. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inspirace kuželosečkami Zdeněk Halas Katedra didaktiky matematiky 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 prezentace na www.karlin.mff.cuni.cz/~halas Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 1 / 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstrukce kuželoseček Konstrukce paraboly Eukleidova věta o výšce v 2 = c a · c b Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 2 / 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstrukce kuželoseček Konstrukce paraboly Eukleidova věta o výšce v 2 = c a · c b y 2 =2p · x Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 3 / 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstrukce kuželoseček Konstrukce paraboly Konstrukce paraboly v 2 = c a · c b y 2 =2p · x 2p = |TO| Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 4 / 21
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Inspirace kuželosečkami
Zdeněk Halas
Katedra didaktiky matematiky
50. výročí KDM, 30. 9. 2015
prezentace na www.karlin.mff.cuni.cz/~halas
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 1 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Konstrukce paraboly
Eukleidova věta o výšce
v2 = ca · cb
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 2 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Konstrukce paraboly
Eukleidova věta o výšce
v2 = ca · cb
y2 = 2p · x
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 3 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Konstrukce paraboly
Konstrukce paraboly
v2 = ca · cb y2 = 2p · x 2p = |TO|
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 4 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Parabola dle Apollónia
Parabola dle Apollónia z Pergé (200 př. Kr.)podle Eukleidovy věty o výšce:
|KX|2 = |MX| · |XN|
rovnoběžnost ⇒ |XN| = |HG|tj. |HG| je konstantní
△VMX ∼ △VBH ⇒ |BH||HV| =
|MX||XV|
tj.: poměr |BH||HV| je konstantní
celkem tedy
|KX|2 = |MX|·|XN| = |VX| · |BH||HV| ·|HG| = |BH| · |HG|
|HV| ·|VX|
y2 = p xZdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 5 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Parabola dle Apollónia
Parabola dle Apollónia z Pergé (200 př. Kr.)podle Eukleidovy věty o výšce:
|KX|2 = |MX| · |XN|
rovnoběžnost ⇒ |XN| = |HG|tj. |HG| je konstantní
△VMX ∼ △VBH ⇒ |BH||HV| =
|MX||XV|
tj.: poměr |BH||HV| je konstantní
celkem tedy
|KX|2 = |MX|·|XN| = |VX| · |BH||HV| ·|HG| = |BH| · |HG|
|HV| ·|VX|
y2 = p xZdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 5 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Parabola dle Apollónia
Parabola dle Apollónia z Pergé (200 př. Kr.)podle Eukleidovy věty o výšce:
|KX|2 = |MX| · |XN|
rovnoběžnost ⇒ |XN| = |HG|tj. |HG| je konstantní
△VMX ∼ △VBH ⇒ |BH||HV| =
|MX||XV|
tj.: poměr |BH||HV| je konstantní
celkem tedy
|KX|2 = |MX|·|XN| = |VX| · |BH||HV| ·|HG| = |BH| · |HG|
|HV| ·|VX|
y2 = p xZdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 5 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Parabola dle Apollónia
Parabola dle Apollónia z Pergé (200 př. Kr.)podle Eukleidovy věty o výšce:
|KX|2 = |MX| · |XN|
rovnoběžnost ⇒ |XN| = |HG|tj. |HG| je konstantní
△VMX ∼ △VBH ⇒ |BH||HV| =
|MX||XV|
tj.: poměr |BH||HV| je konstantní
celkem tedy
|KX|2 = |MX|·|XN| = |VX| · |BH||HV| ·|HG| = |BH| · |HG|
|HV| ·|VX|
y2 = p xZdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 5 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Parabola dle Apollónia
Parabola dle Apollónia (200 př. Kr.)Přikládání ploch
y2 = p x
Interpretace:úloha nalézt k zadané úsečce délky p úsečku délky x takovou,aby měl obdélník s těmito stranami stejný obsah, jako čtverecpředepsaného obsahu y2
přikládání ploch (řecky paraballó), odtud parabolé – parabolaEukleidovy Základy, I, 44
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 6 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Elipsa a hyperbola dle Apollónia
Elipsa a hyperbolaApollónios I, 12 a 13
Rovnice elipsy/hyperboly (vrchol v počátku):
(x ∓ a)2a2 ± y2
b2 = 1
vyjádříme-li y2:y2 = 2b2
a x ∓ b2a2 x2
Označme p = 2b2
a , paky2 = p x ∓ p
2a x2
minus – elleipsis plus – hyperbolé
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 7 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Konstrukce elipsy – trojúhelníková
Pravoúhlý trojúhelník v mezikruží
cosφ =xa sinφ =
yb , φ ∈ [0, 2π)
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 8 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Konstrukce elipsy – trojúhelníková
Konstrukce elipsy – trojúhelníková
cosφ =xa sinφ =
yb
x = a cosφ y = b sinφ
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 9 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Konstrukce kuželoseček Konstrukce elipsy – trojúhelníková
Konstrukce elipsy – trojúhelníková
cosφ =xa sinφ =
yb
tj.cos2 φ+ sin2 φ =
(xa)2
+(y
b)2
= 1
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 10 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Obsah elipsy
Obsah elipsy – Cavalieriho princip
kruh elipsa
x2 + y2 = a2 x2a2 +
y2b2 = 1
y =√
a2 − x2 y = b ·√
1− x2a2 =
ba ·
√a2 − x2
S = πa2 S =ba · πa2 = πab
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 11 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Tečny Tečna paraboly
Tečna paraboly
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 12 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Tečny Tečna paraboly
Tečna paraboly
y2 = 2pxt : y y0 = p (x + x0)V = O, T = [x0, y0]P = [?, 0]
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 13 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Tečny Tečna paraboly
Tečna paraboly
y2 = 2pxt : y y0 = p (x + x0)V = O, T = [x0, y0]P = [?, 0]
y y0 = p (x + x0)0 = p (x + x0)x = −x0
P = [−x0, 0]
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 14 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Tečny Tečna a asymptoty hyperboly
Asymptoty hyperboly
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 15 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Tečny Tečna a asymptoty hyperboly
Asymptoty hyperboly
t : x x0a2 − y y0
b2 = 1
a1,2 : y = ∓bax
průsečíky: x x0a2 ±
ba x y0b2 = 1
xa ·
(x0a ± y0
b)= 1
x1,2 =a
x0a ± y0
b
x1 =a⊕
x2 =a⊖
y1,2 = ±bax; y1 =
b⊕
y2 =−b⊖
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 16 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Tečny Tečna a asymptoty hyperboly
Asymptoty hyperboly
A = [a⊕,
b⊕] B = [
a⊖,−b⊖
]
S△ABO =1
2
∣∣∣∣∣∣∣a⊖
−b⊖
a⊕
b⊕
∣∣∣∣∣∣∣ =1
2(
ab⊕⊖
+ab⊕⊖
)
⊕⊖ = (x0a +
y0b ) · (x0
a − y0b ) =
x20a2 − y20
b2 = 1
S△ABO =1
2ab(1 + 1) = ab
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 17 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Skalární součin
odchylka asymtot
u⃗ · v⃗ = ∥u⃗∥ ∥⃗v∥ cosφ
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 18 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Skalární součin
Skalární součin
u⃗ · v⃗ = ∥u⃗∥ ∥⃗v∥ cosφ
∥u⃗ − v⃗∥2 = ∥u⃗∥2 + ∥⃗v∥2 − 2∥u⃗∥ ∥⃗v∥ cosφ
levá strana:∥u⃗ − v⃗∥2 = (⃗u − v⃗) · (⃗u − v⃗) == u⃗ · u⃗−2u⃗ · v⃗+ v⃗ · v⃗ = ∥u⃗∥2−2u⃗ · v⃗+ ∥⃗v∥2
tj.:∥u⃗∥2 − 2u⃗ · v⃗ + ∥⃗v∥2 =∥u⃗∥2 + ∥⃗v∥2 − 2∥u⃗∥ ∥⃗v∥ cosφ
u⃗ · v⃗ = ∥u⃗∥ ∥⃗v∥ cosφ
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 19 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Skalární součin
Skalární součin
u⃗ · v⃗ = ∥u⃗∥ ∥⃗v∥ cosφ
∥u⃗ − v⃗∥2 = ∥u⃗∥2 + ∥⃗v∥2 − 2∥u⃗∥ ∥⃗v∥ cosφ
levá strana:∥u⃗ − v⃗∥2 = (⃗u − v⃗) · (⃗u − v⃗) == u⃗ · u⃗−2u⃗ · v⃗+ v⃗ · v⃗ = ∥u⃗∥2−2u⃗ · v⃗+ ∥⃗v∥2
tj.:∥u⃗∥2 − 2u⃗ · v⃗ + ∥⃗v∥2 =∥u⃗∥2 + ∥⃗v∥2 − 2∥u⃗∥ ∥⃗v∥ cosφ
u⃗ · v⃗ = ∥u⃗∥ ∥⃗v∥ cosφ
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 19 / 21.
.
...
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Závěr
Inspirace kuželosečkami
počátek (sluneční hodiny, zdvojení krychle)kuželo-sečky (Queteletova-Dandelinova věta)konstrukce kuželoseček- elipsa: bodová, zahradnická, proužková a elipsograf, trojúhelníkovánázev jednotlivých kuželosečekrovnice (parametrické, polární souřadnice, ohniskové, vrcholové)tečnaobsahy, objemy (Archimédés, objemy paraboloidu a elipsoidu)aplikace- elipsa: planety, klenby- parabola: ohnisková vlastnost, šikmý vrh- hyperbola: zvukoměřičská úloha
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 20 / 21
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Závěr
Děkuji za pozornost
prezentace na www.karlin.mff.cuni.cz/~halas
Zdeněk Halas (Katedra didaktiky matematiky) Inspirace kuželosečkami 50. výročí KDM, 30. 9. 2015 21 / 21
Related Documents
