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jintgremathmatiquesphysiquechimiesciences de lingnieurinformatiquewww.dunod.com6493233isBn 978-2-10-051941-5lionel porcheroningenieur delenseeiht toulouse. Toutes les formules et dfnitions du pro-gramme de mpsi et mp en mathmatiques, physique et chimie. pour chaque formule : la signifcation des termes, les units, les limites dusage. de trs nombreux schmas, des exemples et des conseils. un index fourni pour trouver rapidement linformation recherche.Loutil indispensable pour rviser !Le formuLairempsi, mplionel porcheron4e ditionLionel Porcheron4e ditionLe formuLairempsi, mp1 500 formulesde mathmatiques,physique et chimieLe formuLaire mpsi, pm1 500 formules de mathmatiques, physique et chimieL. porcheronPorcheron 13x18.indd 1 4/08/08 14:56:59 ce livre est exclusive chez bibliothque electronique des classes prepa pour plus de livres gratuit vistez nous sur :====================================================================Page Face book :https://www.facebook.com/bibliotheque.electronique.des.classes.prepa====================================================================Forum :ce livre est exclusive chez bibliothque electronique des classes prepa pour plus de livres gratuit vistez nous sur :====================================================================Page Face book :https://www.facebook.com/bibliotheque.electronique.des.classes.prepa====================================================================Forum :http://prepa-book.forummaroc.net====================================================================LE FORMULAIREMPSI, MP 9782100519415_lim_P01-04Page IMardi, 5. aot 20083:14 15 9782100519415_lim_P01-04Page IIMardi, 5. aot 20083:14 15LE FORMULAIREMPSI, MP1 500 formules de mathmatiques,physique et chimie4e ditionLionel PorcheronIngnieur de lENSEEIHT Toulouse 9782100519415_lim_P01-04Page IIIMardi, 5. aot 20083:14 15 Dunod, Paris, 2000, 2003, 2004, 2008 9782100519415_lim_P01-04Page IVMardi, 5. aot 20083:14 15ISBN 978-2-10-053787-7Chapitre 0 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page VTable des matiresAvant-propos IXChapitre 1 : Mathmatiques 11. Algbre 11.1 Relations 11.2 Structures algbriques 21.3 Nombres entiers, nombres rationnels 51.4 Arithmtique dans Z 71.5 Polynmes et fractions rationnelles 81.6 Gnralits sur les applications 111.7 Applications linaires Espaces vectoriels 121.8 Matrices Dterminants Systmes linaires 171.9 Espaces vectoriels euclidiens 221.10 Rduction des endomorphismes 262. Analyse 272.1 Espaces vectoriels norms 272.2 Nombres rels 312.3 Nombres complexes 322.4 Suites 342.5 Fonctions relles de la variable relle 352.6 Drivation 382.7 Intgration 412.8 quations diffrentielles 442.9 Sries 472.10 Sries entires 512.11 Suites et sries dapplications 52c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 0 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page VIVI Table des matires2.12 Sries de Fourier 572.13 Fonctions de plusieurs variables 583. Gomtrie 593.1 Courbes du plan 593.2 Proprits mtriques des courbes 64Chapitre 2 : Physique 650. lments de mathmatiques 650.1 Diffrentielles 650.2 quations diffrentielles 660.3 Coniques 681. lectronique 691.1 Lois gnrales 691.2 Rgime variable 701.3 Montages avec amplicateur oprationnel 732. Thermodynamique 762.1 Gaz parfait 762.2 Premier et second principes de la thermodynamique 772.3 Changements de phase dun corps pur 812.4 Machines thermiques 832.5 Diffusion thermique 852.6 Rayonnement thermique 863. Mcanique du point 883.1 Cinmatique 883.2 Changement de rfrentiel 903.3 Lois gnrales de la mcanique 913.4 Oscillateurs 953.5 Mouvement dune particule charge 983.6 Systmes de deux points matriels 994. Mcanique du solide 1014.1 Cinmatique du solide 1014.2 Thormes gnraux de la dynamique 1034.3 Contacts entre les solides 1045. Optique 1055.1 Gnralits 1055.2 Optique gomtrique 1065.3 Interfrences lumineuses 1095.4 Interfromtre de Michelson 1125.5 Autres dispositifs dinterfrences 1155.6 Diffraction des ondes lumineuses 116Chapitre 0 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page VIITable des matires VII6. lectromagntisme 1186.1 lectrostatique 1186.2 Magntostatique 1216.3 quations de Maxwell dans le vide 1236.4 Conduction mtallique 1256.5 Induction dans un circuit xe avec BBB variable 1266.6 Induction dans un circuit mobile soumis BBB stationnaire 1286.7 Matriaux magntiques 1297. Ondes 1317.1 Oscillateurs coupls 1317.2 quation de dAlembert - Ondes stationnaires 1327.3 Ondes lectromagntiques dans le vide 1347.4 Dispersion Absorption 1377.5 Ondes lectromagntiques dans les milieux matriels 138Chapitre 3 : Chimie 1411. Atomistique 1411.1 Spectroscopie 1411.2 Modle ondulatoire 1421.3 Atome polylectronique 1431.4 Architecture molculaire 1451.5 Orbitales molculaires 1472. Cintique 1483. Cristallographie 1503.1 Gnralits 1503.2 Mailles et sites dans les cristaux mtalliques 1503.3 Cristaux ioniques 1524. Thermodynamique 1534.1 Fonctions dtat 1534.2 Potentiel chimique 1544.3 Grandeurs standards de raction 1554.4 quilibres chimiques 1574.5 quilibres liquidevapeur 1604.6 Ractions doxydorduction 1635. Matriaux mtalliques 1655.1 Diagrammes dEllingham 1655.2 Diagrammes potentiel-pH 1665.3 Courbes intensitpotentiel 1685.4 Corrosion 170Annexe A: Primitives usuelles 173c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 0 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page VIIIVIII Table des matiresAnnexe B: Dveloppements limits 175Annexe C: Formules trigonomtriques 1771. Angles remarquables 1772. Relations trigonomtriques 178Annexe D: Oprateurs vectoriels 1811. Notations 1812. Gradient 1823. Divergence 1834. Rotationnel 1835. Laplacien 1846. Relations entre les oprateurs 1857. Thormes gomtriques 186Annexe E : Units et constantes fondamentales 1871. Units du Systme International 1871.1 Units principales du systme international 1871.2 Units secondaires du systme international 1881.3 Units courantes du systme international 1881.4 Multiples dcimaux pour les units 1882. Constantes fondamentales 1893. Ordres de grandeurs 189Annexe F : Constantes chimiques 191Annexe G: Tableau priodique 193Index 197Chapitre 0 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page IXAvant-proposLa quatrime dition de ce formulaire rassemble les principaux rsultats descours de mathmatiques, de physique et de chimie tablis tout au long desdeux annes de classes prparatoires dans la lire MP. Cette nouvelle di-tion, samliore encore un peu avec lapparition de la couleur. Ce formulairesavrera fort utile aussi bien pendant votre prpa que lorsque la priodefatidique des concours approchera.Il a t scind en trois parties : les parties relatives aux mathmatiques, la physique et la chimie, chacune dentre elles rassemblant les principauxrsultats tablis en cours pour chacune des lires auxquelles sadresse cetouvrage. la n de louvrage, gurent en annexes les donnes qui ne sontpas ncessairement connatre, mais qui sont nanmoins fort utiles au quo-tidien.Un effort tout particulier a t fait pour rendre ces formules les plus li-sibles possible en dtaillant la signication de chaque symbole et en pr-cisant bien chaque fois les conditions dapplication de ces formules. Sou-lignons tout de mme que lapprentissage de ces formules ne se substituepas lapprentissage du cours...Merci tous ceux qui ont accept de collaborer cet ouvrage et en particu-lier Pascal OLIVE et Jean-Marie MONIER pour leur consciencieuse relec-ture respective des parties physique et mathmatiques, Bruno COURTETpour avoir parfaitement assur le suivi de ce nouveau venu dans la collec-tion Jintgre .Lionel [email protected]

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 0 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page XChapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1Chapitre 1Mathmatiques1. Algbre1.1 RelationsProprits dune relation binaireSoit une relation binaire dans E; elle est dite :rexive si et seulement si x E, xxsymtrique si et seulement si (x, y) E2, xy =yxantisymtrique si et seulement si (x, y) E2,_xyyx=x =ytransitive si et seulement si (x, y, z) E3,_xyyz=xzRelation dordreUne relation binaire de E est dite relation dordre si et seulement siest rexive, antisymtrique et transitive.Relation dquivalenceUne relation binaire de E est une relation dquivalence si et seule-ment si est rexive, symtrique et transitive.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 22 [1] MathmatiquesClasse dquivalenceSoit une relation dquivalence dans E; pour x E, on appelle classedquivalence de x (modulo ) lensemble dni par :cl(x) = y E, xyEnsemble-quotientOn appelle ensemble-quotient de E par , et on note E/, lensembledes classes dquivalence modulo :E/ = cl, x E1.2 Structures algbriquesLois de compositionsOn appelle loi interne toute application de E E E.Un loi est dite associative si et seulement si :(x, y, z) E3, x (y z) = (x y) zUne loi interne est dite commutative si et seulement si :(x, y) E2, x y =y xOn dit que e est un lment neutre pour si et seulement si :x E, x e = e x =xOn appelle symtrique de x E un lement de E not x1vriant :x1 x =x x1= eOn dit que rHE est stable par si et seulement si :(x, y) H2, x y HGroupeUn ensemble muni dune loi interne(G, ) est un groupe si et seule-ment si :est associative ;admet un lment neutre : e ; tout lment de G admet un symtrique pour la loi .Si la loiest commutative, on dit que le groupe G est ablien ou com-mutatif.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 31. Algbre 3Sous-groupeSoit (G, ) un groupe. Une partie H de G est un sous groupe de G si etseulement si : H est stable par la loi; H contient llment neutre ; x H, x1H.Groupe commutatif (Z/nZ, +) est un groupe commutatif. lapplication pn : Z (Z/nZ)x x modn, appele surjection canonique, estun morphisme surjectif de groupes.Gnrateurs du groupeLes gnrateurs du groupe (Z/nZ, +) sont les k, avec k Z et k n =1.Groupe monogne Groupe cyclique Un groupe G est dit monogne si et seulement sil admet un gnra-teur, cest--dire si et seulement sil existe a G tel que G =< a > Un groupeG est dit cyclique si et seulement siG est monogne etni.AnneauUn ensemble A muni de deux lois internes notes + etest un anneausi et seulement si : (A, +) est un groupe commutatif, dlment neutre 0A ;est associative et admet un lment neutre 1A ;est distributive par rapport +, cest--dire :(x, y, z) A3, x(y + z) = (xy) + (xz) ;(x + y)z = (xz) + (yz).Siest commutative, on dit que lanneau A est commutatif.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 44 [1] MathmatiquesAnneau intgreOn dit quun anneau (A, +, ) est intgre si et seulement siA est com-mutatif et :(x, y) A2, (xy = 0A) (x = 0A ou y = 0A)Sous-anneauSoit(A, +, ) un anneau; B une partie deA est un sous-anneau si etseulement si : (B, +) est un sous groupe de (A, +) ; B est stable par; 1A B.Idal dun anneau commutatifI est dit un idal deA, anneau commutatif avecI A si et seulementsil vrie les proprits :___I ,= (x, y) I2, x + y Ia A, x I, ax ICorpsUn ensemble (K, +) muni de deux lois internes est un corps si et seule-ment si : (K, +, ) est un anneau commutatif ; Tout lment de K0K est inversible par la loi .Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 51. Algbre 5Espace vectorielUn ensembleEest dit unK-espace vectoriel, si Eest non vide et sion dispose de deux lois, une loi interne note+, et dune loi externe(K E E) vriant :(E, +) est un groupe ablien1. (, ) K2, x E, ( +)x =x +x2. K, (x, y) E2, (x + y) =x +y3. (, ) K2, x E, (x) = ()x4. x E, 1x =xAlgbreOn appelle K-algbre tout ensemble A muni dune loi interne note +,dune loi externe KA A et dune loi interne note vriant :1. (A, +, ) est un K-espace vectoriel2. est distributive par rapport +3. K, (x, y) A2, (x y) = (x) y =x (y)Cette algbre est associative si et seulement si est associative, com-mutiative si et seulement si est commutative, unitaire si et seulementsi A admet un lement neutre pour .1.3 Nombres entiers, nombres rationnelsFactorielle Dnitionn! =nk=1kn! : factorielle nPar convention : 0! = 1PermutationscardS(n) = n!n! : factoriellen, nombredeper-mutations dun ensemble n l-mentsArrangementsApn=n!(n p)!(n, p) N2avecpnOn noteApnle nombre darrange-ments dep lments partir dunensemblede nlments(cest--direlenombrede p-upletscom-poss dlments deux deux dis-tincts)c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 66 [1] MathmatiquesCombinaisonsCpn=n!p!(n p)!(n, p) N2avecpnOn appelle combinaison (noteCpn) toute partie de cardinal p dunensemble n lments.Combinaisons PropritsCpn= Cnpn(n, p) NNCpn +Cp+1n= Cp+1n+1(n, p) NZBinme de Newton(x + y)n=nk=0Cknxkynkn N(x, y) A2et xy=yx, avecA unanneau commutatifDivisibilitSoit (a, b) Z2, on dit que a divise b si et seulement si il existe c Ztel que b =ac.Division euclidienne(a, b) ZN, !(q, r) Z2tel que a = bq +r et 0r < b.Q est archimdien Q+, A Q+, N N, N >AQ est densex 0, x I, [x a[ =f (x) AOn dit quefadmet comme limite +en +si et seulement si :A > 0, B > 0, x I, xB =f (x) AOn dit quefadmet comme limite en si et seulement si :A < 0, B < 0, x I, xB =f (x) AContinuitsoit f : I K, a I, on dit que cette fonction est continue ena si etseulement si : > 0, > 0, x I, [x a[ = [ f (x) f (a)[DiscontinuitSoitf : I K, on dit que :fest discontinue en a si et seulement si elle nest pas continue en a.f admet une discontinuit de premire espce ena si et seulementsi f nest pas continue en a mais admet une limite nie droite et unelimite nie gauche en a.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 372. Analyse 37Si f nest pas continue et ne prsente pas de continuit de premireespce en a, on dit quef admet une discontinuit de seconde espceen a.Composition et continuitSoient f : I R et g : J K oI etJ sont deux intervalles de R telsquef (I) J, sif et g sont respectivement continues en a etf (a), alorsg fest continue en a.Continuit sur un segmentSoient (a, b) R2tel que ab et une fonctionf :[a, b] R. Si f estcontinue, alorsfest borne et atteint ses bornes.Continuit uniformeSoit f : I K, on dit que cette fonction est uniformment continuesur I si et seulement si : > 0, > 0, (x1, x2) I2, [x1x2[ = [ f (x1) f (x2)[Luniforme continuit implique la continuit.Thorme de HeineSoient (a, b) R2tels que ab et une fonctionf : [a; b] R. Si f estcontinue sur [a; b], alorsfest uniformment continue sur [a; b].Applications lipschitziennesSoient f : I Ret k R+, ondit quelafonction f est k-lipschitzienne si et seulement si :(x1, x2) I2, [ f (x1) f (x2)[k[x1x2[Si k [0; 1[, lapplicationfest dite contractante.Une application lipschitzienne est uniformment continue.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 3838 [1] MathmatiquesFonctions trigonomtriques circulaires rciproquesArcsin : [1, 1] _2 ,2_x ] 1, 1[ :Arcsin(x) =11 x2Arccos : [1, 1] [0, ]x ] 1, 1[ :Arccos(x) =11 x2Arctan : R _2 ;2_x R :Arctan(x) =11 + x2-1 1p2p2pArcsinArccosArctanFonctions hyperboliquesch x = sh x sh x = ch xth x =1ch2x= 1 th2x2.6 DrivationDrive en un pointSoient un point a I, oI est un intervalle, et une fonctionf : I K.On dit quef est drivable ena si et seulement si limh0f (a +h) f (a)hexiste et est nie. Dans ce cas, cette limite est appele drive defen aet est notef(a).Drivation et continuitSoient un point a I et une fonctionf : I K, si f est drivable en a,alorsfest continue en a.Proprits des drivesSoientfet g deux fonctions de I dans K drivables en a, alors :( f+ g)(a) =f(a) + g(a)(f )(a) =f(a)( f g)(a) =f(a)g(a) +f (a)g(a)Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 392. Analyse 39g(a) ,= 0,_1g_(a) = g(a)g2(a)g(a) ,= 0,_fg_(a) =f(a)g(a) f (a)g(a)g2(a)(g f )(a) =g( f (a)) f(a)Drivabilit dune fonction sur un intervallef : I K, oIest un intervalle est dite drivable sur un intervalleJ I si et seulement si : a J, fest drivable en a.Formule de Leibnizf : I K et g : I E on suppose que etfsont drivables sur I :Alorsfg est n fois drivable sur I et ( fg)(n)=nk=0Cknf(k) g(nk)Classe dune fonctionSoient f : I Ketk N, on dit que f est de classe (ksurIsi etseulement si fest k fois drivable sur I etf(k)est continue sur I.Soient f : [a; b] K avec ab et k N, on dit quef est de classe (kpar morceaux sur [a; b] si et seulement si : il existe une famille (a0, . . . , ap) Rp+1telle que :a =a0 1 = 1 et > 1Comparaison de deux sries termes positifsn N :0un vn(1)un : terme gnral de la srie Svn : terme gnral de la srie SSi (1) est vrie et siS converge,alors S converge.Remarque : Si S diverge et (1) estvrie, la srie S diverge.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 492. Analyse 49Rgle de dAlembertSoit une srie de terme gnral un telle queun+1un n+ : Si < 1 la srie de terme gnral un converge ; Si > 1 la srie de terme gnral un diverge grossirement ; Si = 1 on ne peut rien dire de la nature de la srie.Rgle de CauchySoit une srie de terme gnral un rel positif telle quenun n+ : Si < 1 la srie de terme gnral un converge ; Si > 1 la srie de terme gnral un diverge grossirement ; Si = 1 on ne peut rien dire de la nature de la srie.Sries de mme natureSoitun etvn deux sries relles termes positifs telles que, au voi-sinage de +, vn 0, et un vn. Alors, on a galement un 0 au voi-sinage de +et les deux sries sont de mme nature (elles convergentou divergent en mme temps).Srie alterne+n=p+1un [up+1[Une srie de terme gnral unest ditealternesi et seulementsi lasuite (1)nunest designeconstant.Une telle srie converge si :1. limn+un= 02. lasuite ([un[)nNest dcrois-sante.Sous ces hypothses, la srie vri-e la relation ci-contre.Critre de Cauchy > 0, N N, (p, q) N2:N p < q =_____qn=p+1un_____ Le critre ci-contre est une condi-tion ncessaire et sufsante deconvergencepourunesriedansunespace de Banach(K-espacevectoriel norm complet).c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 5050 [1] MathmatiquesFormule de Stirlingn! _ne_n 2nn NLaformuledeStirlingfournitunquivalent simple de n! en +.Convergence absolue Semi convergenceUne srie est dite absolument convergente si et seulement si la sriede terme gnral [un[ converge.Une srie alterne est dite semi-convergente si et seulement la sriede terme gnral un converge alors que celle de terme gnral [un[ di-verge.Sries doubles Interversion des sommationsSoit une suite double dlments de K: (up,q)(p,q)N2 que lon supposesommable (cest--dire M R+/J NpJqJupqM), alors :1. q N,p0up,q est convergente et la srieq0_+p=0up,q_est conver-gente.2. p N,q0up,qest convergenteet lasriep0_+q=0up,q_estconvergente.3.(p,q)N2up,q=+p=0_+q=0up,q_ =+q=0_+p=0up,q_.Produit de Cauchywn=nk=0uk vnk(1)+n=0wn=_+n=0un__+n=0vn_(2)On appelle produit de Cauchy desdeux sries de terme gnral un etvnlasriedont letermegnralvrie (1).Si les deux sries de terme gnralunetvnsontabsolument conver-gentes, alors lasrie wnest elleaussi absolument convergenteetvrie (2).Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 512. Analyse 512.10 Sries entiresSrie entireS(z) =+n=0anznS(z) : somme de la srie entirean : coefcient de la srie entirez : variable de la srie entireRayon de convergence DnitionI= r R+/+n=0[an[rnconvergeLa borne suprieure de lintervalleI dans Rest appele rayondeconvergence de la srieanzn, onle note R = Sup I.Srie entire sommeSoient deux sries entires n0anznet n0bnzn, on appelle srie entiresomme la srie n0(an +bn)zn.Soit Raet Rbles deux rayons de convergence respectifs de ces deuxsries, on a Ra+b min(Ra, Rb) (avec galit si Ra ,=Rb).Lemme dAbelSoit r0> 0, si la suite ([an[rn0)nN est majore, alors r [0, r0[ la srie[an[rnest convergente.Drivation dune srie entireS(x) =+n=0(n + 1)an+1xnS : srie de terme gnral anxnS : drive de la srie SLa srie drive a le mme rayonde convergence que la srie dri-ver.Intgration dune srie entire_x0_+n=0anzn_dz =+n=0ann + 1xn+1La srie des intgrales a le mmerayon de convergence que la srieintgre.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 5252 [1] MathmatiquesDveloppement en srie entire dune fonctionUne fonctionf :R R est dite dveloppable en srie entire autourdun point x0 R si et sil existe une srie entire n0anxnde rayon deconvergence R > 0 telle que :x ]x0R; x0 + R[,f (x) =+n=0an(x x0)nLe dveloppement en srie entire est unique.Dveloppement en srie entire dune fraction rationnelleUne fraction rationnelleR est dveloppable en srie entire autour de0 si et seulement si 0 nest pas un ple de cette fraction rationnelle. Lerayon de convergence du dveloppement en srie entire est alors galau plus petit module des ples complexes de la fraction rationnelle.2.11 Suites et sries dapplicationsConvergence simple Dnition > 0, x D, n0 N, nn0 :[ fn(x) f (x)[( fn: X E)nN : suite dapplica-tionsE : un K-espace vectoriel normf: limite de la suite dapplicationsdans D (domaine de convergence)D : domaine de convergenceConvergence uniforme Dnition > 0, n0 N, x D, nn0 :[ fn(x) f (x)[( fn: X E)nN : suite dapplica-tionsE : un K-espace vectoriel normf: limite de la suite dapplicationsdans D (domaine de convergence)Convergence uniforme et convergence simpleSi ( fn)nNconvergeuniformment vers f sur X, il yagalementconvergence simple de ( fn)nN versfdans ce mme domaine.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 532. Analyse 53Proprit de la convergence uniformeSi les fonctions fnsont continues (respectivement admettent une li-mite en a), alors la limite uniforme (si elle existe) de ces fonctionsfestcontinue (respectivement admet une limite en a).Convergence uniforme et intgration sur un segmentfest continue sur [a, b]__bafn_nNconverge dans E_baf = limn+_bafn( fn: X E)nN : suite dapplica-tions continues convergeant uni-formment versfsur X.E : un K-espace vectoriel normf: limite de la suite dapplicationsSousceshypothses, f vrielesproprits nonces ci-contre.Convergence uniforme et drivation( fn)nNconverge uniformmentsur tout segment de I versffest de classe (1sur If=g( fn: X E)nN : suite dapplica-tions (1convergeantsimplementversfsur X( fn)nN: converge uniformmentvers une application note gSousceshypothses, f vrielesproprits nonces ci-contre.Soit( fn: X E)nNune suite dapplications (1surXconvergeantsimplement versfsur X.Soit ( fn)nNunesuitedefonctionsquiconvergeuniformmentsurtout segment de X vers une application g.Soit f la limite de la suite dapplications vriant les hypothses pr-cdentes. Sous ces hypothses, on afde classe (1sur X etf=g.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 5454 [1] MathmatiquesThorme de convergence monotone_If = SupnN_Ifn= limn+_Ifnn N, fn est continue par mor-ceaux et intgrable sur I.( fn)nNvrie une hypothse demonotonie : n N,fnfn+1.( fn)nNconverge simplement surI vers une application note fcontinue par morceaux sur I.Sous ces hypothses, f est int-grablesi et seulement si lasuite__Ifn_nNet vrie alors les pro-prits ci-contre.Thorme de convergence domine_If = limn+_Ifnn N, fn est continue par mor-ceaux sur I.( fn)nNconverge simplement surI vers une application note fcontinue par morceaux sur I.( fn)nNvrie une hypothse dedomination : n N, [ fn[ o est une fonctionconti-nue par morceaux positive et int-grable sur I.Sousceshypothses, f vrielaproprit ci-contre.Premier thorme de WeierstrassPour toute application continuef :[a; b] K, il existe une suite (Pn:[a; b] K)nNde polynmes convergeant uniformment vers f sur[a; b].Deuxime thorme de WeierstrassPour toute application continuef : R K etT-priodique, il existeune suite (Tn : [a; b] K)nN de polynmes trigonomtriques conver-geant uniformment versfsur R.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 552. Analyse 55Sries dapplications : convergence simple DnitionOn dit quune srie dapplications converge simplement si etseulement si la suite des sommes partielles (Sn(x))nN, avecSn(x) =nk=0fk(x), converge simplement.Sries dapplications : convergence absolue DnitionOn dit quune srie dapplications converge absolument si etseulement si la suite des sommes partielles (Sn(x))nN, avecSn(x) =nk=0|fk(x)|, converge absolument.Sries dapplications : convergence uniforme DnitionOn dit quune srie dapplications converge uniformment si et seule-ment si lasuitedessommespartielles (Sn(x))nN, avec Sn(x) =nk=0fk(x), converge uniformment.Sries dapplications : convergence normale Dnitionn0 N :nn0|fn| convergeOn dit quenfn converge norma-lement et seulement si elle vriela proprit ci-contre.Convergences normale, uniforme et simpleLaconvergencenormaleentranelaconvergenceuniformequielle-mme entrane la convergence simple.Convergence uniforme Limite et continuitSi n0fn converge uniformment sur X et si n N,fn est continue ena (respectivement admet une limite ena), alors n0fn est continue ena (respectivement admet une limite en a).c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 5656 [1] MathmatiquesConvergence uniforme et intgration sur un segment+n=0fn est continue sur [a, b]n0__bafn(x) dx_converge dans E_ba_+n=0fn(x)_dx =+n=0_bafn(x) dx( fn)nN : srie dapplications avecfn continue sur [a, b]+n=0fn converge uniformment sur[a, b]Sous ces hypothses, lasriedefonctionsvrielespropritsci-contre.Convergence uniforme et drivationn0fn converge uniformmentsur tout segment I+n=0fn est de classe (1sur I_+n=0fn_=+n=0fnn0fn: srie dapplicationsconvergeant simplement sur Ifn : I E de classe (1n0fn converge uniformment surtout segment de I.Sous ces hypothses, fn et fn vri-ent les proprits ci-contre.Intgration sur un intervalle quelconque des fonctions+n=0fn est intgrable sur I_I+n=0fn

+n=_I[ fn[_I+n=0fn=+n=0_Ifnn0( fn) : srie dapplicationsconvergeant simplement sur Ifn: I E : fonction continue parmorceaux sur In0_I[ fn[ convergeSous ces hypothses, fn vrie lesproprits ci-contre.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 572. Analyse 572.12 Sries de FourierCoefcients de Fourier exponentielscn( f ) =12_20f (x)einxdxcn : coefcient de Fourier exponen-tielf : fonction2-priodiqueconti-nue par morceaux valeurs com-plexesn ZCoefcients de Fourier trigonomtriquesan( f ) =1_20f (x) cos(nx) dxbn( f ) =1_20f (x) sin(nx) dxan : coefcient de Fourier trigono-mtrique en cosinusbn : coefcient de Fourier trigono-mtrique en sinusf : fonction dont on souhaite obte-nir les coefcients de FourierLorsque la fonction f est paire(respectivement impaire), les co-efcients bn(respectivements an)sont nuls.Thorme de DirichletSi f est de classe (1par morceaux et 2-priodique, pour tout relx,on a lgalit suivante :S(x) =+n=cneinx=a02++n=1an cos nx ++n=1bn sin nxS(x) =12_f (x) +f (x+)_Dans ce cas, il y a convergence simple de la srie vers S(x).galit de ParsevalSi fest continue par morceaux, on a lgalit suivante :12_20[ f (x)[2dx = [a0[24++n=1[an[2+[bn[22=+n=[cn[2Convergence normaleSif est continue et de classe (1par morceaux sur R, la srie de Fourierdefest normalement convergente sur R et a pour sommef .c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 5858 [1] Mathmatiques2.13 Fonctions de plusieurs variablesDrive partielleDjf (a) = fxj(a) = limt0t,=0f (a1, . . . , aj +t, . . . , an) f (a1, . . . , an)tf: une fonction de plusieurs variables.On dnit ci-dessus la drive partielle par rapport la variable xj (sajevariable) de la fonctionfen un point a = (a1, . . . , an).Drive selon un vecteurOn dit quef admet une drive en a selon un vecteur v que lon notedvf (a) si et seulement si la limite suivante existe :limt01t( f (a +tv) f (a))Si elle existe, cette limite est dvf (a).Thorme fondamentalSoit U un ouvert deRp, si f : U Rnest de classe (1surRp, alorsf admetentoutpoint adeRp, unedriveselontoutvecteurhetDhf (a) =pj=1hjDjf (a).Gradientgradf =_ fx(x, y), fy(x, y)_f : U R : fonction de classe (1sur UU : ouvert de R2gradf: gradient defAlors : Dvf (a) = (gradf (a))vDiffrentielle dune fonction de deux variablesdf = fx dx + fy dyf : U R : fonction de classe (1sur UU : ouvert de R2Applications de classe (kOn dit quef est de classe (k, aveck NsurU si et seulement si fadmet des drives partielles successives sur U jusqu lordre k et ce,quel que soit lordre de drivation, et chacune de ces drives partiellesest continue sur U.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 593. Gomtrie 59Thorme de Schwarz2fxjxi=2fxixjf: fonction (2sur Rp.Point critiqueSoit U un ouvert de R2, a U et f : U R une fonction de classe (n.On dira que a est un point critique pourf si et seulement si toutes lesdrives partielles defexistent et sannulent en a.Extremum localOn dira quef : U R2admet un extremum local surX U en unpoint a X si et seulement si x X, f (x) f (a) ( f admettant alorsun maximum ena) ou x X, f (x) f (a) ( f admettant alors unminimum en a).Thorme des fonctions implicitesSoientx=(x1, x2) U, oUest un ouvert deR2, f : U R unefonction de classe (ksur U telle quef (x)=0 et fx2(x) ,=0, alors ilexiste deux intervalles ouverts J et K respectivement centrs en x1 et x2tels quil existe une unique fonction de classe (1, : J K telle que :(x, y) J K, ( f (x, y) = 0 y =(x))3. Gomtrie3.1 Courbes du planPoint rgulier Point birgulierUn pointM(t) est dit rgulier si et seulement sil vrief(t) ,= 0 ; ilest dit birgulier si et seulement si la famille ( f(t),f(t)) est libre.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 6060 [1] MathmatiquesTangente DnitionM0P M0P M0P =fff(t0)Si fff(t0) ,=0, latangenteenunpoint Mde coordonnes t0estlensemble des points P vriant laproprit ci-contre avec R.Si cette limite nexiste quent+0(respectivement en t0 ), ondira que la courbe admet unedemi-tangente en M(t+0 ) (res-pectivement en M(t0 )). Si leslimitesent+0 ) et ent0sont dif-frentes, la courbe admet deuxdemi-tangentes en M.Position dun arc par rapport la tangenteDans les gures ci-dessous, f(p)(t0) et f(q)(t0) reprsentent les deuxpremiers vecteurs drivs non nuls.f (t)(p)f (t)(q)M(t)f (t)(p)f (t)(q)M(t)p impair, q pair : allure gnralep impair, q impair : point din-exionf (t)(p)f (t)(q)M(t)f (t)(p)f (t)(q)M(t)p pair, q pair point de rebrousse-ment de seconde espcep pair, q impair : point de rebrous-sement de premire espceChapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 613. Gomtrie 61Branche innie DnitionOn dit que la courbe admet une branche innie en t0 si et seulementsi limtt0|f (t)| = +.Direction asymtotique AsymptoteSi la branche innie forme un angle 0 par rapport laxe des abscisses,poursavoirsilsagitduneasymptoteoudunedirectionasympto-tique, on tudie la limite :Y =lim0 sin( 0)Sicettelimitevaut+,ilsagitdunedirectionasymptotique,silalimite vaut 0, il sagit dune asymptote, si la limite vaut b avec b R,la droite dquation y =0x +b est asymptote la courbe.xOyBranche paraboliqueO dira que la courbeadmet une branche parabolique quand t tendvers t0 si cette mme courbe admet une direction asymptotique quandt tend vers t0 mais pas dasymptote.SymtriesSoit: t (t) une fonction de changement de paramtrage. Ondonneci-dessouslessymtriesclassiquesqui permettentdelimiterlintervalle dtude de la courbe :_x((t) =x(t)y((t) =y(t)Identitc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 6262 [1] Mathmatiques_x((t) = x(t)y((t) = y(t)Symtrie par rapport lorigine_x((t) =y(t)y((t) =x(t)Symtrie par rapport la premirebissectrice_x((t) = x(t)y((t) =y(t)Symtrieparrapport laxedesordonnes_x((t) =x(t)y((t) = y(t)Symtrie par raport laxe desabscissesCoordonnes polaires___ =_x2+ y2x = cos y = sin Mruruqqx xMyMyOquations en coordonnes polairesLa droite : =1 cos + sin (, ) R2Cette quation reprsente ladroite dquation cartsiennex +y 1 = 0.Le cercle : = cos + sin (, ) R2Cette quation reprsente le cerclecentr en O dquation cartsiennex2+ y2x y = 0.Conique dont le foyer est lori-gine : =p1 +e cos( )p : paramtre de la coniquee : excentricit de la conique : angle polaire : phaseChapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 633. Gomtrie 63Branches innies DnitionsSi lim = 0, on dit que O est un point-asymptote de la courbe.Si lim=a, on dit que le cercle de centreO et de rayon [a[ est uncercle-asymptote la courbe.Si lim = , on dit que la courbe admet une branche-spirale.Si la branche innie forme un angle 0 par rapport laxe des abscisses,poursavoirsilsagitduneasymptoteoudunedirectionasympto-tique, on tudie la limite :Y =lim0 sin( 0)Sicettelimitevaut+,ilsagitdunedirectionasymptotique,silalimite vaut 0, il sagit dune asymptote, si la limite vaut b avec b R,la droite dquation y =0x +b est asymptote la courbe.SymtriesSoitT la priode de (cest--dire( + T)=()). Sil existeT telque ( + T) = (), T est appel antipriode de .() =()Symtrieparrapport laxedesabscisses. Onfait varier dans[0; +[ avant deffectuer la sym-trie.( ) =()Onfait varier dans_2 ; +_puis oneffectuelasymtrieparrapport la droite passantparOet dangle polaire /2.() = ()Symtrieparrapport laxedesordonnes. Onfait varier dans[0; +[ avant deffectuer la sym-trie.( ) = ()Onfait varier dans_2 ; +_puis oneffectuelasymtrieparrapport la droite passantparOet dangle polaire2+2.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 1 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 6464 [1] Mathmatiques3.2 Proprits mtriques des courbesAbscisse curvilignet I, s(t) =_tt0|f(u)| duf : t M(t)s : t s(t)Longueur dun arcl(AB) =_ba|f(t)| dtl(AB) : longueur de larc ABRayon de courbure CourbureR =dsd =1RR : rayon de courbures : abscisse curviligne=(iii, TTT) o TTT est le vecteur tan-gent : courbure au point M(t)Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 65Chapitre 2Physique0. lments de mathmatiques0.1 DiffrentiellesDveloppements limitsSoit f : x f (x), alorsf (x +x)=f (x) +x f(x) +(x)22f(x) +

Diffrentielle dune fonction de plusieurs variablesSoit fune fonction des variables x et y, alors :df =_ fx_ydx +_ fy_xdyOnpeuttendrecettednitiondedf pourunefonctiondenva-riables.On a par dnition du gradient :df = (gradf )dMMMc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 6666 [2] PhysiqueThorme de Schwarz2f (x, y)xy=2f (x, y)yx(les drives croises dune fonction (2sont gales)0.2 quations diffrentiellesquation de relaxationy(t) +y(t)= (o estune constante). Sa solution esty(t) = + (y(0) et/.yt ()tquation de loscillateur harmoniquey(t)+20y(t) = 0. Sa solution esty(t) = cos(0t) + sin(0t) ouy(t) = cos(0t +)yt ()tquation dun systme explosify(t) 20y(t) = 0. Sa solution esty(t) = ch(0t) + sh(0t)yt ()tChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 670. lments de mathmatiques 67quation de diffusionyt=Dy. Les solutions dpendent des conditions aux limites et desconditions initiales. On la rsoud gnralement en rgime permanento la solution est sinusodale.quation de prcessionuuut= uuu. uuuest en rotation autour duvecteur wuquation du second ordreay(t) +by(t) +cy(t) =g(t)Le discriminant de son quation caractristique ((Ec) ar2+br +c = 0)est=b24ac. Soient r1 et r2 les deux racines de cette quation ca-ractristique.Dansunpremiertemps, intressonsnousaucasog(t) =, uneconstante.Si >0, lesdeuxracinesr1et r2sontrelles, la solution est du type apriodique :y(t) =er1t+er2,t+cyt ()tSi 1Aire dune ellipseS =abS : surface de la coniquea : demi grand axeb : demi petit axeChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 691. lectronique 691. lectronique1.1 Lois gnralesLoi de Pouilleti =EkRki : intensitducourantdanslecircuitE : tension dlivre par le gn-rateurRk : rsistance k du circuitLoi des nudsLa loi des nuds en N scrit :nk=1ik= 0Ni1iniki4i2i3Loi des maillesLaloi desmaillessurlamailleci-contre scrit :nk=1uk= 0u1u2u3u4unukThorme de MillmanLethormedeMillmanappliquen N donne :u =nk=1Gk uk +pj=1ijnk=1Gku1unu2ukuG1GnG2GkN i1i2ijipc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 7070 [2] PhysiqueThorme de superposition (Helmholtz)Dans un rseau de diples linaires comportantn sources, la tensionaux bornes de chaque diple est la somme algbrique des tensions quily aurait aux bornes de ce diple si une seule source autonome fonction-nait. De mme, lintensit dans une branche dun circuit est la sommedes intensits qui rgneraient dans la branche si une seule source au-tonome fonctionnait.1.2 Rgime variablePuissance reue par un diplep(t) = u(t)i(t)=1T_T0p(t) dt

sinusodal= UeffIeff cos On se place en convention rcep-teur.p(t) : puissance instantane reuepar le diple : puissance moyenne reuepar le dipleu(t) : tension aux bornes de ce di-plei(t) : intensit traversant le dipleUeff: tensionefcaceauxbornesdu dipleIeff : intensit efcace traversant lediple: dphasageentrelatensionetlintensit = arg Z o Z est lim-pdance complexeImpdance complexe et phase des composants usuelsRsistance :Z =R = 0Bobine :Z =jL = +2Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 711. lectronique 71Condensateur :Z =1jC = 2Z : impdanceR : valeur de la rsistanceC : capacit du condensateurL : inductance de la bobine : pulsation : dphasage de u par rapport iFonction de transfertH( j) =seH( j) : fonction de transferts : signal de sortiee : signal dentreGain en dcibels PhaseH() = [H( j)[GdB= 20 log [H( j)[ = arg HH() : gainGdB : gain en dcibelsH( j) : fonction de transfert : phase (avance de la sortie surlentre)Diagramme de BodeLe diagramme de Bode en gain (respectivement en phase) consiste reprsenter le gain en dcibel (respectivement la phase) en fonction delog0ou de log .Filtre passe-bas du premier ordrelog(w)log(w )0G (dB)log(w )0log(w)jp224-p-pH() =H01 +j0c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 7272 [2] PhysiqueFiltre passe-haut du premier ordrelog(w )0log(w)G (dB)log(w )0log(w)jpp242-pH() =H0j01 +j0Filtre passe-bas du deuxime ordrelog(w )0log(w)Q>Q1 2Q>Q2 3Q3G (dB)log(w )0log(w)Q>Q1 2Q3j02-p-pQ=1/ >Q2 32H() =H01 +_j0_2+jQ0Filtre passe-haut du deuxime ordrelog(w)Q>Q1 2Q>Q2 3Q3G (dB)log(w )0log(w )0log(w)Q>Q1 2Q3j02ppQ=1/ >Q2 32Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 731. lectronique 73H() =H0_j0_1 +_j0_2+jQ0Filtre passe bande du deuxime ordrelog(w)Q>Q1 2Q>Q2 3Q3G (dB)log(w )0log(w )0log(w)Q>Q1 2Q3jp022-pQ=1/ >Q2 32H() =H01 +jQ_00_1.3 Montages avec amplicateur oprationnelGnralitsPour un amplicateur oprationnel idal en rgime linaire : = V+V= 0 [uS[Vsat. Si < 0, uS= Vsat, si > 0, uS= Vsat : on est en rgime satur. Lintensit entrant par les bornes + et est nulle.Suiveur de tension+-euSuEiSuS= uEc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 7474 [2] PhysiqueAmplicateur inverseur+-R2uSuEiER1euS= R2R1uEAmplicateur non inverseur+-R2uSuEiEiSR1euS=_1 +R2R1_uEConvertisseur courant-tension+-RuSuEiEiSeuS= RiEComparateur simple+-uSu2u1eSi u1> u2, uS= +VsatSi u1< u2, uS= VsatChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 751. lectronique 75Intgrateur thorique+- RCuSuEeuS=1RC_tt0uE(t) dt +us(t0)Drivateur thorique+-RuSuECeuS= RCduEdtComparateur hystrsis =R1R1 + R2uSuE Si uS= +Vsat > 0 uE R1R1 + R2Vsat Si uE _R1R1 + R2Vsat,R1R1 + R2Vsat_ alors le montage est bistable(uS= Vsat)c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 7676 [2] PhysiqueSommateur inverseur+-R2uSuE1uE2uE3uE1i1i2i3R11R12R13eik=uEkR1kuS= R2 kuEkR1k2. Thermodynamique2.1 Gaz parfaitquation dtatpV= nRTp : pression du gazV : volume du gazR= ^k : constante des gaz par-faitsT : tempraturen : quantit de matireVitesse quadratique moyenne12mu2=32kTm : masse atomique du gazu : vitesse quadratique moyennek : constante de BoltzmannT : tempratureChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 772. Thermodynamique 77Coefcients thermolastiques =1V_VT_p =1p_pT_VT= 1V_Vp_T : coefcient de dilatation isobare: coefcientdaugmentationdepression volume constantT: coefcient de compressibilitisothermep : pressionT : tempratureV : volumeRelation entre les coefcients thermolastiques =pTModle de Van der Waals_p +n2aV2_(V nb) = nRTa, b : constantes positivesn : quantit de matirep : pressionT : tempratureV : volumenb : covolumeR : constante des gaz parfaits2.2 Premier et second principes de la thermodynamiquePremier principeU= W + QU : variation dnergie interneW : transfert mcaniques reus parle systmeQ: transfertsthermiquesverslesystmec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 7878 [2] PhysiqueTravail rversible des forces de pressionW= _VfVipdVW : travail des forces de pressionVi : volume initialVf: volume nalp : pressionSi la transformationest isobare,alors :W= pVEnthalpieH= U + pVH : enthalpieU : nergie internep : pressionV : volume du systmeLenthalpie est une fonction dtat.Premire loi de Joule pour un gaz parfaitdU= CV dTdU : variation dnergie interneCV: capacit thermique volumeconstantdT : variation de tempratureCV=_UT_VAutre formulation : Une dpendque de TSeconde loi de Joule pour un gaz parfaitdH= Cp dTdH : variation denthalpieCp : capacit thermique pressionconstantedT : variation de tempratureCp=_HT_pAutre formulation : Hne dpendque de TChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 792. Thermodynamique 79Gaz parfait monoatomiqueU=32nRTH=52nRTU : nergie interneH : enthalpien : quantit de matireR : constante des gaz parfaitsT : tempratureBilan sur les coulements permanents(h2 +ek2 +gz2) (h1 +ek1 +gz1) = wm +qmwmqmCette relation est aussi appelerelation de Zeuner.On indexe par 1 et 2 les grandeursrelatives au uide respectivementen amont et en aval de la machine.hi : enthalpie massiqueeki : nergie cintique massiquegzinergie potentielle de pesan-teur massiquewm: travail reupar lunit demasse de uide qui traverse la ma-chineqm: transfertthermiquereuparlunit de masse de uide qui tra-verse la machineDtente de Joule Gay-LussactatinitialtatfinalU= 0U : nergie internec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 8080 [2] PhysiqueDtente de JouleKelvinh1 +ek1= h2 +ek2En coulemement lent (ekihi),la dtente est isenthalpique (h2=h1).Rapport des capacits thermiques =CpCV> 1Cp=R 1CV=R 1R : constante des gaz parfaits : rapport des capacits ther-miquesSecond principe EntropiedS =QT+SirrevS : entropieQ: transfertsthermiquesverslesystmeT: temprature de surface dusystmeSirrev 0 : cration dentropieLentropieest unemesurestatis-tique du dsordreIdentits thermodynamiquesdU= T dS p dVdH= T dS +V dpdU : variation dnergie internedH : variation denthalpiedS : variation dentropiep : pression du gazV : volume du systmeT : tempratureChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 812. Thermodynamique 81Lois de Laplacep V= cste1T V1= cste2Tp1= cste3Cesloisdcriventlvolutiondesparamtres thermodynamiquespourunetransformationisentro-pique(adiabatiquerversible) degaz parfait.p : pression du gazV : volume du systmeT : temprature : rapport isentropique2.3 Changements de phase dun corps purDiagramme dtatvapeurCTTpliquidesolideLe pointCest le point critique au delduquel on ne fait plus la diffrence entrela phase liquide et la phase vapeur (tatuide).Le point T est le point triple o toutes lesphases coexistent.p : pressionT : tempratureNomenclature des changements de phasevapeurliquidesolidefusionsublimationcondensationsolidificationliqufactionvaporisationc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 8282 [2] PhysiqueDiagramme dquilibre liquidevapeurvapeurT T =CT>TCTpCpT T2 3>T T3 4>T4lLoi du dplacement de WienmT = 2 897, 8 m Km: longueur donde o lmis-sion est maximaleT : tempratureLoi de StefanCette loi est valable pour tout corps lquilibre thermodynamique et lquilibre thermique pour p.e=_+0F(, T) de=T4e : ux misF(, T) : luminance (dcrite parla loi de Planck) : constante de Stefan : longueur dondeT : tempratureCorps noirUn corps noir absorbe le ux incident pour toute longueur donde etquelquesoitsonincidence. Ilestenquilibreradiatif(p=iete=a, o p est le ux partant, i le ux incident, e le ux miset a le ux absorb) et thermique.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 8888 [2] Physique3. Mcanique du point3.1 CinmatiqueCoordonnes cartsiennesOM OM OM =xiii + yjjj + zkkkx : abscissey : ordonnez : cotevvv =dOM OM OMdt=__ x y z__aaa =d2OM OM OMdt2=__ x y z__MikjzxzMxMyMyOCoordonnes cylindriquesOM OM OM = ruuur + zuuuzr : rayon polaire : angle polairez : cotevvv =dOM OM OMdt=__ rr z__uuuruuuuuuzaaa =d2OM OM OMdt2=__ r r22 r +r z__uuuruuuuuuzMiuruzuqkjqzxzMxMyMyrOChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 893. Mcanique du point 89Coordonnes sphriquesOM OM OM = ruuurr : rayon : colatitude variant dans [0, ] : longitude variant dans [0, 2]vvv =dOM OM OMdt=__ rrr sin __uuuruuuuuuMurujuqikjjqxzrzMxMyM yOMouvement circulaire uniformeOM OM OM = ruuurr : rayon polaire : angle polaire: vitesse angulaire uniforme( =uuuz)Mv(M)a(M)uruqqxzyOvvv =uuuzOM OM OM =ruuuaaa = 2ruuur= v2ruuurc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 9090 [2] Physique3.2 Changement de rfrentielxxzzyyOOComposition des vitessesvvv(M)R= vvv(M)R. .vitesse relative+vvv(O)R +OM OM OM. .vitesse dentranement : vecteur de rotation instantanne de R par rapport RComposition dacclrationaaa(M)R= aaa(M)R + 2vvv(M)R. .acclration de Coriolis (ac)+aaa(O)R +_OM OM OM_+ ddtOM OM OM. .acclration dentranement (ae)Forces associesfffe= maaaefffc= maaacfffe : force dentranementfffc : force de Coriolisaaae : acclration dentranementaaac : acclration de CoriolisChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 913. Mcanique du point 91Rfrentiel en rotation uniforme autour dun axe xefffe= m2ruuur(force centrifuge)fffc= 2mvvv(M)RW tWz=zxyxyORfrentiel galilenDans un rfrentiel galilen un point matriel isol est soit au repos,soit anim dun mouvement rectiligne uniforme.3.3 Lois gnrales de la mcaniquePrincipe des actions rciproquesFFF12= FFF21M1M2M1M2M1M2FFF12= 000FFFij : force de i surjMi : point dapplication de la forceFijPrincipe fondamental de la dynamiquedpppdt=ifffippp=mvvv : quantit de mouvementdu systmefffi : force applique au systmeifffi : rsultante des forcesQuantit de mouvement dun systme fermppp =imivvv(Pi) =Mvvv(G)ppp : quantit de mouvement du sys-tmemi : masse associe au point mat-riel PiM : masse du systmeG : centre de masse du systmec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 9292 [2] PhysiqueThorme du moment cintique en un point xedLLLOdt= ///O_ifffi_LLLO : moment cintique au point derduction O///O_ifffi_: moment de la rsul-tante des forces en OMoment cintique Moment cintique barycentriqueLLLB= LLLA +BA BA BA mvvv(M)LLLsystme= LLLGLLLP : moment cintique en Pm : masse du systmevvv(M) : vitesse du point MLLLsystme: moment cintique bary-centrique du systmeThorme de Knig du moment cintiqueLLLA= LLL +AG AG AG Mvvv(G)LLL(P) : moment cintique en PLLL: moment cintique barycen-triqueM : masse du systmevvv(G) : vitesse du centre de gravitdu systmeMoment de forces///B(fff) = ///A(fff) +BA BA BAfff///P : moment de force en Pfff : force applique au systmeThorme du moment cintique en un point mobiledLLLAdt= ///A (i fffi)vvv(A) mvvv(P)LLL : moment cintique///_ifffi_:momentdelarsul-tante des forcesm : masse du systmevvv(P) : vitesse de PChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 933. Mcanique du point 93Puissance dune forceT= fffvvvT : puissance de la force ffffff : forcevvv(G) : vitesse du point matrielnergie cintique dun point et dun systme de pointsEk=12mv2Ek=imi2v2iEk nergie cintiquem : masse du systmemi : masse du point matriel Piv : vitesse du systmevi : vitesse du point matriel PiThorme de lnergie cintiquedEkdt= TEk : nergie cintiqueT : puissance des forces appli-ques au systmeThorme de Knig de lnergie cintiqueEk=Ek + 12mv2(G)Ek : nergie cintiqueEk: nergie cintique barycen-triquem : masse du systmev(G) : vitesse du centre de gravitdu systmenergie mcaniqueEm=Ek + EpEm : nergie mcaniqueEk : nergie cintiqueEp : nergie potentiellec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 9494 [2] Physiquenergies potentielles nergie potentielle de pesanteurEppes=MgzGEppes: nergiepotentielledepe-santeurm : masse du systmeg : acclration de la pesanteurzG:coteducentredegravitdusystme nergie potentielle lastiqueEpelas=12k(l)2Epelas : nergie potentielle lastiquek : constante de raideur du ressortl : allongement du ressort nergie potentielle de gravitationEpgrav= (m1m2rEpgrav: nergie potentielle de gra-vitation( : constante universelle de gravi-tationm1, m2 : masses en interactionr : distance sparant les deuxmasses nergie potentielle lectriqueEpel= qVEpel: nergie potentielle lectriqueq : charge ponctuelleV : potentiel au point o se trouvela chargequilibredEpdx(x0) = 0x0 : position dquilibreEp : nergie potentielleChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 953. Mcanique du point 95quilibre stable quilibre instabled2Epdx2(x0)0x0EpxOMinimumdnergie potentielle :quilibre stabled2Epdx2(x0)0x0EpxOMaximumdnergiepotentielle:quilibre instableForces conservativesFFFcons= gradEpLesforcesconservativesdriventdune nergie potentielle.Thorme de lnergie mcaniquedEmdt= Text non cons +Tint non consEm : nergie mcaniqueText non cons: puissance des forcesextrieures au systme nonconservativesTint non cons: puissance des forcesintrieures au systme (dans lecasdunsystmedepoints) nonconservatives3.4 OscillateursOn se reportera galement aux oscillateurs lectriques dans la partie lec-tronique de cet ouvrage.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 9696 [2] PhysiqueOscillateur harmoniqued2Adt2+20A = 0A = cos 0t +sin 0tA = cos(0t +)Un oscillateur harmonique est r-git par lquation ci-contre o :A : grandeur physique0 : pulsation de loscillateur, , , : constantes dterminespar les conditions initialesPortrait de phase dun oscillateur harmoniqueAAw00Le portrait de phase dun oscilla-teurharmoniqueestconstitudecercles concentriques.Oscillateur harmonique amortid2Adt2+0QdAdt+20A = 0A : grandeur physique0 : pulsation de loscillateur har-moniqueQ : facteur de qualit de loscilla-teurRponses dun oscillateur harmonique amortiQ > 1/2, les deux racines delquationcaractristiquer1et r2sont relles, la solution est du typeapriodique : A(t) =er1t+er2tA() ttChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 973. Mcanique du point 97Q = 1/2, on est en rgimecritique, lquation caractristiqueadmet une racine doubler. La so-lution est : A(t) = (t +)ertA() ttQ < 1/2, les deux racinesde lquation caractristiques sontcomplexes conjugues, la solu-tion est alors pseudo-priodique :A(t)=( cos(t) + sin(t))etavec et respectivement partiesrelle et imaginaire de la solution.A() ttPortrait de phase dun oscillateur amortiQ>1/2Q=1/2Q 1/2c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 9898 [2] Physique3.5 Mouvement dune particule chargeForce de LorentzFFF = q(EEE +vvv BBB)FFF : force de Lorentzq : charge de la particulevvv : vitesse de la particuleBBB : champ magntiqueEEE : champ lectriqueMouvement dans un champ magntique stationnaire uniformeR =mv0qB =qBmCes lois dcrivent la trajectoire cir-culaire dune particule de masse met dechargeqabandonnedansunchampmagntiqueavec unevitessevvv0orthogonaleauchampmagntique BBB.R : rayon de la trajectoire: vitesseangulairedelaparti-culeUn champ magntique ne fait que dvier une particule : il ne lacclrepasEffet HallEEEHall= vvv BBBUHall=BInqEEEHall: champlectriquecrpareffet HallUHall: diffrence de potentiel quiapparat aux bornes de la sondevvv : vitesse des particulesBBB : champ magntiqueI: intensit du courant traversantla sonden : densit particulaireq : charge de la particule : largeur de la sondeBEHallIl+++++++Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 993. Mcanique du point 993.6 Systmes de deux points matrielsSystme isol de deux points matrielsPour tudier un systme isol de deux points matriels de masse m1 etm2, on tudie le mouvement dune particule quivalente dans le rf-rentiel barycentrique et de masse=m1m2m1 +m2situe en un pointMtel que GM GM GM = M1M2M1M2M1M2= rrr.GM1GM1GM1=m2m1 +m2M1M2M1M2M1M2GM2GM2GM2=m1m1 +m2M1M2M1M2M1M2(m1 +m2)vvv(G) = cste cste cstemi: masse de la particule se trou-vant en Mi : masse rduiteG : centre de gravit du systmevvv(G) : vitesse de ce centre de gra-vitvvvi: vitesse de la particule se trou-vant en MiConservation du moment cintiqueLLLO= mCCCppp = Cste Cste CsteDans le cas dun systme isol dedeuxparticules, il yaconserva-tion du moment cintique et de laquantit de mouvement.LLL : moment cintiqueP : point ctif (reprsentant le mo-bile quivalent)vvv(P) : vitesse de ce pointm : masse du systmeCCC : constante des airesPlanit de la trajectoire Loi des airesLa trajectoire est plane et la vitessearolaire est constante :dAdt=C2 Pour des temps gaux, les airesbalayes sont gales. v( ) Md :airebalayependantdAtOc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 100100 [2] Physiquenergie potentielle efcaceEm=12 r2+ Epe f f=E0Epe f f=C22r2+ Epint(r)Pour un systme isol de deuxpoint matriels, il yaconserva-tion de lnergie mcanique bary-centrique.Em: nergiemcaniquebarycen-triqueEpe f f: nergie potentielle efcaceEpint(r): nergiepotentielleint-rieure : masse rduite_ =m1m2m1 +m2_r =M1M2C : constante des airesFormules de Binetvvv = Cduduuur +Cuuuuaaa = C2u2_d2ud2+u_uuuru =1rvvv : vitesseaaa : acclrationC : constante des aires : angle polaireuuur : vecteur radialuuu : vecteur orthoradialTrajectoires newtonniennes en coordonnes polairesr() =p1 +e cos( 0)p : paramtre de la coniquee : excentricit de la coniquee et 0sont dtermins par lesconditions initialesLois de KeplerCes lois dcrivent les trajectoires des plantes en supposant le rfren-tiel de Kepler centr sur le soleil galilen et les trajectoires des diff-rentes plantes indpendantes.1. Les orbites des plantes sont des ellipses ayant le soleil pour foyer.2. La vitesse arolaire est constante : pour des temps gaux, les airesbalayes sont gales.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1014. Mcanique du solide 1013. Le carr de la priode est proportionnelle au cube du grand axe :T2=42a3GMsoleil4. Mcanique du solide4.1 Cinmatique du solideChamp de vitesse du solidevvv(A, t) = vvv(B, t) +AB AB AB (t)vvv : vitesse du point du solideconsidr : vecteur instantan de rotationdu solideRoulement sans glissementvvvg S1/S2= vvv(IS1) vvv(IS2) = 000vvv(ISk) : vitesse dupoint appar-tenant ausolideSket concidentavec le pointI de contact entre lesdeux solidesvvvg S1/S2: vitesse de glissement deS1 par rapport S2nergie cintique du solideEk=12mv2(G). .translation+12J2. .rotation propreEk : nergie cintiquem : masse du solidev(G) : vitesse du centre dinertieJ : moment dinertie par rapportlaxederotationinstantandusolide dans le rfrentiel barycen-trique : vecteur vitesse de rotation ins-tantanc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 102102 [2] PhysiqueMoment dinertieMoment dinertie par rapport laxe :J=___solider2dmlments cintiques :L=J (Moment cintique)Ek=12J2(nergie cintique)DWrThorme dHuygensJ=JG +ma2J : moment dinertie par rapport laxe de rotationJG: moment dinertie par rapport laxe passant par G et parallle DWaGQuelques moments dinertie classiquesDRDRhDl /2 l /2sphre pleinehomogne de massemcylindre pleinhomogne de massemtige mincehomogne de massemChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1034. Mcanique du solide 103J=25mR2J=12mR2J=112m24.2 Thormes gnraux de la dynamiqueThorme du centre dinertiemdvvvGdt=ifffivvvG: vitesse du centre dinertie dusolidefffi: forceextrieureappliqueausolideThorme du moment cintiquedLLLOdt=iOM OM OMifffiLLLO: momentcintiquedusolideen O, point immobilefffi: forceextrieureappliqueausolideMi : point dapplication de la forcefiMoment cintique Moment cintique barycentriqueLLLB= LLLA +BA BA BA mvvv(P)LLLsystme= LLLGLLL : moment cintiquem : masse du solidevvv(P) : vitesse du point PLLLsystme: moment cintique bary-centrique du solideThorme de Knig du moment cintiqueLLLA= LLL +AG AG AG mvvv(G)LLL : moment cintiqueLLL: moment cintique barycen-triquem : masse du systmevvv(G) : vitesse du centre de gravitdu solideThorme de lnergie cintiquedEkdt= TextEk : nergie cintiqueText: puissancedes forces ext-rieures appliques au solidec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 104104 [2] PhysiquePuissance des forces appliques un solideT= FFFvvv(G) +///G T : puissance des forces appli-ques au solideFFF : force rsultantevvv(G): vitesseducentredinertiedu solide///: moment des forces extrieuresen G : vecteur de rotation instantanedu solideThorme de Knig de lnergie cintiqueEk=Ek + 12mv2(G)Ek : nergie cintiqueEk: nergie cintique barycen-triquem : masse du solidevvv(G): vitesseducentredinertiedu solideThorme de lnergie mcaniquedEmdt= Text non consEm nergie mcaniqueText non cons: puissance des forcesextrieures non conservativesLiaison pivotPour une liaison pivot parfaite, /=0, o / est le moment desactions de contact.4.3 Contacts entre les solidesChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1055. Optique 105Roulement sans glissementvvvg de S1/S2= vvv(IS1) vvv(IS2) = 000vvv(ISk) : vitesse dupoint appar-tenant ausolideSket concidentavec le pointI de contact entre lesdeux solidesvvvg de S1/S2: vitessedeglissementdu solideS1 par rapport au solideS2NTIS1S2Lois de Coulomb1. La raction normale NNN est dirige vers lextrieur du support.2. Condition de roulement sans glissement :|TTT| 0)c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 108108 [2] PhysiqueRelation de conjugaison des miroirs sphriques1p+1p=2RR: rayon algbrique dumiroir(R < 0 pour un miroir concave etR > 0 pour un miroir divergent).p: distancealgbriquede Saupoint imagep : distance algbrique de Saupoint objetMiroir planp= pp: distancealgbriquede Saupoint imagep : distance algbrique de Saupoint objetLentilles mincesBBA A O F FBBAA O FFLentille divergente Lentille convergenteRelation de conjugaison des lentilles minces1p 1p=1ff: distancefocaledelalentille( f0pourunelentilleconvergente).p: distancealgbriquedufoyerau point imagep : distance algbrique du foyer aupoint objetRelation de Descartes Relation de Newtonfp+fp= 1f f= (pf)(p f )(relation de Descartes) (relation de Newton)Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1095. Optique 109Grandissement =pp : grandissementp: distancealgbriquedeOaupoint imagep: distancealgbriquede Oaupoint objet5.3 Interfrences lumineusesObtention dinterfrencesOnnepeutobtenirdinterfrencesquavecdesrayonslumineuxis-sus de deux sources cohrentes secondaires, obtenues avec une seulesource par division ou du front donde ou de lamplitude.Chemin optique dans un milieu homogne isotrope[SM] = cSM[SM] : chemin optique de S Mc : vitessedelalumiredanslevideSM : temps mis par le signal pourparcourir la distance SMDiffrence de marche = [SP1M] [SP2M] : diffrence de marche[SPjM] : chemin optique du rayonpassant par PjVibration lumineuses(M) = s0 cos_t S2[SM]_s(M) : vibration lumineuse en MS0 : amplitude de la vibration : pulsation de la vibration lumi-neuseS: phase de la vibration lasource : longueur donde[SM] : chemin optique de S Mc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 110110 [2] PhysiqueVibration complexes(M) =S0ei(ts)e2i[SM]s(M): vibrationlumineusecom-plexe en MS0 : amplitude de la vibration : pulsation de la vibration lumi-neuseS: phase de la vibration lasource : longueur donde[SM] : chemin optique de S MPlan dondeOn appelle plan donde un plan o tous les points sont dans le mmetat vibratoire.Thorme de MalusLes rayons lumineux sont perpendiculaires en tout point aux surfacesdondes.clairementE(M) =s2(M)E(M) =12s(M)s(M)E(M) : clairement au point M=c0: uneconstantepositive(E est en fait le vecteur de Poyting,voir cours dlectromagntisme)s(M) : vibration lumineuse en Ms(M): vibrationlumineusecom-plexe en MInterfrencesE(M) = 2E0(1 + cos (M))E(M) : clairementE0 : clairement de la source(M) : dphasage en MLcranest brillant si = 2k,k ZLcran est noir si : = (2k + 1)2, k ZChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1115. Optique 111Ordre dinterfrencep =2=p : ordre dinterfrence : dphasage en M : diffrence de marche : longueur dondeLcran est brillant sip ZLcran est sombre sip Z+ 12ContrasteC =EmaxEminEmax + EminC : contrasteEmax : clairement maximumEmin : clairement minimumTrous dYoungMx ( )xaDS(x) =axD(diffrence de marche)E(x) = 2E0_1 + cos 2axD_i =Da(interfrange)c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 112112 [2] Physique5.4 Interfromtre de MichelsonSchmamiroir M2miroir M1 sparatrice SPsource SSchmas quivalents avec une source ponctuelleCoin dair : Lame dair :M2M1M1SPMxy ( , )S1S2SyxeM2M1M1SPSyxMxy ( , )aS1S2Source ponctuelle Source tendueDans la suite nous considrerons que linterfromtre est clair avecunesourcetendue: lesinterfrencessont localiseslinni (ob-servablesdansleplanfocal imagedunelentilleconvergente)alorsquelles sont dlocalises avec une source ponctuelle.Lame dair = 2e cos i : diffrence de marchei : angle dincidencee : paisseur entre les miroirseiChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1135. Optique 113Figure dinterfrencernrn=_fenPar symtrie, des anneaux.rn : rayon du neanneau : longueur dondee : paisseur entre les miroirsf : distance focale de la lentille uti-lise pour lobservation(valablesi lecentredelaguredinterfrence est brillant)Coin dair = 2x : diffrence de marche: angleentreles deuxmiroirs(quelques diximes de degrs)x : abscisse dupoint dumiroirconsidrxOaFigure dinterfrenceii =2Par symtrie, des franges.i : interfrange : longueur donde : angle entre les deux miroirs : grandissement de la lentille uti-lise pour lobservationc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 114114 [2] PhysiqueSource mettant un doubletE(e) = 4E0_1 +V(e) cos_4e0__V(e) = cos_220e_On observe des battements :EeLuminanceEntre les frquences et + d lasource met :dE =L() dL( ) nndnn2n1Source raie spectraleE(e) = 4E0_1 +V(e) cos_4e0__V(e) = sinc_220e_EeChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1155. Optique 1155.5 Autres dispositifs dinterfrencesLe FabryProtSeiLe FabryProt permet de raliser des interfrences entre une innitdondes, il est donc dune trs grande prcision.Expression de lclairement dun FabryProtE() =E01 +4r2(1 r2)2sin2_2_ =4e0cos iF =4r2(1 r2)2: nesseEF 2p 4pMiroirs de Fresnelmiroir M2miroir M1sourceSzonedinterfrencec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 116116 [2] PhysiqueExpression de lclairement des miroirs de FresnelE(x) =E02_1 +cos_2__ =2dd + D : angle entre les miroirsx : abscisse dun point de lcrand : distance entre la source et lar-rte des miroirsD : distance entre larrte des mi-roirs et lcran : longueur donde5.6 Diffraction des ondes lumineusesPrincipe dHuygensFresnelQuand une onde lumineuse traverse une ouverture () qui la limite ,pour dcrire londe diffracte au del de (), on suppose que chaquesurface lmentaire (d) autour du point courant P de () remet verslavant une ondelette sphrique : de mme frquence que londe incidente ; en phase en P avec londe incidente ; damplitude proportionnelle celle de londe incidente et (d).Cest la superposition de ces ondelettes qui dcrit londe diffracte.Conditions de FraunhoferOnobserveladiffractionlinni (cest--direunedistancetrsgrande devant les dimensions de lobjet diffractant ou, mieux, au foyerobjet dune lentille convergente).Montage de la diffraction linnisourcedansleplanfocalobjetde( )SL0Muu0lentille( ) L0lentille( ) Lobjetdiffractantcran( )dansleplanfocalimagede( )ELSPOChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1175. Optique 117Formulation pratique du principe dHuygensFresnels(M, t) = kS0ei(t2[SOM])__Pt(P)einOP OP OP(uuuuuu0)dk : constante de FraunhoherS0 : amplitude de la vibration lumineuset(P) : transparence de lobjet diffractantn : indice du milieu (suppos homogne) : longueur donde de la lumire utiliseDiffraction par une ouverture rectangulaireSMX,Y ( )fXYuab( ) L0( ) LSOE(X, Y) = k2S20a2b2sinc2_aXf_sinc2_bYf_k : constante de Fraunhofera : longueur de la fenteb : largeur de la fentef: distance focale de la lentille utilise pour lobservation : longueur donde de la lumire utiliseOn suppose ici que t(P)=1 en tout point de louverture et que cettemme ouverture est plonge dans un milieu dindice uniforme 1.tachecentrale1 zroer2zroec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 118118 [2] PhysiqueDiffraction par un motif circulaireLamajoritdelalumireest dans undisquederayonangulaire = 0, 61r(tache dAiry), o est le rayon angulaire du premier an-neau sombre.Critre de sparation de Rayleigh : deux taches lumineuses sont spa-res si leur centres sont distincts de plus du rayon de la tache dAiry.Diffraction par un objet opaqueOnobtientlammegurelcranquepouruneouverturedelamme forme, si ce nest que le centre est trs brillant.6. lectromagntisme6.1 lectrostatiqueSymtries du champ lectriqueLechampEEEest symtriqueparrapportauxplansdesymtriedeschargesetantisymtriqueparrapportauxplansdantisymtriedescharges.Champ et potentiel crs par une charge xeqMurE(M)V(M) =q40rEEE(M) =q40r2uuuEEE = gradVq : charge ponctuelle xe0 : permabilit du vider: distance entre le point Met lachargeEEE(M) : champ lectrique en MV(M) : potentiel lectrique en MChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1196. lectromagntisme 119Distribution discrte Distribution continueDistribution discrte : Distribution continue :EEE(M) =i140qir2iuuuiEEE(M) =___140r2uuu dqi : charge ponctuelle situe en ri0 : permittivit du vide : densit de charge0 : permittivit du videquation de PoissonV +0= 0quationvrieparlepotentiellectrique en rgime permanent.V : potentiel lectrique : densit de charge0 : permittivit du videThorme de Gauss___EEE(M)nnn dS =Qint0EEE(M) : champ lectrique au pointMnnn : normale en M la surfaceQint: charges intrieures la sur-face ferme0 : permittivit du videThorme de Gauss pour la gravitation___GGG(M)nnn dS = 4(MintGGG(M): champdegravitationaupoint Mnnn : normale en M la surfaceMint : masse intrieure la surfaceferme( : constante universelle de gravi-tationChamp lectrique crs par un plan inniEEE(M) = 20uuuz_+ si z > 0 si z < 0EEE(M) : champ lectrique cr en Mpar le plan : charge surfacique0 : permittivit du videuuuz : vecteur normal la surfacec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 120120 [2] PhysiqueCondensateur planEEE = 0 lextrieurEEE =0uuuz lintrieurEEE : champ lectrique : charge surfacique0 : permittivit du videOn dnit la capacit C ducondensateur :C =0SeS : surface des armaturese : distance entre les armaturesDiple lectrostatiqueppp = qNP NP NPV(M) =p cos 40r2=pppOM OM OM40OM3EEE = gradVq : charge positiveN: barycentredeschargesnga-tivesP: barycentredes charges posi-tivesppp : moment dipolaireV(M) : potentiel lectrique du di-pleEEE : champ lectriqueqN O PurE(M)lignesdechampquipotentiellesnergie potentielle Moment subi dans un champ extrieurEp= pppEEEext(M)/ = ppp EEEext(M)Ep : nergie potentielle/: moment rsultant des forceslectriquesppp : moment dipolaireEEEext: champlectriqueauquel estsoumis le dipleChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1216. lectromagntisme 1216.2 MagntostatiqueSymtries du champ magntiqueLe champs BBB est symtrique par rapport aux plans dantisymtrie descourants et symtrique par rapport aux plans dantisymtrie des cou-rants.Loi de Biot et SavartdB dB dB(M) =0dC dC dC(P)4r2uuuPMdCMPuPMrdC dC dC =___I dl pour un circuit liformeqvvv pour une charge ponctuellejjj d pour un courant volumiquejjjS dS pour un courant surfaciquedB dB dB: champmagntiquecrparllment de courant dC dC dCdC dC dC : lment de courant0 : permabilit du vider : distancedupoint courant aupoint Mq : charge ponctuellejjjS : vecteur courant surfaciquejjj : vecteur courantThorme dAmpre_BBB(M)dl dl dl =0IenlaceBBB(M) : champ magntique0 : permabilit du videIenlace: intensit enlace par lacourbe ferme dAmpredl dl dl : choisi en accord avec lorienta-tion de lintensitChamp magntique cr par une spire circulaireBBB(M) =0I2Rsin3eeezzPRMB(M)Iac

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 122122 [2] PhysiqueChamp magntique lintrieur un solnode inniBBB =0nIeeezBBB =0jSeeezBBB: champlintrieur dusol-noden : nombre de spires par unit delongueurI : intensit du courantjS : courant surfaciqueeeez: vecteur directeur sur laxe dusolnodeorientpar lesens ducourant0 : permabilit du videMoment magntique dune spiremmm =ISnnnmmm: moment magntique de laspireS : surface de la spireI : intensit parcourant la spirennn : normale la spire dirige par lesens du courantnergie potentielle Moment magntiqueEp= mmm BBB/ = mmmBBBEp: nergie potentielle magn-tiquemmm : moment de force exerc sur laspireBBB : champ magntique auquel estsoumis la spiremmm: moment magntique de laspireForce de Laplacedf df df = dC dC dC BBBdf df df : force lmentairedC dC dC : lment de courantBBB : champ magntiqueChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1236. lectromagntisme 1236.3 quations de Maxwell dans le videVecteur courantjjj = npqvvv =vvvjjjS= vvvjjj : vecteur courantjjjS : vecteur de courant surfaciquevvv : vitesse des porteurs de chargenp : densit particulaire de porteursq : charge dun porteur : densit volumique de charge : densit surfacique de chargequation de conservation de la chargediv j + t= 0jjj : vecteur courant : charge volumiquequations de Maxwelldiv E =0rot E = BBBtdiv B = 000rot B =0jjj +00EEEtCes quations portent les noms res-pectifs de : MaxwellGauss MaxwellFaraday sans nom MaxwellAmpreLeterme0EEEtest appelcourantde dplacement.EEE, BBB: champslectriqueetmagn-tiquejjj : vecteur densit de courant : charge volumique0, 0: permittivit et permabilitdu videSuperpositionLes quations de Maxwell sont linaires : toute combinaison linairede solutions est encore une solution.Puissance des forces lectromagntiquesdP = jjjEEE ddP : puissance lmentaire par unitde volume djjj : vecteur courantEEE : champ lectriquec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 124124 [2] PhysiqueDensit dnergie lectromagntiqueWem=0E22+B220Wem : nergie lectromagntiqueE : champ lectriqueB : champ magntique0 : permittivit du vide0 : permabilit du videVecteur de Poynting =EEE BBB0 : vecteur de PoyntingEEE : champ lectriqueBBB : champ magntique0 : permabilit du videThorme de Poynting : forme locale t_0E22+B220_ = jjjEEE + div_EEE BBB0_La perte dnergie lectromagntique est due leffet Joule et au rayon-nement du vecteur de Poynting.Potentiel vecteurBBB = rot AAAA(M) =04_circuitidl dl dlrAAA : potentiel vecteurBBB : champ magntiquei : intensit dans le circuit liformer : distance du point Mau point cou-rant du circuit0 : permabilit du videExpression gnrale du champ lectriqueEEE = gradV AAAtEEE : champ lectriqueV : potentiel lectriqueAAA : potentiel vecteurJauge de Lorentzdiv A+00Vt= 0AAA : potentiel vecteurV : potentiel lectrique0 : permittivit du vide0 : permabilit du videCette jauge permet de xer le poten-tiel VChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1256. lectromagntisme 125Relations de passageE2t=E1tEEE2nEEE1n=0nnn12BBB2tBBB1t=0jjjSnnn12B2n=B1nEEEin: composante normale duchamp EEEiBBBit: composante tangentielle duchamp BBBi : charge surfaciquejjjS : vecteur densit de courant surfa-ciquennn12 : normale la surface0 : permittivit du vide0 : permabilit du vide6.4 Conduction mtalliqueLoi dOhm localejjj =EEEjjj : vecteur courantEEE : champ lectrique : conductivitLoi dOhm globale_BAEEEdl dl dl =RAB IEEE : champ lectriqueI : intensit circulant dans le circuitR=S: rsistance dun circuit delongueur et de section SProprits locales des champs dans les mtaux1. = 0 : les charges sont surfaciques2. f 1017Hz =____0EEEt____ |jjjconduction|3. En haute frquence, les courants sont surfaciques (sur une paisseurdite paisseur de peau : =20).c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 126126 [2] Physique6.5 Induction dans un circuit xe avec BBB variableForce lectromotriceeAB=_BA_AAAt dl dl dl_eAB : forc lectromotriceAAA : potentiel vecteurDiffrence de potentielV(B) V(A) = eABRABieAB : force lectromotriceV(B) V(A) : diffrencedepo-tentiel entre les points A et BRAB : rsistance du circuit ABi : intensitducourant circulantdans le circuitFlux de BBB travers le circuit =__circuitBBBnnn dS : ux de BBB travers le circuitBBB : champ magntiquennn : normale nnn au circuit compatibleavec le sens du courantLoi de Faradayecircuit= t : le ux de BBB travers le circuitecircuit: la force lectromotrice ducircuitLoi de LenzLesconsquencesdesphnomnesdinductionsopposent toujoursaux causes qui leur ont donn naissance. En terme de ux, cela signieque si le ux du champ magntique varie, linduction va produire unchamp magntique qui tendra compenser cette variation de ux.Auto inductance dun circuit =Li : ux de BBB travers le circuitL: coefcient dautoinductancedu circuiti : intensit dans le circuitChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1276. lectromagntisme 127Mutuelle inductance dun circuit12=Mi121=Mi2ij : ux du champ BBB, induit parle circuit i, travers le circuitjik : courant dans le circuit kM : coefcient de mutuelle induc-tanceFlux total1=Li1 + Mi21 : ux de BBB travers le circuit 1L : coefcient dauto inductanceM : coefcient de mutuelle induc-tanceik : intensit dans le circuit knergie magntiqueWem=Li212+ Mi1i2Wem: nergielectromagntiquestocke dans le circuitL : coefcient dauto inductanceM : coefcient de mutuelle induc-tanceik : intensit dans le circuit kProprits du transformateur idal1.u2(t)u1(t)=N2N12. Si le secondaire est en court-circuit alorsi2i1 =N1N23. Le rapport de puissance du primaire au secondaire est de 100 %4. On a Rvue du primaire=_N1N2_2Rchargec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 128128 [2] Physique6.6 Induction dans un circuit mobile soumis BBB stationnaireChangement de rfrentielBBB= BBBEEE= EEE..gradV+vvv BBBjjjsol= jjjcondBBB : champ magntique dans le rf-rentiel du conducteurBBB : champ magntique dans le rf-rentiel du solEEE: champlectriquedanslerf-rentiel du conducteurEEE : champ lectrique dans le rfren-tiel du solvvv: vitesseduconducteurparrap-port au soljjjsol : vecteur densit de courant dansle rfrentiel li au soljjjcond: vecteur densitdecourantdans le rfrentiel du conducteurChamp lectromoteurEEEm= vvv BBBEEEm : champ lectromoteurvvv : vitesse du conducteurBBB : champ magntiqueForce lectromotriceeAB=_BA(vvv BBB)dl dl dlV(B) V(A) = eABRABieAB : force lectromotrice du circuitRAB : rsistance du circuiti : intensit du circuitvvv : vitesse du conducteurBBB : champ magntiqueV(M) : potentiel au point MLoi de Faradaye = ddte : force lectromotrice : ux de BBB travers le circuitChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1296. lectromagntisme 1296.7 Matriaux magntiquesAimantationdmmm = MMMdMMM : aimantationmmm : moment magntiqueCourants daimantationjjjaimantation= rot MjjjS aimantation= MMMnnnjjjaimantation: vecteur courant dai-mantationjjjS aimantation : vecteur courant surfa-cique daimantationMMM : aimantationnnn : normale la surfaceExcitation magntiqueHHH =BBB0MMMBBB =0 (HHH +MMM)HHH : excitation magntiqueBBB : champ magntiqueMMM : aimantation0 : permabilit du videquation de Maxwell Ampre en ARQSrot H = jjjconductionHHH : excitation magntiquejjjconduction: vecteur courant deconductionAimantation des matriaux linairesMMM =mHHHMMM : aimantationHHH : excitation magntiquem : susceptibilit magntiqueDiffrentes catgories de matriaux magntiques diamagntiques : m 105< 0 paramagntiques : m 104> 0 ceux pour lesquels m 1 qui ne sont pas linairesc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 130130 [2] PhysiqueChamp magntique dans les matriaux linairesBBB =0rHHHr= 1 +mBBB : champ magntiqueHHH : excitation magntique0 : permabilit du vider : permabilit relativem : susceptibilit magntiqueDiamagntiquesm= n0Ze26me

m : susceptibilit magntique0 : permabilit du viden : densit particulaireZ : charge du noyaue : charge lmentaireme : masse de llectron : distance moyenne de llec-tron au noyauParamagntiquesm=n0m23kTm : susceptibilit magntiquen : densit particulaire0 : permittivit du videm : moment magntiquek : constante de BoltzmannT : tempratureAimantation : cycle dhystresisM : aimantationH : excitation magntiqueMr : aimantation rmanenteHc : champ coercitifDispositif de mesure de HHH et de BBBR RCet () u2u1~Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1317. Ondes 131H(t) =N1Ru1(t)B(t) =RCN2Su2(t)H: valeur delexcitationmagn-tiqueB : valeur du champ magntiqueN1 : nombre de spires du primaireN2 : nombre de spires du secondaire : longueur du toreS : section du tore7. Ondes7.1 Oscillateurs couplsCouplage par un ressortK km mx1x2Km x1= k(x1x2) Kx1(1)m x2= k(x2x1) Kx2(2)RsolutionDans ces cas simples, on combine linairement les quations (1) et (2).s = (1) + (2)d = (1) (2) s +2ss = 0d +2dd = 0Modes propress=_Kmd=_2k +KmLe systme doscillateurs coupls vibre uniquement s si d = 0, cest--dire si les oscillateurs sont lancs en phase.Le systme doscillateurs coupls vibre uniquement d si s = 0, cest--dire si les oscillateurs sont lancs en opposition de phase.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 132132 [2] PhysiqueBattementsSi le couplage est fort et que lon carte un seul oscillateur de lqui-libre, on observe un phnomne de battements :xtRsonanceSi on force loscillateur osciller, on observera aux pulsations s et ddes rsonances :xw wswd7.2 quation de dAlembert - Ondes stationnairesquation de dAlembertF =1c22Ft2F(rrr, t) : une grandeur physique quivrie lquation de dAlembertc : vitesse de propagation de londe : laplacienSolutions de lquation de dAlembert une dimensionF(x, t) =f_t xc_+ g_t +xc_f : partie onde progressive de la so-lutiong : partie onde rgressive de la solu-tionChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1337. Ondes 133Onde stationnaireF(rrr, t) =f (r)g(t)Dans le cas dune onde stationnaire,il y a dcouplage entre le temps et lereprage spatial.Onde plane progressive harmonique (OPPH)F =F0 cos (t kkkOM OM OM)F =F0ei(tkkkOM OM OM)kkk =c uuuCes notations sont intrinsques lOPPH.F : la grandeur physique qui dcritlondekkk : vecteur donde donnant la direc-tion de propagationOM OM OM : vecteur positionuuu: vecteurunitaireselonladirec-tion de propagation : pulsation de londec : vitesse de propagation de londeOnde plane progressive harmonique : notation complexet= i = ikLorsquon utilise la notationcomplexe, les oprateurs usuelsprennent des formes trs simples.Onde sur une le datomes Onde sur une corde2nx2=1c22nt2c =_ka2m2yx2=1c22yt2c =T0ln : le dplacement du neatomek : constante de raideur des res-sortsa : distance au repos entre deuxatomesm : masse dun atomey : ordonne du pointT0 : tension au repos de la cordel : masse linique de la cordec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 134134 [2] Physique7.3 Ondes lectromagntiques dans le videquations de propagation des champsEEE =1c22EEEt2BBB =1c22BBBt2c =100EEE : champ lectriqueBBB : champ magntique0 : permabilit du vide0 : permittivit du videVecteur donde dune OPPHkkk = kuuuk =c=2kkk : vecteur dondeuuu : vecteur unitaire directeur : pulsation de londe : longueur donde de londec : vitesse de propagation delondeChamps transversesdiv E = 0 = ikkkEEEdiv B = 0 = ikkkBBBkkk : vecteur dondeEEE : champ lectriqueBBB : champ magntiqueEEE et BBB sont orthogonaux la di-rection de propagation.Relation de dispersion Relation de structurek =cBBB =kkkEEEReprsentation du champ lectromagntique dans le videzEBxyChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1357. Ondes 135Polarisation elliptique :EEE(z = 0, t) =_E0x cos tE0y cos(t +)_xyEOyEoxEgauchedroite circulaire :EEE(z = 0, t) =_E0 cos tE0 sin t_ rectiligne :EEE(z = 0, t) =_E0x cos tE0y cos t_xEOyEoxEyLames retardUnelame1/4dondedphasede/2. une onde polarise rectilignementressort de ce type de lame polariseelliptiquement. une onde polarise elliptiquementressort de ce type de lame polariserectilignement.Une lame 1/2 donde dphase de. une onde polarise ellipti-quement droite ressort elliptiquegauche de ce type de lame.uneondepolariserectiligne-ment ressort symtrique par rap-port son axe lent de ce type delame.c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 136136 [2] PhysiqueVecteur de Poynting = EEE BBB0=E20cuuu =B2cuuu = EEE BBB0 : vecteur de PoyntingEEE : champ lectriqueBBB : champ magntique0 : permabilit du videRayonnement dipolaireMuqurpujqjxzyrOBBB =0 sin 4rc p_t rc_uuuEEE =0 sin 4r p_t rc_uuuBBB : champ magntiqueEEE : champ lectriquep : moment dipolaire0 : permabilit du videc: vitessedelalumiredanslevidePuissance rayonne en rgime sinusodal=0p20412cp =p0 cos(0t +): puissance moyennerayonnep : moment dipolairec: vitessedelalumiredanslevide0 : permabilit du videChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1377. Ondes 1377.4 Dispersion AbsorptionRelation de dispersionk() = k() + ik()k() : vecteur dondek() : partie relle du vecteurdondek() : partie imaginaire du vecteurdonde : pulsation de londeVitesse de phase Vitesse de groupev=kvg=kv : vitesse de phasevg : vitesse de groupe : pulsation de londek : partie relle du vecteur dondev est la vitesse de propagation delamplitudeetvgestengnrallavitessedepropagationdelner-gie.Absorption =1[k[ : profondeur caractristique delabsorptionk: partie imaginaire duvecteurdondeReprsentation du champ lectromagntique dans les mtauxzEBxyc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 138138 [2] Physique7.5 Ondes lectromagntiques dans les milieux matrielsPolarisationPPP =dpppdp= div Pjjjp=PPPtppp : moment dipolairePPP : polarisationp : charges dues la polarisationjjjp : vecteur courant de polarisationAimantationMMM =dmmmdjjja= rot Mmmm : moment magntiqueMMM : aimantationjjja : vecteur courant daimantationVecteurs HHH et DDDHHH =BBB0MMMDDD =0EEE +PPPHHH : vecteur excitation magntiqueBBB : champ magntiqueDDD : vecteur DEEE : champ lectriqueMMM : aimantationPPP : polarisation0 : permabilit du vide0 : permittivit du videChapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1397. Ondes 139Milieux linairesPPP =eEEEDDD =r0EEEr= 1 +eMMM =mHHHBBB =r0HHHr= 1 +mHHH : vecteur excitation magntiqueBBB : champ magntiqueDDD : vecteur DMMM : aimantationPPP : polarisationEEE : champ lectrique0 : permabilit du vider : permabilit relative0 : permittivit du vider : permittivit relativee: susceptibilit lectrique du mi-lieum: susceptibilitmagntiquedumilieuquations de Maxwell dans les milieuxdiv D =librerot E = BBBtdiv B = 0rot H = jjj + DDDtDDD : vecteur DEEE : champ lectriqueBBB : champ magntiquejjj : vecteur courant vrailibre : densit de charges libresRelation de dispersion Indicek2=r2c2n = rv=cnk : vecteur donder : permittivit relative : pulsation de londec : vitesse de la lumire dans le viden : indice du milieu(En utilisant ici, comme dans les cascourants, lapproximation : r 1)c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 2 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 140140 [2] PhysiqueRexion Transmissionr =n1n2n1 +n2t =2n1n1 +n2R = r2=_n1n2n1 +n2_2T = t2=_2n1n1 +n2_2R + T = 1r : coefcient de rexion en ampli-tudet : coefcient de transmission en am-plitudeR: coefcientderexionnerg-tiqueT : coefcient de transmission ner-gtiquen1 : indice du milieu de londe inci-denten2: indice du milieu de londetransmiseR + T =1traduitlaconservationnergtiqueUn changement de milieu donne naissance : une onde progressive (onde transmise) une onde rgressive (onde rchie)Relation de continuit sur la sparation de deux dilectriquesB2B2B2= B1B1B1EEE2 t= EEE1 tr 2EEE2 n=r 1EEE1 n(loi de SnellDescartes)Onindicepar1lesgrandeursdumilieu de londe incidente et par 2lesgrandeursdumilieudelondetransmise.Le champmagntique, comme lacomposante tangentielle du champlectrique, est continue la surfacedun dilectrique.Le comportement de la composantenormale duchamplectrique estdcrite par la loi de SnellDescartes.Chapitre 3 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 141Chapitre 3Chimie1. Atomistique1.1 SpectroscopieSpectroscopieLors dune transition lectronique,une particule met unrayonne-ment dcrit par :E = hRelation de De Broglie : =hmvh : constante de Planck : frquence du rayonnementmis par la particule: longueurdondedurayonne-ment mis par la particulem : masse de la particulev : vitesse de la particulec

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 3 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 142142 [3] ChimieLa relation de Ritz tablit que : =RH c_1n2 1m2_(n, m) N2 : frquence de rayonnementRH : constante de Rydbergn : nombre quantique principal duniveau nergtique nal de la par-ticulem: nombre quantique principaldu niveau nergtique initial de laparticulec : vitesse de propagation de la lu-mire dans le viden=1correspondlasriedeLyman (ultraviolet) n = 2 corres-pond la srie de Balmer (visible)n=3correspondlasriedePaschen (infrarouge)E (eV)0-13,6-3,39LymanBalmerPaschen-1,51-0,85n = n =4n =3n =2n =11.2 Modle ondulatoirePrincipe dincertitude de Heisenbergxpx

h2x : incertitude sur la positionpx : incertitude sur la quantit demouvement selon laxe des xm : masse de latomeEn mcanique quantique, on ne peut pas connatre prcisment lafois la position et la vitesse.quation de Schrdinger en rgime stationnaireH =E ___espace2d = 1(rrr) : fonction donderrr : vecteur positionE : nergie totale de llectronH: oprateurhamiltonienappli-qu [2[ d reprsente la probabilitde prsence de llectron dansunvolumedautourdunpointM(rrr).Chapitre 3 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1431. Atomistique 143nergie de latome dhydrogneEn= 13, 6n2Lnergie de latome dhydrogneest quantie (n nombre quan-tique principal).En= 13, 6Z2n2Dcrit lnergie de latome hydro-gnode(qui necomportequunseul lectron).Nombres quantiquesPrincipal : n NDcrit le niveaunergtique delatome :En= 13, 6Z2n2Secondaire : 0ln 1l NQuantielemoduledumomentcintique LLL de latome :[[ =_l(l + 1) h( h = h/2, hconstante de Planck)Magntique : lmlm ZQuantie la projection du momentcintique : LOz= m hSpin ms= 121.3 Atome polylectroniqueCharge nuclaire effectiveZi=Z iZi: charge nuclaire effectiveZ : numro atomique : constante dcran de Slaterc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 3 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 144144 [3] ChimiePosition de llectronis etpidmme couche 0 0,35couche > n 0 0couche n 1 0,85 1couches < n 1 1 1nergieEi= 13, 6Z2in2Zi:charge nuclaire effectiveEi : nergie de llectronn : nombre quantique principalE =iEinergie totale de la molculeDiagramme nergtiqueEKLMN1s2s2p3s3p3d4s4pniveauxnergtiques}}}Chapitre 3 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1451. Atomistique 145Rgles de remplissage des niveaux lectroniquesPrincipedestabilit:onremplitlesorbitalesatomiquesparordrednergie croissante (rgle de Kle-chkowsky).Principe de Pauli : sur une mmeorbitaleatomique, lesdeuxlec-trons sont de spin opposs.PrincipedeHund: lorsqueplu-sieurs orbitales atomiques sontdemmeniveaunergtique, leslectrons occupent le maximumdorbitales atomiques.Rgle de Klechkowsky :1 s2 s p3 s p d4 s p d fnergie dionisationCest lnergie de la raction dar-rachement dun lectron dunemolcule sous forme gazeuse.X(g) = X+(g) +eAfnit lectroniqueCest lnergie libre par la rac-tiondecapturedunlectronparune molcule sous forme gazeuse.X(g) +e= X(g)1.4 Architecture molculaireRgle de loctetLes lments de la deuxime priode du tableau priodique peuventsentourer au maximum de huit lectrons.Charge formellen = ninen : charge formelle de latomeni : nombre dlectrons de valence dans latome isolne : nombre dlectrons de valence dans latome liMsomrieCest lensemble des formules msomres qui modlise la ralit.O S O O S O O S O+ + c

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 3 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 146146 [3] ChimieNiveau de reprsentativit des formules msomresLesformulesmsomresqui vrient largledeloctet, qui sontneutres ou dont la charge ngative est porte par latome le plus lec-trongatif sont plus reprsentatives que les autres.VSEPROn compte les doublets dun atome A : AXpEq o :p : nombre datomes directement lis A (X)q : nombre de doublets libres ports par A (E)Ces n=p + q doublets tendent sloigner au maximum les uns desautres. (Thorie de Gillepsie)n = 2 : molcule linaire n = 3 : molcule trigonalen = 4 : molcule ttradrique n = 5 : molcule bipyramidale base triangulaireChapitre 3 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1471. Atomistique 147n = 6 : molcule octadrique1.5 Orbitales molculairesCombinaison linaire des orbitales atomiquesLacombinaisonlinairededeuxorbitales atomiques de mmenergie donne naissance deuxorbitales molculaires : luneliante et lautre antilianteIndice de liaisoni =n n2n : nombre dlectrons de lorbitalemolculaire lianten: nombre dlectrons de lorbi-tale molculaire antilianteDiagramme des orbitales molculairesDiagramme molculaire des mol-cules A2de la deuxime ligne dutableau priodique partir de O2inclus. Pourlesautresmolcules,x et y sont plus stables que p2pOMantilianteOA2OA1OMliantepz*pzpx*pxpy*pyc

Dunod.Laphotocopienonautoriseestundlit.Chapitre 3 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 148148 [3] Chimie2. CintiqueAvancement de la ractiond =dnii : avancement de la ractioni : nombre stchiomtrique alg-brique (i>0 pour un produit eti< 0 pour un ractif)ni : quantit de matire changeQuantit de matire en cours de ractionni= ni0 +ini : quantit de matire la date tni0 : quantit de matire initialei:nombrestchimtriquealg-brique : avancementVitesse de ractionr =1idcidt=1Vddtr : vitesse de la ractioni : nombre stchiomtrique alg-briqueci : concentration : avancementV : volume du racteurOrdre dune raction1A1 +2A2 1A1 +2A2v = k[A1]p1[A2]p2k : constante de vitesse de la rac-tion[Ai] : concentration de lespce Aipi : ordre partiel en Aiipi=p : ordre global de la rac-tionChapitre 3 mformulaire.tex 27/7/2008 22:51Page 1492. Cintique 149Dgnrescence de lordreSi [A2]0 [A1]0alors v =k[A1]p1k=k[A2]p20: constante de vitesseapparente de la ractionp1 : ordre apparent de la ractionLoi de Vant HoffLorsque la raction est un processus lmentaire, les ordres partiels seconfondent avec les coefcients stchiomtriques et lordre total lamolcularitLoi dArrhniusdln kdT=EaRT2k : constante de vitesseEa : nergie dactivati