Konstrukce trojúhelníku

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Konstrukce trojúhelníku

Známe-li jednu stranu a dva úhly k ní přilehlé.

Konstrukce podle věty usu(úhel, strana, úhel).


Trojúhelník a jeho vlastnostiTrojúhelník je rovinný geometrický útvar sestávající ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů.

Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích.


Trojúhelník - označováníPozor při značení vrcholů a stran trojúhelníku.Strana a proti vrcholu A, strana b proti vrcholu B, strana c proti vrcholu C.Popis vrcholů začínáme obvykle v levém dolním rohu, ale vždy popisujeme vrcholy ve směru proti pohybu hodinových ručiček.


Trojúhelník – součet vnitřních úhlů

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180°.

37°73°70°____

180°


Konstrukce trojúhelníkuZ jakých částí se skládá naše činnost prováděná před, během a po konstrukci?1. Je dobré zjistit, pokud to jde už ze zadání konstrukce, zda trojúhelník lze vůbec sestrojit, abychom zbytečně neztráceli čas. Jak?Např. pomocí trojúhelníkové nerovnosti, velikosti

úhlů apod.2. Načrtnout si obrázek, v němž si vyznačíme zadané údaje. Udělat si náčrt konstruované situace.3. Rozebrat si postup, podle kterého budeme trojúhelník rýsovat. To znamená určit si, které znalosti nám při konstrukci trojúhelníku pomohou a jak.Např. vlastnosti trojúhelníku a jiných známých

geometrických útvarů nebo množiny bodů dané vlastnosti.4. Zapsat postup konstrukce, stanovený na základě

provedeného rozboru.5. Podle zapsaného postupu uskutečnit konstrukci a narýsovat zadaný trojúhelník.

6. Zapsat počet všech možných řešení zadané úlohy.


Náčrt:

A nyní již přikročíme ke konstrukci.Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém = 40°, = 60°, c = 8 cm.

c = 8 cm

První krok konstrukce, tj. určení, zda lze trojúhelník o zadaných hodnotách vůbec sestrojit, spočívá v tomto případě v ověření toho, zda součet zadaných úhlů je menší než součet všech tří vnitřních úhlů trojúhelníku, tzn. 180°.

= 40°

+ = 40°+60°= 100°100°< 180°

= 60°


Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém = 40°, = 60°, c = 8 cm.

Rozbor konstrukceK tomu, abychom sestrojili trojúhelník, potřebujeme mít zadány 3 údaje.Tak, jak je tomu v našem případě, kdy známe jednu stranu a dva úhly k ní přilehlé.Tyto tři zadané údaje se pak zpravidla využívají v prvních třech krocích postupu konstrukce.Čím při rýsování začneme?

c = 8 cm

= 40° = 60°

Při konstrukcích trojúhelníků začínáme většinou (je-li zadána) stranou, a to dolní vodorovně umístěnou stranou.



Rozbor konstrukceDále budeme hledat bod C. Co o něm víme?Víme, že leží na rameni úhlu o velikosti 40°.Kde se tedy může nacházet bod splňující danou podmínku?Co je množinou všech takových bodů?Je to polopřímka AY, tj. rameno úhlu = 40°.

c = 8 cm

= 40°

C1

C2

C3

C4

C5

Y

A


Rozbor konstrukceCo dále o bodu C víme?Víme, že leží i na rameni úhlu o velikosti 60°.Množinou bodů ležících na rameni úhlu o velikosti 60°je polopřímka AZ, tj. rameno úhlu = 60°.

c = 8 cm

= 40°

Y

A

= 60°


Z

B



Rozbor konstrukce

c = 8 cm

= 40°

Y

A

= 60°

ZZapisujeme:C AY BZ

Kde se tedy nachází vrchol C trojúhelníku?Leží v průsečíku polopřímky AY a polopřímky BZ, tzn. množiny všech bodů, které leží na rameni úhlu o velikosti 40°, a množiny všech bodů, které leží na rameni úhlu o velikosti 60°.Jako 2. a 3. krok konstrukce tedy narýsujeme výše uváděné polopřímky.

B

C


1. AB; AB = c = 8 cm

Postup a konstrukce:2. ; = YAB = 40°; AY

4. C; C AY BZ 5. Trojúhelník ABC 3. ; = ABZ = 60°;

BZ

pA B

C Y

Z


Výsledný trojúhelníkÚloha má jedno řešení.(v polorovině určené úsečkou AB a bodem C)Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.


Pár příkladů k procvičení – příklad č. 1

Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: c = 35 mm, = 120°, = 45°



Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: |BC| = 9 cm, = 35°, = 55°



Sestrojte trojúhelník OPQ, jestliže: |QOP| = 30°, |OPQ| = 115°, q = 7 cm


Konstrukce trojúhelníku podle věty usu

Otevřete si na závěr ještě následující odkaz. Můžete myší měnit polohu bodů A, B a sklon

polopřímek AX a BY (tzn. velikost úhlů) na uvedené konstrukci.

Sledujte, kdy se barva polopřímek změní v zelenou, tzn. kdy nelze trojúhelník sestrojit. Dokážete

odpovědět , kdy a proč to je?

http://www.horackova.cz/cabri/vyklad/633.htm




Konstrukce trojúhelníku podle věty usu

Tak co jste zjistili? Kdy se barva polopřímek mění v zelenou? Ano

správně. Je to ve chvíli, kdy součet dvou zadaných úhlů dosáhne

velikosti 180°. To znamená ve chvíli, kdy by mám na třetí úhel již

nezbýval ani „stupeň“ (vzhledem k tomu, že 180° je součet všech tří úhlů jakéhokoliv trojúhelníku).


Tak přesnou ruku při rýsování!

Konstrukce trojúhelníku

Documents