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Libro Maquinas UNI_FIEE_MAQ [Unlocked by Www.freemypdf.com]

Dec 27, 2015

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  • fs2 u unihttp://fiee.uni.edu.pe

  • DEDICADO A:

    MI ALMA MATER

    LA UNIVERSIDAD

    NACIONAL DE INGENIERA

  • PRLOGO

    El presente texto desarrolla el syllabus completo de la asignatura de MquinasElctricas que se ofrece en la UNI para la especialidad de IngenieraElctronica, pero su contenido es tal que puede ser perfectamente asimiladotambin por los alumnos de las especialidades de Ingeniera Elctrica yMecnica Elctrica que deseen obtener un buen conocimiento de las mquinaselctricas .

    Los primeros tres captulos son introductorios al estudio de las mquinaselctricas y en ellos se representan las caractersticas generales de lasmquinas elctricas estticas y rotativas y los materiales empleados para suconstruccin. En captulos siguientes se ve en forma amplia la teora yaplicaciones de los transformadores monofsicos, trifsicos yautotransformadores.

    El texto desarrolla la teora de las mquinas elctricas rotativas en rgimenpermanente, utilizando los mtodos convencionales que han demostrado ser msdidcticos para los estudiantes que se inician en el estudio de las mquinaselctricas. Estos mtodos permiten dar un conocimiento real de la mquina apartir del cual se obtienen fcilmente los circuitos equivalentes y las expresionesmatemticas que permiten el anlisis riguroso en estado estable. En los ltimoscaptulos se hace un resumen de los mtodos de control de velocidad de lasmquinas rotativas de corriente contnua y corriente alterna que se estn usandoactualmente.

    Se complementa la elaboracin de ste libro con la presentacin de un softwareinteractivo de simulacin digital de obtencin de curvas caractersticas internasy externas de los tipos de mquinas de corriente contnua y alterna tratadas en elcontenido del libro.

    Expreso mi ms sincero agradecimiento a la Universidad Nacional de Ingenieraque a travs del Instituto de Investigacin de la Facultad de Ingeniera Elctrica,Electrnica y Telecomunicaciones, ha permitido el desarrollo del contenido deesta publicacin; as como tambin a mis alumnos Sr. Walter Aguilar, Sr.Christian Aguilar por su apoyo, y a mis colegas profesores de la especialidadpor su incentivo y recomendacin. Finalmente mi agradecimiento a las Srtas.Jully Saldaa y Blanca F. Cortez De La Cruz por el tipeo, diagramacin y suexpertez en el diseo y presentacin de sta obra , que esperamos puedacontribuir a dar slida formacin a nuestros estudiantes.

  • EL AUTOR

    Ingeniero Electricista, se desempea como

    Profesor Titular del curso de Mquinas

    Elctricas y laboratorio de Mquinas

    Elctricas, en las Facultades de Ingeniera

    Elctrica y Electrnica, Industrial y de

    Sistemas de diversas Universidades

    Nacionales del Per, como la Universidad

    Nacional de Ingeniera y Universidades

    Privadas como la Universidad Tecnolgica

    del Per.

    Durante los ltimos quince aos ha alternadola actividad docente en diversasUniversidades e Institutos de InstruccinSuperior, con la prctica profesional comoIngeniero Electricista desarrollando susactividades en Entidades Supervisoras deProyectos y Ejecutores de Obras de granimportancia en su pas, el Per.

    Sus actividades se han desarrollado en el reade Mquinas Elctricas Estticas y Rotativas,sistemas de Distribucin Elctrica yutilizacin. Actualmente est designado comoPerito Judicial en la Especialidad deIngeniera Elctrica por el Registro de PeritosJudiciales del Poder Judicial (REPEJ) CorteSuperior de Justicia de Lima. Posee diversostrabajos de Investigacin y es miembro deInstituciones Cientficas del Pas.

  • 1NDICE

    I.- CIRCUITO MAGNTICO

    1.1 Introduccin.....................................................................................................41.2 Algunas leyes bsicas de Electrosttica..........................................................51.3 Algunas leyes bsicas de Magnetosttica.......................................................91.4 Otras conclusiones tiles en Magnetosttica................................................121.5 Campo Magntico de un toroide...................................................................141.6 Analoga entre circuitos elctricos y magnticos.........................................161.7 Unidades y factores de conversin...............................................................171.8 Ley de circuitos de Ampere aplicada a un ncleo ferromagntico..............181.9 Materiales ferromagnticos.........................................................................20

    II.- EXCITACIN DE ESTRUCTURAS FERROMAGNTICAS CON CORRIENTEDIRECTA

    2.1 Introduccin..................................................................................................222.2 Propiedades de los materiales ferromagnticos...........................................222.3 Circuitos aproximados de aparatos electromagnticos...............................252.4 Mtodos de anlisis de circuitos ferromagnticos.......................................272.5 Entrehierros en circuitos ferromagnticos..................................................28

    III.- EXCITACIN DE ESTRUCTURAS FERROMAGNTICAS CON CORRIENTEALTERNA

    3.1 Introduccin.................................................................................................553.2 Ley de Faraday de Induccin Electromagntica.........................................553.3 Relacin entre voltaje aplicada peridico, voltaje inducido y flujo en un

    ncleo magntico excitado por una sola fuente..........................................573.4 Forma de onda de la corriente de excitacin en un sistema ferromagntico

    con flujo senoidal.........................................................................................593.5 Energa almacenada en un ncleo magntico excitado por una

    sola fuente....................................................................................................613.6 Representacin matemtica de la corriente de excitacin no senoidal

    (i(t))............................................................................................................643.7 Circuito equivalente aproximado de un reactor con ncleo de hierro.......673.8 Determinacin de los parmetros del circuito equivalente de un reactor con

    ncleo de hierro...........................................................................................683.9 Prdidas en los materiales ferromagnticos...............................................70

  • 23.10 Prdidas totales en el hierro........................................................................733.11 Separacin de prdidas................................................................................733.12 Determinacin experimental de las prdidas totales...................................753.13 Reactores con ncleo de hierro...................................................................763.14 Importancia de la Curva de Magnetizacin................................................763.15 Modelos de representacin de Curvas de Magnetizacin...........................77

    IV.- ANLISIS DEL CIRCUITO DE TRANSFORMADOR CON NCLEO DEAIRE

    4.1 El Transformador Ideal...............................................................................1094.2 Relaciones bsicas en un Transformador Ideal.......................................1104.3 Anlisis del transformador de Potencia con ncleo de hierro...................1124.4 Circuito equivalente exacto.......................................................................1144.5 Ecuaciones y diagrama vectorial..............................................................1164.6 Los circuitos equivalentes aproximados...................................................1184.7 Determinacin de los parmetros por medicin de un transformador de

    ncleo de hierro.........................................................................................1194.8 Rendimiento...............................................................................................1234.9 Eficiencia o rendimiento de un transformador.........................................1234.10 Variacin de la eficiencia con la carga y eficiencia mxima...................1244.11 La Regulacin de un transformador.........................................................1254.12 Determinacin analtica de la regulacin................................................1264.13 Empleo de valores unitarios y porcentuales............................................1284.14 Autotransformadores................................................................................1314.15 Transformadores Trifsicos.....................................................................1384.16 Transformadores de Audio a Frecuencia variable...............................1434.17 Preguntas y respuestas sobre transformadores......................................146

    V.- CONVERSIN DE ENERGA ELECTROMAGNTICA

    5.1 Proceso de conversin de energa...........................................................2005.2 Energa de campo....................................................................................2015.3 Fuerza mecnica en los Sistemas Electromagnticos.............................2075.4 Mquinas Rotativas.................................................................................214

    VI.- ASPECTO CONSTRUCTIVOS DE LA MQUINA DE CORRIENTECONTNUA

    6.1 Aspectos constructivos de la mquina de corriente contnua..................2366.2 Principios de funcionamiento de la maquina de corriente continua.......2376.3 Campo magntico producido por el rotor y reaccin de armadura.......239

  • 36.4 Conmutacin...........................................................................................2436.5 El Motor de corriente contnua en rgimen permanente........................2446.6 El Generador de corriente contnua en rgimen estable........................2546.7 Control de velocidad de mquinas de corriente continua......................261

    VII.- MOTORES POLIFSICOS DE INVERSIN

    7.1 Motores Trifsicos....................................................................................3067.2 Mquina Asncrona Trifsica...................................................................3217.3 Control de velocidad en Maquinas Asncronas.......................................3477.4 Arranque de Motores de Induccin.........................................................3647.5 Principios de funcionamiento de la Mquina Sncrona..........................3657.6 Control de velocidad de Motores Sncronos...........................................389

  • 4 CAPTULO ICIRCUITO MAGNTICO

    1.1 INTRODUCCIN

    El objetivo del curso es exponer los principios de la conversin de energaelectromecnica y del desarrollo de mtodos para obtener modelosparamtricos de transductores.

    Los Transductores son aparatos que convierten energa de una forma a otra.Muchos de ellos son electromecnicos. Ejemplo:Los motores elctricos usados en los aparatos domsticos, tales como:ventiladores, refrigeradores, etc. convierten energa elctrica en energamecnica.

    Todos los transductores electromecnicos pueden considerarse como formadosde partes que son elctricas y de partes que pueden ser clasificadas comomecnicas. La energa es recibida o suministrada por stas partes dependiendode la naturaleza y aplicacin de cada transductor particular. Los Camposmagnticos y/o elctricos sirven como medio de acoplamiento. Veamos larepresentacin de una transductor en un diagrama de bloques: transductor enun diagrama de bloques:

    ENERGA ELCTRICA O ENERGA MECNICA

    Figura 1.1.1

    Los campos magnticos y elctricos juegan un papel importante en los procesosde almacenamiento y transferencia de energa elctrica. Se requiere elconocimiento de las relaciones de entrada y salida que existen en los tresbloques componentes.

    Es necesario desarrollar mtodos para la obtencin de modelos para cadabloque componente. Es necesario calcular la fuerza de stos medios deacoplamiento en estructuras lineales y no lineales y establecer la relacin entrestos campos y los parmetros de la parte elctrica de los transductores,llamados voltaje y corriente. Tales relaciones sern derivadas para los camposmagnticos en este libro.

  • 5q1 q2

    La determinacin de la relacin entre la intensidad de campo magntico y losvoltajes y corrientes en este medio, utiliza en general clculos en tresdimensiones; generalmente se realizan suposiciones y aproximacionesapropiadas y el problema de clculo tridimensional puede ser reducida a unproblema de redes o circuitos de una dimensin por muy difciles que puedanser considerados los transductores electromecnicos, y resuelto por el uso detcnicas similares a las usadas en la teora de redes elctricas, para tal efecto seintroduce el concepto de circuito magntico, sern repasadas algunas leyesbsicas referidas a campos estticos (invariantes en el tiempo), elctricos ymagnticos. Luego sern introducidas algunas leyes bsicas y conceptosadicionales, referidos a campos magnticos variables en el tiempo.

    1.2 ALGUNAS LEYES BSICAS DE ELECTROSTTICA

    a) Ley de Coulomb: La electricidad es una caracterstica de la materia, ycarga es una medida de esta caracterstica. Dos clases de carga sonconocidas, positiva y negativa.

    Ley de la conservacin de la carga: Algebraica de todas las cargas en un sistema aislado es constante.

    Sean:q1 y q2 las magnitudes de las cargasd es la distancia entre ellasK es la constante de proporcionalidad que depende del medio

    donde el experimento es realizado y del sistema de unidadesusado.

    La fuerza elctrica entre ambas es:

    Figura 1.2.1

    )11(........d

    qqKF 221

    =

    Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signo contrario se atraen.

    En el sistema de unidades MKS racionalizado, las unidades son: metro (longitud)m Kilogramo (masa)t segundo (tiempo)c coulomb (carga)La constante K tiene un valor de 1/4Donde = constante dielctrica llamada capacidad o permitividad delmedio.

    d

  • 6q j

    +

    roe

    En el vaco 90 10361

    ==

    Es conveniente escribir la ecuacin (1-1) en forma vectorial suponiendoque el medio es el vaco y usando el sistema MKS racionalizado.

    Se supone que los cuerpos cargados son estacionarios en el espacio ypueden ser considerados como cargas puntuales.

    es el vector unitario en la direccin de la lnea de fuerza ro .

    En forma general la fuerza total ejercida por ellas sobre una carga deprueba colocada en su vecindad puede ser obtenida por una superposicinlineal.

    La fuegrupo

    b) Campcomoinfluecargapequeintens

    )21(........ed4

    qqF ro2o

    21

    =q

    d1

    d2q2

    + +

    Fig

    rza total es el vector suma, sobre la carga de prueba

    o Elctrico: Cada carg medio para ejercer su funcia. El centro del camp. Si es asumido sto y a para no distorsionar eidad de ste puede ser rep

    F2

    F1

    q1

    4=

    qFq

    djdN

    qN

    d j+1

    ura 1.2.2

    de las fuerzas.

    a qj produce uerza sobre otro est en el la carga de l campo produresentada por

    F

    ....1

    2=

    rj

    N

    j j

    j

    o

    edqF j+1

    j+1

    ++

    ejercidas por cada carga del

    n campo elctrico que actaas cargas colocadas bajo sulugar donde se encuentra laprueba q es suficientementecido por las otras cargas, lael vector definido por:

    N

    )31(....

  • 7En forma general diremos que:

    Unidades:[F] = Newtons[q] = Coulombs[d] = metros[E] = Volts/mt.

    En el caso de un cuerpo cargado en el vaco, la intensidad de campoelctrico es:

    Donde: , Es la densidad volumtrica de la cargaV , Volumen del cuerpo sobre el cual se realiza la integracin.

    c) Potencial Elctrico:

    Figura 1.2.3

    Consideremos el campo elctrico debido a un carga qj. Supongamos quedeseamos mover una carga positiva unitaria del punto A al punto B, a lolargo de la trayectoria A-B. Como el campo elctrico debido a qj ejerce unafuerza en la carga de prueba unitaria, se debe efectuar un trabajo yconsumir energa para mover la unidad de carga de A a B.En el punto P de la trayectoria AB, la intensidad de campo elctrico Edebida a qj es :

    Donde:

    )51(........edq

    41E rj

    N

    1j2j

    j

    o

    =

    =

    )41(........qFE =

    )61(........dVed4

    1E rjV

    2o

    =

    )71(........ed4

    qE r2

    o

    j

    =

    jprp qdesdeppuntoaldistancialaesd

    unitariovectorelese

  • 8dEdV =

    El trabajo hecho sobre la unidad de carga para moverla una distancia d alo largo de la trayectoria AB es :

    Donde:

    El signo negativo significa que el trabajo es hecho sobre la carga en contradel campo elctrico debido a qj.

    El trabajo hecho para mover la unidad de carga de A a B es :

    Si hay N cargas en un conjunto, el trabajo total realizado en la unidad decarga es:

    En la ecuacin (1-10), W es definido como la diferencia de potencial entreA y B, esto es:

    El potencial absoluto en el punto B dentro un campo elctrico es obtenidoal colocar el punto A en el .

    Como dA . En la ecuacin (1-11) se tendra:

    El potencial V es una magnitud escalar, a diferencia del campo elctricoE .

    La relacin diferencial puede ser descrita por:

    )81(........4

    4 20

    2 === drdq

    ded

    qdEdW jr

    o

    jj

    drddede rr === coscos

    9)(1........d1

    d1

    4q

    drd4

    qdEW

    ABo

    jdB

    dA2o

    jB

    Aj

    =

    ==

    )101(........d1

    d1

    4q

    WAB

    N

    1j o

    j

    =

    =

    )111(........d1

    d1

    4q

    VVAB

    N

    1j o

    jAB

    =

    =

    =

    =

    N

    1j Bo

    j )121(........d4

    qV

    )131(........cosEddV =

  • 9La componente del vector en la direccin de la tangente de la trayectoria

    AB en el punto P es dado por:

    1.3 ALGUNAS LEYES BSICAS DE MAGNETOSTTICA

    a) Fuerzas en cargas en movimiento: Campo Magnetosttico

    Al tener cargas elctricas en movimiento estas experimentan fuerzas debidoa la velocidad de las cargas llamadas fuerzas magnticas y la regin en lacual existen es llamado como CAMPO MAGNTICO. Se define un campomagntico en trminos de campos elctricos en movimiento. Se define lacorriente elctrica como la rapidez de la transferencia o de transporte decargas elctricas en un medio (por ejemplo, una bobina o un alambre). Sedice entonces que un campo magntico esta asociado a la bobina.Un campo magntico es usualmente considerado compuesto de lneas defuerza llamadas lneas de flujo o lneas de induccin. (representadas por ).

    Figura 1.3.1

    El Nmero de lneas de fuerza por unidad de rea, es una medida de lafuerza del campo magntico. (y es llamada densidad de flujo) (B) B=/SUnidades: (sistema MKS racionalizado)

    [] = Weber o Volt-seg[ ]=B Weber/(mt)2[ ]=E Volt/mt

    Ecuacin de la Fuerza de Lorentz:

    Una carga q1 elctrica en movimiento a una velocidad uniforme v1 en unaregin de campo magntico B experimenta una fuerza adicional llamadafuerza de Lorentz.

    Si B es generado por otra carga q2 en movimiento a una velocidaduniforme v2 entonces:

    )151(........BvqF 11 =

    )141(........ddVEt =

    E

  • 10

    o o

    Donde:E 2 es la Intensidad de campo elctrico debido a q2

    es la velocidad de la luz (en el vaco =3108 m/seg).

    b) Campo Magntico de un elemento de corriente en el vaco: Ley de Biot-Savart.

    Sabemos que I=dq/dt, la carga en la longitud elemental dl es dq=ldt. Luegola intensidad de campo elctrico debido a esta carga en el punto P es:

    r es el vector unitario en la direccin r

    La velocidad de carga es

    Donde:

    es el vector unitario en la direccin del flujo de la carga en elconductor, esto es:

    Este movimiento de carga origina un campo magntico, luego el vectorelemental de la densidad de flujo esta dado aplicando la ecuacin (1 16).

    En la prctica, la corriente fluye en trayectorias cerradas. Si la trayectoriadel flujo de la corriente es representada por C, entonces el campomagntico total en cualquier punto del vaco debido a la totalidad de lacorriente se obtiene al integrar la ecuacin (1 - 19) a lo largo de C.

    Tambin expresado como:

    )161(........Ev1B 222o

    =

    )171(........ed4

    Idted4

    dqE r2o

    r2o

    =

    =

    2udtd

    2u

    )181(........dtdu

    dtd

    2 ==

    )191(........d

    ed4

    Ied4

    dqudtdIBd 2

    r2o

    r2o

    22o

    =

    =

    )201(........d

    ed4

    IBC

    2r

    2oo

    =

    )211(........d

    ed4I

    BC

    2ro

    =

  • 11

    Conocida como Ley de BIOT-SAVART, donde0 =Permeabilidad del vaco;

    En el sistema MKS racionalizado metrovueltaAmp

    weberxo

    =7104

    c) Campo Magntico en el centro de un anillo circular de corriente en elvaco.

    Consideremos un anillo circular de radio R por el que circula unacorriente I. Es conveniente el uso del siguiente sistema de coordenadas ,r, z donde:

    Es el vector unitario en la direccin tangente al anillo circular en elplano del papel.

    r Es el vector unitario en la direccin radial en el plano del anillo.z Es el vector unitario perpendicular al plano del anillo.

    rz

    z

    zr

    eexeeexeeexe

    )))))))))

    =

    =

    =

    r

    Figura 1.3.2

    De la figura:

    La densidad de flujo B en el punto P puede ser obtenida de la ecuacin(1-21):

    Si en lugar de una sola vuelta de alambre, la bobina tiene N vueltas muyjuntas y todas esencialmente del mismo radio, c/u contribuye de maneraigual al campo magntico.El campo magntico en P es igual a:

    ooo

    ooo

    11 2 ==

    eRdd =

    )221(........eR2I

    Ree(Rd

    4I

    B zo

    2

    02

    roP

    =

    =

    23)(1........e2RNIB zoP =

  • 12

    d) Campo Magntico de un solenoide largo:

    Consideremos un solenoide de longitud L, donde L >>RI es la corriente que circula en la bobina.La densidad de flujo en un punto que est en el eje del solenoide o cerca del, pero no muy cerca de los extremos, estar dado por:

    Figura 1.3.3

    1.4 OTRAS CONCLUSIONES TILES EN MAGNETOSTTICA

    a) Continuidad de lneas de Induccin: El flujo o lnea de induccin producidas por las corrientes siempre formanun circuito cerrado.

    Figura 1.4.1

    El nmero de lneas que entra es igual al nmero de lneas que sale,matemticamente se expresa:

    Otra forma de expresar es: Divergencia de B = 0, esto es:

    )241(........eLNIB zo

    =

    )251(........0dAnBAdBAA

    ==

  • 13

    )261........(0B =

    0dB

    J

    [Ley de Gauss para Campos Magnticos]

    b) Ley de circuitos de Ampere: Consideremos un anillo por el que circula una corriente. Tenemos lneas de induccin originadas por sta La integral de lnea del vector densidad de flujo, alrededor de unatrayectoria cerrada en la misma direccin de las lneas de induccin, estrelacionada con la ecuacin (suponiendo que se encuentra en el vaco).

    Figura 1.4.2

    =

    =

    2

    1

    )(0

    )(

    2

    10

    C

    C

    corrientelaaenlazanoCatrayectorilaSidB

    corrientelaaenlazaCatrayectorilasiIdB

    .... (1-27)

    Siempre se busca que , es decir que la trayectoria escogida queenlaza a la corriente no es normal a la direccin de B. Si es el vector densidad de corriente en el anillo por el que circula staentonces: ==

    A A

    dAnJAdJI ........ (1 - 28)

    Luego: =C A

    o dAnJdB ........ (1 - 29)

    Esta integral tambin se puede escribir en forma diferencial:

    )301(........JB o =

  • 14

    Se define un vector Intensidad Magntica )311(........HB,H 0 = La ley de circuitos de Ampere en trminos de H puede ser escrita:

    )321(........dAnJAdJdHC A A

    == En forma diferencial tenemos: Rotacional JH = esto es:

    c) Caracterstica de Magnetizacin para el vaco:

    Figura 1.4.3

    1.5 CAMPO MAGNTICO DE UN TOROIDE

    Se muestra el esquema de un Toroide.

    Figura 1.5.1

    Se deduce que las lneas de induccin dentro de un Toroide son circulares.Consideremos una trayectoria circular dentro de un Toroide.

    Por simetra B es constante en todos los puntos de esta trayectoria y sudireccin es a lo largo de la tangente de la trayectoria en cada punto.

    )331(........JH =

  • 15

    B

    Luego haciendo uso de la Ley de circuito de Ampere:

    )341(........NIld.BC

    0 =C es la trayectoria circular de radio Rm

    Esta trayectoria enlaza la corriente I, N veces, adems tenemos:

    edRdyeBB m ==

    vara inversamente con el radio de la trayectoria, entonces no es constante entodos los puntos de la seccin transversal del Toroide.

    Si suponemos que Rm>>d podemos decir sin perder precisin que B es constanteen dicha seccin transversal. Si Rm es el radio medio entonces la circunferenciamedia es m = 2Rm y la densidad de flujo es :

    Como B es el flujo por unidad de rea de la seccin transversal, el flujo totaldentro del Toroide esta dado por:

    Esta ecuacin se conoce como la LEY DE OHM para circuitos magnticos.

    La cantidad NI es llamada fuerza magnetomotriz (f.m.m.) m/0A esdenominado la reluctancia de la estructura magntica ().Existe una analoga con el circuito elctrico mostrado.

    Figura 1.5.2

    )361(........eR2NI

    Bm

    o

    =

    )371(........NIBm

    o

    =

    )381(........

    A

    NINIABA

    o

    mm

    o

    =

    ==

    )391(........A

    VRVI

    ==

    )351(........NI)2(BRdBRedReB om2

    om

    Cm ===

  • 16

    )441(........

    )451(........

    Donde: es la conductividad del material usado para fabricar el resistor. es la longitud.A es el rea de la seccin transversal del resistor.

    Como B=oH de la ecuacin (1-35) tenemos que:

    Se ha pretendido hacer una aproximacin de una estructura magnticatridimensional en un circuito magntico de una dimensin. Esto debido a laconfiguracin geomtrica y simtrica del Toroide.El concepto de circuito magntico se ha desarrollado para una estructuraparticular, conteniendo aire vaco.

    1.6 ANALOGA ENTRE CIRCUITOS ELCTRICOS Y MAGNTICOSTABLA 1-1

    RESUMEN

    Ecuaciones de Maxwell en forma integral:

    ==A V

    )411(........)GaussdeLey(dVQAdD

    )421(........0AdBA

    =A es una superficie cerrada.

    ====C A

    AdJdH (Ley de Ampere, caso esttico) (1-43)

    ====C

    0dE (Caso esttico)

    C es la trayectoria en la cual es verificada la integral de lnea.

    ====C A AdtBdE Ley de Faraday

    Ecuaciones de Maxwell en forma Diferencial o Puntual:

    Divergencia de un vector AA = Luego:

    )401(........NIHm

    =

  • 17

    )461(........ )471(........

    )481(........

    = D Ley de Gauss0B =

    Rotacional de un vector cualquiera AA = , luego:JH = Ley de Ampere (caso esttico)

    tBE

    = Ley de Faraday )491(..........

    1.7 UNIDADES Y FACTORES DE CONVERSIN

    ALGUNOS FACTORES DE CONVERSIN TILES

    TABLA 1-3

    Multiplicando Por Para obtener en pulgadasF en librasfmm en gilbertsH en oersterds en lneas maxwellsB en lneas/pulg2B en lneas/pulg2B en gauss

    2.54x10-24.4480.79679.610-8

    15.50x10-60.15510-4

    en metrosF en nwetonsfmm en amp-vueltaH en amp-vuelt/m en webersB en weber/m2B en gaussB en weber/m2

  • 18

    or

    ====

    1.8 LEY DE CIRCUITOS DE AMPERE APLICADO A UN NCLEOFERROMAGNTICO

    )501(........AdJdHC A

    = Relaciona corrientes elctricas y campos magnticos

    - J es la densidad de corriente- H es la excitacin especfica o intensidad de campo

    Figura 1.8.1

    - La integral de lnea de H a lo largo del contorno de una superficie a travsde la cual pasa la densidad de corriente J es igual a la corriente total atravs de ella.

    - Los Amper-vuelta N i pueden proceder de uno o varios bobinados, siendo Ni

    el total de todos ellos.

    [B]=Wb/m2 1 weber=108 lneas

    - En el sistema MKS: 0=4x10-7 web/amp-vuelt-mt; permeabilidad del vaco

    permeabilidad del material ferromagntico es la permeabilidad relativa r =[2,000 ; 6,000]

    - La densidad de flujo B producida por H ser sumamente pequea en todaspartes excepto en el hierro del ncleo.

    51)(1........HiN mm =

    )521(........HB o =

  • 19

    58)(1........

    57)(1........

    )621(........

    Figura 1.8.2

    - Las mquinas dispositivos de conversin de energa provistos de una partemvil tienen necesariamente entrehierros en sus ncleos.

    - Aplicando la frmula: Ni = Hm m + Hg gEl flujo es continuo a lo largo del circuito magntico:

    53)(1........HB mmm = 54)(1........HB gog = 55)(1........AB mmm = 56)(1........AB ggg =

    )(,gB

    BiN gm

    o

    gm

    m

    m +=

    gAAiN

    ogmm

    m +=

    El trmino Ni se representa por y se denomina fuerza magnetomotriz f.m.m.Los coeficientes del segundo miembro se denominan reluctancia .

    +++

    ===

    m

    gm

    m

    o

    g

    gm

    g

    gm

    AA

    g11

    FFF

    59)(1........A mmm

    m =

    60)(1........A

    g0g

    g =

    ( ) 61)(1........FiN gm +==

  • 20

    1.9 MATERIALES FERROMAGNTICOS

    Los elementos ferromagnticos que se encuentran en la naturaleza sonsolamente tres: el hierro, el niquel y el cobalto.

    Entre stos naturalmente el de mayor uso es el hierro y sus aleaciones con lostros dos y con tros metales (Al, Cu, etc.).

    Algunas Aleaciones:

    I) El Acero-Silicio: Es la aleacin ms importante el hierro-silicio, tambinllamado acero-silicio, contiene un porcentaje variable de -5% de silicio.Esta aleacin recibe adems un tratamiento trmico y con ello se obtiene unmaterial que tiene mejor permeabilidad y al mismo tiempo mayorresistencia elctrica y sto implica una disminucin de las prdidas porcorrientes parsitas. El acero silicio se fabrica en lminas de 8.5mm a9.35mm de espesor y de acuerdo con el porcentaje de silicio se obtienendiferentes tipos de aleaciones:i) Field Grade: % de silicio con una resistencia especfica de 10-cm.

    Se emplea en la construccin de pequeos motores.ii) Armadura Grade : % de silicio con una resistencia especfica de

    19-cm. Se emplea en pequeos motores generadores y en general enlos dispositivos donde se desea tener altas densidades de flujo sin queinteresen mayormente las prdidas en el ncleo.

    iii) Electrical Grade: 1% de silicio con una resistencia especfica de 26-cm. Se emplea en motores y generadores de potencias medias, entransformadores, relays y otros aparatos diseados para operacinintermitente.

    iv) Motor Grade: 2.5% de silicio con una resistencia especfica de 42-cm. Se emplea en motores y generadores medianos de buena eficienciaen aparatos de control y en transformadores para radios.

    v) Dnamo Grade: 3.5% de silicio con una resistencia especfica de50-cm. Se emplea en motores y generadores de alta eficiencia,pequeos transformadores de potencia y transformadores de radio.

    vi) Transformador Grade: 5% de silicio con una resistencia especfica de56-cm. Se emplea en los grandes transformadores de potencia, engrandes alternadores de alta eficiencia y en generadores sncronos.

    Como se observa la resistencia especfica de las lminas aumenta con elporcentaje de silicio y sigue aproximadamente la siguiente ecuacinemprica:

    = 12.5 + 11Si

    resistencia especfica de la aleacin en -cm.Si porcentaje de silicio.Un aumento de la resistencia se traduce en una notable disminucin dedichas prdidas.

  • 21

    OTROS MATERIALES FERROMAGNTICOS:

    Surgieron otros tipos de aleaciones que se dividen en materiales blandos quepierden fcilmente su magnetismo y materiales duros que pierden difcilmentesu magnetismo y que se emplean especialmente en imanes permanentes. Entrestos materiales destaca el Alnico, una aleacin de aluminio, nquel y cobalto.El permalloy y el numetal tienen una permeabilidad muy elevada.

    En diferentes equipos de comunicaciones en cambio se requieren materiales depermeabilidad sumamente constante: se obtuvieron entonces las aleacionesperminvar y conpernik.

    Finalmente los materiales magnticos se emplean para imanes permanentes eninstrumentos y estn sujetos frecuentemente a campos alternos, cambios detemperatura y esfuerzos mecnicos que no deben desde luego modificar suscaractersticas magnticas.

    La propiedad principal que deben tener es un alto magnetismo remanente y unaalta fuerza coercitiva. Tambin el producto (BH)mx conviene que sea alto.

    LAS FERRITAS

    Las ferritas son materiales no metlicos que responden a la frmula generalMeFe2O4, donde Me representa un metal bivalente.Con las ferritas puede hacerse polvo, que luego mediante procesos metalrgicosse forman los ncleos de la forma requerida.Estos materiales se emplean para altas frecuencias porque tienen muy altaresistividad y por consiguiente sus prdidas por corrientes parsitas sonpracticamente nulas; tambin sus prdidas por histresis son sumamente bajas.Tienen por lo tanto gran aplicacin en electrnica.Se fabrican bajo diferentes nombres, como por ejemplo: Ferroxcube, Ferramic,Ceramag, Crolite, etc.

    LOS MATERIALES ANTIMAGNTICOS:

    Estos materiales en realidad poseen un ferromagnetismo muy pequeo(r=1.1-1.4) por esa razn se les puede emplear como Aislantes Magnticos,cuando se desea aislar un circuito magntico de otras piezas metlicas. Este esel caso por ejemplo de los pernos de amarre de los ncleos de lostransformadores. Las aleaciones antimagnticas empleadas en la prctica sondos:El acero al manganeso (12% de manganeso) y el acero nquel. En ciertos casosse le aade un poco de cadmio (3.8%) para mejorar las caractersticasmecnicas del acero.

  • 22

  • 22

    CAPTULO IIEXCITACIN DE ESTRUCTURAS

    FERROMAGNTICAS CON CORRIENTEDIRECTA

    2.1 INTRODUCCIN

    Experimentalmente se ha comprobado que ciertos materiales al ser colocadosen un campo magntico, stos reaccionan con el campo y lo modifican. Estefenmeno es llamado magnetizacin y los materiales que exhiben stacaracterstica son llamados materiales magnticos. Estos materiales seclasifican en tres grupos: diamagnticos, paramagnticos y ferromagnticos. Lamayora de los aparatos electromagnticos se construyen de materialesferromagnticos. Estos materiales son aleaciones de hierro y de algunos otrosmetales.Se supondr que la corriente en la bobina de excitacin es invariante con eltiempo, excepto durante el perodo de conexin desconexin de la excitacin.Si como ncleo tenemos al vaco u otro material no magntico es posible unclculo directo de la reluctancia (o=cte).En estructuras hechas de material ferromagntico no puede hacerse un clculodirecto, ya que la permeabilidad es una funcin de la densidad de flujo (empleode mtodos grficos).

    2.2 PROPIEDADES DE LOS MATERIALES FERROMAGNETICOS

    1) Llegan a magnetizarse fuertemente en la misma direccin del campomagntico donde estn colocados.

    2) La densidad de flujo en los materiales ferromagnticos vara en forma nolineal con la intensidad magntica, con excepcin de pequeos rangos dondela variacin es lineal.

    3) Los materiales ferromagnticos presentan saturacin, histresis yretentividad.

    Considerando un Toroide: Figura 2.2.1 El espacio encerrado est lleno de algn material ferromagntico y la mismacorriente pasa a travs del embobinado.

  • 23

    Suponiendo que el espacio encerrado es el vaco (o), la densidad del flujodentro del Toroide, est dado por la expresin:

    es la densidad de flujo intrnseco. Tambin:

    Para materiales ferromagnticos X es una cantidad variable y X>>1. Entoncesen forma general:

    Donde: = 0+X, llamada permeabilidad [ ]

    mvueltaampWebers

    = , es mucho + grande que 0

    Definimos una cantidad sin dimensin r llamado permeabilidad relativa

    La variacin de con respecto a H para un material ferromagntico tpico escomo se muestra en la figura.

    Figura 2.2.2

    a) Saturacin:

    B vara linealmente con H para valores pequeos de H, si H tiende aincrementarse la variacin de B gradualmente decrecer. Para valoresgrandes de H la curva caer es decir aunque H crezca rpidamente Bprcticamente se mantendr sin incrementarse. Esta caracterstica esconocida como saturacin.

    )22(........NIB

    )12(........XHNI

    B

    m

    o

    m

    o

    +=

    +=

    )42(........NIH

    )32(........XH

    m

    =

    =

    )52(........HXHHB o =+=

    )62(........o

    r =

  • 24

    Figura 2.2.3 Figura 2.2.4

    b) Histresis: Supongamos un medio lleno de material ferromagntico sujeto a una magnetizacin cclica. Supondremos que el material est en un estado neutro sto es que no est magnetizado. La corriente en el embobinado es cero y sta condicin es representada por el punto o.Aumentamos la intensidad magntica Hal incrementar la corriente en elembobinado de excitacin, la densidad Figura 2.2.5de flujo B se encuentra a lo largo dela curva ob, entonces para:

    Luego disminuimos gradualmente la corriente magnetizante (H), ladensidad de flujo a lo largo de la curva bd es diferente, vemos que para unvalor especfico de H el valor de B es grande, cuando H se disminuye quecuando se incrementa. Se dice entonces que el flujo se retrasa con respectoa la intensidad magntica. Esta caracterstica de los materialesferromagnticos es conocida como HISTRESIS. Si se hace circular la corriente en direccin opuesta y es incrementadagradualmente, el material magntico se magnetizar en direccin opuesta. La df B vara a lo largo de la curva de dcb. La intensidad magntica oces llamada fuerza coercitiva o coercitividad para este valor de H ladensidad de flujo es cero. En el punto b para -Hmax -Bmax. Si gradualmente se disminuye la H la densidad de flujo varia a lo largode la curva bdb debido a la histresis. El punto b difiere de b por unapequea diferencia. Si el material es sujeto a ciclos repetidos de magnetizacin la curva B vs Hformar finalmente un anillo cerrado, ste anillo es conocido como el anillo ciclo de histresis. La amplitud de B depende de la amplitud de H y laforma del anillo depende del material ferromagntico usado. El rea delanillo de histresis es una medida del calor disipado en el material debidoal ciclo de magnetizacin e histresis.

    mxmx BH

    Od

    Od

    Oc

    ObOb

    OOmOn

    +Bmax

    Densidad de Flujo B

    OcIntensidad

    Magnetica H

    -Hmax

    -BmaxOb

  • 25

    c) Retentividad:

    Es la tendencia del material magntico de retener algo de magnetismo andespus de quitar la excitacin. La ordenada od es la densidad de flujoresidual. ! Remanencia: es la densidad de flujo que permanece en un material

    magntico despus de haber suprimido a la fuerza de magnetizacinexterna.

    ! Retentividad: puede ser considerada como el valor mximo de laremanencia.

    ! Anillos secundarios o auxiliares: se origina cuando se decrece lacorriente ligeramente y regresa posteriormente a su valor original.

    2.3 CIRCUITOS APROXIMADOS DE APARATOS ELECTROMAGNTICOS

    La tcnica de reemplazar los aparatos por circuitos est basada en lassiguientes suposiciones:a) La configuracin geomtrica del aparato es simtrico a ciertos ejes o planos

    de tal forma que puede ser representado por un diagrama esquemtico.b) Debido a la alta permeabilidad del material ferromagntico el flujo

    magntico se limita casi totalmente a las trayectorias de alta permeabilidad. Los circuitos ferromagnticos no son lineales porque la permeabilidad delmedio es una variable y es funcin de la densidad de flujo magntico en laestructura. Generalmente el de materiales ferromagnticos es de 103 a 104veces 0. Ejemplo de circuitos aproximados de aparatos electromagnticos.

    (B)

    Mm

    Ml Flujo de Dispersion

    Flujo principal

    Bobina deexcitacin

    I

    Nucleo ferromagnetico

    (A)

    I

    M l

    M m

  • 26

    MmFlujoFfmm

    F=NI

    (C)

    Figura 2.3.1

    (A) Estructura magntica de un reactor o transformador de ncleo de

    hierro. (B)Diagrama esquemtico de la estructura representada en (A).

    (C)Representacin del dispositivo de un circuito magntico.

    (A)

    (B)

    (C)

    Figura 2.3.2

    (A) Estructura magntica de un relevador electromagntico. (B) Diagramaesquemtico de la estructura representada en (A). (C) Representacin deldispositivo de un circuito magntico

    Mm

    Ml

    Pivote

    Bobina de excitacin

    (A)

    Ncleo ferromagnetico

    Entrehierro

    Armadura (ferromagnetico)

    I

    Entrehierro1

    Ncleo

    Ml

    Mm

    Entrehierro2

    Armadura Pivote

    MmFlujo

    Ffmm

    F=NI

  • 27

    2.4 MTODOS DE ANLISIS DE CIRCUITOS FERROMAGNTICOS

    Los siguientes principios forman las bases de los diferentes mtodos de anlisisde circuitos ferromagnticos:a) Las dimensiones de la estructura son tales que la B en cualquier seccin

    transversal de la estructura puede ser considerada uniforme.

    b) La longitud media de la trayectoria magntica puede ser usada en todos losclculos.

    c) En un circuito magntico alrededor de una trayectoria cerrada la algebraica de las elevaciones de potencial magntico es igual a la sumatoriade las cadas de potencial. En general tenemos:

    Donde: jm = es la longitud media de la trayectoria magntica de la seccin j en el circuito serie. Hj = es la intensidad magntica en la misma seccin.

    d) En una superficie cerrada que envuelve al punto P, la de los flujosdirigidos hacia P es igual a la de los flujos saliendo de P.

    Figura 2.4.1

    Factor de Apilamiento: los flujos variables en el tiempo inducen corrientesen el ncleo ferromagntico y ocasionan prdidas de energa debido alcalentamiento. Esta prdida de energa se reduce al mnimo al construir elncleo en forma laminar, y aislando cada lmina por tratamiento de sussuperficies revistindolas de papel impregnado en aceite.

    La relacin del rea efectiva al rea total de la seccin transversal esllamada factor de apilamiento.(f.a.)

    0.75 f.a. 0.95 generalmente

    )72(........BA =

    )82(........HNIFmmj

    jmj ==

  • 28

    2.5 ENTREHIERROS EN CIRCUITOS FERROMAGNTICOS

    Los entrehierros pueden ser inherentes o introducidos intencionalmente.Ejm:

    Figura 2.5.1

    g1 Es necesario y es introducido intencionalmenteg2 Es inherente en la construccin del relevador y es ocasionado por la

    presencia de un pivote.

    Es necesario un ncleo ferromagntico para obtener una gran inductancia, peropara que sta sea menos sensitiva a los cambios de corriente en la bobina deexcitacin, se introduce intencionalmente un entrehierro.En todos los casos la labor de los entrehierros es introducir trayectorias de otrareluctancia.

    a) Efectos Marginales y de Dispersin de los Entrehierros

    Figura 2.5.2

    Al tener la gran reluctancia del entrehierro, la diferencia de potencialmagntico entre los puntos P2 y P1 puede ser lo suficientemente grande (ansi es pequeo) para que se esparzan las lneas de flujo que estncruzndolo, esto es llamado efecto marginal.El salto de flujo de P4 a P3 recibe el nombre de flujo de dispersin. El efectomarginal hace que la B en el entrehierro sea menor que la B en laporcin ferromagntica del ncleo, porque el rea efectiva de la seccintransversal del entrehierro es ms grande que el rea de la seccintransversal de la porcin ferromagntica del ncleo.

  • 29

    2g1

    g 22d

    A

    +

    =

    En la prctica se usan frmulas empricas para el clculo del entrehierroefectivo:

    a.1) Caso I: Los lados opuestos del entrehierro son paralelos y tienenlas mismas dimensiones en su seccin transversal ademslg

  • 30

    PROBLEMAS RESUELTOSCAPITULO II

    EXCITACIN DE CIRCUITOSMAGNTICOS CON DC

    PROBLEMA N 2.1: Se debe disear un inductor que usa el ncleo magnticode la figura. El ncleo tiene un rea uniforme de la seccin transversalAc = 0,75pulg2 y su longitud promedio lc = 8 pulg. Tiene un entrehierroajustable de longitud g y tendr un devanado de N vueltas.

    a) Calcular g y N tales que la inductancia sea 15 mH y de modo que el inductorpueda trabajar con corrientes mximas de 5A sin saturarse. Suponga que sepresenta la saturacin cuando la densidad mxima del flujo en el ncleo esmayor que 1,7 T y que dicho ncleo tiene permeabidad = 3000o .

    b) Para una corriente en la inductancia de 5A, calcule: i) La energamagntica almacenada en el entrehierro y ii) La energa magnticaalmacenada en el ncleo.

    Lg

    AcLlc

    Figura P2.1.1

    SOLUCIN:

    a) Calculando:

    ( ) g10645,11054,275,0104g

    Ag 9

    227co

    g =

    =

    =

    ( )Wb/vueltaamp10395,111

    1054,275,010430001054,28

    Al

    3c

    227

    2

    c

    cc

    =

    =

    =

    cgeq

    NNL+

    =

    =

    22

    ; cc AN

    ILAN

    B

    =

    =

  • 31

    ( )

    .m10694,210645,110101,443g

    Wb/vueltaamp10101,44310395,11110152,91

    LN

    vueltas17665,911054,275,07,1

    51015ABILN

    49

    3

    333

    2

    c

    2

    g

    22

    3

    c

    =

    =

    =

    ==

    =

    =

    =

    b) i)

    ii)

    PROBLEMA N 2.2: El circuito magntico de la figura , consiste de anillos dematerial magntico en un pila cuya altura es D . Si el hierro tiene unapermeabilidad = 750o y omitiendo los efectos de dispersin magntica yabombamiento.

    Calcule:a) La longitud media lc del ncleo y el rea de la seccin transversal.b) La reluctancia del ncleo y del entrehierro.

    Para N = 75 vueltas, calcule:c) La inductancia.d) La corriente necesaria para obtener un B en el entrehierro igual a 1,2 T.e) La encadenamiento del flujo en la bobina.

    Figura P2.2.1

    SOLUCIN:

    ( )joules15,0W

    10694,21054,275,02

    7,1gA2

    BW

    gap

    422

    o

    2

    co

    2

    gap

    =

    =

    =

    ( )

    joules188,0WWW

    joules1875,02

    51015LI21

    :oComproband

    joules038,0W

    1054,281054,275,06000

    7,1lA2

    BW

    nucleogaptotal

    232

    nucleo

    222

    o

    2

    cc

    2

    nucleo

    =+=

    =

    =

    =

    =

    =

  • 32

    a)

    b)

    c) N=75 mNLI = entonces eqmNI =

    Por lo tanto:eq

    NL

    =

    2

    Donde

    d)

    Por lo tanto: ( )A31,67I

    75100344,211022,1

    NAB

    I64

    gcc

    =

    =

    +=

    e) Wb018,01022,175ABNN 4cm ====

    PROBLEMA N 2.3: Se propone un mecanismo de almacenamiento de energaque consiste de una bobina arrollada a un cuerpo toroidal grande no magntico( =o ). Tiene N vueltas, cada uno de seccin circular de radio a. El radio deltoroide es r, medido al centro de cada espira circular. La geometra de estedispositivo es tal que se puede considerar que el campo magntico es cero encualquier lugar fuera del toroide. Suponiendo que a

  • 33

    calcule el voltaje terminal necesario para lograr la densidad de flujonecesaria en 25 seg. Suponga que la resistencia de la bobina esdespreciable.

    Figura P2.3.1

    SOLUCIN:

    a) 2oc ar.2iNAB ==

    pero r

    aNi

    NL o2

    22 =

    =

    Entonces:

    mH707,15102

    5,01000104L227

    =

    =

    b) Para B=2T : A1010001042102

    NBr2i 57

    o

    =

    =

    =

    De esto tenemos:

    joules10535,781010707,1521IL

    21W 61032 ===

    c) V8,622510107,15

    dtdi.Lv

    53

    ===

    PROBLEMA N 2.4: El circuito magntico simtrico de la figura tiene 3devanados. Los devanados A y B tienen cada uno N vueltas y estn devanadosen las 2 piernas inferiores del ncleo.

    a) Calcule la inductancia propia de cada uno de los devanados.

    b) Calcule las inductancias mutuas entre los 3 pares de devanados.

    c) Calcule el voltaje inducido en el devanado 1 por corrientes variables en eltiempo iA (t) e iB (t) en los devanados A y B. Muestre que se puede usar estevoltaje para medir el desequilibrio entre dos corrientes senoidales de lamisma frecuencia.

  • 34

    Figura P2.4.1

    SOLUCIN:

    Figura P2.4.2

    a) eq

    BBAANLL

    ==

    2

    donde )//( 21 gAAeq +++=

    .Entonces:

    +++

    +++

    =

    +++==

    o21A

    o21A

    A

    c2

    g21AA

    2

    BBAA g222

    gAN

    )//(NLL

    o

    A21

    c2

    1

    Ag21

    21

    11 g2

    AN

    2

    NL

    +++

    =

    +++=

  • 35

    b)

    ( )[ ]

    +++

    =

    +++

    ====

    +++

    ++

    =

    +++++

    ==

    oA

    c

    gABBAA

    oA

    o

    A

    c

    gAA

    gBAAB

    gANNNNLLLL

    g

    gANNLL

    21

    1

    21

    11111

    21

    212

    21

    212

    2)(2

    2)(2

    c) dt

    iidLdt

    iLiLdv BAABBAA)()..(

    111

    1+

    =+

    =

    PROBLEMA N 2.5 : El circuito magntico de la figura , tiene dos devanadasy dos entrehierros. Se puede suponer que el ncleo tiene permeabilidad infinita:

    a) Suponiendo que por la bobina 1 pasa una corriente I1 y por la bobina 2 lacorriente es cero, calcule i) la densidad de flujo magntico en cada uno delos entrehierros, ii) los encadenamientos de flujo del devanado 1, y iii) losencadenamientos de flujo del devanado 2.

    b) Repita a) suponiendo que en el devanado 1 la corriente es cero y en eldevanado 2 es I2.

    c) Repita a) suponiendo que la corriente en el devanado 1 es I1 y la deldevanado 2 es I2.

    d) Calcule las inductancias propias de los devanados 1 y 2, y la inductanciamutua entre devanados.

    Figura P2.5.1

    SOLUCION:

    Por ser considerado , entonces solo consideraremos las reluctancias delentrehierro:

  • 36

    Figura P2.5.2

    a)

    i) 2

    11o

    2

    22

    1

    11o

    1

    11 g

    INAgBg;

    gIN

    AgBg ==

    ==

    ii)

    +=+=2

    2

    1

    1o1

    212111 g

    AgAIN)gg(N

    iii) 2

    211o2222 g

    AINNgN ==

    b) 2

    2211

    Fg0g:Entonces0F

    ===

    i)2

    o22

    2

    221 g

    INAgBg;0Bg

    ===

    ii) 2

    2o221211 g

    AINNgN ==

    iii) 2

    2o22

    2222 g

    AINgN ==

    c) Usando superposicin:

    i) ( )22112

    o2

    1

    11o1 ININg

    Bg;g

    INBg +=

    =

    ii) 22

    221o1

    2

    2

    1

    121o1 Ig

    ANNI

    gA

    gAN

    +

    +=

    222111

    2o

    22

    1o

    11

    2211

    INFINFAg

    gAg

    gAAgAAg

    ==

    =

    =

    ==

    2

    12

    1

    112

    FgFg:Entonces0F

    =

    ==

  • 37

    iii) 22

    22

    2o1

    2

    221o2 Ig

    ANIg

    ANN

    +

    =

    d)

    2

    22

    2o22

    2

    22102112

    2

    2

    1

    121o11

    gAN

    L

    gANNLL

    gA

    gANL

    =

    ==

    +=

    PROBLEMA N 2.6 : Para el circuito suponga que la permeabilidad del ncleoes 02000 = y que N = 100 vueltas . Se especifican las dimensionessiguientes.:

    R1= 1 cm R2 = 3 cm. =2,5 cm

    H = 1 cm g =0,2 cm

    a) Calcule los valores de h y R3 de modo que la densidad de flujo dentro delncleo sea uniforme.

    b) Calcule la inductancia del devanadoc) El ncleo va a trabajar a una densidad mxima de flujo igual a 1,5 T y a una

    frecuencia de 60 Hz. Calcule los valores correspondientes mximo y en rmsdel voltaje inducido en el devanado.

    d) Repetir c) para una frecuencia de 50 Hz.

    Figura P2.6.1

    SOLUCIN:

    a) Para que la densidad de flujo dentro del ncleo sea uniforme, se debe tenerla mxima rea de seccin transversal.

    SECCIN TRANSVERSAL DE UN CIRCUITO MAGNTICODE SISTEMA CIRCULAR

  • 38

    cm1623,3RRR

    )RR(RAA

    22

    213

    22

    23

    21

    31

    =+=

    =

    =

    Figura P2.6.2

    Se toma 2

    21 RRR += para mantener el uniforme en la pierna superior y en

    la pierna inferior:

    cm25,0RR

    RR2

    Rh

    RRh2AA

    21

    21

    21

    21

    12

    =

    +=

    =

    =

    =

    b)

    Wb/vueltaamp100653,5)03,0031623,0(104

    10x2,0g

    )RR(g

    Aggg

    6227

    2

    22

    23oo

    =

    =

    =

    =

    En la pierna central:

    Wb/vueltaamp10x26925,601,02000

    10x95,4R2000

    hg2A

    42

    0

    2

    21oc

    cc =

    =

    +=

    =

    En la pierna superior e inferior:

    Wb/vueltaamp10x9,3)RR(h2

    RRhR22

    RRA2

    RRA2

    RRR

    4BT

    21

    3232

    2

    32

    2

    232

    BT

    ==+

    +=

    +=

    +=

    +==

    En la pierna extrema:

  • 39

    mH753,3eq

    100eq

    NL

    Wb/vueltaamp1044175,26622

    eq

    Wb/vueltaamp10015,6)RR(

    10x75,4)RR(

    h2

    22

    4ogBC

    ogTBC

    422

    23

    2

    22

    23

    o

    =

    =

    =

    =+

    ++=+++

    +=

    =

    =

    =

    c)Wb107124,401,05,1RBAB 42211pico

    ====

    dtdNVindFaradayporqueyaNVpico pico == :

    Donde tsenpico =

    4107124,4100602Vpico =

    V562,12

    2VpicoVrms

    V765,17Vpico

    ==

    =

    d)

    V468,10Vrms

    V8,14107124,4100502Vpico 4

    =

    ==

    PROBLEMA N 2.7 : En la estructura magntica mostrada el flujo en la ramaC es 101,25 10 6 Wb. El ncleo est hecho de hojas H-23 (0,5 mm) con f.a. =0,90.Encuentre la corriente en la bobina de excitacin y la inductancia?(hacer correccin por entrehierro y desprecie el flujo de dispersin)

    B= 1mm C = 2mm N = 500 espiras

    Figura P2.7.1

    SOLUCIN:

  • 40

    Figura P2.7.2 Figura P2.7.3

    24CBA

    B

    CA

    CA

    CCCAAAA

    BBBCCC

    BBBAAAA

    CBA

    6c

    m10025,29,0100

    5,1100

    5,1a.fbatnaAAA

    m045,0cm5,4)5,16(m15,0cm15:Entonces

    )5,16(2)5,175,3()3.(..........HHHIN

    )2.(..........HHHH)1.(..........HHHIN

    Wb1025,101

    C

    BC

    B

    ======

    ===

    ===

    =++=

    ++=+=+++=

    +==

    AbAa

    a.ftnbgeom

    =

  • 41

    BBB

    B

    B

    BC

    C

    C

    CC

    C

    C

    C

    B

    ABAB:dondede54,570H045,0H001,0

    H1000

    1H045,01000

    2107852,215,090

    HHHH:)2(enemplazandoRe

    m/vueltaamp107852,210435,0BH

    m/Wb35,01089,2

    10025,25,0B:entonces)(;AA

    BB

    :cualloConm/vueltaamp90H:)23H(HBcurvaladeLuego

    m/Wb5,010025,21025,101

    AB

    m1089,2100

    2,05,1100

    2,05,1A

    m1056,2100

    1,05,1100

    1,05,1)b()a(A

    BBB

    B

    B5

    BBBCCC

    57

    o

    24

    4

    CC

    C

    C

    24

    6

    C

    CC

    24

    24gg

    ==

    =+

    +=+

    +=+

    =

    ==

    =

    ===

    =

    ==

    =

    +

    +=

    =

    +

    +=++=

    BBB2642,1B

    025,256,2BB ==

    BH

    310B

    H BB BBBB 264,1= BH BB H

    570,5 3105,570 0,7169 0,9062 135 6,075

    564,5 3105,564 0,7094 0,8967 132,5 5,9625

    Donde .104 7BB

    HB = HB se obtiene de la curva B-H del material una vez

    obtenido BB

  • 42

    .mH10,10929,1

    1081475,2500I

    NL:Entonces

    A29,1500

    4625,645I

    vueltaamp4625,64510105,564045,05,13215,0500IN:)1(En

    m/vueltaamp500H:obtenemosHBcurvaladeym/Wb39,1A

    B

    Wb1081475,2Wb1080225,1ABym/Wb89,0B

    4

    A

    AA

    A

    33AA

    A2

    A

    AA

    4CBA

    4BBB

    2B

    =

    =

    =

    ==

    =++=

    ===

    =+=

    ===

    PROBLEMA N 2.8 : La estructura ferromagntica de la figura, estcompuesta de 30 lminas (H-23 ) de 0,35 mm de espesor con un factor deapilamiento de 0,92 posee 2 bobinas de igual nmero de vueltas y alimentadascon corriente continua .a) Calcular el entrehierro necesario para tener un flujo de 1,21 x 10 4 Wb en

    el ncleo, sabiendo que la pendiente de la recta del entrehierro es 0,5.(despreciar el efecto de borde ).

    b) La corriente necesaria para que su inductancia sea 0,5Hc) Calcular el entrehierro necesario para aumentar L en un 12,5 %

    (despreciar efecto de borde)

    Figura P2.8.1

    SOLUCIN:

    Podemos considerar elsiguiente circuito:

    Figura P2.8.2

    De donde obtenemos las siguientes relaciones:

    2NI

    2 g ma

  • 43

    gmgm

    ggmm

    mgm

    m

    gmm

    gmmmm

    BBAAreaeldondeABAB:doConsideran

    HA2A

    INB

    AB2HIN2

    ==

    =

    =

    +=

    24

    4

    m

    2433m

    3mmm

    m/Wb795,0105225,1

    1021,1B

    m105225,11035,030105,14tnaAm319,0m105,1422a22)a6a5(2AB

    =

    =

    ===

    ===+==

    Si Hm=0 entonces: Bm=Bmo

    I6,21417892,0105225,1

    I30ABIN

    AINB 4

    mmog

    gmmo =

    =

    =

    =

    Figura P2.8.3

    a)

    mm1939,0m10939,1

    105225,110442,1013450AA

    :Pero

    Wb/vueltaamp42,1013450:)1(EnA7318,430955,141I

    vueltaamp955,141IN

    4g

    47gogg

    go

    gg

    g

    ==

    ==

    =

    ===

    =

    b)

    2319,0890ININ2H

    HH0B:Si

    mmo

    momm

    =

    =

    ==

  • 44

    2314,41321021,15,0

    IN2:cuallocon1021,1

    :anterioresresultadoslosTomandoLIN2

    IN2L

    44

    =

    ==

    =

    =

    y tambin:

    A26212,02314,4132

    955,1412I:aquDe

    I955,14122314,4132

    IIN2entonces955,141IN 22

    =

    =

    ==

    =

    Vemos que para las mismas condiciones de a), tenemos que variar N.

    vueltas54226212,0

    955,141N

    :Entonces

    =

    c)

    ( )m

    cm

    mmc

    gmmmmgm

    gmbc

    AN2ILB

    IABN2

    IN2L

    AB2H2IN2:luegoAA;H5625,0L125,1L

    =

    =

    =

    +=+====

    Del resultado anterior: 2

    4m m/Wb8934,0105225,1542226212,05625,0B =

    =

    De la curva: Hm=135 amp-vuelta/m

    .mm1694,0m10694,1

    105225,1104387,885328AA

    Wb/vueltaamp387,885328105225,18934,02319,0135955,1412

    AB2HIN2

    AB2HIN2

    4g

    47gogg

    go

    gg

    4g

    mm

    mmggmmmm

    ==

    ==

    =

    =

    =

    =+=

    PROBLEMA N 2.9 : Se pide disear una bobina de inductancia variable conncleo de hierro normalizado, empleando lminas de acero silicoso H-23 de0,5mm de espesor y que tenga las siguientes especificaciones tcnicas:

    d=2 fw=0,30 f.a.=0,95

  • 45

    Bmax=1Wb/m2=constante L=variable entre 1 y 5HCalibre del conductor=#17AWG Entrehierro inicial=g1=5mm

    Se desea saber:a) El rango de variacin de la corriente de

    Excitacin.b) El nmero de espiras a utilizarsec) El nmero de lminas requeridad)El entrehierro final (g2)

    Figura P2.9.1

    SOLUCIN:

    Tenemos: 4d3

    2d

    2d3A;)1(..........

    hdBIL

    SBILN

    2

    wefmmm

    ==

    =

    =

    Mientras que para el factor:

    ( )

    4436,1ILmm038,1S:entonces,AWG17#calibredeesconductorelComo

    S41008,513,01008,53ILcm08,52dh

    :hacemosDonde

    ShBfd

    43IL

    Sfd

    43

    hdBIL

    :)2(y)1(De

    )2(..........S

    fd43N

    4d3SN

    ASNf

    2cu

    cu

    232

    ef

    cu

    efmw3

    cu

    w2

    efm

    cu

    w2

    2cu

    w

    cuw

    =

    =

    ====

    =

    =

    =

    =

    =

    a) Para L variable: Cuando L=1H entonces I1=1,4436 A

    Cuando L=5H entonces I2=0,28872 A

    c)

    1005,08,50ntnhef ==

    n =nmero de lminas

    b)

  • 46

    espiras560n)1008,5(1

    4436,1dBIL

    dhBILn

    IdhBN

    INL 222

    mefm

    efm

    =

    =

    =

    =

    =

    d)

    .ctegm

    IN

    eqeq

    =

    +

    = Figura P2.9.2

    Entonces:)0();( = eqeq mosconsideramqueyaoentrehierrggIN

    .mm1g

    54436,128872,0

    Iigg:cuallopor

    gg

    II:Entonces

    2

    1

    212

    2

    1

    2

    1

    =

    =

    ==

    PROBLEMA N 2.10: Utilizando la estructura, se ha creado un entrehierroadicional en la columna A de valor 5 veces el entrehierro en C . Sabiendo que lanueva FMM es de 50 amp-vuelta en la columna central B, determinar el flujototal del sistema. (Despreciar efecto de Borde)

    Figura P2.10.1

    SOLUCIN:

    Calculando el gC con NxI inicial:

    Figura P2.10.2

    geqa

    meqa

    NI

    ).......(..........HHH)(..........HH88IN

    )(..........

    CggCCAA

    AABBAABB

    CAB

    +=+==+=

    +=

    ga

    A

    ca

    NI

    Ba

    A C

    B

  • 47

    ( )

    6CC

    CCg

    CCAAC

    ogoggC

    C2

    C

    2BB

    A2

    A

    AA

    4A

    2633g

    24AB

    24C

    33A

    B

    CA

    10)g40()g20(SB

    B

    HHg

    HB

    m/vueltaamp152H:HBcurvam/Wb94,0B:)(Dem/Wb15,1B:HBcurva216H:)(De

    m/vueltaamp375H:HBCurvam/Wb36,1S

    B

    Wb1079,9Como

    m10)g40()g20()g1040()g1020(Sm104,14S2S

    m102,7S9,010401020Sm06,0mm60

    m2,0mm20060702

    ++

    =

    ===

    ==

    ==

    ===

    =

    ++=++=

    ==

    ===

    ==

    ===+=

    mm06625,0gC =

    Por lo tanto, el nuevo entrehierro: mm33125,0g5g CgA A ===

    Con la nueva FMM =50, tenemos:

    .Wb10184,5SB:Entoncesm/Wb36,0B:HBgrficalade

    m/Wb57,06,61018104,14

    50Y

    Wb/vueltaamp6,61018S

    g65//

    104,1450

    SINY

    m/vueltaamp3,19210260

    50INX

    4Bmm

    2m

    24o

    Co

    Cggg

    g4

    gBo

    3m

    o

    CAeq

    eqeq

    ==

    =

    =

    =

    =

    ==

    =

    =

    =

    =

    =

    PROBLEMA N 2.11 : En la estructura ferromagntica mostrada, calcular lalongitud del entrehierro g de tal manera que el flujo en la columna A sea de9,79x10-4Wb. Se sabe que la FMM es de 88 AV y el circuito magntico esthecho de lminas de acero silicio H-23 de 0,5 mm de espesor, con un factor deapilamiento de 0,90 (Considerar efecto de Borde).

  • 48

    Figura P2.11.1

    SOLUCION:Tenemos el siguiente circuito equivalente:

    Figura P2.11.2

    4C

    44CCAABBCAB

    2B

    BB

    A2

    24

    4

    A

    4A

    2633g

    24AB

    24C

    33A

    B

    CA

    ggCCAA

    AABBAABB

    CAB

    102,7B102,736,1104,1415,1SBSBSB

    m/Wb15,1B:curva216H:aqude88H06,02,0375:Entonces

    m/vueltaamp375H:curvam/Wb36,1m102,7Wb1079,9B

    Wb1079,9Como

    m10)g40()g20()g1040()g1020(Sm104,14S2S

    m102,7S9,010401020Sm06,0mm60

    m2,0mm20060702HHH

    HH88IN

    +=

    +=+==

    ==+

    ==

    =

    =++=++=

    ==

    ===

    ==

    ===+=

    +=

    +==+=+=

    gca

    A

    ca

    NI

    Ba

    A C

    B

  • 49

    )1020316,0()10204445,0(104101,0

    )g2a.ftn()g2d(

    g

    2S

    gS2

    g2

    m1033,1105,0601054,247tndA;

    AINY

    m/vueltaamp33,4151054,2

    475,6

    3,0400INX

    447

    3

    o

    gb

    gbggbBoAo

    ga

    2332m

    gm

    2m

    eq

    eq

    ++

    =

    +

    +=

    ==

    =

    =

    ===

    =

    =

    =

    =

    mm06625,0g

    )HH(g

    H10)g4()g2(

    102,794,0B

    m/vueltaamp152H:obtenemoscurvaladeym/Wb94,0B

    CCAAo

    go4

    4

    ggC

    C2

    C

    =

    ==++

    ==

    ==

    PROBLEMA N 2.12 : Se tiene un circuito magntico compuesto de 60 lminasde acero silicoso H-23 de 0,5 mm de espesor tipo E-I normalizado ensambladocon un factor de apilamiento f.a = 0,95 y un bobinado de 400 espiras ubicado ensu columna central. Considerar efecto de borde. Se pide:a) Calcular la inductancia del bobinado cuando sta se excita con una

    corriente continua de I = 0,3 A.b) Calcular la corriente necesaria para incrementar en 27 % el flujo B

    manteniendo constante el entrehierro.

    mmg

    d

    1,0

    431

    =

    =

    Figura P2.12.1

    SOLUCIN:

    a) I

    NL B=Tenemos el siguiente circuito equivalente: d5,6m =

    Figura P2.12.2Por el mtodo grfico:

    gaa

    A Ba

    NI2_

  • 50

    253

    5g

    5gb

    m/Wb806,01012,11033,1

    3,0400Y:Entonces

    Wb/vueltaamp1012,1

    Wb/vueltaamp1056,0

    eq

    =

    =

    ==

    De la curva B-H:

    2Bm m/Wb63,0BB ==

    Figura P2.12.3

    H1172,13,0

    400L

    Wb10379,81033,163,0AB

    B

    43mmB

    =

    =

    ===

    b) T8,0B27,1B27,1 BBBB ===

    Trazando una recta paralela a la anterior en la curva B-H, que pase por: BB=0,8Wb/m2

    A404,0400

    5,61054,247560

    I

    m/vueltaamp560INX

    2

    m

    =

    =

    =

    =

    PROBLEMA N 2.13 : Disear una bobina (Inductancia ) con ncleo de hierrode espesor 0,5mm y que cumpla las siguientes especificaciones tcnicas :Inductancia (L) = 15 mHCorriente D.C. (I) = 4 AmpDensidad de Corriente (J) = 4 Amp / mm2Induccin mxima : 0,8 Bm 1,0 tesla.Fa tor de ventana: (fw) = 0,32FaSe

    a)b)c) d)c

    ctor de Apilamiento(f.a) = 0,92 pide determinar:

    El calibre del conductor (AWG) y el nmero de espiras (N) de la bobina. El nmero de lminas ( n ) a emplearse.

    La longitud del entrehierro ( g ). Evaluar la nueva inductancia para un entrehierro 0g = .

  • 51

    Figura P2.13.1

    SOLUCIN:

    a)

    mm4,251d:tomarPodemos.mm57,22d

    10595,232,01

    101510038,1434

    fBLSI

    34d

    :Entonces.dh:diseoPor

    hdAdondeABIL

    Sfd

    43N

    ASN

    f:queYa

    )AWG17(#mm038,1S

    :tomamoscuallopormm144

    JIS

    SIJ

    736

    wm

    cu4

    ef

    efmmmcu

    w2

    w

    cuw

    2cu

    2cu

    cu

    ==

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ====

    b)50ndmm25tn5,050hef ==== lminas

    Tenemos:

    T995,0B:tenemos95NConespiras95N

    488,941035,61

    41015AB

    ILN:Entonces

    m1035,61054,21025dhA

    m

    4

    3

    mm

    2423efm

    ==

    =

    =

    =

    =

    ===

    c)Teniendo la siguiente expresin deducida:

    m1651,01054,25,6d5,6d5,2d4;donde

    BIN

    AAg

    21g

    2m

    r

    m

    m

    o

    m

    i1i

    ===+=

    =

    +

  • 52

    [ ]

    mm252,0

    mm252,01035,6

    1675,7234,2g

    m101675,7Ag

    )1025,0292,01025()1025,021054,2(Ag

    mm25,01035,6

    139,7234,2g

    :maneraigualDe

    m101390,7Ag

    )102234,0292,01025()102234,021054,2(Ag

    )g2a.f

    h()g2d(Agmm2234,0g

    AAg:Haciendo

    mAAg

    10234,2g

    497300625,0

    ;m/vueltaamp165H:HBcurvaladeT995,0BunPara

    g

    43

    242

    33

    322

    42

    241

    33

    321

    1ef

    111

    mo

    m

    i41i

    rr

    mm

    =

    ==

    =

    +

    +=

    ==

    =

    +

    +=

    ++==

    =

    =

    ===

    ==

    +

    d)Por ser el ncleo simtrico:

    Figura P2.13.2

    H217,01651,0

    1035,600625,095L

    00625,0eldoconsideran;ANL

    :EntoncesAS

    SS2:PeroSS22

    42m

    m2

    m

    m

    B

    BA

    BAB

    B

    A

    AB

    A

    =

    =

    =

    =

    =

    +=

    =

    +

    =+=

    Ba

    NI

    A2

  • 53

    PROBLEMA N 2.14 : Se desea disear una inductancia con un ncleo dehierro normalizado EI H-23 con lminas de 0,5 mm de espesor y dimetrod=1, bajo las siguientes especificaciones:

    Inductancia (L) : 2mHCorriente D.C (I) : 10 Amp.Densidad de Corriente (J) : 5.0 Amp/mm2.Induccin mxima (Bm) : 1 Tesla.Factor de ventana (fw) : 0,30 f.a : 0,95

    Calcular :a) El nmero de lminas a emplearse ( n )b) El nmero de espiras (N) y el calibre del conductorc) La longitud del entrehierro ( g )

    Figura P2.14.1

    SOLUCIN:

    a)50nAsumiendo = lminas (adecuado)

    2423m m1035,61054,2105,050dtnA

    ===

    b)

    De la curva B-H del material: 00625,0

    m/vueltaamp160H,T1B mm=

    ==

    2m

    4

    3

    mm

    2cu

    2cu

    24222w

    mo

    r

    m/Wb98425,0:ser32NparaB.espiras32N

    496,311035,61

    10102ABILN

    AWG14#:conductordelCalibremm08,2Smm25/10J/IS

    m108387,4)1054,2(43d

    43A

    m1651,0d5,62d5d44973

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ===

    ===

    ==+===

  • 54

    c)

    =+r

    m

    m

    o

    m

    i1i B

    INAAg

    21g

    Reemplazando valores:

    [ ]

    ( ) 24333211mo

    m

    i41i

    m1088,6)101877,0295,0

    105,050(101877,021054,2Ag

    mm1877,0gAAg:Tomando

    mAAg

    10877,1g

    +

    =+

    +=

    ==

    =

    De igual manera:

    mm2,0

    mm2,0100375,235,6893,610877,1g

    m10893,6)102,0295,0

    105,050()102,021054,2(Ag

    m10034,235,688,610877,1g

    g

    443

    2433

    322

    442

    =

    ==

    =+

    +=

    ==

    PROBLEMA N 2.15 : La estructura ferromagntica mostrada en la figuraest compuesta de 50 lminas de hierro silicioso H-23 normalizado de 0,5 mmde espesor y 2 bobinas idnticas de 120 espiras cada una y un f.a= 0,95.Considerar efecto de borde.Se pide calcular:a) Los flujos en las columnas para una corriente continua de excitacin de 2 Amp.b) La inductancia del sistema.c) El nuevo entrehierro para disminuir la densidad del campo en el entrehierro en un 12 % manteniendo la I = constante.

    Figura P2.15.1

    SOLUCIN:

  • 55

    254

    gBgB

    m

    537

    3

    gog

    m

    2333

    32g

    24AB

    C2453

    A

    m/Wb344,110812,2107,12

    2240S

    INS

    INY

    m/vueltaamp5,145433,0

    2240INX

    Wb/vueltaamp10812,210415,1104

    105,0S

    gm33,0d5,6

    m10415,1)1095,01025()101008,5()g2

    a.ftn()g2d(S

    m107,12S2S

    Sm1035,6105,05054,2105,0502dtn

    2dS

    Beq

    B

    B

    B

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ==

    =+

    +=+

    +=

    ==

    =====

    Figura P2.15.2

    a)

    Wb103,72

    Wb1046,115,1107,12BS

    4BCA

    34mBB

    ===

    ===

    b)

    H1752,02

    1046,1240I

    240I

    )(240I

    NL3

    BCA=

    =

    =

    +=

    =

    c)

    mm684,1g:tenemosvaloresreemplazarAl

    m10608,1)g2a.ftn()g2d(S

    m10608,190816,0

    1046,1B

    S

    m/Wb90816,0B%88B:problemaelPara

    m/Wb032,110415,11046,1

    SB:Tomando

    23g

    233

    g

    Bg

    2gg

    23

    3

    g

    gggB

    B

    B

    =

    =+

    +=

    =

    ==

    ==

    =

    ===

  • 55

    CAPTULO III EXCITACIN DE ESTRUCTURAS

    FERROMAGNTICAS CON CORRIENTEALTERNA

    3.1 INTRODUCCIN

    Los campos magnticos varan con el tiempo cuando estn relacionados conmuchos aparatos magnticos prcticos, tales como: transformadores, motores ygeneradores. En general dicha variacin es peridica.

    Si la estructura magntica est hecha de un material ferromagntico, esnecesario examinar la prdida de energa en el ncleo debido al campomagntico y las formas de onda de flujo y de la corriente de excitacin.

    Supondremos que la frecuencia de las seales peridicas usadas essufi ra no considerar la radiacin de ene

    3.2 LEY DE FARADAY DE INDUCCIN ELECTROMAGN

    Tenemos un conductor en forma de anillo, y algunas lneas magneto a otra bobina portadora de corriente que no este

    Las lneas de flujo se cierran sobre s mismas y estas enlaza

    Si se mueve un magneto en la vecindad del conductor se ielctrica en la trayectoria conductora cerrada cuando el relativamente al magneto.

    Lneas de flujo enlazando una bobina de unaFigura 3.2.1

    Lneas de induccinrga.cientemente baja paTICA

    de flujo debidas a undibujada.

    n el conductor.

    nduce una corrienteconductor es movido

    vuelta.

    Conductor

  • 56

    Ley de Faraday

    Una fuerza electromotriz (f.e.m.) es inducida en un medio cuando se cambia elenlazamiento de flujo magntico asociado con el medio. Si el medio es unconductor de electricidad y forma una trayectoria cerrada, una corriente fluyeen l debido a la f.e.m. inducida. La magnitud de la f.e.m. inducida esproporcional a la rapidez de cambio en el tiempo de los enlazamientos delflujo.

    La Ley de Lenz nos ayuda a determinar el sentido de la f.e.m. inducida y por lotanto de la corriente.

    El sentido de la f.e.m. inducida es tal que ocasiona el flujo y una corriente enuna trayectoria cerrada con una direccin tal que la corriente tiende acontrarrestar el cambio de los enlazamientos de flujo.

    Ejemplo: Si las lneas de flujo estn disminuyendo, entonces la corrienteinducida circular en la direccin de las manecillas del reloj, de tal manera queel flujo establecido por la corriente, tiende a cancelar la disminucin del flujooriginal.

    Ambas leyes se comprueban y se expresarn por:

    ( ) 1)(3........dtd

    t dNde(t) ==

    Donde:

    e(t) es la f.e.m. inducida en volts (MKS) es el flujo inducido en Webers (MKS)N es el nmero de vueltas del conductor son los enlazamientos del flujo en Webers vueltat es el tiempo en segundos (MKS)

    Si e(t) es negativo, entonces e(t) es considerado como una elevacin de voltaje(fuente) y se opone al voltaje aplicado en cada instante de tiempo.

    Si e(t) es positivo, entonces e(t) es considerado como una cada de voltaje.

    La ecuacin (3-1) puede ser escrita en otras formas diferentes:

    )2(3.........dAA ndtBdldE

    C = )

    En forma diferencial:

    3)(3........dtBdE =

  • 57

    3.3 RELACIN ENTRE VOLTAJE APLICADO PERIDICO, VOLTAJEINDUCIDO Y FLUJO EN UN NCLEO MAGNTICO EXCITADO PORUNA SOLA FUENTE

    Tenemos un ncleo que puede ser o no ferromagntico, con una bobina deexcitacin. Un voltaje peridico v(t) (no necesariamente senoidal), se aplica a labobina de excitacin.

    V(t)

    Rg

    R

    Ri (t)

    R (t)

    Una corriente i(t) fluye y un flujo (t) se establece en el ncleo. El flujo variablecon el tiempo induce una tensin en la bobina de excitacin e(t). Aplicando laley de Kirchoff y tratando a e(t) como una cada de voltaje, tendremos:

    ( ) ( ) )4(3........t d

    dNRRgi(t)e(t)RRgi(t)v(t) ++=++=

    Suponiendo que: ( ) e(t)RRgi(t)

  • 58

    Donde: T es el perodo de la onda

    6)(3........2

    f1T ==

    es la frecuencia angular en rad/seg

    De la ecuacin (3-5), tenemos que:

    7)(3........v(t)N1

    t dd

    =

    Estamos suponiendo que el sistema se encuentra en estado estable y que lostransitorios de la conexin inicial han expirado, por lo tando las ondas delvoltaje inducido y de flujo son peridicas y simtricas con respecto al eje deltiempo.

    En el punto A, v(t) es cero y tiende a crecer, t d

    d en A es cero y tambin tiende a

    crecer, 22

    t dd en A es positiva, entonces (t) tiene un mnimo relativo en A igual

    a mx. Analizando de forma anloga, en B, (t) tiene un mximo relativo mx..

    Integrando ambos lados de la ecuacin (3-7) de A a B y aplicando los lmitesapropiados, tendremos:

    t dv(t)N1d

    B

    A

    B

    A

    t

    t = ] [ ]v(t)deciclomediobajoArea

    N1mx

    mx =

    prompromABprommx V2Nf

    12TV

    N1)t(tV

    N12 ===

    8)(3........4fN

    Vprommx =

    9)(3........ N f 4V mxprom =

    Definimos el factor de forma para configuraciones de ondas peridicas:

    10)(3........promedioValor

    eficazValorformadeFactor =

    = T

    0

    T

    0

    2

    v(t)dtT1

    (t)dtvT1

    f.f

  • 59

    Factores de forma para algunas configuraciones:

    Tabla 3-1Forma de

    OndaValor

    MximoValorEficaz

    ValorPromedio

    Factor deForma

    Senoidal Vmax 0.707 Vmax 0.636 Vmax 1.11Triangular Vmax 0.578Vmax 0.500 Vmax 1.16Cuadrada Vmax Vmax Vmax 1.00

    De las ecuaciones (3-9) y (3-10), tenemos:

    ( ) 11)(3 f Nf.f4V mxeficaz = ........En el caso de voltajes no senoidales:

    12)(3........2N

    v(t)deciclomediobajoreamx =

    En el caso de las ondas senoidales:

    ! En el caso de estructuras magnticas, excitadas con corriente directa, el valormx no es afectado por la naturaleza del material ni por las dimensiones delncleo.

    ! La magnitud, como la forma de onda de la corriente de excitacin depender dela naturaleza del ncleo as como de sus dimensiones.

    3.4 FORMA DE ONDA DE LA CORRIENTE DE EXCITACIN EN UNSISTEMA FERROMAGNTICO CON FLUJO SENOIDAL

    Se describir ahora un procedimiento grfico para obtener la forma de onda dela corriente de excitacin.

    a) Se considera i(t)(Rg+R)0 y v(t) se supone senoidal v(t)=Vmax sen t y

    14)(3........t senEe(t) mx =

    Considerando e(t) como una cada de voltaje, Vmax=EmaxDe la ecuacin (3.5):

    15)(3........t cos(t) mx =

    La siguiente figura muestra v(t) y (t), pero no a e(t). Tambin se muestran (t)vs i(t) para el ncleo, obtenida de la curva B-H.

    13)(3........ N 4.44fV mxeficaz =

  • 60

    Flujo 3 3

    2 2 4 4

    3 2

    4

    3 2

    4

    5

    5

    1

    1 1

    0

    Mostrando las formas de onda de la corrientede excitacin para el flujo senoidal en un ncleo

    ferromagnetico.

    Figura 3.4.1

    Como el anillo de histresis es no lineal y tiene dos valores para una mismaabscisa, la forma de onda de la corriente de excitacin no es senoidal, ancuando el flujo lo sea.

    b) Se considera e(t)

  • 61

    c) Si e(t)i(t)[R+Rg] y v(t) se supone senoidal, la determinacin de las formasde onda de i(t), e(t) y (t) cuando v(t) es senoidal es extremadamente difcilya que (t)=f(v(t), i(t)) en magnitud y forma. Pero pueden ser obtenidas porel mtodo de prueba y error.

    3.5 ENERGA ALMACENADA EN UN NCLEO MAGNTICO EXCITADOPOR UNA SOLA FUENTE

    Tenemos las siguientes suposiciones:

    1. El espesor del ncleo es relativamente pequeo comparado con sus demsdimensiones, de modo que la densidad de flujo es uniforme a travs de laseccin transversal del ncleo. Se usa la longitud media m.

    2. Aunque la resistencia de la bobina de excitacin es efectivamentedistribuido a lo largo de la bobina, se representar como un parmetroconcentrado por la R externa y se supondr que la bobina en s no tieneresistencia.

    3. El flujo establecido por la corriente es confinado a la seccin transversal delncleo.

    Tenemos un ncleo magntico sometido a una fuente de energa elctrica y seincrementa la corriente i(t) estableciendo un flujo. Una f.e.m. se induce en labobina.

    ( ) 20)(3t d

    dt d

    Ndt d de(t) === ........ N

    La energa elctrica suministrada por la fuente en un tiempo dt (excluyendo laprdida hmica en la resistencia R) es:

    21)(3........dt i edW =

    La ecuacin (3-20) en (3-21)

    22)(3d F d id i Nt d iddNdW ==== ........

    t

    Suponiendo que el ncleo tiene flujo y corriente cero inicial; si luego esincrementado a un valor i1 se tendr que la energa total suministrada al ncleopor la fuente es:

    23)(3 == ........ 1010 Fd d iW

    Donde 1 y 1 son el flujo y los enlazamientos de flujo, correspondientes a la i1.W se llama energa almacenada porque la energa fluye de la fuente al campo yes frecuentemente representada por W W campo.

    24)(3........d F d iW 10

    1

    0

    ==

  • 62

    La ecuacin (3-24) se representa grficamente:

    W ser el rea comprendida entre la curva vs F y el eje de flujos. 'W es el rea comprendida entre la curva vs F y el eje de fuerza

    magnetomotriz.

    25)(3F

    F dW1

    0= ........'

    La coenerga no tiene un sentido fsico.

    Adems:

    =BA, entonces d =A dB; vara de 0

    F=H entonces dF= dH

    Donde A es el volumen del ncleo.

    =

    volumendeunidadalmacenadaEnerga

    VolW

    BHdBw

    1

    0=

    Energa almacenada y coenerga en un ncleo ferromagnticoFigura 3.5.1

    Coenerga 'W

    EnergaAlmacenada

    W

    F.m.m F

    Flujo

    1

    F1

    B HdFW 10

    1

    0=

    = a 1, B vara de 0 a B1.

    == wenergadedensidad

    27)(3........

    26)(3........B HdBVolAdB 10

    =

  • 63

    Analizando de forma anloga:

    28)(3BdH = ........HVol 10W'La densidad de Coenerga:

    29)(3........H

    BdHw1

    0= '

    rectngulodelreaFWW 1 ==+ 1'

    En cualquier estructura que consta de un nmero de ramas en serie y/o enparalelo, donde la seccin transversal es uniforme tenemos:

    )30(3........B dBHVolalmacenadatotalEnerga i0

    i

    n

    1ii =

    =

    31)(3........H

    dHBVoltotalCoenerga i0 i

    n

    1ii =

    =

    Donde n representa el nmero total de secciones.

    CASO ESPECIAL: LA CURVA B VS H DEL NCLEO ES LINEAL

    En este caso:

    32)(3........PF21

    21F

    21WW 212111 ==== '

    Donde: es la reluctancia del ncleo P es la permeancia del ncleo

    Igualmente las ecuaciones (3-27) y (3-29) pueden ser representadas de lasiguiente forma:

    33)(3........H21

    B

    21BH

    21ww 21

    21

    11 ==== '

    Donde , es la constante de permeabilidad del material magntico lineal. La e.c.(3.32) puede tambin expresarse en trminos de la inductancia de la bobina deexcitacin.

    La inductancia es un parmetro pasivo de un circuito elctrico, la cual es unamedida de los efectos del campo magntico asociado con una parte del circuito,debido al flujo de una corriente en esa parte en partes adyacentes.

  • 64

    La inductancia propia L de la bobina de excitacin es definida como elenlazamiento de flujo L establecidos por unidad de corriente en la mismabobina. 34)(3........LiL =

    En el sistema MKS racionalizado, L est expresado en Henrys.

    [ ]Amp

    SegVoltAmp

    VueltaWeberHenry ==

    Luego:

    35)(3.........t di dL

    t d de ==

    Tambin:

    36)(3........NiPFPF ==

    =Como: PiNN 2== Luego: 37)(3........PNL 2 =

    La ecuacin (3-32) pasa a ser:

    ( ) ( ) 38)(3........Li21Ni

    N1

    21NiP

    21WW 222

    2==== '

    3.6 REPRESENTACIN MATEMTICA DE LA CORRIENTE DEEXCITACIN NO SENOIDAL i(t)

    La forma de onda de la corriente de excitacin , i(t) no es senoidal cuando v(t)es senoidal, el ncleo es ferromagntico, y i(R+Rg) e(t)).

    La forma de la onda de i(t), tiene las siguientes caractersticas:

    a) La forma de onda de i(t) es simtrica con respecto al eje de tiempo; elmedio ciclo positivo y el medio ciclo negativo son semejantes y de igualrea, esto a causa de la simetra del anillo de histresis con respecto a losejes coordenados y de la simetra de la forma de la onda del voltaje aplicadocon respecto al tiempo.

    b) La forma de onda de i(t) satisface la condicin:

    39)(3........)2T(ti)(ti 11 +=

    donde T es el perodo.

  • 65

    c) La funcin i(t) no es impar ni par

    No cumple f(t) = -f(-t) (no es impar) No cumple f(t )= f(-t) (no es par)

    d) Satisface las condiciones de Dirichlet

    1) f(t) tiene solo un nmero finito de mximos y mnimos en (a,b)2) f(t) est acotada y3) f(t) tiene slo un nmero finito de discontinuidades finitas en (a,b)

    Por l como una serie deFour rmino constante essupri

    (t)i =

    Expre

    (t)i =

    La po

    Sustit

    Forma de onda de la corriente de excitacin i (t) Figura 3.6.1o tanto, la forma de onda de i(t) puede expresarseier, pero esta slo contiene armnicas impares. El t

    mido, estando presentes nicamente los trminos senos y cosenos. Luego:

    40)(3....................t sen3It senI............t cos3It cosI

    b3mxb1mx

    a3mxa1mx

    +++

    ++

    sada en valores eficaces de sus componentes:

    41)(3..........]..........t sen3It senI............t cos3It cos[I2

    b3efb1ef

    a3efa1ef

    +++

    ++

    tencia instantnea suministrada por la fuente a la bobina de excitacin es:

    42)(3........v(t)i(t)P(t) =

    uyendo ambas ecuaciones. De v(t) e i(t), v(t)= 2 Vef senwt

  • 66

    43)(3..............................t sent sen3It senI............t sent cos3It sent cosI

    2VP(t)b3ef

    2b1ef

    a3efa1efef

    ++

    ++=

    La potencia promedio est dada por:

    44)(3........IVt d t wsenI2VT1p(t)dt

    T1P

    T

    0

    b1efef2

    b1ef

    T

    0

    efprom === Todos los dems productos no contribuyen en nada a la integral. Solamente lacomponente Ib1ef enwt de i(t) contribuye a la potencia promedio.

    La nica componente de la corriente de excitacin que contribuye a la potenciapromedio es la componente Ib1efsenwt sea aquella que este en fase con elvoltaje aplicado y tiene la misma frecuencia. Como R+Rg0 entonces PPromentregada a la bobina de excitacin es disipada en el mismo ncleo.

    45)(3........IVPncleoleenPrdida b1efefn ==Luego como:

    [ ] 46)(3...........t sen3It cos3It senIt cosI2(t)i b3efa3efb1efa1ef ++++= .....Este trmino es llamado componente de las prdidas en el ncleo de la corrientede excitacin. Los trminos restantes establecen el flujo y por lo tantoconstituyen la componente de magnetizacin de i (t), tendremos entonces:

    47)(3........(t)i(t)i(t)i mP +=

    Donde: 48)(3........t senI2(t)i b1efP =

    [ ] 49)(3....................t sen3It cos3It