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ogica temporal y flujos del tiempo Joan Casas Roma 22 de mayo de 2015 Joan Casas Roma L´ogica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 1 / 27
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Lógica temporal y flujos de tiempo

Aug 08, 2015

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Page 1: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal y flujos del tiempo

Joan Casas Roma

22 de mayo de 2015

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 1 / 27

Page 2: Lógica temporal y flujos de tiempo

Presentacion

Joan Casas Roma ([email protected])

Ingenierıa tecnica en Informatica de Gestion (UVic)

Master en Logica y Filosofıa de la Ciencia (USAL)

Estudiante de Doctorado (UOC):

Knowledge Representation and ReasoningLıneas de investigacion:

Logica formal y filosoficaLogica epistemicaLogica intensionalLogica hıbrida

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 2 / 27

Page 3: Lógica temporal y flujos de tiempo

Plan de ruta

¿Por que una logica temporal?

Un poco de historia

Manual de supervivencia logico

Logica temporal basica

SintaxisSemantica

Flujos del tiempo y logica temporal

Extensiones de la logica temporal

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 3 / 27

Page 4: Lógica temporal y flujos de tiempo

¿Por que una logica temporal?

Logica proposicional:

Verdades atemporales:

“El cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectangulo es igual a lasuma del cuadrado de sus catetos.”“Si el agua llega a 100o C, entonces hierve.”“James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.”

Logica temporal:

El valor de verdad de una proposicion varıa con el tiempo:

“Hoy es viernes.”

Razonamientos que involucran pasado, presente y futuro:

“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica, aprobare el examen de hoy yalgun dıa llegare a ser un fısico importante.”

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 4 / 27

Page 5: Lógica temporal y flujos de tiempo

¿Por que una logica temporal?

Logica proposicional:

Verdades atemporales:

“El cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectangulo es igual a lasuma del cuadrado de sus catetos.”“Si el agua llega a 100o C, entonces hierve.”“James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.”

Logica temporal:

El valor de verdad de una proposicion varıa con el tiempo:

“Hoy es viernes.”

Razonamientos que involucran pasado, presente y futuro:

“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica, aprobare el examen de hoy yalgun dıa llegare a ser un fısico importante.”

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 4 / 27

Page 6: Lógica temporal y flujos de tiempo

¿Por que una logica temporal?

Logica proposicional:

Verdades atemporales:

“El cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectangulo es igual a lasuma del cuadrado de sus catetos.”“Si el agua llega a 100o C, entonces hierve.”“James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.”

Logica temporal:

El valor de verdad de una proposicion varıa con el tiempo:

“Hoy es viernes.”

Razonamientos que involucran pasado, presente y futuro:

“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica, aprobare el examen de hoy yalgun dıa llegare a ser un fısico importante.”

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Page 7: Lógica temporal y flujos de tiempo

¿Por que una logica temporal? (Ejemplo)

“Hace unos dıas fuı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semanaque viene ire tambien.”

Logica proposicional: un atomo para cada proposicion

p ∧ q ∧ r

Logica temporal: un solo atomo en distintos instantes

Pp ∧ p ∧ Fp

Mayor poder expresivo: el tiempo se hace explıcito

“Los lımites de mi lenguage son los lımites de mi mundo.”

(Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).)

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Page 8: Lógica temporal y flujos de tiempo

¿Por que una logica temporal? (Ejemplo)

“Hace unos dıas fuı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semanaque viene ire tambien.”

Logica proposicional: un atomo para cada proposicion

p ∧ q ∧ r

Logica temporal: un solo atomo en distintos instantes

Pp ∧ p ∧ Fp

Mayor poder expresivo: el tiempo se hace explıcito

“Los lımites de mi lenguage son los lımites de mi mundo.”

(Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).)

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Page 9: Lógica temporal y flujos de tiempo

¿Por que una logica temporal? (Ejemplo)

“Hace unos dıas fuı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semanaque viene ire tambien.”

Logica proposicional: un atomo para cada proposicion

p ∧ q ∧ r

Logica temporal: un solo atomo en distintos instantes

Pp ∧ p ∧ Fp

Mayor poder expresivo: el tiempo se hace explıcito

“Los lımites de mi lenguage son los lımites de mi mundo.”

(Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).)

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Page 10: Lógica temporal y flujos de tiempo

¿Por que una logica temporal? (Ejemplo)

“Hace unos dıas fuı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semanaque viene ire tambien.”

Logica proposicional: un atomo para cada proposicion

p ∧ q ∧ r

Logica temporal: un solo atomo en distintos instantes

Pp ∧ p ∧ Fp

Mayor poder expresivo: el tiempo se hace explıcito

“Los lımites de mi lenguage son los lımites de mi mundo.”

(Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).)

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 5 / 27

Page 11: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica y tiempo: un poco de historia

Aristoteles: “manana habra una batalla naval, o no la habra”

¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que manana habra unabatalla naval?

La duracion del presente

Ahora, hoy, esta semana, este ano...

Incipit y desinit: el principio y el fin

Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...

La edad media: tiempo, logica y teologıa

Libre albedrıo y providencia divina

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27

Page 12: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica y tiempo: un poco de historia

Aristoteles: “manana habra una batalla naval, o no la habra”

¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que manana habra unabatalla naval?

La duracion del presente

Ahora, hoy, esta semana, este ano...

Incipit y desinit: el principio y el fin

Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...

La edad media: tiempo, logica y teologıa

Libre albedrıo y providencia divina

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27

Page 13: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica y tiempo: un poco de historia

Aristoteles: “manana habra una batalla naval, o no la habra”

¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que manana habra unabatalla naval?

La duracion del presente

Ahora, hoy, esta semana, este ano...

Incipit y desinit: el principio y el fin

Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...

La edad media: tiempo, logica y teologıa

Libre albedrıo y providencia divina

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27

Page 14: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica y tiempo: un poco de historia

Aristoteles: “manana habra una batalla naval, o no la habra”

¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que manana habra unabatalla naval?

La duracion del presente

Ahora, hoy, esta semana, este ano...

Incipit y desinit: el principio y el fin

Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...

La edad media: tiempo, logica y teologıa

Libre albedrıo y providencia divina

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27

Page 15: Lógica temporal y flujos de tiempo

Manual de supervivencia logica

Repasando conceptos basicos:

Sintaxis: el lenguaje formal

Semantica: la representacion de la realidad

Valuacion: ¿que es cierto y que no lo es?

p,¬q,r ∧ s, ...

Realidad

(modelo)Prop.→ {0, 1}(falso, cierto)

La logica es una representacion de una parte de la realidad

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Page 16: Lógica temporal y flujos de tiempo

Manual de supervivencia logica

Repasando conceptos basicos:

Sintaxis: el lenguaje formal

Semantica: la representacion de la realidad

Valuacion: ¿que es cierto y que no lo es?

p,¬q,r ∧ s, ...

Realidad

(modelo)Prop.→ {0, 1}(falso, cierto)

La logica es una representacion de una parte de la realidad

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27

Page 17: Lógica temporal y flujos de tiempo

Manual de supervivencia logica

Repasando conceptos basicos:

Sintaxis: el lenguaje formal

Semantica: la representacion de la realidad

Valuacion: ¿que es cierto y que no lo es?

p,¬q,r ∧ s, ...

Realidad

(modelo)Prop.→ {0, 1}(falso, cierto)

La logica es una representacion de una parte de la realidad

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27

Page 18: Lógica temporal y flujos de tiempo

Manual de supervivencia logica

Repasando conceptos basicos:

Sintaxis: el lenguaje formal

Semantica: la representacion de la realidad

Valuacion: ¿que es cierto y que no lo es?

p,¬q,r ∧ s, ...

Realidad

(modelo)Prop.→ {0, 1}(falso, cierto)

La logica es una representacion de una parte de la realidad

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 7 / 27

Page 19: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: sintaxis

Operadores de la logica proposicional: ¬,∧,∨,→,↔

Operadores propios de la logica temporal:

Fα: en algun momento futuro se dara el caso que α;Pα: en algun momento pasado se dio el caso que α;Gα: en todo momento futuro se dara el caso que α;Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α.

Los operadores temporales son interdefinibles:

Gα ≡ ¬F¬αHα ≡ ¬P¬α

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Page 20: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: sintaxis

Operadores de la logica proposicional: ¬,∧,∨,→,↔Operadores propios de la logica temporal:

Fα: en algun momento futuro se dara el caso que α;Pα: en algun momento pasado se dio el caso que α;Gα: en todo momento futuro se dara el caso que α;Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α.

Los operadores temporales son interdefinibles:

Gα ≡ ¬F¬αHα ≡ ¬P¬α

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 8 / 27

Page 21: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: sintaxis

Operadores de la logica proposicional: ¬,∧,∨,→,↔Operadores propios de la logica temporal:

Fα: en algun momento futuro se dara el caso que α;Pα: en algun momento pasado se dio el caso que α;Gα: en todo momento futuro se dara el caso que α;Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α.

Los operadores temporales son interdefinibles:

Gα ≡ ¬F¬αHα ≡ ¬P¬α

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Page 22: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: sintaxis

Dos formas de utilizar los operadores temporales:

Metrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal):

(Unidad: dıa); “Manana vendre”: F (1)v(Unidad: dıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e

No metrica (no especificamos la ‘distancia’ temporal):

“Vendre esta semana”: Fv“Hice el examen hace unos dıas”: Pe

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Page 23: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: sintaxis

Dos formas de utilizar los operadores temporales:Metrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal):

(Unidad: dıa); “Manana vendre”: F (1)v(Unidad: dıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e

No metrica (no especificamos la ‘distancia’ temporal):

“Vendre esta semana”: Fv“Hice el examen hace unos dıas”: Pe

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 9 / 27

Page 24: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: sintaxis

Dos formas de utilizar los operadores temporales:Metrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal):

(Unidad: dıa); “Manana vendre”: F (1)v(Unidad: dıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e

No metrica (no especificamos la ‘distancia’ temporal):

“Vendre esta semana”: Fv“Hice el examen hace unos dıas”: Pe

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Page 25: Lógica temporal y flujos de tiempo

Algunos ejemplos sencillos

“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”

Pc → (a ∧ Fi)

“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”

Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb

“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”

P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)

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Page 26: Lógica temporal y flujos de tiempo

Algunos ejemplos sencillos

“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”

Pc → (a ∧ Fi)

“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”

Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb

“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”

P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)

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Page 27: Lógica temporal y flujos de tiempo

Algunos ejemplos sencillos

“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”

Pc → (a ∧ Fi)

“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”

Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb

“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”

P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)

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Page 28: Lógica temporal y flujos de tiempo

Algunos ejemplos sencillos

“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”

Pc → (a ∧ Fi)

“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”

Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb

“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”

P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)

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Page 29: Lógica temporal y flujos de tiempo

Algunos ejemplos sencillos

“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”

Pc → (a ∧ Fi)

“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”

Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb

“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”

P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)

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Page 30: Lógica temporal y flujos de tiempo

Algunos ejemplos sencillos

“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”

Pc → (a ∧ Fi)

“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”

Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb

“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”

P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)

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Page 31: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

La semantica nos permite representar un ‘mundo’ o ‘situacion’ ydeterminar cuando una formula es verdadera.

El elemento central de la semantica es un modelo, que en logicatemporal permite representar:

Distintos instantes de tiempoQue instantes de tiempo estan conectados entre ellosQue formulas son verdaderas en cada instante

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 11 / 27

Page 32: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

La semantica nos permite representar un ‘mundo’ o ‘situacion’ ydeterminar cuando una formula es verdadera.

El elemento central de la semantica es un modelo, que en logicatemporal permite representar:

Distintos instantes de tiempoQue instantes de tiempo estan conectados entre ellosQue formulas son verdaderas en cada instante

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 11 / 27

Page 33: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Estructura

Una estructura se define como un par E = (T , <).

T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)< es una relacion binaria llamada relacion de precedencia

Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entoncesdiremos que “s es anterior a t”

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27

Page 34: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Estructura

Una estructura se define como un par E = (T , <).

T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)

< es una relacion binaria llamada relacion de precedencia

Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entoncesdiremos que “s es anterior a t”

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27

Page 35: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Estructura

Una estructura se define como un par E = (T , <).

T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)< es una relacion binaria llamada relacion de precedencia

Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entoncesdiremos que “s es anterior a t”

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27

Page 36: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Estructura

Una estructura se define como un par E = (T , <).

T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)< es una relacion binaria llamada relacion de precedencia

Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entoncesdiremos que “s es anterior a t”

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Page 37: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Valuacion

Diferentes valuaciones para cada instante de tiempo

Una valuacion en E es un mapa V : (T → (Prop→ {0, 1}))

O sea, una valuacion indica, para cada instante de tiempo, si unaproposicion es verdadera o falsa.

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 13 / 27

Page 38: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Valuacion

Diferentes valuaciones para cada instante de tiempo

Una valuacion en E es un mapa V : (T → (Prop→ {0, 1}))

O sea, una valuacion indica, para cada instante de tiempo, si unaproposicion es verdadera o falsa.

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 13 / 27

Page 39: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Modelo

Un modelo se define como M = 〈T , <,V〉

Esta formado por una estructura (que contiene T y <) y unavaluacion que determina los valores de verdad que toman lasproposiciones en cada instante de tiempo.

Una estructura puede pensarse como la base o el esqueleto de unmodelo:

La estructura E determina los instantes de tiempo y la relacion entreellos.La valuacion V determina el valor de las proposiciones, pero no influyeen la ‘forma’ del mundo que estamos representando.

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27

Page 40: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Modelo

Un modelo se define como M = 〈T , <,V〉Esta formado por una estructura (que contiene T y <) y unavaluacion que determina los valores de verdad que toman lasproposiciones en cada instante de tiempo.

Una estructura puede pensarse como la base o el esqueleto de unmodelo:

La estructura E determina los instantes de tiempo y la relacion entreellos.La valuacion V determina el valor de las proposiciones, pero no influyeen la ‘forma’ del mundo que estamos representando.

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27

Page 41: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Modelo

Un modelo se define como M = 〈T , <,V〉Esta formado por una estructura (que contiene T y <) y unavaluacion que determina los valores de verdad que toman lasproposiciones en cada instante de tiempo.

Una estructura puede pensarse como la base o el esqueleto de unmodelo:

La estructura E determina los instantes de tiempo y la relacion entreellos.La valuacion V determina el valor de las proposiciones, pero no influyeen la ‘forma’ del mundo que estamos representando.

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Page 42: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal basica: semantica

Para los operadores temporales, una formula α es verdadera en un instantede tiempo t de un modelo M = 〈T , <,V〉, si se cumplen las condiciones(siendo t y s dos instantes de tiempo distintos en nuestro modelo):

M, t � Fα si para algun s tal que t < s, se cumple M, s � αM, t � Pα si para algun s tal que s < t, se cumple M, s � αM, t � Gα si para todo s tal que t < s, se cumple M, s � αM, t � Hα si para todo s tal que s < t, se cumple M, s � α

Estos operadores “trasladan” la formula α hasta un instante detiempo distinto al instante en que se evalua la formula.

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Page 43: Lógica temporal y flujos de tiempo

Estructuras, relaciones y propiedades

Recuperamos la nocion de estructura E = (T , <); o sea, la ‘forma’ delos instantes del mundo temporal que estamos representando.

La relacion < puede cumplir ciertas propiedades en funcion decomo se relacione con los elementos del conjunto T :

Transitividad: ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z)Irreflexividad: ∀x¬(x < x)Linealidad: ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)Infinitud: ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y)Lımite superior: ∃x∀y(y < x) ∨ (y = x)· · · · · ·

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 16 / 27

Page 44: Lógica temporal y flujos de tiempo

Estructuras, relaciones y propiedades

Recuperamos la nocion de estructura E = (T , <); o sea, la ‘forma’ delos instantes del mundo temporal que estamos representando.

La relacion < puede cumplir ciertas propiedades en funcion decomo se relacione con los elementos del conjunto T :

Transitividad: ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z)Irreflexividad: ∀x¬(x < x)Linealidad: ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)Infinitud: ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y)Lımite superior: ∃x∀y(y < x) ∨ (y = x)· · · · · ·

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Page 45: Lógica temporal y flujos de tiempo

Tiempo, propiedades y formulas

Diferentes imagenes del tiempo: lineal, cıclico, ramificado...

La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo puedencumplir algunas de estas propiedades.

Algunas (no todas) de estas propiedades se pueden expresar medianteformulas de la logica temporal:

Transitividad ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z) FFα→ FαFuturo lineal ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)Futuro infinito ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y) Gα→ FαDensidad ∀xy(x < y)→ ∃z((x < z) ∧ (z < y)) Fα→ FFα· · · · · · · · ·

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Page 46: Lógica temporal y flujos de tiempo

Tiempo, propiedades y formulas

Diferentes imagenes del tiempo: lineal, cıclico, ramificado...

La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo puedencumplir algunas de estas propiedades.

Algunas (no todas) de estas propiedades se pueden expresar medianteformulas de la logica temporal:

Transitividad ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z) FFα→ FαFuturo lineal ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)Futuro infinito ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y) Gα→ FαDensidad ∀xy(x < y)→ ∃z((x < z) ∧ (z < y)) Fα→ FFα· · · · · · · · ·

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27

Page 47: Lógica temporal y flujos de tiempo

Tiempo, propiedades y formulas

Diferentes imagenes del tiempo: lineal, cıclico, ramificado...

La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo puedencumplir algunas de estas propiedades.

Algunas (no todas) de estas propiedades se pueden expresar medianteformulas de la logica temporal:

Transitividad ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z) FFα→ FαFuturo lineal ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)Futuro infinito ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y) Gα→ FαDensidad ∀xy(x < y)→ ∃z((x < z) ∧ (z < y)) Fα→ FFα· · · · · · · · ·

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27

Page 48: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal y flujos del tiempo

Se pueden “disenar” sistemas de logica temporal que determinen,mediante formulas del lenguaje, la forma y el comportamiento delflujo del tiempo que se quiera representar.

El lenguaje de la logica temporal nos permite hablar sobre el flujo deltiempo, y viceversa: una forma del tiempo determinada hara validasunas formulas determinadas en nuestro sistema logico.

Veamos algunos ejemplos...

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 18 / 27

Page 49: Lógica temporal y flujos de tiempo

Logica temporal y flujos del tiempo

Se pueden “disenar” sistemas de logica temporal que determinen,mediante formulas del lenguaje, la forma y el comportamiento delflujo del tiempo que se quiera representar.

El lenguaje de la logica temporal nos permite hablar sobre el flujo deltiempo, y viceversa: una forma del tiempo determinada hara validasunas formulas determinadas en nuestro sistema logico.

Veamos algunos ejemplos...

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 18 / 27

Page 50: Lógica temporal y flujos de tiempo

Flujo de tiempo lineal

t0 t1 t2

(...)tn tn+1

(...)

Propiedad Formula

Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)→ (x < z)) FFα→ FαIrreflexiva ∀x(¬(x < x)) · · ·Lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)

PFα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)

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Page 51: Lógica temporal y flujos de tiempo

Flujo de tiempo cıclico

(...)

t1

t2 t3 t4

t5

t6tntn+1

Propiedad Formula

Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)→ (x < z)) FFα→ FαReflexiva ∀x(x < x) · · ·Lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)

PFα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)Infinitud ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y) Gα→ Fα

Hα→ Pα

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Page 52: Lógica temporal y flujos de tiempo

Flujo de tiempo ramificado

(...)t0

t1 t3

t4

t5

t6

t2

(...)

(...)

(...)

(...)

(...)

Propiedad Formula

Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)→ (x < z)) FFα→ FαIrreflexiva ∀x(¬(x < x)) · · ·Pasado lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) PFα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 21 / 27

Page 53: Lógica temporal y flujos de tiempo

Otros flujos temporales

(...)t1 t2 t3 t4

(...)

(...) (...)

(...)

(...)

t0

t1

t2

t3 t4

t5

t6

Aplicaciones con flujos temporales “atıpicos”: algoritmos, situaciones hipoteticas...

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 22 / 27

Page 54: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: since y until

Dos nuevos operadores temporales:

‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β)‘Until’: Uαβ (hasta que α, sera el caso que β)

Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones:

“Desde que cayo el techo (t), la casa se moja (m); estare resfriado (r)hasta que lo arreglemos (a)!”

Stm ∧ Uar

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Page 55: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: since y until

Dos nuevos operadores temporales:

‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β)‘Until’: Uαβ (hasta que α, sera el caso que β)

Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones:

“Desde que cayo el techo (t), la casa se moja (m); estare resfriado (r)hasta que lo arreglemos (a)!”

Stm ∧ Uar

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 23 / 27

Page 56: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: since y until

Dos nuevos operadores temporales:

‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β)‘Until’: Uαβ (hasta que α, sera el caso que β)

Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones:

“Desde que cayo el techo (t), la casa se moja (m); estare resfriado (r)hasta que lo arreglemos (a)!”

Stm ∧ Uar

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Page 57: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo

Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.

Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:

El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.

Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:

〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27

Page 58: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo

Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.

Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:

El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.

Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:

〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].

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Page 59: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo

Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.

Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:

El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.

Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:

〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].

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Page 60: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo

Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.

Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:

El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.

Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:

〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.

α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].

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Page 61: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo

Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.

Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:

El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.

Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:

〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].

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Page 62: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida

La logica hıbrida permite:

Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.

Los nominales (i , j , k...) y el operador @:

Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.

“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”

@js ∧ @db

La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.

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Page 63: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida

La logica hıbrida permite:

Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.

Los nominales (i , j , k...) y el operador @:

Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.

“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”

@js ∧ @db

La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.

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Page 64: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida

La logica hıbrida permite:

Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.

Los nominales (i , j , k...) y el operador @:

Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.

“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”

@js ∧ @db

La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27

Page 65: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida

La logica hıbrida permite:

Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.

Los nominales (i , j , k...) y el operador @:

Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.

“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”

@js ∧ @db

La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27

Page 66: Lógica temporal y flujos de tiempo

Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida

La logica hıbrida permite:

Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.

Los nominales (i , j , k...) y el operador @:

Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.

“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”

@js ∧ @db

La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.

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Page 67: Lógica temporal y flujos de tiempo

Como dirıa Leibniz... Recapitulemus!

La logica temporal ofrece:

Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucranel tiempo.Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo enlos que enmarcar nuestro razonamiento.Extensiones:

Nuevos operadoresIntervalos de tiempo vs. instantesIdentificar instantes especıficos· · ·

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Page 68: Lógica temporal y flujos de tiempo

Como dirıa Leibniz... Recapitulemus!

La logica temporal ofrece:

Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucranel tiempo.

Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo enlos que enmarcar nuestro razonamiento.Extensiones:

Nuevos operadoresIntervalos de tiempo vs. instantesIdentificar instantes especıficos· · ·

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27

Page 69: Lógica temporal y flujos de tiempo

Como dirıa Leibniz... Recapitulemus!

La logica temporal ofrece:

Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucranel tiempo.Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo enlos que enmarcar nuestro razonamiento.

Extensiones:

Nuevos operadoresIntervalos de tiempo vs. instantesIdentificar instantes especıficos· · ·

Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27

Page 70: Lógica temporal y flujos de tiempo

Como dirıa Leibniz... Recapitulemus!

La logica temporal ofrece:

Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucranel tiempo.Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo enlos que enmarcar nuestro razonamiento.Extensiones:

Nuevos operadoresIntervalos de tiempo vs. instantesIdentificar instantes especıficos· · ·

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Page 71: Lógica temporal y flujos de tiempo

El fin de los tiempos

¡Gracias por vuestra atencion!([email protected])

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