Top Banner
Buletin Ilmiah Mat.Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 10, No.4 (2021),hal 417-426 417 INVERS MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN METODE FADDEEV DAN ALGORITMA LEVERRIER-FADDEEV Humaira Ichlashi Amaliah, Evi Noviani, Yudhi INTISARI Suatu matriks jika dikalikan dengan inversnya, akan menghasilkan matriks identitas dan dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol. Penelitian ini membahas tentang menentukan invers dari suatu matriks dengan menggunakan metode Faddeev dan menentukan polinomial karakteristik dan invers matriks dengan menggunakan algoritma Leverrier-Faddeev. Langkah-langkah dalam menentukan invers matriks dengan menggunakan metode Faddeev yaitu dengan menentukan matriks iterasi dengan nilai trace sehingga diperoleh invers matriks. Langkah-langkah dalam menentukan invers matriks dengan menggunakan algoritma Leveerrier-Faddeev yaitu dengan menentukan nilai koefisien dekomposisi polinomial karakteristik dan matriks dekomposisi iterasi dengan nilai trace sehingga diperoleh invers matriks. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa invers matriks dapat dicari dengan menghitung nilai trace dari matriks tersebut dan juga dapat memperoleh polinomial karakteristik dari matriks tersebut. Kata Kunci : invers matriks, trace matriks, polinomial karakteristik. PENDAHULUAN Suatu matriks memiliki invers ketika terdapat matriks lain berukuran sama jika dikalikan menghasilkan matriks identitas. Invers matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks dengan sistem persamaan linear dan penggunaan untuk kode sandi rahasia atau kriptografi [1]. Secara umum, untuk mencari invers dari suatu matriks, yaitu dengan cara menentukan determinan dan adjoin dari matriks terlebih dahulu. Selain itu, invers matriks juga dapat ditentukan dengan cara metode eliminasi Gauss Jordan. Penelitian ini membahas tentang menentukan invers matriks dengan metode Faddeev dan menentukan polinomial karakteristik dan invers suatu matriks dengan menggunakan algoritma Leverrier-Faddeev. Metode Faddeev merupakan salah satu metode untuk menentukan invers dari suatu matriks dengan berdasarkan langkah dari metode Leverrier Takeno dalam menentukan koefisien polinomial karakteristik. Invers matriks dapat ditentukan menggunakan metode Faddeev yaitu dengan menghitung trace (penjumlahan setiap entri pada diagonal utama) dari matriks yang digunakan. Adapun cara lain untuk menentukan invers ialah dengan menggunakan algoritma Leverrier-Faddeev dengan melakukan pemfaktoran dari polinomial karakteristik dan post vektor yang bersesuaian dengan nilai eigen dari suatu matriks yang digunakan. Langkah-langkah dalam menentukan invers matriks dengan menggunakan metode Faddeev yaitu dengan menentukan nilai , , dan +1 sehingga diperoleh invers matriks dengan rumus โˆ’1 = 1 โˆ’1 . Sedangkan langkah-langkah dalam menentukan invers matriks dengan menggunakan algoritma Leveerrier-Faddeev yaitu dengan
10

Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

Dec 23, 2022

Download

Documents

Khang Minh
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

Buletin Ilmiah Mat.Stat dan Terapannya (Bimaster)

Volume 10, No.4 (2021),hal 417-426

417

INVERS MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN METODE FADDEEV

DAN ALGORITMA LEVERRIER-FADDEEV

Humaira Ichlashi Amaliah, Evi Noviani, Yudhi

INTISARI

Suatu matriks jika dikalikan dengan inversnya, akan menghasilkan matriks identitas

dan dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol.

Penelitian ini membahas tentang menentukan invers dari suatu matriks dengan

menggunakan metode Faddeev dan menentukan polinomial karakteristik dan invers matriks

dengan menggunakan algoritma Leverrier-Faddeev. Langkah-langkah dalam menentukan

invers matriks dengan menggunakan metode Faddeev yaitu dengan menentukan matriks

iterasi dengan nilai trace sehingga diperoleh invers matriks. Langkah-langkah dalam

menentukan invers matriks dengan menggunakan algoritma Leveerrier-Faddeev yaitu

dengan menentukan nilai koefisien dekomposisi polinomial karakteristik dan matriks

dekomposisi iterasi dengan nilai trace sehingga diperoleh invers matriks. Hasil dari

penelitian ini menunjukkan bahwa invers matriks dapat dicari dengan menghitung nilai

trace dari matriks tersebut dan juga dapat memperoleh polinomial karakteristik dari

matriks tersebut.

Kata Kunci : invers matriks, trace matriks, polinomial karakteristik.

PENDAHULUAN

Suatu matriks memiliki invers ketika terdapat matriks lain berukuran sama jika

dikalikan menghasilkan matriks identitas. Invers matriks digunakan untuk menyelesaikan

persamaan matriks dengan sistem persamaan linear dan penggunaan untuk kode sandi

rahasia atau kriptografi [1]. Secara umum, untuk mencari invers dari suatu matriks, yaitu

dengan cara menentukan determinan dan adjoin dari matriks terlebih dahulu. Selain itu,

invers matriks juga dapat ditentukan dengan cara metode eliminasi Gauss Jordan.

Penelitian ini membahas tentang menentukan invers matriks dengan metode Faddeev dan

menentukan polinomial karakteristik dan invers suatu matriks dengan menggunakan

algoritma Leverrier-Faddeev.

Metode Faddeev merupakan salah satu metode untuk menentukan invers dari suatu

matriks dengan berdasarkan langkah dari metode Leverrier Takeno dalam menentukan

koefisien polinomial karakteristik. Invers matriks dapat ditentukan menggunakan metode

Faddeev yaitu dengan menghitung trace (penjumlahan setiap entri pada diagonal utama)

dari matriks yang digunakan. Adapun cara lain untuk menentukan invers ialah dengan

menggunakan algoritma Leverrier-Faddeev dengan melakukan pemfaktoran dari

polinomial karakteristik dan post vektor yang bersesuaian dengan nilai eigen dari suatu

matriks yang digunakan.

Langkah-langkah dalam menentukan invers matriks dengan menggunakan metode

Faddeev yaitu dengan menentukan nilai ๐‘ž๐‘–, ๐๐‘–, dan ๐€๐‘–+1 sehingga diperoleh invers

matriks dengan rumus ๐€โˆ’1 =1

๐‘ž๐‘›๐๐‘›โˆ’1. Sedangkan langkah-langkah dalam menentukan

invers matriks dengan menggunakan algoritma Leveerrier-Faddeev yaitu dengan

Page 2: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

418 H.I.AMALIAH, E.NOVIANI, YUDHI

menentukan nilai ๐‘๐‘–+1 dan ๐˜๐‘–+1 sehingga diperoleh invers matriks dengan rumus ๐€โˆ’1 = โˆ’1

๐‘๐‘›(๐˜๐‘›โˆ’2 +

๐‘๐‘›โˆ’1๐ˆ), dan post vektor dari matriks ๐€. Terdapat salah satu penelitian yang membahas tentang

penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dan Hermit dengan metode invers matriks. Kemudian

invers matriks pada penelitian tersebut menggunakan metode Faddeev dan contoh kasus yang

digunakan yaitu penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dan Hermit untuk ukuran matriks

4 ร— 4 dan 5 ร— 5 [2]. Oleh karena itu, pada penelitian ini dibahas lebih lanjut metode untuk

menentukan invers matriks yaitu metode Faddeev dan belum banyak yang membahas lebih lanjut

tentang invers matriks dengan algoritma Leverrier-Faddeev beserta polinomial karakteristik dan post

vektor dalam algoritma tersebut.

METODE FADDEV

Metode Faddeev merupakan salah satu metode untuk menentukan invers dari suatu matriks dengan

berdasarkan langkah dari metode Leverrier Takeno dalam menentukan koefisien polinomial

karakteristik [2]. Metode Leverrier-Takeno terbentuk berdasarkan hubungan antar koefisien

polinomial yang memiliki aplikasi dalam analisis numerik sehingga diperlukan polinomial

karakteristik dari metode ini [3]. Langkah-langkah untuk mencari nilai invers dari matriks dengan

menggunakan metode Faddeev yaitu:

Diberikan matriks ๐€ berukuran ๐‘› ร— ๐‘› dan misalkan ๐€๐‘– = ๐€ dengan ๐‘– = 1, kemudian menentukan

invers dengan menggunakan metode Faddeev dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut

๐€1 = ๐€ ; ๐‘ž1 =๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐€1)

1

๐1 = ๐€1 โˆ’ ๐‘ž1๐ˆ

๐€2 = ๐1๐€ ; ๐‘ž2 =๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐€2)

2

๐2 = ๐€2 โˆ’ ๐‘ž2๐ˆ

โ‹ฎ

๐€๐‘–+1 = ๐๐‘–๐€ ; ๐‘ž๐‘– =๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐€๐‘–)

๐‘–

dengan trace(๐€1), trace(๐€2), โ€ฆ , trace(๐€๐ข) adalah trace matriks yaitu penjumlahan setiap elemen

pada diagonal utama pada matriks persegi yang berukuran ๐‘› ร— ๐‘›. Adapun diperoleh invers

matriksnya yaitu ๐€โˆ’1 =1

๐‘ž๐‘›๐๐‘›โˆ’1.

Contoh 1: Diberikan matriks dengan entri yang berukuran 5 ร— 5,

๐€ =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

Tentukan invers matriks ๐€ dengan menggunakan Metode Faddeev.

Penyelesaian :

Misalkan bahwa ๐€1 = ๐€,

๐€1 = ๐€ =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

Page 3: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan Algoritma Leverrier-Faddeev 419

Kemudian mencari nilai ๐‘ž1

๐‘ž1 =๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐€1)

1=2 + 2 + 2 + 2 + 2

1= 10

Selanjutnya mencari nilai ๐1

๐1 = ๐€1 โˆ’ ๐‘ž1๐ˆ

๐1 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

โˆ’ 10

[ 1 0 00 1 0

0 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 01 00 1]

=

[ โˆ’8 1 11 โˆ’8 1

2 41 2

3 1 โˆ’82 3 11 2 3

1 1โˆ’8 11 โˆ’8]

Setelah itu mencari nilai ๐€2

๐€2 = ๐1๐€

๐€2 =

[ โˆ’8 1 11 โˆ’8 1

2 41 2

3 1 โˆ’82 3 11 2 3

1 1โˆ’8 11 โˆ’8]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[

โˆ’4 9 91 โˆ’7 2

โˆ’6 โˆ’9โˆ’1 โˆ’6

โˆ’14 2 โˆ’8โˆ’5 โˆ’13 27 โˆ’5 โˆ’14

2 9โˆ’7 91 โˆ’4]

Berikutnya mencari nilai ๐‘ž2

๐‘ž2 =๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐€2)

2=โˆ’4 โˆ’ 7 โˆ’ 8 โˆ’ 7 โˆ’ 4

2= โˆ’15

Kemudian mencari nilai ๐2

๐2 = ๐€2 โˆ’ ๐‘ž2๐ˆ

๐2 =

[

โˆ’4 9 91 โˆ’7 2

โˆ’6 โˆ’9โˆ’1 โˆ’6

โˆ’14 2 โˆ’8โˆ’5 โˆ’13 27 โˆ’5 โˆ’14

2 9โˆ’7 91 โˆ’4]

โˆ’ (โˆ’15)

[ 1 0 00 1 0

0 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 01 00 1]

=

[

11 9 91 8 2

โˆ’6 โˆ’9โˆ’1 โˆ’6

โˆ’14 2 7โˆ’5 โˆ’13 27 โˆ’5 โˆ’14

2 98 91 11 ]

Selanjutnya mencari nilai ๐€3

๐€3 = ๐2๐€

๐€3 =

[

11 9 91 8 2

โˆ’6 โˆ’9โˆ’1 โˆ’6

โˆ’14 2 7โˆ’5 โˆ’13 27 โˆ’5 โˆ’14

2 98 91 11 ]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ 27 โˆ’18 โˆ’258 4 โˆ’6

9 274 9

8 21 318 13 21โˆ’20 8 8

โˆ’6 โˆ’254 โˆ’181 11 ]

Setelah itu mencari nilai ๐‘ž3

๐‘ž3 =๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐€3)

3=27 + 4 + 31 + 4 + 27

3= 31

Berikutnya mencari nilai ๐3

๐3 = ๐€3 โˆ’ ๐‘ž3๐ˆ

๐3 =

[ 27 โˆ’18 โˆ’258 4 โˆ’6

9 274 9

8 21 318 13 21โˆ’20 8 8

โˆ’6 โˆ’254 โˆ’181 11 ]

โˆ’ 31

[ 1 0 00 1 0

0 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 01 00 1]

=

[ โˆ’4 โˆ’18 โˆ’258 โˆ’27 โˆ’6

9 274 9

8 21 08 13 21โˆ’20 8 8

โˆ’6 โˆ’25โˆ’27 โˆ’181 โˆ’4 ]

Page 4: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

420 H.I.AMALIAH, E.NOVIANI, YUDHI

Kemudian mencari nilai ๐€4

๐€4 = ๐3๐€

๐€4 =

[ โˆ’4 โˆ’18 โˆ’258 โˆ’27 โˆ’6

9 274 9

8 21 08 13 21โˆ’20 8 8

โˆ’6 โˆ’25โˆ’27 โˆ’181 โˆ’4 ]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ โˆ’56 16 18โˆ’12 โˆ’22 0

โˆ’6 โˆ’140 โˆ’6

0 โˆ’18 โˆ’5220 โˆ’62 โˆ’184 20 0

0 18โˆ’22 16โˆ’12 โˆ’56]

Selanjutnya mencari nilai ๐‘ž4

๐‘ž4 =๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐€4)

4=โˆ’56 โˆ’ 22 โˆ’ 52 โˆ’ 22 โˆ’ 56

4= โˆ’5

Setelah itu mencari nilai ๐5

๐5 = ๐€4 โˆ’ ๐‘ž4๐ˆ

๐5 =

[ โˆ’56 16 18โˆ’12 โˆ’22 0

โˆ’6 โˆ’140 โˆ’6

0 โˆ’18 โˆ’5220 โˆ’62 โˆ’184 20 0

0 18โˆ’22 16โˆ’12 โˆ’56]

โˆ’ (โˆ’52)

[ 1 0 00 1 0

0 00 0

0 0 10 0 00 0 0

0 01 00 1]

=

[ โˆ’4 16 18โˆ’12 30 0

โˆ’6 โˆ’140 โˆ’6

0 โˆ’18 020 โˆ’62 โˆ’184 20 0

0 1830 16โˆ’12 โˆ’4]

Berikutnya mencari nilai ๐€5

๐€5 = ๐4๐€

๐€5 =

[ โˆ’4 16 18โˆ’12 30 0

โˆ’6 โˆ’140 โˆ’6

0 โˆ’18 020 โˆ’62 โˆ’184 20 0

0 1830 16โˆ’12 โˆ’4]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ 36 0 00 36 0

0 00 0

0 0 360 0 00 0 0

0 036 00 36]

Kemudian mencari nilai ๐‘ž5

๐‘ž5 =๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐€5)

5=36 + 36 + 36 + 36 + 36

5= 36

Dan selanjutnya mencari nilai ๐€โˆ’1

๐€โˆ’1 =1

๐‘ž5๐4 =

[ โˆ’1

9

4

9 1

2โˆ’1

3

5

6 0

โˆ’1

6

โˆ’7

18

0โˆ’1

6

0โˆ’1

20

5

9

โˆ’31

18

โˆ’1

2

1

9

5

90

01

25

6

4

9โˆ’1

3

โˆ’1

9 ]

ALGORITMA LEVERRIER-FADDEEV

Algoritma Leverrier-Faddeev merupakan metode rekursif untuk menghitung koefisien polinomial

karakteristik dari suatu matriks yang berbentuk persegi. Algoritma ini dinamai oleh D.K Faddeev dan

Urbain Le Verrier. Akar-akar dari polinomial karakteristik yang diperoleh tersebut merupakan nilai

eigen dari suatu matriks [4]. Algoritma ini tidak hanya dikembangkan untuk tujuan komputasi, tetapi

juga untuk pengembangan tentang matriks. Salah satu yang ditemukan oleh Gower yaitu mendapatkan

solusi dekomposisi matriks dengan struktur khusus, terutama matriks berpola, yang telah dijelaskan

oleh Faddeev dan Faddeeva yang menghubungkannya dengan penjelasan oleh Leverrier.

Page 5: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan Algoritma Leverrier-Faddeev 421

Gower mengembangkan algoritma lebih lanjut dan menunjukkan nilainya, bukan untuk perhitungan,

tetapi untuk mendapatkan hasil aljabar [4]. Diberikan matriks ๐€ berukuran ๐‘› ร— ๐‘›, bentuk dasar dari

algoritma Leverrier-Faddeev adalah:

๐˜0 = ๐€ ๐˜1 = ๐€๐˜0 + ๐‘1๐€๐˜2 = ๐€๐˜1 + ๐‘2๐€

โ‹ฎ ๐˜๐‘–+1 = ๐€๐˜๐‘– + ๐‘๐‘–+1๐€

;;;

;

๐‘1 = โˆ’๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐˜0)

๐‘2 = โˆ’1

2๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐˜1)

๐‘3 = โˆ’1

3๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐˜2)

โ‹ฎ

๐‘๐‘–+1 = โˆ’1

๐‘–+1๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐˜๐‘–)}

(1)

Langkah-langkah Algoritma (1) dapat dinyatakan bahwa:

i. ๐˜๐‘› = ๐ŸŽ

ii. Polinomial karakteristik dari matriks ๐€ yaitu

๐‘(๐œ†) = ๐œ†๐‘› + ๐‘1๐œ†๐‘›โˆ’1 + ๐‘2๐œ†

๐‘›โˆ’2 +โ‹ฏ+ ๐‘๐‘–+1

iii. ๐€โˆ’1 = โˆ’1

๐‘๐‘–+1(๐˜๐‘–โˆ’1 + ๐‘๐‘–๐ˆ)

iv. Mendefinisikan ๐˜ = โˆ‘ ๐œ†๐‘›โˆ’1โˆ’๐‘–๐˜๐‘–๐‘›โˆ’1๐‘–=0 , maka ๐€๐˜ = ๐˜๐€ = ๐œ†๐˜

Misalkan ๐€ merupakan matriks persegi berordo ๐‘› dengan polinomial karakteristik

๐‘(๐œ†) = ๐œ†๐‘› + ๐‘1๐œ†๐‘›โˆ’1 + ๐‘2๐œ†

๐‘›โˆ’2 +โ‹ฏ+ ๐‘๐‘–+1 untuk ๐‘– = 0,1,โ€ฆ ๐‘› โˆ’ 1 dengan ๐‘(๐œ†) = 0 yang memiliki

akar-akar ๐œ†๐‘— untuk ๐‘— = 1,2, โ€ฆ , ๐‘›. Dalam algortima ini, Faddeev dan Faddeeva menyatakan bahwa

ketika akar-akar ๐œ†๐‘— berbeda [5], maka untuk setiap ๐œ† memiliki

๐˜ = โˆ‘๐œ†๐‘›โˆ’1โˆ’๐‘–๐˜๐‘–

๐‘›โˆ’1

๐‘–=0

.

Berdasarkan algoritma (1), maka

๐œ†๐‘›๐˜0 = ๐œ†๐‘›๐€

๐œ†๐‘›โˆ’1๐˜1 = ๐œ†๐‘›โˆ’1๐€๐˜0 + ๐œ†

๐‘›โˆ’1๐‘1๐€

๐œ†๐‘›โˆ’2๐˜2 = ๐œ†๐‘›โˆ’2๐€๐˜1 + ๐œ†

๐‘›โˆ’2๐‘1๐€

โ‹ฎ

๐œ†๐‘›โˆ’(๐‘–+1)๐˜๐‘–+1 = ๐œ†๐‘›โˆ’(๐‘–+1)๐€๐˜๐‘– + ๐œ†

๐‘›โˆ’(๐‘–+1)๐‘๐‘–+1๐€,

(2)

untuk ๐‘– = 0,1,โ€ฆ ๐‘› โˆ’ 1

kemudian jumlahkan semua ruas kiri dan kanan dari Persamaan (2), sehingga

๐˜๐‘› = (๐€ โˆ’ ๐œ†๐ˆ)๐˜ + ๐€(๐‘(๐œ†))

karena (๐€ โˆ’ ๐œ†๐ˆ) = ๐ŸŽ dan ๐‘(๐œ†) = 0, maka ๐˜๐‘› = ๐ŸŽ.

Misalkan det(๐œ†๐ˆ โˆ’ ๐€) = ๐œ†๐‘› + ๐‘1๐œ†๐‘›โˆ’1 + ๐‘2๐œ†

๐‘›โˆ’2 +โ‹ฏ+ ๐‘๐‘–+1 = ๐‘(๐œ†) dengan diberikan matriks ๐€

berukuran ๐‘› ร— ๐‘›. Kemudian misalkan (๐œ†๐ˆ โˆ’ ๐€)โˆ’1 yang merupakan resolven dari ๐€ dinyatakan sebagai

berikut

(๐œ†๐ˆ โˆ’ ๐€)โˆ’1 =๐0๐œ†

๐‘›โˆ’1 + ๐1๐œ†๐‘›โˆ’2 +โ‹ฏ+ ๐๐‘›

๐œ†๐‘› + ๐‘1๐œ†๐‘›โˆ’1 +โ‹ฏ+ ๐‘๐‘›

=๐(๐œ†)

๐‘(๐œ†), (3)

dengan matriks adjugat ๐(๐œ†) adalah polinomial ๐œ† berderajat ๐‘› โˆ’ 1 dengan koefisien matriks

๐0, ๐1, โ€ฆ , ๐๐‘› dengan ๐๐‘– = ๐€โˆ’1๐˜๐‘– [4].

Untuk menguraikan Persamaan (3) digunakan transformasi Laplace dari matriks eksponensial dengan

menyelesaikan โ„’(๐‘’๐‘ก๐ด) = (๐œ†๐ˆ โˆ’ ๐€)โˆ’1.

Page 6: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

422 H.I.AMALIAH, E.NOVIANI, YUDHI

Diketahui ๐‘‘๐‘’๐‘ก๐€

๐‘‘๐‘ก= ๐€๐‘’๐‘ก๐€, maka diperoleh

โ„’ (๐‘‘๐‘’๐‘ก๐€

๐‘‘๐‘ก) = โ„’(๐€๐‘’๐‘ก๐€)

๐œ†โ„’(๐‘’๐‘ก๐€) โˆ’ ๐ˆ = ๐€ โ„’(๐‘’๐‘ก๐€)

๐œ†โ„’(๐‘’๐‘ก๐€) โˆ’ ๐ˆ = ๐€๐(๐œ†)

๐‘(๐œ†)

๐œ† trace (โ„’(๐‘’๐‘ก๐€)) โˆ’ trace (๐ˆ) = trace (๐˜(๐œ†)

๐‘(๐œ†))

๐œ† (๐‘โ€ฒ(๐œ†)

๐‘(๐œ†)) โˆ’ ๐‘› = trace (

๐˜(๐œ†)

๐‘(๐œ†))

๐œ† ๐‘โ€ฒ(๐œ†) โˆ’ ๐‘› ๐‘(๐œ†) = trace ๐˜(๐œ†)

(โˆ’๐‘1๐œ†๐‘›โˆ’1 +โ‹ฏ+ ๐‘๐‘›โˆ’1) + ๐‘›๐‘๐‘› = trace (๐˜1๐œ†

๐‘›โˆ’1 + ๐˜2๐œ†๐‘›โˆ’2 +โ‹ฏ+ ๐˜๐‘›)

kemudian

โˆ’๐‘1๐œ†๐‘›โˆ’1 = trace (๐˜1๐œ†

๐‘›โˆ’1)

โˆ’๐‘1 = trace (๐˜1)

sehingga ๐‘๐‘˜ = โˆ’1

๐‘˜ trace (๐˜๐‘˜โˆ’1), untuk ๐‘˜ = 1,2, โ€ฆ , ๐‘›.

Diketahui misalkan ๐˜๐‘› = ๐ŸŽ,

๐˜๐‘› = ๐ŸŽ

๐€๐˜๐‘›โˆ’1 + ๐‘๐‘›๐€ = ๐ŸŽ

โˆ’๐€๐˜๐‘›โˆ’1 = ๐‘๐‘›๐€

โˆ’๐€(๐˜๐‘›โˆ’2 + ๐‘๐‘›โˆ’1๐€) = ๐‘๐‘›๐€

โˆ’๐€โˆ’1๐€(๐˜๐‘›โˆ’2 + ๐‘๐‘›โˆ’1๐€) = ๐€โˆ’1๐€๐‘๐‘›

โˆ’๐ˆ(๐˜๐‘›โˆ’2 + ๐‘๐‘›โˆ’1๐€) = ๐€โˆ’1๐€๐‘๐‘›

โˆ’๐€(๐˜๐‘›โˆ’2 + ๐‘๐‘›โˆ’1๐ˆ) = ๐€โˆ’1๐€๐‘๐‘›

maka akan menghasilkan bahwa

๐€โˆ’1 = โˆ’1

๐‘๐‘›(๐˜๐‘›โˆ’2 + ๐‘๐‘›โˆ’1๐ˆ).

Misalkan ๐€ merupakan matriks persegi berordo ๐‘› dengan polinomial karakteristik

๐‘(๐œ†) = ๐œ†๐‘› + ๐‘1๐œ†๐‘›โˆ’1 + ๐‘2๐œ†

๐‘›โˆ’2 +โ‹ฏ+ ๐‘๐‘–+1 untuk ๐‘– = 0,1,โ€ฆ ๐‘› โˆ’ 1 dengan ๐‘(๐œ†) = 0 yang memiliki

akar-akar ๐œ†๐‘— untuk ๐‘— = 1,2, โ€ฆ , ๐‘›. Dalam algoritma ini, Faddeev dan Faddeeva menyatakan bahwa

ketika akar-akar ๐œ†๐‘— berbeda [5], maka ๐˜ = โˆ‘ ๐œ†๐‘›โˆ’1โˆ’๐‘–๐˜๐‘–๐‘›โˆ’1๐‘–=0 .

Sehingga

๐œ†๐‘›๐˜0 = ๐œ†๐‘›๐€

๐œ†๐‘›โˆ’1๐˜1 = ๐œ†๐‘›โˆ’1๐€๐˜0 + ๐œ†

๐‘›โˆ’1๐‘1๐€

๐œ†๐‘›โˆ’2๐˜2 = ๐œ†๐‘›โˆ’2๐€๐˜1 + ๐œ†

๐‘›โˆ’2๐‘1๐€

โ‹ฎ

๐œ†๐‘›โˆ’(๐‘–+1)๐˜๐‘–+1 = ๐œ†๐‘›โˆ’(๐‘–+1)๐€๐˜๐‘– + ๐œ†

๐‘›โˆ’(๐‘–+1)๐‘๐‘–+1๐€

(5)

untuk ๐‘– = 0,1,โ€ฆ ๐‘› โˆ’ 1.

Kemudian jumlahkan semua ruas kiri dan kanan dalam persamaan (4), sehingga

๐œ†๐‘›๐˜0 + ๐œ†๐‘›โˆ’1๐˜1 + ๐œ†

๐‘›โˆ’2๐˜2 +โ‹ฏ+ ๐˜๐‘› = ๐€(๐œ†๐‘› + ๐œ†๐‘›โˆ’1๐˜0 + ๐œ†

๐‘›โˆ’2๐˜1 +โ‹ฏ+ ๐˜๐‘–) + ๐€(๐œ†๐‘› + ๐‘1๐œ†

๐‘›โˆ’1 +

๐‘2๐œ†๐‘›โˆ’2โ€ฆ+ ๐‘๐‘›)

๐œ†๐‘›๐˜0 + ๐œ†๐‘›โˆ’1๐˜1 + ๐œ†

๐‘›โˆ’2๐˜2 +โ‹ฏ+ ๐˜๐‘› = ๐€๐˜ + ๐€(๐‘(๐œ†))

๐œ†๐˜ + ๐˜๐‘› = ๐€๐˜ + ๐€(๐‘(๐œ†))

karena ๐˜๐‘› = ๐ŸŽ dan ๐‘(๐œ†) = 0, maka ๐œ†๐˜ = ๐€๐˜.

Page 7: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan Algoritma Leverrier-Faddeev 423

Dengan demikian, langkah-langkah dari algoritma i, ii, iii, iv memberikan karakteristik polinomial,

invers, solusi dekomposisi dari matriks ๐€ dengan ๐˜ merupakan post vektor dari matriks ๐€ yang

bersesuaian dengan nilai eigen ๐œ†.

Contoh 2: Diberikan matriks dengan entri yang berukuran 5 ร— 5,

๐€ =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

Tentukan polinomial karakteristik, invers matriks, nilai eigen dan post vektor dari matriks ๐€ dengan

menggunakan Algoritma Leverrier - Faddeev.

Penyelesaian:

Pertama, misalkan bahwa ๐˜0 = ๐€,

๐˜0 = ๐€ =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

Kemudian mencari nilai ๐‘1

๐‘1 = โˆ’๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐˜0) = โˆ’10

Selanjutnya mencari nilai ๐˜1

๐˜1 = ๐€๐˜0 + ๐‘1๐€

๐˜1 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

+ (โˆ’10)

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[

โˆ’4 9 91 โˆ’7 2

โˆ’6 โˆ’19โˆ’1 โˆ’6

โˆ’14 2 โˆ’8โˆ’5 โˆ’13 27 โˆ’5 โˆ’14

2 9โˆ’7 91 โˆ’4 ]

Setelah itu mencari nilai ๐‘2

๐‘2 = โˆ’1

2๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐˜1) = 15

Berikutnya mencari nilai ๐˜2

๐˜2 = ๐€๐˜1 + ๐‘2๐€

๐˜2 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[

โˆ’4 9 91 โˆ’7 2

โˆ’6 โˆ’19โˆ’1 โˆ’6

โˆ’14 2 โˆ’8โˆ’5 โˆ’13 27 โˆ’5 โˆ’14

2 9โˆ’7 91 โˆ’4 ]

+ 15

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ 27 โˆ’18 โˆ’258 4 โˆ’6

9 274 9

8 21 318 13 21โˆ’20 8 8

โˆ’6 โˆ’254 โˆ’188 27 ]

Kemudian mencari nilai ๐‘3

๐‘3 = โˆ’1

3๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐˜2) = โˆ’31

Page 8: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

424 H.I.AMALIAH, E.NOVIANI, YUDHI

Setelah itu mencari nilai ๐˜3

๐˜3 = ๐€๐˜2 + ๐‘3๐€

๐˜3 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[ 27 โˆ’18 โˆ’258 4 โˆ’6

9 274 9

8 21 318 13 21โˆ’20 8 8

โˆ’6 โˆ’254 โˆ’188 27 ]

โˆ’ 31

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ โˆ’56 16 18โˆ’12 โˆ’22 0

โˆ’6 โˆ’140 โˆ’6

0 โˆ’18 โˆ’5220 โˆ’62 โˆ’184 20 0

0 18โˆ’22 16โˆ’12 โˆ’56]

Selanjutnya mencari nilai ๐‘4

๐‘4 = โˆ’1

4๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐˜3) = 52

Berikutnya mencari nilai ๐˜4

๐˜4 = ๐€๐˜3 + ๐‘4๐€

๐˜4 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[ โˆ’56 16 18โˆ’12 โˆ’22 0

โˆ’6 โˆ’140 โˆ’6

0 โˆ’18 โˆ’5220 โˆ’62 โˆ’184 20 0

0 18โˆ’22 16โˆ’12 โˆ’56]

+ 52

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

=

[ 36 0 00 36 0

0 00 0

0 0 360 0 00 0 0

0 036 00 36]

Setelah itu mencari nilai ๐‘5

๐‘5 = โˆ’1

5๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘๐‘’(๐˜4) = โˆ’36

Selanjutnya,

Mencari nilai ๐˜5 = ๐ŸŽ, ๐˜5 karena matriks yang digunakan berordo 5

๐˜5 = ๐€๐˜4 + ๐‘4๐€

๐˜5 =

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

[ 36 0 00 36 0

0 00 0

0 0 360 0 00 0 0

0 036 00 36]

โˆ’ 36

[ 2 1 11 2 1

2 41 2

3 1 22 3 11 2 3

1 12 11 2]

= [0 0 00 0 00 0 0

] = ๐ŸŽ

Mencari polinomial karakteristik

Diketahui ๐‘› = 5, ๐‘1 = โˆ’10, ๐‘2 = 15, ๐‘3 = โˆ’31, ๐‘4 = 52, ๐‘5 = โˆ’36

sehingga diperoleh polinomial karakteristik yaitu ๐œ†5 โˆ’ 10๐œ†4 + 15๐œ†3 โˆ’ 31๐œ†2 + 52๐œ† โˆ’ 36 = 0

Mencari invers matriks ๐€

๐€โˆ’1 = โˆ’1

๐‘5(๐˜3 + ๐‘4๐ˆ =

[ โˆ’1

9

4

9 1

2โˆ’1

3

5

6 0

โˆ’1

6

โˆ’7

18

0โˆ’1

6

0โˆ’1

20

5

9

โˆ’31

18

โˆ’1

2

1

9

5

90

01

25

6

4

9โˆ’1

3

โˆ’1

9 ]

Page 9: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan Algoritma Leverrier-Faddeev 425

Mencari nilai eigen dan post vektor

๐œ†5 โˆ’ 10๐œ†4 + 15๐œ†3 โˆ’ 31๐œ†2 + 52๐œ† โˆ’ 36 = 0

dengan menggunakan bantuan website wolfarm alpha, diperoleh

๐œ†1 โ‰ˆ 8,59975, ๐œ†2 โ‰ˆ โˆ’0,353214 โˆ’ 1,72287๐‘–, ๐œ†3 โ‰ˆ โˆ’0,353214 + 1,72287๐‘–,

๐œ†4 โ‰ˆ 1,05334 โˆ’ 0,493864๐‘–, ๐œ†5 โ‰ˆ 1,05334 + 0,493864๐‘–

Berikutnya mencari vektor yang bersesuaian dengan nilai eigen dengan menggunakan ๐˜0, ๐˜1, ๐˜2, ๐˜3,

๐˜4, ๐œ†1, ๐œ†2, ๐œ†3, ๐œ†4, ๐œ†5 maka akan dipilih salah satu nilai eigen yaitu

๐œ†1 โ‰ˆ 8,59975

Untuk mencari post vektor tersebut digunakan rumus berikut

๐˜ = โˆ‘ ๐œ†๐‘›โˆ’1โˆ’๐‘–๐˜๐‘–๐‘›โˆ’1๐‘–=0 ๐˜ = โˆ‘ ๐œ†1

4โˆ’๐‘–๐˜๐‘–๐‘›โˆ’1๐‘–=0

๐‘Œ = ๐œ†14๐˜0 + ๐œ†1

3๐˜1 + ๐œ†12๐˜2 + ๐œ†1๐˜3 + ๐˜4 =

[ 9946,10692 9999,84374 9499,353346593,89470 6629,51573 6297,71243

7736,89076 11670,179615129,26784 7736,89076

8095,97489 8139,72083 7732,326608522,52909 8568,56942 8139,720838476,73428 8522,52909 8095,97489

6297,71243 9499,353346629,51573 9999,843746593,89470 9946,10692 ]

Maka vektor dari matriks ๐€ adalah

[ 9946,10692 9999,84374 9499,353346593,89470 6629,51573 6297,71243

7736,89076 11670,179615129,26784 7736,89076

8095,97489 8139,72083 7732,326608522,52909 8568,56942 8139,720838476,73428 8522,52909 8095,97489

6297,71243 9499,353346629,51573 9999,843746593,89470 9946,10692 ]

Selanjutnya akan dicari bahwa ๐€๐˜ = ๐˜๐€ = ๐œ†๐˜

๐€๐˜ =

[ 85534,07873 85996,17924 81692,0869356705,86886 57012,22363 54158,77541

66535,37205 100360,7184844110,44400 66535,37205

69623,42861 69999,58712 66496,1213773291,66529 73687,62343 69999,5871272897,81864 73291,66529 69623,42861

54158,77541 81692,0869357012,22363 85996,1792456705,86886 85534,07873 ]

๐˜๐€ =

[ 85534,07873 85996,17924 81692,0869356705,86886 57012,22363 54158,77541

66535,37205 100360,7184844110,44400 66535,37205

69623,42861 69999,58712 66496,1213773291,66529 73687,62343 69999,5871272897,81864 73291,66529 69623,42861

54158,77541 81692,0869357012,22363 85996,1792456705,86886 85534,07873 ]

๐œ†๐˜ =

[ 85534,03299 85996,1562 81692,0638956705,84595 57012,1779 54158,75247

66535,32631 100360,627144110,42111 66535,32631

69623,36006 69999,56421 66496,0756873291,61954 73687,55487 69999,5642172897,79562 73291,61954 69623,36006

54158,75247 81692,0638957012,1779 85996,156256705,84595 85534,03299]

Karena diperoleh hasil nilai eigen dan post vektor yang bersesuaian, maka ๐€๐˜ = ๐˜๐€ = ๐œ†๐˜.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Side S. Aplikasi Invers Matriks dalam Pembentukan Pesan Rahasia. Jurnal Teknosains, 2015; 9:

27-39.

[2] Aryani F. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks dengan Invers Matriks Menggunakan

Metode Faddeev. Jurnal Sains Matematika dan Statistika, 2016; 2: 82-88

[3] Caltenco J. Characteristic polynomial of A and Faddeevโ€™s method for Aโˆ’1. Educatia Matematica,

2007; 3: 107-112.

[4] Gower J C. An application of the modified Leverrier-Faddeev algorithm to the the spectral

decomposition of symmetric block-circulant matrices. Computational Statistics and Data

Analysis, 2006; 50: 89โ€“106.

Page 10: Invers Matiks dengan Menggunakan Metode Faddeev dan ...

426 H.I.AMALIAH, E.NOVIANI, YUDHI

[5] Hou S H, A Simple Proof of Leverrier-Faddeev Characteristic Polynomial Algorithm. Society for

Industrial and Applied Mathematics, 1998; 40: 706-709.

HUMAIRA ICHLASHI AMALIAH : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak

humairaichlashii@gmail.com

EVI NOVIANI : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak

evi_noviani@math.untan.ac.id

YUDHI : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak

yudhi@math.untan.ac.id