Top Banner

of 95

Latihan UTS

Oct 18, 2015

Download

Documents

Untuk Latihan UTS 2014
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
  • 5/28/2018 Latihan UTS

    1/95

    DIKTAT MATA KULIAH DASAR TEKNIK

    2010 - 2011

    Kalkulus - Aljabar Linier- Fisika Mekanika -

    Fisika Panas - Fisika Listrik Magnet - Fisika

    Gelombang Optik

    Piptek BEM FTUI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    2/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    KATA PENGANTAR

    Puji syukur kehadirat Allah SWT, berkat izin dan ridha-Nya diktat kuliah ini dapat

    dipersembahkan kepada rekan-rekan teknik satu perjuangan dan satu cita, menggapai

    kesuksesan akademik di bumi Fakultas Teknik Universitas Indonesia.

    Diktat Mata Kuliah Dasar Teknik 2010-2011 ini berhasil disusun atas kerja sama dan

    partisipasi segenap pihak. Untuk itu, diucapkan terima kasih kepada :

    - Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Sipil, TrianandaPangestu (S 08) dkk

    - Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Mesin, GuniRydhanta Nim (M 08) dkk

    - Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Elektro, KurniawanWidhi Permana (E 08) dkk

    - Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Metalurgi danMaterial, M. Ekaditya Albar (Mt 08) dkk

    - Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Arsitektur, Imaniar Sofia(A 08) dkk

    - Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Kimia, IlliyinBudianta (TK 08) dkk

    - Rekan Bidang Pendidikan Ikatan Mahasiswa Departemen Teknik Industri, StefanDarmansyah (TI 08) dkk

    - Pihak dekanat FTUIRekan Piptek BEM FTUI 2010 : Maisarah Rizky (S08),Novika Ginanto (E08), Arif

    Noor S (E08), Mirna Fauziah (S08), Winny Laura Hutagalung (L08), Terry

    Atmajaya (Mt08), Nur Muchamad Arifin (TK08), Nofaini (E09), Atikah Mutia

    (L08),

    - dan seluruh pihak yang telah menyukseskan pengadaan diktat ini.

    Dari kami, Tri Cahyo Wibowo M07 selaku Kepala Bidang PIPTEK BEM FTUI 2010 dan

    Mohammad Gavin Rhenaldi R E08 selaku wakabid, mengharapkan diktat ini dapat

    membantu kelancaran rekan-rekan semua dalam menimba ilmu di Fakultas Teknik

    Universitas Indonesia.

    Hidup Mahasiswa!!

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    3/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    4/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    5/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    6/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    7/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    8/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    9/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    10/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    11/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    12/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    13/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    14/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    15/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    16/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    17/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN AKHIR SEMESTER

    Mata Kuliah : Kalkulus

    Hari / Tanggal : Rabu, 19 Desember 2007

    Waktu : 10.0011.50 WIB

    Jurusan : Teknik Kimia

    Soal

    1. Tentukan2. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh , , dan . Hitunglah luasnya!3. a) Hitunglah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah pada soal 1 diputar terhadap

    sumbu x!

    b) Berikan perumusan bentuk integral untuk menentukan volume benda putar yang terbentuk

    apabila daerah tersebut diputar terhadap garis x = 2!

    4. Tentukanlah nilai limit berikut ini:a)b)

    5. a) Fungsi bernilai 0 di (0,0). Apakah fungsi tersebut kontinu di (0,0)?

    b) Jika kontinu di seluruh bidang, tentukan fungsi !

    c) Tentukan nilai6. Misalkan , , , , tentukanlah

    !

    7.

    Harga bahan untuk pembuatan alas dari kotak persegi panjang adalah 3 kali lipat harga bahanuntuk pembuatan sisi kotak; untuk per m2. Harga bahan untuk atap sama dengan harga bahan

    untuk sisi, per m2. Tentukanlah volume maksimum kotak yang terbentuk jika harga bahan untuk

    alas adalah $0.6 per m2, dan total biaya yang tersedia adalah $12!

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    18/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    Jawaban

    5. c) Misal

    Karena hasilnya adalah , maka dapat digunakan dalil lHopital menjadi:

    6.

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    19/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN TENGAH SEMESTER

    Mata Kuliah : Kalkulus

    Hari / Tanggal : Kamis, 25 Oktober 2007

    Waktu : 90 Menit

    Jurusan : Arsitektur, Mesin dan Perkapalan

    Soal

    1. Diperlukan sebuah kotak terbuka dengan kapasitas 36000 m3. Jika panjang kotak harus dua kalilebarnya, berapa ukuran kotak agar bahan yang diperlukan untuk membuatnya sesedikit mungkin?

    2. Tentukan nilai a dan b supaya fungsi di bawah ini kontinu

    3. Carilah hasil dari integral di bawah ini:a.b.

    4. Pada selang [0,6], sketsakan grafik suatu fungsi f yang memenuhi kondisi berikut:f(0) = f(4) = 1; f(2) = 2; f(6) = 0;

    f(x) > 0 pada (0,2); f(x) < 0 pada (2,4) (4,6);

    f(2) = f(4) = 0; f(x) > 0 pada (0,1) (3,4);

    f(x) < 0 pada (1,3) (4,6).

    a. Tentukan titik maksimum dan minimum global dari fb. Selidiki apakah f mempunyai titik belok

    5. Carilah dari soal berikut:a.b.

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    20/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    21/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN AKHIR SEMESTER

    Mata Kuliah : Aljabar Linier

    Hari / Tanggal : Rabu, 31 Mei 2006

    Waktu : 120 menit (Ujian : pilih 5 soal)

    SOAL :

    1. S = {(2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2), (-1, -1, 2, 0)}Jika V adalah ruang vector yang direntang oleh S, maka carilah dimensi basis untuk V

    2. Misalkan {v1, v2, v3) adalah basis untuk ruang vector V. Tunjukkan bahwa {u1, u2, u3} jugamerupakan basis untuk V dimana u1= v1, u2 = v1 + v2, dan u3= v1+v2+v3

    3. Diketahui M22adalah ruang vector. Apakah M22dengan fungsi = Tr (BTA) umtuksetiap pasang matriks A dan B merupakan ruang hasil kali dalam?

    4. B = {(2, 3), (-1, 2)}C = {(-1, -1), (2, 0)}

    Jika [u]B= (3, 3)

    a. Carilah [u]Cb. Carilah matriks transisi dari B ke C

    5. A =

    a. Cari nilai eigen untuk A.b. Apakah A dapat ddiagonalisasi? Jika bias, carilah matriks P yang mendiagonalisasi

    A.

    c. Apakah A dapat didiagonalisasi secara orthogonal? Jika bias, carilah matriks Q yangmendiagonalisasi A secara orthogonal.

    6. Diketahui vector eigen untuk masing-masing adalah sebagai berikut := 0 ; = 2 ; = 4

    Tentukan A2 !

    I

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    22/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    7. Misalkan T : M22 M22adalah suatu transformasi yang didefinisikan sebagaiT (A) = A + AT, dimana A =

    a. Tunjukkan bahwa T adalah transformasi linier.b. Misalkan B adalah sembarang anggota dari M22sedemikian sehingga BT= B. carilah

    matriks A di M22sedemikian sehingga T (A) = B

    c. Tunjukkan bahwa range dari T adalah himpunan B di M22yang memiliki sifatBT= B

    d. Tentukan kernel dari T

    8. Misalkan T : P2 P3adalah suatu transformasi linier yang didefinisikan sebagaiT(p(x)) = x p (x3), dimana p(x) = c0+ c1x + c2x

    2.

    B = {1, x, x} adalah basis untuk P2, = {1, x, x2, x3} adalah basis untuk P3

    a. Tentukan [T]B Bb. Jika q(x) = 2 + xx2, maka carilah [T(q(x))]B

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    23/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    JAWABAN :

    1. S = {(2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2), (-1, -1, 2, 0)}

    Karena vektor-vektor yang ada di Sdisusun kolom, maka basis untuk Vadalah baris kolom.

    Baris V = (2, -1, 0, 1), (1, 2, 1, 1), (1, -1, 5, 2)

    Dimensi : 3

    2. S = { 1, 2, 3} baris untuk ruang V

    T = { 1, 2, 3} juga merupakan baris untuk V dimana u1= v1, u2 = v1 + v2, dan u3= v1+v2+v3

    S = { 1, 2, 3} basis untuk ruang V, maka :

    i. S bebas linierii. S merentang V

    Jika kita mengacu pada S dengan jumlah 3 vector, maka bias diasumsikan . dan 3vektor

    pada R3, dimana determinan matriksnya 0

    Maka,k1 1 + k2 2 + k3 3 = .. (i)

    k1k2k3 = 0

    misal :

    1 = (a, b, c)

    2 = (d, e, f)

    dimana salah satu vektornya bukan merupakan

    kombinasi vector lainnya

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    24/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    3 = (g, h, i)

    A= dimana 0 . (ii)

    aei + dhc + gbfcegfhaibd 0

    aei + dhc + gbf ceg + fha + ibd

    T = { 1, 2, 3} = { 1 , ( 1 +

    2 ), ( 1 +

    2 + 3 )}

    Kita harus buktikan { 1, 2, 3} bebas linier.l1 1+ l2 2+ l3 3=

    l1 1 + l2 + l3( 1 + 2 + 3 )=

    (l1 + l2 + l3) 1(l2 + l3) 2+ l3 3=

    Dari pers (i) bisa terlihat :

    l1 + l2 + l3= 0 ; l2 + l3= 0 ; l3 = 0

    maka,l2= - l3= 0

    l1= - l2 - l3= 0

    Jadi terbuktil1 = l2 = l3 = 0

    Dengam demikian, syarat bebas linier terpenuhi

    S merentang Vk1 1 + k2 2 + k3 3 = b ; b = konstanta 0 .. (iii)

    ada nilai untuk k1, k2, dan k3

    tinjauan untuk{ 1, 2, 3}

    l1 1+ l2 2+ l3 3= c ; c = konstanta 0

    l1 1 + l2 + l3( 1 + 2 + 3 )= c

    (l1 + l2 + l3) 1(l2 + l3) 2+ l3 3= c

    Dari pers. (iii) dapat dinyatakan

    l1 + l2 + l3= memiliki nilai

    l2 + l3 = memiliki nilai

    l3= memiliki nilai

    Jadi, l1, l2 dan l3memiliki nilai yang dapat merentangkan ruang vector V (sembarang

    titik di ruang vector V)

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    25/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    3. M2x2suatu ruang vectorApakah = Tr (BTA) ruang hasil kali dalam?

    Jawab : Untuk menentukan masuk ruang hasil dalam / tidak harus terpenuhi syarat2 :

    i.( . ) = ( , )ii.( + , ) = ( ) + ( , )

    iii.(k , ) = k ( , )iv.( , ) 0

    Dimana ( , ) = 0 =

    Kita misalkan : A = ; B = ; AT= ; BT ;

    BT. A = =

    AT. B = =

    i. = Tr (BTA)= Tr = +

    = Tr (ATB)

    = +

    Ternyata = , syarat I terpenuhi

    ii. = +

    A + B = ; misal C = CT=

    CT. A = =

    CT. B = =

    = Tr (C

    T

    A) =

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    26/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    = Tr (CTB) = + +

    =

    = Tr (CT(A+B))

    CT(A+B) = =

    Tr (CT(A+B)) = +

    Jadi, = + , syarat II terpenuhi

    iii. k A == Tr (BT. k A)

    (BT. k A) = =

    = +

    = k (ae + cg + bf + dh)

    = k BT. A = k.

    Syarat III terpenuhi

    iv. 0= Tr (A

    T

    . A)AT. A = =

    = a2+ b2+ c2+ d2 0

    Syarat tambahan = 0 A = 0

    Dari = a2+ b2+ c2+ d2, akan = 0 jika A =

    Syarat IV terpenuhi

    Karena semua syarat terpenuhi, maka M2x2merupakan ruang hasil kali dalam.

    4. B = {(2, 3), (-1, 2)}C = {(-1, -1), (2, 0)}

    [u]B= (3, 3) = (k, l)

    a) Carilah [u]C= (m, n)[ ] = k + l

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    27/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    = 3 + 3

    [ ] =

    [u]C= (m, n)

    [u] = m + n

    m + n

    -m + 2n = 3 2n = 3+m

    -m = 15 n = = = -6

    m = -15

    [u]C= (m, n) = (-15, -6)

    Jadi, [u]C= (-15, -6)

    b) Martriks transisi dari B ke CB . [u]B = C [u]C

    =

    -1 =

    P = matriks transisi dari B ke C

    P =

    =

    =

    Jadi matriks transisi dari B ke C adalah P =

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    28/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    5. A =a. carilah nilai eigen untuk A

    (A - I) x = 0

    (A - I) = - =

    (1 - )2= (1 - 2 + 2- + 2 2- 3) = - 3+ 3 2- 3 +1

    = 0

    (1- )(1- )(1- ) + 0 + 0((1- ) + 0 + 0) = 0

    - 3+ 3 2- 3 +1 + 4- 4 = 0

    3- 3 2 +3 = 0

    Metode Horner

    1 1 -3 -1 3

    1 -2 -3

    -1 1 -2 -3 0

    -1 3

    3 1 -3 0

    3

    1 0

    ( - 1) ( + 1) ( - 3) = 0

    = 1; = -1; dan = 3

    Jadi nilai eigen A adalah = 1; = -1; dan = 3

    b. apakah A dapat didiagonalisasi

    i. = 1(A - I) x = 0 2 x1= 0 x1= 0

    = 0 2 x3 = 0 x3= 0

    x2= t (bebas sembarang)

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    29/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    x = = t

    P1 2 x1 = -2 x3 (x3= t)

    x1= -t

    ii. = -1(A - I) x = 0

    = 0 2 x2 = 0 x20

    x = = t

    P2

    iii. = 3(A - I) x = 0 -2 x1+2 x3= 0 x1= x3

    = 0 x3 = t x1=t

    -2x 2= 0 x2= 0

    x =

    = t

    P3

    P = matriks yang mendiagonalisasi

    P =

    P =

    Jadi, matriks A dapat didiagonalisasi dengan matriks yang mendiagonalkannya, yaitu P =

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    30/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    c. Apakah A dapat didiagonalisasi secara orthogonal?

    Syarat diagonalisasi secara orthogonal adalah :

    - A = n x n- Asimetris, AT= A

    Dapat kita lihat disini A = AT= , jadi A simetris, Anxn. Sehingga A dapat

    didiagonalisasi secara orthogonal.

    6. = 0 ; = 2 ; = 4

    Misal : A =

    A - I =

    (A - I) x = 0

    1= 0; = 0 a=0; d=0; g=0 ; b, c, e, f, h, i = sembarang

    2= 2; = 0 b=c ; c=f+2 ; h=i-2

    3= 4; = 0 b+c=0; 2c=0; c=0;b=0

    f= 1; e= 3; h=1; i=3

    A = ; A2= =

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    31/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    7. T: M22 M22T(A) = A + AT; A = ; AT =

    a. Tunjukkan bahwa T adalah transformasi linier.

    Untuk T sebagai transf.linier, harus memenuhi syarat :

    - T ( + ) = T ( ) + T (

    )

    - T (k ) = k T (

    )

    A = ; AT =

    B = ; BT =

    i. T(A) = A + AT= + =

    T(B) = B + BT = + =

    T(A) + T(B) = + =

    A + B = ; (A+B)T=

    T (A+B) = (A+B) + (A+B)T= + =

    Jadi, T(A) + T(B) = T (A+B) ; syarat I terpenuhi

    ii. k (A) = k =[k (A)]T=

    T (k A) = [k(A)] + [k(A)]T= + =

    T(A) = A + AT=

    k T(A) =

    Jadi, k T(A) = T (k A)

    Sehingga T adalah transformasi linier

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    32/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    b. Misal : R sembarang angora M22sedemikian sehingga BT= B

    B = BT= B

    T(A) = B

    A + AT=

    @ kondisi I : Jika A juga memiliki sifat AT= A, maka A + AT= 2AT= 2A

    2 A =

    A =

    @ kondisi II : Jika A tidak simetris

    T(A) = B A = T-1(B)

    = (B + BT)-1

    A = (2B)-1

    c. Tunjukkan bahwa range dari T adalah himpunan

    T(A) = B

    A + AT= B

    = B BT= ; B=BT

    Range/hasil dari T

    Jadi, terlihat bahwa range dari T adalah himpunan B di M22bersifat BT= B

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    33/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN AKHIR SEMESTER

    Mata Kuliah : Aljabar Linier

    Hari / Tanggal : Rabu, 6 Juni 2007

    Waktu : 110 menit (Ujian : Pilih 4 soal)

    SOAL :

    1. Diketahui

    a. Tentukan basis untuk ruang kolom Ab. Tentukan basis untuk ruang kolom ATc. Tentukan basis untuk ruang kosong AT

    2. V adalah ruang vektor yang direntang oleh ,, , dan

    a. Tentukan basis untuk Vb. Tentukan basis untuk

    3. Tentukan dekomposisi QR dari

    4. Diketahui

    a. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari Ab. Apakah A bisa didiagonalisasi secara ortogonal? Jika bisa, maka tentukan matriks yang

    mendiagonalisasi A secara orthogonal.

    5. Suatu transformasi T : P2 P2adalah transformasi linier, dimana

    , adalah basis dari P2

    a. Tentukan matriks transisi dari B ke Cb. Tentukan matriks trnsformasi [T]C nc. Jika , tentukan [T(u)]B

    II

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    34/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    6. Misalkan T : P1 R2, dimana T(p(x)) = (p(0),p(1)).a. Hitung T(1-2x)b. Apakah T merupakan transformasi linier? Jelaskan!c. Apakah T satu-satu? Jelaskan!

    JAWABAN :

    1.

    AT=

    a. baris ruang vector kolom A = baris ruang baris AT

    = (2, -3, 4, 1), (6, 3, 12, 1) dan (-1, 0, -2,0)

    b. baris ruang kolom AT= (2, 6, -1, 3), (-3, 3, 0, 6) dan (1, 1, 0, 2)

    c. baris ruang kosong

    =

    x3= t;x4= 0;

    x2= - x4= 0; = =

    x1-3x2+2x3+x4= 0;

    x1= -2x2=-2t

    Basisnya = (-2, 0, 1, 0)

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    35/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    2. V = ), (

    ), ), (

    )}

    Jika p(x) = a0+a1x+a2x2+.+ anx

    n

    P(x) = =

    Sehingga V = {(0, 6, 2, 1), (-1, 6, 0, 3), (-1, 6, 0, 3), (1, -4, 0, -2), (1, 2, 2, -1)}

    Basis untuk V ? kita susun secara baris

    V =

    a.basis V = basis dari ruang baris vector V yaitu : {(0, 6, 2, 1), (-1, 6, 0, 3), (1, -4, 0, -2)}ataudapat dituliskan secara kuadatik :

    6x + 2x2+ x3+, -1+ 6x + 3x3, 1 -4x -2x3

    b.Baris V = baris ruang kosong V

    =

    x1 +2 x2 + 2 x3 -x4= 0

    x2 + x3+ x4= 0 maka ; = = t

    x3 - x4= 0 basis = (0, - , 1, 1)

    x4 = x3 = t = - x + x2+ x3

    x2+ (t) + (t) = 0 x2= -1/2 t

    x1+2 (-1/2t) + 2 (t)t = 0

    x1=0

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    36/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    3. B =

    Q =

    Gram-Schmidt :q1= (1, 2, 3)

    q2= (1, 0, 2)Projq1(1, 0, 2)

    = (1, 0, 2) (1,2,3)

    = (1, 0, 2) - (1,2,3)

    = (1, 0, 2)( , 1, )

    = ( )

    q3 = (-2,1,0)Projq1(-2,1,0) + Projq2(-2,1,0)

    = (-2,1,0) - (1,2,3) +

    = (-2,1,0) - ( 0 + )

    = (-2,1,0) +

    = (-2,1,0) +

    =

    a1 = (1,2,3) = ( )

    a2= ( ) = ( , , )

    a3= =

    R = =

    = =

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    37/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    Q R

    B =

    6. T : P1 R2(T(p(x) = p(0), p(1))p(x) = a0 + a1x + a2x

    2+..+ anxn

    a.T(1 - 2x) = (1- 2(0), (1 - 2) = (1, -1)

    b. Syarat T transformasi linier :

    - T ( + ) = T ( ) + T (

    )

    - T (k ) = k T (

    )

    i. p(x) = a1+ b1x

    q (x) = a2+ b2x

    (p+q) (x) = (a1+ a2) + (b1 + b2)x

    T(p(x)) = (a1, a1+b1)

    T(q(x)) = (a2, a2+b2)

    T(p(x)) + T(q(x)) = (a1+a2, a1+b1, a2+b2)

    T (p+q) (x) = (a1+a2, a1+b1, a2+b2)

    T (p(x)) +(q (x)) = T(p+q) (x)

    ii. k p(x) = k a1+ k b1x

    T (k p(x)) = (k a1, k a1+k b1)

    k(T(p(x))) = (k a1, k (a1+b1))

    T k(p(x)) = k (T(p(x)))

    Karena T memenuhi kedua syarat, maka T merupaka transformasi linier

    c. T (p(x)) = (a1, a1+b1)

    T (p(x)) = T . p(x)

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    38/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    Jadi, matriks transformasinya :

    Jika T satu-satu dapat dibalik (invertibel) Det 0

    T-1= =

    Karena T invertible (Det 0), maka T satu-satu

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    39/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN AKHIR SEMESTER

    Mata Kuliah : Aljabar Linier

    Hari / Tanggal : Selasa,3 Juni 2008

    Waktu : 110 menit

    SOAL :

    1. (20)Matriks bujur sangkar A= [aij] dengan entri baris ke-I dan kolom ke-j ditentukansebagai berikut aij= . Tentukan ruang baris dan baris kosong dari

    matriks A yang berukuran 3 x 3!

    2. (25) Ruang hasil kali dalam R3didefinisikan oleh = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3Gunakan proses Gram-Selmidt untuk mendapatkan basis yang orthonormal dari {u1= (1, 1,

    1), u2= (1, 1, 0), u3= (1, 0, 0)}!

    3. (25)Tentukanlah matriks yang mendiagonalisasi A = ! Kemudian tentukanlahA-1000!

    4. (30)Didefinisikan transformasi linier T : P2 P2sebagai berikut :T(a0+a1x+a2x

    2

    ) = a0+a1(x-1)+a2(x-1)2

    . Tentukanlah

    a. A, matriks yang mewakili transformasi tersebut!b. [ T ]B, matriks transformasi linier umum relatif terhadap basis B = {1, x, x2}!c. T-1 (1+x2)

    JAWABAN :

    1. =

    Ruang baris = ,

    III

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    40/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    x3= t; x2=0; x1= -t

    = t

    Ruang kosong = Pengali Parameter =

    2. Proses Gram-Schmidt = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3u3= v1= 1, 0, 0

    v2= u2= Projv1u2

    = (1, 1, 0) (1, 0, 0)

    = (1, 1, 0) - (1, 0, 0)

    = (0, 1, 0)

    v3= u1Projv1u1Projv2u1

    = (1, 1, 1) - (1, 0, 0) - (0, 1, 0)

    = (1, 1, 1)(1, 0, 0) - (0, 1, 0)

    = (0, 0, 1)

    Maka baris orthogonal = =

    Baris ortonormalnya = =

    =

    3. =

    = 0

    k1= 1; k2= k3 = -1

    = 0

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    41/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    1:

    Vector eigen :

    2= 3:

    x2= t ; x3= s ; x1= t - 4s

    = = t + s

    Vector eigen

    P =

    P I I P-1

    P-1A P = D

    P-1 A-1000P = D-1000

    A-1000 = P D-1000P-1

    =

    =

    4. T(a0+a1x+a2x2) = a0+a1(x-1)+a2(x-1)2= a0a1+a2+a1x - 2a2x + a2x2= a0a1+a2+a1x - 2a2x + a2x

    2

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    42/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    a.Maka, matriks yang mewakili T =b.k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 0) = 1, 0, 0

    k1 = 1; k2= 0; k3= 0

    k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 0) = -1, 1, 0

    k1 = -1; k2= 1; k3= 0

    k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 0) = 1,-2, 1

    k1 = 1; k2= -2; k3= 1

    [ T ]B =

    c.T-1(1+x)

    T-1

    T-1(1+x2) = =

    = 2 + 2x +x2

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    43/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN AKHIR SEMESTER

    Mata Kuliah : Aljabar Linier

    Hari / Tanggal : Selasa,5 Juni 2007

    Waktu : 120 menit

    1. Misalkan R adalah himpunan bilangan riil dengan operasi penjumlahan x+ y = max (x,y)dan perkalian scalar standar pada bilangan riil. Apakah dengan operasi di atas R

    merupakan ruang vector? Jelaskan jawaban anda.

    2. Diketahui matriks A =

    a. tentukan basis dan dimensi ruang baris A

    b. tentukan basis dan dimensi ruang kolom dari A

    c. tentukan basis dan dimensi ruang null A

    3. Diketahui matriks B =a. tentukan nilai eigen dan vector eigen dari B

    b. Apakah B dapat didiagonalisasi secara orthogonal? Jika iya, tentukan matriks P yang

    mendiagonalisasi B secara orthogonal.

    4. Misalkan T : P2 P3, didefinisikan sebagai berikut :T (p(x)) = x

    3p

    (0) + x

    2p(0)

    a. Apakah T transformasi linier?

    b. Apakah T transformasi kinier satu-satu

    c. Tentukan basis untuk kernel (T)?

    d. Jikap(x) = 1 + x + x2, tentukan T (p(x))secara langsung dan tidak langsung.

    IV

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    44/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN AKHIR SEMESTER

    Mata Kuliah : Aljabar Linier

    Hari / Tanggal : Selasa,5 Juni 2007

    Waktu : 100 menit (Ujian : pilih 5 nomor)

    1.Apakah himpunan semua pasangan bilangan riel (x,y) dengan operasi penjumlahan (x,y)+(x,y) = (x+x+1, y+y+1) dan perkalian scalar k (x,y) = (kx, ky) merupakan ruang vector?

    Tunjukkan!

    2.Diberikan A =a.tentukan basis untuk ruang baris ; ruang kolom; dan ruang null.b. tentukan rank dan nullitas dari A

    3. adalah inner product yang dibangkitkan oleh matriks A = .Gunakan inner product tersebut untuk menghitung , ), dan sudut antara

    jika

    4.Carilah suatu matriks P yang mendiagonalkan A secara orthogonal, kemudian tentukanbila =

    5.Misalkan T : P2 P3adalah suatu transformasi linier yang didefinisikan oleh; yaitu

    a. cari bila dan } masing-masing adalah basis-basis

    untuk

    b. Gunakan prosedur tak langsung untuk menghitung

    c.Cek hasil yang diperoleh pada (b) dengan menghitung secara langsung.

    6.Misalkan didefinisikan oleh =adalah baris-baris untuk dimana :

    , cari :

    a. Matriks Transformasi dan

    b.Tunjukkan bahwa dan similar

    V

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    45/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN AKHIR SEMESTER

    Mata Kuliah : Aljabar Linier

    Hari / Tanggal : Selasa,3 Juni 2008

    Waktu : 90 menit

    1.Misalkan W adalah suatu bidang dengan persamaana. Carilah basis ortonormal dari

    b. Hitung dimensi dari

    c. Carilah matriks baku untuk proyeksi orthogonal pada

    d. Hitung jarak dari titik terhadap bidang !

    2.Misalkan = . Hitunglah S!

    3.Misalkan dengana. Jika B basis baku dari carilah

    b. Carilah rank dan nulitas dari T

    c. Apakah T 1-1? Jelaskan!

    d. Carilah nilai eigen dan vector eigen dari T

    4.Misalkan . Carilah dekomposisi QR dan LU dari matriks A!

    VI

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    46/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    47/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008/2009

    Mata Kuliah : Fisika Panas

    Hari / Tanggal : Selasa, 31 Maret 2009

    Waktu : 90 Menit

    Jurusan : Teknik Metalurgi B

    Soal

    1. Seorang teknisi diminta untuk menggunakan sebuah termometer yang tidak diketahui skalanya.Lalu dia melakukan pengukuran pada air yang membeku dan didapat nilai -15 dan ketika

    dilakukan pengukuran pada air mendidih didapat nilai +60. Untuk membuat termometer tersebutdapat terbaca, sang engineer membuat persamaan konversi linier. Jika dia ingin mengkonversi ke

    dalam skala Celcius, tentukanlah persamaan konversi linier yang dibuat sang engineer.

    2. Sebuah kawat baja dan kawat tembaga dengan diameter 2 mm dihubungkan ujungnya. Pada suhuruang 40C keduanya memiliki panjang 2 m pada kondisi tidak teregang. Kedua ujung kawat

    yang lain kemudian diikat pada sebuah dinding berjarak 4 m dengan tegang kawat diabaikan.

    ketika suhu ruang diturunkan menjadi 20C tentukanlah gaya tegang kawat.

    3. Sebuah pizza yang memiliki diameter 70 cm dan tebal 2 cm dipanaskan menjadi 100C sedangmengambang di luar angkasa. Tentukanlah:

    a. Laju energi yang hilangb. Laju perubahan temperatur

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    48/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    Jawaban

    1.

    Konversi

    2. 2 m 2 m d1= d2= 2 mmT1= 40C = 313 K

    T2= 20C = 293 K

    F = ?

    Baja

    Tembaga

    S C

    60 100

    -15 0

    x y

    baja tembaga

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    49/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    3. Pizzad = 70 cm = 0,7 m

    Tebal = 2 cm = 0,02 m

    T = 100C = 373 K

    a) Laju energi yang hilang?

    b) Laju perpindahan temperatur

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    50/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    Kisi

    Filamen

    2cm

    5 cmV1

    V2

    UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2007/2008

    Mata Kuliah : Fisika Listrik Magnet

    Waktu : 100 Menit

    Soal :

    1. Sebuah bola plastic kecil memiliki massa 2g dan memiliki muatan Q digantung denganseutas tali yang massanya diabaikan memiliki panjang 20 cm. Sistem dapat dilihat seperti

    gambar di bawah ini.

    150

    Jika sistem diberi medan listrik uniform E = 1x103N/C sejajar sumbu X, maka sistem

    bola akan membentuk 150dengan bidang vertikal. Tentukan besar muatan bola plastik

    (Q), jika gravitasi 9.8 m/s2!

    2. Elektron dipancarkan dari filamen F dalam tabung katoda dipercepat oleh kisi yangdiberi beda potensial V1(lihat gambar dibawah ini).

    Sebelum melewati ruang antara 2 plat yang diberi beda potensial V2. Jarak antara dua

    plat = 2 cm dan panjang plat = 5 cm :

    a. Tentukan perbandingan nilai V2dengan V1 agar elektron tepat mengenai ujung atas

    kanan plat ketika keluar dari plat?

    b. berapa nilai V2jika V1= 500 kV

    c. Pada sudut berapa elektron keluar dari plat?

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    51/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    C1

    C2 C3

    10 F

    10 V

    100 k

    500 k

    10K15V

    3K5K

    13V

    AB C

    D

    3. Tiga buah kapasitor dirangkai seperti gambar dibawah ini. C1 = 3C; C2 = C ; C3 = 5C

    a. Berapa besar kapasitas kapasitor pengganti rangkaian tersebut?

    b. Berapa besar muatan yang terdapat pada setiap kapasitor ?

    c. Jika kapasitas C3diperbesar, apa yang terjadi pada besar muatan pada C1danC2 ?

    4. Berdasarkan gambar dibawah ini, tentukan :a. Time Constant rangkaian sebelum switch ditutup?

    b. Time Constant rangkaian setelah switch ditutup?

    c. Jika switch ditutup pada t=0, tentukan fungsi waktu arus yang melewati swirch?

    S

    5. Berdasarkan gambar dibawah ini, tentukan arus listrik yang melalui setiap hambatan dantentukan besar VA,VB,VC,VD?

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    52/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    F = Q . E

    T. cos 150

    W = m. g

    T. cos 150

    T

    150

    Jawaban :

    1. Benda stabil (diam) => Ftot= 0

    Fx= 0 Fy= 0

    T cos 150m g = 0 T sin 150Q . E = 0

    T 0,9662 . 10-3. 9,8 = 0 0,0203 . 0,259Q . 103= 0

    T = 0,0203 N Q = 5,258 . 10-6C

    Jadi, besar muatan bola plastik tersebut adalah 5,258 . 10-6C

    2. a) - Kondisi percepatan : me v0

    2= Qe. V1

    (9,11 .10-31) v02= (1,6 . 10-19) V1

    V02= 3,513 . 1011V1

    V0= 592705,66

    - Kondisi pembelokan : Fx= 0 => a=0

    V1x= v0= v0x

    = 592705,66

    Fy= meay

    Qe. E - me. g = me. ay

    sx= v1x. t

    0,05 = 592705,66 . t

    t = 8,436 . 10-8

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    53/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    Qe. - me. g = me. ay

    1,6 . 10-19. (9,11 .10-31) . (9,8) = 9,11 .10-31. (ay)

    ay= 8,782 . 1012

    sy= v0y. t + ay. t2

    0,01 = 0+ . 8,782 . 1012. V2. (8,436 . 10-8. )

    0,01 = 4,391 . 1012. V2. 7,117 . 10-15( )

    = 0,32

    Nilai V2: V1= 8: 25

    b) = 0,32

    = 0,32 . 500 . 103

    =160.000 V

    c) tan =

    =

    =

    =

    = 1,25 . 0,32 = 0,4

    = 21,8010

    Jadi, e-keluar dar i pelat pada sudut 21,801

    0

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    54/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    3. a) Cp1= C2paralel C3= C + 5C = 6C

    Jadi, kapasitas kapasitor pengganti rangkaian =

    b)

    Jadi,

    =

    c) Jika C3diperbesar Cp1akan

    membesar, namun Ctotakan

    mengecil.

    Akibatnya Q tot= Qc1= Qcp1akan

    mengecil

    Oleh karena itu Qcp1mengecil

    akan mengecil pula.

    ( =

    Akibatnya, akan ikut

    mengecil

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    55/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    10 F10 V

    100 k

    500 k

    10 F10 V

    100 k

    500 k

    21

    Vc

    Vc0-= 10V

    4. a) Rangkaiannya :

    Rtot = 150000

    Ctot= 10-5F

    = (R.C)tot= 150000. 10-5= 1,5

    b) Rangkaiannya :

    (1)... -10 + 50000 i1 = 0

    i1 = 0,2 mA

    (2)...Vc+ 100000 i2= 0

    Vc+ 100000 ic= 0

    Vc+ 100000 c = 0

    Vc+ 100000. 10-5 = 0

    Vc+ = 0

    Bentuk Vc= V0. e-t

    Vc0-= V0. e

    -t( t = 0)

    10 = V0. e0

    V0= 10

    Vc= V0. e-t /

    Vc= V0. e-t

    = 1

    c) i2= ic= C

    = 10-5. (10. e-t)

    = 10-5 (-10. e-t) = (-0,1 . e-t) mA

    iswitch = i1- i2(acuan i1)

    = 0,2- (-0,1. e-t )

    = (0,2 + 0,1 e-t

    ) mA

    Saat t =

    C = open

    i = 0

    Vc0-= 10V

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    56/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    10K15V

    3K5K

    13V

    D

    21

    5.A B C

    -15 + 5000 . i1. 10.000 . i1-10.000 i2 = 0 ....(1)

    15.000 i110.000 i2= 15

    3000 i12000 i2 = 3 ....(a)

    10.000 i2 - 10.000 i1+ 3.000 i2 + 13 = 0 ....(2)

    -10.000 i1 +13.000 i2 = 13 ...(b)

    Eliminasi (a) dan (b)

    30.000 i1-20.000 i2 = 30

    -30.000 i1+ 39.000 i1= -39 +

    19.000 i2 = -9

    2 = -0,474 mA

    1 = 0,684 mA

    VAB = VA- VB

    i1. 5.000 = VA0

    VA= 0,684 . 10-3. 5000 = 3,42 V

    VBC = VBVC

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    57/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    i2. 3.000 = 0Vc

    Vc= 1,422 V

    VDB = VDVB

    (i2- i1) . 10.000 = VD - 0

    VD= 10.000. (-0,4740,684). 10-3= -11,58 V

    Jadi,

    VA= 3,42 V

    VB= 0

    Vc= 1,422 V

    VD= -11,58 V

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    58/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

    UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 07/08

    Mata Kuliah : Fisika Gelombang Optik

    Hari / Tanggal : Kamis, 5 Juni 2008

    Waktu : 90 Menit

    Dosen : Tim Dosen Fisika Gelombang Optik

    Soal

    1. Pada sebuah ruang gelap terdapat dua buah lilin, lilin pertama diletakkan 1,5 m dari sebuahdinding berwarna putih. Sebuah lensa diletakkan di antara lilin tersebut dan dinding pada satu

    posisi sehingga dihasilkan bayangan diperbesar dan terbalik pada dinding. Ketika lensa digeser 90

    cm menuju dinding, terbentuk bayangan dari lilin kedua. Tentukanlah

    a. Jarak kedua lilinb. Panjang fokus lensac. Sifat bayangan kedua

    2.

    Seorang professor menggunakan kacamata 2,67 dioptri ingin mengamati benda-benda yang kecildengan menggunakan mikroskop Pob = 45 dioptri dan Pok = 80 dioptri. Apabila diinginkan

    pembesaran 252 kali, tentukan

    a. Jarak kedua lensa bila professor menggunakan kacamatab. Jarak kedua lensa bila professor tidak menggunakan kacamatac. Gambarkan diagram sinar soal a dan b

    3. Dua buah celah sempit terpisah pada jarak 0,850 mm disinari cahaya 600 nm. Pada sebuah layarberjarak 2,80 m dari celah didapati suatu pola terang gelap. Tentukan

    a. Jarak pola gelap ke 2 dari terang pusatb. Beda fase antara dua gelombang yang berinterferensi pada layar sejauh 2,50 mm dari terang

    pusat

    c. Perbandingan intensitas gelombang tersebut terhadap intensitas terang pusat

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    59/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    60/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    61/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    62/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    63/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    64/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    65/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    66/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    67/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    68/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    69/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    70/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    71/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    72/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    73/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    74/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    75/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    76/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    77/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    78/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    79/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    80/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    81/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    82/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    83/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    84/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    85/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    86/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    87/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    88/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    89/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    90/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    91/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    92/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    93/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    94/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010

  • 5/28/2018 Latihan UTS

    95/95

    Diktat 2010

    PIptek BEM FT UI 2010