IL VOLUME DEI SOLIDI Conoscenze 1. Completa. a. Il peso di un corpo dipende dal ............................e dalla ............................... di cui è costituito b. Ogni sostanza ha il suo peso specifico, che è ............................................... di quella sostanza c. Il peso specifico di una sostanza esprime il rapporto .............. tra il .................. e il .................. d. Il peso specifico è una grandezza derivata, la cui unità di misura è data dal .........................tra l’unità di misura del ...................... e l’unità di misura del .............................. 2. Con quale di queste formule si esprime il peso specifico di una sostanza? p s = P V p s = V P p s = P V 3. Collega ciascuna unità di misura di volume con l’unità di misura di peso corrispondente. 4. Scrivi le formule inverse relative al peso specifico. P = .......... V = ......... 5. Sotto ciascuna affermazione, relativa al volume dei solidi, scrivi il nome del solido o dei solidi a cui si riferisce. ......................................................... ........................................................................ ................................... ................................ ............................................. kg t g cm 3 dm 3 m 3 Si eleva al cubo la misura del suo spigolo Si moltiplica l’area della base per la misura dell’altezza e si divide il prodotto ottenuto per 3 Si moltiplicano le sue dimensioni Si moltiplica l’area della base per la misura dell’altezza Si moltiplica il cubo del suo raggio per 4/3
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IL VOLUME DEI SOLIDI - · PDF fileIl volume di una piramide si calcola utilizzando la seguente formula: ... Il volume di un cono si calcola utilizzando la seguente formula:
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Transcript
IL VOLUME DEI SOLIDI
Conoscenze
1. Completa.
a. Il peso di un corpo dipende dal ............................e dalla ...............................di cui è costituito
b. Ogni sostanza ha il suo peso specifico, che è ............................................... di quella sostanza
c. Il peso specifico di una sostanza esprime il rapporto .............. tra il ..................e il ..................
d. Il peso specifico è una grandezza derivata, la cui unità di misura è data dal .........................tra
l’unità di misura del ...................... e l’unità di misura del ..............................
2. Con quale di queste formule si esprime il peso specifico di una sostanza?
ps = P V ps = V
P ps =
P
V
3. Collega ciascuna unità di misura di volume con l’unità di misura di peso corrispondente.
4. Scrivi le formule inverse relative al peso specifico.
P = .......... V = .........
5. Sotto ciascuna affermazione, relativa al volume dei solidi, scrivi il nome del solido o dei solidi
a. Il volume di un parallelepipedo rettangolo si calcola utilizzando le seguenti formule:
hAV b 2:hAV b hCV cbaV
b. Il volume di un prisma si calcola utilizzando la seguente formula:
hPV b hAV b 3
hAV b
c. Il volume di un cubo si calcola utilizzando la seguente formula:
2lV 2
3lV 3lV
d. Il volume di una piramide si calcola utilizzando la seguente formula:
hAV b 2
hAV b
3
hAV b
c. Il volume di un cilindro si calcola utilizzando le seguenti formule:
hAV b hrV 2 2
2 hrV
3
2hrV
d. Il volume di un cono si calcola utilizzando la seguente formula:
2
2 hrV
hrV 2
3
2hrV
e. Il volume di una sfera si calcola utilizzando la seguente formula:
V = 2
3
4r V = 3
3
4r V = 3
4
3r
7. Scrivi le formule inverse del volume di:
a. un prisma: h = ........... Ab = ..........
b. un cubo: l = ...........
c. una piramide: h = .......... Ab = ..........
d. un cilindro: r = ........... h = ...........
e. un cono: r = ........... h = ...........
f. una sfera: r = ...........
Abilità
1. Rispondi.
Se il peso specifico del ferro è 7,5 quanto pesano rispettivamente:
1 cm3 di ferro? ……… 1 dm
3 di ferro? ……… 10 m
3 di ferro? …………
2. Calcola:
a. il peso di un oggetto di porcellana (ps = 2,5), sapendo che il suo volume è di 80 dm3.
b. il volume di un cubetto di rame (ps= 8,4), sapendo che pesa 2520 g.
3. Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo in cui la somma dei cateti misura 68 cm e il
cateto maggiore è i 12/5 del minore. Calcola l’area della superficie totale e il volume del prisma,
sapendo che la sua altezza misura 25 cm.
4. Un solido di vetro (ps = 2,5) è formato da quattro cubi equivalenti, posti uno di fianco all’altro.
Sapendo che la superficie totale di ogni cubo è di 294 cm2, determina il volume e il peso del
solido.
5. Calcola l’area della superficie totale e il volume di una piramide quadrangolare regolare,
sapendo che lo spigolo di base misura 20 cm e che l’altezza è i 6/5 dello spigolo di base.
6. Calcola il volume di un solido composto, alto 40 cm , formato da un cilindro e un cono aventi le
basi coincidenti, sapendo che la circonferenza di base del cilindro misura 48 cm e che la
differenza tra le altezze del cilindro e del cono è di 4 cm.
7. Calcola il volume di una sfera, sapendo che la sua superficie sferica è di 324 cm2.
u = 5 cm
r
u = 2 cm
r
O
V
B
PER IL RECUPERO
1. Calcola il peso di un oggetto di avorio (ps = 1,86), sapendo che il suo volume è di 45 cm3.
(Attenzione alla congruenza tra le unità di misura di volume e peso)
2. Disegna il cilindro che si ottiene dalla rotazione completa del
rettangolo assegnato attorno all’asse di rotazione individuato
dalla retta r.
In base al valore dell’unità di misura indicata, calcolane il volume . (Attenzione: ogni quadratino vale 2 cm!!)
r = .......... h = ..........
V = ...........
3. Un prisma retto, alto 40 cm, ha per base un quadrato avente il perimetro lungo 112 cm. Calcola
l’area della superficie totale e il volume del prisma. (Conoscendo il perimetro del poligono di base, che è un quadrato, puoi calcolare facilmente lo spigolo di base. Poi
hai tutte le informazioni necessarie per applicare le formule relative al calcolo della superficie totale e del volume
di un prisma.......)
4. Completa la seguente tabella, riferita al cubo.
5. Calcola la superficie totale e il volume di un cono avente il raggio di base lungo 8 cm e
l’apotema di 17 cm. (Conoscendo il raggio e l’apotema puoi, con il teorema di ..............., calcolare l’altezza. Poi basterà
applicare le formule........).
l Area di una faccia St V
13 cm
27 cm 3
6. Completa la tabella, riferita ad una piramide quadrangolare regolare.
Spigolo di base Altezza Area di base Volume
15 cm 22 cm
30 cm 4000 cm3
7. Un cilindro ha la circonferenza di base lunga 14 cm ed è alto 28 cm. Calcolane il volume. (Conoscendo la misura della circonferenza puoi calcolare il raggio, quindi l’area di base ............)
8. Calcola il volume di una sfera avente il raggio di 6 cm.
PER IL POTENZIAMENTO
1. Completa.
a. La piramide è equivalente a ...........................................avente la base .................... e l’altezza
....................... a quella della piramide.
b. Il cono è equivalente a ...............................................avente la base e l’altezza .......................
rispettivamente .......................e ....................... del cono.
c. La sfera è equivalente a .................... avente per altezza ......... della sfera e per raggio di base
........................... della sfera.
2. Ruotando di 360° un triangolo isoscele intorno alla sua base si ottiene un solido formato da
................... con la ................. in comune.
Ssolido = Sl cono1 ....... ......................
V solido = ............ ...... Vcono2
L’altezza dei coni è ...................... ..............del triangolo
L’apotema dei coni è ................................. del triangolo
Il raggio di base dei coni è ......................... del triangolo
3. Ruotando di 360° un trapezio isoscele intorno alla sua base maggiore si ottiene un solido
formato da .................... sormontato da .................con le .........in comune con quelle del cilindro.
Ssolido = ............. ...............
V solido = ............. .............
I raggi di base sono ................................. del trapezio
L’altezza del cilindro è ........................... del trapezio
L’altezza di entrambi i coni è la .................................
......................... del trapezio sulla base ......................
L’apotema di entrambi i coni è ..................................
del trapezio
4. Ruotando di 360° un trapezio isoscele intorno alla sua base minore, si ottiene un solido formato
da .......................e da ...............congruenti, scavati nel ....................., con le ..........in comune a
quelle del cilindro.
Ssolido = ................... ...................
V solido =. ................. ...................
I raggi di base sono ............................................... del trapezio
L’altezza del cilindro è ......................................... del trapezio
L’altezza di entrambi i coni è ...................................................
del lato obliquo...................................................... del trapezio
L’apotema di entrambi i coni è il ...........................del trapezio
5. L’area della superficie totale di un cubo è 384 cm2. Calcola:
a) il volume del cubo;
b) l’area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo, equivalente al triplo del
cubo e avente l’altezza e una dimensione di base che misurano rispettivamente 12 cm e
16 cm.
6. Un solido è costituito da un prisma esagonale regolare alto 6 cm e
da una piramide esagonale avente la base coincidente con la base
del prisma. Sapendo che il perimetro di base del prisma misura 30
cm e che lo spigolo laterale della piramide misura 13 cm, calcola il
volume del solido.
7. Un solido è costituito da un cilindro equilatero e da una semisfera avente il
cerchio massimo coincidente con una base del cilindro. Sapendo che l’area
della superficie semisferica è di 288 cm2, calcola il volume del solido.
8. Un solido, alto 39 cm, è costituito da due coni aventi le basi in comune.
Sapendo che l’apotema del cono più basso misura 25 cm e che l’altezza del
cono più alto misura 32 cm, calcola il volume e l’area della superficie
totale del solido.
LA SUPERFICIE DEI SOLIDI DI ROTAZIONE
Conoscenze
1. Completa.
a. Il cilindro è un .................. ottenuto dalla ............................. completa di ...............................
b. Il raggio e il centro del semicerchio sono ........................................... della sfera.
c. La superficie sferica è l’insieme ................................................che hanno la .............................
da un ............................................. alla sfera, detto ....................
d. La superficie sferica è equivalente alla .............................................del ....................................
circoscritto ad essa.
11. Segna il completamento esatto.
a. L’area della superficie sferica si calcola utilizzando la seguente formula:
S = 4 r3 S = 2 r
2 S = 4 r
2
c. Il raggio del cerchio massimo della sfera si calcola utilizzando la seguente formula:
2
Sr
4
Sr
Sr
u = 5 cm
r
u = 5 cm
r
u = 2 cm
r
u = 4 cm
r
u = 5 cm
r
r
Abilità
1. Disegna il cilindro che si ottiene dalla rotazione completa dei rettangoli assegnati attorno
all’asse di rotazione individuato dalla retta r.
In base al valore dell’unità di misura indicata, calcolane poi l’area della superficie laterale
e totale.
r = .......... h = ..........
Sl = ................... r = .......... h = .......... St = ................... Sl = .................. St = ..................
2. Completa la seguente tabella riferita al cilindro.
r h C Ab Sl St
9 cm 36 cm2
15 cm 360 cm2
3. L’area di base di un cilindro equilatero misura 361 cm2. Calcola l’altezza del cilindro e l’area
della sua superficie totale.
4. Disegna il cono che si ottiene dalla rotazione completa dei triangoli rettangoli assegnati attorno
all’asse di rotazione individuato dalla retta r:
O
V
B
5. Calcola l’area della superficie laterale e totale del seguente cono, in base ai dati assegnati.
OB = 6 cm Sl = ?.........
VO = 17,5 cm St = ?.........
6. Completa la seguente tabella riferita al cono.
7. Calcola l’area della superficie del solido ottenuto facendo ruotare attorno al suo diametro un
semicerchio limitato da una semicirconferenza lunga 24 cm.
8. Calcola l’area della superficie di una sfera avente l’area del suo cerchio massimo di 20,25 cm2.
r a C Ab Sl St
5 cm 13 cm
225 cm2 600 cm
2
r
u = 5 cm
r
u = 1 cm r
u = 5 cm
r
u = 1 cm
r
PER IL RECUPERO
1. Scrivi i termini del cilindro indicati da ciascuna freccia.
rettangolo che .........
2. Completa le seguenti formule, dirette e inverse, relative al calcolo della superficie laterale e
totale del cilindro.
Sl = 2 ....... St = Sl +2 ....... h = Sl : ..... r = Sl : .....
3. Scegli il completamento esatto.
a. Se il raggio di base di un cilindro equilatero è lungo 20 cm, la sua altezza è di:
20 cm 40 cm 10 cm
b. Se il raggio di base di un cilindro, alto 8 cm, è di 5 cm, la sua superficie laterale è di:
40 cm2
80 cm
80 cm
2
c. Se il raggio di base di un cilindro, alto 10 cm, è di 4 cm, la sua superficie totale è di:
120 cm2
156 cm
2 112 cm
2
4. Disegna i cilindri che si ottengono facendo ruotare di 360° i rettangoli assegnati attorno all’asse
di rotazione individuato dalla retta r e, per ciascuno di essi, indica il raggio di base e l’altezza.
5. La circonferenza di base di un cilindro misura 32 cm. Calcola l’area della superficie laterale e
totale del cilindro, sapendo che la sua altezza è i 5/2 del raggio di base.
( Conoscendo la misura della circonferenza puoi calcolare il raggio, quindi l’altezza e poi le due superfici.....)
r
u = 5 cm
r
u = 1 cmr u = 5 cm
r
u = 1 cmr
6. Scrivi i termini del cono indicati da ciascuna freccia.
triangolo rettangolo che ......
7. Completa le seguenti formule, dirette e inverse, relative al calcolo della superficie laterale e
totale del cono.
Sl = r ....... St = Sl +...... a = Sl : ..... r = Sl : .....
8. Scegli il completamento esatto.
a. Se il raggio di base di un cono equilatero è lungo 12 cm, la sua apotema è di:
24 cm 12 cm 6 cm
b. Se il raggio di base di un cono, la cui apotema è lunga 10 cm, è di 6 cm, la sua superficie
laterale è di:
16 cm2
30 cm
60 cm
2
c. Se il raggio di base di un cono, la cui apotema è lunga 13cm , è di 5 cm, la sua superficie
totale è di:
65 cm2
90 cm
2 115 cm
2
9. Disegna i coni che si ottengono facendo ruotare di 360° i triangoli rettangoli assegnati attorno
all’asse di rotazione individuato dalla retta r .
10. Calcola l’area della superficie laterale e totale di un cono, sapendo che l’altezza e il raggio di
base misurano rispettivamente 24 cm e 18 cm. (Disegna la figura e poi rifletti: conoscendo la misura dell’altezza e del raggio puoi, con il teorema di ............
calcolare l’apotema..........)
11. Calcola l’area della superficie di una sfera, sapendo che il suo raggio misura 20 cm. (Ricorda che la formula per il calcolo della superficie totale di una sfera è: St =..... r2)
r
u = 1 cm r
PER IL POTENZIAMENTO
1. Rifletti , rispondi e giustifica.
a. Un rettangolo avente il perimetro di 24 cm genera, con una rotazione di 360°, un cilindro
equilatero. Quali saranno le misure del raggio di base e dell’altezza del cilindro?
r =........... e h =............. ; perché ...................................................................................
b. E’ vero che lo sviluppo della superficie laterale di un cono è un triangolo isoscele? ....... ,
perché .........................................................
c. E’ vero che la sezione assiale di un cono equilatero è un triangolo equilatero? ....... , perchè