MACROECONOMIA CAP 21.docx

MACROECONOMIA LA REGLA DORADA Y UNA INTRODUCCION A LOS MODELOS DE CRECIMIENTO ÓPTIMO

Contenido

LA REGLA DORADA Y UNA INTRODUCCION A LOS MODELOS DE CRECIMIENTO ÓPTIMO...........2

EL MODELO NEOCLASICO BASICO OTRA VEZ..............................................................................3

AHORRO Y CONSUMO EN EL EQUILIBRIO DEL CRECIMIENTO.....................................................8

LA REGLA DORADA DE LA ACUMULACION DE PHELPS...............................................................13

Supercarreteras De Crecimiento Óptimo...............................................................................17

La ruta de la regla dorada como una ruta de supercarretera no descontada....................18

INTRODUCCION AL CRECIMIENTO ÓPTIMO...............................................................................20

Un modelo más general de supercarretera............................................................................21

CONCLUSIÓN..............................................................................................................................23

1 ECONOMISTA CESAR MIRANDA TORRES UNAC-FIIS


CAPITULO XXI

LA REGLA DORADA Y UNA INTRODUCCION A LOS MODELOS DE CRECIMIENTO ÓPTIMO

VIMOS en los capítulos XIX y XX que el modelo neoclásico de crecimiento con progreso técnico incorporado en la fuerza de trabajo tiende a una ruta de crecimiento a largo plazo con valores de equilibrio para la producción por hombre efectivo, q * = (Q/E) *, y el capital por hombre efectivo, k * = (K/E) *, bajo una gran variedad de teorías del comportamiento del ahorro. A lo largo de la ruta de crecimiento con equilibrio a largo plazo, la producción, el consumo y la inversión crecen a la misma tasa, como lo hacen, por supuesto, la producción, el consumo u la inversión per capita. Así pues, la ruta de crecimiento da un crecimiento balanceado donde la división de la producción entre el consumo y la inversión del lado de la producción y entre beneficios y salarios del lado del ingreso permanece estable a través del tiempo.

La tasa de crecimiento de la producción, el consumo y la inversión en el equilibrio a largo plazo de determina por la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo, gL , más el crecimiento exógeno de la productividad de la mano de obra, λ. El nivel de la ruta de crecimiento, dado por los niveles de equilibrio k * y q *, se determina conjuntamente por la tasa natural de crecimiento, n = gL + λ y por el comportamiento del ahorro. Adviértase que aquí estamos introduciendo una notación específica para la tasa natural de crecimiento, n = gL

+ λ. Esto se hace sólo para simplificar la notación y facilitar la presentación de los modelos.

Vimos en el capítulo XX que un incremento de la razón de ahorro s eleva los valores de equilibrio de k * y q *, desplazando a la economía hacia una ruta más alta de crecimiento con equilibrio. Surge entonces, naturalmente, este interrogante: si el Gobierno (o la sociedad en general) puede controlar la razón de ahorro s, ¿Cuál de las múltiples rutas posibles de crecimiento con equilibrio, cada una de ellas correspondiente a una s diferente, escogería? ¿A qué nivel debe fijarse la variable de control s? En este capítulo analizaremos esta cuestión en el contexto de los modelos de crecimiento con equilibrio y bosquejaremos algunas de las respuestas propuestas por las teorías del crecimiento óptimo.

Primero examinaremos la solución del modelo neoclásico básico con progreso técnico, concentrándose en el papel de la razón de ahorro en la determinación del nivel de la ruta de crecimiento. Luego derivaremos la regla dorada de la acumulación de Phelps, según la cual la ruta de crecimiento con equilibrio a largo plazo que maximiza el consumo per capita en todos los periodos, una vez que la economía ha llegado a su ruta de equilibrio, se determina por el nivel de k *, en que f’ (k) = gL + λ = n. Este es el punto k * donde la pendiente de la función de producción q = f (k) es igual a la pendiente de la línea (gL + λ) k, por ejemplo en la gráfica 20-1.



Luego describiremos brevemente los teoremas de supercarretera del crecimiento óptimo. Estos teoremas sugieren que una economía que desee maximizar la integral del bienestar social o de la utilidad, a través del tiempo, en el supuesto de que la utilidad es una función del consumo per capita, debe avanzar por una ruta como la de la regla dorada a medida que crece. Este análisis introducirá a los lectores a una de las áreas “fronterizas” de la teoría macroeconómica.

EL MODELO NEOCLASICO BASICO OTRA VEZ

El análisis del crecimiento optimo y del papel de la tasa de ahorro se basa en el modelo neoclásico desarrollado en el capítulo XIX. El modelo se construye sobre los supuestos siguientes relativos a la estructura de la economía:

1. La fuerza de trabajo, L, crece a una tasa gL determinada en forma exógena. La fuerza de trabajo efectivo, Et = Lteλt, crece a la tasa gL + λ. Esta es la tasa natural de crecimiento de la economía, n = gL + λ.

2. La producción, Qt, depende de los insumos de capital y de mano de obra efectiva, Kt y Et. La función de producción se escribe como

(1) Qt = F (Kt y Et).

La función de producción es homogénea de grado uno, de modo que podemos escribirla como

(2)q

t ≡Q t

Et

=F ( K t

Et

,1)=f ( k t ); f '>0 , f ' '<0 .

3. La inversión, que se iguala al ahorro, es una fracción dada, s, de la producción total. Por lo tanto, la formación de capital está dada por

(3)dKdt

=I t=S t=sQt .

En este capítulo trataremos la tasa de ahorro s como la variable de control o de política del Gobierno. Cambiando s, presumiblemente cambiando los impuestos, el Gobierno puede desplazar la ruta de crecimiento de la economía de un nivel de equilibrio a otro.

Estos supuestos pueden combinarse para obtener la expresión fundamental de la tasa de crecimiento de la razón del capita a las unidades de mano de obra efectiva, k = K/E. La tasa de crecimiento de k se da por definición por

(4) k=K−E



La tasa de crecimiento del acervo de capital, K , es simplemente

(5)K=

dKdtK

=1K

=sQK

=sqK

=sf (k)

K

Por el supuesto 1, la tasa de crecimiento de la a o de obra efectiva, Et , es justamente

(6) E=gL+λ=n ,

La tasa de crecimiento natural de la economía. Así pues, la expresión de la tasa de crecimiento de k puede describirse como

(7) K=sf (k)

k−( gL+ λ )=

sf (k )K

−n ,

Que da la tasa de crecimiento de k como una función del nivel de la propia k. La ecuación (7) tiene un valor de equilibrio para k, donde k = 0. Este valor de equilibrio k * puede obtenerse haciendo k = 0 en la ecuación (7), de modo que k * se determina por

(8) f ( k¿)=gL+λ

sk ¿ .

Esta solución aparece en la gráfica 21-1(a), donde se relacionan f(k), la producción real por hombre efectiva, q, como función de k, y [(gL+λ)/ s]k, que da el nivel de q necesario para

mantener la k correspondiente a medida que E crece a la tasa gL+λ.



Partiendo de k0 < k* en la gráfica 21-1(a), la producción por hombre efectivo supera a la necesaria para el mantenimiento de k0, de modo que hay inversión “sobrante” para aumentar k hacia k *. Cuando k llega a k * esta “inversión excedente” se hace cero y k deja de crecer.

Así pues, el valor de equilibrio de k, k * , es un equilibrio estable, como se ve en el diagrama de fase de la gráfica 21-1(b).

Si la economía tiende hacia un equilibrio estable k * a largo plazo, puesto que k * = (K/E) * es constante. De igual modo, si q tiende hacia q * tenemos Q = E = gL + λ a largo plazo, de modo que en el equilibrio del crecimiento a largo plazo.

(9) K=Q=gL+λ=n ,

Y

( QL )=( K

L )= λ .

La razón capital-mano de obra y el producto por hombre crecen a la tasa λ del progreso técnico.

En la gráfica 21-2 aparece la ruta de crecimiento con equilibrio a largo plazo de la producción por hombre dada por el punto de equilibrio k *, q * de la gráfica 21-1. Fijada en q *la razón de la producción a la mano de obra efectiva en equilibrio, tenemos



(QE )

¿

=( Qt

Lt eλt )

¿

=q¿ ,

De modo que

(Qt

Lt)¿

=q¿eλt ,

Y la tasa de crecimiento de Q/L es igual a λ, como se aprecia en la gráfica 21-2, puesto que q* es constante en equilibrio.

¿Qué ocurriría si la razón de ahorro s aumenta a s’? en la gráfica 21-1 esto hace rotar hacia abajo el rayo [(gL+λ)/s]k hasta llegar [(gL+λ)/s’]k. a cualquier nivel dado de k, dado que la razón de ahorro ha aumentado, se requiere menos producción para generar la inversión necesaria para el mantenimiento de esa k. A la antigua k*, f(k*) > [(gL+λ)/s’]k* , de modo que k > 0 , como se observa en la línea de guiones del diagrama de fases de la gráfica 21-1(b). Así pues, k y q empiezan a aumentar hacia las nuevas k**, q**. Pero si k está creciendo,

K¿

>E¿

=gL+ λ y ( K / L)>λ .

De igual modo, cuando crece la producción por hombre efectivo q, Q¿

>E¿

, (Q / L)¿

>λ . Así pues, mientras q crece de q* a q** la tasa de crecimiento de la producción por hombre supera

a λ , la pendiente de la ruta de crecimiento de la producción con equilibrio a largo plazo de la grafica 21-2.



Sin embargo, cuando k y q llegan a su nuevo equilibrio k**, q**, q deja de crecer, de modo que

Q¿

vuelve a ser igual a E¿

y la tasa de crecimiento de la producción por hombre baja otra vez a λ . Esto se ilustra en la grafica 21-3. Allí la tasa de ahorro aumenta de s a s’ en el momento t0,

haciendo que la producción por hombre empiece a crecer a una tasa mayor que λ . A medida

que q se aproxima a q** en la grafica 21-1, correspondiente a la ruta (Q /L)** de la grafica 21-

3, la tasa de crecimiento de Q/L baja de nuevo a λ , alcanzando el equilibrio a largo plazo k**, q** en el momento tn.

El incremento de la razón de ahorro s ha movido a la economía de una ruta de crecimiento a largo plazo a otra. Cada una de estas rutas de equilibrio tiene una pendiente, o tasa de

crecimiento, dada por la tasa de progreso técnico λ . Es solo durante el periodo en que q está

pasando de q* a q** que la tasa de crecimiento de Q/L supera a λ .

Mientras en la grafica 21-1 se tenga f '(k )>0 , es decir, mientras la productividad marginal de

los incrementos de la razón K/E sea positiva, un aumento de s aumentara las k y q de equilibrio, y, por lo tanto, aumentara la ruta de crecimiento de Q/L en la grafica 21-3.

Pero esto no significa que la política deba orientarse hacia el incremento de la tasa de ahorro para elevar la ruta de crecimiento. Si el aspecto de la actividad económica que interviene en la función de bienestar de la sociedad es el consumo, no la producción, es posible que el responsable de la política deba buscar el valor de s que genera la ruta más alta de C/L, no de Q/L. Esto sugiere que ahora examinamos más de cerca la relación existente entre la razón de ahorro y el nivel de consumo.



AHORRO Y CONSUMO EN EL EQUILIBRIO DEL CRECIMIENTO

El nivel de la inversión y el ahorro por hombre efectivo, I/E, a cualquier nivel de k, esta dado por

(10)

IE

= sQE

=sq=sf ( K ) ,

Que se representa en la grafica 21-4. El consumo por hombre efectivo a cualquier k dada (no solo la de equilibrio de k*) está dado por (Q/E) – (I/E),



(11)

CE

= C

Leλs=Q

E− sQ

E= f (k )−sf (k ) ,

Y es la diferencia existente entre f(k) y sf(k)que aparece como (C/E)0 en la k0 de la grafica 21-4. La ecuación (11), repetimos, da el nivel de consumo en cualquier k, dada la razón de ahorro s. Ahora podemos reformular la ecuación (11) para dar el valor del consumo per capita, C/L, a cualquier valor de k,

(12)

CL

=e λs [gL+λ ] k¿

Por la condición de equilibrio para k*, ecuación (8), vemos que, en equilibrio

(13)sf (k ¿)=(gL+λ )k¿

Así pues, el valor de equilibrio de k* es el mismo en la intersección superior de la grafica 21-5, dada por la ecuación (8), que en la intersección inferior, dada por la ecuación (13), Insertando la expresión de sf(k*) dada por la ecuación (13) en la ecuación (12) del consumo por hombre, C/L, obtenemos una expresión para C/L en equilibrio,



(14)(C

L )¿

=eλs [f ( k¿ )−sf ( k¿ )]=e λs [ f (k¿)−( gL+λ )k¿ ]

La sustitución de ( gL+ λ )k ¿

por sf(k*) solo puede hacerse en la expresión de (C/L)* --el C/L de equilibrio a largo plazo--. Esta sustitución hecha en (14) refleja simplemente la intersección inferior en la grafica 21-5.

Los hechos fundamentales aquí son los siguientes:

1. Para cualquier s dada, a medida que k varía, C/E está dada por f(k) - sf(k), y por ende la diferencia existente entre f(k) y sf(k) en la grafica 21-4 traza el valor de C/E.

2. Pero, en equilibrio, (C/E)* debe ser igual a f(k*) – ( gL+ λ )k ¿

, de modo que al variar s (debido tal vez a manipulaciones del Gobierno) la diferencia existente en la

grafica 21-6 entre f(k) y ( gL+ λ )k ¿

traza la (C/E)* de equilibrio.



Aquí el lector debe advertir que en virtud de que (C/L)* = eλs(C / E ) , la

maximización de (C/E)* equivale a la de (C/L)*, de modo que podemos examinar la elección de un valor de s para maximizar el consumo por hombre en términos de (C/L)*, como en (14), o en (C/E)*, como en los dos últimos párrafos.

3. Así pues, mientras que C/E para cualquier k dada esta dada por f(k) - sf(k), para analizar como difiere C/E (o C/L) entre distintas rutas de crecimiento con equilibrio a largo plazo debemos concentrarnos en la diferencia existente entre f(k) y ( gL+ λ )k en la grafica 21-6.

En la grafica 21-7 analizamos la relación existente entre f(k), (C/E)* y ( gL+ λ )k . Vemos allí que los diversos valores de equilibrio posibles (C/E)* = c*, correspondientes a diversos

valores de s, están dados por la diferencia existente entre f(k) y ( gL+ λ )k .

Si la razón de ahorro se establece en s0 en la grafica 21-7 se alcanzara el equilibrio en k0

*, q0*. El consumo por hombre efectivo en el equilibrio k0

*, q0*será c0

* = (C/E)0*. Además, con s

fijo en s0 , el consumo por hombre en equilibrio estará dado por



(15)(C

L )¿0=e λs(CE )

¿0=eλs c

0¿=eλs [ f (k

0¿)−(gL+λ )k0¿ ]

A medida que la razón de ahorro s aumenta de s0 a s1 y s2 en la grafica 21-7, la diferencia

existente entre f(k) y ( gL+ λ )k , que es igual a (C/E)*, aumenta primero y baja después. ¿En qué valor de k* alcanza un máximo el consumo per capita de equilibrio? Claramente, en el

valor de k*, donde la pendiente de f(k) es igual a la pendiente de ( gL+ λ )k , es decir, donde

ρ≡f '(k )=gL+ λ.

Una vez que hemos localizado esta k* -k1* en la gráfica 21-7 -, la variación de s en relación con

s1 en cualquier dirección disminuirá (C/E)* y, por lo tanto, (C/L)*.

La razón de que exista una Ʀ* que maximice (C/E)* es simplemente la de los rendimientos

decrecientes. Cuando los incrementos de q disminuyen al aumentarƦ , pero los incrementos

de q necesariamente al aumentar Ʀ*, a medida que s crece se alcanza un valor de Ʀ* más allá

del cual tendríamos que reducir el consumo por hombre efectivo para proveer suficiente

inversión por hombre efectivo para mantener cualquier valor de equilibrio Ʀ* mayor.



La existencia de una (C/E)* máxima en la gráfica 21-7 muestra que en la gráfica 21-8, a medida

que aumentamos la razón de

Ahorro, elevando la ruta de equilibrio (Q/L)*, las rutas (C/L)* se desplazan primero hacia arriba

y luego hacia abajo. Se alcanza la ruta (C/L)* más alta cuando s se fija para dar Ʀ* de equilibrio

en el nivel en que f’(Ʀ) = gL + λ, Ʀ1* en la gráfica 21-7.



LA REGLA DORADA DE LA ACUMULACION DE PHELPS

Es importante advertir que todas las rutas (C/L)* de la gráfica 21-8 son paralelas: todas tienen

la misma pendiente igual al factor de progreso técnico λ. Esto se sigue de la expresión dada en

la ecuación (14) para el equilibrio C/L,

(16) ( CL

)¿

=e λt [ f (Ʀ¿)−( gL+λ ) Ʀ¿ ].

Dado que cada una de las rutas (C/L)* de la gráfica 21-8 representa un equilibrio del

crecimiento a largo plazo, cada una de ellas tiene un valor correspondiente de Ʀ* que es

constante en equilibrio. Así pues, en equilibrio el termino entre paréntesis rectangulares de la

ecuación (16) es constante, de modo que la tasa de crecimiento de (C/L)* para cualquier valor

de equilibrio Ʀ* es λ.

Si todas las rutas de equilibrio (C/L)* son paralelas, la que maximice (C/L)* en todos los

periodos. Así pues el argumento de la sección anterior, según el cual se alcanza la (C/L)*

máxima en el valor de Ʀ*, donde f’(Ʀ) = gL λ, puede desarrollarse con sencillez en términos

matemáticos. El problema es, dada la ecuación (16) para (C/L)*, ¿Cuál es el valor de Ʀ* que

maximiza (C/L)*? Para encontrar tal Ʀ* diferenciamos la exprecion (C/L)* respecto de Ʀ* e

igualamos a cero esa derivada:

(17) ∂( C

L)¿

∂ Ʀ¿ e λt [f ' (Ʀ¿)−( gL+λ ) ]=0

Dado que e λt ≠ 0, esto significa que la (C/L)* sostenida máxima se obtiene en el valor de Ʀ*,

donde

f ' ( Ʀ¿)− (gL+λ )=0 ,

O sea,

(18)f ' ( Ʀ¿)=gL+ λ .



Es decir, debe escoger las que fije Ʀ ¿ al nivel en que la tasa de beneficio ρ = f’(Ʀ) sea igual a la

tasa de crecimiento, n = gL+λ.

Esta es la regla dorada de la acumulación de Phelps y pronto veremos varias interpretaciones

de ella. Pero antes debemos aclarar lo que está involucrado aquí. La regla dorada Ʀ ¿ describe

la ruta de crecimiento que, una vez alcanzada por la economía, dará un nivel de consumo per

capital más alto que cualquiera otra ruta de crecimiento para todo el tiempo. Debemos

advertir que la regla de dorada distingue entre las rutas de equilibrio a largo plazo en términos

de sus valores de equilibrio (C/L)*, en el supuesto que la economía pueda escoger libremente

entre estas rutas. Pero es claro que si requiere un aumento del ahorro para alcanzar la ruta de

la regla dorada la generación actual tendría que sacrificar su consumo en beneficio de las

generaciones futuras de consumidores. Así pues la ruta de la regla dorada sería una ruta de

crecimiento deseada solo sí, en cierto sentido; los costes de movimiento hacia ella son

pequeños en relación de los beneficios a más largo plazo derivados de tal movimiento. Pronto

volveremos a ese punto, que es fundamental para los teoremas de supercarreteras del

crecimiento óptimo.

Debe advertirse también que estamos eligiendo entre rutas da consuma con razones K/E de

equilibrios constantes (pero diferentes).Así pues, las rutas son rutas de la regla dorada, porque

cada generación debe transmitir la misma razón K/E heredada: no es justo que se destruya una

parte de k recibido ni que se sacrifique para aumentar K/E y transmitir el beneficio.

Solow ha dado una excelente explicación de sentido común del resultado de la regla dorada.

Imaginemos una economía que puede recibir capital gratuito –es decir, puede escoger

libremente el nivel de su ruta de crecimiento- a condición de que, en todo tiempo, deberá

mantener la misma razón K/E escogida inicialmente. Entonces para cada incremento del

capital,∆ K , que acepte recibe un incremento de producción igual a

(19) ∆ Q=f ' ( Ʀ )∆ K .

Para mantener la razón K/E ,Ʀ ,el acervo de capital debe crecer a la tasa de crecimiento de E,

gL+λ. Así pues, la inversión necesaria para mantener cualquier razón Ʀ dada está dada por



(20) lK

=( gL+λ ) e l=( gL+λ ) K .

Esto significa que el aumento de la inversión para mantener el incremento de K/E derivado de

la aceptación de un incremento adicional de K está dado por

(21) ∆ l=( gL+λ ) ∆K .

Mientras que el incremento de la producción,∆ Q,supere al incremento de la inversión, ∆ l, el

incremento ∆ K genera un aumento del consumo ∆ C . Pero f’(Ʀ) disminuye a medida que Ʀ

aumenta, de modo que eventualmente la economía alcanza un punto donde

(22) ∆ Q=∆ K f ' ( Ʀ )=∆ I=∆ K ( gL+ λ ) .

En este punto, la recepción de más capital gratuito aumentara el nivel de la inversión necesaria

para mantener Ʀ más de lo que incrementa la producción, es decir, implicaría una reducción

de C para mantener la razón K/E. Así pues, la cantidad óptima de capital gratuito que puede

aceptar bajo la condiciones de la regla dorada e las K que iguale la tasa de beneficio a la tasa

natural de crecimiento:

(23) f ' ( Ʀ )=gL+λ .

Hay otras dos interpretaciones interesantes de la condición de la regla dorada. Primero,

multiplicando ambos miembros de (23) por K/Q tenemos

(24) f '(Ʀ )K

Q=(g¿¿ L+λ) K

Q= I

Q=s ,¿

Por el hecho de que l = ¿¿)K en equilibrio. Mientras el miembro derecho de la ecuación (24) es

la razón de la inversión (= ahorro) a la producción, el miembro izquierdo de la ecuación (24) es

la tasa de beneficio ρ[=f’(Ʀ)] multiplicada por K/Q:

beneficioscapital

− capitalproducto

=benef iciosproducto

.



Así pues, la regla dorada iguala la participación de los beneficios en la producción a la razón de

la inversión a la producción. De modo que la regla dorada podría enunciarse así: “invierte tus

beneficios, consume tus salarios”. Esta es solo otra forma de selección de la razón de ahorro s

generada por la regla dorada Ʀ*.

La interpretación final de la regla dorada también se sigue de la ecuación (24). El termino f’( Ʀ

)K/Q puede convertirse en la elasticidad

Elasticidad de la producción respecto del insumo de capital como sigue:

f ´ (k ) KQ

=f ´ (k )k

q=∂q

∂kkq

Entonces la ecuación (24) puede escribirse como:

(25)

∂q∂k

.kq= 1

Q=s

Esto afirma que la razón de ahorro s debe fijarse igual a la elasticidad de la producción respecto del insumo de capital para desplazar la economía hacia la ruta de la regla dorada.

Estas son las diversas formas en que puede enunciarse la misma condición de la regla dorada. Para alcanzar la k∗¿ que da el mayor consumo per capita de equilibrio a largo plazo,

(CL )∗¿e λt(C

E )∗, fijar la variablede control sde talmodoque, en la k* de equilibrio, la

pendiente de la función de producción p=f ´ (k) sea igual a gL + 𝜆, la tasa natural de crecimiento. El valor de equilibrio k* resultante será entonces la regla dorada k g* observada en la gráfica 21-9, determinante de la ruta de crecimiento con equilibrio que maximiza el consumo por hombre en todo tiempo, una vez que la economía alcance esa ruta.



Supercarreteras De Crecimiento Óptimo

En las secciones precedentes hemos visto que podemos encontrar un valor kg* de equilibrio que produzca la ruta de crecimiento con equilibrio más alta posible para el consumo per cápita, (C/L)g*. Dado que todas las rutas de crecimiento son paralelas con pendiente gL + 𝜆, esta ruta más elevada de consumo de equilibrio, una vez alcanzada, el consumo per cápita más alto posible para cada generación futura, suponiendo que se sigue la regla dorada.

Este es el supuesto de que cada generación mantiene la razón kg* heredada, de modo que de todas las rutas son, en efecto, paralelas.

Supongamos ahora que la economía empieza en una k* de equilibrio menor que kg*, debido quizá a que se tenga una razón de ahorro s menor que la correspondiente a kg*. Entonces el movimiento hacia la regla dorada kg* implicaría un aumento de la tasa de ahorro. Entonces el movimiento hacia la ruta (C/L)g* de la regla dorada implicaría la formación de capital por la generación actual y el aumento de la razón K/E, para que las generaciones futuras puedan obtener el beneficio de viajar por la ruta de crecimiento de la regla dorada. Así pues, el movimiento hacia la ruta de crecimiento de la regla dorada a partir de una k* inicial baja involucra un coste pagado por las generaciones actuales (y del futuro cercano) a cambio del beneficio de que las generaciones futuras avancen por la ruta de la regla dorada. ¿Deberá aceptar este coste la generación actual, es decir, sus planeadores, su sociedad o sus políticos?

En lugar de tratar de contestar categóricamente este interrogante podemos considerar dos casos. Primero supongamos que el valor k* inicial se aproxima a kg*, de modo que solo un coste “pequeño” está involucrado en el movimiento hacia k*. Supongamos además que el horizonte del tiempo del planeador (o de la sociedad) es muy largo, de modo que puede considerar los beneficios para muchas generaciones futuras derivados de su avance por la ruta de la regla dorada. En este caso la política óptima consistiría en avanzar rápidamente hacia la ruta de la regla dorada. En cambio, si la k* inicial estuviese muy por debajo de kg*, de modo que se requiera un sacrificio considerable del consumo presente para aumentar s e incrementar la razón capital – mano de obra y llegar así a kg*, y si el horizonte de tiempo del planeador fuese muy corto, la política optima sugeriría un avance hacia la ruta de la regla dorada.

Esta clase de consideraciones constituyen el fundamento de los teoremas de supercarretera (turnpike theorems) del crecimiento óptimo desarrollado, por ejemplo, por Radner y



Samuelson. En esencia, estos teoremas afirman que cuanto más largo sea el horizonte de tiempo menor deberá ser el porcentaje del tiempo pasado fuera de la ruta de crecimiento de la supercarretera (aquí la regla dorada). Así pues, dado un punto de partida k* < kg*, cuanto mayor el horizonte de tiempo más rápido deberá ser el movimiento relativo hacia la supercarretera, porque cuanto mayor sea el horizonte de planeación mas contrarrestaran los beneficios de encontrarse cerca de la supercarretera los costes de traslado a ese lugar.

En la grafica 21-10, cuanto mayor sea el horizonte de tiempo más de prisa deberá trasladarse la economía de (C/L)0* a (C/L)g*.

Ahora aparecerá clara la razón de la terminología del “teorema de la supercarretera”. Una persona que realice un viaje largo ganara si incurre en algún coste inicial para meterse en una supercarretera, mientras que para un viaje más corto quizá no convenga utilizar la supercarretera.

La ruta de la regla dorada como una ruta de supercarretera no descontada

Los teoremas de supercarretera, según los cuales una ruta de crecimiento optimo debe gastar solo un porcentaje arbitrariamente pequeño de su tiempo fuera de la vecindad de una ruta de supercarretera dada, como nuestra kg*, a medida que el horizonte del tiempo de planeación se vuelve mas y mas grande, provienen generalmente de la solución de la siguiente clase de problema: supongamos que la economía tiene la estructura del modelo de crecimiento neoclásico (las restricciones del problema) y que deseamos maximizar la integral de la utilidad social (la función objetivo del problema) como función del consumo per capita del momento 0 al momento T. ¿Cuál es la ruta de crecimiento que deberá seguir la economía a partir de alguna razón inicial K/E arbitrariamente seleccionada?

El primer paso de la solución de este problema consiste en enunciar el consumo por hombre efectivo, C/E, como función del nivel y la tasa de crecimiento de la razón K/E. Por la ecuación (11), la razón C/E puede escribirse como:



(26)

CE

=f (k )− 1E

Advirtiendo que 1E

=( 1K ) .( KE )=−K k , y que dado que K=k .E , K= k+ E ,

podemos escribir (26) como:

(27)

CE

=f (k )−k (k+ E )= f (k )=−nk−k k

Aquí estamos empleando n=gL+λ como la tasa de crecimiento de E sólo para simplificar la notación. Luego introducimos la notación de que dX /dt=DX , y

d2 X /d t2=D2X . Dado que k k en (27) es justamente k .[ dk /dtk ] ,podemos escribir la

ecuación (27) en su forma final,

(28)

U=U (CE );U ´>0 ,U ´ ´<0

Ahora, reconociendo que la ruta de crecimiento con equilibrio que maximiza C/E también maximiza C/L, podemos enunciar el problema como la maximización de la integral desde el presente, tiempo 0, hasta un tiempo futuro T, de la utilidad social U que es una función de C/E:

(29)

U=U (CE );U ´>0 ,U ´ ´<0

Así pues, el problema consiste en maximizar la integral:

(30)

∫0

T

U (CE )dt=∫0

T

U [ f (k )−nk−Dk ]dt=∫0

T

F (k ,Dk ) dt





INTRODUCCION AL CRECIMIENTO ÓPTIMO

El miembro derecho de (30) se introduce para mostrar que este problema consiste en maximizar una integral de una función de K y DK que se resuelve fácilmente con la ecuación de Euler del cálculo del cálculo de variaciones. La ecuación de Euler es el análogo en un caso en que las variables dependen del tiempo de las reglas ordinarias para encontrar un máximo en un caso estático donde todas las derivadas parciales se igualan a cero. En el caso dinámico dado por (30), la ecuación de Euler

(31) ∂F∂ K

−d ( ∂ F

∂ DK )dt

=0

Identificara el valor k de equilibrio que maximice la integral

∫0

T

U (CE )dt ,

Con Dk Y D2 K =0.

Tomando las derivadas en el caso específico de (30) obtenemos

(32) 0=U´ . [f´(k)-n]-d (−U )

dt=

U´. [f´(k)-n]+U´´. [f´(k)DK-nDk-D2 K ¿

Como la condición de equilibrio se identifica el valor de k* que maximiza la integral en (30). Si la economía se encuentra en un valor de K* de equilibrio Dk =0 y D2 K=0 dado que U´ es positiva la condición (32) se reduce a

(33) 0=f´(k*)-n, o f´(k*)=n=gl+λ

Como la condición de equilibrio que identifica el valor de K*que maximiza

∫0

T

U (Ce )dt

Así pues la ruta de crecimiento de la regla dorada es también ruta de supercarretera en el caso en que el objetivo consista en maximizar el bienestar social como una función no descontada del consumo per cápita a lo largo de un horizonte de planeación largo .Esto debiera estar claro



desde el principio porque la regla dorada se obtuvo preguntando cual es la ruta que maximiza C/L o C/E para todos los periodos , una vez alcanzada sin referencia al descuento de los ingresos y consumos futuros .

Un modelo más general de supercarretera

Podemos analizar un problema mucho más general de crecimiento optimo de supercarretera introduciendo en al integral del bienestar social una tasa de descuento. Supongamos que los ingresos y consumos futuros se descuentan a la tasa de r, de modo que en la integral de bienestar observada en (30) se introduce un factor de descuento e−rt.

En este caso el problema consiste en maximizar

(34) ∫o

T

F (K ,DK ) dt=∫0

T

e−rtU [ f (k )−nk−dk ] dt

Para encontrar el valor de K* con DK Y D2 K=0Que maximice la utilidad futura descontada

La ecuación de Euler nos da en este caso

0=e−rt.U´ . [f´(k) - n ] -d (−e−rt U ´ )dt

;

Si hacemos Dk y D2 K=0 y dividimos por U´ Y e−rt , Ambos positivamente, obtendremos

(35) 0=e−rt .U ´ . [ f ´ (k )−n ]−r , o f ´ ¿

Como la condición de equilibrio que identifica el valor de supercarretera k** que maximiza la integral del bienestar social descontado de (34).

Dado que r es positiva en este caso, la ruta de supercarretera descontada implicaría una tasa de ahorro menor y nivel k** menor que k*, como se aprecia en la grafica 21-11.Por supuesto, esto deriva de la reducción de la estimación corriente de valor de los ingresos y consumos futuros por una tasa de descuento, lo que reduce el valor del ahorro corriente para aumentar el consumo futuro.

La explicación de sentido común de este resultado se sigue directamente de la ofrecida por SOLOW Para el resultado de la regla dorada.



Consideremos de nuevo una economía que tiene libertad para aceptar un donativo de capital a condición de mantener para siempre la razón K/E inicialmente aceptada. En este caso el valor presente de la producción futura ganada por la aceptación de un incremento de capital, esta dado por

(36) ΔQ= f´(k ) Δk - rΔk = [f´(k)-r] Δk,

Porque los incrementos futuros de la producción estas descontados por r .Por otra parte para mantener la razón K/E a medida que E crece a la tasa n=¿),un incremento de K requeriría un incremento de I dado como antes por

(37) ΔI=nΔk=¿) Δk.

Ahora la economía con una integral de bienestar social descontado querrá aceptar capital con f´(k) decreciente hasta que ΔQ=ΔI lo que da :

(38) f´(k)- r =n =¿).

La condición de supercarretera con el ingreso futuro descontando a la tasa r. La economía de un horizonte dilatado de planeación deberá fijar su tasa de ahorro para avanzar con gran rapidez hacia una ruta de crecimiento equilibrado a lo largo de la cual la productividad marginal del capital – correctamente medida para incluir productos negativos tales como contaminación – sea igual a la tasa natural de crecimiento más la tasa de descuento social, si ambas pueden medirse correctamente.



CONCLUSIÓN

Este capítulo completa nuestro análisis de los modelos teóricos de crecimiento equilibrado a largo plazo Debe quedar claro que estos modelos son todavía teóricos -: corresponden a los modelos estáticos de la segunda parte de este libro. El trabajo empírico análogo al de la macroeconomía a corto plazo, examinando con algún detalle en la pare tercera, no se ha realizado todavía en los modelos de crecimiento a largo plazo .Así pues, no está claro todavía cuál será su contribución total a la política economía practica.

Pero 2 ganancias obvias en nuestro entendimiento del funcionamiento a largo plazo de la economía han derivado ya del estudio de los modelos de crecimiento .Primero ha quedado clara la distinción existente entre el crecimiento a mediano plazo y a largo plazo .no podemos esperar una tasa de crecimiento perpetuamente mayor como resultado de un incremento de la tasa de ahorro ; el efecto es más bien un desplazamiento de la economía hacia una ruta de crecimiento más elevada .Y es necio el intento de maximización de la tasa de crecimiento , por lo menos en una economía avanzada . El aumento del crecimiento implica costes en términos del consumo de corriente, de modo que podemos buscar una tasa de crecimiento óptima, no máxima que pondere las ganancias para las elecciones futuras con las pérdidas para la generación actual. El crecimiento tiene beneficios y costes, y estos deben balancearse para alcanzar una ruta de crecimiento óptimo.


MACROECONOMIA CAP 21.docx

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