1 | P a g eClasele VII-XIINTRODUCERE N INEGALITI. METODEManuela Prajea1) Scopul leciei de fa este acela de a familiariza elevii de clasele VII-IXcare se pregtesc pentru concursuricu cteva din principalele metodede demonstrare ainegalitatilor simetrice i/sau nesimetrice , omogenei/sau neomogene. Lecia poate fi parcurs i fr profesor, exerciiile fiind prezentate gradual,avnd n vedere (sau nu) metodele specificate la acel paragraf. La final sunt prezentateindicaii de rezolvare dar recomandabil este ca acestea s fie consultate doar n cazul exerciiilor cu )* sau )** saula primele aplicaii din cadrul fiecrei metode.A) INEGALITI UZUALE, SIMETRICE I OMOGENE -CALCUL DIRECT, DESCOMPUNERI N FACTORI, NSUMAREA UNOR INEGALITI ANALOAGE i/sau INEGALITATEA MEDIILORInegalitatea mediilor pentru dou numere:2 221 12 2a b a baba b+ + +, , 0 a b >Inegalitatea mediilor pentru trei numere:2 2 2331 1 13 3a b c a b cabca b c+ + + + + +, , , 0 a b c >Inegalitatea mediilor pentru n numere, , 2 n n :2 2 21 2 1 21 21 2... ......1 1 1...n nnnna a a a a a na a an na a a+ + + + + + + + +,1 2, ,..., 0na a a >1) , 04a b aba ba b+ >+ 2)( )3 3, 0 a b ab a b a b + + 1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic2 | P a g e 3)( ) ( ) ( ) 22 2 4 4 2 2, a b a b a b a b a b + + + 4) ,, 0 a b c ab bc ca a b c + + + + 5)( )1 1 19, ,, a b c a b ca b c _+ + + + , 6) ( ) ( ) 9 , ,, a b c ab bc ca abc a b c + + + + 7)2 2 22 2 2, , , 0a b c a b ca b cb c a c a b+ + + + > 8) ( ) ( )2 2 29 , ,, a b c a b c abc a b c + + + + 9) . , , 0bc ca aba b c a b ca b c+ + + + > 10) ( )4 4 4, ,, a b c abc a b c a b c + + + + 11)( ) 44 4, , 08a ba b a b++ >12) , , , 02ab bc ca a b ca b ca b b c c a+ ++ + >+ + +13) 6, , , 0a b b c c aa b cc a b+ + ++ + > 14)2 2 3 3 6 6, ,2 2 2 2a b a b a b a ba b+ + + + 15) ( ) ( ) , , , , 0 a c b d ab cd a b c d + + + > 16) ( ) ( ) ( ) 8 , ,, 0 a b b c c a abc a b c + + + 17) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 26 , , , 0 a b c b c a c a b abc a b c + + + + + >18) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 , , , 0 a b c a b ab b c bc c a ca a b c + + + + + + + >19)2 2 2 2 2 21, ,, 0xy yz zxx y zx xy y y yz z z zx x+ + >+ + + + + +20)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2yz zx xyx y x z y z y x z x z y+ + + + + + + +3, ,, 02x y z >21)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3, , , 02a b ca b ca b a c b c c a c a c b+ + >+ + + + + +Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro-Etapa final, clasa a VII-a, 201022)( ) ( ) ( )9, , , 04aa b ca b a c a b c >+ + + +23)( ) ( )3, ,, 04bca b ca b a c >+ +24)3 2 6 22 4 6 , ,, 0 a b b c abc a b c + + 25)3 3 2 3 2 22 4 , , 0 a b a b ab a b a b + + 1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic3 | P a g e26)33, ,, 02x y zx y zy z x+ + > 27)2 21 1 9, , 0a ba bb a _ _+ +
, ,28)3 52 3 5 , , 0 a b ab a b +
29) 3 3 3 3 3 31, ,, 01 1 1xy yz zxx y zx y y z z x+ + >+ + + + + +30)2 2 21 1 12 , ,, 0a b b c c aa b cc a b a b c+ + + _+ + + + > , 31) a)( )( )33 32 2 2, , ,, 0a ba ba b x yx yx y++ >+b)3 3 32 2 2, ,, ,,, 0,a b ca b c a b c x y z a b c x y zx y z+ + + + > + + + +Olimpiada Naional de Matematic-Etapa judeean, clasa a IX-a, 200932)Dac, , a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, artai c:( )2 2 2 2 2 2 4 4 412a b b c c a a b c + + + +B) INEGALITI OMOGENE- SUBSTITUII si/sau INEGALITATEA CAUCHY-BUNIAKOVSKIInegalitatea Cauchy-Buniakovski( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nx y x y x y x x x y y y + + + + + + + + + , , 2 n n , , , 1,i ix y i n Aplicaie: Inegalitatea Panaitopol( )( )1 2 * 1 21 1 1 11 21 2...... , ,...pp p pn np p p pnnx x x x x xn py y yy y y + + ++ + + + + +1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic4 | P a g e1)3, , , 02a b ca b cb c c a a b+ + >+ + +2)3, , , 02 2 2 2 2 2 5a b ca b ca b c a b c a b c+ + >+ + + + + +3)( )1 1 1 9, ,, 02a b ca b b c c a a b c+ + >+ + + + +4) 1 4 9 36, , , 0 a b ca b c a b c+ + >+ +5) 1, , , , 03 3 3 3a b c da b c db c c d d a a b+ + + >+ + + +6) ( ) ( ) ( ) 221 , ,, 0 a b a b c a b c a b c + + + + + + 7) ( ) 6 , ,, 0 x y y z z x x y z x y z + + + + + + + 8)2 2 23, ,, 02x y zx y zy z z x x y+ + + + +, 1 xyz 9)( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 3, ,, 02a b ca b c b c a c a b+ + >+ + +10) Dac, , 0 a b c > astfel nct 2 2 253a b c + + , artai c 2 10 a b c + 11) ( ) ( ) ( ) , ,, 0 abc a b c a b c a b c a b c + + + + (Euler)C) INEGALITI NEOMOGENE I/SAU NESIMETRICE SUBSTITUII I/SAU SIMETRIZARE/ OMOGENIZARE1)1 1 1 3, ,, 0, 12a b c abca ab b bc c ca+ + > + + + 1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic5 | P a g e2)3, , , 0, 11 1 1 2a b ca b c abcab bc ca+ + > + + +3)1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 21 ... 1... ... ... 1 ... ,2n n n n nnx x x x x x x x x x x x x x x + + + *1 2, ,..., 1,nx x x n 4)*3 3 32 2 2 2 2 2, ,, 03a b c a b ca b ca ab b b bc c c ca a+ ++ + >+ + + + + +5)*( )3 3 32 2 2 1 21 21 2 2 3 11... ... ,2nnna a aa a aa a a a a a+ + + + + ++ + +1 2, ,..., 0, , 3na a a n n 6)*2 2 20, , , 0, 81 1 1a b ca b c abca b c + + > + + + Test OBMJ, 20087)( ) ( ) ( )3 3 31 1 1 3, ,, 0, 12a b c abca b c b c a c a b+ + > + + +D) INEGALITI DE TIP CEBEVDac, 2 n n i avem dou secvene de aceeai monotonie, adic :1 2...na a a i 1 2...nb b b ,atunci: 1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1... ... ( ... )n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + + + + + +, unde 1 2, ,...,nb b b reprezint o permutare a numerelor 1 2, ,...,nb b b .2)( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b + + + + + + + + + .Dac, 2 n n i avem dou secvene de monotonie invers, adic :1 2...na a a i 1 2...nb b b ,atunci: 1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1... ... ( ... )n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + + + + + +, unde 1 2, ,...,nb b b reprezint o permutare a numerelor 1 2, ,...,nb b b .1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic6 | P a g e2)( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b + + + + + + + + + .1)3 3 2 2, , 0 a b a b ab a b + + 2)3 3 3 2 2 2, , , 0 a b c a b b c c a a b c + + + + >3)3, , , 02a b ca b cb c c a a b+ + >+ + +(Nesbitt) 4)2 2 24, ,, 1, 4x y zx y z x y zy z x+ + + + 5)2 2 2, , , 02a b c a b ca b cb c c a a b+ ++ + >+ + +6)3 3 3 31, ,,, 1, 22x y z t x y z t x y z t + + + + + + 7) * * 3 21 1 2 2 2 21 1... 1 ... , , , ,..., ,2 3 2nna a aa n a a a distincten n+ + + + + + +
E) INEGALITATEA LUI HOLDER/ INEGALITATEA LUI JENSEN**HOLDER) Dac 1 1, 0, 1 r sr s> + i *, 0, 0, 1,i in a b i n > > , atunci:1 11 1 1n n nr sr si i i ii i ia b a b _ _
, , 1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic7 | P a g eJENSEN)** Dac: f I este o funcie convex (concav) pe, I atunci *1, , 0, 1,, 1ni i iin x I i n > , avem:( ) ( )1 1n ni i i ii if x f x _ , 1)( )3 3 3* 1 21 2 1 21 2 2 3 11... , , , , , ,..., 0, ... 1nn nnx x xn x x x x x xx x x x x x n + + + > + + + + + + +Test selecie OIM, Moldova, 20022)( )( )33 3 3, ,, ,,, 03a b ca b ca b c x y zx y z x y z+ ++ + >+ +3)** * 1 2 1 21 2... ..., , , , ,..., 0mm m mn nnx x x x x xn m x x xn n+ + + + + + _ ,4)** 1 1 1 33 2, , , 0,4a b ca b ca b c _+ + , 5)**( )2 2 29, ,, 0,11 1 1 8x y zx y zx y z+ + 6)** ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9, ,, 0(2 ) 2 2 8x y zx y zx y z y z y z x z x z x y x y x y z+ + >+ + + + + + + + + + +F) INEGALITICU DEMONSTRAII GEOMETRICE1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1, ,, 0,1 x y y z z x x y z + + < 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2, ,,, 0,1 x y y z z t t x x y z t + + + < 3)2 2 2 2, , , 0 a ab b b bc c a c a b c + + + + > + >4)2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 , ,, a b c ac a b c ac a b a b c + + + + + + + 1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic8 | P a g e5)( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 4 2, ,, x y x y x y x y x y z + + + + + + + 6)( )2 2 2 2 2 22 , ,, x y y z z x x y z x y z + + + + + + + G) INEGALITI TRIGONOMETRICE1)[ ]2 21 1 1, , 1,1 x y y x x y + 2)( )( )22211,41x xxx +3)( ) ( )( ) ( )2 211, ,2 1 1x y xyx yx y+ + +H) INEGALITI CARE SE DEMONSTREAZ CU AJUTORUL PROPRIETILOR UNOR FUNCII1) [ ]1, ,, 0,1 x y z xy yz zx x y z + + 2) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23 2 , ,, , 0 a ab b c cd d a c abcd b d a b c d + + + >3)**( ) [ ]1 1 19 10, ,, 1, 2 a b c a b ca b c _ + + + + ,4)**32, ,, 02x y zx y zx y y z z x + + < >+ + +5)** [ ]2, , , 0,11 1 1a b ca b cbc ca ab+ + + + +6) [ ]2 2 2 2 2 21, ,, 0,1 a b c a b b c c a a b c + + + + + 7)** ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2a b b c c a abc a b c a b c + + + + + + ,, , a b c lungimile laturilor unui triunghi1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic9 | P a g e8)*2 2 2 2 2 2, , ,b c aa b c a b c a b cc a b+ + + + lungimile laturilor unui triunghi Test OIM, Moldova, 2006Bibliografie:(1) A. Petruel i alii Algebr pentru clasele IX-XII, Ed.Studia, 2010(2) L.Panaitopol, M.Lascu, V.BndilInegaliti, Ed.Gil, 1996(3) I.V.Maftei, M.Piticari, Cezar Lupu i aliiInegaliti alese n matematic, Ed.Niculescu, 2005(4) Vo Quoc Ba CanOld and New Inequalities, Ed.Gil, 2008INDICAII:Prescurtri utilizate:IM inegalitatea mediilor, ma- media aritmetic , mg- media geometric , mh- media armonic , MS- membrul drept , MD- membrul stng , ICB- inegalitatea Cauchy-Buniakovski , IP- inegalitatea Panaitopol , IC- inegalitatea Cebev, IH- inegalitatea Holder, IJ- inegalitatea JensenA) 1)-4)calcul direct cu descompunere n factori sau binoame sau mg&ma 5),6)calcul direct sau7)binoame sau mh&ma 8)calcul direct- binoame si mg&masau mg&ma de doua ori9) calcul-binoame saumg&ma 10) de doua ori ineg 2x xy sau binoame de doua ori11)de doua orimp&ma12)mh si ma 13)nr.si inv.sau sau mg&ma 14) suma de cuburi in dreapta 15)calcul direct16) mg&ma sau calcul direct si binoame 17) binoame18)nsumare de ineganaloage ineg de la 2)19) nsumare de ineg analoage- fiecare fracie e mai mic ca 1/320)nsumare de mg&ma 21)mg&ma 22),23) calcul direct i binoame 24)-29) mg&ma 30) se obtine prin 1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic10 | P a g ensumarea unor ineg analoage31)a)de doua ori mg&ma b) nsumarea ineg tip a) 32) descompunere n factoriB) 1)Substituiisau ICB: ( )( )( )222... ...aa b c a b cb c _+ + + + + + ,i cu tranzitivitatea,etc. sau IP.2)analog 3)( )221... ... ... a ba b _+ + + + ,4) ( )( )2 2 22 2 22 1 4 91 2 3 a b ca b c _+ + + + + + ,etc.sau IP .5)( )( )( )222... 3 ... ...3 aa b c ab c _+ + + + + ,,etc. sau IP . 6) ICB7)( )( ) ( )2221 ... ... 1 ... x y x y + + + + +8) im de dou ori pentru 3 numere sau binoame,etc9) ( ) ( )22, ,xy z x IM etcy z + + 10) IM de dou ori pentru dou cte dou din numere i adunate relaiile.11) cu substituiile:a b c A + + , etc se ajunge la ieg de la A)16) 12) mh&maC) 1) In vederea omogenizarii, fie , , ,x y za b cy z x etc2) analog cu 1) . 3) n vederea omogenizrii: IM( )111 11 1 ,2xx + etc.4)*MS asimetric, MD simetric. n vederea simetrizrii MS, obs c 3 32 20a ba ab b+ +, deci 3 32 2 2 2a bSa ab b a ab b + + + + . i astfel 1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic11 | P a g eineg devine una simetric: 2 2 223a b cS+ +care se va obine prin nsumarea ineg analoage de tipul 3 32 23a b a ba ab b+ ++ + 5)*Se aplica IP sau, alta abordare:MS asimetric, MD simetric. Prin nsumarea ineg de tipul 3 2 22 54x x yx y+(*).Apare ntrebarea :De ce (*)?Caut o ineg de tipul:32 22xax byx y ++, care aplicat pentru ( ) ( ) ( ) ( ) { }1 2 2 3 1, , , , , ..., ,nx y a a a a a a , dup nsumare s conduc la un MD simetric.Deoarece egalitatea are loc pentru 1 2...na a a , adicx y , deducem c 1 a b + i obinem: ( )32 221xax a yx y + +( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 1 0 x y a x a xy a y1 + + ],, 0 x y >(descompunerea are loc deoarece x y iese factor comun- egalitatea avea loc pt x y ), deci din paranteza dreapt mai iese factor x y a.. ineg precedent s aibe loc. Atunci pt x y n paranteza dreapt, ea devine nul, adic a( ) ( ) ( )5 12 2 2 1 0 ,4 4a a a a b + + . 6)ineg este echivalent cu:1 1 111 1 1 a b c + ++ + + i considerm, n vederea omogenizrii: 2 , 2 , 2x y za b cy z x ,deci ( )( )222 2111 2 2yya xy y xy y + + + , conform IP.7) cu 1 1 1, , , 1 a b c xyzx y z se obine ineg de la B) 9).D) 1) Ineg fiind simetric n, , a b c , putem presupune fr a afecta generalitatea problemei ca b .Atunci secvenele 2 2( ,), ( , ) a b a b sunt la fel ordonate, etc 2)inegalitatea nu este simetric n, , a b cdeci nu putem presupune ca b c fr a afecta generalitatea problemei. Dar se poate observa c secvenele2 2 2( , , ), ( , , ) a b c a b c sunt la fel ordonate, etc. 3) Se poate presupune, datorit simetriei, ca b c i atunci tripletele 2 2 21 1 1( , , ), , , a b cb c c a a b _ + + + ,sunt la fel ordonate.Sau se aplic CP al ICB. 4),5) Analog cu 3).1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic12 | P a g e6) Cu IC i IC sau IM, avem:( ) 23 2 24 2 2 24xx x x x .7) 1 21, 2,...,na a a n i se aplic ineg de tip Cebev.E) 1) Cu IH avem: ( ) ( ) ( )33111ii i ii ixn x x xx x ++ _+ + , , etc. 2) Cu IH generalizat. avem:( ) ( )13 3 3 31 1 33 3 31 1 1 1 ...a b c ax y z x a b cx y z x _ _+ + + + + + + + + , ,. 3)**2( ) , fx x f convex i 1,in etc. 4)**Jensen pentru 1( )xfxx , 3:0,4f _ , ,cu0 f > ,deci f convex. 5)**( )2( ) , : 0,11 xfx fx este convex deoarece0 f > i Jensen. 6)** Dac normm inegalitatea cu1 x y z + + ( se nmulete inegalitatea cu x y z + +i se simplific apoi cu ( ) 2x y z + + .se noteazxx y z + + tot cu x, etc), ineg devine la fel cu cea precedent.F) 1) Se consider un triunghi echilateralABCde latur 1 i( ) ( ) ( ) , , M AB N BC P CA astfel ca, , AM x BN z CP y .Se utilizeaz arii. 2) analog 3)Se consider un triunghi avnd dou laturi, a b i unghiul dintre ele de 60 grade,etc.4)Dac n reperulcartezian xOy alegem punctele( ,), ( , 0), ( , 0) A a bB c C c atunci ineg devine una geometric, anume:2AB ACOA+ , adic ,2ab cm+ etc. 5) Se aleg n reperul cartezianXOY punctele ( ,), (2, 0), (0, 2), ( 2, 0), (0,2) M x y A B C D ,etc.1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic13 | P a g eG) 1) Pentru orice[ ], 1,1 x y , exist i sunt unice numerele, ,2 2t s 1 1 ]a..2sin ,1 cos x t x t i 2sin ,1 cos . y s y s Ineg. devine : sin( ) 1 t s + , evident adevrat. 2) , ,22x tga a _ ,, ineg devine sin 2 14 4a . 3), ,, ,2 2x tga y tgb a b _ ,,etcH) 1) Fie [ ]( ) (1 ) , : 0,1 fx x y z y z yz f + + i cumf este funcie de gradul I, deci monoton,max f se va realiza n 0 sau 1, etc.2) Cu, x ac y bd obinem: ( ) ( ) ( )2 2 2 23 1 1 2 1 x x y y x y xy + + + i , ordonnd dup variabila x consideram funcia de gradul al II-lea n xcare va avea0 ,etc.3)** Fie 1 1( )b cf a ab c a+ _ + + ,,[ ]: 1, 2 f ,22( ) ( ) a bcf a b ca bc + . Din tabelul de variaie avem:( )min f f bc , avnd loc pentru a bc i{ } max (1), (2) f f f .Analog se consider funciile de variabile b,c i considernd( )1 1 1( , , ) , F a b c a b ca b c _ + + + + ,[ ]3: 1, 2 F , deducem c min ( ,,) 9 F F a a a imax F are loc pentru{ } ,, 1, 2 a b c i, dup calcule- sunt deci8 triplete n care se va calculaF , obinemmax (1,1, 2) 10 F F .4)**analog . 5)**analog cu 3)** doar c derivata nti a funciei nu ne furnizeaz rapid informaii, n timp ce derivata a doua a funcieine arat cf este convex decif i atinge maximul n 0 1 saui atunciiF i atinge maximul n unul din punctele(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1).Se obinemax (1,1, 0) 2. F F 6)( ) [ ]2 2 2 2 2( ) 1 1, : 0,1 f a a b c a b c b c f + + .Dac b=1 se arat c [ ]( ) 0, ,, 0,1 f a a b c , dac [ ) 0,1 batunci maxf are loc pentru x=0 sau x=1,etc.7)Putem presupune fr a afecta generalitatea problemei, de exemplu, c a este cel mai mic dintre numerele a,b,c i fie ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2( ) 2 fx a b c x a b b c c a x abc a b c + + + + + + +Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ( )xf a a a b a c a b c fx + , deducem c 0 ,etc.1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic14 | P a g e8) Cu ICB: ( ) ( ) 22 2 2ba a bc a bc _ , i se continu apoi cu ineg precedent.1)prof.dr., Colegiul National Traian , Drobeta Tr.Severin, e-mail:[email protected]*) exerciiu cu grad ridicat de dificultate**) exerciiu care necesit cunotine de analiz matematic
