2 2 1 r q q k F e e Legge di Coulomb Nel vuoto due particelle di carica q 1 e q 2 a riposo esercitano reciprocamente tra loro una forza a) diretta lungo la congiungente le 2 cariche b) repulsiva se q 1 e q 2 hanno stesso segno, attrattiva se hanno segno diverso c) il modulo della forza è proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza r le separa Nel sistema di unità di misura internazionale (SI) la costante di proporzionalità k e (costante di Coulomb) vale 2 2 9 0 C Nm 10 98756 . 8 4 1 e k 2 2 12 0 Nm C 10 8542 . 8 dove è la costante dielettrica (o permettività) del vuoto. (Coulomb) carica Q (Newton), forza F (metri), lunghezza L Nm C [K] 1 ] [ , C Nm ] [ ] ][ [ ] [ 2 2 0 2 2 2 2 Q L F k e Dimensioni e unità di misura di k e e 0 : (1) (2)
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Transcript
-
221
rqq
kF ee
Legge di CoulombNel vuoto due particelle di carica q1
e q2 a riposo esercitano reciprocamente tra loro una forza a)
diretta lungo la congiungente le 2 caricheb)
repulsiva se q1
e q2 hanno stesso segno, attrattiva se hanno segno diversoc)
il modulo della forza
proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza r
le separa
Nel sistema di unit
di misura internazionale (SI) la costante di proporzionalit
ke
(costante di Coulomb) vale
2
29
0 CNm1098756.8
41
e
k
2
212
0 NmC108542.8
dove
la costante
dielettrica
(o permettivit) del vuoto.
(Coulomb) caricaQ (Newton), forza F (metri), lunghezzaLNmC
[K]1][ ,
CNm
][]][[][ 2
2
02
2
2
2
Q
LFke
Dimensioni
e unit
di
misura
di
ke
e 0
:
(1)
(2)
-
Lunit
di
misura
della
carica
nel
S.I.
il
Coulomb. Per definizione, corrisponde
alla
carica
posseduta
dadue cariche
identiche
poste
nel
vuoto
a una
distanza
di
1 metro e che
si
respingono
con una
forza
come si
ottiene
ponendo
r=1m, q1
=q2
=1C nella
legge
di
Coulomb.
Fe
=8.9875x109 N
In natura, non esistono
cariche
piu
piccole
della
carica
dellelettrone
e =1.602x10-19C
e sono
tutte
uguali
a multipli
interi
(positivi
o negativi) di
e.
Nota:
il
Coulomb non si
puo
esprimere
in termini delle
unit
fondamentali
MKS della
meccanica
(metro, kilogrammo, secondo).
Particella
elementare: Carica
(C) Massa (kg)
ElettroneProtoneNeutrone
1.6021917x10-19
+1.6021917x10-19
0
me
=9.1095x10-31kgmp
=1.67261x10-27kgmn
=1.67492x10-27kg
Cariche
e masse delle
particelle
atomiche:
-
Tuttavia
1 Coulomb
una
quantit
di
carica
molto grande
anche
al livello
macroscopico.Si possono
infatti
rivelare
facilmente
quantit
di
carica
dellordine
del picocoulomb:
1C=10-6C (microcoulomb)
1nC=10-9C (nanocoulomb)
1pC=10-12C (picocoulomb)
Ad esempio, negli
isolanti
elettrizzati
per strofinamento
(come una
bacchetta
di
vetro
strofinata
con della
seta) la quantit
di
carica
in eccesso
al piu
dellordine
del microcoulomb. Corrispondealla
carica
di
circa 1013elettroni (o protoni),
quindi
una
frazione
trascurabile
del numero
totale
di
cariche
elementari
contenute
in un corpo
macroscopico
(~1023 ).Le armature dei
condensatori
usati
in elettronica
portano
cariche
tipicamente
dellordine
del pico-
o del nanocoulomb.
Per avere
una
carica
di
1 Coulomb, sono
necessari
elettroni
Questo
numero, anche
se enorme, rimane
piccolo rispetto
al numero
di
elettroni
di
conduzione
contenutiin 1 cm3
di
rame, che
sono
dellordine
del numero
di
Avogadro ~ 1023.
Qualche
ordine
di
grandezza:
Notazione
usata
per I sottomultipli
del Coulomb:
-
Confronto tra forza elettrostatica e forza gravitazionale
2
29
02
21
0 CNm109
41
41
r
qqFe 22
112
21
kgNm1067.6G
rmmGFg
Decadono entrambe con linverso del quadrato della distanza. Tuttavia hanno generalmente
ordini di grandezza molto diversi. Nellatomo di idrogeno, il protone e lelettrone sono separati in media da una distanza dellordine delraggio di Bohr
d=0.53=5.3x10-10m. Interagendo, sono soggetti ad entrambi i tipi di forza Fe
e Fg
,tuttavia il rapporto Fe
/Fg
un numero gigantesco (indipendente da d ):
393127
219
2211
2292
2
2
2
0 102kg101.9kg1067.1
C106.1/kgNm1067.6
/CNm10941
ep
e
epg
e
mme
Gk
dmm
G
de
FF
Legge
di
Gravitazione
di
Newton:Legge
di
Coulomb di
Newton tra
due cariche:
Nellinterazione
tra
cariche
elementari, il
contributo
della
forza
gravitazionale
quindi
del tutto
trascurabile(
infatti
la sola interazione
elettromagnetica
che
determina
i legami
chimici
tra
atomi
e molecole).In termini assoluti
si
ha:
N102.8m103.5
C106.1C
Nm1094
1 8-210
219
2
29
2
2
0
deFe
N104102
4739
egFF
Nota:
anche
la forza
peso esercitata
dal
globo
terrestre
su
un protone
trascurabile
rispetto
a Fe
: infatti
si
ha mp g=9.8m/s2 1.67x10-27kg
10-26N.
-
Forza di Coulomb in forma vettoriale
z
x
y
q1 q2
versore
diretto
lungo
la congiungientele due cariche
con verso da
q1
a q2
distanza
tra
le 2 cariche
O
12F21F
Se e indicano
i vettori
posizioni
delle
due cariche
q1
e q2
nel
sistema
di
riferimento
scelto, la forza
di
Coulomb esercitata
da
q1
su
q2 si
scrive:
con
(3)
caso
con q1 e q2
di
stesso
segno(forza
repulsiva)
(4)
-
Principio di
sovrapposizione
Come per la forza
gravitazionale, la forza
di
Coulomb soddisfa
il
principio di
sovrapposizione:La forza
elettrica
esercitata
da
N
cariche
puntiformi
q1
q2
qN
su
una
carica
q
uguale
alla
sommavettoriale
delle
forze
di
Coulomb esercitate
su
q
dalle
singole
cariche.
E
una
legge
universale
verificata
dallesperienza
per tutte
le forze
osservate
in natura.
forza
di
Coulomb esercitata
dalla
carica
qi
sulla
carica
q
(5)
-
Definizione
operativa
di
campo elettrico
Nota:
la carica
q0
deve
essere
presa
molto piccola
in modo
da
non modificare
la distribuzione
delle
cariche
che
genera la forza
elettrica. Q
q2q3
q1q4qo eF
Ox
z
y
forza
esercitata
sulla
carica
di
prova
q0
misurata
nella
posizione
considerata
(si
misura
in N/C) (6)
-
Campo elettrico
generato
da
una
carica
puntiforme
La forza
elettrica
generata
da
una
singola
particella
carica
q
posta
nellorgine
del sistema
di
riferimentosu
di
una
carica
di
prova
q0 posta
nella
posizione
data dalla
legge
di
Coulomb
versore
diretto
radialmente
vettore
campo elettrico
generato
da
unacarica
positiva
in diversi
punti
attornoalla
carica.
-
se q > 0 il
campo elettrico
diretto
radialmentedalla
carica
verso linfinito
(come nella
figura)- se q < 0
diretto
dallinfinito
verso la carica.
Il campo elettrico
in
quindi, secondo
ladefinizione
(4) :
forza
di
Coulomb esercitata
su
q0
in
In generale, direzione
e verso del campo elettrico
in un punto
coincidono
con quelli
della
forza
di
Coulomb esercitata
su
di
una
carica
positiva
messa
in quel
punto.
-
Campo elettrico
generato
da
un insieme
di
cariche
puntiforme
E possibile
calcolarlo
esplicitamente
usando
il
principio di
sovrapposizione
e la legge
di
Coulombper la singola
particella
carica:Dato
N
cariche
puntiformi
q1
, q2
qN
nelle
posizioni
, la forza
esercitata
su
una
carica
qnella
posizione
data da
forza
esercitata
da
qi
su
q vedi
Eq. (2)
somma
dei
campi
elettricigenerati
dalle
singole
cariche
Il campo elettrico
in
quindi
per la definizionedata prima [vedi
Eq.(4)]:
z
x
y
q1q2
O
2E
Esempio
con 2 carichepuntiformi
di
segno
positivo
21 EEE
q
con
1E
(8)
(7)
-
Applicazione: il
dipolo
elettricoUn dipolo
elettrico
un sistema
di
due cariche
puntiformi
identiche
e di
segno
opposto, q
e
q,separati
da
una
distanza
d.II momento
del dipolo
elettrico
il
vettore
parallelo
alla
congiungente
le 2 cariche
(asse
z
nella
figura), con verso dalla
carica
negativa
a quella
negativa, e modulo p=qd
Calcoliamo
il
campo elettrico
nel
piano equatoriale
del dipolo
(il
piano ortogonale
allasse
del dipolo
e passante
per il
centro
del dipolo
O). Tutti
gli
assi
del piano equatoriale
passanti
per O sono
equivalenti calcoliamolo
nel
punto
P
(x,0,0)
dellasse
x.
+
z
xO
q
q
Per costruzione, si
vede
dalla
figura
che
i contributidelle
due cariche
hanno
componenti
uguali
ed
oppostilungo
lasse
x, la loro
somma
quindiparallela
allasse
z con verso opposto. Si ha:
r
r+
d/2
d/2
E
E
EE
Per ottenere
E come funzione
esplicita
di
x, si
devono
esprimere
r+
e in funzione
di
a
x
e d
; dalla
figurasi
ottiene:
P
(x,0,0)
(9)
(10)
-
z
xO
q
+q
Sostituendo
le (9) nelle
(10) si
ricava
In forma vettoriale, tenendo
conto
che
nel
sistema
di
riferimento
scelto
e kqdp )(
(campo elettrico
sullasse
x)
E
a grandi
distanze
E
decade come 1/x3
(invece
che
come 1/x2)poich
i contributi
delle
due cariche
di
segno
oppostotendono
a cancellarsivalore
massimo
nel
punto
centrale
O tra
le due carichedove i due contributi
si
sommano
costruttivamente
andamento
del campolungo
lasse
x
(11)
kqdp )(
(12)
kEE
+
-
Un modo
conveniente
di
visualizzare
il
campo elettrico
nello
spazio
quello
ditracciarne
le linee
di
forza:
Sono
le linee
tangenti
in ogni
punto
al vettore
del campo elettrico
in quel
punto
Sono
orientate nel
verso di
Il numero
di
linee
per unit
di
area attraverso
una
superficie
orthogonale
al campo
proporzionale
allintensit
del campo sono
piu
dense dove
piu
grande.
Linee
di
forze
del campo elettrico
E
E
E
Campo elettrico
non uniforme:Le linee
di
forze
non sono
parallele hanno
densit
maggiore
sullasuperfice
A dove il
campo
piu
intenso
Campo elettrico
uniforme
ha stessomodulo e direzione
in ogni
punto
dello
spazio)Le linee
di
forze
sono
tutte
paralleleed
equidistanti hanno
stessa
densit
attraverso
le 2 superfici
A e B ortogonali
al campo.
A B
E
-
Carica puntuale positiva +q Carica puntuale negativa -q
Visualizzazione
del campo elettrico
con le linee
di
forza
linee
di
forze
a simmetria
radialeuscenti
dalla
caricalinee
di
forze
a simmetria
radialeentranti
dalla
carica
-
Altro
esempio: due cariche
identiche
e positive (q > 0)
I contributi
delle
2 cariche
tendono
a cancellarsinella
regione
centrale
mentre
si
sommanocostruttivamente
al di
fuori
da
tale regione linee
di
forze
poco
dense nella
regionecentrale
e piu
dense fuori
Lontano
dalle
2 cariche
le linee
diventanoasintoticamente
simili
a quelle
di
un unica
caricapuntuale
2q posta
nel
punto
mediano
tra
le cariche.
Nota: nel
punto
mediano
tra
le due cariche
il
campo
nullo
esattamentepoich
i contributi
delle
due cariche
sono
uguali
ed
opposti.
-
Un dipolo elettrico
costituito da 2 cariche identiche di segno opposto separate da una certadistanza.
Altro
esempio: il
dipolo
elettrico
Nota:
le linee
di
forza
non mai
vanno
allinfinito
eccetto
lungo
lasse
del dipolo: sono
tutte
uscenti
dalle
carica
positiva
ed
entranti
in quella
negativa. Ci
avviene
ogni
volta
che
si
considera
un insieme
di
cariche
la cui somma
ugualea zero (carica
totale
nulla) come in questo
caso.
assedel dipolo
Il campo
piu
intenso
nella
regione
tra
le 2 carichedove i due contributi
si
sommano
costruttivamente alta
densit
delle
linee
di
forza
in quella
regione
Lontano
dalla
regione
centrale
i due contributitendono
invece
a cancellarsi
e il
campo
molto meno
intenso
che
nel
caso
della
carica
singola.A grandi
distanze
E
1/r3
per il
dipolo
elettrico
(vedi
Eq. 12)
E
1/r2 per la carica
singolaInoltre
nel
piano equatoriale
(linea
tratteggiata)
le linee
di
forza
sono
ortogonali
a
in accordo
con il
risultato
(11).
-
Esempio
piu
complicato
con cariche
diverse in modulo e in segno
In generale
le linee
di
forza
sono
uscenti
dalle
cariche
positive, entranti
in quelle
negative.Quando
si
ha un eccesso
di
cariche
positive come nel
caso
in figura, alcune
linee
di
forzauscenti
dalle
cariche
positive vanno
allinfinito, invece
di
finire
su
una
carica
negativa.
-
Campo uniforme
ottenuto
tradue piastre
parallele
caricheuniformemente
con carica
Q e -Q
dipolo
elettrico
(q e
q)
E possibile visualizzare le linee di forza con semi d'erba sospesi in olio che tendono ad orientarsi lungo le linee di forza del campo.
I semi si comportano come minuscoli dipoli elettrici e tendono ad orientarsi nella direzione del campo elettrico
carica
singola
q
-
Campo elettrico
da
una
ditribuzione
continua di
caricheNei
sistemi
macroscopici, il
campo elettrico
generato
da
un numero
enorme
di
cariche
elementari
(protonio eletroni) che
non possono
essere
trattate
singolarmente. Diventa
allora
opportuno
approssimarle
con unadistribuzione
continua di
cariche. Si introducono
i concetti
di
densit
di
carica
volumetrica, superficialeo lineare
a seconda
che
queste
cariche
sono
distribuite
in un volume, su
di
una
superficie
o lungo
una
lineamonodimensionale.
a) densit
di
carica
volumetrica
si
misura
in C/m3
q
somma
delle
cariche
elementari
contenutein un volumetto
V
nella
posizione
distribuzione
di
carichein un volume V
In generale
varia
da
punto
a punto
e si
ottiene
la carica
totale
Q in una
regione
finita
(ad esempio
un isolante
carico) integrando
su
tutto
il
volume V occupato
da
questa
regione:
Se la densit di carica uniforme ( costante
in tutto
il
volume V) si
ha
ta:
V deve
essere
preso
piccolo rispetto
alle
dimensioni
macroscopiche
del corpo
carico, ma abbastanzagrande
da
contenere
molte
cariche
elementari, cos
che
possa
essere
assimilabile
ad una
funzionecontinua delle
coordinate spaziali.
V
V
(dV
dx
dy
dz
indica
lelemento
di
volume infinitesimo
in )
-
(a) Ditribuzione
di
carica
volumetrica
dV Ed Calcolo
del campo elettrico
nella
posizioneda
una
distribuzione
carica
volumetrica
didensit
qualsiasidV
dx
dy
dz
indica
il
volumetto
infinitesimointorno
alla
posizione
considerata.
(13)
V
-
In modo
analogo
si
puo
ricavare
il
campo elettrico
generato
da
(b) una
distribuzione
superficiale
di
cariche
e da
(c) una
distribuzione
lineare
di
cariche.
(b) Superficie
S con una
distribuzione
dicarica
superficiale
di
densit
(c) Linea
con una
distribuzione
di
caricalineare
di
densit
si
misura
in C/m2
Lelemento
di
superficie
dS
di
area dA
nellaposizione
contiene
la caricae genera il
campo (infinitesimo)
si
misura
in C/m
Il segmento
ds
della
linea
nella
posizionecontiene
la carica
e generail
campo
dsEd
Campo elettrico
totale
generato
dalla
linea
:
Campo elettrico
totale
generato
dallasuperificie
S:
EdS
dS
O O
(14) (15)
-
Applicazionia)
Anello carico uniformemente di raggio R Calcoliamo il campo lungo lasse di simmetria ortogonale al piano dellanello e passante per il suo centro O (figura)
densit
di
carica
lineare
(uniforme)Q=2R
carica
torale
dellanello
Dalla
figura
si
vede
che
due segmenti
simmetrici
di
stessa
lunghezza
infinitesima
ds
e carica
dq=ds
> 0danno
due contributi
e simmetrici
rispetto
allasse
z tali
che
Questo
vale per il
contributo
di
ogni
coppia
di
elementi
simmetrici
dellanello
e quindi
il
campo in P
necessariamente
parallelo
allasse
z;
si
ha cio
r r
z
P
con
versori associati agli assi cartesiani x,y
e z
campo esercitato
dallelemento
ds
(legge
di
Coulomb)
diretto
lungo
lasse
z
O dsds
caso
con caricapositiva
(>0)
-
con
costante
sullanello
Usando
il
fatto
che
tutti
gli
elementi
ds
dellanello
sono
alla
stessa
distanza
dal
punto
P
si
ha
carica
totale
dellanello
z
|Ez
|
0
a grandi
distanze
come se tutta
la caricafosse concentrata
nel
centro
O dellanello
nel
centro
dellanello
E=0, tutti
i contributi
si
annullano
per simmetria
ovvero
con
(15)
-
Esempib) Disco carico uniformemente di raggio R con densit
di carica Calcoliamo il campo lungo lasse z passante per il centro O del disco (figura).Conviene scomporre il disco in tanti anelli concentrici di raggio r
e spessore infinitesimo dr. In accordo con il risultato (8) vistoprima, ognuno di questi anelli genera nel punto P
un campo elettrico parallelo allasse z e modulo infinitesimo uguale a (caso con >0, dq>0):
Per calcolare
lintegrale
in dr
conviene
fare la sostituzione
per la variabile
di
integrazione:
dA=2rdr area dellanellodi
raggio
r e spessore
drdq=dA=2rdr
carica
dellanello
z
drr
R
P
e quindi
(caso
> 0)
Tutti
i contributi
sono
paralleli
allasse
z con stesso
versoe quindi
il
modulo della
loro
somma
uguale
alla
somma
dei
moduli:
-
Per studiare
il
comportamento
di
E a grandi
distanze
dal
disco (|z|>>R) conviene
usare
lo sviluppo
diTaylor al primordine
intorno
a =0 di
: :
che
permette
di
valutare
la (6) nel
limite
in cui |z|>>R =R2/z2
-
Esempic) Campo generato da un piano infinitamente esteso uniformemente
caricoPer ottenere il campo generato da un piano carico uniformemente
sufficiente considerare un disco diraggio R e fare tendere R allinfinito. Usando il risultato (16) si ottiene quindi per il modulo del campo
indipendente
dalla
distanza
z dal
piano
Poich
tutti
le rette
ortogonali
al piano carico
sono
equivalenti
dal
punto
di
vista fisico
(contrariamentea quanto
avviene
per il
disco in cui si
ha un unico
asse
di
simmetria), se ne deduce che
il
campo elettrico
uniforme
in tutto
lo spazio. Le linee
di
forza
del campo sono
quindi
rette equispaziate ortogonali
al piano,uscenti
dal
piano per >0 (caso
a), entranti
nel
piano 0)
(b)
piano cariconegativamente
(
-
Esempid) Campo generato da due piani paralleli + e +
uniformemente carichi con densit
+
e -
xx=0 x=D
D
Per il
principio di
sovrapposizione, il
campo totale
dato
dalla
somma
dei
contributi
generati
dai
due piani
+
e
presi
singolarmente. Per quanto
visto
prima si
ha:
Il campo
uniforme
tra
i due piani
dove i due contributi
si
sommano
costruttivamente,
nulloallesterno
dove si
sommano
distruttivamente. E sempre
diretto
dalle
cariche
positive verso quelle
negative
Caso
reale:
se i 2 piani
sono
finiti
il
campo
quasi
uniforme
allinterno
ma sihanno
delle
distorsioni
vicino
ai
bordi
(contributo
di
+
)
Caso
ideale: piani
infinitamente
estesicon densit
superficiali
+
e uniformi
( contributo
da
-
)
+
(19)
-
e) Barretta uniformemente carica di lunghezza L (sullasse di simmetria passante per il suo centro)Consideriamo una barretta di lunghezza L uniformemente carica con carica totale Q>0. La sua densit
di carica lineare
=Q/L.
y
xx-x
(20)
-L/2 L/2O
jdEEdEd y 2
-
y
xL/2O
jEE
(22)
(21)
campo su
unasse
di
simmetriaper il
centro
della
O della
barretta
-
O
Andamento
del modulo del campo elettrico
lungo
lasse
y
:
(23)
(24)
y
xL/2O
jEE
-
f ) Barretta uniformemente carica di lunghezza infinita
filo
infinitocon densit
di
caricalineare
costante
(24)Nota:
il
campo decade come 1/r
invece
di
1/r2a causa
della
natura
non fisica
della
distribuzionedi
carica
infinitamente
estesa
in una
dimensione.
Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Principio di sovrapposizioneDefinizione operativa di campo elettricoCampo elettrico generato da una carica puntiformeCampo elettrico generato da un insieme di cariche puntiformeApplicazione: il dipolo elettricoSlide Number 11Linee di forze del campo elettricoSlide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Campo elettrico da una ditribuzione continua di cariche(a) Ditribuzione di carica volumetricaIn modo analogo si puo ricavare il campo elettrico generato da (b) una distribuzione superficiale di cariche e da (c) una distribuzione lineare di cariche.Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30
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