Magda Gertrudes Schmidt-PONTO4

7/21/2019 Magda Gertrudes Schmidt-PONTO4

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Magda Gertrudes Schmidt

GEOMETRIA PLANA COM AUXILIO DO SOFTWARE RGUA E

COMPASSO

Santa Maria, RS2008


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Magda Gertrudes Schmidt

GEOMETRIA PLANA COM AUXILIO DO SOFTWARERGUA E

COMPASSO

Trabalho Final de Graduao apresentado ao Curso de Matemtica rea deCincias Naturais e Tecnolgicas, do Centro Universitrio Franciscano, comorequisito parcial para obteno do grau de Licenciado em Matemtica.

_________________________________________

Leila Brondani Pincolini Orientadora (Unifra)

_________________________________________

Ana Maria Beltrame (Unifra)

_________________________________________

Ana Maria Coden Silva (Unifra)

Aprovado em ......... de ................................. de


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RESUMO

Atualmente, o mundo est cada vez mais repleto de novas tecnologias, mas no

ensino mundial, ainda se encontram escolas que no dispem desses artifcios.

Com isso, procura-se por meio dessa pesquisa mostrar como ensinar a matemtica,

como ela pode ser prtica se trabalhada de uma maneira mais ampla. Deve-se

instigar o aluno a buscar novas tecnologias de ensino, pois, muitas vezes, a

matemtica vista de forma descritiva, e no como uma metodologia para a

construo do conhecimento matemtico. Tendo como base a aplicao da

Geometria Euclidiana, um software inovador que oferecido gratuitamente para

trabalhar a matemtica, o Rgua e Compasso, prtico para a construo de figuras

geomtricas, pois ao realizar as atividades, o aluno constri seu prprio

conhecimento. Nesse trabalho, estudou-se a histria da geometria, seus conceitos,

axiomas, teoremas, corolrios e propriedades. Para isso, desenvolveram-se

atividades por meio de construes geomtricas aplicadas ao software.

Palavras-chave:software rgua e compasso, construes geomtricas.

ABSTRACT

At present, the world is becoming a place full of technology, but in the educational

system, it is also possible to find some schools that do not make use of these

artifices. With this, it looks by this research to show how to teach the Mathematics,

how it can be practice if it worked in an ampler way. It must instigate the pupil to

look for new education technologies, because, many times, the Mathematics is

treated only by the descriptive form, and not as a methodology for the constructionof the mathematical knowledge. Having as base of the application of Euclidean

Geometry, innovated software that is offered gratuitously to work the Mathematics,

the Ruler and Compass, practical for the construction of geometric figures. By

carrying out the activities, the pupil constructs his own knowledge. In this work, it

was analyzed the geometrys history through its concept, theorems, corollaries and

properties. For this purpose, it was developed some activities due to applied

geometric figures to the software.


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Keywords: Software Ruler and Compass, Constructions Geometric.

SUMRIO

1. INTRODUO ......................................................................................................... 6

2.REFERENCIAL TERICO.........................................................................................6

2.1 HISTRIA DA GEOMETRIA..................................................................................7

2.2. A GEOMETRIA EM SALA DE AULA .................................................................7

3. DESENVOLVIMENTO..............................................................................................9

3.1. RGUA E COMPASSO...........................................................................................9

3.2. O PONTO, RETA E PLANO...................................................................................11

3.3. NGULOS...............................................................................................................153.4 TRINGULOS CONGRUENTES...........................................................................20

3.5. O TEOREMA DO NGULO EXTERNO E SUAS CONSEQENCIAS.............23

3.6. AXIOMAS DAS PARALELAS.............................................................................. 26

3.7. SEMELHANA DE TRINGULOS......................................................................33

4. CONCLUSO ............................................................................................................36

5. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................................37


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1. INTRODUO

A informtica est cada vez mais presente no cotidiano dos professores ealunos. O uso das novas tecnologias trs significativas contribuies para se

repensar o processo de ensino-aprendizagem da Matemtica medida que

auxiliam na construo do conhecimento do aluno.

Tendo em vista nesta necessidade foi realizada uma pesquisa bibliogrfica

para trabalharmos e aplicarmos a geometria euclidiana em sala de aula atravs do

softwareRgua e Compasso.

Com isso, procuramos despertar no aluno um interesse e o gostar da

matemtica de modo que a aprendizagem acontea. Alm disso, o software que o

aluno visualize as figuras geomtricas, como se realizou a construo, passo-a-

passo seguindo as regras da geometria.

Dentro desse amplo espao que a informtica oferece, destacamos os

softwares educativos que se tornam responsveis pelo processo de ensino-

aprendizagem. Dos diversos softwares dispostos na rede, escolhemos o Rgua e

Compasso, porque est disponvel gratuitamente na rede, e portanto de fcil

acesso aosprofessores e alunos e possibilita vrias atividades.

Neste trabalho desenvolvemos algumas atividades relacionadas s

construes geomtricas, com auxlio do software Rgua e Compasso, para o

ensino da geometria plana e Euclides o grande idealizador dessa geometria.

2. REFERENCIAL TERICO

2.1 HISTRIA DA GEOMETRIA

A histria da geometria constitui como um de seus tpicos as construes

geomtricas. Seu grande idealizador Euclides elaborou os Elementos, compostos por

definies e proposies.

Para Euclides, o devido reconhecimento pelo seu notvel trabalho sobre

matemtica elementar (aritmtica, geometria e lgebra geomtrica) desenvolvido


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numa seqncia lgica postulacional contido em treze livros Bblia. O rigor

matemtico euclidiano transformou Os Elementos em uma obra incontestvel por

toda a idade mdia e moderna. Somente em 1829, Lobachewsky, publica um artigo

questionando a validade da definio de retas paralelas contida no Livro I postulado

V de Os Elementos, surge ento a geometria no-euclidiana.

Segundo o historiador grego Herdoto (sc. V a.C.), a geometria (geo-terra e

metron-medida) nasceu provavelmente no antigo Egito. Aristteles (384-322 a.C.,

aprox.) achava que a existncia no Egito de uma classe sacerdotal que tinha

conduzido ao estudo da geometria. No podemos contestar com segurana nem

Herdoto nem Aristteles, quanto motivao que produziu a geometria, mas claro

que muitas outras civilizaes antigas possuam conhecimentos de natureza

geomtrica, da Babilnia China, passando pelas civilizaes Hindus.

2.2 A GEOMETRIA EM SALA DE AULA

Hoje a geometria apresentada por Euclides chamada de geometria

euclidiana para podermos distinguir das outras geometrias, como a plana, analtica,

que foram descobertas no sculo XIX.

Geometria vem da origem dos gregos que se trata da medida (metria) da terra

(Geo). A Geometria estudada na matemtica, e nesta estudamos as figuras

geomtricas e as caractersticas de cada uma delas.

A geometria um ramo da matemtica que estuda as formas, planas e

espaciais, com as suas propriedades. A geometria est apoiada sobre alguns axiomas,

postulados, definies, teorema e corolrios. Sendo que essas afirmaes e definies

so usadas para demonstrar a validade de cada teorema. A geometria permite-nos o

uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como:

pontos espaciais, retas espaciais, planos dos mais variados tipos, ngulos, mdias,centros de gravidade de objetos, etc.

Segundo BARBOSA (2005),a geometria como qualquer sistema dedutivo,

muito parecida com um jogo: partimos com um certo conjunto de elementos (pontos,

retas, planos) e necessrio aceitar algumas regras bsicas que dizem respeito as

relaes que satisfazem estes elementos, as quais so chamadas de axiomas. J

ouvimos falar em um ponto, uma reta, um plano. J observamos estes trs em algum

lugar no espao? Por exemplo, quando olhamos para o cu, as estrelas do idia deum ponto.


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Quando olhamos para o sol temos uma idia de reta. E ao avistarmos um lago

ou um mar, percebemos que temos a idia de um plano. De acordo com os PCNs o

trabalho com espao e forma pressupe que o professor de Matemtica explore

situaes em que sejam necessrias algumas construes geomtricas com rgua e

compasso, como visualizao e aplicao de propriedades das figuras, alm da

construo de outras relaes. A utilizao de papel quadriculado ou milimetrado,

alm de instrumentos como transferidor e compasso e ou softwares facilitam a

aprendizagem do aluno.

Conforme BORBA e PENTEADO (2003), a informtica um tema de

grande discusso que busca sua contnua insero no ensino da Matemtica. Porm,

aliar recursos computacionais a contedos matemticos requer preparao e

investigao na escolha de softwares adequados e viveis que possam auxiliar no

exerccio desta prtica, possibilitando tanto aos alunos, como aos professores o

aprimoramento de seus conhecimentos.

Ao analisarmos o uso da Informtica em educao, em particular, na

Educao Matemtica, significa no apenas desenvolver um estudo sobre a realidade

especfica representada pelo contexto onde se pretende introduzir o uso de novas

tecnologias em atividades de ensino, mas, sobretudo identificar grandes temas a

partir dos quais possvel extrair importantes elementos para a compreenso da

complexa relao que envolve Informtica e a Educao Matemtica.

Portanto, uma das questes mais polmicas que surge destacar neste trabalho

como professores, que durante o curso de formao no tiveram nenhuma

experincia com computador e pouco o utilizam em suas atividades, compreendem a

importncia deste computador no desenvolvimento de seu trabalho e orientam na

escolha responsvel de seu uso.

Com isso, foi proposto neste trabalho mostrar um software de matemtica, o

Rgua e Compasso, que nos mostra como construmos as figuras atravs de todos os

passos para chegar a figura desejada, e atravs destas verificar axiomas e

propriedades.


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3. DESENVOLVIMENTO

Inicialmente falamos um pouco sobre o software Rgua e Compasso e suas

potencialidades, posteriormente sero desenvolvidos os conceitos e propriedades da

geometria com ilustraes e verificaes feitas atravs de construes no softwarergua e compasso, dessas construes sero omitidos os passo, visto que eles so

elementares.

3.1 RGUA E COMPASSO

O software C.a.R. uma abreviao de Compass and Ruler que significa

Compasso e Rgua, desenvolvido pelo professor Ren Grothmann da Universidade

Catlica de Berlim, na Alemanha. O C.a.R. est escrito na linguagem Java, temcdigo aberto e roda em qualquer plataforma Microsoft Windows, Linux,

Macintosh.

Diferentemente do que ocorre com a rgua e compasso tradicionais, as

construes feitas com o software Rgua e Compasso so dinmicas e iterativas,

tornando o programa um timo laboratrio de aprendizagem de geometria. O aluno

ou professor, pode testar suas conjecturas atravs de exemplos e contra-exemplos

que os mesmos podem criar.

Depois de feitas as construes tais como pontos, retas e crculos, esses

elementos podem ser deslocados na tela sem alterar as relaes geomtricas

previamente estabelecidas (pertinncia, paralelismo, etc.), permitindo assim que o

aluno (ou o professor), ao invs de gastar o seu tempo com detalhes de construo

repetitivos, se concentre na associao existente entre os objetos.

As construes podem ser realizadas apenas com cliques no boto esquerdo

do mouse. Aps o primeiro clique, o objeto a ser construdo constantemente

exibido at que se decida onde coloc-lo. O programa possui recursos de animao

(incluindo a produo de traos de pontos mveis).

O programa tem quatro reas principais: menu principal, barra de

ferramentas, rea de trabalho e rea de dicas e ajuda. A interface dele de simples

manipulao e pode ser vista na figura 1.


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Fig. 1 Interface do Software Rgua e Compasso

Alguns comandos que sero utilizados para a realizao das atividades que

esto dispostos na barra de ferramentas so:

1. Ponto - 7. Ocultar objeto -

2. Segmento - 8. ngulos -

3. Semi Reta - 9. Mover Ponto -

4. Perpendicular - 10. Compasso -

5. Reta - 11. Ponto Mdio -

6. Reta Paralela -

3.2. O PONTO, A RETA E O PLANO

Na geometria pontos, retas e planos so aceitos sem definio, por essa razo

so denominados conceitos primitivos. Pontos so denotados por letras maisculas,

retas por letras minsculas e planos por letras gregas, como na figura 2.


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Fig. 2 Ponto, reta e plano

Definio 1: Trs ou mais pontos pertencentes a uma mesma reta so denominados

colineares.

3.2.1 POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS

Definio 2: Retas paralelas so retas que no tm ponto em comum e esto nomesmo plano, observe a figura 3.

Notao:s//t

Fig. 3 Retas paralelas


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Definio 3: Retas concorrentes so retas que se cruzam, ou seja, retas que tm

apenas um ponto comum, veja figura 4.

Notao: u x t

.

Fig. 4 Retas concorrentes

Definio 4: Duas retas so coincidentes quando em um plano elas possuem todos os

pontos em comum.

Notao: m t

Fig. 5 Retas coincidentes


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Definio 5: Dados dois pontos A e B, o segmento de reta definido pelos pontos A e

B, o conjunto formado pelos pontos A e B e por todos os pontos que esto entre A

e B.

Definio 6:Dois segmentos de reta so consecutivos quando possuem um extremo

em comum, veja figura 6.

Fig. 6 Segmentos consecutivos

Definio 7: Dois segmentos so colineares quando eles esto sobre uma mesmareta.

Fig. 7 Segmentos colineares

Definio 8: Dois segmentos de reta soadjacentes quando tm apenas um pontoem comum e esto na mesma reta, ou seja, so consecutivos e colineares ao mesmo

tempo.


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Fig. 8 Segmentos adjacentes

Definio 9: Semi reta com origem A passando pelo ponto B, o conjunto formado

pelo segmento AB e por todos os pontos C, tais que B est entre A e C.

Fig. 9 Semi reta

3.2.2 MEDIDA DE UM SEGMENTO DE RETA

Realizar a medida de um segmento de uma reta deve-se medir o seu

comprimento. Ou seja, realizar a comparao de um segmento com o outro, tomando

uma unidade de medida, onde u ser a unidade de medida.


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Fig. 10 Medida de um segmento (u)

Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados em correspondncia

biunvoca com os nmeros reais, de modo que a diferena entre estes nmeros mea

a distncia entre os pontos correspondentes. Ao estabelecer a correspondnciabiunvoca entre os nmeros reais e os pontos da reta, a prpria reta torna-se como

que uma rgua infinita que pode ser usada para medir o comprimento de segmentos

nela contidos.

Usando o software para efetuar a medida de um segmento, clica-se com o

boto esquerdo do mouse sobre o segmento, aparecer a janela, veja figura 11,

contendo a medida do segmento. Para que ela fique visvel no segmento, figura 11,

deve-se clicar no boto e posteriormente no boto .

Fig. 11 Medida de um segmento

Fig. 12 Segmento com correspondente medida


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3.3 NGULOS

Definio 10: Chamamos de ngulo a figura formada por duas semi-retas com a

mesma origem, veja figura 13, as semi retas so chamadas de lados do ngulo e a

origem comum, de vrtice do ngulo. Na figura 13, utilizou a opo semi-reta para

construir o ngulo BOA .

Fig. 13 ngulo

3.3.1 MEDIDA DE UM NGULO

Determinar a medida de um ngulo medir a abertura entre seus lados.

Fig. 14 Medida de um ngulo

Um instrumento para medir ngulos o transferidor. Um transferidor

dividido em 360 partes iguais, cada uma denominada grau.


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Fig. 15 Transferidor 360 partes Fig. 16 Transferidor de 180partes

Para realizar a medida de um ngulo, devemos centrar o transferidor

coincidindo com o vrtice do ngulo de forma que a marca 0 esteja sobre um dos

lados desse ngulo.

Todo ngulo tem uma medida maior ou igual a zero. A medida de ngulo

zero se e somente se ele constitudo por duas semi retas coincidentes.

Usando o software para medir um ngulo, efetua-se o mesmo procedimento

para medida de um segmento, neste caso na janela, figura 14, aparecer a medida do

ngulo.

3.3.2 CLASSIFICAO DOS NGULOS

Os ngulos podem ser classificados de acordo com a abertura entre seus lados.

Definio 11:Um ngulo reto um ngulo cuja medida exatamente 90 (ou /2

radianos). Assim os seus lados esto localizados sobre retas perpendiculares.


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Fig. 17 ngulo Reto

Definio 12: ngulo agudo o ngulo cuja medida maior do que 0 (ou 0

radianos) e menor do que 90 (ou /2 radianos).

Fig. 18 ngulo Agudo

Definio 13: ngulo obtuso um ngulo cuja medida est entre 90 e 180 (ou

entre /2 e radianos).

Fig. 19 ngulo Obtuso

Definio 14: ngulo nulo um ngulo que mede 0 ou 0 radianos, isto ,

formado por duas semi-retas coincidentes.


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Definio 15:ngulo raso o ngulo que mede exatamente 180 (ou radianos), os

seus lados so semi-retas opostas.

Definio 16:ngulo plano o ngulo que mede 360.

3.4 CONGRUNCIA DE TRINGULOS

Inicialmente definimos tringulo e qual sua classificao quanto aos lados e

ngulos.

Definio 17: Tringulo a figura formada por trs pontos no-colineares e pelossegmentos determinados por esses trs pontos. Os pontos so chamados vrtices do

tringulo e os segmentos so chamados lados do tringulo.

Fig. 20 - Tringulo

3.4.1 CLASSIFICAO DOS TRINGULOS QUANTO AOS LADOS

Definio 18: Tringulo eqiltero o tringulo que possui todos os lados

congruentes, isto , com a mesma medida.

Para a construo do tringulo eqiltero usando o software procede-se do seguinte

modo:


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1 Constri-se um segmento qualquer AB;

2 Com a opo compasso constroem-se duas circunferncias, uma de centro A eraio AB e outra de centro B e raio AB;

3 A figura formada pelo segmento AB e pelos segmentos determinados pelos

pontos A e B e a interseo das circunferncias um tringulo eqiltero.

Fig. 21 Tringulo eqiltero

Comentrio: Atravs da construo o aluno pode verificar que o tringulo possui

todos os lados congruentes, portanto eqiltero e ainda que todos os ngulos

medem 60.

Definio 19: Um tringulo dito issceles quando possui dois lados com a mesma

medida. Os lados congruentes so chamados laterais e o lado no congruente

chamado base.

Para a construo do tringulo issceles com auxlio do software, utiliza-se o

seguinte procedimento:

1 Constri-se um segmento qualquer AB;


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2 Com a opo compasso, constroem-se duas circunferncias, uma de centro A e

raio qualquer e, outra de centro B e mesmo raio utilizado na construo da

circunferncia anterior.

3 A figura formada pelo segmento AB, e pelos segmentos determinados pelos

pontos A e B com a interseo das duas circunferncias um tringulo issceles.

Fig. 22 Tringulo issceles

Comentrio: Atravs da construo o aluno pode verificar que o tringulo possui

dois lados congruentes, portanto issceles e ainda que possui dois dos ngulos

congruentes e que a altura, mediana e bissetriz relativas a base desse tringulo

possuem a mesma medida. As definies de altura, mediana e bissetriz podem ser

encontradas em BARBOSA.

Definio 20: Um tringulo dito escaleno se os seus lados possuem medidas

diferentes.

3.4.2 CLASSIFICAO DOS TRINGULOS QUANTO AOS NGULOS

Definio 21: Um tringulo dito acutngulo se possui todos os ngulos agudos.

Definio 22:Um tringulo dito obtusngulo se possui um ngulo obtuso.


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Definio 23:Um tringulo dito retngulo se possui um ngulo reto. Os lados que

formam o ngulo reto so chamados catetos e o lado que no forma o ngulo reto

chamado hipotenusa.

Fig. 23 Acutngulo, Retngulo e um Obtusngulo.

3.5 CONGRUNCIA DE TRINGULOS

Definio 24: Dizemos que dois segmentos AB e CD so congruentes quando

AB =CD .

Definio 25: Dizemos que dois ngulos e B so congruentes se eles tm a

mesma medida. A notao e o smbolo so =, para significar congruente.

Definio 26: Dois tringulos so congruentes se for possvel estabelecer uma

correspondncia biunvoca entre seus vrtices de modo que lados e ngulos

correspondentes sejam congruentes. Assim, para determinar a congruncia de dois

tringulos olhamos para seis elementos em cada tringulo (trs lados e trs ngulos)e

comparamos as medidas. Podemos simplificar a anlise da congruncia de tringulos

considerando os trs casos de congruncia.

Teorema 1: (1 caso de congruncia de tringulos). Se dois tringulos possuem

dois ngulos congruentes e o lado adjacente a esses ngulos congruentes, ento os

tringulos so congruentes.


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Verificao: Construa dois tringulos de tal forma que dois ngulos do segundo

sejam congruentes a dois ngulos do primeiro e que, o lado adjacente a esses ngulos

sejam congruentes, verifica-se que os lados correspondentes do tringulo so

congruentes e que os ngulos correspondentes so congruentes, sendo assim os


Fig. 24 1 Caso de Congruncia de Tringulos

Teorema 2: (2 caso de congruncia de tringulos). Se dois tringulos possuem

dois lados congruentes e o ngulo formado por esses dois lados congruentes ento os


Verificao: Construa dois tringulos com as propriedades descritas na hiptese e

observe que com essas condies os tringulos serocongruentes.


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Fig. 25 2 Caso de Congruncia

Teorema 3: (3 caso de congruncia): Se dois tringulos tem trs lados

correspondentes congruentes ento os tringulos so congruentes.

Verificao: Construa dois tringulos com os trs lados correspondentes

congruentes. Verifique que os ngulos correspondentes so congruentes, sendo assimos tringulo sero

congruentes.

Fig. 26 3 Caso de Congruncia


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3.5 O TEOREMA DO NGULO EXTERNO E SUAS CONSEQNCIAS

Definio 27: Se ABC um tringulo, os seus ngulos AB C, BC A e CB so

chamados de ngulos internos ou simplesmente de ngulos do tringulo. Ossuplementos destes ngulos so chamados de ngulos externos do tringulo.

Teorema 4:Todo ngulo externo de um tringulo mede mais do que qualquer um

dos ngulos interno a ele no adjacentes.

Fig. 24 Teorema do ngulo externo

Verificao:

1. Construa um tringulo ABC.

2. Marque um ponto D sobre a reta AC.3. Marque os ngulos ABC, BCA e BAD.

4. Calculamos a medida dos segmentos CA, AB e BC.

5. Ao medirmos os ngulos internos, percebemos que o ngulo externo maior do

que qualquer um dos ngulos internos a ele no adjacentes, que satisfaz a condio.

Comentrio: Apartir da construo acima, figura 24, observa-se que a medida do

ngulo externo do tringulo igual soma das medidas dos ngulos internos no

adjacentes ele.


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Teorema 5: (Condio de existncia de tringulos): Em qualquer tringulo a

medida de um lado sempre menor que a soma das medidas dos outros dois.

Verificao: Construa um tringulo qualquer, mea os seus lados, compare a medida

de qualquer de seus lados e verifique que esta medida sempre menor que a soma

das medidas dos outros dois lados, se forem efetuadas manipulaes nos vrtices

desse tringulo a propriedade permanece vlida. Observe que se a condio do

teorema no se verifica impossvel construir um tringulo.

Fig. 25 Medida dos lados de um tringulo

3.6 O AXIOMA DAS PARALELAS

Axioma: Por um ponto fora de uma reta passa uma nica paralela.

A seguir apresentamos algumas condies para que duas retas sejam

paralelas.

Teorema 6:Duas retas paralelas determinam ngulos alternos internos congruentes.

Verificao: Construa duas retas paralelas e verifique que a medida dos ngulos

alternos internos so congruentes.


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Fig. 26 Axioma das Paralelas

Comentrio: verifica-se tambm que se duas retas so paralelas os ngulos

correspondentes so congruentes e a soma das medidas de dois ngulos colaterais

180.

Com o auxlio do axioma das paralelas, pode-se mostrar que a soma dos

ngulos internos de um tringulo mede 180.

Teorema 7: A soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo igual a

180.

Verificao:

1. Construa um tringulo qualquer ABC.

2. Pelo vrtice C construa uma paralela ao lado AB.

3. Construa dois pontos X e Y sobre a paralela construda, de modo que C esteja

entre X e Y.

4. Faa a marca de ngulo para os seguintes ngulos: ABC, BAC, ACB, ACX e

BCY. Observe que pela construo o ngulo XCY raso.


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5. Observe que os ngulos, ACX, ACB e BCY juntos compem o ngulo raso XCY

e a medida desses ngulos que estes ngulos, usando o teorema6, corresponde

exatamente a medida dos ngulos internos do tringulo.

6. Use a calculadora e confirme que a soma dos ngulos internos de um tringulo

180 graus.

Fig. 27 Soma dos ngulos internos de um tringulo

Teorema 8: Se m e n so retas paralelas, ento todos os pontos de m esto a mesmadistncia da reta n.

Verificao:

1 - Construir duas retas paralelas;

2 Determinar dois segmentos que correspondem a distncia entre as duas retas;

3 Medir os segmentos e verificar que suas medidas so iguais

Fig. 28 Distncia dos segmentos de duas retas paralelas


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3.6.1 QUADRILTEROS

Definio 28: O paralelogramo um quadriltero que possui seus lados opostos

paralelos.

Para a construo de um paralelogramo no rgua e compasso utiliza-se os

seguintes passos:

1. Construa uma reta AB.

2. A partir de AB, trace uma paralela CD.

3. Unindo os pontos AD e BC, obtemos um paralelogramo.

4. Analisando o paralelogramo temos que, AB//CD e AD// BC.

A partir da construo, figura 29 pode-se verificar as seguintes propriedades

com relao aos paralelogramos:

Propriedade 1: As diagonais de um paralelogramo se interceptam nos respectivos

pontos mdios.

Fig. 29 Paralelogramo

Propriedade 2: Os lados e ngulos opostos do paralelogramo so congruentes.


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Definio 29:O retngulo um quadriltero que possui seus quatro ngulos retos.

Para construir um retngulo atravs do software, procede-se do seguinte modo:

1. Construa um segmento CD.

2. Trace uma perpendicular ao ponto D e outro ao ponto C.

3. Trace uma paralela ao segmento CD passando por um ponto A de uma das

perpendiculares construdas.

4. Essa paralela interceptar em um ponto B.

5. Unindo-se os pontos A, B, C e D, tem-se um retngulo.

Verifica-se atravs de manipulaes convenientes no software que:

Propriedade 1:As diagonais de um retngulo so congruentes, e se interceptam nos

respectivos pontos mdios.

Fig. 30 Retngulo

Propriedade 2: Os lados opostos do retngulo so paralelos e congruentes, assim

todo retngulo um paralelogramo.

Definio 30:O losango um quadriltero que possui os quatro lados congruentes.

Para construir um losango procede-se do seguinte modo:

1. Trace uma semi -reta AD.

2. Com a ferramenta compasso faa a medida do segmento AD e DA.

3. Com centro no ponto A traamos o segmento AB, assim traamos uma segunda

que ser paralela ao segmento AB e esta ser o segmento DC.


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4. Com a ferramenta compasso concentramos no ponto B e D o mesmo e temos um

ponto de interseco que o ponto A. Logo traamos duas perpendiculares obtemos

o losango.

Os losangos satisfazem as seguintes propriedades:

Propriedade 1:As diagonais de um losango so perpendiculares e so as bissetrizes

dos ngulos correspondentes aos vrtices que unem.

Fig. 31 Losango

Propriedade 2: Todo losango paralelogramo.

Definio 31:O quadrado um quadriltero que possui os quatro lados iguais e os

quatro ngulos retos.

1. Construa um segmento AB.

2. Pelos pontos A e B trace perpendiculares a reta AB.

3. Com a opo compasso, centro em A e raio AB construa uma circunferncia, a

qual intercepta a perpendicular passando por A, no ponto D.


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4. Com a opo compasso, centro em B e raio AB construa uma circunferncia, a

qual intercepta a perpendicular passando por B, no ponto C.

5. O quadriltero determinado pelos pontos A, B, C e D um quadrado.

Propriedades dos quadrados:

Propriedade 1: As diagonais so iguais, perpendiculares e bissetriz dos ngulos

cujos vrtices se unem.

Fig. 32 Quadrado

Propriedade 2: Todo quadrado retngulo e losango.

Como uma conseqncia do axioma das paralelas tem-se tambm o teorema deTales.

Teorema 9: (Teorema de Tales)Suponha que trs retas paralelas a, b, e c cortam as

retas t e t' nos pontos A,B e C e nos pontos A', B' e C', respectivamente. Se o ponto B

encontra-se entre A e C, ento o ponto B' tambm encontra-se entre A' e C'. Se AB =

BC, ento tambm tem-se A'B' = B'C'.

Passos:

1. Construa trs retas paralelas r,s e v e duas retas transversais t e t a estas retas.

2. Chame de A, B e C a interseco de t com as paralelas e A, B e C a interseco

de t com as paralelas.


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3. Faa as razes AB/AC e AB/AC, AB/BC e AB/BC, BC/AC e BC/AC.

Fig 33 Teorema de Tales

Como conseqncia do teorema de Tales temos a semelhana de tringulos.

3.7. SEMELHANA DE TRINGULOS

Definio 32: Dizemos que dois tringulos so semelhantes se for possvel

estabelecer uma correspondncia entre seus vrtices de modo que os ngulos

correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais.

Com isso queremos dizer que, se ABC e EFG so dois tringulos

semelhantes e se AE, B F e C G a correspondncia que estabelece a

semelhana, ento valem simultaneamente as seguintes igualdades:

= , FB = , GC = eGE

CA

FG

BC

EF

AB==


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Fig. 34 - Tringulos semelhantes

O quociente comum entre as medidas dos lados correspondentes chamadode razo de proporcionalidade entre os dois tringulos.

Observe que dois tringulos congruentes so semelhantes com razo de

proporcionalidade um; inversamente, dois tringulos semelhantes com razo de

proporcionalidade um, so congruentes.

Teorema 10: (Pitgoras).Em todo tringulo retngulo a medida da hipotenusa ao

quadrado igual a soma das medidas dos quadrados dos catetos.

Passos:

1. Construa um segmento AB.

2. Pelo ponto A construa a reta perpendicular ao segmento AB.

3. Construa um tringulo ABC, em que o vrtice C est sobre a reta

construda.

4. D nome b e c aos catetos que so opostos aos vrtices B e C

respectivamente. D o nome e a hipotenusa, que o lado que se ope ao

ngulo reto.

5. Calcule a medida dos catetos e da hipotenusa.

6. Manipule os vrtices do tringulo e verifique o que acontece.

7. Construa quadrados sobre cada um dos lados dos tringulos.

8. Calcule a rea de cada um desses quadrados.

9. Verifique que a rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa igual a

soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos.


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Fig. 35 Teorema de Pitgoras


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4. CONCLUSO

Aps a realizao deste trabalho, pode-se perceber que a matemtica se torna

muita vezes mais ldica, pois a geometria Euclidiana se tornsforma em um jogo,

realizando os passos para a construo das figuras, seguindo as regras e assim

obtendo o resultado esperado

Assim sendo, o computador e os softwares devem ser mais um instrumento

no auxlio do ensino-aprendizagem da matemtica, tendo em vista que muitas

instituies educacionais j esto com laboratrios de informtica instalados e outras

em fase de instalao.

Atravs do uso do computador e do softwareRgua e Compasso somado com

as atividades elaboradas e desenvolvidas, temos um forte aliado para o ensino-

aprendizagem da geometria, pois atravs do software os conceitos geomtricos so

construdos e verificados o que muitas vezes para alunos do ensino fundamental e

mdio impossvel realizar no quadro de giz devido a formalidade e abstrao

necessrias para a demonstrao dessas propriedades.


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5. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

BARBOSA, Joo Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro.Editora SBM.1995.

BIANCHIN, Edwald. Matemtica. 5 srie.Editora Moderna. So Paulo, 1996.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informtica eEducao Matemtica. Belo Horizonte: Autntica. 2003.

BRASIL. Ministrio da Educao. Secretaria da Educao Fundamental.Parmetros Curriculares Nacionais: Matemtica. Ensino de 5 a 8 sries.Braslia DF: MEC, 1998.

- Educao e Matemtica. n 73 .Maio/Junho de 2003.- Educao e Matemtica.n 77. Maio/Abril de 2004.

- Educao e Matemtica.n 66. Janeiro/Fevereiro de 2002.

- Educao e Matemtica. n 70. Novembro/Dezembro de 2002

http://www.sbem.com.br/files/lix_enen/Minicurso/Trabalhos

http://ptwikipedia.org/wiki/constru

http://www.prof2002.pt/users/folhalcino/formar/outros/gspconf.htm.

RGUA E COMPASSO. Disponvel em: http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/

Magda Gertrudes Schmidt-PONTO4

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