M. Ungureanu - Prelucrarea Digitala a Semnalelor

Mlhaela Ungureanu

====ROlVIBUCURE$TI

lVIATRIX

G. Mihaela UNGUREANU

PREL UCRAREA DIGIT ALA A SEMNALELOR

MATRIX ROM BUCURESTI2008

Be/UPBBiblElectronica

MATRIXROMIII I II """1"'111"111"1\"\1'1 BUP09-2116'II

C.P.16 -162 062510 - BUCURE~TI tel. 021.4113617, fax 021.4114280 e-mail: [email protected] www.carteuniversitara.ro

peste MihcSUPERIOR

Editura MATRIX ROM este acreditata de CONSILIUL NATIONAL AL CERCETARII $TIINTIFICE DIN INVATAMANTUL , "

PrellSign. Micr curSt

Referenti $tiintifici:

Prof. dr. ing. Rodica Strungaru - Universitatea "POLITEHNICA" Bucure~ti Departamentul Electronica ~i Informatica Medicala Prof. dr. ing. Radu Zaciu

prop:seCVt

disCI mete disCI desc: evidt

geneDescrierea CIP a Bibliotecii Nalionale a Romanie! UNGUREANU, MIHAELA GEORGETA Prelucrarea digitala a semnalelor I G. Mihaela Ungureanu Bucureti, Matrix Rom, 2008 Bibliogr. ISBN 978-973-755-409-3

free,cony [mitt mete

004.383.3(075.8)

calcl

capi1

zgor(tran

ISBN

978 - 973 - 755 - 409 - 3

Prefata ,Cartea reprezinta rezultatul experientei didactice ~i de cercetare de peste zece ani in domeniul prelucrarii semnalelor a doamnei Conf. Dr. G. Mihaela Ungureanu. Activitatea didactica a autoarei a indus cursurile Prelucrarea Numerica a Semnalelor, anul III, Inginerie Economica ~i Digital Signal Processing for Automotive, Masterat, specializarea Advanced Microelectronics ~i se adreseaza in primul studentilor ce frecventeaza cursurile de prelucrari numerice de semnale. Cartea este structurata in urmatoarele noua capitole: Semnale. Tipuri de semnale. - Prezinta tipurile de semnale, proprietati1e secventelor, exemple de secvente, operatiile eIementare cu secvente ~i reprezentarea grafica a acestora. Transformata Fourier Discreta - Prezinta Transformata Fourier discreta, proprietatile ~i aplicabilitatea acesteia. Transformata Z - Prezinta transformata Z, proprietatile acesteia ~i metodele de determinare a transformatei Z inverse Sisteme discrete - Acest capitol prezinta proprietatile sistemelor discrete ~i modalitatile de reprezentare a acestora. Filtre numerice - In acest capitol sunt prezentate modalitatile de descriere a filtreIor numerice ~i metodele de proiectare a filtrelor FIR ~i IIR, evidentiind proprietatile filtrelor FIR cu faza liniara. E~antionarea semnalelor continue - Capitolul puncteaza problemele generate de e~antionarea semnalelor continue, posibilitatea de schimbare a frecventei de e~antionare in domeniul discret, probleme generale ale conversiei AID ~i modalitatile de determinare a zgomotului datorat lungimii fmite a cuvintelor de cod. Estimare ~i analiza spectrala - In acest capitol sunt prezentate metodele neparametrice ~i parametrice de analiza spectrala. Algoritmi iterativi. Filtre adaptive - Capitolul prezinta modalitati de calcul online al parametrilor statistici ai semnalelor ~i filtrele adaptive. Metode modeme de preIucrare numeridi a semnalelor - In acest capitol sunt prezentate diferite metode de extragere a semnalelor din zgomot, precum ~i metode modeme de prelucrare a semnalelor (transformate timp-frecventa, peA, leA, anulatorul de zgomot sincron).

OR

,~tiala

5

Lucrarea prezinta clar, explicit, probleme ale prelucriirii numerice a semnalelor, evidentiind in final aplicatii concrete ale acestui domeniu. In acest sens, cartea se dore~te a fi un instrument in intelegerea problematicii . fundamentale din domeniul prelucrarii numerice a semnalelor. Autoarea multume~te in primul rand referentilor ~tiintifici pentru atenta parcurgere a lucriirii ~i pentru sugestiile utile exprimate de ace~tia: Prof. Dr. lug. Radu Zaciu ~i Prof. Dr. lug. Rodica Strungaru. Autoarea multume~te pe aceasta cale domnului Prof. Radu Zaciu pentru initierea in domeniul prelucriirii semnalelor numerice ~i pentru increderea acordatii autoarei la debutul carierei acesteia, prin Prof. Werner grupul dansului. De asemenea autoarea este recunoscatoare acceptarea in Wolf, de la Universitat der Bundeswehr, Miinchen, Germania, pentru permanenta contributie la dezvoltarea carierei autoarei, in 'domeniul prelucriirii numerice a sernnalelor ~i doamnei Prof.Dr.Ing. Rodica Strungaru pentru ajutorul continuu oferit de-a lungul ani lor. In final, dar nu in ultimul rand, autoarea multume~te [amiliei pentru sprijinul permanent acordat.I

Pref, CUpI 1. 1.

s~

Bucure~ti, 2008

1.:Autoarea

1.:

1.L

1.E

2. Tr. dis

2.1

2.~

6

f

aIn ~llru

CuprinsPrefata 5 Cuprins 7 1. Sernnale. Tipuri de sernnale 11 1.1. Tipuri de semnale 11 1.1.1. Sernnalul continuu In timp ~i In amplitudine 11 1.1.2. Sernnalul continuu in amplitudine ~i discret In timp (secventa) 12 1.1.3. Semnalele discrete In amplitudine ~i In timp (digitale) 12 1.1.4. Sernnalul continuu In amplitudine ~i continuu In timp, a ciirui variatie are loc la momente discrete de timp 13 1.1.5. Sernnalele cu valori discrete ale amplitudinii ~i continuitate In timp 13 1.2. Proprietati ale secventelor 14 1.2.1. Secvente periodice 14 1.2.2. Secvente pare 14 1.2.3. Secvente impare 14 1.2.4. Secvente marginite 15 1.2.5. Secvente cauzale 15 1.3. Exemple de secvente : 15 1 .3.1. Sernnalul impuls discret.. 15 1'.3.2. Sernnalul treapta unitara 16 1.3.3. Secventa constanta 17 1.3.4. Secventa exponentiala ~i derivatele ei: secventa cosinusoidalii ~i secventa sinusoidala 17 1.4. Operatii elementare cu secvente 18 , ' 1.5. Reprezentarea grafica a operatiilor elementare 19 2. Transformata Fourier Discreta.. 21 2.1. Transformata Fourier. Serii Fourier. Transformata Fourier In timp discret. Transforll1ata Fourier discreta. Definitii 21 2.2. ,Proprietati ale TFTD, TFD 25 2.2.1. Liniaritatea 25 2.2.2. Deplasarea secventei frecventei 25 2.2.3. Dualitatea TFD 26 2.2.4. TFD a secventei complex conjugate 267

a:1U

ruIn

er ru

lilru ul

2.2.5. Proprietatile de simetrie 26 2.2.6. Deseompunerea unei seevente ea suma de 0 seeventa para ~i una impara 27 2.2.7. TFD a seeventei obtinute prin convolutie circulara 27 2.3. Aplieatii ale TFD: Calculul convolutiei liniare utilizand TFD 28 3. Transformata Z 31 3.1. Transformata Z. Definitie 31 3.2. Proprietatile transformatei Z 33 3.2.1. Liniaritatea 33 3.2.2. Translatia in domeniul timp 33 3.2.3. Convolutia in domeniul timp 33 34 3.2.4. Convolutia in domeniul freeventa 3.2.5. Teorema lui Pareeval.. 34 3.2.6. Transformata z a secventei multiplicate eu k 34 3.3. Transformata Z inversa 34 35 3.3.1. Deseompunerea in fractii simple 3.3.2. Folosirea teoremei reziduurilor 37 3.3.3. Dezvoltarea in serie de puteri ale lui X(z), eehivalenta eu impartirea polinomiala B(z)j A(z) 39 41 4. Sisteme discrete 4.1. Defmitii: sisteme stabile, cauzale, liniare, invariante in timp 41 4.2. Reprezentarea sistemelor discrete 44 4.2.1. Reprezentarea sistemelor prin eeuatii cu diferente finite (EDF) 44 4.2.2. Deserierea sistemelor numeriee prin grafuri primitive de semnal. 49 53 4.2.3. Reprezentarea sistemelor discrete cu variabile de stare 5. Filtre numerice 59 5.1. Generalitati. Filtre numerice recursive. Filtre numeriee nereeursive 59 5.2. Reprezentarea filtrelor numerice LIT 60 5.2.1. Simboluri utilizate in reprezentarea filtrelor numerice 61 5.2.2. Structuri pentru filtre recursive 61 5.2.3. Structuri pentru filtrele nereeursive 66 5.3. Proiectarea filtrelor digitale 68 5.3.1. Filtre FIR eu faza liniara 69 5.3.2. Proieetarea filtrelor FIR 75 5.3.3. Proieetarea filtrelor IIR , 93 6. E~an_tionarea semnalelor continue 105 6.1. E~antionarea periodica 105

6,

6. 6.Cl

7.E7.

7. 8.A

8.8.

III 8.ut9.M

9.in

8

26ITa

27 2728 31 3133 33 33

33 34 34 34 34 35 37

cu39 41 41 44rite

44de 49 53

59 Ice 59

60 6161 ,66 ,68

.69. 75

.93105 105

semnalelor e~antioanate in domeniul frecventa 107 6.1.2. Reconstituirea semnalului de banda limitata din e~antioanele sale 111 6.1.3. Prelucrarea in timp discret a semnalelor continue in timp ......................................................................................... 113 6.2. Modificarea frecventei de e~antionare prin procesari in timp discret 117 6.2.1. Reducerea ratei de e~antionare cu un factor intreg 117 6.2.2. Cre~terea frecventei de e~antionare cu un factor intreg .. 121 6.2.3. Schimbarea ratei de e~antionare cu un factor neintreg rational prin prelucrari numerice 124 6.3. Conversia AJD 125 6.4. Calculul zgomotului de rotunjire datorat lungimii finite a cuvintelor de cod 130 7. Estimare ~i analiza spectrala 133 7.1. Metode neparametrice 136 7.1.1. Metoda periodogramei 136 7.1.2. Metode de mediere ale densitatii spectrale de putere Estimatorul Bartlett 138 7.1.3. Metode de mediere ale densitatii spectrale de putere Estimatorul Welch 139 7.1.4. Metoda Blaclanan- Tukey 140 7.2. Metode parametrice 141 8. Algoritrni iterativi. Filtre adaptive ..: 147 8.1. Calculul iterativ al funtiei de autocorelatie 147 8.2. Algoritm recursiv pentru calculul functiei de autocorelatie ~i interconilatie 151 8.3. A1goritmul Schur RLS pentru extragerea semnaieior din zgomot utilizfu1d filtrarea adaptiva 152 9. Metode moderne de pre1ucrare numerica a semnalelor 155 9.1. Aplicatie: eliminarea semnalului ECG din alte semnale fiziologice inregistrate neinvaziv , 155 9.1.1. Analiza Componentelor Principale (Principal Component Analysis - PCA) 155 (} -I ') A nnl;~n I'" "'"'" ""0"" "''"'t'''l''r Tnrl rl t flnrlp1"Ipndpnt n n ""'''.I..U,,-, n o. 1.'-. r"l. Q,11Lia VVJ.J.J.,p J..1'-'J.~ V ~~J.U"'.P".J. \ ...... _y_.L.I. ....... Component Analysis - leA) 156 9.1.3. Proiectia neliniara a spafiului stadlor (Nonlinear statespace projections - NSSP) 158\of

6.1.1. Reprezentarea

9

9.1.4. Anulatorul de zgomot sincron (Event Synchronous Interference Canceller - ESe) 159 9.2. Transformate timp- frecventa 170 9.2.1. Transformata Fourier pe termen scurt - TFTS (Short Time Fourier Transform) 170 9.2.2. Transformata Wavelet.. 172 Bibliografie 179 bioI, acth Din sune acth din. pent senu sau ~ timp

(de (de 0 semr

ampl sunt Reprl

10

Semnale. s9 P

Tipuri de semnale

1. SEMNALE. TIPURI DE SEMNALE

e

:2 I19

Prin semnal se illtelege 0 manifestare a unui sistem (fizic, biologic,etc), care serve~te ca mijloc de comunicare, ca manifestare a activitatii unui sistem sau generat pentru a testa proprietati1e unui sistem. Din prima categorie fac parte semnalele acustice (vorba, muzica, in general sunete), semnale vizuale (imagini), din a doua, semnalele generate de activitatea cardiaca (ECG), cerebrala (EEG), undele seismice, iar exemple din a treia categorie sunt semnalele radar, semnalele ecografice, semnalele pentru masurarea proprietatilor scoartei terestre. Indiferent de tipul, semnificatia sau utilitatea semnalelor, acestea pot fi reprezentate matematic. Un semnal este definit matematic printr-o functie unidimensionala sau vectoriala, in functie de tipul de informatie ce 0 reprezinta. In general, semnalul este 0 functie temporala (depinde numai de timp). Exista semnale care pe Hinga variatia in timp, prezinta ~i una spatiala (de exemplu: semnalul imagine in televiziune, RMN in medicina). Semnalele se numesc deterministe daca evolutia lor poate fi descrisa de 0 functie bine precizata de timp. Prin opozitie, un semnal aleator este un semnal a carei evolutie nu po ate fi descrisa de 0 functie temporara.

1.1.

Tipuri de semnale

1.1.1. Semnalul continuu in timp ~iin amplitudine Acest semnal are 0 gama continua de valori amplitudine. Aceste semnale sunt cele mai raspandite sunt reprezentate prin functii scalare sau vectoriale, Reprezentarea grafica a acestuia este exemplificata in atat ill timp cat ~i in in situatii1e practice ~i de variabila continua. Fig. I.

11

PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR

x(t)

o

t

Fig. 1. Semnal continuu in timp ~i in amplitudine

1.1.2. Semnalul continuu in amplitudine ~i discret in timp (secventa)Acest tip de semnal este definit la momente discrete de timp iar amplitudinea sa are valori continue ~i se mai nume~te ~i secventa. Se noteaza cu X(tk), unde k E I, {Xk} sau {X(tk)}. El se obtine de obicei prin e~antionarea semnalului continuu. Multimea I, este multimea ordonata de intregi. Un exemplu este prezentat in Fig. 2.X(tk)

carsau

Io

/-

....

....

t

Fig. 2. Semnal continuu in amplitudine ~i discret in timp

1.1.3. Semnalele discrete in amplitudine ~iin timp (digitale)Acest tip de semnale se int:alne~tein sistemele digitale de prelucrare a semnalelor ce pot fi reprezentate de un calculator, un procesor digital de semnale, sau de un program de prelucrare a semnalelor. Spre deosebire de semnalul anterior, amplitudinea acestui tip de semnal are valori intr-o mulpme finita de valori discrete (modul de oblinere al acestor semnale din semnalele reale continue in timp ~i in amplitudine este prezentat detaliat in capitolul E$antionarea semnalelor continue).

conanal

12

Semnale. Tipuri de semnale

'0-1 /

::+ I4'"

Xd(tk)

/

t1

I t2

....

t3 t4

--:-

.....

tFig. 3. Semnal discret in amplitudine ~iin timp

[e

n

1.1.4. Semnalul continuu in amplitudine ~i continuu in timp, a carui variatie are loc la momente discrete de timpAcest tip de semnal se obtine la ie~irea circuitelor StH (samplelhold sau e~antionare ~i memorare).xem(t)

Fig. 4. Semnal SIH

[ede

I

1.1.5. Semnalele continuitate in timp

cu

valori

discrete

ale

amplitudinii

~i

roo de

I

analogice (CDA). de semnale apare la ie~irea convertoarelor Acest tip

digitale

tin

in

13


I /... .......

....."....

,

interO'

t1

t2

t3

t4 t~

i6

17

t

Fig. 5. Semnal de la ie~irea CDA

1.2. Proprietati ale secventelor 1.2.1. Secvente periodice

o secventa

se nume~te periodica dad ~i numai: (1)

unde Neste eel mai mic numar natural pentru care relatia (1) este satisfacuta ~ise nume~te perioada secven!ei. eu f

1.2.2. Secvente pare

e~ar{xCA

o secventa

se nume~te para daca ~i numai daca: (2)

1.2.3. Secvente impare

o secventa

se nume~te para daca ~inumai daca:x[k]==-x[-kl Vk

(3)

fini1

14

1-;

Semnale.

Tipuri de semnale

ill''"':f", ,'.,::~

\%~~'

.Observafie:

In cazul secventelor impare x( 0) == 0 .

1.2.4. Secvente marginite

o secventa se nume~te marginita daca ~i numai daca exista un astfelincat: interval 1==[N1,N2],0, in E {* 0, krestI (4)

x[k]

==

1.2.5. Secvente cauzale ,

ox[k]

secventa

se

nume~te

cauzala

daca

~i

numai

dadi

rest = 0, In k ~ 0 .

{* ~,

1)

1.3. Exemple de secventeSemnalele discrete (secventele) se obtin de obicei prin e~antionarea cu pas constant (la intervale constante de timp, T, ce repezinta perioada de e~antionare)a semnalelor continue. N otatiile utilizate pentru semnalul discret astfel obtinut sunt: {x(t k)}'{x( k)}, x( k), x( kT), 2)

x[ k ], unde Teste perioada de eantionare:

(5)

1.3.1. Semnalul impuls discretEste echivalentul discret al semnalului Dirac (semnal de energie finita,deci semnal fizic realizabil). Este definit de relatia:

3)

I

15

~------

PRELUCRAREA DIGIT ALA A SEMNALELOR

o[k]= {1,k = 0 O,k;t 0

(6)

Acest tip de semnal sta la baza determinarii functiei ponderea sistemului, a~a cum semnalul Dirac este utilizat in determinarea functiei pondere a sistemelor continue. cosi

l

1

L..

Fig. 7. Impulsul unitar

1.3.2. Semnalul treapta unitara Este definit in mod analog semnalului treapta unitara continua, avand valori nenule pentru valori pozitive ale timpului, n. (7) unde

diSC

o-[k]

= { 0, in 2:0 l,k rest

rut -, --,--t- 'nu_I Io 1 2 3 k Fig. 8. Functia treapta unitara

secv( smus

-~4

.,

~-

r,

r,

r

,

Observatie: b'lkj=atkJ-atk-1Juncle

16

Semnale.

Tipuri de semnale

(6)

1.3.3. Secventa constanta ,

erea ~~iei 1.3.4. Secventa exponentiala cosinusoidala ~i secventa sinusoidala

(8)

~i

derivatele

ei:

secvcnta

Secventa exponentiala discreta reala Se ob!ine din secven!a exponentiala continua (x[k] = rk, k E Z):

(9) Secventa exponentiala complexa Este utilizata In analiza raspunsului discreteliniar invariante In timp. Este definita de relatia:.2"k J-"

In frecven!a al sistemelor

tinua,

(7)

x[k]=e

N

(10)

uncle Neste un numar Intreg. Secventa este periodica, cu perioada N. Partea reala a acestei secvente este secventa cosinusoidala iar partea imaginara este secventa sinusoidala. Partea reala ~i partea imaginara se obtin cu relatiile lui Euler:

(11)

unclee jm = cos e + j sin e .

Secventa sinusoidala: s[k] = sin

21f k

N

17


Secventa cosinusoidahi: c[k] = cos 2Jr k

N

segn Observatii: , 1) atat funclia sin cat ~icea cas soot periodice, cu perioada N; 2) semnalul Dirac poate fi folosit pentru descrierea matematica a oricarei secvenle digitale: asupx[k] = fx[n]a[k-n], -00 6[k-n]=

O:inrest {lk=n

(12)

Aceasta relalie este utila in analiza sistemelor discrete liniare invariabile in timp.

1.4.

Operatii elementare ell secvente

Orice tip de filtru numeric poate fi caracterizat (bine precizat) de 0 succesiooe de operalii elementare: 1) adooarea secvenlelor

2) inmullirea cu un scalar

3) inwzierea secventei cu 0 perioada Fie ~-1 operatorul inwzierii secvenlei eu

0

perioada.

4) depiasarea Inainte cu 0 perioada Fie ~ operatorul deplasarii secvenlei in avans cu 0 perioada.

18

Semnale. Tipur; de semnale

5) lnmultirea Se realizeaza prin lnmultirea e~antioanelor corespunzatoare acelora~i segmente de timp.

~aa

6) operatorul neliniar Se obtine secventa de ie~ire prin aplicarea operatorului neliniar asuprafiecarui e~antion asupra segmentului de intrare:

r

(12)

Hare

7) convolutia secventelor Este definita de operatorul *:*, {Xl [k n, {X2[k n:=} {y[k n = {Xl [k n * {X2[k n,y[k]= i:Xl[nlx2[k-n]=n;::;-oo

i:Xl[k-nlx2[n]n=-oo

de 0

1.5.

Reprezentarea grafica a operatiilor elementare

x[k]

y[k] =ax[k]

19

PRELUCRAREA

DIGITALA A SEMNALELOR

x[k]

~

.y[k]=x[k-l]

x[k]

~

y[k]=x[k+l]

x[k]

e----{!J----+

y[k] = r(x[kD

Tran conti

defirtram

inter repet Fig. 9. Reprezentarea grafica a operapilor elementare cu secvente

num~

20

Transformata

Fourier Discretd

2. TRANSFORMATA FOURIER DISCRETA

.2.1. Transformata Fourier. Serii Fourier. Transformata Fourier in timp discret. Transformata .. ourier discreta. Definitii. F ,Transformata Fourier Discreta (TFD sau DFT - Discrete Fourier Transform) este 0 transformata Fourier ce permite estimarea frecventelor continute Intr-o secventa de durata finita. Pentru defmirea acesteia, facem analogie cu transformatele Fourier definitepentru sernnalele continue. Atunci cand semnalul continuu nu este periodic el este descris de transformata Fourier, respectiv de transformata Fourier inversa.00

F(Q) = fJ(t)e-iQt dt-00

(1)

1

00

J(t) = -21f f F(Q)eJQt dQ-00

(2)

Un sernnal continuu este periodic daca valoarea lui se repeta la un intervalbine determinat de timp. eel mai mic numar pentru care valoarea se repetase nume~te perioada semnalului. Matematic, periodicitatea se exprima prin rela!ia::nte

x(t)

= x(t + nTo),

"i/

t unde To - perioada sistemului, ~i n este un

numarIntreg. Un sernnal continuu periodic este descris printr-o serie Fourier: (3)

21

. I

PRELUCRAREA DIGITAL~ A SEMNALELOR

n .... . tctenln senel Founer: un de Uo = -21!. tar an sunt coe fi' ,To

(4)

res]

In mod analog se define~te Transformata Fourier In Timp Discret (TFTD) ~i inversa ei (TFTDI), pentru secven1e de duratii injinitii. Fie secvenla x[k] = f(kTo) ohlinuta prin e~antionarea sernnalului continuu !(t) cu perioada constanta To. TFTD este determinata prin relatia: (5)

X(ei{i})= fx[k].e-ik{i},k=-oo

res

unde

OJ

= 21!

L Fs

reprezinta

frecvenla digitala, adimensionala,

~ =~To

reprezentand frecventa de e~antionare.un,

Observatie: TFTD este periodica cu perioada

27t.

Secventa originala este determinata de transformata Fourier in timp discret inversa (TFTDI):cat

(6)

ex]

tradis Pri

unde integral a se calculeaza pentru 0 perioada, 27t, de obicei consideranduse in formula anterioara intervalul I::;; [-1T,JZ-]. Atunci cand secven1a discretii este periodicii cu perioada N,1 [' (0, k ~ fo, N -11 xlkj=xlk+nNJ>nEZ, sau de duratiifinitii, xkJ=~ L:;c-0, k [0, N -1 se ~] E defme~te Transformata Fourier Discretii (TFD sau DFT - Discrete Fourier Transform): ~ p

un

22

Transformata Fourier Discretii

X [N-l IX[k].e n]=k=O

,2;r -IN 1m

(7)

(4)

I

respectiv transformata Fourier discretA inversii TFDI: [k]=-1 N-} IX[n]eNn=O

ere!

X

l;r /en N

(8)

Fier(t)

Aceste relatii mai pot fi scrise sub forma:N-}

X[n]=

(5) respectiv:

Ix[k].wNIm,k=O

(9)

1N

N-}

x[k]=- IX[nlw~,n=O

(10)

,2;r J-

unde wN

=e

N

(6)

Observatie 1. TFD este periodic ii, cu perioada N, ~i este prin urmare complet caracterizatii prin N valori. Importanta acestei proprietiiti constii in faptul cii existii posibiiitatea caicuHirii exacte a transformatei Fourier discrete ~i a transformatei Fourier discrete inverse. 2. Cele N valori ale lui x[k] ~i respectiv ale transformatei Fourier discrete, X[n], pot reprezenta componentele unui vector x, respectiv X. Prinurrnare, TFD poate fi scrisii sub formii matricealii sub forma: X=Wx(11)

Idu-

N,

] semer

undevectorii sunt definiti sub forma unei coloane:

23

PRELUCRAREA DIGITAL4. A SEMNALELOR

(12) x= [ X(~-l) X(O) W este 0 matriees;,

1 ,x=,-X(~_l)j' r X(O)

1

eu dirnensiunea

N x N avand elernentele

Wn,k -- w-kn , unde 0 s;, k,n N

N-1

Tabel 1- Formule ale transforrnatelor introduseTF'"

J(t)energie jinitii

F(jOJ)

= fJ(t)e-jtiJtdt

(TF)

SFJ(t)

I1 a(n) = ToTo .

periodic

fJ(t)e-JnDo'dt1To

(SF)

(To~TFTD

:.J

OQ

J(t) = La(n)einDo'n=-

(SFI) (TFTD)

e~an

x[k] = J(kTo)

X(eiOJ)= Ix[k].e-ikalk=-oo

X[k]=_1 fx{eial).eJkaJdaJ 27i-1l

(TFTDI)

Dad

TFDx[k] X[n]

N-I

.21l1m -J- .

= Lx[k].ek=O

N'1

(TFD)j""ll 1m N

periodiea sau durata finita

de

1N-I

N-I

_

x[k]=-. LX[nJ.eN hOX[n] = LX[k].wNknk=O

(TFDI) unde

. _

1

N..=,l

.

I I

x[kj=-- LX[nJ,wi:; N k=O

pena

!oj Jil24

Transformata

Fourier Discretii

2.2.(12)

Proprietafi ale TFTD, TFD

2.2.1. Liniaritatea entele

WldelungirneaN) =

max(Nl,NJ,

seeventei rezultante, N3, este deterrninata de relatia Nl ~i Nz fiind lungirnea seeventei xl[k], respeetiv xz[k]. Prin urmare putern serie:N3-l

X[[n]=

k=O

N3-l

XJnJ=

I I

xl[k]'W~,O::s;n::S;N3-1

xz[kJ.W~,O::s;n::S;N3-1

k=O

Observatie: Se poate ealcula TFD ~i pentru e~antioane daea se eornpleteaza seeventele eu valori nule.

rnai rnulte

2.2.2. Deplasarea secventei frecventei

La fel se poate arata ea:

.2,.

undeW:; = e -J/ikm ~i (O)N reprezinta operatorul modulo N.il

Pentru periodice:

a demonstra

relatia

anterioara

consideram

secventele

J25


x[k]=x[((k))N]< x1[k]=Xl

TFD

)

X[n]=X[n])

~i,27!

[((k))N

]= x[((k - m))N ]1 [((mNm=O

N -1 . Operatorul utilizat In

reprezentarea convoluliei circulare se noteaza cu .

27

PRELUCRAREA DIGITAL.\. A SEMNALELOR

Cu notatia anterioara, considerand X3 [k J ,relatia (26) se poate scrie sub forma:

0

perioada

a

secventei

(27) unde xj[k], x2[k] au lungimea N. Proprietati ale convolutiei circulare: Convolutia circulara este comutativa. Pe baza dualitatii se pot deduce de asemenea urmatoarele relatii:

maxlI lungil

X(eia

2.3. Aplicatii ale TFD: Calculul convolutiei liniare utilizand TFDDeoarece TFD se poate implementa rapid hard ~i soft, existand pentru aceasta algoritmi rapizi de ealeul (TFR - Transformata Fourier Rapida, sau FFT - Fast Fourier Transform), se pune problema utilizarii TFD in prelucrarea semnalelor digitale pentru a obtine diferite valori. a) Un exemplu aplicativ al TFD este eaIculul convolutiei a doua secvente, in urmatorii pa~i: 1) CaIculam TFD in N puncte pentru xj[k] ~i x2[k], XI[n] X2[n], cu algoritmii FFT. 2) Calculam X3[nJ= Xj[nJ. X2[n10:::; n:::; N-l 3) Calculamx3 [k J

TFD.

egaUi in N detern sau cb convo seeveI

~i respectiv

= XI [k JX2[k] ea fiind TFDI a lui X3[ n].

Acest lucru este util pentru di de exemplu sistemele Liniar Invariante in Timp (LIT) necesita operatii de convolutie intre secventele de intrare ~i functiile pondere. b) Un alt exemplu 11reprezinta eonvolutia liniara a doua secvente de durata finita.

secver

Transformata Fourier Discretii

utei

Ix2[k]

Fie xl[k]

0 secvenla de lungime L (xl[kJ:;tO(x2 [k J:;t

pentru k=O,L-l)

~i

:27)

I

0 pentru k = 0, P -1). Presupunem ca dorim sa eombinam aeeste seevenle prin eonvolutie liniara. Fie x[k] rezultatuleonvoluliei liniare a eelor doua seevenle:00

0 seevenla de lungime P

x[k]=

L>l[m].m=-oo

x2[k - m], k E

Z

Deei x[k J = 0 pentru k < 0 sau pentru k > L + P - 2 . Lungimea maximaa seevenlei x[k] este L + P - 1 atunci eand seevenlele de intrare au lungimidiferite (L, respeetiv P). e) Convolutia eireulara privita ea 0 eonvolulie liniara eu aliere Se poate arata ea daea e~antionam TFTD a uneiseevenle finite x[k],X(eiaJ),

in N punete eehidistante

(j)n

= ~

n

se obline seevenla periodiea Z:

lre

TFD

a seeventei x[k] sau x[k J = x[((k

))N ], k E

x[kJ< md 'lerFD

TFTD

)X(eJaJ)~x[kJ O.

Deei orieare I

>0

avem:p

rz + IajrZ-ii=l

=0

(38)

(39)

Relatiile sunt eehivalente eu eele de sus. De asemenea:

143

PRELUCRAREA


Prin urmare (j2 este definit de intercorelatia intre semnalul de eroare ~i semnalul estimat. Teoria proiectiei Fie y

= b{k],

k E Z} un proces aleator real, cu medie nula ~l

stationar de ordin doi. Fie H k (y) = {k-l ai y[ k - i aj E ~

1

R}

H k (y) este un spatiu vectorial de dimensiune finitii in spatiu1 variabilelor aleatoare. Considenlnd ecuatia (34) se arata ca y[k]- y[k] 1- y[k] :> relatiile de mai sus. Algoritmul autoregresiv Burg de determinare

, a coeficientilor

modelului

Consideram secventa y[k 1k = 0, L-1L-I

Initializare: do = 2Ly2[k]k=O

Co

=0

Calcul recursiv: Pentru m = 1, ndm

= (1- C~_l}im-l L-1 k=m

e~_l [m

-1]- e;_l [L -1]

1m

= Lem_1[k].em_1[k-1]

144

Estimare $i analiza spectra/a

Dupa ca1cu1area coeficienti1or de reflexie, em , se determina coeficientii de predictie fo1osind a1goritmu1Levinson-Durbin: Initia1izare: a(o, z) = 1, 21(0, z) = 1 A1goritm recursiv de calcul:

a(m+l,z) [c'l(m+l,z)] - [ cm+J 1

145

Algoritmi iterativi. Filtre adaptive.

8. ALGORITMI ITERATIVI. FILTREADAPTIVE.

Algoritmii iterativi sunt utilizati pentru calculul online (1n timp real) al unor parametrii de interes ai semnalelor discrete, cum ar fi calculul functiei de autocorelatie ~i al functiei de intercorelatie.

8.1.

Calculul iterativ al funtiei de autocorelatie , ,

Vom calcula functia de autocorelatie a secventei x[k] prin relatia:

cj[k]

==

IL--jn=O

w[n]' sj(k - n),j

==

o,N

(1)

unde:

w[ n ] == a ~l

fJ

L-l cos( 27r . n), 0 ~ n ~ L - 1 == a -

fJ

cos(r . n)

(2)

(3) Demonstram ca functia de autocorelatie se poate determina iterativ prin relatia: (4) unde:

Hj[k]== GAk]==

Hj[k -GAk

-1]+ sj[k]-

Sj [k - L] L

2]+ sAk] + Sj [k -

-1]+ cos(y)

(2GAk

-1]-

Sj [k -1]-sAk

- L])

(5)147


Demonstratie:L-I

cAk] =

L (a - /3cos(ny))sAk - n] =n~

IL-In~

(as) (k - n)- /3cos(ny )s) (k - n)) =(~

L-I

L-I n=O

= a LS) [k - n]- /3Lcos(ny)s) [k- n]n=O

Notam.:L-]

G

HJk] = LsAk-n]n=O

L-]

(7)

GJk] = Lcos(ny)sAk-n]n=O

~i rezulHi relatia (5). Determinarea recurentei pentru calcului lui H:

L-l

n'=n+l L

L-I

HJk-l]=

LsJk-l-n]n=O

-

],L

LsAk-n']=n'=]

n'=O

LsJk-n']+sJk-L]-sJk]=

= HJk]+sJt

-L]-sJk](8)

-Aceasta Inseamna ca: (9) Determinarea recurentei pentru calcului lui G

148

Algoritmi iterativi. Filtre adaptive.L-I n'=n+l L n=n'-I n'=1 I,L

0Ak-I]=

Lcos(ny).sAk-I-n]n=O

=

Lcos((n'

-I)y).sAk-n']= (10)

= cosy (OJ[k]+ cos(yL). sAk - L]- sAk]) =L L

= Lcos(n'n'=1 L-l

y).cosy.

sj[k - n']+ Lsin(n'y).n'=1 n'=n+2 L+l n=n' -2 n'=2 2,L+l L+I

siny sj[k - n']

OAk~2]=L+I

Lcos(ny),sAk-2-n]n=O

=

Lcos((n'-2)y).sAk-n']=

= Lcos(n'y).n'=2 L+I

cos(2Y)' sAk - n']+ LSin(n'y)'n'=2 L+l

sin(2y). sAk - n'] = sin y. Sj [k - n'] =

= cos(2Y) Lcos(n'y).d=2

sj[k - n']+ 2 cos y. LSin(n'y)'n'=2

= cos(2y). ~cos(n'Y)' L+l

sj [k - n']+ 2 cos y. [ ~sin(n'Y)' L

siny sAk - n']-

- sin y . sin y . sj [k -1] + sin y .sin(y(L + 1))' sj [k - L -1]] = = cos(2Y) ~cos(n'Y)' L+lL+l

Sj [k - n']+ 2 cos y. [ ~sin(n'Y)' L

siny Sj [k - n']J + ~

+ 2 cosy [-sin2 y. sAk -1]+ siny' sin(y(L + 1))' sAk - L -1]]=

= cos(2Y)' Lcos(n'y),sAk-n']+n=2

+ 2 cosy -[ OAk -1]- ~cos(n'Y)COSY .sAk- n']] ++ 2 cosy [-sin2 y. sAk -1]+ siny sin(y(L + 1))' Sj [k - L -1]] (11) Tinand cont de relatia (10), relatia (11) devine:

149


Gj[k - 2]:::: 2 ,cosrGj[k-l]+

+ cos(2y).

[t,cos(n' y).Ln'~l

Sj [k -

n'J-cos y.

sf [k

-I

J+ cos(Y(L +

I)). Sf [k - L -11]-

-2 cos2 r Lcos(n'y).sAk-n']+ + 2 cosy [-sin2 y. sj[k -1]+ siny.sin(Y(L::::2 .cosy.Gj[k -1]+

+ 1)). sj[k - L -Ill::::

+ (cos(2y)- 2cos' y

)(t, cos(n'y)

sf [k - n'J)- cos(2Y) cosy. sAk -1]+

+ cos(2Y) cos(Y(L + 1)). Sj [k - L -1]- sin(2y). sin y. Sj [k -1]+

+ sin(2y). sin(y(L + 1)). sj[k - L -1](12)

Tinand cont de relatia trigonometrica cos(2y)- 2cos2 y ::::-1 , relatia (12) devine: GJ [k - 2]::::2 cosy Gj [k -1 ]-- Gj [k]+ sAk ]-Sj [k - L]. cos(yL)- cos(2Y)' cos y. Sj [k -1]+ cos(2Y) cos(y(L + 1)). Sj [k - L -1]- sin(2y). siny sAk -1]+ sin(2y). sin(y(L + 1)). sAk - L -1]:::: ::::2 cosy Gj[k -1]- Gj [k]+ sj[k]- Sj [k -1]. [cos(2Y) cos y sj[k - L]. cos(yL)(13)

+ sin(2y). sin y]+

+ Sj [k - L -1]. [cos(2y). cos(Y(L + 1))+ sin(2y) sin(y(L + 1))]

Considerand ca avem relatia cos( a - b) ::::cos a cos b + sin a sin b , (13) devine:GAk - 2]::::2 cos y. Gj [k -1]-GAk]+- S j [k -1].

sAk]-sAk

- L]. cos(rL)-

(14)

cos r + Sj [k - L -1]. cos(Y(L -1)) Dar considerand relatia (15), (14) devine (16) sau (17):

L-l cos(YL):::: COS(2lr~)

:::: OS(2lr C

L-l +~)

= cos(2lr

+y):::: COSy

(15)

C L -1) c cos(Y(L -1)) :::: OS(2lr L-l :::: os(2lr) = 1CAk -sj[k

2] = 2 cosy GJk -1]- GAk] + sj[k]- sAk - L). cosy -1]. cos r + sj[k -L -1]150

(16)


GAk] = -Gj[k-2]+sAk]+sAk +cos(r) (2GAk -IJ-sAk]-

-L -1]+-1]-sAk - LJ) (c.c.t.d.)

(17)

8.2. Algoritm recursiv pentru calculul functiei de autocorelatie ~i intercorelatie..T abel 1. Calculul functiei de auto- ~i intercorelatie La fiecare moment de timp k calculeaza: Intrare: Semnalele discrete x[k] ~i y[k], Lungimea ferestrei - L Inirializare, j = 1,L -1 :L-I

Aj[k-l]= Bj[k-l]= BAk-2]= A~[k-l]=

IX[k-n-l],x[kn=O

j-n] x[k - j -nJ j-n-l]

L-l

Lcos(2kirn=O

I(L -1)) x[k -n-l].

L-I

Icos(2kir/(L-l)).x[k-n-2].x[kn=O

L-I

Iy[k-n-l].x[kn=O

j -n]

L-l

B~[k -1] = Icos(2kirn=O

I(L -1)). y[k - n -1]. x[k - j - n] I(L -1)). y[k - n - 2]. x[k - j - n-l] Pentru j = 1,2,...N +1 - L]

L-l

BJk - 2]= Lcos(2kirn=O

Adaptare: aAk] = x[k].x[kBAk] = -BAk -2]+aAk]+

j -1], AAk] = AAk -1]+ aAk]-aAk aAk -L -1]+ - L])

+COS(27T -1)). (2. BAk -1]- aAk -1]-aAk I(LCj

[k] = 0.5 .Aj [k]- 0.5 . Bj [k] [k - L]

.8Ak] = y[k]. x[k - j -1], A~[k]= A~[k -1]+ .8Ak]-.8j B~[k] = -B~[k - 2]+ .8Ak] + .8Ak - L -1]+

+ COS(27T -1)). (2.B~[k -1]- .8Ak -1]- .8Ak - L]) I(Ld j [k] = 0.5 . A~[k] - 0.5 . B~[k] 151

PRELUCRAREA

DIGIT AL.\ A SEMNALELOR

8.3. Algoritmul Schur RLS (Recursive Least Squares) pentru extragerea semnalelor din zgomot utilizand filtrarea adaptivaProblema care se pune este extragerea semnalului din zgomot, atunci cand acesta nu este corelat cu sernnalul de interes, care este analizat. Ideea de baza este eliminarea zgomotului atunci cand avem la dispozitie 0 varianta a acestuia, adaptand coeficientii unui filtru adaptiv astfel incat sa reconstruim zgomotul ce afecteaza sernnalul util, pentru a-I elimina ulterior prin sdidere, a~a cum este prezentat in Fig. 1.

1=1s[k]

+

Semnal iesire(curat:at)

Sursa2'gOIDotv[k]

~.!

?

"l

Filtrare adaptiva

ly[k]

Fig. 1. Anulatorul de zgomot adaptiv Afirmatii1e sunt reprezentate coeficientilor filtrului adaptiv, w :M-j

matematic

de

determinarea

y[k] = L>:V[nlv1[k-n]n=O

(18)

astfel incat eroarea patratica medie a erorii este minirnizata: (19) considerand ipotezele: - s[k] ~i Vo [k] sunt necorelate: (20)

r

s

t

152


- semnalul de interes, s(k] ~i semnalul de referinta, vj (k] sunt necorelate, dar Vo (k] ~i v] [k] sunt corelate:

unde p[nJ este funclia de intercorelalie pentru Intarzierea n. Conform schemei din Fig. 1, semnalul de referinla este filtrat adaptiv ~i scazut din semnalul masurat continand semnalul de interes, astfel Incat eroarea me die patratica este minimizata. Un algoritm adaptiv propus pentru anulatorul de zgomot adaptiv este prezentat In Fig. 2 ~i descris In tabelele 2 ~i 3.

y[k]

= eo[k]

Fig. 2. Filtrul adaptiv indus In anulatorul de zgomot adaptiv Tabel 2. Determinarea coeficientilor de filtrare Pentru fiecare moment k se calculeaza: Intrare: Semnalul discret de referinta - x[k],Co

Semnalul discret

masurat corupt - y[k], semnalul de referinta,

functia de autocorelatie pe termen scurt, pentru[k 1c] [k 1.., C N [k],

funclia de intercorelatie pe

termen scurt, do [k 1dl [k 1...d N [k] ,

153

PRELUCRAREA


Ini!ializare:

Eo [k]

= Ro [k] =K([k]= HI[k]=Kjb

Co

[k] co[k-lJ

-cl[k]/

-dl [k]/ cork

-1

J

[k] = -c1 [k]/ Co[k J ci,Jk]=cAklcg,j[k]=cj[kl Do,Ak]

Pentru j=I,2,Adaptare:

... ,N:

= dJkl

RJk

-IJ

= cJk -1]

Pentru m = 1,2,..., N -1 se ca1culeaza:

Em [k] Rm[k]

= Em-l [k]+

K~[kl

C~-l,m [k]

= Rm-l [k -1]+ K~ (t). C~_l,m[kJ = C~_l,j [k]+ K~[k

Pentru j = m + I,m + 2,..., N se ca1culeaza:C~,j [k]

l

C~-l,j-l [k -1] CLl,j [k]

C,~,j [k] =

C~-l,j-l[k

-1 + K~ [k].J

Dm,j [k J = Dm-1,j [k J+ H m[k]. C~_l,j_l [k K~+l [k]

-1]

= -C~,m+l [k]/ Rm[k -1]Em [k]

K'~+lk] = -C~,m+l [k]/ [Hm+l [k]

= -Dm,m+l [k]/ Rm[k

-1

J

Tabel 3. Procedura de filtrare Pentru fiecare moment de timp k se calculeaza:Intrare:

Semnalul discret de referinta, x[k] Semnalul discret masurat, afectat de zgomot,K~[kl K~l[k], Hm[kl1::;

Inifializare: Adaptare:

m::; N

Penttu j = 1,2, ...NeJ [k] r/ [k] e; [k]

= eJ-I [k]+ K

f [k]

rj_l [k

-1]

= rj"-l [k -1]+ K~ [k] eJ-l [k] = e;_1[k]+ Hj [k]' rj_l [k -1]

154

Metode moderne de prelucrare numericii a semnalelor

9. METODE MODERNE DE PRELUCRARE NUMERIC A A SEMNALELOR

'9.1. Aplicatie: eliminarea semnalului ECG din alte semnale fiziologice inregistrate neinvazivIn acest paragraf ne propunem sa solutionam problema eliminarii sernnalului ECG, prezent pe toata suprafata corpului uman, din semnalele inregistrate neinvaziv, pe corpul uman, in vederea extragerii altor sernnale fiziologice de interes (semnal diafragmatic - ofera neinvaziv informatii despre activitatea respiratorie, sernnale abdominale inregistrate pe abdomenul femeilor gravide - ofera ECG-ul fetal, electrogastrograma ofera informatii privind functionarea tubului digestiv, etc. Simpla filtrare (FIR, IIR) de cele mai multe ori nu este posibila, deoarece spectrul semnalului de interes ~i spectrul sernnalelor perturbatoare se suprapun de obicei. Pentru a rezolva aceasta problema se pot utiliza filtrarea adaptiva, utilizand un sernnal de referinta artificial, sau chiar sernnalul ECG inregistrat tara perturbatii, de exemplu pe umeri, folosind algoritmul de filtrare adaptiva prezentat in capitolul anterior, sau se pot utiliza metodele prezentate in sectiunile care urmeaza.

9.1.1. Analiza Componentelor Principale (Principal Component Analysis - PCA) Metoda PCA este 0 metoda statistica ce reduce dimensiunea unui set de date cuprinzand un numar mare de variabile. Metoda construie~te, pe baza matricei de covariatie a variabilelor din setul initial, extins de date, un nou set de variabile, necorelate, retinand cat mai mult din variatia prezenta in setul de date initial. Fie x;[kl'i=1,2, ...,q un set de q sernnale sursa statistic independente, inclus in setul de variabile initial, pe care ne propunem sa 11

155.

PRELUCRAREA

DIGIT ALA A SEMNALELOR

extragem din acesta din urma, incluzfu1d p canale yAk 1iniara dintre aceste seturi fiind descrisa de re1a!ia:

1j

= 1,2,..., P , rela!ia

y=Ax

(1)

Conform algoritmului PCA, componenta principala i este acea componenta principal a (PC), Xi' avfu1d cea de-a i-a valoare din setul descrescator a1 varian!e1or, corespunzand valorii proprii i ~i vectorului propriu i al matricei de covariatie a setului de date Inregistrat, initial, notata cu ~:~

x=Ay~

(2)

A este matricea ortogonala avand coloana i, ai' data de valoarea proprie i a matricei L :~ ~

~A=AA

(3)

unde 1\ este matricea diagonal a avfu1dvaloarea i de pe diagonala principala data de a i-a valoare proprie a matricei L, ca marime, adica a i-a valoare a varian!elor componentelor principale, ordonate descrescator. Deoarece PCA se bazeaza p~ analiza matricei de covaria!ie, ea implica analiza statistica de ordinul 2. In cazul problemei considerate, PCA va identifica Intr-o componenta semnalul perturbator ECG, ~i In mod corespunzator in alte componente semnalul util ~i celelalte semnale perturbatoare.

9.1.2. Analiza Componentelor Component Analysis - ICA)

Independente

(Independent

ICA este 0 metoda statistic~ ce elimina nu doar dependen!ele de ordinul 2 mtre variabilele setului de date initial ci ~i dependentele de ordin superior, bazfu1du-se prin urmare pe statistica de ordin superior (HigherOrder Statistics). Fie y vectorul de observatie (de ie~ire) cu p componente ~i fie x vectorul surselor avand q componente. rCA extrage componentele Xi [k], i = 1,2,..., q In conditia in care acestea sunt combinate liniar, prin relatia:

156


y=Ax+n

(4)

unde A reprezinta matricea de mixare sau de transfer iar n reprezinta zgomotul aditiv, considerand ca: - coloanele matricei A sunt liniar independente; - componentele vectorului x sunt mutual independente statistic; - componentele vectorului x ~i componentele zgomotului sunt independente statistic. 'In scopul obtinerii componentelor independente, matricea de mixare este estimata astfel incat:A

x=Ay

(5)

Exista numero~i algoritmi propu~i in literatura de specialitate pentru calcularea matricei A. Prezentam in continuare unul din ace~ti algoritmi, ~i anume Joint approximate diagonalization of eigen-matrices (JADE), ales datorita volumului de calcule redus. JADE poate fi sintetizat in urmatorii pa~i: 1. Ini{ializare: Se estimeaza matricea de albire W pentru variabilele vectorului y ~i se construie~te vectorul variabilelor observate albit:

z=Wy

(6)

2. Se calculeazii cumulan!ii: Pentru procesul albit z se determina setul maximal de matrice cumulanti de ordinul 4, {Qt}. 3. Se realizeazii diagonalizarea: Este estimata matricea V care diagonalizeaza cat mai mult matricele cumulanli, minimizand funclia dedef

contrast

JADE

(x) =

Q~kl ijkl*iikl

L

:

(7) undedef

Off(F) =

L lij2i*J

(8)

157

PRELUCRAREA

DIGITAL~. A SEMNALELOR

4. Extragerea componentelor independente. Se determina mai intlli matricea A cu relatia A = v'w . Ulterior se determina componentele independente prin relatia:

x=V'z=V'Wy

(9)

In cazul problemei considerate, leA va identifica, ca ~i PCA, intr-o componenta semnalul perturbator ECG, ~i in mod corespunzator in alte componente semnalul util ~i celelalte semnale perturbatoare.

9.1.3. Proiectia neliniara a spatiului starilor (Nonlinear statespace projections - NSSP) Metoda folose~te coordonate de intarziere pentru a reconstrui spatiul fazei sistemului cardiac dinamic, considerand ca un segment ECG parcurge gama 0 - 2n. Pentru e elimina semnalul ECG se realizeaza 0 aproximare a acestuia prin metoda NSSP, aplicabila semnalelor haotic deterministe. Descrierea pe SCUrta algoritmului este urmatoarea. Consideram ca y descrie un sistem dinamic determinist, scris in spatiul m dimensional al coordonatelor de intarziere (m se nume~te ~i dimensiunea de inserare):(10)

ldeea

fundamentala

este

determinarea

unei

aproximari

de

dimensiune mica pentru atractorul {y k }, pentru a proiecta fiecare punct alYk

~

pe aproximarea atractorului, pentru a obtine 0 varianta buna, curatata,~

Yk .

Vectorii curatati

Yk

soot apoi combinati pentru a obtine semnalul

scalar, Yk ' reprezentand aproximarea semnalului cvasiperiodic ECG, la momentul k. Pentru a determina atractorul, se identifica toate pooctele din vecinatatea luiYk :

(11)

158


unde

11-11

reprezinta norma distanta maxima Intre Yn ~i Yk' Centrul local al acestor puncte, (Yk)' este determinat apoi ca un

vector medie; In continuare se calculeaza matricea de covariatie ponderata locala pentru setul vecinilor U(k): (12)

Aproximarea vectorului ECG este:o ~k = Yk -R-1Lcq[cqq=1

.R(Yk -(Yk))]

(13)

unde

cq

sunt Q vectori proprii ai matricei C~k) avfu1d cele mai mari valori

proprn.

9.1.4. Anulatorul de zgomot Interference Canceller - ESC)

sincron

(Event

Synchronous

ESC este 0 metoda de eliminare a zgomotului descrisa In Fig. 1; metoda elimina din semnalul Inregistrat y sursa de zgomot repetitiva, disponibila Intr-un semnal aditional, n, In scopul extragerii semnalului de interes.

Fig. 1. Anulatorul de zgomot sincron (Event Synchronous Interference Canceller - ESC). Un model al segmentului ECG perturbator este construit prin mediere, In urma detectarii complexelor QRS ~i este apoi scazut din semnalul original.

159

PRELUCRAREA


Blocul 'Compensare' aplidi un ca~tig adaptiv In scopul includerii variatiilor complexelor QRS din cadrul segmentelor ECG. Sursa de zgomot adi!ional (semnalul ECG de referinta) nu este necesara, putand fi estimata din semnalul mregistrat, Insa prezen!a ei Imbunata!e~te performan!a algoritmului ESe. ESC este 0 generalizare a filtrarii adaptive, filtru adaptiv fiind eliminat, realizandu-se direct scaderea valorii estimate a sursei de zgomot. Semnalul de referinta artificial este construit prin repetarea segmentului ECG perturbator obtinut prin medierea segmentelor ECG din cadrul semnalului Inregistrat, ori de cate ori se detecteaza un complex QRS In y. Pentru a analiza performanta metodei considera urmatoarele trei cazurl. Cazul I: Segmentele repetitive nu sunt afectate de variabilitate In acest caz toate segmentele ECG au aceea~i lungime, Nrp Amplitudinea undelor ECG nu se schimba In cadrul segmentelor, semnalul ECG fiind periodic, cu perioada Nrp, rezultand din repetarea periodidi a segmentului v rpvo[n:

+ tk] = vo[n + trl Vk,r,tkv![n

-tr

=

Nrp

(k - r ),n = O,Nrp - r ),n =O,Nrp

(14)

v![n +tk]=

+ t,1

Vk,r,tk

-tr =

Nrp . (k

Semnaiulinregistrat,

care contine ~i

vrp

ca sursa de zgomot, este: (15)

Eroarea in cazul medierii este:

&=

Lk

(so

[k]- z[k D2

=2

L

(so

[k]-

So [k]- Vo [k]+ v2

[k D2

I(v2[k]-vo[kD2k

N,p NR

=

II(v2n=O k=!

[n

+ tk ]-vo[n + tk D2

(16),160

Metode nwderne de prelucrare numericd a semnalelor

Fig. 2. Semnalul ECG - nici 0 variatie nu este inclusa in segmentele ECG; in plus, lungimea acestora este presupusa constanta Deoarece valoarea template-ului ECG este data de (17), va rezulta (18):

(17)

Oar LLso(n+tp~o(n+tJ= NR~p=l r=J rp

0 deoarece segmentele semnalului de

interes sunt necorelate ~i rezultii:161 ,

PRELUCRAREA


b

(19) Formula arata ea eroarea seade atunei eand eonsideram mai multe segmente ECG In estimarea template-ului. Cazul II: Segmentelevrp[n+tkJ=vrp[nla[n+tkJ a]

ECG au 0 variatie a amplitudinii un dea[n+tkJ=a] +a2na [n+tkJ

cu

,

= 0.9,

a2

= 0.2 in scopul introducerii unei variatii mici a amplitudinii

in jurul valorii medii. na este 0 variabiHi aleatoare uniform distribuita in intervalul [0,1J. In aeest caz segmentul obtinut prin mediere, template-ul, este definit de relatia (20) iar eroarea Intre semnalul original de interes, ~i semnalul curatat de ESC este definita de relatia (21):

(21)

=_1

'I~n=O k=]

Ls;[k]k

162


Notam

b(k,n)==vrp[n].a2nJn+tk]

c(p,n)

==

soln+ t p J

_

1NR

NR

1NR

NR

b(n)==-l:b(p,n)p=1

~i c(n)==-Ic(p,n).p=1

Atunci (21) devine:

[;

==

n=O k=1

== --.

II:(c(n)+b(n)-b(k,n)) Is~[k]k Nrp NR Nrp NR

IIc2(n)+1[Nrp NR n=O k=1

Is~[k]k

(22)

+ II(b(n)-b(k,n))n=O k=1

+2IIc(n)'(b(n)-b(k,n))]n=O k=1

Al treilea termen este 0 (demonstratia In (23)):

~~ n=O k=1

LLc(n).{b(n)-b(k,n))==

~~ n=O k=l

LLc(n).b(n)-

~NR n=O k=l

LLc(n).b(k,n)==

~ NR~c(n)b(n)==

~c(n)(~b(k,n)J Lc(n). Nrpn=O

~

(23)

NR

Lc(n).b(n)~n=O

NR

lJ(n) = 0

Prin urmare:

[;

==

Ik

s~[k]

1

'[IIc2(n)+n=O

hI

II(b2(n)-b(k,n)Y]n=O k=l

(24)

Primul termen reprezinta eroarea din cazul1,

~i (24) devine:

163

PRELUCRAREA


(25)

deoarece valoarea

I

I/

(n) -

Nsamples

. y2

=

Nsamples

. var(y).

Tinand cont ca de obicei putem scrie ca

medie.

a

lui

So [k]

este

zero,

s~ [k] = Nsamples

var(so) ~i (25) devine:

(26)

Formula arata ca variatia de amplitudine introduce un nou termen in eroarea de extragere din zgomot. Acest termen depinde de variatia segmentelor ECG ~i de varianta semnalului de interes.164


+

Cazul III: Pozifia undelor P ~i T variaza comparativ cu varful R, care este considerat referinta In acest caz eroarea ;ecuperarii semnalului din zgomot este definita de relatia:

L Ei=_k

(v 2

[k ] -

Va

[k D2

_

kEallTR

Ik

(v 2 [k

]-

Va

[k D2

+--'---'-----+kEallTpUTT

L(v2 [k]- va[k D2

(27)

Lv;[k] + kEN! Ls;[k]k

Ls;[k]

TR, Tp, ~i Tr reprezinta durata maxima a complexului QRS, undei P, ~i respectiv T, To include partea de ECG avand valoare aproape nula (linia izoelectrica) iar domeniul de timp NI include poqiunea de semnal ECG neinclusa in procedura de mediere, datorita lungimii inegale a segmentelor ECG. Atunci putem scrie:NR

L (vo[n +tk]+v2[n+tk]=k=1

so[n + tk D,nETR;

NRNR

L (va[n +tk]+v2[n+tk]

so[n + tk D ,n ETp;

=

v2[n+tk]=

v2 [n + tk] =

I IN

k=l

NR [n + tk]+ Sa[n + tk D ,nETT; NR

(28)

(Va

hIN

(vo[n + tk]+ Sa[n + tk D,

k=1

n

E

To

NR

Considerand aceasta trunchiere a segmentelor ECG rezulta:

165


=k k

L>~[k]~SO[n+tp]o

L>~[k]N,

1

.

LI

N,

l'

IV,[n+lp]NR

~~U

"

R

LS'[k]

1"",,_, r

+ LL

p-I N

V,[n+I,] I +

1 =-----

(29)

Al doilea termen poate fi considerat zero deoarece segmentele semnalului de interes sunt necorelate !~iformula (29) devine:166


167

PRELUCRAREA


&=----

1

(30)168


Formule similare se pot determina ~i pentru Tp U TT ~i To. Putem sene pnn urmare:

(31) Eroarea pentru metoda ESe incluzand ca$tigul adaptiv: Fie Nrp lungimea segmentelor mediate, eentrate pe varful R. Eroarea extragerii din zgomot este in aeest eaz:

&=_k __

L (so[k]k

z[k D2

Lv~[n+tk]n~Segment +-------=

Ls~[k]

Ls~[k]k

(32)

30)

169

PRELUCRAREA DIGlTAL~

A SEMNALELOR

E=

(33)

unde VI = [VI (1),..., VI (NR)] , Vo ~i So sunt secventa de zgomot ~i semnalul discret de interes, considerate pe Intreg intervalul de Inregistrare. Eroarea depinde acum de energia semnalului de intrare, a sursei de zgomot, a template-ului ~i de corelatia dintre segmentele ECG din semnalul Inregistrat, afectat de zgomot, ~itemplate-ul obtinut.

9.2.

Transformate timp-frecventaFourier pe term en scurt - TFTS (Short

9.2.1. Transformata Time Fourier Transform)

Transformata Fourier pe termen Inlocui transformata Fourier globala, cronologica, cu 0 serie de analize locale, alunecatoare. Formula acestei reprezentari'" TFxSTFT

scurt a aparut din nevoia de a care pierde orice informatie succesive, relative la 0 fereastra timp-frecventa este: (34)

(t, OJ) = fx(r)w(r

_f)e-jwr

dr

unde wet) reprezinta fereastra de observare care de obicei se considera a fi un semnal de energie unitara:II

wet)

11~2

=1

(35)

Din relatia (34) se constata faptul ca la momentul+00,

t, functia

TF/TFT(t,OJ) este spectrul semnalului x(r)w(r-t). Daca t ia valori de la -00 la

fereastra temporala baleiaza toata forma de unda a semnalului de analizat. Rezulta ca fereastra temporala folosWi este responsabila pentru localizarea temporala a semnalului de analizat. 0 reprezentare timpfrecven!a de tipul transformare Fourier scurta cu proprietati bune de localizare In planul timpfrecven!a este transformarea Gabor care folose~te fereastra temporala gausiana.170

Metode moderne de prelucrare numerica a semnalelor

In prelucrarea semnalelor ~i In analiza spectrala, pe langa fereastra gausiana, se mai folosesc ~i alte ferestre temporale. Considerand functia fereastra ca fiind recila, relatia (34) se poate rescrie sub forma:

(36)

iar cu notatia

x(t)e-jaJl

= u(t) ultima relatie devine:'"

TF;'iTFT

(t,

OJ):::

f u(t)w( r - t)dt =u(t) * w( -t)

(37)

Aceasta relatie are 0 importanta mai mare deoarece permite 0 noua interpretare fizica a reprezentarii timp-frecventa de tipul tranformare Fourier scurta. Intr-adevar, pentru fiecare pulsatie OJ se poate afirma ca reprezentarea timp-frecventa de tipul Fourier scurta reprezinm dispunsul sistemului liniar ~i invariant In timp cu raspunsul la impuls w(-t), la semnalul u(t). Acest semnal se obtine prin modularea semnalului x(t), folosind semnalul purtator e-j(j)t. Tot 0 reprezentare timp-frecventa este ~i spectrograrna a carei formula este: (38) Spectrograma este rezultatul calcularii spectrului ferestrelor unui semnal compus ~i reprezinta un grafic tridimensional al energiei componentei spectrale variabile In timp. Formatul clasic al spectrogramei este cu frecventa pe axa vertic ala, timpul pe axa orizontala ~i amplitudinea reprezentata prin intensitatea fiecarui punct din imagine. Aceste reprezentari, fiind functii de doua variabile - timp ~i frecventa, pot fi considerate ca fiind imagini. Datorita asemanarii dintre transformarea Fourier scurta ~i transformarea Fourier traditionala, exista numeroase aplicatii practice ale acestei reprezentari timp-frecventa In multe domenii printre care cele mai importante ar fi medicina, telecomunicatii, metrologie, seismologie sau detectia defectelor mecanice.

171

PRELUCRAREA


9.2.2. Transformata Wavelet Transformata Wavelet este utilizata pentru analiza timp-frecventa a semnalelor nestationare. cos(21Z"100 (),( = 0: 300 ms De exemplu, fie semnalul x(() = cos(21Z"50 (),( = 300: 600 ms cos(21Z"25 . (), ( = 600 :800 ms . . cos(21Z"10 . (), ( = 800 :1000 ms . Transformata Fourier a acestui semnal va indica componentele spectrale 10 Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz, cu amplitudini mai ridicate pentru frecventele Inalte, care dureaza mai mult timp, de$i semnalul original are pentru aceste componente aceea$i amplitudine. De asemenea, transformata Fourier ofera doar 0 caracterizare spectrala globala, nepermitand identificarea momentului la care componentele spectrale amintite anterior sunt prezente In semnal. DatorWi faptului ca cele mai multe semnale reale (undele seismice, ECG, EEG, EMG, etc) nu sunt stationare, este necesar a se implementa metode care sa permita analiza spectral a In functie de timp, metode denumite transformari timp-frecventa. Transformata Wavelet este 0 astfel de metoda timp-frecventa, care comparativ cu TFTS are avantajul ca rezolutia timp-frecventa este adaptabila (pentru TFTS rezolutia este fixatii de largimea ferestrei, pentru 0 fereastra Ingustii avand 0 buna rezolutie In timp, dar 0 rezolutie proasta In frecventa, pe cand pentru 0 fereastra larga rezolutia In timp este scazuta, iar rezolutia In frecventa este ridicata. In plus, pentru 0 fereastra larga este posibil sa nu mai fie Indeplinita conditia de stationaritate).a) Transformata Wavelet Continua (TWC)11

S P

\

tl

II I

Este definite prin relatia: (39)

Parametrul s determina comprimarea sau largirea functiei Wavelet mama,IJI, In

setul de functii Wavelet definit de

{lJIs,r's

> 0,(

E

R}, unde:

n

1

172

Metode moderne de prelucrare numerica a semnalelor

(40)

s fiind factorul de scalare, iar l'fiind factorul de translatare. Prin urmare transforma Wavelet reprezinta proiectia semnalului x(t) pe familia de functii Wavelet, obtinuta prin translatarea ~i dilatarea functiei Wavelet mama, /.f/. Un exemplu de functie wavelet ~i efectul dilatarii s ~i al translatiei't sunt ilustrate In figura 3.

Fig. 3. Translatia ~i dilatarea functiei Wavelet mama Proprietatile functiei mama Wavelet - sa fie marginita ~i de valoare medie nula - sa fie atat ea cat ~i transformata ei Fourier, \f'{co), integrabil - sa respecte conditia de admisibilitate:

de patrat

Daca momentele functiei /.f/ de ordinul = 1,m sunt nule, TWC este nula pentru un polinom de gradul n, n < m, Intrucat TWC a unei serii Taylor este:173

i

PRELUCRAREA


Wx(S,O)=

-V S

l! 1 [ x(0)Mos+-Mjs2 X'(O)

r

+--M2s3 2! X"(O)

+...+--Mnsn+j x(n)n!(0)

+0 (Sn+2 )](41)

unde momentele sunt definite de relatia:(42)

Conditia de anulare a momentelor pana la ordinul m este echivalenta cu urmatoarea conditie pentru transformata Fourier a functiei Wavelet mama:'l'(p) (0 ) = O,p = 1, m

(43)

Transformata Wavelet Continua lnversa

{ , ;#f

lii:"";~..;J-"''' "

x(t) = _1 cIJI

L, W)s, r )/fs,r S~

ir

(t)

dsdr

(44)

Observatii - Relatia dintre frecventele reale ~i scala Daca se calculeazii frecventa centrala a functiei Wavelet, Fe', "l

aproximand cat mai bine centrul functiei Wavelet mama cu 0 sinusoida, se poate determina urmatoarea relatie intre scala trans formate i Wavelet ~i frecventa reala, exprimata in Hz:Fs

= -Fe sF e

(45)

unde Fs este frecventa reala corespunzatoare scalei s, iar F: reprezinta frecventa de e~antionare. Pentru 0 scala scazuta s, functia Wavelet mama este comprimata, permitand detectia variatiilor rapide din semnal, deci analiza frecventelor inalte.

174


o

scala ridicata determina din contra utilizarea unei dilatari a

functiei Wavelet mama, detectandu-se astfel variatiile lente ale semnalului, ~i deci frecventele joase. Pentru a identifica discontinuitiitile unui semnal, se folose~te functia Wavelet Haar, care are discontinuitati Pentru a identifica 0 variatie 'in derivata de ordinulj a semnalului, se utilizeaza 0 functie Wavelet avand cel putin j momente anulate. Functii Daubechies dbN sunt de obicei alese, avand regularitatea aproximativ N/5, pentru valori N mari. TWC are 0 variatie continua pentru scala ~i 'in domeniul timp b) Transformata Wavelet Discretii (TWD) Daca se e~antioneaza variabila scala ~i variabila timp, se obtine TWD. Pentru a u~ura calculele, e~antionarea se face pentru 0 grila diadica, prin puteri ale lui 2 pentru scala, iar pentru fiecare scala timpul variind liniar

cun:(46) Rezulta pentru transformata Wavelet urmatoarea formula: (47)

Semnalul x poate fi reconstituit prin transformata Wavelet inversa:

x(t)

==

LLWx(m,n), m n

m,n

(t)

(48)

Suma din relatia (48) este de scala infinitii ~i dificil de implementat. Aceasta problema poate fi evitata daca se introduce un alt set de functii complementare (aditionale), {m,n (t)}, astfel meat semnalul se poate descompune peste acest set dupa urmatoarea regula: (49)nn

175


Cu ajutorul acest set aditional de funclii, relalia (48) poate fi transformata astfel mcat funcliile Wavelet sa fie calculate pentru 0 scala finita:

(50)

Primul termen al relatiei (50) reprezinta aproximarea trece jos a semnalului x, iar cel de al doilea termen include componentele de detaliu, la frecvente malte, pentru prime Ie L rezolulii, extrase de functiile Wavelet. Funcliile scala, , pot fi exprimate ca 0 combinatie liniara de funclii scala, pentru 0 scala inferioara:

(51)n

unde hI sunt coeficientii discreti corespunzatori funcliei pondere a unui filtru digital trece jos. Functiile Wavelet pot fi de asemenea descompuse ca 0 combinalie liniara a funcliilor scala, pentru 0 scala imediat inferioara:

(52)n

unde hh reprezinta coeficientii functiei pondere a unui filtru trece sus. Setul de coeficienti {h,(n), hh(n)} reprezinta coeficientii interscala. Considerand spaliile generate de (t) ~i Ij/(t) ortonormale, rezulta: ((t ),(t - n)) = 8(n)(lj/(t),Ij/(t-n))

(53) (54)

= 8(n),

relatii care sunt transpuse in orgonalitatea secventelor corespunzatoare filtrelor numerice trece jos, hi, respectiv trece sus, hh:(hJn),h,(n

+ 2k)) = 8(k)= 8(k)

(55) (56)

(hh(n),hh(n+2k))

176

Metode moderne de preluerare numericii a semnalelor

Aplidind transformata Fourier relatiei (51) se obtine: (58) (57)(m) (m)

= HI (eimI2}D( = HI (eiW/2n

fI

~)). (0)

considenlnd aplicari succesive ale relatiei (57). In mod analog se determina transformata Fourier a functiei Wavelet:

\}l(m) =

fI HIn;2

(eiW/2" ).

H h (eim12

(59))

Se poate demonstra ca functiile l.fI(t) ~i (t) sunt cu suport compact dad filtrelehi

(n) ~i hh (n) sunt filtre eu raspuns fin it la impuls.

c) Reprezentarea IDultirezolutie Tinand eont de relatia (48) se pot determina eoefieientii a(O,n) din relatia (49):a(O,n)= (x(t),o.n(t))

(60)

Pentru

0 reprezentare

eu rezolutie

finita,

semnalul

x(t)

se

deseompune eu ajutorul funepei de sealare Intr-un subsemnal eu rezolutie seazuta (aproximarea) ~i 0 dezvoltare Wavelet ce contine informatia de detaliu: (61)n n

Deseompunand Inca 0 data semnalul de rezolutie seazuta, se obtine:

177

PRELUCRAREA


n

n

n

-

Hh

d(1,n) d(2,n) HI I..

a(2,n)Hh a(O,n)

~

-

a

,.. .

..

Hh

...

d(3,n)...

HI

(3,n)

Fig. 2. Arborele diadic pentru codarea pe subbenzi (descompunerea multirezolutie, sau piramidaUi) Considerand descompunerea parra la nivelul L, se obtine in final 0 descompunere trece jos de rezolutie 1/L, ~i 0 suma de detalii de rezolutii din ce in ce mai fine, determinate de functiile Wavelet:L

x(t) =

IId(l,n)p"n,~ n

(t)+

Ia(L,nML,n (t)n

(63)

aceasta descompunere reprezentand descompunerea Wavelet multirezolutie, sau piramidala, a semnalului x.

178

Bibliografie

Bibliografie1. Astola J., Leonid Yaroslavsky, "Advances in signal transforms: theory and applications", New York: Hindawi Publishing Corporation, 2007. 2. Broersen P. M. T., "Automatic autocorrelation and spectral analysis", London: Springer-Verlag, 2006. 3. Daubechies 1., "Ten Lectures on Wavelets," CBMS-NSF Lecture Notes ill. 61, SIAM, 1992. 4. De Lathauwer L., "Signal Processing based on Multilinear Algebra", PhD thesis, Faculty of Engineering, K.U.Leuven (Leuven, Belgium), Sep. 1997. 5. Hyvarinen A., 1. Karhunen, E. Oja, "Independent Component Analysis", John Wiley & Sons, 2001. 6. Kantz H., T. Schreiber, "Nonlinear time series analysis", Cambridge University Press, Cambridge UK, 1997. 7. Lazarescu V. N., "Prelucrarea digital a a semnalelor", Ed. Amco Press, 1994. 8. Madisetti V., "Digital Signal Processing Handbook", CRC Press LLC, 1999. 9. Mateescu Ad., N. Dumitriu, L. Stanciu, "Sernnale si sisteme", Ed. Teora, 2001. 10. Mateescu Ad., S. Ciochina, N. Dumitriu, Ai. Serbanescu, L. Stanciu, "Prelucrarea Numeridi a Sernnalelor", Ed. Tehnica, Bucuresti, 1997. 11. Naidu P. S., "Sensor array signal processing", CRC Press, 2000.

179

PRELUCRAREA


12. Oppenheim A. V., R. W. Schafer, "Discrete-Time Signal Processing", Prentice Hall, 1989. 13. Pop E., 1. Nafornita, V. Tiponut, A. Mihaescu, L. Toma, "Metode in prelucrarea numerica a semnalelor", vol. 2, Ed. Facla, 1989. 14. Poularikas A. D., "The handbook of formulas and tables for signal processing", CRC Press and IEEE Press, 1998. 15. Proakis 1. G., D. K. Manolakis, "Digital signal processing", Edition 4th ed., Hemel Hampstead: Prentice Hall, 2007. 16. Roberts R. A., C T. Mullis, "Digital Signal Processing", Addison-Wesley Publishing Company, 1987. 17. Shenoi B. A., "Introduction to digital signal processing and filter design", Hoboken: Wiley-Interscience, 2006. 18. Spataru AI., "Teoria transmisiunii informatiei", Ed. Tehnica, 1965. 19. Stanomir D., "Semnale si sisteme discrete':, Ed. Athena, 1997. 20. Stark H., 1. W. Woods, "Probability and random processes with applications to signal processing", 3rd ed., Upper Sad~le River: Prentice Hall, 2002. 21. Stergiopoulos S., "Advanced signal processing", CRC Press LLC,2001. 22. Tuzlukov V. P., "Signalprocessing noise", CRC Press, 2002. 23. Ungureanu M., W. Wolf,. "Basic aspects concerning the event-synchronous interference canceller", IEEE Trans. Biomed. Eng., vol. 53(11), pp. 2240-2247, Nov. 2006. 24. Widrow B, Glover JR, McCool JM, et aI., "Adaptive noise cancelling: principles and applications", Proc. IEEE, vol. 63, pp. 1692-1716,1975. 25. Zaciu R., "Prelucrarea digitala a semnalelor", Ed. Albastra, 2002.

180

CARp TEHNICE -

I 5 ANI

MATRIX ROM - CARp2000

ACADEMICE

DE ACTIVITATE - PESTE

DE TITLURI

Seleqie din lllcrarile aparllte in domenilll

ELECTRO NI cA * :

~ Dorel Aiordachioaie (Universitatea Dunarea de Jos Galav) - 3D MODELLING AND VISUALISATION IN COMPUTED TOMOGRAPHY. Pre\ 18 RON - pe supart electronic (CD) Magdalena Alexandru (Universitatea din Pite~ti) - SISTEME DIGITALE DE MAsURARE Pret15 RON ." .. " .. ;.. Florin Babarada, Camelia Dunare (Universitatea "Polilehnica" Bucure~ti) - MICROSENZORIj>

REALIZATI

PE SILICIU PrePO RON

PRIN SATEUT Prei: 39 RON Tilu I. Bajenescu (Membru al Academiei de $tiin\e din New York) - FIABILITATEA SISTEMELOR TEHNICE Pre\ 44 RON Titu I. Bajenescu (Membru al Academiei de $tiin\e din New York) - COMUNICATII DE BANDA LARGA Pre\: 28 RON j> Tilu I. Bajenescu (Membru al Academiei de $tiinle din New York) - ASPECTE ALE FIABILITATIl COMPONENTELOR $1 SISTEMELOR ELECTRONICE Pre\55 RON Silviu-Janel Balula, Marian Pearsica, Tamarina Florea (Universilalea "Polilehnica" Bucure~ti) CALITATEA IMAGINII DE LA DEFINIRE CONCEPT LA APLICATII. Pre\ 37 RON ~ Eleodor Bistriceanu (Universitatea "Politehnica" Bucure~li) - PRINCIPIILE MATEMATICE $1 FIZICE ALE TOMOGRAFIEI COMPUTERIZATE. Pret:17 RON ~ Nicu Bizon (Universitatea Pite~ti) - ELECTRONICA INDUSTRIALA. TEORIE $1 APLICATII VOL 1+2 Pre\ 37 RON - pe suport electronic (CD) Nicu Bizon (Universitalea Pile~ti) - CONVERTOARE Prei: 19 RON Nicu Bizon (Universitatea Pilef?li) - SISTEME OPTIMIZATE PENTRU CONVERSIA ENERGIEI CURATE. Pre\: 19 RON lonel Boslan (Universilatea din Pite~ti) - METODE CLASICE $1 MODERNE iN STUDIUL CIRCUITELOR DIGITALE. Prei: 15 RON ~ Danui Burdia, Gabriel $Iefan Popescu (Universilatea tehnica "Gh.Asachi" la~i) - PROIECTARE ASISTATA DE CALCULATOR A CIRCUITELOR ELECTRONICE - SPICE ~LVHDL Pre\: 27j>

'r Tilu I. Bajenescu (Membru al Academiei de $tiin\e din New York) - COMUNICATII

RON - pe supart electronic (CD) Irinel Casian-Salez (Universilatea lehnica "Gh.Asachi" la~i) - TEORIA $1 PROIECTAREA CIRCUITELOR DE MICROUNDE Pre\:20 RON - pe suport electronic (CD) Vlad Cehan (Universilatea tehnica "Gh.Asachi" la~i) - BAZELE RADIOEMITATOARELOR Pre\:28 RON

Monica Chi\a (Universitatea Pite~ti) - SENZORI $1 TRADUCTOARE Pre\14 RON - pe supart electronic (CD) ~ Mihai Ciuc, Constantin Vertan (Universilalea "Politehnica" Bucure~ti) - PRELUCRAREA STATISTICA A SEMNALELOR. Pre\19 RON Drago~ Ciurea (Universitatea RON "Politehnica" Bucure~ti) - TRANSMISIUNI TELEFONICE Pre\30

j> j>

Eugen Coca (Universitalea "$tefan cel Mare" Suceava) - SISTEME CU MICROPROCESOARE loan Constantin. lancu Ceapa (Universitalea "Politehnica" Bucure~li) - AMPLIFICATOARE

CU

CIRCUITE SELECTIVE. Pre\: 17 RON - pe supart electronic (CD) V. Croitoru, O_Stana~ila (Universitatea "Politehnica" Bucure~li) - PROBABILITATI APLICATE $1 SEMNALE ALEATOARE. APLICATII LA SISTEMELE DE COMUNICATIE. Pre\ 14 RON > Eugen Diaconescu (Universitatea Pitesti) - ACHIZITII DE DATE $1 INSTRUMENTATIE. FUNDAMENTE HARDWARE. Pre\: 33 RON > M. Dragulinescu, A Manea (Universitatea "Politehnica" Bucure~li) - MATERIALE PENTRU ELECTRONICA VOL. 1 + 2 Pret: 60 RON j> Petru\ Duma (Universitalea tehnica "Gh.Asachi" la~i) - CENTRALE TELEFONICE ELECTRON ICE Pre\:25 RON Valentin Feie, Andrei Dragulinescu (Universitatea - "Polilehnica" Bucure~li) OPTOELECTRONICA. PROBLEME Pre\: 20 RON ~ Corneliu Florea, Laura Florea (Universitalea "Politehnica" Bucure~li) - PRELUCRAREA STATISTICA A INFORMATIEI. iNDRUMAR DE LABORATOR. Pre\12 RON

>-

Dan Galatchi (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - PROBLEMATICA RUTARII iN RETELELE CU COMUTARE DE PACHETE. Pret:25 RON ~ Zoltan German-Sall6 (Universitatea "Petru Maior" Tilrgu Mure~) - DISPOZITNE ~I CIRCUITE ELECTRONICE. Pre\15 RON ';- Octavian Mihal Ghi\a (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - COMUNICATII iN SISTEME DISTRIBUITE. Pre\:19 RON ';- Octavian Grigore (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - DISPOZITIVE SEMICONDUCTOARE ~I DISPOZITIVE PIEZOELECTRICE FOLOSITE iN ECHIPAMENTELE ELECRONICE MOD ERNE 0 DIN VIDEOCASETOFOANE Pre\:44

Pret:17 RON - pe suport electronic (CD) .,. Florin Gruia, $erban Naicu - BLOCUL DE ALiMENTARE RON

,.. Ovidiu lancu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - DISPOZITIVE OPTOELECTRONICE Pret:26 RON ,. Ovidiu lancu, lonica Cristea (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - MEMORII FOTONICE DE MARE CAPACITATE. Pre\:21 RON ~ Ovidiu lancu, lonica Cristea, Neculai Grosu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) ) - PROCESOARE FOTONICE Pret:22 RON "" Lucian loan (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - PROBABILITATI ~I VARIABILE ALEATORII iN TELECOMUNICATII Pre\:19 RON " Lucian loan, Grazziela Niculescu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - ELEMENTE DE INGINERIA TRAFICULUI iN TELECOMUNICATII Pret: 23 RON - pe suport electronic (CD) ,.. Lucian loan, Grazziela Niculescu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - CALITATEA SERVIRII IN RETELELE CU COMUTATIE DE PACHETE. Pre\: 15 RON ).- Lucian loan, Grazziela Niculescu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - MODELARE ~I EVALUARI DE PERFORMANTA iN TELECOMUNICATllo Pre\: 34 RON I> Daniela-Smaranda lonescu (Univeristatea Oradea) - CIRCUITE ELECTRONICE. Pret: 17 RON > Eugen Lakatos (Universitatea "Valahia" Targovi~te) - MODELAREA DISPOZITIVELOR SEMICONDUCTOARE ACTIVE. MANUAL DE LABORATOR. Pre\: 14 RON I> Eugen Lakatos (Universitatea "Valahia" Targovi~te) - MODELAREA DISPOZITIVELOR SEMICONDUCTOARE ACTIVE. NOTE DE CURS Pret: 10 RON ~ loan D, Lita (Universitatea Pite~ti) - CIRCUITE ELECTRON ICE PENTRU ACHIZITIA DE DATE. CONDITIONAREA SEMNALELOR Pret: 28 RON >Adrian Manea (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) SISTEME OPTICE PENTRU COMUNICA TII Pret:33 RON I> Adrian G, Moise (Universitatea Petrol-Gaze Ploie~ti) - TEHNOLOGIA PROIECTARII iN VHDL PreP8 RON I> Adrian G, Moise (Universitatea Petrol-Gaze Ploie~ti) - PRACTICA PROIECT ARII iN VHDL Pret16 RON > Alexandru Morega - coordonare (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - INTRODUCERE iN IMAGISTICAI>

MEDICALA.

Pret:13 RON - pe suport electronic (CD)

Y

>I>

>-

". ".

>>-

';,.

$erban Naicu - DE LA JOHN FLEMING LA TED HOFF. Pret: 8 RON $erban Naicu - SISTEME DE AFI~ARE CU LEDuri ~I LCD-uri. Pre\: 10 RON Monica Nada~an. Paul $chiopu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - CRISTALE ~I PENSETE FOTONICE Pre\23 RON Grazziela Niculescu, $1. Barbali':lu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - ANALIZA ~I MODELAREA SISTEMELOR DE COMUNICATII preP5 RON Grazziela Niculescu, loan Lucian (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - TEHNICI ~I SISTEME DE COMUTATIE. Pret: 50 RON Rustem Popa (UniversitateaDunarea de Jos Galati)- ELECTRONICA MEDICALA. Pre\: 33 RON Sorin Popescu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - TRANSMISIA DATELOR 0 Pre\: 33 RON Codru\a Pricop (Academia navala Constanta) - PROCESAREA WAVELET A SEMNALELOR RADAR. Pre\: 17 RON - pe supart electronic (CD) Niculae N, Pu~ca~ (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - SISTEME DE COMUNICATII OPTfCE Pret: 33 RON Cristian Ravariu, Adrian Rusu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - MODELE SPICE ALE COMPONENTELOR ELECTRONICE Pret: 14 RON Mircea Raducanu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - SISTEME ~I APLICATIl MULTIMEDIA. ALGORITMI DE COMPRESIE PENTRU SEMNALE VIDEO. Pre\: 15 RON - pe suport electronic (CD)

:.- Dan Sachelarie (Universitatea "Politehnica" Bucure9ti) BAZELE DISPOZITIVELOR SEMICONDUCTOARE Pre!: 33 RON ).- Dan Sachelarie (Universitatea "Politehnica" Bucure9ti) SEMICONDUCTOARE $1 HETEROSTRUCTURI Pre! 11 RON -. pe supart electronic (CD) ,- Dan Sachelarie, Gabriel Predu~ca, Henri-George Coanda (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) PROBLEME FUNDAMENTALE DE MICROELECTRONICA Pre! 10 RON - pe supart electronic (CD) ,.. Cristina G. Saracin, Marin Saracin, Vasile V. Golea (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - SISTEME DE TELEMAsURARE. Pre!: 14 RON Marin Saracin, Cristina Saracin (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - MAsUAARI ELECTB9N1S;E $1 SISTEME DE MAsURARE Pre!: 21 RON ;.. Emil Sofran, Ian Sima, Paul Vulpoiu, Ion Stan (Universitatea Pitesti) - SURSE $1 MODELE DE ZGOMOT DIN ELECTRONICA, OPTOELECTRONICA $1 COMUNICA TII. Pre! 11 RON Emii Sofran (Universitatea Pitesti) - DISPOZITIVE ELECTRONICE CU SEMICONDUCTOARE Pre!:8 RON ;.. Lucian Stanciu (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) - ECHIPAMENTE AUDIO HI-Fl. Pre! 19 RON - pe supart electronic (CD) ;.. Doru Suciu (Universitatea "Petru Maior" Tg. Mure~) ) - ELECTRONICA DE PUTERE. PRINCIPII $1 APLICATIl Pre!: 21 RON ).> Juliu Szekely, Florin Sandu (Universitatea Transilvania Bra~ov) - CIRCUITE ELECTRONICE DE CONVERSIE A SEMNALELOR ANALOGICE $1 DIGIT ALE. Pre! 19 RON - pe supart electronic (CD) ).> Dumitru $cheianu (Universitatea Pite~ti) - SEMNALELE, PURTATOARELE INFORMATIEI Pre! 17 RON .,. Paul $chiopu, Neculai Grosu, lonica Cristea (Universitatea "Politehnica" Bucure~ti) OPTOELECTRONICA.INDRUMAR DE LABORATOR Pre!: 16 RON }> Razvan Tama~ (Universitatea "Politehnica" Bucureti) - ANTENE MONOPOL PE PLANE DE MASA DE DIMENSIUNI REDUSE Pre!: 10 RON - pe supart electronic (CD) }> Anca Tomeseu, I.B.L. Tomeseu, F.M.G. Tomescu (Universitatea "Politehnica" Bucureti) TRANSMISIUNEA INFORMATIEI. Pret: 22 RON }> I. Tomeseu, F.M.G. Tomescu (Universitatea "Politehnica" Bucureti) - SISTEME CU MICROUNDE Pre!: 27 RON - pe supart electronic (CD) Constantin Vertan, Mihai Ciue (Universitatea "Politehniea" Bueure~ti) TEHNICI FUNDAMENTALE DE PRELUCRAREA $1 ANALIZA IMAGINILOR. Pre! 21 RON.,. Emil Vremera (Universitatea tehnica "Gh.Asachi" lai) - MAsURARI ELECTRICE $1 ELECTRONICE (voI.1+2) Pret: 32 RON - pe supart electronic (CD) }> Paul Vulpoiu, 'Emil Sofron (Universitatea Piteti) - AMPLIFICATOARE OPERATIONALE IN TEHNOLOGIE CMOS. MANUAL DE PROIECTARE Pre!:8 RON }> Roxana Zaiean, Dan Galatchi (Universitatea "Palitehnica" Bueure~ti) - MANAGEMENTUL}>

RETELELOR

DE TELECOMUNICATII

y Roxana ZOiean, Sorin Zoican (UniversitateaTELECOMUNICATli. IMPLEMENTARE suport electronic (CD)

PreP8 RON "Politehnica"

Bueure~ti) - SISTEME DE SEMNAL

CELULARE

DE

CU PROCESOARE

Pre\23

RON - pe

Oferteleromplete ~i gratu~e domeniise pot soIicita pe telefonic. chizi1ionarea A carjilorse pootefacedirectde la sediul edtturii, rincolet[Jaitalal platarambulS(pebazauneiromenzisaise)sau de la disbibuiforii BUalre9ti Iibraria p din ( RAMA,Iibraria AGIR,libriiriaLuceafarul IibriiriaMihaiEminescu), ra~, ClujNapoca,Cmslanja, Craiova,la9i,Pife9ti, ibiu,Timi90araClien~i , B S primesc periodic jnforma~i desprenoilelucriiriapilrutesauin rulSde apari\ie. * Preturile din aceastii oferta sunt valabile incepand cu 01.02.2008, includ TVA i sunt exprimate In RON = leinof.

M. Ungureanu - Prelucrarea Digitala a Semnalelor

Documents