Top Banner

Click here to load reader

KWADRATY ŁACIŃSKIE Martyna Kopyś

Feb 04, 2016

ReportDownload

Documents

lynna

KWADRATY ŁACIŃSKIE Martyna Kopyś. Kwadratem łacińskim nazywamy macierz kwadratową, w której każdy wiersz i każda kolumna składa się z tego samego zbioru niepowtarzających się elementów. - PowerPoint PPT Presentation

  • KWADRATY ACISKIE

    Martyna Kopy

  • Kwadratem aciskim nazywamy macierz kwadratow, w ktrej kady wiersz i kada kolumna skada si z tego samego zbioru niepowtarzajcych si elementw.

  • Prostokt aciski wymiaru p x q o elementach ze zbioru {1,2,...,n} jest to macierz o wymiarzu p x q o elementach wybranych ze zbioru {1,2,...,n}, w ktrej w adnym wierszu i kolumnie nie ma powtarzajcych si elementw.Zatem kwadratem aciskim nazywamy tak macierz, gdzie p=q=n.Wwczas kady wiersz i kada kolumna skada si dokadnie z n liczb {1,2,...,n}.

  • Przykady:1.Prostokt aciski o wymiarze 2x3 o elementach z {1,2,3,4,5}

    2.Kwadrat aciski o wymiarze 3x3

  • Twierdzenie. Prostokt aciski wymiaru pxn o elementach ze zbioru {1,2,...,n} moe by rozszerzony do kwadratu aciskiego wymiaru nxn.Przykad:

    Moemy rozszerzy do nastpujcego kwadratu:

  • Twierdzenie. Prostokt aciski L wymiaru pxq o elementach ze zbioru {1,2,...,n} moe by rozszerzony do kwadratu aciskiego wymiaru nxn wtedy i tylko wtedy, gdy L(i), oznaczajce liczb wystpie elementu i w L, spenia warunekL(i) p+q-ndla kadego i, przy czym 1 i n.

  • Przykad 1.

    L(i)=p+q-n=5+3-6=2.Widzimy, e element 3 wystpi tylko 12, wic ten prostokt nie moe by rozszerzony do kwadratu aciskiego.

    i123456L(i)321333

  • Przykad 2.Rozszerzy prostokt aciski do kwadratu aciskiego o wymiarze 6x6.

  • Gdzie w miejscu ? mog by odpowiednio cyfry ze zbiorw: {2,3,4},{1,3,4},{4,5,6}. Mamy p+q-n=3+3-6=0 oraz P={i:L(i)=0}={4}, wic 4 musi wystpi na jednej z szukanych pozycji. Otrzymujemy:

  • Po wstawieniu odpowiednich wartoci do prostoktu zostay nam zbiory:{2,3},{3,4},{4,6}. Nastpnie liczymy p+q-n=3+4-6=1 oraz P={i:L(i)=1}={3,4}.Otrzymujemy nastpujcy prostokt:

    Pozostay nam zbiory{2},{3},{4}, p+q-n=3+5-6=2, P={i:L(i)=2}={2,3,4}, wic otrzymany prostokt ma posta:

  • Analogicznie postpujemy w przypadku rozszerzania wierszy i tak otrzymujemy nastpujcy kwadrat aciski wymiaru 6x6:

  • Dwa kwadraty aciskie wymiarw nxn M1 (mi,j), M2(li,j) nazywamy ortogonalnymi, jeeli wszystkie pary (mi,j,li,j) s rne.Przykad:

  • Twierdzenie. Dla kadego n2, n2,n6 istniej pary ortogonalnych kwadratw aciskich.Dla n=2 jest to oczywiste, bo jedynymi kwadratami wymiaru 2x2 s:

    Wedug Eulera(oraz Tarry'ego) niemoliwe jest rwnie znalezienie kwadratw ortogonalnych dla n=6 (jest to zagadnienie o oficerach).

  • SudokuZasady s oparte na kwadratach aciskich, ktrymi zajmowali si arabscy matematycy ju w XIII w.W sudoku, w przeciwiestwie do kwadratw aciskich, cyfry nie mog si powtarza nie tylko w adnym wierszu i adnej kolumnie, ale take w kadym maym kwadracie 3x3. Standardowe sudoku skada si z kwadratu o wymiarze 9x9.

  • Metody rozwizywania1. Metoda pierwsza- polega na znalezieniu miejsca, gdzie w obrbie maego kwadratu 3x3 pasuje dana cyfra na zasadzie eliminacji rzdw i kolumn, w ktrych ta cyfra znajduje si w innych kwadratach.

  • 2675966713573272189735648452468

    2675966713573272189735648433524638

  • Postpujemy analogiczne w pozostaych kwadratach i otrzymujemy nastpujcy kwadrat magiczny:

    234697581581324796697851342458732169179465823362189475923578614846913257715246938

  • 2.Metoda druga -ta metoda polega na dopenieniu rzdu, kolumny lub kwadratu 3x3 cyframi od 1 do 9.

    267596671357327221897356484715246938

    267596671357327221897923564846715246938

  • 3. Metoda trzecia- jest to metoda wymagajca bazgrania po diagramie. Polega ona na wstawieniu w odpowiednim miejscu kratki kropek-odpowiedzi. Kropki stawia si tak, by jasno okreli cyfr.

    1 2 34 5 67 8 9

  • Zamiast stawia kropki w odpowiednim miejscu kratki, czsto wpisuje si szukane cyfry.Rozwizujc sudoku czsto spotykamy si z sytuacj, e dana cyfra moe pojawi si w dwch miejscach w kwadracie 3x3. Zaznaczamy wtedy oba te miejsca kropk, postawion w odpowiednim punkcie kratki.

  • 25 963

    2

  • PodsumowanieKwadraty aciskie s to macierze, w ktrych elementy nie mog si powtrzy w adnej kolumnie i adnym wierszu.Kady prostokt o wymiarze pxn lub qxn moemy rozszerzy do kwadratu nxn.W yciu codziennym wykorzystujemy kwadraty aciskie w rozwizywaniu sudoku.

  • Literatura:

    1.V.Bryant, Aspekty kombinatoryki2. http://www.gry-sudoku.pl/historia.php

  • Dzikuj za uwag

    Martyna Kopy

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.