KWADRATY ŁACIŃSKIE Martyna Kopyś

KWADRATY ŁACIŃSKIE

Martyna Kopyś

Kwadratem łacińskim nazywamy macierz kwadratową, w której każdy wiersz i każda kolumna składa się z tego samego zbioru niepowtarzających

się elementów.

Prostokąt łaciński wymiaru p x q o elementach ze zbioru {1,2,...,n} jest to macierz o wymiarzu p x q o

elementach wybranych ze zbioru {1,2,...,n}, w której w żadnym wierszu i kolumnie nie ma

powtarzających się elementów.Zatem kwadratem łacińskim nazywamy taką

macierz, gdzie p=q=n.Wówczas każdy wiersz i każda kolumna składa się dokładnie z n liczb

{1,2,...,n}.

Przykłady:1.Prostokąt łaciński o wymiarze 2x3 o elementach z

{1,2,3,4,5}

2.Kwadrat łaciński o wymiarze 3x3[1 5 2

4 2 1]

[3 1 21 2 32 3 1]

Twierdzenie. Prostokąt łaciński wymiaru pxn o elementach ze zbioru {1,2,...,n} może być

rozszerzony do kwadratu łacińskiego wymiaru nxn.Przykład:

Możemy rozszerzyć do następującego kwadratu:[1 4 3 22 3 1 4]

[1 4 3 22 3 1 43 2 4 14 1 2 3]

Twierdzenie. Prostokąt łaciński L wymiaru pxq o elementach ze zbioru {1,2,...,n} może być

rozszerzony do kwadratu łacińskiego wymiaru nxn wtedy i tylko wtedy, gdy L(i), oznaczające liczbę

wystąpień elementu i w L, spełnia warunekL(i)≥ p+q-n

dla każdego i, przy czym 1≤ i ≤n.

Przykład 1.

L(i)=p+q-n=5+3-6=2.Widzimy, że element 3 wystąpił tylko 1≤2, więc ten prostokąt nie może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego.

[6 1 22 5 45 6 11 4 54 3 6

] i 1 2 3 4 5 6L(i) 3 2 1 3 3 3

Przykład 2.Rozszerzyć prostokąt łaciński do kwadratu

łacińskiego o wymiarze 6x6.

[5 6 16 5 21 2 3]

Gdzie w miejscu ? mogą być odpowiednio cyfry ze zbiorów: {2,3,4},{1,3,4},{4,5,6}. Mamy

p+q-n=3+3-6=0 oraz P={i:L(i)=0}={4}, więc 4 musi wystąpić na jednej z szukanych pozycji.

Otrzymujemy:

[5 6 1 ?6 5 2 ?1 2 3 ?]

[5 6 1 46 5 2 11 2 3 5]

Po wstawieniu odpowiednich wartości do prostokątu zostały nam zbiory:{2,3},{3,4},{4,6}.

Następnie liczymy p+q-n=3+4-6=1 oraz P={i:L(i)=1}={3,4}.Otrzymujemy następujący

prostokąt:

Pozostały nam zbiory{2},{3},{4}, p+q-n=3+5-6=2, P={i:L(i)=2}={2,3,4}, więc otrzymany prostokąt

ma postać:

[5 6 1 4 36 5 2 1 41 2 3 5 6]

[5 6 1 4 3 26 5 2 1 4 31 2 3 5 6 4]

Analogicznie postępujemy w przypadku rozszerzania wierszy i tak otrzymujemy następujący

kwadrat łaciński wymiaru 6x6:

[5 6 1 4 3 26 5 2 1 4 31 2 3 5 6 42 3 4 6 1 54 1 5 3 2 63 4 6 2 5 1

]

Dwa kwadraty łacińskie wymiarów nxn M1 (mi,j), M2(li,j) nazywamy ortogonalnymi, jeżeli wszystkie

pary (mi,j,li,j) są różne.Przykład:

M 1=[1 2 32 3 13 1 2], M 2=[1 2 3

3 1 22 3 1],[11 22 33

23 31 1232 13 21]

Twierdzenie. Dla każdego n≥2, n≠2,n≠6 istnieją pary ortogonalnych kwadratów łacińskich.

Dla n=2 jest to oczywiste, bo jedynymi kwadratami wymiaru 2x2 są:

Według Eulera(oraz Tarry'ego) niemożliwe jest również znalezienie kwadratów ortogonalnych dla

n=6 (jest to zagadnienie o oficerach).

[1 22 1],[2 1

1 2]

SudokuZasady są oparte na kwadratach łacińskich, którymi

zajmowali się arabscy matematycy już w XIII w.W sudoku, w przeciwieństwie do kwadratów

łacińskich, cyfry nie mogą się powtarzać nie tylko w żadnym wierszu i żadnej kolumnie, ale także w każdym małym kwadracie 3x3. Standardowe

sudoku składa się z kwadratu o wymiarze 9x9.

Metody rozwiązywania1. Metoda pierwsza- polega na znalezieniu miejsca, gdzie w obrębie małego kwadratu 3x3 pasuje dana cyfra na zasadzie eliminacji rzędów i kolumn, w których ta cyfra znajduje się w innych kwadratach.

2 6 7 5

9 6

6 7 1 3

5 7 3 2

7 2

1 8 9 7

3 5 6 4

8 4

5 2 4 6 8

2 6 7 5

9 6

6 7 1 3

5 7 3 2

7 2

1 8 9 7

3 5 6 4

8 4 3 3

5 2 4 6 3 8

2 3 4 6 9 7 5 8 1

5 8 1 3 2 4 7 9 6

6 9 7 8 5 1 3 4 2

4 5 8 7 3 2 1 6 9

1 7 9 4 6 5 8 2 3

3 6 2 1 8 9 4 7 5

9 2 3 5 7 8 6 1 4

8 4 6 9 1 3 2 5 7

7 1 5 2 4 6 9 3 8

Postępujemy analogiczne w pozostałych kwadratach i otrzymujemy następujący kwadrat magiczny:

2.Metoda druga -ta metoda polega na dopełnieniu rzędu, kolumny lub kwadratu 3x3 cyframi od 1 do 9.

2 6 7 5

9 6

6 7 1 3

5 7 3 2

7 2

2 1 8 9 7

3 5 6 4

8 4

7 1 5 2 4 6 9 3 8

2 6 7 5

9 6

6 7 1 3

5 7 3 2

7 2

2 1 8 9 7

9 2 3 5 6 4

8 4 6

7 1 5 2 4 6 9 3 8

3. Metoda trzecia- jest to metoda wymagająca „bazgrania” po diagramie. Polega ona na wstawieniu w odpowiednim miejscu kratki kropek-odpowiedzi. Kropki stawia się tak, by jasno określić cyfrę.

▪ ▪ ▪▪ ▪ ▪▪ ▪ ▪

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

1 2 34 5 67 8 9

Zamiast stawiać kropki w odpowiednim miejscu kratki, często wpisuje się szukane cyfry.

Rozwiązując sudoku często spotykamy się z sytuacją, że dana cyfra może pojawić się w dwóch

miejscach w kwadracie 3x3. Zaznaczamy wtedy oba te miejsca kropką, postawioną w odpowiednim

punkcie kratki.

2 5

▪ 9 6

3 ▪

2

PodsumowanieKwadraty łacińskie są to macierze, w których

elementy nie mogą się powtórzyć w żadnej kolumnie i żadnym wierszu.

Każdy prostokąt o wymiarze pxn lub qxn możemy rozszerzyć do kwadratu nxn.

W życiu codziennym wykorzystujemy kwadraty łacińskie w rozwiązywaniu sudoku.

Literatura:

1.V.Bryant, Aspekty kombinatoryki2. http://www.gry-sudoku.pl/historia.php

Dziękuję za uwagę

Martyna Kopyś