de questes sobre esse contedo. Espera-se que, ao inal desta Situao de Aprendizagem, o aluno seja capaz de compreender o conceito de razo na Matemtica, sabendo aplic-lo e reconhec-lo em diferentes situaes.

Sendo assim, as expectativas de aprendizagem para essa etapa so: f saber calcular a razo entre duas grandezas de mesma natureza ou de natureza distinta; f conhecer, interpretar e operar os principais tipos de razo: a escala em mapas e plantas, a porcentagem como relao parte/todo, a velocidade, a probabilidade, etc.

SITuAO DE APRENDIzAGEM 3 RAzES NA GEOMETRIAA Geometria pode ser considerada uma das reas da Matemtica em que a noo de proporcionalidade mais se destaca. Observando a ampliao e a reduo de algumas iguras geomtricas, possvel notar que algumas propores se mantm. Em um quadrado, por exemplo, imediato que o aumento de um lado implica um aumento proporcional dos demais lados. O mesmo ocorre com o tringulo equiltero. O objetivo principal desta Situao de Aprendizagem explorar as razes constantes presentes nas iguras geomtricas. Atividades que envolvem ampliao ou reduo de iguras constituem interessantes estratgias didticas para o desenvolvimento da noo de proporcionalidade. Se ampliarmos o comprimento de uma igura em duas vezes, e sua altura em trs vezes, o aluno facilmente veriicar que houve uma distoro, isto , que as partes no aumentaram proporcionalmente. Esse o tema da atividade 1. Em seguida, passamos a investigar as iguras geomtricas mais tradicionais, como o quadrado, o tringulo e a circunferncia. Nessas atividades, o aluno dever veriicar a existncia ou no de uma razo de proporcionalidade constante. A constatao de que a diagonal do quadrado diretamente proporcional ao seu lado levar o aluno a descobrir uma razo constante cujo valor , aproximadamente, 1,4. Ou que o comprimento da circunferncia proporcional ao seu dimetro na razo aproximada de 3,1, razo esta representada pela letra grega (pi). Por outro lado, em outra atividade, ele poder perceber que a medida do cateto oposto de um tringulo no diretamente proporcional medida do ngulo oposto a ele. Por meio desses exemplos, pretende-se que o aluno seja capaz de avaliar em que situaes existe proporcionalidade direta ou no, calculando as razes e comparando-as.

35

Embora o estudo do acontea geralmente a partir da 8a srie, entendemos que sua incluso na 6a srie, sem uma preocupao formal com a ampliao do campo numrico, contribui para a compreenso signiicativa da existncia de uma razo constante nas iguras geomtricas. Alm disso, a partir da caracterizao da razo , exploramos alguns problemas envolvendo a determinao

do comprimento da circunferncia ou do seu dimetro (atividade 6). Por im, exploramos a proporcionalidade existente no retngulo ureo, com a mesma inteno adotada na explorao do e da raiz quadrada de 2, ou seja, de servir como um exemplo ilustrativo e signiicativo da ideia de proporcionalidade nas iguras geomtricas.

tempo previsto: 1 semana. Contedos e temas: proporcionalidade; razo; Geometria. Competncias e habilidades: identiicar situaes em que existe ampliao/reduo proporcional em iguras; conhecer as principais razes constantes presentes em iguras simples: quadrados, tringulos e circunferncias. Estratgias: anlise e resoluo de situaes-problema; discusso coletiva sobre as solues obtidas pelos alunos em cada situao-problema. a) a razo entre as dimenses horizontal e vertical das iguras; b) a razo da ampliao.

Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 3Ampliao de iguras Atividade 1Observe a igura da caravela ao lado, na malha quadriculada. Indique qual das iguras seguintes corresponde ampliao proporcional da caravela original e determine:

36

Matemtica 6 - srie Volume 3

i.

A igura IV a ampliao da igura da caravela original. a) Por meio da malha quadriculada, pode-se perceber que as dimenses da caravela original ocupam 6 quadrados horizontais e 6 quadrados verticais. Portanto, a razo entre as dimenses 1. Somente na igura IV essa razo igual a 1, pois a igura ocupa: 8 quadrados horizontais e 8 verticais. Na igura I a razo de 9 para 6; na igura II, de 6 para 8; na igura III, de 10 para 8. b) A razo de ampliao da igura original foi de 8 para 6, ou aproximadamente 1,33.

ii.

Quadrados: lados, diagonais e a Atividade 2Resolva as questes a seguir: iii.

2

a) Em uma malha quadriculada (1 cm), construa 3 quadrados de lados iguais a 2 cm, 3 cm e 6 cm, respectivamente. Em cada um deles, trace uma diagonal ligando dois vrtices opostos. Mea com uma rgua o comprimento das diagonais obtidas. Os desenhos obtidos devem ser os seguintes:

iV.l1 = 2 cm d1 = 2,8 cm l2 = 3 cm d2 = 4,2 cm l3 = 6 cm d3 = 8,4 cm

b) Construa uma tabela com os valores do lado e da diagonal de cada quadrado.

37

Quadrado Q1 Q2 Q3

lado (l) diagonal em cm (d) em cm 2 3 6 2,8 4,2 8,4

Razo 1,4 1,4 1,4

d l

Obs.: valores aproximados.

c) Duplicando a medida do lado (de 3 cm para 6 cm), em quanto aumenta a diagonal? A medida da diagonal tambm duplica, passando de 4,2 cm para 8,4 cm. d) E triplicando a medida do lado (de 2 cm para 6 cm)? A medida da diagonal tambm triplica, passando de 2,8 cm para 8,4 cm. e) Calcule a razo entre a diagonal e o lado de cada quadrado. Em todos os casos, a razo entre a diagonal e o lado aproximadamente 1,4. f) Existe proporcionalidade entre a medida do lado do quadrado e a medida da sua diagonal? Sim, pois quando aumentamos o lado, a diagonal aumenta na mesma proporo. Alm disso, a razo permanece constante. possvel que alguns alunos obtenham valores um pouco diferentes de 1,4 para as razes. Deve-se discutir com eles que isso se deve ou s imprecises do desenho, ou

aos erros de medida. importante comentar com os alunos que essa razo constante para qualquer quadrado, e que o valor da razo de proporcionalidade obtido (1,4) , na verdade, uma aproximao do valor da raiz quadrada de 2 ( 2 1,414). Esse resultado ser demonstrado nas sries seguintes, com o estudo do teorema de Pitgoras e dos nmeros irracionais.

Quadrados: lados, permetros e reasVimos que a medida da diagonal do quadrado diretamente proporcional medida de seu lado. Ser que o mesmo acontece em relao ao permetro e rea?

Atividade 3Com base no desenho anterior, veriique se h proporcionalidade entre: a) o permetro do quadrado e a medida de seu lado; b) a rea do quadrado e a medida de seu lado. Construa uma tabela e calcule as razes permetro/lado e rea/lado para cada quadrado. Quando dobramos ou triplicamos o lado, o permetro aumenta na mesma proporo, mas a rea no. Portanto, o permetro diretamente proporcional ao lado do quadrado, mas a rea no. Basta observar que a razo permetro/lado constante e igual a 4, mas a razo rea/lado varia. A rea diretamente proporcional ao quadrado do lado.

38

Matemtica 6 - srie Volume 3

Quadrado Q1 Q2 Q3

lado l (cm) 2 3 6

Permetro P (cm) 8 12 24

rea A (cm2) 4 9 36

Razo 4 4 4

P l

Razo 2 3 6

A l

ngulos e lados de um tringuloNa igura a seguir, cada um dos ngulos de um tringulo retngulo foi associado a seu lado oposto. Esse lado o cateto oposto ao ngulo indicado. Por exemplo, o ngulo de 30 tem como cateto oposto o segmento AC. Vamos investigar se existe proporcionalidade entre os ngulos assinalados e as medidas dos catetos opostos correspondentes.D

Atividade 4Com base na igura, resolva as questes a seguir: a) Mea os catetos AB, AC e AD e preencha os valores na tabela. ngulos 15 30 60 Catetos (cm) 1,7 3,8 11,3Obs.: valores aproximados.

b) Duplicando o ngulo de 30, o cateto oposto varia na mesma proporo? No, a medida do cateto oposto ao ngulo de 60 aproximadamente 3 vezes maior que a do cateto oposto ao ngulo de 30. c) Triplicando o ngulo de 30, obtemos um ngulo reto. O que deve acontecer com o cateto oposto? Para o ngulo de 90 no seria possvel construir um cateto oposto, pois as retas seriam paralelas. d) As medidas dos ngulos so diretamente proporcionais s medidas dos catetos opostos a eles? No, pela tabela possvel veriicar que os ngulos no so diretamente proporcionais aos catetos opostos.

C

60o B 30o 15o A

0

39

Circunferncias, dimetros e o nmero Atividade 5Resolva as questes a seguir: a) usando um compasso, desenhe em uma malha quadriculada 3 circunferncias de raios iguais a 1 cm, 2 cm e 3 cm, respectivamente. Trace o dimetro de cada uma delas.

d) Duplicando o dimetro da circunferncia, o que acontece com seu comprimento? O comprimento tambm dobra, passando de 6,3 cm para 12,6 cm. e) E triplicando o dimetro da circunferncia? O comprimento tambm triplica, passando de 6,3 cm para 18,9 cm. f) Calcule a razo entre o comprimento e o dimetro de cada circunferncia.

b) Com o auxlio de um barbante e uma rgua, mea o comprimento de cada circunferncia.

A razo entre o comprimento e o dimetro constante e vale aproximadamente 3,1. g) Existe proporcionalidade entre o comprimento da circunferncia e o dimetro? Sim, pois quando aumentamos o dimetro, o comprimento aumenta na mesma proporo. Alm disso, a razo entre o comprimento e o dimetro permanece constante.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Considere que cada unidade da malha possui 1 cm de lado.

c) Anote os valores obtidos em uma tabela, com as medidas dos dimetros (que equivalem a duas vezes o raio). Razo Compridimetro C Circunferncia mento C d (cm) (cm) d C1 6,3 2 3,1 C2 C3 12,6 18,9 4 6 3,1 3,1

A maior diiculdade que os alunos podem enfrentar em relao medida do comprimento das circunferncias. O uso de um barbante certamente trar imprecises ao processo, seja em funo da sua espessura (o que interfere na tomada da medida), seja porque difcil mant-lo na curvatura exata do desenho. Esse mesmo exerccio pode ser realizado com formas geomtricas reais, tais como uma lata cilndrica, um CD, uma moeda, etc.

Obs.: valores aproximados.

40

Matemtica 6 - srie Volume 3

Jacek/Kino

a) marcar 3 pontos quaisquer A, B e C na circunferncia; b) usando o compasso, traar a mediatriz entre os pontos A e B; c) traar a mediatriz dos pontos B e C; d) a interseo das duas mediatrizes ser o centro da circunferncia. A partir do centro, pode-se traar o dimetro da circunferncia e medi-lo com uma rgua. a)B

b)B

C

A

C

A

Carlos Terrana/Kino

c)B

d)B

Juca Martins/ Pulsar Imagens

C

A

C

A

Esses objetos facilitam a medida do comprimento da circunferncia. Contudo, torna-se um pouco mais complexa a tarefa de medir o dimetro, pois no h uma referncia clara do centro da circunferncia. Tal diiculdade pode ser superada solicitando aos alunos que desenhem a circunferncia desses objetos em uma folha de papel. A partir do desenho, possvel achar o centro da circunferncia da seguinte forma:

O resultado da atividade 5 merece um destaque especial. A razo de proporcionalidade resultante do quociente entre o comprimento da circunferncia e seu dimetro to importante, to especial que representada pela letra do alfabeto grego. Na verdade, esse resultado no exato, mas uma aproximao de

41

um nmero que possui ininitas casas decimais: 3,141592653... .Esse resultado ser retomado na 8a srie, com o estudo dos nmeros irracionais e da circunferncia. Contudo, como essa razo constante para qualquer circunferncia, pode-se montar uma frmula para calcular o comprimento da circunC vale aproximadamente 3,1, ento ferncia. Se D o comprimento C igual a 3,1 vezes o dimetro D. Assim, temos a frmula C = 3,1 . D. Vamos explorar essa ideia na prxima atividade.

cilndrica. O resultado dessa medida foi 62 cm. Qual o dimetro dessa lata? Nesse caso, temos o comprimento e precisamos achar o dimetro. Ento, basta dividir o comprimento de 62 cm por 3,1, obtendo 20 cm, que o dimetro da lata cilndrica. d) O aro de uma bicicleta mede aproximadamente 40 cm. A espessura do pneu de aproximadamente 3 cm. Qual o comprimento da roda dessa bicicleta? Qual a distncia que essa bicicleta deve percorrer em 10 pedaladas? A medida do raio da roda aproximadamen-

Atividade 6Resolva os problemas a seguir usando a frmula do comprimento da circunferncia. a) Construir uma circunferncia de dimetro igual a 10 cm. Qual o comprimento aproximado dessa circunferncia? Se o dimetro da circunferncia vale 10 cm, o comprimento ser aproximadamente igual a 3,1 . 10 cm = 31 cm. b) uma pista de corrida foi construda com a forma de uma circunferncia. Sabendo que o dimetro dessa pista mede 2 km, calcule o comprimento da pista inteira. O dimetro da pista circular mede 2 km. Ento, o comprimento da pista 3,1. 2 km = 6,2 km. c) usando um barbante, mediu-se o comprimento da circunferncia de uma lata

te a medida do aro mais a espessura do pneu (40 cm + 3 cm = 43 cm). Como o dimetro o dobro do raio, ento ele vale 86 cm. O comprimento da roda igual a 3,1. 86 cm = 266,6 cm. Como, a cada pedalada, a bicicleta percorre a distncia equivalente ao comprimento da roda, em 10 pedaladas a bicicleta percorrer 10 . 266,6 cm = = 2 666 cm ou 26,6 metros.

Retngulo ureoA igura seguinte chamada de retngulo ureo. Dentro dele est representada uma espiral, cujo formato lembra o de uma concha conhecida como Nautilus. No Caderno do Aluno, na seo Leitura e Anlise de Texto, h mais informaes sobre este assunto.

42

Matemtica 6 - srie Volume 3

Lado maior a

Gavin Kingcome/SPL-Latinstock

Lado menor b

43

O retngulo ureo muito conhecido devido proporcionalidade existente entre suas partes. Por exemplo, se tomarmos a razo entre o maior lado e o menor lado do retngulo maior, ela ser igual razo entre o menor lado e a diferena entre eles. a b = b ab Dito de outra maneira, se do retngulo maior tirarmos um quadrado de lado igual ao lado menor, o retngulo que sobra ser proporcional ao primeiro retngulo. Essa propriedade mais bem entendida por meio da sequncia de iguras abaixo. 1-)o

A razo entre o maior e o menor lado de cada retngulo assinalado deve ser sempre a mesma. Isso d a essa igura uma ideia de proporcionalidade contnua entre o todo e suas partes.

Atividade 7Tomando como base o retngulo ureo, apresentado na pgina anterior, resolva as questes a seguir: a) tire as medidas dos lados dos quatro primeiros retngulos assinalados e registre-as em uma tabela; b) calcule a razo aproximada entre as medidas do lado maior e do lado menor de cada retngulo.Retngulo 1o lado maior (cm) 15,9 9,8 6,1 3,7 lado menor (cm) 9,8 6,1 3,7 2,3 Razo 1,6 1,6 1,6 1,6

-) 2o

2o 3 4o o

Obs.: valores aproximados.

-) 3o

c) H proporcionalidade entre os retngulos assinalados? Sim, pois a razo aproximadamente 1,6 para todos os retngulos medidos.Nessa ltima atividade, exploramos a razo urea. Do mesmo modo que o pi, o valor da razo urea simbolizado por uma letra do alfabeto grego, o i: . Ele tambm um nmero irracional, possuindo ininitas casas decimais no peridicas. No o caso de comentar essas caractersticas na 6a srie. Para os alunos, o importante nesse momento observar situaes de proporcionalidade em iguras geomtricas, o que foi feito ao longo desta Situao de Aprendizagem.

-) 4o

44

Matemtica 6 - srie Volume 3

Consideraes sobre a avaliaoAo inal desta Situao de Aprendizagem, espera-se que os alunos sejam capazes de reconhecer a existncia de proporcionalidade em iguras geomtricas, por meio do clculo da razo de proporcionalidade. Alm disso, eles devem conhecer as principais razes existentes na Geometria como a razo entre a diagonal e o lado do quadrado ( 2 ) e a razo entre o comprimento e o dimetro da circunferncia (). Essa mais uma etapa do aprendizado de proporcionalidade, que vai acompanhar

o aluno ao longo de sua vida escolar. Particularmente, as razes constantes em iguras geomtricas sero fundamentais para o posterior estudo da semelhana geomtrica e da trigonometria. A avaliao da aprendizagem dos alunos em relao ao contedo estudado pode ser feita a partir da aplicao das atividades propostas ao longo da Situao de Aprendizagem. H de se ter ateno especial em relao s construes geomtricas e as medidas, principalmente no caso da representao de quadrados e circunferncias.

SITuAO DE APRENDIzAGEM 4 GRFICO DE SETORES E PROPORCIONALIDADEA Situao de Aprendizagem 4 trata do estudo dos gricos de setores relacionado ao tema central deste Caderno, que a proporcionalidade. Esse um contedo bastante pertinente, pois articula dois dos principais blocos temticos do currculo de Matemtica: o eixo denominado grandezas e medidas e o eixo tratamento da informao. Isso para no falar da proximidade com os eixos de Geometria e nmeros e operaes, que tambm esto presentes na elaborao dos gricos de setores. A elaborao e a interpretao de gricos de setores envolvem, por um lado, a noo de proporcionalidade e a expresso da razo parte/todo na forma percentual. De outro lado, a capacidade de representar informaes por meio de tabelas e gricos. Antes de iniciar a Situao de Aprendizagem, o professor deve avaliar os conhecimentos prvios dos alunos em relao a alguns conceitos e vocabulrios geomtricos, tais como: ngulo central, arco de circunferncia, setor circular, grau, etc. Feito isso, poder encaminhar a realizao das atividades propostas, que culminaro com a construo de um grico de setores pelos alunos. Propomos, inicialmente, algumas atividades que exploram a proporcionalidade na circunferncia (entre ngulos e arcos). A atividade 1 explora a relao de proporcionalidade existente entre a medida do ngulo central e o comprimento do arco em uma circunferncia. Na atividade 2, os alunos usaro a noo de proporcionalidade para identiicar e calcular o deslocamento dos ponteiros das horas e dos minutos em um

45

relgio. Nessa atividade, os alunos tero de lanar mo dos conhecimentos aprendidos nas Situaes de Aprendizagem anteriores, como o clculo de variaes diretamente proporcionais. Em seguida, passamos s situaes-problema relacionadas diretamente aos gricos de setores. Primeiramente, so propostas atividades de interpretao e leitura de gricos de setores, nas quais os alunos devem retirar informaes do grico e obter porcentagens

e valores absolutos. Em seguida, eles devem usar o transferidor para medir os ngulos correspondentes aos setores circulares em um grico e transform-los em porcentagens. Essa Situao de Aprendizagem busca criar condies para que, progressivamente, por meio das atividades propostas, o aluno aproprie-se da leitura de um grico de setores e de sua respectiva construo, a partir de informaes contidas em uma tabela.

tempo previsto: 1 semana. Contedos e temas: arcos, ngulos centrais e setores circulares em uma circunferncia; proporcionalidade; porcentagem. Competncias e habilidades: calcular porcentagens a partir da razo entre as partes e o todo de uma situao-problema; conhecer a relao de proporcionalidade entre ngulos e arcos em uma circunferncia; representar porcentagens em gricos de setores, fazendo a correspondncia em graus de forma proporcional; usar o transferidor para representar setores circulares correspondentes a determinados ngulos. Estratgias: explorao, resoluo e discusso de situaes-problema envolvendo os diferentes tipos de razo; construo de gricos de setores a partir de tabelas.