Interpolacion Segmentaria

7/23/2019 Interpolacion Segmentaria

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Alumno: Jonathan Cronque Jimenez

Materia: Análisis Numérico

Tema: Interpolación Segmentaria.

scuela: Instituto Tecnológico !e stu"ios Superiores !e#amora

Maestro: Ja$ier %ara&as Ace$es

'rupo: (%

Carrera: Ing. lectrónica



INDICE

Introducción…………………………………………………....3

Desarrollo…………………………………………………….. 4-11

Conclusiones………………………………………………….. 12

Bibliografías……………………………………………………. 12



INT)*!+CCI,N

Interpolación.

En el sub ca!o ate"tico del an"lisis nu#rico$ se denoina inter!olación a la

obtención de nue%os !untos !artiendo del conociiento de un con&unto discreto de

!untos.

En ingeniería ' algunas ciencias es frecuente dis!oner de un cierto n(ero de

!untos obtenidos !or uestreo o a !artir de un e)!eriento ' !retender construir una función *ue los a&uste.

+tro !roblea estrec,aente ligado con el de la inter!olación es la a!ro)iación

de una función co!licada !or una "s si!le. i teneos una función cu'o

c"lculo resulta costoso$ !odeos !artir de un cierto n(ero de sus %alores e

inter!olar dic,os datos constru'endo una función "s si!le. En general$ !or

su!uesto$ no obtendreos los isos %alores e%aluando la función obtenida *ue

si e%aluaos la función original$ si bien de!endiendo de las características del

!roblea ' del #todo de inter!olación usado la ganancia en eficiencia !uede

co!ensar el error coetido.

3



!SA))*--*

Interpolación segmentaria o splines.

En el sub ca!o ate"tico del an"lisis nu#rico$ un s!line es una cur%adiferenciable definida en !orciones ediante !olinoios.

En los !robleas de inter!olación$ se utilia a enudo la inter!olación ediantes!lines !or*ue da lugar a resultados siilares re*uiriendo solaente el uso de!olinoios de ba&o grado$ e%itando así las oscilaciones$ indeseables en la a'oríade las a!licaciones$ encontradas al inter!olar ediante !olinoios de gradoele%ado.

/ara el a&uste de cur%as$ los s!lines se utilian !ara a!ro)iar foras

co!licadas. 0a si!licidad de la re!resentación ' la facilidad de có!uto de loss!lines los ,acen !o!ulares !ara la re!resentación de cur%as en infor"tica$!articularente en el terreno de los gr"ficos !or ordenador .

Tipos

Interpolación con splines "e gra"o .

0os s!lines de grado 1 son funciones !olinoiales de grado 1 ectas de la fora

f)a)5b *ue se encargan de unir cada !ar de coordenadas ediante una recta.

Dados los n51 !untos6

7na función s!line de grado 1 *ue inter!ole los datos es si!leente unir cadauno de los !untos /ar coordenados ediante segentos de recta$ coo seilustra en las siguientes figuras6

4



Interpolación con splines "e gra"o 2.

0os !olinoios /) a tra%#s de los *ue construios el !line tienen grado 2. Esto

*uiere decir$ *ue %a a tener la fora /) a)8 5 b) 5 c

Coo en la inter!olación segentaria lineal$ %aos a tener N-1 ecuacionesdonde N son los !untos sobre los *ue se define la función. 0a inter!olacióncuadr"tica nos %a a asegurar *ue la función *ue nosotros genereos a troos conlos distintos /) %a a ser continua$ 'a *ue !ara sacar las condiciones *ue a&ustenel !olinoio$ %aos a deterinar cóo condiciones6

• 9ue las !artes de la función a troos /) !asen !or ese !unto. Es decir$

*ue las dos /n) *ue rodean al f) *ue *uereos a!ro)iar$ sean igual af) en cada uno de estos !untos.

• 9ue la deri%ada en un !unto sie!re coincida !ara abos :lados: de la

función definida a troos *ue !asa !or tal !unto co(n.

• Esto sin ebargo no es suficiente$ ' necesitaos una condición "s. ;/or

*u#< =eneos 3 incógnitas !or cada /). En un caso sencillo con f)definida en tres !untos ' dos ecuaciones /) !ara a!ro)iarla$ %aos atener seis incógnitas en total. /ara resol%er esto necesitaríaos seisecuaciones$ !ero %aos a tener tan sólo cinco6 cuatro *ue igualan el /)con el %alor de f) en ese !unto dos !or cada inter%alo$ ' la *uinta aligualar la deri%ada en el !unto co(n a las dos /).

e necesita una se)ta ecuación$ ;de dónde se e)trae< Esto suele ,acerse con el%alor de la deri%ada en alg(n !unto$ al *ue se fuera uno de los /).

>



Interpolación con splines "e gra"o /

Cada !olinoio /) a tra%#s del *ue construios los !lines en ?$ n@ tiene grado

3. Esto *uiere decir$ *ue %a a tener la fora /) a)A 5 b)8 5 c) 5 d

En este caso %aos a tener cuatro %ariables !or cada inter%alo a$ b$ c$ d$ ' unanue%a condición !ara cada !unto co(n a dos inter%alos$ res!ecto a la deri%adasegunda6

• 9ue las !artes de la función a troos /) !asen !or ese !unto. Es decir$

*ue las dos /n) *ue rodean al f) *ue *uereos a!ro)iar$ sean igual af) en cada uno de estos !untos.

• 9ue la deri%ada en un !unto sie!re coincida !ara abos :lados: de la

función definida a troos *ue !asa !or tal !unto co(n. 9ue la deri%adasegunda en un !unto sie!re coincida !ara abos :lados: de la funcióndefinida a troos *ue !asa !or tal !unto co(n.

• Coo !uede deducirse al co!ararlo con el caso de s!lines cuadr"ticos$

a,ora no nos %a a faltar una sino dos ecuaciones condiciones !ara eln(ero de incógnitas *ue teneos.

0a fora de solucionar esto$ deterina el car"cter de los s!lines c(bicos. sí$!odeos usar6

Splines c01icos naturales: 0a fora "s tí!ica. 0a deri%ada segunda de / se,ace !ara el !rier ' (ltio !unto sobre el *ue est" definido el con&unto de!lines$ esto son$ los !untos ' n en el inter%alo [email protected] los %alores de la deri%ada segunda de ' n de fora :anual:$ en el con&untode s!lines definidos en el inter%alo ?$ [email protected] iguales los %alores de la deri%ada segunda de ' n en el con&unto des!lines definidos en el inter%alo ?$ n@.

Splines c01icos su&etos: 0a deri%ada !riera de / debe tener el iso %alor *ue las deri%ada !riera de la función !ara el !rier ' (ltio !unto sobre el *ueest" definido el con&unto de !lines$ esto son$ los !untos ' n en el inter%alo ?$

n@.



&emplos&emplo

Interpolación lineal.

Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4

f (1) = 1

f (2) = 0.5

f (4) = 0.25

El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de

oordenadas (1!1) " (2!0.5). #urge un sistema lineal de dos euaiones en dos

in$gnitas%

(1) 1=a+b

(2) 0.5=2a+b

&e (1) se obtiene%

a=1'b ()

eempla*ando () en (2) se obtiene%

0.5=2(1'b)+b

uego

b=1.5

eempla*ando el ,alor de (b) en (1)! se obtiene%

a = ' 0.5

Por lo tanto! se onlu"e -ue% P1(x) = ' 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) = ax +

b deberá unir el segundo punto (2!0.5) on el terer punto (4!0.25). nálogamente a

lo /e/o para P1(x)! en el aso de P2(x) se obtiene%

(1) 0.5 = 2a + b

(2) 0.25 = 4a + b

a = ' 0.125! b = 0.5

F



uego P2(x) = ' 0.125x + 0.5

&emplo 2

Interpolación Cua"rática.

Calcular la interpolación por splines de grado 2:

Primero -ue nada! ,emos -ue se forman tres inter,alos% ! 4!5! 4! 5!! !3

En ada uno de estos inter,alos! debemos definir una funi$n polinomial de grado 2!omo sigue%

aemos -ue la spline pase por los puntos de la tabla de datos! es deir! se debeumplir -ue%

# ()=2!5s (4!5)=1s ()=2!5

s (3)=0!5

s! se forman las siguientes euaiones%

asta a-u! tenemos un total de 6 euaiones on 3 in$gnitas.El siguiente paso es mane7ar la existenia de las deri,adas ontinuas. En el aso de lassplines de grado 2! neesitamos -ue la spline tenga deri,ada ontinua de orden 8'1=1!es deir! primera deri,ada ontinua.9alulamos primero la primera deri,ada%

G



:emos -ue esta deri,ada está formada por segmentos de retas! -ue pudieranpresentar disontinuidad en los ambios de inter,alo. Es deir! las posiblesdisontinuidades son x = 5.4 " x = . Por lo tantopara -ue s;(x) sea ontinua! se debe umplir -ue%

<ambin debe umplirse -ue%

s! tenemos un total de > euaiones ,s. 3 in$gnitas? esto nos da un grado delibertad para elegir alguna de las in$gnitas. Elegimos por simple on,enienia a1 = 0.&e esta forma! tenemos un total de > euaiones on > in$gnitas. Estas son lassiguientes%

Este sistema de euaiones tiene la siguiente forma matriial%

H



1



&emplo /

Interpolación Cu1ica.

Construir el spline cubico natural que interpola a partir de los datos:

El sistema es%

Por lo tanto%

11



C*NC-+SI*N

En an"lisis nu#rico$ la inter!olación !olinóica es una t#cnica de inter!olación

de un con&unto de datos o de una función !or un !olinoio. Es decir$ dado cierto

n(ero de !untos obtenidos !or uestreo o a !artir de un e)!eriento se

!retende encontrar un !olinoio *ue !ase !or todos los !untos.

%I%-I*')A3IAS

C,a!ra . Canales . J K#todos nu#ricos !ara ingenieros. J Edit. Kc LraM ill.

N.. 1HH4$ 41!

• . ubanell$ . Bensen'$ . Dels,as 1HH3. Útiles básicos de Cálculo

Numérico. 0aborJ/ublicaciones de la 7B.

• ,tt!6JJinter!olacion.MiOidot.coJs!line-teoria

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Interpolacion Segmentaria

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