Latch Modeling

8/4/2019 Latch Modeling

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L a t c h M o d e l i n g f o r S t a t i s t i c a l T i m i n g A n a l y s i sS e a n X . S h i A n a n d R a m a l i n g a m D a i f e n g Wang D a v i d Z . P a nD e p a r t m e n t o f E C E , U n i v e r s i t y o f T e x a s , A u s t i n TX 7 8 7 1 2{xshi,anandram,wang,dpan}@ece.utexas.edu

A b s t r a c t - L a t c h b a s e d c i r c u i t s a r e w i d e l y a d o p t e d i n h i g hp e r f o r m a n c e c i r c u i t s . B u t t h e r e i s a l a c k o f a c c u r a t e l a t c h m o d e l sf o r d o i n g t i m i n g a n a l y s i s . I n t h i s p a p e r , we p r o p o s e a new l a t c hd e l a y m o d e l i n t h e c o n t ex t o f SSTA b a s e d o n a new p e r s p e c t i v e o fl a t c h t i m i n g . T h e p r o p o s e d l a t c h m o d e l a l s o t a k e s i n t o a c c o u n t t h ee x t e r n a l t i m i n g v a r i a t i o n s s u c h a s d a t a s l e w . T h e new l a t c h m o d e li s i n t e g r a t e d i n t o SSTA b y c o n s i d e r i n g t h e t i m i n g a n a l y s i s o f b o t ht h e c o m b i n a t i o n a l l o g i c n e t w o r k a n d t h e c l o c k d i s t r i b u t i o nn e t w o r k s i m u l t a n e o u s l y . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o w t h a ti g n o r i ng a c c u r a t e l a t c h m o d e l i n g ma y l e a d t o l a r g e e r r o r s ( e . g . ,50% a t PDF p e a k ) .

I . I N T R O D U C T I O NP r o c e s s v a r i a t i o n s p o s e t h e b i g g e s t c h a l l e n g e t o t e c h n o l o g y s c a l i n gi n t o n a n o m e t e r r e g i m e b y b e i n g a m a j o r p e r f o r m a n c e l i m i t e r .S t a t i s t i c a l S t a t i c T i m i n g A n a l y s i s ( S S T A ) h a s b e e n p r o p o s e d t o

p e r f o r m f u l l - c h i p a n a l y s i s o f t i m i n g u n d e r p r o c e s s v a r i a t i o n s a n d h a sb e e n t h e s u b j e c t o f i n t e n s e r e s e a r c h r e c e n t l y [ 1 - 7 ] .I n S S T A , t h e g a t e d e l a y s i n t h e c e l l l i b r a r y a r e m o d e l e d a s a f i r s to r d e r a p p r o x i m a t i o n [ 4 ] o r s e c o n d o r d e r a p p r o x i m a t i o n [ 5 ] o f p r o c e s sv a r i a t i o n s . B a s e d o n t h e s e m o d e l s , s t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s a n do p t i m i z a t i o n c a n b e a p p l i e d t o t h e c o m b i n a t i o n a l l o g i c [ 6 ] . T o a t t a i nm o r e a c c u r a c y , SSTA i s d o n e c o n s i d e r i n g t h e c l o c k d i s t r i b u t i o nn e t w o r k [ 7 ] . By t h e s e a p p r o a c h e s o n e c a n p r e d i c t b o t h t h e d a t a s i g n a l ' ss t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i o n a t t h e e n d o f e a c h c o m b i n a t i o n a l l o g i c c h a i n a n dt h e c l o c k d i s t r i b u t i o n a t e a c h c l o c k n e t w o r k t e r m i n a l . H o w e v e r , s o f a rt h e r e i s n o w o r k a c c u r a t e e n o u g h t o c o m b i n e t h e s i g n a l d i s t r i b u t i o nf r o m b o t h n e t w o r k s a n d p r e d i c t f i n a l s i g n a l d i s t r i b u t i o n o f t h e w h o l es y s t e m . T h e m a j o r r e a s o n i s b e c a u s e t h e r e a r e n o a c c u r a t e d e l a ym o d e l s f o r t h e s e q u e n t i a l l o g i c s u c h a s F l i p - f l o p a n d l a t c h . F l i p - f l o pa n d l a t c h a r e t h e m o s t c o m m o n l y u s e d s e q u e n t i a l e l e m e n t s w h o s ep u r p o s e i s s y n c h r o n i z i n g d a t a s i g n a l s . T h e s e e l e m e n t s w i l l a dd s o m ed e l a y t o t i m i n g a n d t h u s d e c r e a s e t h e s y s t e m p e r f o r m a n c e .I n t h i s p a p e r , we c o n c e n t r a t e o n m o d e l i n g l a t c h a c c u r a t e l y . T h i s i sb e c a u s e a n e d g e - t r i g g e r e d f l i p - f l o p f u n c t i o n a l l y i s a b a c k - t o - b a c kl a t c h p a i r a n d a l s o s t r u c t u r a l l y m a d e u p o f t w o l a t c h e s [ 8 ] . H e n c ef l i p - f l o p m o d e l s c a n b e d e r i v e d f r o m a c c u r a t e l a t c h m o d e l s .A l a t c h i s a t h r e e - t e r m i n a l e l e m e n t , h a v i n g t w o i n p u t s , d a t a ( D ) a n dc l o c k ( c l k / C ) a n d o n e o u t p u t ( Q ) . T h e d a t a m u s t b e s t a b l e t s e t u p b e f o r et h e f a l l i n g e d g e o f t h e c l o c k ( c a l l e d t h e s e t u p t i m e ) a n d t h o l d a f t e r t h ef a l l i n g e d g e o f t h e c l o c k ( c a l l e d t h e h o l d t i m e ) f o r t h e d a t a t o b ec o r r e c t l y s t o r e d i n t h e l a t c h . F o r t i m i n g r e q u i r e m e n t s , l e v e l s e n s i t i v el a t c h e s a r e w i d e l y u s e d i n h i g h p e r f o r m a n c e I C s w h e r e t i m i n g a n a l y s i si s m o r e c r i t i c a l a n d c h a l l e n g i n g [ 9 - 1 1 ] . I n t h e a p p r o a c h e s p r e s e n t e d i nt h e l i t e r a t u r e , t h e l a t c h d e l a y m o d e l i s d e t e r m i n i s t i c ; t h e y i g n o r e t h ei m p a c t o f t h e i n p u t d a t a s i g n a l a n d c l o c k s i g n a l b e i n g s t a t i s t i c a lq u a n t i t i e s . H o w e v e r , w h e n a p a t h i s t i m i n g c r i t i c a l , t h e d a t a w o u l da r r i v e v e r y c l o s e t o t h e f a l l i n g e d g e o f c l o c k , a n d t h e mean v a l u e o f t D C( d a t a - t o - c l o c k d e l a y ) m i g h t b e c l o s e t o t h e l a t c h ' s s e t u p t i m e w i t h v e r yl i m i t e d o r n e g a t i v e s l a c k l e f t l e a d i n g t o t h e i n c r e a s e i n t h e d e l a y o fd a t a D t o o u t p u t Q ( t D Q ) . M o r e o v e r , w i t h d i f f e r e n t s l e w d i s t r i b u t i o n s o fd a t a a n d c l o c k , t h e t D Q t o t D C f u n c t i o n w i l l b e d i f f e r e n t . T o k e e p t h i n g ss i m p l e , t r a d i t i o n a l c i r c u i t d e s i g n a n d t i m i n g a n a l y s i s [ 1 2 ] h a v e ac o n s t a n t s e t u p t i m e . B u t t h i s s i m p l i f i c a t i o n l e a d s t o l e s s a c c u r a t es t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s a n d l e s s e r f l e x i b i l i t y i n o p t i m i z a t i o n [ 1 3 ] .

I n t h i s p a p e r , we p r o p o s e a new l a t c h d e l a y m o d e l f o r s t a t i s t i c a lt i m i n g a n a l y s i s . O u r l a t c h m o d e l c a p t u r e s t h e i m p a c t o f d e l a y a n d s l e wv a r i a t i o n s o f b ot h i n p u t d a t a a n d c l o c k o n l a t c h d e l a y . B a s e d o n t h i snew l a t c h d e l a y m od el , o n e c a n c o m b i n e t h e t i m i n g a n a l y s i s o f d a t as i g n a l n e t w o r k w i t h c l o c k d i s t r i b u t i o n n e t w o r k t o d o SSTA i n a na c c u r a t e w a y .

T h e m a i n c o n t r i b u t i o n s o f t h i s p a p e r i n c l u d e : a ) a new l a t c h t i m i n gm o d e l c o n s i d e r i n g b o t h l o g i c a n d c l o c k s i g n a l v a r i a t i o n s ; b )i n t e g r a t i n g t h e p r o p o s e d l a t c h m o d e l i n t o S S T A . O u r e x p e r i m e n t a lr e s u l t s s h o w t h a t i g n o r i n g l a t c h m o d e l i n g ma y l e a d t o l a r g e e r r o r s( e . g . , 50% a t PDF p e a k ) .T h e r e s t o f t h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : i n S e c t i o n I I , g e n e r a lt i m i n g d i a g r a m a n d s t r u c t u r e o f t r a n s p a r e n t l a t c h a r e r e v i e w e d , w i t ht r a d i t i o n a l l a t c h d e l a y m o d e l . A new p o i n t o f v i e w f o r l a t c h w o r k i n gm o d e b a s e d o n a 3 - D a n a l y s i s i s p r o p o s e d i n S e c t i o n I I I . S e c t i o n I Vp r e s e n t s o u r new l a t c h d e l a y m o d e l t a k i n g i n t o a c c o u n t v a r i a t i o n s s u c ha s d a t a s l e w , c l o c k s l e w a m o n g o t h e r s S t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s f o rl a t c h i s d i s c u s s e d i n S e c t i o n V , f o l l o w e d b y e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i nS e c t i o n V I a n d c o n c l u s i o n i s d r a w n i n t h e l a s t s e c t i o n .

I I . LATCH P R E L I M I N A R I E SA . T i m i n g d i a g r a m o f l a t c hT h e t i m i n g d i a g r a m o f l a t c h i s s h o w n i n F i g u r e 1 . B o t h s e t u p a n dh o l d t i m e s o f a l a t c h a r e m e a s u r e d r e l a t i v e t o t h e t r a i l i n g e d g e o f t h ec l o c k . T h e d a t a s i g n a l m u s t b e a c o n s t a n t i n t h e t i m i n g w i n d o wb e t w e e n t h e s e t u p a n d h o l d t i m e . T h i s e n s u r e s t h a t t h e d a t a i s s a m p l e da n d l a t c h e d c o r r e c t l y . I n a d d i t i o n t o s e t u p a n d h o l d t i m e s , t w o m o r ed e l a y q u a n t i t i e s t C Q a n d t D Q , n e e d t o b e d e f i n e d . T h i s i s b ec a u s e o f t h e

f o l l o w i n g t w o s c e n a r i o s : 1 ) D a t a i s s t a b l e b u t t h e l a t c h i s c l o s e d d u e t ot h e c l o c k b e i n g l o w , a n d 2 ) D a t a s t a b i l i z i n g w h i l e t h e l a t c h i s o p e n . I nc r i t i c a l p a t h a n a l y s i s , w h e n we a s s u m e t h a t t h e d a t a s i g n a l s a r r i v eq u i t e c l o s e t o t h e s e t u p t i me w h i l e l a t c h i s o p e n , t D Q i s t h e k e y d e l a y t ob e a n a l y z e d . I n t h i s p a p e r , we f o c u s o n m o d e l i n g t D Q a c c u r a t e l y .c l o c k c y c l e

L la l s e t u p t i m e

L 2D2 Q dela4yC, d e l a y

L 3 2h o l d t i m eF i g u r e 1 . T i m i n g d i a g r a m o f l a t c h . T h e s i t u a t i o n w i t h t h e l a t c h i s d i f f e r e n t f r o mf l i p - f l o p . B o t h s e t u p a n d h o l d t i m e o f l a t c h i s m e a s u r e d r e l a t i v e t o t h e t a i l i n ge d g e o f t h e c l o c k . T h e l o n g e s t p a t h " a l " m u s t a r r i v e a t n e x t l a t c h " L 2 " b e f o r es e t u p t i m e a n d t h e s h o r t e s t p a t h " a 2 " m u s t r ea c h n e x t l a t c h " L 3 " a f t e r h o l d t i m e .

B . S t r u c t u r e o f t r a n s p a r e n t l a t c hO n e o f t h e m o s t w i d e l y u s e d l a t c h s t r u c t u r e s i s s h o w n i n F i g u r e2 ( a ) . I n t h e s e m i c u s t o m d a t a p a t h a p p l i c a t i o n , w h e r e t h e n o i s e o f t h ei n p u t s i g n a l c a n b e w e l l c o n t r o l l e d , t h i s l a t c h s t r u c t u r e i s p r e f e r a b l e f o ri t i s f a s t a n d c o m p a c t [ 1 4 ] . W i t h a n a d d i t i o n a l i n v e r t e r b e f o r e t h e i n p u td a t a , t h e l a t c h s t r u c t u r e ( F i g u r e 2 ( b ) ) b e c o m e s r o b u s t a n d i s w i d e l y

9 7 8 - 3 - 9 8 1 0 8 0 1 - 3 - 1 / D A T E 0 8 2 0 0 8 EDAA


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u s e d i n s t a n d a r d c e l l a p p l i c a t i o n s [ 1 5 ] . S u c h a l a t c h i s r e c o m m e n d e df o r a l l b u t t h e most p e r f o r m a n c e - c r i t i c a l o r a r e a - c r i t i c a l d e s i g n . D . L i m i t a t i o n o f t r a d i t i o n a l m o d e lTo b e t t e r u n d e r s t a n d t h e t r a d i t i o n a l m o d e l o f t h e l a t c h , s e v e r a lHSPICE s i m u l a t i o n s were ru n t o g e t t h e d e l a y s o f l a t c h a r o u n d s e t u pt i m e . W e u s e d PTM [ 1 7 ] f o r 65nm i n o ur s i m u l a t i o n a n d f i t t e d t h er e s u l t i n g d a t a u s i n g E q . ( 2 ) a n d t h e r e s u l t i s s h o w n i n F i g u r e 4 .

60( a ) ( b )F i g u r e 2 . L a t c h s t r u c t u r e s . ( a ) i s o n e o f t h e most w i d el y u s e d l a t c h s t r u c t u r e sd u e t o i t s s p e e d a n d c o m p a c t n e s s . T h i s paper f o c u s e s o n t h i s s t r u c t u r e . ( b ) i sw i d e l y u s e d i n s t a n d a r d c e l l a p p l i c a t i o n s w i t h o n e a d d i t i o n a l i n v e r t e r b e f o r e t h ei n p u t i n s t r u c t u r e ( a ) . T h e a d d i t i o n a l i n v e r e r m a k e s ( b ) more r o b u s t c o m p a r e d t o( a ) a t t h e c o s t o f area a n d p e r f o r m a n c e .

I n t h i s paper, we f o c u s o n m o d e l i n g t h e l a t c h s t r u c t u r e i n F i g u r e2 ( a ) b u t o ur m o d e l i n g i s g e n e r i c e n o u g h t o b e a p p l i e d t o t h e l a t c hs t r u c t u r e i n F i g u r e 2 ( b ) t o o .T h e l a t c h i n F i g u r e 2 ( a ) can b e d e c o m p o s e d i n t o 3 p a r t s : t h et r a n s m i s s i o n g a t e , o u t p u t i n v e r t e r , a n d t h e s t o r a g e p a r t . I n n e x t s e c t i o n ,we w i l l s h o w t h a t t r a d i t i o n a l l a t c h m o d e l i n g f o c u s e s o n t h e f e e d b a c km e c h a n i s m o f t h e s t o r a g e p a r t a n d m o d e l s i t as two i n v e r t e r s .

C . T r a d i t i o n a l t i m i n g m o d e l o f l a t c hA s s h o w n i n F i g u r e 3 , t h e t r a d i t i o n a l way o f m o d e l i n g l a t c h f o c u s e son t h e s t o r a g e p a r t o f t h e l a t c h [ 1 6 ] , w h i c h i s m o d e l e d as s e l f - f e e d b a c ks y s t e m o f two i n v e r t e r s as s h o w n i n F i g u r e 3 ( a ) . F i g u r e 3 ( b ) s h o w st h e b u t t e r f l y curve t h a t r e s u l t s when t h e t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e twoi n v e r t e r s ar e s u p e r i m p o s e d . T h i s f e e d b a c k s y s t e m h a s two s t a b l e s t a t e s( p o i n t A & B ) a n d o ne m e t a s t a b l e s t a t e ( p o i n t C ) as s h o w n i n F i g u r e 3( c ) .

t D Q =r [ l n A V - l n a ( 0 ) ] , ( 1 )w h e r e t D Q i s t h e d e l a y f r o m i n p u t D t o o u t p u t Q , a n d a ( O ) i s a s m a l ls i g n a l o f f s e t f r o m t h e o r i g i n a l m e t a s t a b l e p o i n t . X V i s some p r e d e f i n e dc o n s t a n t v o l t a g e p o i n t t o p r e d i c t D - t o - Q ( t D Q ) d e l a y .

V I V2 C.c , r c M e t a s t a b l eI T T(( a ) \

1.0stabl

0. 8 V=0, V=VddC : m e t a s t a b l e :0.6-V1=V2

>0 402 B : stableo . o ;00 02 04 06 08 1. 0

V , [ V ]( b )( c )

F i g u r e 3 . T r a d i t i o n a l t i m i n g m o d e l o f l a t c h . ( a ) t h e s t o r a g e p a r t o f a l a t c h ; ( b )b u t t e r f l y curves o f t h e s t a t i c t r a n s f e r c h a r a c t e r i s t i c s ; ( c ) a n a n a l o g y o f a b a l l on ah i l l w i t h o n e m e t a s t a b l e s t a t e a t t h e t o p o f t h e h i l l a n d two s t a b l e s t a t e s i n t h ef o o t h i l l s .An a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n i s t h a t a ( O ) i s p r o p o r t i o n a l t o ( t D c - t m ) ,w h e r e t h e i n p u t s i g n a l i s a r a m p t h a t passes t h r o u g h t h e m e t a s t a b l es t a t e p o i n t a t t i n . T h u s , t h e t D Q d e l a y ca n b e m o d e l e d as l o g - l i n e a rf u n c t i o n :

t D Q = a -b l n ( t D C + c ) . ( 2 )

Q-C

a uC 4

55

50

45

0 -

U ,)l _Q-00~

20 30 40 50D2 C D e l a y [ p s ]F i g u r e 4 . L i m i t a t i o n o f t h e t r a d i t i o n a l l a t c h m o d e l . T r a d i t i o n a l m o d e l i s o n l ya c c u r a t e when t D C d e l a y i s much s m a l l e r t h a n t h e s e t u p t i m e . H o w e v e r u n d e rs t a t i s t i c a l t i m i n g o f c r i t i c a l p a t h s , t D C d e l a y m i g h t b e c l o s e t o or b i g g e r t h a n t h es e t u p t i m e .

I n F i g u r e 4 , t h e f a n o u t o f t h e l a t c h i s f o u r , s l e w o f t h e c l o c k s i g n a l i s4 0 p s a n d t h e s l e w o f i n p u t d a t a D i s 8 0 p s . B l a c k d o t s are HSPICEs i m u l a t i o n r e s u l t s a n d t h e r e d l i n e i s t h e curve f i t t e d b a s e d o n t h et r a d i t i o n a l d e l a y m o d e l i n E q . ( 2 ) . B l u e d a s h l i n e i s t h e i n p u t D - t o - C( t D C ) d e l a y d i s t r i b u t i o n t h a t h a s p o s i t i v e s l a c k as t h e mean v a l u e o f t D Cd e l a y b i g g e r t h a n s e t u p t i m e . T h e s e t u p t i m e i s d e f i n e d a c c o r d i n g t ot D C when t D Q i s IO% b i g g e r t h a n i t s minimum v a l u e .From t h e f i g u r e , we can se e t h a t when t D C d e l a y i s a r o u n d or b i g g e rt h a n s e t u p t i m e , t h e f u n c t i o n E q . ( 2 ) i s q u i t e i n a c c u r a t e . T h e f i t t i n g i sg o o d o n l y when t D C d e l a y i s much s m a l l e r t h a n s e t u p t i m e . F o rs t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s o f c r i t i c a l l o n g e s t p a t h s , as t h e mean o f t D Cd e l a y i s c l o s e t o s e t u p t i m e a n d h i g h p e r c e n t a g e o f t D C d e l a yd i s t r i b u t i o n w i l l b e a r ou n d t h e s e t u p t i m e o f t h e l a t c h , d e l a y m o d e l o fl a t c h i n E q . ( 2 ) h a s d i f f i c u l t y t o m e e t accuracy r e q u i r e m e n t o f l a t c h e s 's t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s .M o r e o v e r , t h e m o d e l i n E q . ( 2 ) d o e s n o t c o n s i d e r t h e i m p a c t o fi n p u t d a t a s l e w , c l o c k s l e w o r f a n o u t . I n f a c t , i n p u t d a t a s l e w , c l o c ks l e w a n d f a n o u t , a l l o f t h e m c o u l d c h a n g e t h e d e l a y c u r v e s b e t w e e nt D Q a n d t D C .

III. A NEW 3D VIEW O F LATCH T I M I N GA . S t a t e t r a n s f o r m i n a l a t c h s t o r a g e p a r t

I f t h e two i n v e r t e r s i n t h e s t o r a g e p a r t o f t h e l a t c h ar e t h e same a n dd r i v i n g s t r e n g t h o f t h e PMOS a n d NMOS i n e a c h i n v e r t e r ar e a l s oi d e n t i c a l , t h e p o t e n t i a l o f t h e s t o r a g e p a r t can b e d r a w n as F i g u r e 5 .I n F i g u r e 5 ( a ) , t h e 3D p o t e n t i a l f i g u r e i s d r a w n w h i l e X a n d Y a x i s

ar e V I a n d V 2 r e s p e c t i v e l y . T h e 2D p r o j e c t i o n i s s h o w n i n F i g u r e 5 ( b ) .T h e r e ar e 5 s p e c i a l s t a t e p o i n t s :A : ( V 1 = 0 , V 2 = v d d ) , s t a b l e ;B : ( V l = v d d , V 2 = 0 ) , s t a b l e ;C : ( V 1 V 2 = v d d 1 2 ) , m e t a s t a b l e ;D : ( V 1 = V 2 = 0 ) , u n s t a b l e w i t h h i g h e s t p o t e n t i a l ;E : (V= V 2 = v d d ) , u n s t a b l e w i t h h i g h e s t p o t e n t i a l .D ' a n d E ' are t h e D & E ' s p r o j e c t i o n on 2D p l a n e .When t h e s t a t e o f t h e s t o r a g e p a r t i s a t p o i n t A o r B , t h e s t a t e i ss t a b l e ( t h e s y s t e m i s a t i t s l o w e s t p o t e n t i a l a t A a n d B ) . P o i n t C i s t h e

o n l y o n e m e t a s t a b l e s t a t e i n t h e s y s t e m .

\ s l a c k e -- t D C d i s t r i b u t i o nt D Q e x p e r i m e n t a lc u r v e f i t t i n g :t D Q a - b * l n ( t c )

.1W t D Q * v * *l - s e t u p t r i m e


3/6

T r a d i t i o n a l l a t c h m o d e l i n E q . ( 1 ) o n l y c o v e r s t h e s t a t e t r a n s f e rf r o m o n e s t a b l e s t a t e t h r o u g h m e t a s t a b l e p o i n t a n d t o a n o t h e r s t a b l ep o i n t , w h i c h i s t h e d a s h d o t l i n e A - C - B i n F i g u r e 5 ( w h i t e i n 3D p a r t o fF i g u r e 5 ( a ) a n d b l a c k o n t h e 2D p r o j e c t i o n i n b o t h F i g u r e 5 ( a ) , ( b ) ) .

S O N I e L h ' F t k l i

( a )

( b )F i g u r e 5 . A new v i e w o f l a t c h s t a t e t r a n s f e r . ( a ) P o t e n t i a l o f v a r i o u s s t a t e s . ( b )P r o j e c t i o n o n t o a two d i m e n s i o n a l space. T r a d i t i o n a l l a t c h d e l a y f u n c t i o nm o d e l s t h e s t a t e t r a n s f e r a l o n g A - C - B , w h e r e A a n d B ar e two s t a b l e s t a t e s a n dC i s t h e o n l y m e t a s t a b l e p o i n t . H o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t h a t t h e s t o r a g e p a r t o fl a t c h d r i v e n b y a t r a n s m i s s i o n g a t e goes d i r e c t l y f r o m A t o a p o i n t F ( f a r awayf r o m C ) a n d t h e n goes f r o m F t o B .

O n t h e p r o j e c t i o n p l a n e o f square A-D-B-E i n F i g u r e 5 ( b ) , t h e r e ar emore s t a t e p o i n t s t h a n t h e p o i n t s o n l i n e A - C - B . T h e c o l o r e d s o l i dl i n e s s h o w t h e e q u i p o t e n t i a l l i n e s . T h e d a s h l i n e s s h o w t h a t t h e s t a t em o v i n g t r a c k s i f t h e r e i s n o e x t e r n a l s i g n a l i n p u t . F o r e x a m p l e , i f t h es t a t e i s a t D ( V 1 = V 2 = 0 ) or E ( V 1 = V 2 = v d d ) , i t w i l l d i r e c t l y go t om e t a s t a b l e p o i n t C a l o n g t h e b l a c k l i n e D-C or E - C w i t h r e d arrows,a n d t h e n t h r o u g h C go t o s t a b l e s t a t e s o f A or B . D u r i n g t h i s processD-C or E - C , i f t h e r e i s any n o i s e , t h e s t a t e t r a n s f e r w i l l f o l l o w t h e greyd a s h l i n e s i n F i g u r e 5 ( b ) a n d go t o s t a b l e p o i n t s A or B d i r e c t l y .From t h e a b o v e a n a l y s i s , o n e ca n i n f e r t h a t t h e s i m p l i f i c a t i o n i nt r a d i t i o n a l l a t c h m o d e l l e a d s t o i n c o r r e c t m o d e l i n g o f t h e s t a t et r a n s f o r m a t i o n p r o c e s s . T h i s a l s o e x p l a i n s why curve f i t t i n g ( E q . ( 2 ) )h a s d i f f i c u l t y i n f i t t i n g t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a r o u n d s e t u p t i m e .

B . P r a c t i c a l l a t c h s i m u l a t i o nI n F i g u r e 6 , we s h o w t h e v o l t a g e s a t every n o d e o f t h e l a t c h ( F i g u r e

2 ( a ) ) b a s e d o n a SPICE s i m u l a t i o n . T h e v o l t a g e t r a n s f e r o f n o d e X( s e e F i g u r e 2 ( a ) ) ca n b e d i v i d e d i n t o two p a r t s . A t f i r s t , V 1 c h a n g e sl i n e a r l y t i l l a p o i n t m a r k e d F i n t h e F i g u r e . A f t e r F , V 1 r e a c h e s t h e f i n a lv o l t a g e a t a s l o w e r r a t e . A t t h e same t i m e , V 2 c h a n g e s i n a d i f f e r e n tway s i nc e t h e c l o c k t u r n s o f f t h e i n v e r t e r f r o m V 2 t o V I , V 2 i n c r e a s e s t oi t s f i n a l s t a b l e s t a t e a t a f a s t e r r a t e t h a n V I . T h u s i n F i g u r e 5 ( b ) , t h ep o s i t i o n o f F i s l o w e r t h a n l i n e C - B . I f t h e i n p u t d a t a s i g n a l i s c l o s e t o

t h e s e t u p o f t h e l a t c h , t h e s t a t e t r a n s f e r o f t h e l a t c h s t o r a g e p a r t i s i nf o l l o w i n g w a y s :1 ) D r i v e n b y t h e i n p u t d a t a s i g n a l c u r r e n t t h r o u g h t h e t r a n s m i s s i o ng a t e , t h e s t o r a g e p a r t o f t h e l a t c h i s m o v e d t o s t a t e p o i n t o f F .D u r i n g t h i s p r o c e s s , t h e s t o r a g e p a r t w i l l move f r o m s t a b l e s t a t eA t o F d i r e c t l y i n s t e a d o f t h r o u g h t h e m e t a s t a b l e s t a t e o f C . T h i sp r o c e s s i s l i k e l y t o b e l i n e a r t h a n l o g a r i t h m i c .2 ) T h e n t h e c l o c k t u r n s o n t h e i n v e r t e r f r o m V 2 t o V 1 a n d t h e s t o r a g ep a r t t u r n s i n t o s e l f - f e e d b a c k a n d m o v e s f r o m F t o B a t a s l o w e rr a t e . T h e t r a d i t i o n a l l a t c h m o d e l i n g ( E q . ( 2 ) ) f o c u s e s o n t h i s p a r ta n d i t i n c o r r e c t l y a s s u m e s t h a t t h e s t a t e p o i n t F i s o n t h e s t a t et r a n s f o r m i n g p a t h C t o B .1 . 2

080 . 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ D :n p u t d a t a> m O b

. 05 . 5 5 . 6 5 . 7

T i m e [ n s ]F i g u r e 6 . V o l t a g e c u r v e s o f e a c h n o d e i n l a t c h . t D Q d e l a y i s m a d e u p o f 2 p a r t s :1 ) f r o m D 1 / 2 t o F , w h i c h i s d r i v e n b y i n p u t d a t a s i g n a l ; 2 ) f r o m F t o Q i / 2 , w h i c h i sa s e l f - f e e d b a c k p r o c e s s .When b o t h t h e d e l a y a n d s le w o f t h e i n p u t d a t a a s w e l l a s c l o c ks i g n a l s a r e s t a t i s t i c a l , i t w i l l b e t i m e c o n s u m i n g t o r u n S P I C E f o r e a c hc a s e . T o o v e r c o m e t h i s d i f f i c u l t y , i n t h e n e x t s e c t i o n , we d e r i v e a newl a t c h m o d e l w h i c h t a k e s i n t o a c c o u n t t h e s t a t i s t i c a l n a t u r e o f d e l a y a n ds l e w o f d a t a a n d c l o c k s i g n a l s .I V . THE NEW LATCH MODEL FO R EXTERNAL V A R I A T I O N SA . D i f f i c u l t y o f l a t c h m o d e l i n gAs d i s c u s s e d i n p r e v i o u s s e c t i o n , t h e l a t c h s t a t e t r a n s f e r f r o m o n es t a b l e s t a t e t o a n o t h e r s t a b l e s t a t e c a n b e d i v i d e d i n t o t w o p a r t s , A - F :c l o s e t o l i n e a r d r i v e n b y i n p u t d a t a s i g n a l , a n d F - B : c l o s e t ol o g a r i t h m i c w h i c h i s s e l f - f e e d b a c k p r o c e s s o f s t o r a g e p a r t i n l a t c h .H o w e v e r , i t i s v e r y d i f f i c u l t t o d e v e l o p a n a n a l y t i c a l f u n c t i o n f o rl a t c h m o d e l i n g . S R A M w h i c h h a s a s t o r a g e p a r t l i k e a l a t c h h a s b e e nm o d e l e d a s d y n a m i c s y s t e m a n d a n a n a l y t i c a l f u n c t i o n h a s b e e np r o p o s e d t o p r e d i c t t h e c r i t i c a l t i m e o f n o i s e [ 1 8 ] . H o w e v e r , t h e i n p u ts i g n a l ' s c u r r e n t w a v e f o r m i s q u i t e c o m p l i c a t e d a n d c a n n o t b e m o d e l e da s s q u a r e w a v e .A l s o t h e i n v e r t e r s i n t h e p r a c t i c a l l a t c h a r e s k e w e d s i n c e PMOS a n dNMOS h a v e d i f f e r e n t d r i v i n g s t r e n g t h s . A s o n l y s o m e s p e c i a lf u n c t i o n s c a n b e s o l v e d i n d y n a m i c s y s t e m [ 1 9 ] , t h e a b o v e d i f f i c u l t i e sm a k e t h e e f f o r t t o d e r i v e a n a n a l y t i c a l f u n c t i o n f o r l a t c h m o d e l i n g

v e r y h a r d .T h u s i n t h i s p a p e r , i n s t e a d o f d e r i v i n g a n a n a l y t i c a l m o d e l b a s e d o np h y s i c s we d e v e l o p a s e m i - e m p i r i c a l f u n c t i o n f o r l a t c h m o d e l i n g . T h ep r o p o s e d f u n c t i o n c o v e r s a l l o f t h e i m p a c t s i n c l u d i n g n o t o n l y t D Cd e l a y b u t a l s o i n p u t d a t a s l e w , c l o c k s l e w a n d f a n o u t .

04


4/6

B . T h r e e r e g i o n s o f t D Q - t D CWe d i v i d e t D Q ( t D C ) i n t o t h r e e r e g i o n s as shown i n F i g u r e 7 .

6 5

6 0

a 5 55 0

4 5

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0tDC [pS]

F i g u r e 7 . T h r e e r e g i o n s o f l a t c h d e l a y curve: c o n s t a n t r e g i o n ( r e d l i n e / r o u n dd o t s ) , l i n e a r r e g i o n ( b l u e l i n e / t r i a n g l e d o t s ) , a n d e x p o n e n t i a l d e c a y r e g i o n( b l a c k l i n e / s q u a r e d o t s ) .1 ) C o n s t a n t r e g i o n ( r e d l i n e / r o u n d d o t s ) . I n t h i s r e g i o n t h e l a t c h i s

a b s o l u t e l y t r a n s p a r e n t a n d t D Q d e l a y i s a c o n s t a n t . D u r i n g t h i sprocess, c l o c k i s on , a n d t h e l a t c h t h r o u g h X t o Q i s d r i v e n b yi n p u t d a t a s i g n a l .

2 ) L i n e a r r e g i o n ( b l u e l i n e / t r i a n g l e d o t s ) . With t h e d e c r e a s i n g o ft D C d e l a y , t h e t r a n s m i s s i o n g a t e i s open f o r q u i t e l o n g p e r i o d ,a n d t h e i n p u t d a t a s i g n a l d r i v es t h e s t o r a g e p a r t from s t a b l e s t a t e( s u c h as A) t o some m i d d l e p o i n t F which i s q u i t e c l o s e t oa n o t h e r s t a b l e s t a t e ( s u c h as B ) . I n t h i s p r o c e s s , t h e p a r t o f Ad i r e c t t o F d o m i n a t e s t h e t D Q d e l a y .3 ) E x p o n e n t i a l d e c a y r e g i o n ( b l a c k l i n e / s q u a r e d o t s ) . I n t h i sr e g i o n , t h e process f r o m F t o B i s d o m i n a n t i n t h e t o t a l t D Q d e l a y .

C . L a t c h m o d e l i n g f u n c t i o nThe p r o p o s e d l a t c h model i s d i v i d e d i n t o two p a r t s : when t D C i s b i g

e n o u g h , t D Q i s c o n s t a n t ; a f t e r t D C g e t s s m a l l e r , t h e model i s made up o ftwo c o m p o n e n t s : l i n e a r p a r t an d e x p o n e n t i a l d e c a y p a r t , g i v e n b yt D Q O t D C >t D C O 3aQ. e x p ( - b . t D C ) +c t D C + d t D C < t D C O

wheret D Q O = a e x p ( - b t D C O ) + c t D c o + d

I f t h e v a r i at i on s o f d a t a s l e w , c l o c k s l e w a n d f a n o u t ar e w i t h i n as m a l l range or l a r g e a p p r o x i m a t i o n i s a c c e p t a b l e d u r i n g t h e s t a t i s t i c a lt i m i n g a n a l y s i s , E q . ( 3 ) can b e s i m p l i f i e d t o an e x p o n e n t i a l d e c a yf u n c t i o n s u c h a s :

Or even,

t D Q O t D C >t D C ODQ l a ex p ( - b l t D c ) + d t D C < t D C O

t D Q = a 2 ex p ( b 2 t D c ) + d 2 .

( 4 )

( 5 )H o w e v e r , over w i d e ranges o f f a n o u t , c l o c k s l e w a n d d a t a s l e w , o ur

s i m u l a t i o n r e s u l t s show t h a t among E q . ( 3 ) , E q . ( 4 ) an d E q . ( 5 ) , o n l yE q . ( 3 ) ca n f i t t D Q - t D C over a w i d e range o f i n p u t d a t a s l e w a n d c l o c ks l e w very w e l l as c o e f f i c i e n t o f m u l t i p l e d e t e r m i n a t i o n can bem a i n t a i n e d a l w a y s over 0 . 9 9 . To some a p p r o x i m a t i o n , m o d e l E q . ( 4 )or E q . ( 5 ) m i g h t b e a c c e p t a b l e .

D . M u l t i - d i m e n s i o n a l s p l i n eA f t e r t h e l a t c h d e l a y m o d e l i s p r o p o s e d u n d e r s p e c i f i c f a n o u t , c l o c k

s l e w a n d d a t a s l e w , t h e f i t t i n g p a r a m e t e r s i n E q . ( 3 ) u n d e r s p e c i f i cc o n d i t i o n ca n b e e x t r a c t e d a n d some t a b l e can b e b u i l t u p . The d e l a y i nt h e m i d d l e o f n o d e s on t h e t a b l e h a s t o b e e s t i m a t e d .

I n t h i s paper, we h a v e s e v e r a l p a r a m e t e r s s u c h as f a n o u t , c l o c ks l e w , d e l a y s l e w . The i n t e r p o l a t i o n p r o b l e m i s f o r m u l a t e d as f o l l o w s .L e t f d e n o t e f a n o u t , c s t h e c l o c k s l e w a n d d s t h e i n p u t d a t a s l e w . Wer e p r e s e n t t h e m as a t h r e e d i m e n s i o n a l v e c t o r : - C v = ( f , s , d s )T h e r e f o r e , t h e m u l t i - d i m e n s i o n a l c u b i c s p l i n e i n t e r p o l a t i o n i sc o n s i d e r e d h e r e . The t D Q d e l a y ( y ) i s a f u n c t i o n o f W V a n d t D C d e l a y( x ) , g i v e n b y :

y = f ( v , x ) = a ( w ) e x p [ - b ( w ) x ] + c ( w ) . x + d ( w ) , ( 6 )w h e r e c o e f f i c i e n t s a , b , c a n d d ar e a l l f u n c t i o n s o f W

V . LATCH MODELING I N S T A T I S T I C A L T I M I N G A N A L Y S I SFRAMEWORKT h e r e ar e h a v e b e e n s e v e r a l w o r k s [ 9 - 1 1 ] w h i c h propose a l g o r i t h m s

f o r s t a t i s t i c a l s t a t i c t i m i n g a n a l y s i s (SSTA) o f l a t c h b a s e d c i r c u i t s . Theaccuracy o f an y p r o p o s e d a l g o r i t h m f o r SSTA can b e c o m p a r e d w i t ht h e M o n t e - C a r l o (MC) s i m u l a t i o n s o f t h e c i r c u i t . H o w e v e r , i n t h e s es t a t i s t i c a l a l g o r i t h m s a n d MC s i m u l a t i o n s , t h e b a s i c l a t c h d e l a y modelu s e d was d e v e l o p e d u n d e r d e t e r m i n i s t i c t i m i n g a n a l y s i s . I n e x i s t i n gt i m i n g a n a l y s i s , u n d e r c e r t a i n f a n o u t , b o t h s e t u p t i m e a n d t D Q d e l a y ar ef i x e d over d i f f e r e n t c l o c k s l e w a n d d a t a s l e w . As t D Q d e l a y a n d s e t u pt i m e are c o n s t a n t u n d e r a f i x e d f a n o u t , we h a v e :

PQ ( = P D ( t Q t Q ) tQ tC +tD2Q T e t u p ( 7 )QtQt C +tD2Q T e t u pw h e r e p Q ( t Q ) i s t h e d e l a y d i s t r i b u t i o n o f l a t c h o u t p u t Q , p D ( x ) i s i n p u td a t a d e l a y d i s t r i b u t i o n . t c i s t h e c l o c k d e l a y a n d T s e t u p i s s e t u p t i m e .From p r o ba bi li t y d en s i t y f u n c t i o n ( P D F ) i n E q . ( 8 ) c u m u l a t i v ed i s t r i b u t i o n f u n c t i o n (CDF) f o r e a c h Q d e l a y an d f i n a l CDF ca n b ec a l c u l a t e d .

H o w e v e r , i n o ur p r o p o s e d l a t c h d e l a y m o d e l , t h e r e i s n o n e e d t oc a l c u l a t e s p e c i f i c s e t u p t i m e a n d t h e t D Q d e l a y i s j u s t a f u n c t i o n o f t D Cd e l a y . T h u s , t h e t D Q d e l a y d i st r ib u ti on w il l b e:

P D 2 Q ( t D Q ) PD2C ( g ( t D Q ) ) g ' ( t D Q ) , (9 )w h e r e g ( x ) i s t h e i nv er s e f u n c t i o n o f E q . ( 3 ) . I f E q . ( 5 ) i s u s e d f o ra p p r o x i m a t i o n , a n d d a t a d e l a y d i s t r i b u t i o n s i s normal as w e l l as c l o c kd e l a y i s f i x e d a t i t s mean v a l u e .

t Q = t D + t D Q = tD+ a 2 exp( b 2 ( t c t D ) ) + d 2And t h e f i n a l Q d e l a y d i s t r i b u t i o n s h o u l d b e :

(tD Y D ) 2F Q ( t Q ) ex p D2 [t,olD 2ott1fD n( ( t Q , t D d 2 ) l a 2 ) l b 2 1 dt

( 1 0 )

( 1 1 )

d7 ( tQ ) ; e r f ( x ) = 2 / J X e x p ( - t 2 ) d t .Q' Q9 dtQ ''r xO b v i o u s l y , s u c h a d i s t r i b u t i o n i n E q . ( 1 1 ) i s d i f f e r e n t f r o m t h en o r m a l d i s t r i b u t i o n i n E q . ( 7 ) . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n t h e

f o l l o w i n g s e c t i o n w o u l d show t h e a b o v e d i f f e r e n c e .V I . EXPERIMENTAL RESULTS

O v e r a very w i d e range ( f a n o u t : 1 - 1 6 ; c l o c k s l e w : 5 1 0 0 p s , d a t as l e w : 5 1 0 0 p s ) , o ur p r o p o s e d l a t c h d e l a y m o d e l E q . ( 3 ) ca n f i t t h e

- C o n s t a n t R e g i o nA L i n e a r R e g i o no E x p o n e n t i a l R e g i o n~ C o n s t a n t L i n eL i n e a r F i t t i n g\x p o n e n t i a l F i t t i n g


5/6

HSPICE s i m u l a t i o n r e s u l t s w it h v er y h ig h a c c u r a c y ( c o e f f i c i e n t o fc o r r e l a t i o n i s g r e a t e r t h a n 0 . 9 9 ) . T h e r e f o r e , i n t h e f o l l o w i n gd i s c u s s i o n s a n d s i m u l a t i o n s , o u r p r o p o s e d m o d e l w i l l b e r e g a r d e d a sg o l d e n m o d e l . we u s e a t y p i c a l c i r c u i t , e . g . , b e n c h m a r k s 2 7 [ 2 0 ] i su s e d f o r p o s t - l a t c h S S T A . A l l o t h e r c i r c u i t s h a v e s i m i l a r r e s u l t s .A . T h e i m p a c t o f c l o c k s l e w a n d d a t a s l e wAs d i s c u s s e d e a r l i e r , n o t o n l y t D C d e l a y b u t i n p u t d a t a s l e w , c l o c ks l e w a n d f a n o u t a l s o i m p a c t s t h e t D Q d e l a y . F i g u r e 8 a n d F i g u r e 9 s h o w

t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s o f t D Q d e l a y v a r i a t i o n s c a u s e d b y a b o v e e x t e r n a lv a r i a t i o n s .40

a - 35a) 30:3 25

a- )E2 10 0 5 2080 '6 3/ 60 q40 1520 o ?

o , MCOck S l e w [ P S (( a )

Minimum D e l a y

8

0 8I CI

C l o c k S l e w [ p s ]( b )F i g u r e 8 . Minimum d e l a y d e p e n d e n c y o n c l o c k s l e w a n d i n p u t d a t a s l e w .T h r e e - d i m e n s i o n a l p l o t i s s h o w n i n ( a ) : t h e b l a c k s q u a r e d o t s a r e l a t c h ' sm i n i m u m d e l a y s a t d i f f e r e n t c l o c k s l e w s a n d d a t a s l e w s w h e n f a n o u t i s 4 ; t h eb l u e r o u n d p o i n t s a r e p r o j e c t i o n o n p l a n e o f m i n i m u m d e l a y s a n d d a t a s l e w s ;t h e r e d d i a m o n d p o i n t s a r e p r o j e c t i o n o n t h e p l a n e o f m i n i m u m d e l a y s a n d c l o c ks l e w s . ( b ) s h o w s t h e d e p e n d e n c y o n c l o c k s l e w s . F r o m t h e f i g u r e we c a n s e e t h em i n i m u m d e l a y s s t r o n g l y d e p e n d e n t o n b o t h c l o c k s l e w s a n d d a t a s l e w s .

F i g u r e 8 s h o w s t h a t m i n i m u m t D Q d e l a y s ( a m o n g d i f f e r e n t t D Cd e l a y s ) d e p e n d o n c l o c k s l e w a n d d a t a s l e w . T h e f a n o u t o f t h e l a t c h i sf i x e d a t 4 . T h e b l a c k s q u a r e d o t s i n ( a ) a r e l a t c h ' s minimum d e l a y s a td i f f e r e n t c l o c k s l e w a n d d a t a s l e w ; t h e b l u e r o u n d p o i n t s a r e p r o j e c t i o no n p l a n e o f m i n i m u m d e l a y s a n d d a t a s l e w s ; t h e r e d d i a m o n d p o i n t sa r e p r o j e c t i o n o n t h e p l a n e o f m i n i m u m d e l a y s a n d c l o c k s l e w s . Fromt h e f i g u r e , we c a n o b s e r v e t h a t u n d e r d i f f e r e n t c l o c k s l e w s a n d d a t as l e w s , t h e t D Q d e l a y s v a r y o v e r 2 0 p s . As t h e o v e r a l l m i n i m u m t D Qd e l a y i s l e s s t h a n 2 0 p s , s u c h v a r i a t i o n r a n g e i s a b o u t 1 0 0 % .R e d d i a m o n d p o i n t s i n F i g u r e 8 ( b ) a r e p r o j e c t i o n o f b l a c k s q u a r ep o i n t s i n F i g u r e 8 ( a ) o n t h e p l a n e o f m i n i m u m d e l a y s a n d c l o c k s l e w s .From F i g u r e 8 ( b ) , e v e n u n d e r t h e s a m e c l o c k s l e w , t h e i n p u t d a t a s l e wc a n c a u s e a b o u t 1 0 p s t D Q d e l a y v a r i a t i o n s .M o r e o v e r o u r s i m u l a t i o n s s h o w t h a t e x t e r n a l v a r i a t i o n s , s u c h a sd a t a s l e w , c l o c k s l e w , f a n o u t , h a v e b i g i m p a c t o n t D Q d e l a y . H e n c e i ft h e s e f a c t o r s a r e i g n o r e d , t h e y l e a d t o i n a c c u r a t e y i e l d s f r o m t h es t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s o f a c i r c u i t .

B . S t a t i s t i c a l t i m i n g b a s e d onMC s i m u l a t i o nI A] 7 m A //7/

L L0 )

D_Slew20 %

15 %

L L10 % Dn

2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 5 5 6 0 6 5 7 0 7 5 8 0 8 5D a t a D e l a y [ p s ] D a t a Slew [ p s ]

( a ) ( b )F i g u r e 9 . D e l a y a n d s l e w d i s t r i b u t i o n o f a c r i t i c a l p a t h i n b e n c h m a r k s 2 7 . T h i swas o b t a i n e d u s i n g M o n t e - C a r l o SSTA [ 2 1 ] .

F o r b e n c h m a r k s 2 7 [ 2 0 ] , a f t e r g a t e s i z i n g , M o n t e C a r l o ( M C )s i m u l a t i o n o f g a t e l e n g t h a n d t h r e s h o l d v a r i a t i o n s i s d o n e o n a c r i t i c a lp a t h m a d e u p o f "NAND2 - > I N V I - > NOR2 - > INV - > NAND2 - >NOR2 - > N O R 2 " . T h e d e l a y a n d s l o p e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 9 .T h e m e a n o f d e l a y i s 2 66 . 3 ps w i t h s t a n d a r d d e v i a t i o n o f 2 4 . 3 p s( 9 . 1 % o f m e a n ) . T h e m e a n o f s l e w i s 6 5 . 4 p s w h i l e t h e s t a n d a r dd e v i a t i o n i s 4 . 1 p s ( 6 . 3 % o f m e a n ) . T h e a b o v e r e s u l t s w e r e o b t a i n e df r o m 1 0 , 0 0 0 MC s i m u l a t i o n s . T h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f s l ew i s m u c hs m a l l e r t h a n t h a t o f d e l a y . O n e i n t u i t i v e e x p l a n a t i o n i s t h a t a p a t hd e l a y i s a s i m p l e a d d i t i o n o f g a t e d e l a y s w h i l e t h e o u t p u t s l e w g e t sr e g e n e r a t e d a t e v e r y g a t e i n t h e p a t h . T h u s s l e w g e t s c o r r e c t e d a t t h eo u t p u t o f e v e r y g a t e a n d t h e v a r i a t i o n i s r e d u c e d a s t h e l o g i c d e p t hi n c r e a s e s . An i m p l i e d r e s u l t i s t h a t t h e d e l a y a n d s l e w m i g h t n o t b eh i g h l y c o r r e l a t e d w h i c h w a s v e r i f i e d f r o m o u r MC s i m u l a t i o n s . Wef o u n d t h a t t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n d e l a y a n d s l e w w a s 0 . 7 9 f o r t h ep a t h i n t h e s 2 7 b e n c h m a r k m e n t i o n e d e a r l i e r .I n F i g u r e 9 , t h e b l a c k l i n e s r e p r e s e n t t h e n o r m a l d i s t r i b u t i o n f i t t i n go f d e l a y a n d s l e w . C o m p a r e d t o s l e w , d e l a y d i s t r i b u t i o n i s c l o s e r t o an o r m a l d i s t r i b u t i o n . H o w e v e r , a s a n a p p r o x i m a t i o n , i t ma y b ea c c e p t a b l e t o u s e n o r m a l d i s t r i b u t i o n f o r t i m i n g a n a l y s i s .I n t h i s p a r t , t h e MC s i m u l a t i o n r e s u l t s i s d i r e c t l y s e n t t o l a t c h a se x t e r n a l v a r i a t i o n s o n d a t a i n p u t t e r m i n a l . T h e v a r i a t i o n s o f c l o c kd e l a y a n d s l e w a r e o m i t t e d .F i g u r e 1 0 s h o w s t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a n d c o m p a r e s t h e Q d e l a yd i s t r i b u t i o n d i f f e r e n c e b e t w e e n o u r p r o p o s e d t h e m o d e l a n d t r a d i t i o n a lm o d e l p r e s e n t e d i n E q . ( 7 ) ) [ 9 - 1 1 ] .

g * ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 0 %r , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 8 0 %

- Q _ p d f w / m o d e l1 0 % Q _ p d f w / o m o d e l - 60 %*S / ; -Q d f w/ m o de l 4 0 %

5 % Q_cdfw/ o model

* 0%25 0 30 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0

D e l a y [ p s ]( a )15 % 0 , 1 0

./ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 8 0 %-- Qpdfw/ m o d e l1 0 % f p d f w / o m o d e l 60 %

o L - Q _ c d f w / m o d e l Cm,1, Q c d f w / o m o d e l 4 0 % oO X X \ ' 2 0 %

2 50 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0D e l a y [ p s ]( c )

. \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 0 %1 5% ; 7 / ~ ~ ~ ~ ~ 8 0 %

-- Q _ p d f w / m o d e l1 0% Q _ p d f w / o m o d e l - 60 %L L w /\I -1 / -Q d f w/ m od e l 40% 5% -;\\ Q c d f w / o m o d e l5% ;,'\ - 20 %

0% - * - 0%0% _ I , . - 25 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0D e l a y [ p s ]( b )

100%1 5 % '

. \ ' / ~ ~ ~ ~ ~ 8 0 %|-- Q _ p d f w / m o d e l10 % D Q _ p d f w / o m o d e l 60 %

- Q _ c d f w / m o d e l Cm l l / / ; * - Q _ c d f w / o m o d e l 40 %5X I - % 20%0%~ ~ ~ ~ ~ ~ . - 0%

2 5 0 3 0 0 3 5 0 40 0 4 5 0 5 0 0D e l a y [ p s ]( d )F i g u r e 1 0 . Q d e l a y d i s t r i b u t i o n b a s e d o n MC s i m u l a t i o n r e s u l t s . T h e r e d l i n e sa r e t r a d i t i o n a l o u t p u t d e l a y d i s t r i b u t i o n o f l a t c h w h i l e t h e b l a c k l i n e s a r ec a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o o u r a c c u r a t e l a t c h m o d e l . T h e v a r i a t i o n s o f c l o c k d e l a ya n d s l e w a r e o m i t t e d . ( a ) - ( d ) a r e d i f f e r e n t i n c l o c k f r e q u e n c y a n d f a n o u t .

As t h e r e d l i n e s a r e c a l c u l a t e d f r o m i n E q . ( 7 ) w i t h o u t p r o p o s e dl a t c h d e l a y m o d e l , t h e y a r e m a r k e d a s " w / o m o d e l " . T h e b l a c k l i n e sa r e t h e r e s u l t s b a s e d o n p r o p o s e d m o d e l . I n t h i s p a r t , we d i d n o t u s e t h en o r m a l d i s t r i b u t i o n a p p r o x i m a t i o n o f t h e d a t a ; we u s e d t h e d a t a d e l a ya n d s l e w d a t a f r o m t h e MC s i m u l a t i o n sT h e r e s u l t s i n F i g u r e 1 0 ( a ) i s w h e n t h e l a t c h ' s f a n o u t i s s e t t o 2 , a n dt h e s e t u p t i m e o f t h i s l a t c h i s 3 3 . 4 p s a n d t h e minimum t D Q d e l a y i s3 3 . 6 p s . T h e c l o c k d e l a y i s s e t t o 3 0 0 p s a n d c l o c k s l e w i s s e t t o 3 0 p s .From F i g u r e 1 0 ( b ) t o ( d ) t h e f a n o u t i s s e t t o 4 , t h e s e t u p t i m e o f t h i sl a t c h i s 2 6 . 5 p s , m i n i m u m t D Q d e l a y i s 3 9 . 9 p s , c l o c k s l e w i s f i x e d a t6 0 p s , a n d t h e c l o c k d e l a y s a r e 3 0 0 p s , 2 8 0 p s , a n d 3 2 0 p s r e s p e c t i v e l y .From F i g u r e 1 0 ( a ) , ( b ) , we c a n s e e t h a t t h e PDF a n d CDF o f o u t p u t Q


6/6

d e l a y d i s t r i b u t i o n s a r e q u i t e d i f f e r e n t . F o r e x a mp l e, i n F i g u r e 1 O ( a ) t h et w o PDFs h a v e 20% d i f f e r e n c e a t t h e p e a k . I n s o m e r a n g e , t h e CDFc a l c u l a t e d b a s e d o n m e t h o d i n p r e v i o u s SSTA p a p e r s i s q u i t e c l o s e t oCDF b a s e d o n o u r p r o p o s e d a c c u r a t e m o d e l . H o w e v e r , e v e n w i t h i nt h i s r a n g e , t h e PDFs o f t w o m e t h o d s a r e s t i l l q u i t e d i f f e r e n t f r o m e a c ho t h e r . T h e s e e r r o r s p r o p a g a t e a c r o s s t h e g a t e s w h e n o n e d o e ss t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s o f a c i r c u i t . F i g u r e 1 0 ( c ) , ( b ) a n d ( d ) s e t t h ec l o c k t o b e 2 8 0p s , 3 00 p s , a n d 3 2 0 p s , r e s p e c t i v e l y . F r o m a n o t h e r p o i n to f v i e w , t h i s m e a n s t h e s l a c k s a r e i n c r e a s i n g , a n d t h e p a t h s b e c o m el e s s t i m i n g c r i t i c a l . H o w e v e r f o r t h e c r i t i c a l p a t h s , t h e t r a d i t i o n a lm o d e l b e c o m e s l e s s a c c u r a t e a n d t h e p r o p o s e d l a t c h d e l a y m o d e l i sn e c e s s a r y .

C . D i s c u s s i o n b a s e d o n n o r m a l d i s t r i b u t i o n a p p r o x i m a t i o nA s s h o w n i n F i g u r e 9 , t h e d a t a d e l a y a n d s l e w d i s t r i b u t i o n s a r ec l o s e t o n o r m a l d i s t r i b u t i o n s . S o n o r m a l d i s t r i b u t i o n a p p r o x i m a t i o n i su s e d t o s e e t h e i m p a c t o f c o r r e l a t i o n b e t w e e n d e l a y a n d s l e w o n l a t c hd e l a y . T h e o r i g i n a l mean a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n o f d e l a y a n d s l e w a r eu s e d t o a p p r o x i m a t e t h e n o r m a l d i s t r i b u t i o n . T h e c l o c k d e l a y i s

a p p r o x i m a t e d a s a n o r m a l d i s t r i b u t i o n w i t h m e a n 3 0 0 p s a n d s t a n d a r dd e v i a t i o n 3 0 p s . T h e c l o c k s l e w i s a p p r o x i m a t e d a s a n o r m a ld i s t r i b u t i o n w i t h m e a n 6 0 p s a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n 8 p s . T h es i m u l a t i o n r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e 1 1 .15 % _ /.10 .8 0 % ~ ~ ~ 8 0

--Q_pdfwmodel-10% Qpdf / o model- 60%

r) ; Q c d fw / m o de l )Q _ c d f w / o model// E ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~0%

0% _ I S . - _ 0%2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0D e l a y [ p s ]( a )

100%15 % _- .

;t~ ~ ~ ~ ~ 8 0 %1 0 % l

Q- p d f w /Q _pdfwoodel

n I ' Q c d f w / model - 40%5% / / Q c d f w / o

2 5 0 3 0 0 35 0 4 0 0 4 5 0 50 0D e l a y [ p s ]

(c )

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Qe l a y ditibto i n p rv iu S ST A paer~ ~ ~ ~ ~ _ d wNo m o r b t d e a * s l w o D , n c k V r

15% Crbtdelv &l 8fD a n d c10 A~~~~~~~~0

2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0

QD e l a y [ p s ]( d )F i g u r e 1 1. Q d e l a y d i s t r i b u t i o n s b a s e d o n n o r m a l d i s t r i b u t i o n a p p r o x i m a t i o n .T h e r e d l i n e s ar e t r a d i t i o n a l o u t p u t d e l a y d i s t r i b u t i o n o f l a t c h w h i l e t h e b l a c kl i n e s ar e c a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o o ur a c c u r a t e l a t c h m o d e l . T h e v a r i a t i o n s o fc l o c k d e l a y a n d s l e w ar e c o n s i d e r e d . ( a ) - ( c ) ar e d i f f e r e n t i n c l o c k f r e q u e n c y a n df a n o u t . ( d ) compares PDFs o f l a t c h o u t p u t b a s e d o n m o d e l s o f d i f f e r e n taccuracy l e v e l s .

I n F i g u r e 1 1 ( a ) , d a t a d e l a y s a n d s l e w s ar e g e n e r a t e d i n d e p e n d e n t l ya n d n o c l o c k v a r i a t i o n s are c o n s i d e r e d . I n F i g u r e 1 1 ( b ) , t h e r e i s noc l o c k v a r i a t i o n a n d t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n d a t a d e l a y a n d s l e w i s s e tt o 0 . 7 9 w h i c h i s t h e same n u m b e r o b t a i n e d f r o m MC s i m u l a t i o n r e s u l t s .I n F i g u r e 1 1 ( c ) , t h e c l o c k v a r i a t i o n s ar e i n v o l v e d w i t h a c o r r e l a t i o n o f0 . 7 9 b e t w e e n d e l a y s a n d s l e w s . F i n a l l y i n F i g u r e 1 1 ( d ) , m e t h o d i np r e v i o u s l a t c h SSTA papers ( b l a c k l i n e ) a n d c o n d i t i o n i n F i g u r e 1 1 ( a )t o F i g u r e 1 1 ( c ) ( t h e p u r p l e , r e d a n d b l u e l i n e , r e s p e c t i v e l y ) b a s e d o nt h e p r o p o s e d m o d e l are c o m p a r e d i n t h e PDF curves. We ca n o b s e r v et h e f o l l o w i n g f r o m t h e f i g u r e s : As t h e l e f t s i d e a n d p e a k o f p u r p l e l i n ei s l a r g e r t h a n t h a t o f r e d l i n e , t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n d a t a d e l a y s a n ds l e w s i s h e l p f u l t o r e d u c e l a t c h d e l a y s . H o w e v e r , when c l o c k v a r i a t i o ni s t a k e n i n t o a c c o u n t , t h e l a t c h d e l a y b e c o m e s worse a n d a b o u t 50%

e r r o r a t p e a k i s o b s e r v e d i n p r e v i o u s SSTA a p p r o a c h e s w h e nc o m p a r e d w i t h o u r p r o p o s e d a c c u r a t e l a t c h d e l a y m o d e l .V I I . CONCLUSION

I n t h i s p a p e r , we h a v e s t u d i e d t h e l a t c h m o d e l i n g f o r s t a t i s t i c a lt i m i n g a n a l y s i s . B a s e d o n a new p e r s p e c t i v e o f l a t c h t i m i n g a na c c u r a t e l a t c h d e l a y m o d e l i s d e v e l o p e d w h i c h c a n c a p t u r e t h e i m p a c to f e x t e r n a l v a r i a t i o n s o f d e l a y a n d s l e w f r o m i n p u t d a t a a n d c l o c k . T h ep r o p o s e d l a t c h d e l a y m o d e l i s v e r i f i e d b y s i m u l a t i o n s o v e r a w i d er a n g e o f e x t e r n a l v a r i a t i o n s a n d a p p l i e d t o s t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s .C o m p a r e d w i t h e x i s t i n g SSTA w o r k s f o r l a t c h b a s e d c i r c u i t s , o u rp r o p o s e d m o d e l s h o w s g r e a t e r a c c u r a c y a n d i t i s e s s e n t i a l t o a c c u r a t es t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s o f b o t h t h e c o m b i n a t i o n a l l o g i c n e t w o r k a n dt h e c l o c k d i s t r i b u t i o n n e t w o r k s i m u l t a n e o u s l y .

ACKNOWLEDGEMENTST h i s w o r k i s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y N S F , S R C , I B M F a c u l t y A w a r d ,F u j i t s u , Q u a l c o m m , S u n , I n t e l e q u i p m e n t d o n a t i o n .

R E F E R E N C E S[ 1 ] H . C h a n g a n d S . S . S a p a t n e k a r , " S t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s u n d e r s p a t i a lc o r r e l a t i o n s , " i n P r o c . I C C A D , v o l . 2 4 , p p . - 1 4 8 2 , 2 0 0 5 .[ 2 ] M . O r s h a n s k y a n d A . B a n d y o p a d h y a y , " F a s t s t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s h a n d l i n ga r b i t r a r y d e l a y c o r r e l a t i o n s , " i n P r o c . D A C , p p . 3 4 2 , 2 0 0 4 .[ 3 ] C . V i s w e s w a r i a h , K . R a v i n d r a n , K . K a l a f a l a , S . G . W a l k e r , S . N a r a y a n , D . K .B e e c e , J . P i a g e t , N . V e n k a t e s w a r a n , a n d J . G . H e m m e t t , " F i r s t - O r d e rI n c r e m e n t a l B l o c k - B a s e d S t a t i s t i c a l T i m i n g A n a l y s i s , " T C A D , v o l . 2 5 , p p . 2 1 8 0 ,2 0 0 6 .[ 4 ] A . A g a r w a l , D . B l a au w , a n d V . Z o l o t o v , " S t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s f o r i n t r a - d i ep r o c e s s v a r i a t i o n s w i t h s p a t i a l c o r r e l a t i o n s , " i n P r o c . I C C A D , p p . 9 0 7 , 2 0 0 3 .[ 5 ] Y. Z h a n , A . J . S t r o j w a s , X . L i , L . T . P i l e g g i , D . N e w m a r k , a n d M . S h a r m a ," C o r r e l a t i o n - a w a r e s t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s w i t h n o n - g a u s s i a n d e l a yd i s t r i b u t i o n s , " i n P r o c . D A C , p p . 7 7 - 8 2 , 2 0 0 5 .[ 6 ] M . M a n i , A . D e v g a n , a n d M . O r s h a n s k y , " A n e f f i c i e n t a l g o r i t h m f o r s t a t i s t i c a lm i n i m i z a t i o n o f t o t a l p o w e r u n d er t i m i n g y i e l d c o n s t r a i n t s . , " i n P r o c . DAC, p p .3 0 9 - 3 1 4 , 2 0 0 5 .[ 7 ] R . C h e n , E . F o r e m a n , P . H a b i t z , J . H e m m e t t , K . K a l a f a l a , J . P i a g e t , P . Q i , N .V e n k a t e s w a r a n , C . V i s w e s w a r i a h , J . X i o n g , a n d V . Z o l o t o v , " S t a t i c T i m i n g :B a c k t o O u r R o o t s , " i n P r o c . T A U , 2 0 0 7 .[ 8 ] G . G e r o s a , S . G a r y , C . D i e t z , P . D a c , K . H o o v e r , J . A l v a r e z , H . S a n c h e z , P .

I p p o l i t o , N . T a i , S . L i t c h , J . E n o , J . G o l a b , N . V a n d e r s c h a a f , a n d J . K a h l e , " A 2 . 2W, 8 0 I V I H z s u p e r s c a l a r RISC m i c r o p r o c e s s o r , " IEEE J o u r n a l o f S o l i d - S t a t eC i r c u i t s , v o l . 2 9 , p p . 1 4 4 0 - 1 4 5 4 , 1 9 9 4 .[ 9 ] R . C h e n a n d H . Z h o u , " S t a t i s t i c a l T i m i n g V e r i f i c a t i o n f o r T r a n s p a r e n t l y L a t c h e dC i r c u i t s , " T C A D , v o l . 2 5 , p p . 1 8 4 7 - 1 8 5 5 , 2 0 0 6 .[ 1 0 ] M . C . - T . C h a o , L . - C . W a n g , K . - T . C h e n g , a n d S . K u n d u , " S t a t i c S t a t i s t i c a lT i m i n g A n a l y s i s f o r L a t c h - b a s e d P i p e l i n e D e s i g n s , " i n P r o c . I C C A D , 2 0 0 4 .[ 1 1 ] L . Z h a n g , Y. H u , a n d C . C . C h e n , " S t a t i s t i c a l t i m i n g a n a l y s i s i n s e q u e n t i a l c i r c u i tf o r o n - c h i p g l o b a l i n t e r c o n n e c t p i p e l i n i n g , " i n P r o c . D A C , p p . 9 0 4 - 9 0 7 , 2 0 0 4 .[ 1 2 ] J . - f . L e e , D . T . T a n g , a n d C . K . W o n g , " A T i m i n g A n a l y s i s A l g o r i t h m F o rC i r c u i t s W i t h L e v e l - s e n s i t i v e L a t c h e s , " i n P r o c . I C C A D , p p . 7 4 3 - 7 4 8 , 1 9 9 4 .[ 1 3 ] S . S r i v a s t a v a a n d J . S . R o y c h o w d h u r y , " I n t e r d e p e n d e n t L a t c h S e t u p / H o l d T i m eC h a r a c t e r i z a t i o n v i a E u l e r -N ew t on C u r v e T r a c i n g o n S t a t e - T r a n s i t i o nE q u a t i o n s , " i n P r o c . D A C , p p . 1 3 6 - 1 4 1 , 2 0 0 7 .[ 1 4 ] T . K a r n i k , B . B l o e c h e l , K . S o u m y a n a t h , V . D e , a n d S . B o k a r , " S c a l i n g t r e n d s o fc o s m i c r a y i n d u c e d s o f t e r r o r s i n s t a t i c l a t c h e s b e y o n d 0 . 1 8 u m , " i n P r o c .S y m p o s i u m o n V L S I C i r c u i t s , p p . 6 1 - 6 2 , 2 0 0 1 .[ 1 5 ] A . C o m p o n e n t s , "TSMC 0 . 1 8 u m P r o c e s s 1 . 8 - V o l t SAGE-X S t a n d a r d C e l lL i b r a r y D a t a b o o k , " R e l e a s e 4 . 0 , F e b . 2 0 0 2 .[ 1 6 ] N . H . E . W e s t e a n d D . H a r r i s , CMOS V L S I D e s i g n : A C i r c u i t s a n d S y s t e m sP e r s p e c t i v e : P e a r s o n H i g h e r E d u c a t i o n , 2 0 0 4 .[ 1 7 ] " h t t p : / / w w w . e a s . a s u . e d u / p t m / . "[ 1 8 ] B . Z h a n g , A . A r a p o s t a t h i s , S . N a s s i f , a n d M . O r s h a n s k y , " A n a l y t i c a l M o d e l i n go f SR AM D y n a m i c S t a b i l i t y , " i n P r o c . I C C A D , 2 0 0 6 .[ 1 9 ] Z . V u k i c , L . K u l j a c a , D . D o n l a g i c , a n d S . T e s n j a k , N o n l i n e a r C o n t r o l S y s t e m s :M a r c e l D e k k e r I n c . , 2 0 0 3 .[ 2 0 ] F . B r g l e z , D . B r y a n , a n d K . K o z m i n s k i , " C o m b i n a t i o n a l p r o f i l e s o f s e q u e n t i a lb e n c h m a r k c i r c u i t s , " i n P r o c . I S C A S , p p . 1 9 2 9 - 1 9 3 4 , 1 9 8 9 .[ 2 1 ] A . R a m a l i n g a m , A . K . S i n g h , S . R . N a s s i f , G - J . N a m , M . O r s h a n s k y , a n d D . Z .P a n , " A n a c c u r a t e s p a r s e m a t r i x b a s e d f r a m e w o r k f o r s t a t i s t i c a l s t a t i c t i m i n ga n a l y s i s , " i n P r o c . I C C A D , p p . 2 3 1 - 2 3 6 , 2 0 0 6 .

Latch Modeling

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