Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

Buletin Ilmiah Mat.Stat dan Terapannya (Bimaster)

Volume 10, No.4 (2021),hal 417-426

417

INVERS MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN METODE FADDEEV

DAN ALGORITMA LEVERRIER-FADDEEV

Humaira Ichlashi Amaliah, Evi Noviani, Yudhi

INTISARI

Suatu matriks jika dikalikan dengan inversnya, akan menghasilkan matriks identitas

dan dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol.

Penelitian ini membahas tentang menentukan invers dari suatu matriks dengan

menggunakan metode Faddeev dan menentukan polinomial karakteristik dan invers matriks

dengan menggunakan algoritma Leverrier-Faddeev. Langkah-langkah dalam menentukan

invers matriks dengan menggunakan metode Faddeev yaitu dengan menentukan matriks

iterasi dengan nilai trace sehingga diperoleh invers matriks. Langkah-langkah dalam

menentukan invers matriks dengan menggunakan algoritma Leveerrier-Faddeev yaitu

dengan menentukan nilai koefisien dekomposisi polinomial karakteristik dan matriks

dekomposisi iterasi dengan nilai trace sehingga diperoleh invers matriks. Hasil dari

penelitian ini menunjukkan bahwa invers matriks dapat dicari dengan menghitung nilai

trace dari matriks tersebut dan juga dapat memperoleh polinomial karakteristik dari

matriks tersebut.

Kata Kunci : invers matriks, trace matriks, polinomial karakteristik.

PENDAHULUAN

Suatu matriks memiliki invers ketika terdapat matriks lain berukuran sama jika

dikalikan menghasilkan matriks identitas. Invers matriks digunakan untuk menyelesaikan

persamaan matriks dengan sistem persamaan linear dan penggunaan untuk kode sandi

rahasia atau kriptografi [1]. Secara umum, untuk mencari invers dari suatu matriks, yaitu

dengan cara menentukan determinan dan adjoin dari matriks terlebih dahulu. Selain itu,

invers matriks juga dapat ditentukan dengan cara metode eliminasi Gauss Jordan.

Penelitian ini membahas tentang menentukan invers matriks dengan metode Faddeev dan

menentukan polinomial karakteristik dan invers suatu matriks dengan menggunakan

algoritma Leverrier-Faddeev.

Metode Faddeev merupakan salah satu metode untuk menentukan invers dari suatu

matriks dengan berdasarkan langkah dari metode Leverrier Takeno dalam menentukan

koefisien polinomial karakteristik. Invers matriks dapat ditentukan menggunakan metode

Faddeev yaitu dengan menghitung trace (penjumlahan setiap entri pada diagonal utama)

dari matriks yang digunakan. Adapun cara lain untuk menentukan invers ialah dengan

menggunakan algoritma Leverrier-Faddeev dengan melakukan pemfaktoran dari

polinomial karakteristik dan post vektor yang bersesuaian dengan nilai eigen dari suatu

matriks yang digunakan.

Langkah-langkah dalam menentukan invers matriks dengan menggunakan metode

Faddeev yaitu dengan menentukan nilai 𝑞𝑖, 𝐁𝑖, dan 𝐀𝑖+1 sehingga diperoleh invers

matriks dengan rumus 𝐀−1 =1

𝑞𝑛𝐁𝑛−1. Sedangkan langkah-langkah dalam menentukan

invers matriks dengan menggunakan algoritma Leveerrier-Faddeev yaitu dengan

418 H.I.AMALIAH, E.NOVIANI, YUDHI

menentukan nilai 𝑝𝑖+1 dan 𝐘𝑖+1 sehingga diperoleh invers matriks dengan rumus 𝐀−1 = −1

𝑝𝑛(𝐘𝑛−2 +

𝑝𝑛−1𝐈), dan post vektor dari matriks 𝐀. Terdapat salah satu penelitian yang membahas tentang

penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dan Hermit dengan metode invers matriks. Kemudian

invers matriks pada penelitian tersebut menggunakan metode Faddeev dan contoh kasus yang

digunakan yaitu penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dan Hermit untuk ukuran matriks

4 × 4 dan 5 × 5 [2]. Oleh karena itu, pada penelitian ini dibahas lebih lanjut metode untuk

menentukan invers matriks yaitu metode Faddeev dan belum banyak yang membahas lebih lanjut

tentang invers matriks dengan algoritma Leverrier-Faddeev beserta polinomial karakteristik dan post

vektor dalam algoritma tersebut.

METODE FADDEV

Metode Faddeev merupakan salah satu metode untuk menentukan invers dari suatu matriks dengan

berdasarkan langkah dari metode Leverrier Takeno dalam menentukan koefisien polinomial

karakteristik [2]. Metode Leverrier-Takeno terbentuk berdasarkan hubungan antar koefisien

polinomial yang memiliki aplikasi dalam analisis numerik sehingga diperlukan polinomial

karakteristik dari metode ini [3]. Langkah-langkah untuk mencari nilai invers dari matriks dengan

menggunakan metode Faddeev yaitu:

Diberikan matriks 𝐀 berukuran 𝑛 × 𝑛 dan misalkan 𝐀𝑖 = 𝐀 dengan 𝑖 = 1, kemudian menentukan

invers dengan menggunakan metode Faddeev dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut

𝐀1 = 𝐀 ; 𝑞1 =𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐀1)

1

𝐁1 = 𝐀1 − 𝑞1𝐈

𝐀2 = 𝐁1𝐀 ; 𝑞2 =𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐀2)

2

𝐁2 = 𝐀2 − 𝑞2𝐈

⋮

𝐀𝑖+1 = 𝐁𝑖𝐀 ; 𝑞𝑖 =𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐀𝑖)

𝑖

dengan trace(𝐀1), trace(𝐀2), … , trace(𝐀𝐢) adalah trace matriks yaitu penjumlahan setiap elemen

pada diagonal utama pada matriks persegi yang berukuran 𝑛 × 𝑛. Adapun diperoleh invers

matriksnya yaitu 𝐀−1 =1

𝑞𝑛𝐁𝑛−1.

Contoh 1: Diberikan matriks dengan entri yang berukuran 5 × 5,

𝐀 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

Tentukan invers matriks 𝐀 dengan menggunakan Metode Faddeev.

Penyelesaian :

Misalkan bahwa 𝐀1 = 𝐀,

𝐀1 = 𝐀 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan Algoritma Leverrier-Faddeev 419

Kemudian mencari nilai 𝑞1

𝑞1 =𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐀1)

1=2 + 2 + 2 + 2 + 2

1= 10

Selanjutnya mencari nilai 𝐁1

𝐁1 = 𝐀1 − 𝑞1𝐈

𝐁1 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

− 10

[ 1 0 00 1 0

0 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 01 00 1]

=

[ −8 1 11 −8 1

2 41 2

3 1 −82 3 11 2 3

1 1−8 11 −8]

Setelah itu mencari nilai 𝐀2

𝐀2 = 𝐁1𝐀

𝐀2 =

[ −8 1 11 −8 1

2 41 2

3 1 −82 3 11 2 3

1 1−8 11 −8]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[

−4 9 91 −7 2

−6 −9−1 −6

−14 2 −8−5 −13 27 −5 −14

2 9−7 91 −4]

Berikutnya mencari nilai 𝑞2


2=−4 − 7 − 8 − 7 − 4

2= −15

Kemudian mencari nilai 𝐁2

𝐁2 = 𝐀2 − 𝑞2𝐈

𝐁2 =

[

−4 9 91 −7 2

−6 −9−1 −6

−14 2 −8−5 −13 27 −5 −14

2 9−7 91 −4]

− (−15)

[ 1 0 00 1 0

0 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 01 00 1]

=

[

11 9 91 8 2

−6 −9−1 −6

−14 2 7−5 −13 27 −5 −14

2 98 91 11 ]

Selanjutnya mencari nilai 𝐀3

𝐀3 = 𝐁2𝐀

𝐀3 =

[

11 9 91 8 2

−6 −9−1 −6

−14 2 7−5 −13 27 −5 −14

2 98 91 11 ]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ 27 −18 −258 4 −6

9 274 9

8 21 318 13 21−20 8 8

−6 −254 −181 11 ]

Setelah itu mencari nilai 𝑞3


3=27 + 4 + 31 + 4 + 27

3= 31

Berikutnya mencari nilai 𝐁3

𝐁3 = 𝐀3 − 𝑞3𝐈

𝐁3 =

[ 27 −18 −258 4 −6

9 274 9

8 21 318 13 21−20 8 8

−6 −254 −181 11 ]

− 31

[ 1 0 00 1 0

0 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 01 00 1]

=

[ −4 −18 −258 −27 −6

9 274 9

8 21 08 13 21−20 8 8

−6 −25−27 −181 −4 ]


Kemudian mencari nilai 𝐀4

𝐀4 = 𝐁3𝐀

𝐀4 =

[ −4 −18 −258 −27 −6

9 274 9

8 21 08 13 21−20 8 8

−6 −25−27 −181 −4 ]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ −56 16 18−12 −22 0

−6 −140 −6

0 −18 −5220 −62 −184 20 0

0 18−22 16−12 −56]

Selanjutnya mencari nilai 𝑞4


4=−56 − 22 − 52 − 22 − 56

4= −5

Setelah itu mencari nilai 𝐁5

𝐁5 = 𝐀4 − 𝑞4𝐈

𝐁5 =

[ −56 16 18−12 −22 0

−6 −140 −6

0 −18 −5220 −62 −184 20 0

0 18−22 16−12 −56]

− (−52)

[ 1 0 00 1 0

0 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 01 00 1]

=

[ −4 16 18−12 30 0

−6 −140 −6

0 −18 020 −62 −184 20 0

0 1830 16−12 −4]

Berikutnya mencari nilai 𝐀5

𝐀5 = 𝐁4𝐀

𝐀5 =

[ −4 16 18−12 30 0

−6 −140 −6

0 −18 020 −62 −184 20 0

0 1830 16−12 −4]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ 36 0 00 36 0

0 00 0

0 0 360 0 00 0 0

0 036 00 36]

Kemudian mencari nilai 𝑞5


5=36 + 36 + 36 + 36 + 36

5= 36

Dan selanjutnya mencari nilai 𝐀−1

𝐀−1 =1

𝑞5𝐁4 =

[ −1

9

4

9 1

2−1

3

5

6 0

−1

6

−7

18

0−1

6

0−1

20

5

9

−31

18

−1

2

1

9

5

90

01

25

6

4

9−1

3

−1

9 ]

ALGORITMA LEVERRIER-FADDEEV

Algoritma Leverrier-Faddeev merupakan metode rekursif untuk menghitung koefisien polinomial

karakteristik dari suatu matriks yang berbentuk persegi. Algoritma ini dinamai oleh D.K Faddeev dan

Urbain Le Verrier. Akar-akar dari polinomial karakteristik yang diperoleh tersebut merupakan nilai

eigen dari suatu matriks [4]. Algoritma ini tidak hanya dikembangkan untuk tujuan komputasi, tetapi

juga untuk pengembangan tentang matriks. Salah satu yang ditemukan oleh Gower yaitu mendapatkan

solusi dekomposisi matriks dengan struktur khusus, terutama matriks berpola, yang telah dijelaskan

oleh Faddeev dan Faddeeva yang menghubungkannya dengan penjelasan oleh Leverrier.


Gower mengembangkan algoritma lebih lanjut dan menunjukkan nilainya, bukan untuk perhitungan,

tetapi untuk mendapatkan hasil aljabar [4]. Diberikan matriks 𝐀 berukuran 𝑛 × 𝑛, bentuk dasar dari

algoritma Leverrier-Faddeev adalah:

𝐘0 = 𝐀 𝐘1 = 𝐀𝐘0 + 𝑝1𝐀𝐘2 = 𝐀𝐘1 + 𝑝2𝐀

⋮ 𝐘𝑖+1 = 𝐀𝐘𝑖 + 𝑝𝑖+1𝐀

;;;

;

𝑝1 = −𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐘0)

𝑝2 = −1

2𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐘1)

𝑝3 = −1

3𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐘2)

⋮

𝑝𝑖+1 = −1

𝑖+1𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐘𝑖)}

(1)

Langkah-langkah Algoritma (1) dapat dinyatakan bahwa:

i. 𝐘𝑛 = 𝟎

ii. Polinomial karakteristik dari matriks 𝐀 yaitu

𝑝(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑝1𝜆𝑛−1 + 𝑝2𝜆

𝑛−2 +⋯+ 𝑝𝑖+1

iii. 𝐀−1 = −1

𝑝𝑖+1(𝐘𝑖−1 + 𝑝𝑖𝐈)

iv. Mendefinisikan 𝐘 = ∑ 𝜆𝑛−1−𝑖𝐘𝑖𝑛−1𝑖=0 , maka 𝐀𝐘 = 𝐘𝐀 = 𝜆𝐘

Misalkan 𝐀 merupakan matriks persegi berordo 𝑛 dengan polinomial karakteristik

𝑝(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑝1𝜆𝑛−1 + 𝑝2𝜆

𝑛−2 +⋯+ 𝑝𝑖+1 untuk 𝑖 = 0,1,… 𝑛 − 1 dengan 𝑝(𝜆) = 0 yang memiliki

akar-akar 𝜆𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Dalam algortima ini, Faddeev dan Faddeeva menyatakan bahwa

ketika akar-akar 𝜆𝑗 berbeda [5], maka untuk setiap 𝜆 memiliki

𝐘 = ∑𝜆𝑛−1−𝑖𝐘𝑖

𝑛−1

𝑖=0

.

Berdasarkan algoritma (1), maka

𝜆𝑛𝐘0 = 𝜆𝑛𝐀

𝜆𝑛−1𝐘1 = 𝜆𝑛−1𝐀𝐘0 + 𝜆

𝑛−1𝑝1𝐀


𝑛−2𝑝1𝐀

⋮

𝜆𝑛−(𝑖+1)𝐘𝑖+1 = 𝜆𝑛−(𝑖+1)𝐀𝐘𝑖 + 𝜆

𝑛−(𝑖+1)𝑝𝑖+1𝐀,

(2)

untuk 𝑖 = 0,1,… 𝑛 − 1

kemudian jumlahkan semua ruas kiri dan kanan dari Persamaan (2), sehingga

𝐘𝑛 = (𝐀 − 𝜆𝐈)𝐘 + 𝐀(𝑝(𝜆))

karena (𝐀 − 𝜆𝐈) = 𝟎 dan 𝑝(𝜆) = 0, maka 𝐘𝑛 = 𝟎.

Misalkan det(𝜆𝐈 − 𝐀) = 𝜆𝑛 + 𝑝1𝜆𝑛−1 + 𝑝2𝜆

𝑛−2 +⋯+ 𝑝𝑖+1 = 𝑝(𝜆) dengan diberikan matriks 𝐀

berukuran 𝑛 × 𝑛. Kemudian misalkan (𝜆𝐈 − 𝐀)−1 yang merupakan resolven dari 𝐀 dinyatakan sebagai

berikut

(𝜆𝐈 − 𝐀)−1 =𝐍0𝜆

𝑛−1 + 𝐍1𝜆𝑛−2 +⋯+ 𝐍𝑛

𝜆𝑛 + 𝑝1𝜆𝑛−1 +⋯+ 𝑝𝑛

=𝐍(𝜆)

𝑝(𝜆), (3)

dengan matriks adjugat 𝐍(𝜆) adalah polinomial 𝜆 berderajat 𝑛 − 1 dengan koefisien matriks

𝐍0, 𝐍1, … , 𝐍𝑛 dengan 𝐍𝑖 = 𝐀−1𝐘𝑖 [4].

Untuk menguraikan Persamaan (3) digunakan transformasi Laplace dari matriks eksponensial dengan

menyelesaikan ℒ(𝑒𝑡𝐴) = (𝜆𝐈 − 𝐀)−1.


Diketahui 𝑑𝑒𝑡𝐀

𝑑𝑡= 𝐀𝑒𝑡𝐀, maka diperoleh

ℒ (𝑑𝑒𝑡𝐀

𝑑𝑡) = ℒ(𝐀𝑒𝑡𝐀)

𝜆ℒ(𝑒𝑡𝐀) − 𝐈 = 𝐀 ℒ(𝑒𝑡𝐀)

𝜆ℒ(𝑒𝑡𝐀) − 𝐈 = 𝐀𝐍(𝜆)

𝑝(𝜆)

𝜆 trace (ℒ(𝑒𝑡𝐀)) − trace (𝐈) = trace (𝐘(𝜆)

𝑝(𝜆))

𝜆 (𝑝′(𝜆)

𝑝(𝜆)) − 𝑛 = trace (

𝐘(𝜆)

𝑝(𝜆))

𝜆 𝑝′(𝜆) − 𝑛 𝑝(𝜆) = trace 𝐘(𝜆)

(−𝑝1𝜆𝑛−1 +⋯+ 𝑝𝑛−1) + 𝑛𝑝𝑛 = trace (𝐘1𝜆

𝑛−1 + 𝐘2𝜆𝑛−2 +⋯+ 𝐘𝑛)

kemudian

−𝑝1𝜆𝑛−1 = trace (𝐘1𝜆

𝑛−1)

−𝑝1 = trace (𝐘1)

sehingga 𝑝𝑘 = −1

𝑘 trace (𝐘𝑘−1), untuk 𝑘 = 1,2, … , 𝑛.

Diketahui misalkan 𝐘𝑛 = 𝟎,

𝐘𝑛 = 𝟎

𝐀𝐘𝑛−1 + 𝑝𝑛𝐀 = 𝟎

−𝐀𝐘𝑛−1 = 𝑝𝑛𝐀

−𝐀(𝐘𝑛−2 + 𝑝𝑛−1𝐀) = 𝑝𝑛𝐀

−𝐀−1𝐀(𝐘𝑛−2 + 𝑝𝑛−1𝐀) = 𝐀−1𝐀𝑝𝑛

−𝐈(𝐘𝑛−2 + 𝑝𝑛−1𝐀) = 𝐀−1𝐀𝑝𝑛

−𝐀(𝐘𝑛−2 + 𝑝𝑛−1𝐈) = 𝐀−1𝐀𝑝𝑛

maka akan menghasilkan bahwa

𝐀−1 = −1

𝑝𝑛(𝐘𝑛−2 + 𝑝𝑛−1𝐈).

Misalkan 𝐀 merupakan matriks persegi berordo 𝑛 dengan polinomial karakteristik

𝑝(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑝1𝜆𝑛−1 + 𝑝2𝜆

𝑛−2 +⋯+ 𝑝𝑖+1 untuk 𝑖 = 0,1,… 𝑛 − 1 dengan 𝑝(𝜆) = 0 yang memiliki

akar-akar 𝜆𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Dalam algoritma ini, Faddeev dan Faddeeva menyatakan bahwa

ketika akar-akar 𝜆𝑗 berbeda [5], maka 𝐘 = ∑ 𝜆𝑛−1−𝑖𝐘𝑖𝑛−1𝑖=0 .

Sehingga

𝜆𝑛𝐘0 = 𝜆𝑛𝐀


𝑛−1𝑝1𝐀


𝑛−2𝑝1𝐀

⋮

𝜆𝑛−(𝑖+1)𝐘𝑖+1 = 𝜆𝑛−(𝑖+1)𝐀𝐘𝑖 + 𝜆

𝑛−(𝑖+1)𝑝𝑖+1𝐀

(5)

untuk 𝑖 = 0,1,… 𝑛 − 1.

Kemudian jumlahkan semua ruas kiri dan kanan dalam persamaan (4), sehingga

𝜆𝑛𝐘0 + 𝜆𝑛−1𝐘1 + 𝜆

𝑛−2𝐘2 +⋯+ 𝐘𝑛 = 𝐀(𝜆𝑛 + 𝜆𝑛−1𝐘0 + 𝜆

𝑛−2𝐘1 +⋯+ 𝐘𝑖) + 𝐀(𝜆𝑛 + 𝑝1𝜆

𝑛−1 +

𝑝2𝜆𝑛−2…+ 𝑝𝑛)

𝜆𝑛𝐘0 + 𝜆𝑛−1𝐘1 + 𝜆

𝑛−2𝐘2 +⋯+ 𝐘𝑛 = 𝐀𝐘 + 𝐀(𝑝(𝜆))

𝜆𝐘 + 𝐘𝑛 = 𝐀𝐘 + 𝐀(𝑝(𝜆))

karena 𝐘𝑛 = 𝟎 dan 𝑝(𝜆) = 0, maka 𝜆𝐘 = 𝐀𝐘.


Dengan demikian, langkah-langkah dari algoritma i, ii, iii, iv memberikan karakteristik polinomial,

invers, solusi dekomposisi dari matriks 𝐀 dengan 𝐘 merupakan post vektor dari matriks 𝐀 yang

bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆.

Contoh 2: Diberikan matriks dengan entri yang berukuran 5 × 5,

𝐀 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

Tentukan polinomial karakteristik, invers matriks, nilai eigen dan post vektor dari matriks 𝐀 dengan

menggunakan Algoritma Leverrier - Faddeev.

Penyelesaian:

Pertama, misalkan bahwa 𝐘0 = 𝐀,

𝐘0 = 𝐀 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

Kemudian mencari nilai 𝑝1

𝑝1 = −𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐘0) = −10

Selanjutnya mencari nilai 𝐘1

𝐘1 = 𝐀𝐘0 + 𝑝1𝐀

𝐘1 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

+ (−10)

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[

−4 9 91 −7 2

−6 −19−1 −6

−14 2 −8−5 −13 27 −5 −14

2 9−7 91 −4 ]

Setelah itu mencari nilai 𝑝2

𝑝2 = −1

2𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐘1) = 15

Berikutnya mencari nilai 𝐘2

𝐘2 = 𝐀𝐘1 + 𝑝2𝐀

𝐘2 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[

−4 9 91 −7 2

−6 −19−1 −6

−14 2 −8−5 −13 27 −5 −14

2 9−7 91 −4 ]

+ 15

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ 27 −18 −258 4 −6

9 274 9

8 21 318 13 21−20 8 8

−6 −254 −188 27 ]

Kemudian mencari nilai 𝑝3

𝑝3 = −1

3𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐘2) = −31


Setelah itu mencari nilai 𝐘3

𝐘3 = 𝐀𝐘2 + 𝑝3𝐀

𝐘3 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[ 27 −18 −258 4 −6

9 274 9

8 21 318 13 21−20 8 8

−6 −254 −188 27 ]

− 31

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ −56 16 18−12 −22 0

−6 −140 −6

0 −18 −5220 −62 −184 20 0

0 18−22 16−12 −56]

Selanjutnya mencari nilai 𝑝4

𝑝4 = −1

4𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐘3) = 52

Berikutnya mencari nilai 𝐘4

𝐘4 = 𝐀𝐘3 + 𝑝4𝐀

𝐘4 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[ −56 16 18−12 −22 0

−6 −140 −6

0 −18 −5220 −62 −184 20 0

0 18−22 16−12 −56]

+ 52

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ 36 0 00 36 0

0 00 0

0 0 360 0 00 0 0

0 036 00 36]

Setelah itu mencari nilai 𝑝5

𝑝5 = −1

5𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐘4) = −36

Selanjutnya,

Mencari nilai 𝐘5 = 𝟎, 𝐘5 karena matriks yang digunakan berordo 5

𝐘5 = 𝐀𝐘4 + 𝑝4𝐀

𝐘5 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[ 36 0 00 36 0

0 00 0

0 0 360 0 00 0 0

0 036 00 36]

− 36

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

= [0 0 00 0 00 0 0

] = 𝟎

Mencari polinomial karakteristik

Diketahui 𝑛 = 5, 𝑝1 = −10, 𝑝2 = 15, 𝑝3 = −31, 𝑝4 = 52, 𝑝5 = −36

sehingga diperoleh polinomial karakteristik yaitu 𝜆5 − 10𝜆4 + 15𝜆3 − 31𝜆2 + 52𝜆 − 36 = 0

Mencari invers matriks 𝐀

𝐀−1 = −1

𝑝5(𝐘3 + 𝑝4𝐈 =

[ −1

9

4

9 1

2−1

3

5

6 0

−1

6

−7

18

0−1

6

0−1

20

5

9

−31

18

−1

2

1

9

5

90

01

25

6

4

9−1

3

−1

9 ]


Mencari nilai eigen dan post vektor

𝜆5 − 10𝜆4 + 15𝜆3 − 31𝜆2 + 52𝜆 − 36 = 0

dengan menggunakan bantuan website wolfarm alpha, diperoleh

𝜆1 ≈ 8,59975, 𝜆2 ≈ −0,353214 − 1,72287𝑖, 𝜆3 ≈ −0,353214 + 1,72287𝑖,

𝜆4 ≈ 1,05334 − 0,493864𝑖, 𝜆5 ≈ 1,05334 + 0,493864𝑖

Berikutnya mencari vektor yang bersesuaian dengan nilai eigen dengan menggunakan 𝐘0, 𝐘1, 𝐘2, 𝐘3,

𝐘4, 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, 𝜆4, 𝜆5 maka akan dipilih salah satu nilai eigen yaitu

𝜆1 ≈ 8,59975

Untuk mencari post vektor tersebut digunakan rumus berikut

𝐘 = ∑ 𝜆𝑛−1−𝑖𝐘𝑖𝑛−1𝑖=0 𝐘 = ∑ 𝜆1

4−𝑖𝐘𝑖𝑛−1𝑖=0

𝑌 = 𝜆14𝐘0 + 𝜆1

3𝐘1 + 𝜆12𝐘2 + 𝜆1𝐘3 + 𝐘4 =

[ 9946,10692 9999,84374 9499,353346593,89470 6629,51573 6297,71243

7736,89076 11670,179615129,26784 7736,89076

8095,97489 8139,72083 7732,326608522,52909 8568,56942 8139,720838476,73428 8522,52909 8095,97489

6297,71243 9499,353346629,51573 9999,843746593,89470 9946,10692 ]

Maka vektor dari matriks 𝐀 adalah

[ 9946,10692 9999,84374 9499,353346593,89470 6629,51573 6297,71243

7736,89076 11670,179615129,26784 7736,89076

8095,97489 8139,72083 7732,326608522,52909 8568,56942 8139,720838476,73428 8522,52909 8095,97489

6297,71243 9499,353346629,51573 9999,843746593,89470 9946,10692 ]

Selanjutnya akan dicari bahwa 𝐀𝐘 = 𝐘𝐀 = 𝜆𝐘

𝐀𝐘 =

[ 85534,07873 85996,17924 81692,0869356705,86886 57012,22363 54158,77541

66535,37205 100360,7184844110,44400 66535,37205

69623,42861 69999,58712 66496,1213773291,66529 73687,62343 69999,5871272897,81864 73291,66529 69623,42861

54158,77541 81692,0869357012,22363 85996,1792456705,86886 85534,07873 ]

𝐘𝐀 =

[ 85534,07873 85996,17924 81692,0869356705,86886 57012,22363 54158,77541

66535,37205 100360,7184844110,44400 66535,37205

69623,42861 69999,58712 66496,1213773291,66529 73687,62343 69999,5871272897,81864 73291,66529 69623,42861

54158,77541 81692,0869357012,22363 85996,1792456705,86886 85534,07873 ]

𝜆𝐘 =

[ 85534,03299 85996,1562 81692,0638956705,84595 57012,1779 54158,75247

66535,32631 100360,627144110,42111 66535,32631

69623,36006 69999,56421 66496,0756873291,61954 73687,55487 69999,5642172897,79562 73291,61954 69623,36006

54158,75247 81692,0638957012,1779 85996,156256705,84595 85534,03299]

Karena diperoleh hasil nilai eigen dan post vektor yang bersesuaian, maka 𝐀𝐘 = 𝐘𝐀 = 𝜆𝐘.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Side S. Aplikasi Invers Matriks dalam Pembentukan Pesan Rahasia. Jurnal Teknosains, 2015; 9:

27-39.

[2] Aryani F. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks dengan Invers Matriks Menggunakan

Metode Faddeev. Jurnal Sains Matematika dan Statistika, 2016; 2: 82-88

[3] Caltenco J. Characteristic polynomial of A and Faddeev’s method for A−1. Educatia Matematica,

2007; 3: 107-112.

[4] Gower J C. An application of the modified Leverrier-Faddeev algorithm to the the spectral

decomposition of symmetric block-circulant matrices. Computational Statistics and Data

Analysis, 2006; 50: 89–106.


[5] Hou S H, A Simple Proof of Leverrier-Faddeev Characteristic Polynomial Algorithm. Society for

Industrial and Applied Mathematics, 1998; 40: 706-709.

HUMAIRA ICHLASHI AMALIAH : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak

[email protected]

EVI NOVIANI : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak

[email protected]

YUDHI : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak

[email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

mailto:%[email protected]

Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

Documents