HIBBELER, R.C. Cintica de uma partcula: fora e acelerao. In: ______. Dinmica: mecncica para engenharia. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. p. 83-132. CAPITULO 13 Cintica de uma partcula: fora e acelerao Objetivos do captulo Estabelecer a segunda lei do movimento de Newton e definir massa e peso. Analisar o movimento acelerado de uma partcula utilizando a equao do movimento com diferentes sistemas de coordenadas. Investigar o movimento de fora central e aplic-lo a problemas da mecnica espacial. 13.1 Introduo Cintica o ramo da dinmica que trata da relao entre a variao do movimento de um corpo e as foras que causam esta variao. A base para a cintica a segunda lei de Newton, que afirma que quando uma fora desequilibrada atua sobre uma partcula, a partcula acelerar na direo da fora com uma intensidade que proporcional fora. Esta lei pode ser verificada experimentalmente aplicando uma fora desequilibrada F a uma partcula, e ento medindo a acelerao a. Visto que a fora e a acelerao so diretamente proporcionais, a constante de proporcionalidade, m, pode ser determinada a partir da relao (ver frmula). Este escalar positivo m chamado massa da partcula. Sendo constante durante qualquer acelerao, m fornece uma medida quantitativa da resistncia da partcula a uma variao na sua velocidade, que sua inrcia. Se a massa da partcula m, a segunda lei do movimento de Newton pode ser escrita em forma matemtica como Esta equao, que referida como a equao do movimento, uma das formulaes mais importantes da mecnica.(nota de rodap 1 no final do texto) Como estabelecido anteriormente, sua validade baseada unicamente em evidncias experimentais. Em 1905, entretanto, Albert Pgina 83
Einstein desenvolveu a teoria da relatividade e estabeleceu limitaes sobre o uso da segunda lei de Newton para descrever o movimento geral das partculas. Por meio de experimentos, ficou provado que o tempo no uma quantidade absoluta como suposto por Newton; e como resultado, a equao do movimento no prev o comportamento exato de uma partcula, especialmente quando a velocidade da partcula se aproxima da velocidade da luz (0,3 Gm/s). Desenvolvimentos da teoria da mecnica quntica por Erwin Schrdinger e outros indicam, tambm, que concluses tiradas do uso desta equao tambm so invlidas quando as partculas so do tamanho de um tomo e se movem prximas umas das outras. Na maioria das vezes, entretanto, estas exigncias com relao velocidade e dimenso de uma partcula no so encontradas em problemas de engenharia, de maneira que seus efeitos no sero considerados neste livro. Lei da atrao gravitacional de Newton Pouco depois de formular suas trs leis do movimento, Newton postulou uma lei determinando a atrao mtua entre quaisquer duas partculas. Em forma matemtica, esta lei pode ser expressa como: (ver frmula) F = fora de atrao entre as duas partculas. G = constante universal de gravitao; de acordo com evidncias experimentais (ver frmula). m1 m2 = massa de cada uma das duas partculas. r = distncia entre os centros das duas partculas. No caso de uma partcula localizada na ou prxima da superfcie da Terra, a nica fora gravitacional tendo qualquer intensidade considervel aquela entre a Terra e a partcula. Esta fora denominada o 'peso' e, para o nosso propsito, ela ser a nica fora gravitacional considerada. Da Equao 13.1, podemos desenvolver uma expresso geral para encontrar o peso W de uma partcula tendo massa m, = m. Considere que (ver frmula) seja a massa da Terra era distncia entre o centro da Terra e a partcula. Ento, (ver frmula), temos (ver frmula) Comparando-se com F = ma, denominamos g a acelerao devida gravidade. Para a maioria dos clculos de engenharia, g o ponto na superfcie da
Terra ao nvel do mar e a uma latitude de 45, que considerada a 'posio-padro'. Aqui, o valor g = 9,81 m/s2 ser usado para os clculos. No sistema internacional a massa de um corpo especificada em quilogramas, e o peso tem de ser calculado utilizando-se a equao acima, Figura 13.1. Assim, (ver frmulas) Como consequncia disso, um corpo de massa 1 kg tem um peso de 9,81 N; um corpo de 2 kg pesa 19,62 N; e assim por diante. Pgina 84 13.2 A equao do movimento Quando mais do que uma fora atua sobre uma partcula, a fora resultante determinada por uma soma vetorial de todas as foras, ou seja, FR = SF. Para este caso mais geral, a equao do movimento pode ser escrita como: (ver frmula) (13.4) Para ilustrar a aplicao desta equao, considere a partcula mostrada na Figura 13.2a, que tem massa m e est sujeita ao de duas foras, F 1 e F2. Podemos considerar graficamente a intensidade e direo de cada fora atuando sobre a partcula traando o diagrama de corpo livre da partcula, Figura 13.2b. Visto que a resultante destas foras produz o vetor ma, sua intensidade e direo podem ser representadas graficamente no diagrama cintico, mostrado na Figura 13.2c. (nota de rodap 2 no final do texto) O sinal de igual escrito entre os diagramas simboliza a equivalncia grfica entre o diagrama de corpo livre e o diagrama cintico; ou seja, (ver frmula).(nota de rodap 3 no final do texto). Em particular, observe que se (ver frmula), ento a acelerao tambm zero, de maneira que a partcula, ou permanecer em repouso, ou se mover ao longo de uma trajetria em linha reta com velocidade constante. Estas so as condies do equilbrio esttico, a primeira lei de movimento de Newton. Sistema de referncia inercial Quando se aplica a equao do movimento, importante que a acelerao da partcula seja medida em relao a um sistema de referncia que seja fixo ou translade com uma velocidade constante. Desta maneira, o observador no acelerar e as medidas da acelerao da partcula sero as mesmas como as de
qualquer referncia deste tipo. Um sistema de referncia desta natureza comumente denominado de sistema de referncia inercial ou Newtoniano, Figura 13.3. Quando se estuda os movimentos de foguetes e satlites, justificvel considerar o sistema de referncia inercial como fixo em relao s estrelas, enquanto os problemas de dinmica relativos a movimentos na superfcie terrestre ou prximos a ela podem ser resolvidos utilizando um sistema inercial, o qual se supe ser fixo Terra. Apesar de a Terra girar em torno do seu prprio eixo e orbitar em torno do Sol, as aceleraes criadas por estas rotaes so relativamente pequenas e, portanto, podem ser desprezadas na maioria das aplicaes. Pgina 85 Todos estamos familiarizados com a sensao que se sente quando se est sentado em um carro que est sujeito a uma acelerao para a frente. Muitas vezes, as pessoas acham que isto causado por uma 'fora' que atua sobre elas e tende a empurr-las para trs nos seus assentos; entretanto, este no o caso. Em vez disso, esta sensao ocorre devido inrcia ou a resistncia da sua massa variao da velocidade. Considere o passageiro que est preso ao assento de um tren motorizado. Contanto que esse tren esteja em repouso ou se movendo com uma velocidade constante, nenhuma fora exercida sobre suas costas, como mostrado em seu diagrama de corpo livre. Quando o empuxo do motor faz o tren acelerar, ento o assento sobre o qual ele est sentado exerce uma fora F sobre ele, a qual o empurra para a frente com o tren. Na fotografia, observe que a inrcia da sua cabea resiste a esta variao no movimento (acelerao), e assim a sua cabea se move para trs contra o assento e seu rosto, que no rgido, tende a distorcer-se para trs. Sob a desacelerao, a fora do cinto de segurana F' tende a puxar o seu corpo at a parada, mas sua cabea deixa de fazer contato com o encosto do assento e seu rosto se distorce para a frente, novamente devido sua inrcia ou tendncia de continuar a se mover para a frente. Nenhuma fora o est empurrando para a frente, embora seja esta a sensao que ele tem. Pgina 86
13.3 Equao do movimento para um sistema de partculas A equao do movimento ser agora ampliada para incluir um sistema de partculas isolado dentro de uma regio fechada no espao, como mostrado na Figura 13.4a. Em particular, no h restrio quanto forma com que as partculas esto ligadas, de modo que a anlise seguinte se aplica igualmente bem ao movimento de um sistema slido, lquido ou gasoso. No instante considerado, a i-sima partcula arbitrria, tendo massa mi, est sujeita a um sistema de foras internas e uma fora externa resultante. A fora interna, representada simbolicamente como fi a resultante de todas as foras que as outras partculas exercem sobre a i-sima partcula. A fora externa resultante Fi representa, por exemplo, o efeito de foras gravitacionais, eltricas, magnticas ou de contato entre a i-sima partcula e corpos ou partculas adjacentes no includas dentro do sistema. Os diagramas cintico e de corpo livre para a i-sima partcula so mostrados na Figura 13.46. Aplicando a equao do movimento, (ver frmulas) Quando a equao do movimento aplicada a cada uma das outras partculas do sistema, equaes similares resultam. E, se todas estas equaes so adicionadas juntas vetorialmente, obtemos: (ver frmula) A somatria das foras internas, se realizada, ser igual a zero, visto que as foras internas entre quaisquer duas partculas ocorrem em pares colineares iguais, mas opostos. Consequentemente, apenas a soma das foras externas permanecer e, portanto, a equao do movimento escrita para o sistema de partculas, torna-se: (ver frmula) Pgina 87 Se rG um vetor posio que localiza o centro de massa G das partculas, Figura 13.4a, ento, da definio de centro de massa, mrG = miri onde m = mi, a massa total de todas as partculas. Derivando esta equao duas vezes em relao ao tempo, supondo que nenhuma massa est entrando ou saindo do sistema, resulta em: (ver frmula) Substituindo este resultado na Equao 13.5, obtemos:
(ver frmula) (13.6) Por conseguinte, a soma das foras externas atuando sobre o sistema de partculas igual massa total das partculas vezes a acelerao do seu centro de massa G. Visto que, na realidade, todas as partculas tm que ter uma dimenso finita para possuir massa, a Equao 13.6 justifica a aplicao da equao do movimento a um corpo que representado por uma nica partcula. Pontos importantes
A equao do movimento est baseada em evidncias experimentais e A equao do movimento estabelece que a fora desequilibrada sobre uma Um sistema de referncia inercial no gira; em vez disso, seus eixos, ou Massa uma propriedade da matria que fornece uma medida quantitativa da
vlida somente quando aplicada dentro de um sistema de referncia inercial.
partcula a faz acelerar.
transladam com velocidade constante, ou esto em repouso.
sua resistncia a uma variao da velocidade. Trata-se de uma quantidade absoluta e assim ela no muda de uma posio para outra.
Peso uma fora que causada pela gravitao da Terra. Ele no
absoluto; em vez disso, ele depende da altitude da massa em relao superfcie da Terra. Equaes do movimento: coordenadas retangulares Quando uma partcula se move em relao a um sistema de referncia inercial x, y, z, as foras atuando sobre a partcula, assim como a sua acelerao, podem ser expressas em termos das suas componentes i, j, k, Figura 13.5. Aplicando a equao do movimento, temos: (ver frmulas) Para esta equao ser satisfeita, as respectivas componentes de i, j, k no lado esquerdo tm de ser iguais s correspondentes componentes do lado direito. Consequentemente, podemos escrever as trs equaes escalares seguintes: (ver frmulas) (13.7) Em especial, se a partcula est restrita a se mover apenas no plano x y, ento as duas primeiras destas equaes so usadas para especificar o movimento. Pgina 88
Procedimento para anlise As equaes de movimento so usadas para solucionar problemas que exigem uma relao entre as foras atuando sobre uma partcula e o movimento acelerado que elas causam. Diagrama de corpo livre
Escolha o sistema de coordenadas inercial. Na maioria das vezes,
coordenadas retangulares ou x, y, z so escolhidas para analisar problemas para os quais a partcula tem um movimento retilneo.
Uma vez que as coordenadas tenham sido estabelecidas, desenhe o
diagrama de corpo livre da partcula. Desenhar este diagrama muito importante, visto que ele fornece uma representao grfica que leva em considerao todas as foras (Somatrio F) que atuam sobre a partcula, e desse modo toma possvel decompor essas foras em suas componentes x, y, z.
A direo e o sentido da acelerao da partcula a tambm devem ser estabe-
lecidos. Se o sentido desconhecido, por convenincia matemtica suponha que o sentido de cada componente da acelerao atua na mesma direo que o seu eixo de coordenada inercial positivo.
A acelerao pode ser representada como o vetor ma no diagrama cintico. Identifique as incgnitas no problema. Equaes do movimento
(nota de rodap 4 no final do livro)
Se as foras podem ser decompostas diretamente a partir do diagrama de
corpo livre, aplique as equaes de movimento na sua forma de componente escalar.
Se a geometria do problema parece complicada, o que frequentemente ocorre Atrito. Se uma partcula em movimento contata uma superfcie spera, pode
em trs dimenses, a anlise vetorial cartesiana pode ser usada para a soluo.
ser necessrio usar a equao de atrito, que relaciona foras de atrito e normal, F, e N, atuando na superfcie de contato usando o coeficiente de atrito cintico, ou seja, Ff = kN. Lembre que Ff sempre atua no diagrama de corpo livre de maneira tal a se opor ao movimento da partcula em relao superfcie que ela contata. Se a partcula est na eminncia do movimento relativo, ento o coeficiente de atrito esttico deve ser usado.
Mola. Se a partcula est ligada a uma mola elstica tendo massa
desprezvel, a fora da mola Fs pode ser relacionada deformao da mola pela equao (ver frmula). Aqui, k a rigidez da mola medida como uma fora por unidade de comprimento, e s o esticamento ou compresso definido como a diferena entre o comprimento deformado l e o comprimento no deformado l0, ou seja, (ver frmula) Cinemtica
Se a velocidade ou posio da partcula tem de ser determinada, ser neces-
srio aplicar as equaes cinemticas uma vez que a acelerao da partcula determinada por (ver frmula). Pgina 89 Se a acelerao uma funo do tempo, utilize (ver frmulas), as quais, quando integradas, resultam na velocidade e posio da partcula, respectivamente. Se a acelerao uma funo do deslocamento, integre a (ver frmula) para obter a velocidade como uma funo da posio. Se a acelerao constante, utilize (ver frmula) para determinar a velocidade ou posio da partcula. Se o problema envolve o movimento dependente de vrias partculas, use o mtodo descrito na Seo 12.9 para relacionar suas aceleraes. Em todos os casos, verifique se as direes das coordenadas inerciais positivas usadas para escrever as equaes cinemticas so as mesmas que aquelas usadas para escrever as equaes do movimento; caso contrrio, a soluo simultnea das equaes resultar em erro. Se a soluo para uma componente vetorial desconhecida produz um escalar negativo, isso indica que a componente atua na direo oposta quela que foi suposta. A caixa de 50 kg mostrada na Figura 13.6a repousa sobre uma superfcie horizontal para a qual o coeficiente de atrito cintico (ver frmula). Se a caixa est sujeita a uma fora de trao de 400 N como mostrado, determine a velocidade da caixa aps 3 s partindo do repouso. Utilizando as equaes do movimento, podemos relacionar a acelerao da caixa com a fora que causa o movimento. A velocidade da caixa pode ento ser determinada utilizando-se a cinemtica.
Diagrama de corpo livre O peso da caixa (ver frmula). Como mostrado na Figura 13.66, a fora de atrito tem uma intensidade de (ver frmula) e atua para a esquerda, visto que ela se ope ao movimento da caixa. Supe-se que a acelerao a atue horizontalmente, na direo x positiva. H duas incgnitas, a saber, Nc e a. Equaes de movimento Utilizando os dados mostrados no diagrama de corpo livre, temos: Solucionando a Equao 2 para N substituindo o resultado na Equao 1 e resolvendo para a, resulta em: Cinemtica Observe que a acelerao constante, visto que a fora aplicada P constante. Como a velocidade inicial zero, a velocidade da caixa em 3 s : Pgina 90 NOTA: Tambm podemos usar o procedimento alternativo de traar os diagramas cintico e de corpo livre da caixa, Figura 13.6c, antes de aplicar as equaes de movimento. Um projtil de 10 kg disparado para cima verticalmente a partir do solo com uma velocidade inicial de 50 m/s, Figura 13.7a. Determine a altura mxima que ele atingir se (a) a resistncia atmosfrica for desprezada; e (b) a resistncia atmosfrica for medida como (ver frmula) N, onde v a velocidade escalar do projtil a qualquer instante, medida em m/s. Em ambos os casos, a fora conhecida sobre o projtil pode ser relacionada sua acelerao utilizando a equao de movimento. A cinemtica pode ento ser usada para relacionar a acelerao do projtil com a sua posio. Parte (a): Diagrama do corpo livre Como mostrado na Figura 13.76, o peso do projtil (ver frmula). Vamos supor que a acelerao desconhecida a atue para cima na direo positiva z. Equao do movimento (ver frmula)
O resultado indica que o projtil, como todo objeto tendo movimento de voo livre prximo da superfcie da Terra, est sujeito a uma acelerao para baixo constante de 9,81 m/s2. Cinemtica Inicialmente, (ver frmulas), e na altura mxima (ver frmula). Visto que a acelerao constante, ento: (ver frmulas) Parte (b): Diagrama de corpo livre Visto que a fora FD = (0,01 v2) N tende a retardar o movimento para cima do projtil, ela atua para baixo como mostrado no diagrama de corpo livre, Figura 13.7c. Equao do movimento (ver frmulas) Pgina 91 Cinemtica Aqui, a acelerao no constante visto que FD depende da velocidade. Como a = f(v), podemos relacionar a posio utilizando: (ver frmula) Separando as variveis e integrando, percebendo que inicialmente zB 0, v0 50 m/s (positivo para cima), e em z = h, v = 0, temos: (ver frmula) NOTA: A resposta indica uma altura mais baixa do que aquela obtida na parte (a) devido resistncia atmosfrica ou arrasto. Exemplo 13.3 O trator de bagagem A mostrado na fotografia tem um peso de 3600 N (m = 360 kg) e reboca a carreta B de 2200 N 220 kg) e a carreta C de 1300 N (m = 130 kg). Por um curto perodo de tempo, a fora de atrito motora desenvolvida nas rodas do trator de (ver frmula) N, onde t dado em segundos. Se o trator parte do repouso, determine sua velocidade escalar em 2 segundos. Alm disso, qual a
fora horizontal atuando sobre o engate entre o trator e a carreta B neste instante? Despreze a dimenso do trator e das carretas. Diagrama de corpo livre Como mostrado na Figura 13.8a, a fora de atrito motora que d a ambos, trator e carretas, uma acelerao. Aqui, consideramos todos os trs veculos como um nico sistema. Equao do movimento Apenas o movimento na direo horizontal tem de ser considerado. (ver frmula) Cinemtica Visto que a acelerao uma funo do tempo, a velocidade do trator obtida usando (ver frmula) com a condio inicial de que vl = 0 em t = 0. Temos: (ver frmula) Diagrama de corpo livre A fim de determinar a fora entre o trator e a carreta B, vamos considerar um diagrama de corpo livre do trator de maneira que possamos 'expor' a fora de engate T como externa ao diagrama de corpo livre, Figura 13.8b. Pgina 92 Equao de movimento Quando t = 2 s, ento: (ver frmula) Exemplo 13.4 Um anel liso C de 2 kg, mostrado na Figura 13.9a, est ligado a uma mola tendo uma rigidez k = 3 N/m e um comprimento no deformado de 0,75 m. Se o anel solto do repouso em A, determine sua acelerao e a fora normal da barra sobre o anel no instante que y = 1 m. SOLUO Diagrama de torpo livre O diagrama de corpo livre do anel quando ele est localizado na posio arbitrria y est mostrado na Figura 13.9b. Alm disso, supe-se que o anel esteja
acelerando de maneira que 'a' atua para baixo na direo y positiva. H quatro incgnitas, a saber, Nc, Fs, a e tta. Equaes de movimento (ver frmulas) Da Equao 2, v-se que a acelerao depende da intensidade e direo da fora da mola. A soluo para Nc e a possvel uma vez que Fs e 8 so conhecidos. A intensidade da fora da mola uma funo da extenso s da mola; ou seja, F = ks. Aqui, o comprimento no deformando A B = 0,75 m, Figura 13.9a; portanto, (ver frmula) Da Figura 13.9a, o ngulo tta relacionado a y pela trigonometria. (ver frmula) Substituindo y = 1 m nas equaes 3 e 4, resulta (ver frmula) Pgina 92 Exemplo 13.5 O bloco A de 100 kg mostrado na Figura 13.10a solto do repouso. Se as massas das polias e da corda so desprezadas, determine a velocidade escalar do bloco B de 20 kg em 2 s. Diagramas de corpo livre Visto que a massa das polias desprezada, ento para a polia C, ma = 0 e podemos aplicar o somatrio Fy = 0 como mostrado na Figura 13.106. Os diagramas de corpo livre para os blocos A e B so mostrados nas figuras 2.10c e d, respectivamente. Observe que para A permanecer parado, T = 490,5 N, ao passo que, para B permanecer esttico, T = 196,2 N. Por conseguinte, A se mover para baixo enquanto B se move para cima. Embora seja este o caso, vamos supor que ambos os blocos aceleram para baixo, na direo de + sA e + sB. As trs incgnitas so T, aA e aB. Equaes de movimento Bloco A, (ver frmula) Cinemtica
A terceira equao necessria obtida relacionando aA com aB utilizando uma anlise de movimento dependente, discutida na Seo 12.9. As coordenadas sA e sB na Figura 13.10a medem as posies de A e B a partir de um ponto de referncia fixo. V-se que: (ver frmula) onde l constante e representa o comprimento vertical total da corda. Derivando esta expresso duas vezes em relao ao tempo, resulta: (ver frmula) (3) Observe que quando escrevemos as equaes 1 a 3, a direo positiva sempre foi presumida para baixo. muito importante ser consistente com esta hiptese porque estamos buscando uma soluo de um sistema de equaes simultneas. Os resultados so: (ver frmula) Por conseguinte, quando o bloco A acelera para baixo, o bloco B acelera para cima como esperado. Visto que aB constante, a velocidade do bloco B em 2 s portanto (ver frmula) O sinal negativo indica que o bloco B est se movendo para cima. Pgina 94 Problemas fundamentais 13.1. O motor enrola o cabo com uma acelerao constante de tal maneira que a caixa de 20 kg se move em uma distncia s = 6 m em 3 s, partindo do repouso. Determine a trao desenvolvida no cabo. O coeficiente de atrito cintico entre a caixa e o plano (ver frmula). (ver figura) 13.2. Se o motor M exerce uma fora de (ver frmula) sobre o cabo, onde t dado em segundos, determine a velocidade da caixa de 25 kg quando t = 4 s. Os coeficientes de atrito esttico e cintico entre a caixa e o plano so (ver frmula), respectivamente. A caixa est inicialmente em repouso. (ver figura) 13.3. Uma mola de rigidez k = 500 N/m est montada contra o bloco de 10 kg. Se o bloco est sujeito fora F = 500 N, determine a sua velocidade em s = 0,5 m.
Quando s = 0, o bloco est em repouso e a mola est descomprimida. A superfcie de contato lisa. 13.4. O carro de 2 Mg est sendo rebocado por um guincho. Se o guincho exerce uma fora de T= (100s) N sobre o cabo, onde s o deslocamento do carro em metros, determine a velocidade escalar do carro quando s = 10 m, partindo do repouso. Despreze a resistncia ao rolamento do carro. (ver figura) 13.5. A mola tem uma rigidez de k = 200 N/m e no est deformada quando o bloco de 25 kg est em A. Determine a acelerao do bloco quando s = 0,4 m. A superfcie de contato entre o bloco e o plano lisa. (ver figura) 13.6. O bloco B repousa sobre uma superfcie lisa. Se os coeficientes do atrito esttico e cintico entre A e B so (ver frmula), respectivamente, determine a acelerao de cada bloco se P = 30 N. (ver figura) Pgina 95 Problemas 13.1. A pea fundida tem massa de 3 Mg. Suspensa em uma posio vertical e inicialmente em repouso, recebe uma velocidade escalar para cima de 200 mm/s em 0,3 s utilizando o gancho H do guindaste. Determine a trao nos cabos AC e AB durante este intervalo de tempo se a acelerao for constante. (ver figura) 13.2. O trem de 160 Mg move-se com uma velocidade de 80 km/h quando comea a subir o aclive. Se o motor exerce uma fora de trao F de 1/20 do peso do trem e a resistncia ao rolamento FD igual a 1/500 do peso do trem, determine a desacelerao do trem. (ver figura) 13.3. O trem de 160 Mg parte do repouso e comea a subir o aclive, como mostrado. Se o motor exerce uma fora de trao F de 1/8 do peso do trem, determine a velocidade do trem quando ele tiver avanado uma distncia de l km aclive acima. Despreze a resistncia ao rolamento. (ver figura)
13.4. A caminhonete de 2 Mg est se movendo a 15 m/s quando os freios em todas suas rodas so aplicados, fazendo com que ela escorregue por uma distncia de 10 m antes de chegar ao repouso. Determine a fora horizontal constante desenvolvida no engate C, e a fora de atrito desenvolvida entre os pneus da caminhonete e a estrada durante este tempo. A massa total da lancha e do reboque 1 Mg. (ver figura) 13.15. Se os blocos A e B de massa 10 kg e 6 kg, respectivamente, so colocados sobre o plano inclinado e soltos, determine a fora desenvolvida na barra de conexo. Os coeficientes de atrito cintico entre os blocos e o plano inclinado so (ver frmula). Despreze a massa da barra de conexo. (ver figura) 13.6. Os motores A e B enrolam o cabo com as aceleraes mostradas. Determine a acelerao da caixa C de 150 kg e a trao desenvolvida no cabo. Despreze a massa de todas as polias. (ver figura) 13.7. O furgo est se movendo a 20 km/h quando o engate do reboque em A quebra. Se o reboque tem massa de 250 kg e se move livremente 45 m antes de parar, determine a fora horizontal constante F criada pelo atrito de rolamento que fez o reboque parar. (ver figura) Pgina 96 13.8. Se o bloco A de 5 kg escorrega para baixo no plano inclinado com uma velocidade constante quando 6 = 30, determine a acelerao do bloco quando 0 = 45.(ver figura) 13.9. Cada uma das trs chatas tm massa de 30 Mg, ao passo que o rebocador tem massa de 12 Mg. A medida que as chatas esto sendo puxadas para a frente com uma velocidade constante de 4 m/s, o rebocador deve superar a resistncia do atrito da gua, que de 2 kN para cada chata e 1,5 kN para o rebocador. Se o cabo entre A e B se rompe, determine a acelerao do rebocador. (ver figura)
13.10. A caixa tem massa de 80 kg e est sendo puxada por uma corrente que est sempre direcionada a 20 da horizontal, como mostrado. Se a intensidade de P aumentada at a caixa comear a escorregar, determine a acelerao inicial da caixa se o coeficiente do atrito esttico (ver frmula) e o coeficiente do atrito cintico (ver frmula) (ver figura) 13.11. A caixa tem massa de 80 kg e est sendo puxada por uma corrente que est sempre direcionada a 20 da horizontal, como mostrado. Determine a acelerao da caixa em t = 2 s se o coeficiente de atrito esttico = 0,4, o coeficiente de atrito cintico (ver frmula), e a fora de reboque (ver frmula), onde t dado em segundos. (ver figura) 13.12. Determine a acelerao do sistema e a trao em cada cabo. O plano inclinado liso, e o coeficiente do atrito cintico entre a superfcie horizontal e o bloco C (ver frmula). (ver figura) 13.13. Os dois vages de carga A e B tm massa de 10 Mg e 15 Mg, respectivamente. Se eles descem livremente ladeira abaixo quando os freios so aplicados em todas as rodas do vago A, fazendo-o escorregar, determine a fora no engate C entre os dois vages. O coeficiente de atrito cintico entre as rodas de A e os trilhos (ver frmula). As rodas do vago B esto livres para rodar. Despreze suas massas no clculo. Sugesto: resolva o problema representando foras normais resultantes nicas atuando em A e B, respectivamente. (ver figura) 13.14. O motor de 3,5 Mg est suspenso por uma viga transversal AB de massa desprezvel e iado por um guindaste que d a ele acelerao de 4 m/s 2 quando ele tem velocidade de 2 m/s. Determine a fora nas correntes CA e CB durante o iamento. (ver figura) 13.15. O motor de 3,5 Mg est suspenso por uma viga transversal de massa desprezvel e iado por um guindaste que exerce uma fora de 40 kN no cabo de iamento. Determine a distncia pela qual o motor iado em 4 s, partindo do repouso. (ver figura) Pgina 97
13.16. O homem empurra a caixa de 30 kg com uma fora F. A fora sempre direcionada para baixo a 30 da horizontal, como mostrado, e sua intensidade aumentada at a caixa comear a deslizar. Determine a acelerao inicial da caixa se o coeficiente de atrito inicial (ver frmula) e o coeficiente de atrito cintico (ver frmula). (ver figura) 13.17. Uma fora de F = 75 N aplicada corda. Determine a altura a que o bloco A de 15 kg sobe em 2 s partindo do repouso. Despreze o peso das polias e da corda. (ver figura) 13.18. Determine a fora constante F que deve ser aplicada corda a fim de fazer com que o bloco A de 15 kg tenha uma velocidade de 3,6 m/s quando for deslocado 0,9 m para cima partindo do repouso. Despreze o peso das polias e da corda. (ver figura) 13.19. O vago em B de 800 kg est ligado ao vago em A de 350 kg por um engate de mola. Determine a extenso da mola se (a) as rodas de ambos os vages esto livres para rodar e (b) os freios so aplicados a todas as quatro rodas do vago B, fazendo com que a rodas escorreguem. Suponha (ver frmula). Despreze a massa das rodas. (ver figura) 13.20. O bloco A de 5 kg desloca-se para a direita com vA = 0,6 m/s no instante mostrado. Se o coeficiente de atrito cintico entre a superfcie e A (ver frmula), determine a velocidade de A quando ele se deslocou 1,2 m. O bloco B tem um peso de 100 N (m = 10 kg). (ver figura) 13.21. O bloco B tem massa m e solto do repouso quando est no topo da carreta A, que tem massa de 3m. Determine a trao na corda C D necessria para evitar que a carreta se desloque enquanto B escorrega para baixo em A. Despreze o atrito. (ver figura) 13.22. O bloco B tem massa m e solto do repouso quando est no topo da carreta A, que tem massa 3m. Determine a trao na corda CD necessria para
evitar que a carreta se desloque enquanto B escorrega para baixo em A. O coeficiente de atrito cintico entre A e B (ver frmula). (ver figura) 13.23. O eixo CA de 2 kg passa por um mancai radial liso em B. Inicialmente, as molas, que esto enroladas livremente em torno do eixo, no esto deformadas quando nenhuma fora aplicada ao eixo. Nesta posio s = s'= 250 mm e o eixo est em repouso. Se uma fora horizontal de F = 5 kN aplicada, determine a velocidade do eixo no instante que 5 = 50 mm, s' = 450 mm. As extremidades das molas esto presas ao mancai em B, e as tampas, em C e A.(ver figura) Pgina 98 13.24. Se a fora do motor M sobre o cabo mostrada no grfico, determine a velocidade do carrinho quando t= 3 s. A carga e o carrinho tm massa de 200 kg e o carrinho parte do repouso.(ver figura) 13.25. Se o motor enrola o cabo com uma acelerao de 3 m/s2, determine as reaes nos apoios A e B. A viga tem massa uniforme de 30 kg/m, e a caixa tem massa de 200 kg. Despreze a massa do motor e das polias.(ver figura) 13.26. Um elevador de carga, incluindo a sua carga, tem massa de 500 kg. Ele impedido de girar devido aos trilhos e rodas montados nos seus lados. Quando t = 2 s, o motor M enrola o cabo com uma velocidade de 6 m/s, medida em relao ao elevador. Se ele parte do repouso, determine a acelerao constante do elevador e a trao no cabo. Despreze a massa das polias, motor e cabos.(ver figura) 13.27. Determine a massa necessria do bloco A de maneira que, ao ser solto do repouso, mova o bloco B de 5 kg em uma distncia de 0,75 m para cima ao longo do plano inclinado liso em t = 2 s. Despreze a massa das polias e cordas.(ver figura) 13.28. Os blocos A e B tm massa de mA e mB, sendo mA > mBSe dada uma acelerao de a0 para a polia C, determine a acelerao dos blocos. Despreze a massa da polia.(ver figura)
13.29. O trator usado para levantar a carga B de 150 kg com o sistema de cordas de 24 m de comprimento, lana e polia. Se o trator se move para a direita com velocidade constante de 4 m/s, determine a trao na corda quando sA = 5 m. Quando sA = 0, sB = 0.(ver figura) Pgina 99 13.30. O trator usado para iar a carga B de 150 kg com o sistema de corda de 24 m de comprimento, lana e polia. Se o trator se move para a direita com acelerao de 3 m/s2 e tem velocidade de 4 m/s no instante que sA = 5 m, determine a trao na corda neste instante. Quando sA= 0, sB= 0. (ver figura) 13.31. Um homem de 75 kg sobe a corda com uma acelerao de 0,25 m/s 2, medida em relao corda. Determine a trao na corda e a acelerao do bloco de 80 kg. (ver figura) 13.32. O motor M enrola o cabo com uma acelerao de 1,2 m/s2, medida em relao ao carrinho de minerao de 100 kg. Determine a acelerao do carrinho e a trao no cabo. Despreze as massas das polias. (ver figura) 13.33. O anel C de 1 kg ajusta-se livremente no eixo liso. Se a mola est livre quando s = 0 e ao anel dada uma velocidade de 4,5 m/s, determine a velocidade do anel quando s = 0,3m. (ver figura) 13.34. No tubo de raios catdicos, eltrons tendo massa m so emitidos de um ponto-fonte S e comeam a se mover horizontalmente com uma velocidade inicial v0. Quando passam entre as placas-grade em uma distncia l eles so sujeitos a uma fora vertical tendo uma intensidade (ver frmula) onde e a carga de um eltron, F a voltagem aplicada atuando atravs das placas, e w a distncia entre as placas. Aps passarem as placas, os eltrons ento se movem em linha reta e atingem a tela em A. Determine a deflexo d dos eltrons em termos das dimenses da placa de voltagem e do tubo. Despreze a gravidade que causa uma ligeira deflexo vertical quando o eltron se move de S at a tela, e a ligeira deflexo entre as placas. (ver figura)
13.35. O anel C de 2 kg est livre para deslizar ao longo do eixo liso AB. Determine a acelerao do anel C se (a) o eixo impedido de se mover, (b) o anel A, que fixo ao eixo AB, se move para a esquerda com velocidade constante ao longo do guia horizontal, e (c) o anel A est sujeito a uma acelerao de 2 m/s2 para a esquerda. Em todos os casos, o movimento ocorre no plano vertical. Pgina 100 13.36. Cada um dos blocos A e B tem massa m. Determine a maior fora horizontal P que pode ser aplicada a S de maneira que A no se desloque em relao a B. Todas as superfcies so lisas(ver figura) 13.37. Cada um dos blocos A e B tem massa m. Determine a maior fora horizontal P que pode ser aplicada a B de maneira que A no escorregue sobre B. O coeficiente de atrito esttico entre A e B us. Despreze qualquer atrito entre B e C. (ver figura) 13.38. Se uma fora F = 200 N aplicada carreta de 30 kg, mostre que o bloco A de 20 kg vai deslizar na carreta. Tambm determine o tempo para o bloco A se mover na carreta de 1,5 m. Os coeficientes de atrito esttico e cintico entre o bloco e a carreta so (ver formulas e valores). Tanto a carreta quanto o bloco partem do repouso. 13.39. Suponha que seja possvel cavar um tnel liso por baixo da terra de uma cidade em A para uma cidade em B, como mostrado. Pela teoria da gravitao, qualquer veculo C de massa m colocado dentro estaria sujeito a uma fora gravitacional que sempre direcionada para o centro da Terra D. Esta fora F tem uma intensidade que diretamente proporcional sua distncia r do centro da Terra. Por conseguinte, se o veculo tem peso W = mg quando ele est localizado na superfcie da Terra, ento em uma posio arbitrria r a intensidade da fora F (ver formula), onde R = 6328 km, o raio da Terra. Se o veculo parte do repouso quando est em B, x = s = 2 Mm, determine o tempo necessrio para ele chegar a A, e a velocidade mxima que ele alcana. Despreze o efeito da rotao da Terra no clculo e suponha que a Terra tenha uma densidade constante. Dica: escreva a equao do movimento na direo x, observando que r cos 6 = x. Integre, utilizando
a relao cinemtica v dv = a dx, em seguida integre o resultado utilizando v = dx/dt. (ver figura) 13.40. A caixa de 15 kg est sendo iada para cima com acelerao constante de 1,8 m/s2. Se a viga uniforme AB tem peso de 1000 N, determine as componentes da reao no apoio fixo A. Despreze as dimenses e a massa da polia em B. Dica: primeiro determine a trao no cabo, em seguida determine as foras na viga utilizando a esttica.(ver figura) 13.41. Se uma fora horizontal de P = 50 N aplicada ao bloco A, determine a acelerao do bloco B. Despreze o atrito. Dica: mostre que aB = aA tg 15.(ver figura) 13.42. O bloco A tem massa mA e est ligado a uma mola tendo uma rigidez k e comprimento no deformado l0. Se outro bloco B, tendo massa mB, pressionado contra A de maneira que a mola deforme uma distncia d, determine a distncia que ambos os blocos deslizam sobre a superfcie lisa antes de comearem a se separar. Quais so suas velocidades neste instante?(ver figura) 13.43. O bloco A tem massa mA e est ligado a uma mola de rigidez k e comprimento no deformado l0. Se outro bloco B, tendo massa mB, pressionado contra A de maneira que a mola deforme uma distncia d, mostre que para a separao ocorrer necessrio que (ver formula) onde mi k o coeficiente de atrito cintico entre os blocos e o solo. Alm disso, qual a distncia que os blocos deslizam sobre a superfcie antes de se separarem? (ver figura) Pgina 101 13.44. O carro de corrida tipo dragster de 600 kg est se movendo com velocidade de 125 m/s quando o motor desligado e o paraquedas de freio aberto. Se a resistncia do ar imposta sobre o dragster devido ao paraquedas Fd = (6000 + 0,9v2) N, onde v dado em m/s, determine o tempo necessrio para o dragster chegar ao repouso. (ver figura)
13.45. A fora de flutuao no balo de 500 kg F = 6 kN, e a resistncia do ar FD = (l00v) N, onde v dado em m/s. Determine a velocidade terminal ou mxima do balo se ele parte do repouso.(ver figura) 13.46. O paraquedista de massa m est caindo com uma velocidade v0 no instante em que ele abre o paraquedas. Se a resistncia do ar (ver frmula) determine a sua velocidade mxima (velocidade terminal) durante a descida.(ver figura) 13.47. O peso de uma partcula varia com a altitude de tal maneira que (ver frmula) onde r0 o raio da Terra e r a distncia da partcula at o centro da Terra. Se a partcula lanada verticalmente da superfcie da Terra com velocidade v0, determine a sua velocidade como uma funo da posio r. Qual a menor velocidade v0 necessria para escapar do campo gravitacional da Terra, qual o rmx, e qual o tempo necessrio para alcanar esta altitude?(ver figura) 13.5 Equaes de movimento: coordenadas normais e tangenciais Quando uma partcula se move ao longo de uma trajetria curva que conhecida, a equao do movimento para a partcula pode ser escrita nas direes tangencial, normal e binormal, Figura 13.11. Observe que no h movimento da partcula na direo binormal, visto que a partcula est restrita a se mover ao longo da trajetria. Temos: (ver frmulas) Esta equao satisfeita desde que: (Ver formulas) (13.8) Lembre-se de que a, (= dv/dt) representa a taxa de variao temporal da intensidade da velocidade vetorial. Assim, se a somatrias de F, atua na direo do movimento, a Pgina 102 velocidade escalar da partcula vai aumentar, ao passo que se ela atua na direo oposta, a partcula vai desacelerar. Da mesma maneira, (ver frmula) representa a taxa de variao temporal da direo da velocidade vetorial. Ela causada por somatrio de Fn que sempre atua na direo n positiva, ou seja, para o centro da
curvatura da trajetria. Por esta razo ela seguidamente referida como a fora centrpeta. Procedimento para anlise Quando um problema envolve o movimento de uma partcula ao longo de uma trajetria curva conhecida, as coordenadas normais e tangenciais devem ser consideradas para a anlise visto que as componentes da acelerao podem ser facilmente formuladas. O mtodo para aplicar as equaes de movimento, que relaciona as foras com a acelerao, foi descrito em linhas gerais no procedimento dado na Seo 2.4. Especificamente, para as coordenadas t, n, b, ele pode ser estabelecido da seguinte forma: Diagramas de corpo livre - Estabelea o sistema de coordenadas inerciais t, n, b na partcula e construa o diagrama de corpo livre da partcula. - A acelerao normal da partcula a sempre atua na direo n positiva. - Se a acelerao tangencial a, desconhecida, suponha que ela atua na direo t positiva. - No h acelerao na direo b. - Identifique as incgnitas no problema. Equaes de movimento - Aplique as equaes de movimento, Equaes 13.8. Cinemtica - Formule as componentes normais e tangenciais da acelerao, ou seja, (ver formula) m Se a trajetria definida como y = fix), o raio de curvatura no ponto onde a partcula est localizada pode ser obtido de (ver frmula) Exemplo 13.6 Determine o ngulo de inclinao 0 para a pista de corrida de maneira que as rodas dos carros de corrida mostrados na Figura 13.12a no tenham de depender do atrito para evitar que qualquer carro escorregue para cima ou para baixo na pista.
Suponha que os carros tenham dimenso desprezvel, massa m, e se desloquem em torno da curva de raio p com uma velocidade constante v. SOLUO Antes de olhar para a soluo seguinte, pense um pouco sobre por que ela deveria ser resolvida utilizando-se coordenadas t, n, b. Diagrama de corpo livre Como mostrado na Figura 13.126, e como estabelecido no problema, nenhuma fora de atrito atua sobre o carro. Aqui, Nc representa a resultante do solo em todas as quatro rodas. Visto que a pode ser calculado, as incgnitas so Nc e tta. Pgina 103 Equaes de movimento Utilizando os eixos n, b mostrados, (ver formulas) Eliminando Nc e m destas equaes ao dividir a Equao 1 pela Equao 2, obtemos: (ver formulas) NOTA: O resultado independente da massa do carro. Alm disso, uma somatria de foras na direo tangencial no tem consequncias para a soluo. Se ela fosse considerada, ento at dv/dt 0, visto que o carro se move com uma velocidade constante. Uma anlise adicional deste problema discutida no Problema 21.47. Exemplo 13.7 O disco D de 3 kg est ligado extremidade de uma corda na Figura 13.13a. A outra extremidade da corda est ligada a uma junta universal localizada no centro de uma plataforma. Se a plataforma gira rapidamente, e o disco est colocado sobre ela e solto do repouso, como mostrado, determine o tempo que o disco leva para alcanar uma velocidade grande o suficiente para romper a corda. A trao mxima
que a corda pode suportar 100 N, e o coeficiente de atrito cintico entre o disco e a plataforma mi k = 0,1. Diagrama de corpo livre A fora de atrito tem intensidade (ver formulas) e sentido de direo que se ope ao movimento relativo do disco em relao plataforma. E esta fora que d ao disco uma componente tangencial da acelerao fazendo com que v aumente e, desta maneira, fazendo T aumentar at atingir 100 N. O peso do disco (ver formulas e dados). Visto que a pode ser relacionada a v, as incgnitas so ND, a, e v. Equaes de movimento (ver formulas) Fazendo T= 100 N, a Equao 1 pode ser resolvida para a velocidade crtica vcr do disco necessria para romper a corda. Resolvendo todas as equaes, obtemos: (ver formulas) Cinemtica Visto que a, constante, o tempo necessrio para romper a corda (ver formulas) Pgina 104 Exemplo 13.8 Projetar a rampa de esqui mostrada na fotografia exige conhecer o tipo de foras que sero exercidas sobre a esquiadora e sua trajetria aproximada. Se neste caso o salto pode ser aproximado pela parbola mostrada na Figura 13.14a, determine a fora normal sobre a esquiadora de 600 N (m ~ 60 kg) no instante que ela chega ao fim da rampa, ponto A, onde sua velocidade de 9 m/s. Alm disso, qual sua acelerao neste ponto? (Ver figuras) Soluo
Por que considerar a utilizao das coordenadas n, t para solucionar este problema? Diagrama do corpo livre Visto que (ver formulas) a inclinao em A horizontal. O diagrama de corpo livre da esquiadora quando ela est em A mostrado na Figura 13.146. Visto que a trajetria curva, h duas componentes da acelerao, an e at. Como an pode ser calculada, as incgnitas so a, e NA. Equaes do movimento (ver formulas) O raio de curvatura p para a trajetria tem de ser determinado no ponto A (0, -15 m). Aqui, (ver formulas) de maneira que em x = 0, (ver formulas) Substituindo na Equao 1 e resolvendo para NA, obtemos: (ver valores) Cinemtica Da Equao 2, Desse modo, at = 0 (ver formulas) Pgina 105 Exemplo 13.9 O esqueitista de 60 kg na Figura 13.15a desce a rampa da pista circular. Se ele parte do repouso quando tta = 0o, determine a intensidade da reao normal que a pista exerce sobre ele quando tta = 60. Despreze a dimenso dele para o clculo. (ver figura) SOLUO Diagrama de corpo livre
O diagrama de corpo livre do esqueitista quando ele est em uma posio arbitrria tta mostrado na Figura 13.15b. Em tta = 60 h trs incgnitas, Ns, at, e an (ou v). Equaes de movimento Cinemtica Visto que a, expressa em termos de tta, a equao v dv = a, ds deve ser usada para determinar a velocidade escalar do esqueitista quando tta = 60. Utilizando a relao geomtrica s = tta r, onde ds = r d tta = (4m) dd, Figura 13.15c, e a condio inicial v = 0 em d = 0o, temos: (ver frmulas) Substituindo este resultado e tta = 60 na Equao 1, resulta: (ver frmula) Pgina 106 Problemas fundamentais 13.7. O bloco repousa a uma distncia de 2 m do centro da plataforma. Se o coeficiente de atrito esttico entre o bloco e a plataforma mi s = 0,3, determine a velocidade mxima que o bloco pode alcanar antes que comece a deslizar. Suponha que o movimento angular do disco est aumentando lentamente. (ver figura) 13.8. Determine a velocidade mxima que o jipe pode se mover sobre o cume do monte sem perder o contato com a estrada. (ver figura) 13.9. Um piloto pesa 750 N (m ~ 75 kg) e est se movendo a uma velocidade constante de 36 m/s. Determine a fora normal que ele exerce sobre o assento do avio quando est de cabea para baixo em A. O loop tem um raio de curvatura de 120 m. (ver figura) 13.10. Um carro esporte est se movendo ao longo de uma estrada inclinada cujo raio de curvatura de p = 150 m. Se o coeficiente de atrito esttico entre os
pneus e a estrada mi s = 0,2, determine a velocidade mxima segura para que no ocorra escorregamento. Despreze a dimenso do carro. (ver figura) 13.11. Se uma bola de 10 kg tem velocidade de 3 m/s quando est na posio A, ao longo da trajetria vertical, determine a trao na corda e o aumento na velocidade da bola nesta posio. (ver figura) 13.12. A motocicleta tem massa de 0,5 Mg e dimenso desprezvel. Ela passa pelo ponto A movendo-se com velocidade de 15 m/s, a qual est aumentando a uma razo constante de 1,5 m/s2. Determine a fora de atrito resultante exercida pela estrada sobre os pneus neste instante. (ver figura) Pgina 107 Problemas 13.48. O bloco B de 2 kg e o cilindro A de 15 kg esto ligados por uma corda leve que passa por um buraco no centro da mesa lisa. Se ao bloco dada uma velocidade de v = 10 m/s, determine o raio r da trajetria circular ao longo da qual ele se move. 13.49. O bloco B de 2 kg e o cilindro A de 15 kg esto ligados por uma corda leve que passa por um buraco no centro da mesa lisa. Se o bloco se move ao longo de uma trajetria circular de raio r = 1,5 m, determine a velocidade do bloco. (ver figura) 13.50. No instante mostrado, o projtil de 50 kg desloca-se no plano vertical com velocidade de v = 40 m/s. Determine a componente tangencial da sua acelerao e o raio de curvatura p da sua trajetria neste instante. 13.51. No instante mostrado, o raio de curvatura da trajetria vertical do projtil de 50 kg p = 200 m. Determine a velocidade do projtil neste instante. (ver figura)
13.52. Determine a massa do Sol, sabendo que a distncia da Terra ao Sol de 149,6(106) km. Dica: utilize a Equao 13.1 para representar a fora da gravidade atuando sobre a Terra. 13.53. Um carro esporte, tendo massa de 1700 kg, move-se horizontalmente ao longo de uma pista com uma inclinao de 20, a qual circular e tem um raio de curvatura de p = 100 m. Se o coeficiente de atrito esttico entre os pneus e a estrada de ns = 0,2, determine a velocidade constante mxima na qual o carro pode se mover sem escorregar subindo a parte inclinada. Despreze a dimenso do carro. 13.54. Utilizando os dados no Problema 13.53, determine a velocidade mnima na qual o carro pode se mover em torno da pista sem escorregar para baixo na parte inclinada da pista. (ver figura) 13.55. O dispositivo mostrado usado para produzir a experincia de gravidade zero em um passageiro quando ele atinge o ponto A, 9 = 90, ao longo da trajetria. Se o passageiro tem massa de 75 kg, determine a velocidade mnima que ele deve ter quando alcana A de maneira que ele no exera uma reao normal sobre o assento. A cadeira presa por um pino estrutura BC de maneira que ele est sempre sentado em uma posio vertical. Durante o movimento sua velocidade permanece constante. 13.56. Um homem tendo massa de 75 kg senta na cadeira que est presa por um pino estrutura BC. Se o homem est sempre sentado em uma posio vertical, determine as reaes horizontal e vertical da cadeira sobre o homem no instante 6 = 45. Neste instante ele tem uma velocidade de 6 m/s que est acelerando a 0,5 m/s 2. (ver figura) 13.57. Determine a trao no arame CD logo aps o arame AB ser cortado. A pequena esfera tem massa m. (ver figura) Pgina 108
13.58. Determine o tempo para o satlite completar a sua rbita em torno da Terra. A rbita tem um raio r medido a partir do centro da Terra. As massas do satlite e da Terra so ms e Me, respectivamente. (ver figura) 13.60. Uma mola, tendo um comprimento no deformado de 0,6 m, tem uma bola de 5 kg presa em uma extremidade. Determine o ngulo 8 da mola se a bola tem uma velocidade de 1,8 m/s tangente trajetria circular horizontal. (ver figura) 13.61. Se uma bola tem massa de 30 kg e uma velocidade de v = 4 m/s no instante em que ela est no ponto mais baixo, tta = 0o, determine a trao da corda neste instante. Alm disso, determine o ngulo tta at o qual a bola oscila e momentaneamente para. Despreze a dimenso da bola. 13.62. Uma bola tem massa de 30 kg e velocidade de v = 4 m/s no instante que ela est no ponto mais baixo, 8 = 0o. Determine a trao na corda e a taxa na qual a velocidade da bola est desacelerando no instante tta = 20. Despreze a dimenso da bola. (ver figura) 13.59. Um acrobata tem peso de 750 N (m ~ 75 kg) e est sentado em uma cadeira que est fixada no topo de um mastro, como mostrado. Se por um acionamento mecnico o mastro gira para baixo com uma razo constante a partir de tta = 0o de tal maneira que o centro de massa G do acrobata mantenha uma velocidade constante va = 3 m/s, determine o ngulo 8 no qual ele comea a 'voar' para fora da cadeira. Despreze o atrito e suponha que a distncia do axial O a G p = 4,5 m. (ver figura)
13.63. Um veculo projetado para combinar a sensao de uma motocicleta com o conforto e a segurana de um automvel. Se o veculo est se movendo a uma velocidade constante de 80 km/h ao longo de uma estrada circular curva de raio 100 m, determine o ngulo de inclinao tta do veculo de maneira que somente
uma fora normal do assento atue sobre o motorista. Despreze a dimenso do motorista. 13.64. Uma bola tem massa m e est ligada corda de comprimento l A corda est amarrada no topo a uma argola mvel e dada uma velocidade v0 bola. Demonstre que o ngulo tta que a corda faz com a vertical na medida em que a bola se move em torno da trajetria circular tem de satisfazer a equao (ver frmula). Despreze a resistncia do ar e a dimenso da bola. Pgina 109 13.65. Um bloco liso B, tendo massa de 0,2 kg, est ligado ao vrtice A do cone circular reto utilizando uma corda leve. Se o bloco tem velocidade de 0,5 m/s em torno do cone, determine a trao na corda e a reao que o cone exerce sobre o bloco. Despreze a dimenso do bloco. (ver figura) 13.66. Determine o coeficiente mnimo de atrito esttico entre os pneus e a superfcie da estrada de maneira que o carro de 1,5 Mg no deslize quando ele se move a 80 km/h na estrada em curva. Despreze a dimenso do carro. 13.67. Se o coeficiente de atrito esttico entre os pneus e a superfcie da estrada ns = 0,25, determine a velocidade mxima do carro de 1,5 Mg de modo que ele no deslize quando se move na curva. Despreze a dimenso do carro. 13.68. No instante mostrado, o carro de 1500 kg est se movendo com velocidade de 25 m/s, a qual est crescendo a uma taxa de 2 m/s 2. Determine a intensidade da fora de atrito resultante que a estrada exerce sobre os pneus do carro. Despreze a dimenso do carro. (ver figura) 13.69. Determine a velocidade mxima na qual o carro com massa m pode passar sobre o ponto mais alto A da estrada em curva vertical e ainda manter o contato com a estrada. Se o carro mantm esta velocidade, qual a reao normal
que a estrada exerce sobre o carro quando ele passa pelo ponto mais baixo B na estrada? (ver figura) 13.70. Um avio de 5 Mg est voando com uma velocidade constante de 350 km/h ao longo da trajetria circular horizontal de raio r = 3000 m. Determine a fora de sustentao L atuando sobre o avio e o ngulo de inclinao 8. Despreze a dimenso do avio. 13.71. Um avio de 5 Mg est voando com uma velocidade constante de 350 km/h ao longo de uma trajetria circular horizontal. Se o ngulo de inclinao tta = 15, determine a fora de sustentao L atuando sobre o avio e o raio r da trajetria circular. Despreze a dimenso do avio. 13.72. Um carro de 0,8 Mg desloca-se sobre um monte com o formato de uma parbola. Se o motorista mantm uma velocidade constante de 9 m/s, determine a fora normal resultante e a fora de atrito resultante que todas as rodas do carro exercem sobre a estrada no instante que ele alcana o ponto A. Despreze a dimenso do carro. 13.73. Um carro de 0,8 Mg desloca-se sobre um monte com o formato de uma parbola. Quando o carro est no ponto A, ele est se deslocando a 9 m/s e aumentando sua velocidade em 3 m/s2. Determine a fora normal resultante e a fora de atrito resultante que todas as rodas do carro exercem sobre a estrada neste instante. Despreze a dimenso do carro. (ver figura) Pgina 110 13.74. Um bloco de 6 kg est confinado a se mover ao longo da trajetria parablica lisa. Uma mola ligada a ele restringe o movimento e, devido ao roleteguia, sempre permanece horizontal medida que o bloco desce. Se a mola tem uma rigidez de k = 10 N/m, e comprimento no deformado de 0,5 m, determine a fora normal da trajetria no bloco no instante x = 1 m, quando o bloco tem uma
velocidade de 4 m/s. Alm disso, qual a taxa de aumento da velocidade do bloco neste ponto? Despreze a massa do rolete e da mola.(ver figura)
13.75. Prove que se o bloco solto do repouso no ponto B de uma trajetria lisa de formato arbitrrio, a velocidade que ele alcana quando chega ao ponto A igual velocidade que ele alcana quando cai livremente de uma altura h; ou seja, (ver formula e figura) 13.76. Um tren e um esquiador de massa total 90 kg deslocam-se ao longo de um declive (liso) definido pela equao y = 0,08x2. No instante x = 10 m, a velocidade do tren 5 m/s. Neste ponto, determine a taxa de acelerao e a fora normal que o declive exerce sobre o tren. Despreze a dimenso do tren e do esquiador para o clculo.(ver figura) 13.77. Uma esquiadora parte do repouso em A (10 m, 0) e desce o declive liso que pode ser aproximado por uma parbola. Se a esquiadora tem massa de 52 kg, determine a fora normal que o solo exerce sobre ela no instante que ela chega ao ponto B. Despreze a dimenso da esquiadora. Dica: use o resultado do Problema 13.75.(ver figura) 13.78. Uma caixa de 2,5 kg arremessada com uma velocidade de 6 m/s em A sobre a pista lisa circular vertical. Determine o ngulo tta quando a caixa deixa a pista. 13.79. Determine a velocidade mnima que deve ser dada caixa de 2,5 kg em A a fim de que ela permanea em contato com a trajetria circular. Determine tambm a velocidade da caixa quando ela chega ao ponto B.(ver figura) Pgina 111 13.80. Uma moto de 800 kg se move com velocidade constante de 80 km/h morro acima. Determine qual a fora normal que a superfcie exerce sobre as suas rodas quando ela chega ao ponto A. Despreze a sua dimenso.(ver figura abaixo)
13.81. Um carro de 1,8 Mg desloca-se aclive acima com velocidade constante de 80 km/h. Determine a reao normal da estrada sobre o carro quando ele chega ao ponto A. Despreze a sua dimenso. (ver figura abaixo) 13.82. Determine a velocidade mxima que um carro de 1,5 Mg pode ter e ainda permanecer em contato com a estrada quando ele passa pelo ponto A. Se o carro mantm esta velocidade, qual a reao normal da estrada sobre ele quando ele passa pelo ponto BI Despreze a dimenso do carro(ver figura abaixo). 13.83. O anel de 2,5 kg desliza sobre a barra lisa, de maneira que quando ele est em A ele tem uma velocidade de 3 m/s. Se a mola qual ele est ligado tem comprimento no deformado de 0,9 m e rigidez de k = 150 N/m, determine a fora normal sobre o anel e a acelerao dele neste instante.(ver figura abaixo) 13.6 Equaes de movimento: coordenadas cilndricas Quando todas as foras atuando sobre uma partcula so decompostas em coordenadas cilndricas, ou seja, ao longo das direes dos vetores unitrios Figura 13.16, a equao do movimento pode ser expressa como: (ver formulas) Para satisfazer esta equao, necessitamos de: (ver frmulas) Se a partcula est restrita a se mover somente no plano r-tta, ento somente as duas primeiras das Equaes 13.9 so usadas para especificar o movimento. Pgina 112 Foras normais e tangenciais O tipo mais direto de problema envolvendo coordenadas cilndricas exige a determinao das componentes da fora resultante (ver formula) as quais fazem com que uma partcula se desloque com uma acelerao conhecida. Se, no entanto, o movimento acelerado da partcula no completamente especificado no instante dado, ento alguma informao com relao s direes ou intensidades das foras atuando sobre a partcula tem de ser conhecida ou calculada a fim de solucionarmos as Equaes 13.9. Por exemplo, a fora P faz com que a partcula na Figura 13.17a
se desloque ao longo da trajetria r = f (tta). A fora normal N, que a trajetria exerce sobre a partcula, sempre perpendicular tangente da trajetria, enquanto a fora de atrito F sempre atua ao longo da tangente na direo oposta do movimento. As direes de N e F podem ser especificadas em relao coordenada radial utilizando o ngulo (psi), Figura 13.17b, o qual definido entre a linha radial deformada e a tangente curva. (ver figuras)
Este ngulo pode ser obtido observando-se que quando a partcula deslocada em uma distncia ds ao longo da trajetria, Figura 13.17c, a componente do deslocamento na direo radial dr e a componente do deslocamento na direo transversal r d tta. Visto que estas duas componentes so mutuamente perpendiculares, o ngulo psi pode ser determinado a partir de (ver frmulas) Se psi calculado como uma quantidade positiva, ele medido a partir da linha radial deformada at a tangente em sentido anti-horrio ou na direo positiva de tta. Se ele negativo, ele medido na direo oposta de 8 positivo. Por exemplo, considere a cardioide r = a (1 + cos tta), mostrada na Figura 13.18. Porque (ver formula), ento quando tta = 30, (ver formulas), medido no sentido horrio, oposto a + tta como mostrado na figura. Pgina 113 Procedimento para anlise Coordenadas cilndricas ou polares so uma escolha adequada para a anlise de um problema para o qual os dados relativos ao movimento angular da linha radial r so dados, ou em casos nos quais a trajetria pode ser convenientemente expressa em termos destas coordenadas. Uma vez que estas coordenadas tenham sido estabelecidas, as equaes de movimento podem ento ser aplicadas a fim de se relacionarem s foras atuando na partcula com as suas componentes da acelerao. O mtodo para se fazer isto foi descrito no procedimento para anlise dado na Seo 13.4. O texto a seguir um resumo deste procedimento.
Diagrama de corpo livre
Estabelea o sistema de coordenadas inercial r, tta, z e construa o diagrama Suponha que ar, atta, az atuam nas direes positivas de r, tta, z, se eles so Identifique todas as incgnitas no problema. Equaes de movimento Aplique as equaes de movimento, Equaes 13.9. Cinemtica Use os mtodos da Seo 12.8 para determinar r e as derivadas temporais r', Se qualquer uma das componentes da acelerao for calculada como uma Quando determinadas as derivadas temporais de r = f (tta), muito
de corpo livre da partcula.
incgnitas.
r'', tta', tta'', z', e em seguida avalie as componentes da acelerao (ver frmula)
quantidade negativa, isto indica que ela atua na direo negativa da coordenada.
importante usar a regra da cadeia do clculo, a qual discutida no fim do Apndice C. Exemplo O anel duplo liso de 0,5 kg mostrado na Figura 13.19a pode deslizar livremente no brao AB e na barra-guia circular. Se o brao gira com uma velocidade angular constante de Q = 3 rad/s, determine a fora que o brao exerce sobre o anel no instante 9 = 45. O movimento no plano horizontal. SOLUO Diagrama de corpo livre A reao normal Nc da barra-guia circular e a fora F do brao AB atuam sobre o anel no plano do movimento, Figura 13.19&. Observe que F atua perpendicular ao eixo do brao AB, isto , na direo do eixo 9, enquanto Nc atua perpendicular tangente da trajetria circular em 6 = 45. As quatro incgnitas so Nc, F, ar, a. Equaes do movimento (ver frmulas) Cinemtica
Utilizando a regra da cadeia (ver Apndice C), a primeira e a segunda derivadas temporais de r quando (ver frmulas), so: Pgina 114 (ver resoluo de exemplo) Substituindo estes resultados nas equaes 1 e 2 e resolvendo, chegamos a: Nc = 7,20 N F= 0 Exemplo O cilindro liso C de 2 kg mostrado na Figura 13.20a tem um pino P atravs do seu centro que passa pela fenda no brao O A. Se o brao forado a girar no plano vertical a uma taxa constante 9 = 0,5 rad/s, determine a fora que o brao exerce sobre o pino no instante em que 9 = 60. SOLUO Por que uma boa ideia usar coordenadas polares para solucionar este problema? Diagrama de corpo livre O diagrama de corpo livre para o cilindro mostrado na Figura 13.20b. A fora sobre o pino, FP, atua perpendicular fenda no brao. Como de costume, suponha que a, e a atuam nas direes de r e 9 positivos, respectivamente. Identifique as quatro incgnitas. Equaes de movimento Utilizando os dados na Figura 13.20b, temos: (ver formulas) Cinemtica Da Figura 13.20a r pode ser relacionado a tta pela equao (ver frmula) Visto que d (cossec tta) = - (cossec tta cotg tta) d tta e d (cotg tta) = (cossec2 tta) d tta, ento r e as derivadas temporais necessrias tornam-se: (ver frmulas) Pgina 115
Avaliando estas frmulas em tta = 60, obtemos:
(ver formulas) Substituindo estes resultados nas equaes 1 e 2 com tta = 60 e resolvendo, temos: Nc = 19,5 N FP = -0,356 N O sinal negativo indica que Fp, atua em oposio direo mostrada na Figura 13.206. Exemplo Uma lata C, tendo massa de 0,5 kg, desloca-se ao longo de uma ranhura entalhada na horizontal, como mostrado na Figura 13.21a. A ranhura est na forma de uma espiral que definida pela equao r = (0,1 tta) m, onde tta dado em radianos. Se o brao OA gira com uma taxa constante tta = 4 rad/s no plano horizontal, determine a fora que ela exerce sobre a lata no instante 9 = pi rad. Despreze o atrito e a dimenso da lata. (ver figura) Soluo Diagrama do corpo livre A fora de acionamento Fc atua perpendicular ao brao OA, enquanto a fora normal da parede da ranhura sobre a lata, Nc, atua perpendicular tangente curva em tta = pi rad, Figura 13.21b. Como de costume, suponha que ar e atta atuam nas direes positivas de r e 9, respectivamente. Visto que a trajetria j est especificada, o ngulo psi que a linha radial deformada r forma com a tangente, Figura 13.21c, pode ser determinado da Equao 13.10. Temos r = 0,1 tta, de maneira que (ver frmula) e, portanto, (ver frmula)
Quando (ver formula), de maneira que (ver formula), como mostrado na Figura 13.21c. Identifique as quatro incgnitas na Figura 13.21b. Equaes de movimento Utilizando fi = 17,7 e os dados mostrados na Figura 13.216, temos: (ver frmula) Pgina 116 Cinemtica As derivadas temporais de r e tta so: (ver frmulas) No instante tta = p rad, (ver frmula) Substituindo estes resultados nas equaes 1 e 2 e resolvendo, temos: (ver frmula) O que significa o sinal negativo de Nc? Problemas fundamentais 13.13. Determine a velocidade angular constante tta do eixo vertical do brinquedo do parque de diverses se f = 45. Despreze a massa dos cabos e a dimenso dos passageiros. 13.14. Uma bola de 0,2 kg soprada em um tubo circular vertical liso cuja forma definida por r = (0,6 sen tta) m, onde tta dado em radianos. Se tta = (p t2) rad, onde t dado em segundos, determine a intensidade de fora F exercida pelo soprador sobre a bola quando t = 0,5 s. 13.15. O carro de 2 Mg est se deslocando ao longo da estrada curva descrita por (ver frmula), onde tta dado em radianos. Se uma cmera est localizada em A e gira com uma velocidade angular de tta' = 0,05 rad/s e uma acelerao angular de tta'' = 0,01 rad/s2 no instante (ver frmula), determine a fora de atrito resultante desenvolvida entre os pneus e a estrada neste instante.
13.16. O pino P de 0,2 kg est restrito a se mover na fenda curva lisa que definida pela lemniscata r = (0,6 cos 2 tta) m. O seu movimento controlado pela rotao do brao bifurcado OA, o qual tem velocidade angular constante no sentido horrio de tta = - 3 rad/s. Determine a fora que o brao OA exerce sobre o pino P quando tta = 0. O movimento est no plano vertical. Pgina 117 Problemas 13.84. A trajetria do movimento de uma partcula de 5 kg no plano horizontal descrita em termos das coordenadas polares como (ver frmula), onde t dado em segundos. Determine a intensidade da fora resultante atuando sobre a partcula quando t = 2 s. 13.85. Determine a intensidade da fora resultante atuando sobre uma partcula de 5 kg no instante t = 2 s, se a partcula est se movendo ao longo de uma trajetria horizontal definida pelas equaes (ver frmula), onde t dado em segundos. 13.86. Uma partcula de 2 kg desloca-se ao longo de uma trajetria lisa horizontal definida por (ver frmula) onde t dado em segundos. Determine as componentes da fora radial e transversal exercidas sobre a partcula quando t = 2 s. 13.87. Uma partcula de 2 kg desloca-se ao longo de uma trajetria definida por (ver formulas) onde t dado em segundos. Determine as componentes da fora r, 9, z que a trajetria exerce sobre a partcula no instante t = 1 s. 13.88. Se o coeficiente de atrito esttico entre o bloco de massa me a plataforma giratria determine a velocidade angular constante mxima da plataforma que no faa com que o bloco escorregue. 13.89. O anel C de 0,5 kg pode deslizar livremente ao longo da barra lisa AB. Em um dado instante, a barra AB est girando com uma velocidade angular de tta = 2 rad/s e tem acelerao angular de tta = 2 rad/s2. Determine a fora normal da
barra AB e a reao radial da placa na extremidade B sobre o anel neste instante. Despreze a massa da barra e a dimenso do anel. 13.90. A barra AB de 2 kg desloca-se para cima e para baixo medida que sua extremidade desliza sobre a superfcie lisa do came, onde r = 0,1 m e z = (0,02 sen tta). Se o came est girando com velocidade angular constante de 5 rad/s, determine a fora sobre o rolete A quando tta = 90. Despreze o atrito no apoio Cea massa do rolete. 13.91. A barra AB de 2 kg desloca-se para cima e para baixo medida que sua extremidade desliza sobre a superfcie lisa do came, onde r = 0,1 m e z = (0,02 sen tta) m. Se o came est girando com velocidade angular constante de 5 rad/s, determine a fora mxima e mnima que o came exerce sobre o rolete em A. Despreze o atrito no apoio C e a massa do rolete 13.92. Se o coeficiente de atrito esttico entre a superfcie cnica e o bloco de massa m m = 0,2, determine a velocidade angular constante mnima tta de maneira que o bloco no escorregue para baixo. Pgina 118
13.93. Se o coeficiente de atrito esttico entre a superfcie cnica e o bloco m s = 0,2, determine a velocidade angular constante mxima 9 sem fazer com que o bloco escorregue para cima. 13.94. Se a posio do anel C de 3 kg na barra lisa AB mantida em r = 720 mm, determine a velocidade angular constante tta' na qual o mecanismo est girando em torno do eixo vertical. A mola tem um comprimento no deformado de 400 mm. Despreze a massa da barra e a dimenso do anel. 13.95. Um mecanismo est girando em torno do eixo vertical com velocidade angular constante de tta= 6 rad/s. Se a barra AB lisa, determine a posio constante r do anel C de 3 kg. A mola tem um comprimento no deformado de 400 mm. Despreze a massa da barra e a dimenso do anel.
13.96. Devido restrio, o cilindro C de 0,5 kg desloca-se ao longo da trajetria descrita por r = (0,6 cos tta) m. Se o brao O A gira no sentido anti-horrio com velocidade angular de tta ' = 2 rad/s e acelerao angular de tta '' = 0,8 rad/s2 no instante que 9 = 30, determine a fora exercida pelo brao sobre o cilindro neste instante. O cilindro est em contato com apenas uma aresta da fenda lisa, e o movimento ocorre no plano horizontal. 13.97. Uma lata lisa de 0,75 kg guiada ao longo da trajetria circular usando o brao-guia. Se o brao tem velocidade angular tta' = 2 rad/s e acelerao angular tta'' = 0,4 rad/s2 no instante que 9= 30, determine a fora do brao sobre a lata. O movimento ocorre no plano horizontal. 13.98. Solucione o Problema 13.97 se o movimento ocorre no plano vertical. 13.99. Um garfo usado para mover a partcula lisa de 1 kg em torno da trajetria horizontal no formato de um limaon (caracol de Pascal), r = 0,3(2 + cos tta) m. Se em todos os instantes de tempo tta = 0,5 rad/s, determine a fora que o garfo exerce sobre a partcula no instante que tta = 90. O garfo e a trajetria contatam a partcula em apenas um lado. 13.100. Solucione o Problema 13.99 no instante tta = 60. 13.101. Um garfo usado para mover a partcula lisa de 1 kg em torno da trajetria horizontal no formato de um limaon (caracol de Pascal), (ver frmulas) onde t dado em segundos, determine a fora que o garfo exerce sobre a partcula no instante t = 1 s. O garfo e a trajetria contatam a partcula somente em um lado Pgina 119 I 42 I Dinmica . 13.102. Um brinquedo do parque de diverses gira com uma velocidade angular constante de tta ' = 0,8 rad/s. Se a trajetria do brinquedo definida por r =
(3 sen tta + 5) m e z = (3 cos tta) m, determine as componentes da fora r, tta e z exercidos pelo assento sobre o garoto de 20 kg quando tta = 120. 13.103. Um avio executa o loop vertical definido por (ver frmula). Se o piloto mantm uma velocidade constante v = 120 m/s ao longo da trajetria, determine a fora normal que o assento exerce sobre ele no instante que tta = 0o. O piloto tem massa de 75 kg. 13.104. Um garoto parado firmemente de p gira a garota sentada em um 'prato' circular ou tren em uma trajetria circular de raio r0 = 3 m de tal maneira que sua velocidade angular tta0 ' = 0,1 rad/s. Se o cabo de conexo OC puxado para dentro de tal maneira que a coordenada radial r varia com uma velocidade constante de r' = - 0,5 m/s, determine a trao que ele exerce sobre o tren no instante que r = 2 m. O tren e a garota tm massa total de 50 kg. Despreze a dimenso da garota e do tren e os efeitos do atrito entre o tren e o gelo. Dica: primeiro, demonstre que a equao do movimento na direo 8 resulta em (ver frmula) Quando integrado, (ver frmula) onde a constante C determinada a partir dos dados do problema. 13.105. A partcula lisa tem massa de 80 g. Ela est ligada a uma corda elstica estendendo-se de O a P e, devido ao brao de guia ranhurado, desloca-se ao longo da trajetria circular na horizontal r = (0,8 sen tta). Se a corda tem rigidez de k = 30 N/m e comprimento no deformado de 0,25 m, determine a fora do brao sobre a partcula quando tta = 60. O brao tem velocidade angular constante de tta ' = 5 rad/s. 13.106. Solucione o Problema 13.105 se tta '' = 2 rad/s2 quando tta ' = 5 rad/s e tta =60 Pgina 120 13.107. O cilindro C de 1,5 kg desloca-se ao longo da trajetria descrita por r = (0,6 sen 0) m. Se o brao OA gira no sentido anti-horrio com uma velocidade angular constante de tta = 3 rad/s, determine a fora exercida pela ranhura lisa no brao OA sobre o cilindro no instante tta = 60. A mola tem rigidez de 100 N/m e
no est deformada quando tta = 30. O cilindro est em contato apenas com uma borda do brao com ranhura. Despreze a dimenso do cilindro. O movimento ocorre no plano horizontal. 13.108. O cilindro C de 1,5 kg desloca-se ao longo da trajetria descrita por r = (0,6 sen tta) m. Se o brao OA est girando no sentido anti-horrio com uma velocidade angular de tta = 3 rad/s, determine a fora exercida pela ranhura lisa no brao OA sobre o cilindro no instante tta = 60. A mola tem rigidez de 100 N/m e no est deformada quando tta = 30. O cilindro est em contato com apenas uma borda do brao com ranhura. Despreze a dimenso do cilindro. O movimento ocorre no plano vertical. 13.109. Utilizando a presso do ar, a bola de 0,5 kg forada a se mover por um tubo colocado no plano horizontal com o formato de uma espiral logartmica. Se a fora tangencial exercida sobre a bola devida presso do ar de 6 N, determine a taxa de aumento na velocidade da bola no instante tta = p / 2. Tambm, qual o ngulo psi da coordenada radial deformada r at a linha de ao da fora de 6 N? 13.110. O tubo gira no plano horizontal com uma taxa constante de tta = 4 rad/s. Se a bola B de 0,2 kg parte da origem. O com uma velocidade radial inicial de r = 1,5 m/s e se movimenta para fora do tubo, determine as componentes radial e transversal da velocidade da bola no instante que ela deixa a extremidade do tubo em C, r = 0,5 m. Dica: mostre que a equao do movimento na direo r r - 16r = 0. A soluo da forma (ver frmula). Avalie as constantes de integrao A e B e determine o tempo t quando r = 0,5 m. Proceda para obter vr e vtta. 13.111. O piloto de um avio executa um loop vertical que em parte segue a trajetria de uma cardioide, r = 180(1 + cos tta) m. Se a sua velocidade em A (tta = 0o) uma constante vP = 24 m/s, determine a fora vertical que o cinto de segurana exerce sobre ele para segur-lo ao seu assento quando o avio est de cabea para baixo em A. Ele pesa 750 N (M = 75 kg). 13.112. Uma bola de 0,5 kg guiada ao longo da trajetria circular vertical r = 2rc cos tta usando o brao OA. Se o brao tem velocidade angular tta = 0,4 rad/s e
acelerao angular tta = 0,8 rad/s2 no instante que tta = 30, determine a fora do brao sobre a bola. Despreze o atrito e a dimenso da bola. Faa rc = 0,12 m. 13.113. Uma bola de massa m guiada ao longo da trajetria circular vertical r = 2rc cos tta usando o brao OA. Se o brao tem velocidade angular constante ttan, determine o ngulo tta < 45 no qual a bola comea a deixar a superfcie do semicilindro. Despreze o atrito e a dimenso da bola. Pgina 121 13.114. Uma bola tem massa de 1 kg e est confinada a se mover ao longo da ranhura vertical lisa devido rotao do brao liso OA. Determine a fora do brao sobre a bola e a fora normal da ranhura sobre a bola quando tta = 30. O brao est girando com uma velocidade angular constante de tta ' = 3 rad/s. Suponha que a bola tem contato com apenas um lado da ranhura em qualquer instante. 13.115. Resolvao Problema 13.114 se o brao tem acelerao angular de tta ' = 2 rad/s2 quando tta '' = 3 rad/s a tta = 30. (ver figura) 13.7 Movimento de forca central e mecnica espacial Se uma partcula est se movendo sob a influncia de uma fora tendo uma linha de ao que sempre direcionada para um ponto fixo, o movimento chamado de movimento de fora central. Este tipo de movimento comumente causado por foras gravitacionais e eletrostticas. A fim de analisar o movimento, vamos considerar a partcula P, mostrada na Figura 13.22a, que tem massa m e est sob a ao apenas da fora central F. O diagrama de corpo livre para a partcula mostrado na Figura 13.22b. Utilizando coordenadas polares (r, tta), as equaes do movimento, Equaes 13.9, tornamse: (ver frmula) A segunda destas equaes pode ser escrita na forma: (ver frmula)
de maneira que integrando resulta em: (ver frmula) Aqui, h a constante de integrao. Da Figura 13.22a, observe que a rea sombreada descrita pelo raio r, na medida em que r se move atravs de um ngulo d tta, (ver frmula). Se a velocidade areolar definida como: (ver frmula) ento visto que a velocidade areolar para uma partcula submetida ao movimento de fora central constante. Em outras palavras, a partcula varrer segmentos iguais de rea por unidade de tempo enquanto se move ao longo da trajetria. Para obter a trajetria do movimento, r = f(tta), a varivel independente t tem que ser eliminada Pgina 122 das Equaes 13.11. Utilizando-se a regra da cadeia do clculo e a Equao 13.12, as derivadas temporais das Equaes 13.11 podem ser substitudas por: (ver frmula) Substituindo uma nova varivel dependente (xi) = l / r na segunda equao, temos: (ver frmula) Alm disso, o quadrado da Equao 13.12 torna-se: Substituindo estas duas equaes na primeira das Equaes 13.11, produzse: (ver frmulas) Esta equao diferencial define a trajetria sobre a qual a partcula se move quando submetida fora central F. (nota de rodap 8 no final do livro) Para aplicao, a fora de atrao gravitacional ser considerada. Alguns exemplos comuns de sistemas de fora central que dependem da gravitao incluem o movimento da Lua e satlites artificiais em torno da Terra, e o movimento
de planetas em torno do Sol. Como um tpico problema em mecnica espacial, considere a trajetria de um satlite espacial ou veculo espacial lanado em rbita em voo livre com velocidade inicial v0, Figura 13.23. Ser suposto que esta velocidade inicialmente paralela tangente superfcie da Terra, como mostrado na figura. (nota de rodap 9 no final do livro) Logo aps o satlite ser solto em voo livre, a nica fora atuando sobre ele a fora gravitacional da Terra. (Atraes gravitacionais envolvendo os corpos tais como a Lua ou o Sol sero desprezadas, visto que para rbitas prximas da Terra seu efeito pequeno em comparao com a gravitao da Terra.) De acordo com a lei da gravitao de Newton, a fora F vai sempre atuar entre os centros de massa da Terra e do satlite, Figura 13.23. Da Equao 13.1, esta fora de atrao tem intensidade de: (ver frmula) onde Me e m representam a massa da Terra e do satlite, respectivamente, Ga constante gravitacional, e r a distncia entre os centros de massa. Para obter a trajetria orbital, estabelecemos xi = l / r na equao anterior e substitumos o resultado na Equao 13.14. Obtemos: (ver frmula) Esta equao diferencial de segunda ordem tem coeficientes constantes e no homognea. A soluo a soma das solues homognea e particular dadas por (ver frmula) Esta equao representa a trajetria de voo livre do satlite. Ela a equao de uma seo cnica expressa em termos de coordenadas polares. Pgina 123 Uma interpretao geomtrica da Equao 13.16 exige conhecimento da equao para uma seo cnica. Como mostrado na Figura 13.24, uma seo cnica definida como o lugar geomtrico de um ponto P que se move de tal maneira que a razo da sua distncia at um foco, ou ponto fixo F, com sua distncia perpendicular a uma linha fixa DD chamada de diretriz, constante. Esta razo constante ser denotada e e chamada de a excentricidade. Por definio,
(ver frmula e figura)
Da Figura 13.24, (ver frmulas) Comparando esta equao com a Equao 13.16, v-se que a distncia fixa do foco at a diretriz : (ver frmula) E a excentricidade da seo cnica para a trajetria : (ver frmula) Contanto que o ngulo polar tta seja medido a partir do eixo x (um eixo de simetria j que ele perpendicular diretriz), o ngulo f zero, Figura 13.24, e, portanto, a Equao 13.16 reduz-se a: (ver frmula) As constantes h e C so determinadas a partir de dados obtidos para a posio e velocidade do satlite no fim da trajetria de voo com propulso. Por exemplo, se a altura inicial ou distncia at o veculo espacial rg, medida a partir do centro da Terra, e sua velocidade escalar inicial v no incio do seu voo livre, Figura 13.25, ento a constante h pode ser obtida da Equao 13.12. Quando tta = f = 0o, a velocidade vetorial v0 no tem componente radial; portanto, da Equao 12.25, (ver frmula), de maneira que: (ver frmulas) Pgina 124 Para determinar C, utilize a Equao 13.19 com tta = 0o, r = r0, e substitua a Equao 13.20 para h: (ver frmula) A equao para a trajetria de voo livre torna-se, portanto, (ver frmulas)
O tipo de trajetria deslocada pelo satlite determinado a partir do valor da excentricidade da seo cnica como dada pela Equao 13.18. Se: e = 0, a trajetria de voo livre um crculo. e = 1, a trajetria de voo livre uma parbola. e < 1, a trajetria de voo livre uma elipse. e > 1, a trajetria de voo livre uma hiprbole. Trajetria parablica Cada uma destas trajetrias mostrada na Figura 13.25. A partir das curvas, v-se que quando o satlite segue uma trajetria parablica, ele est 'no limite' de nunca retornar para seu ponto de partida inicial. A velocidade vetorial de lanamento inicial, v0, necessria para que o satlite siga uma trajetria parablica, chamada de velocidade de escape. A velocidade escalar, ve, pode ser determinada utilizando a segunda das equaes 13.23, e = 1, com as equaes 13.18, 13.20 e 13.21. um exerccio demonstrar que: (ver frmula) Orbita circular A velocidade escalar vc exigida para lanar um satlite em uma rbita circular pode ser encontrada utilizando-se a primeira das equaes 13.23, e = 0. Visto que e Pgina 125 est relacionado a h e C, Equao 13.18, C tem que ser zero para satisfazer esta equao (da Equao 13.20, h no pode ser zero); e, portanto, utilizando Equao 13.21, temos: (ver frmula) Contanto que r0 represente uma altura mnima de lanamento, na qual a resistncia ao atrito da atmosfera desprezada, as velocidades escalares no lanamento que forem menores do que vc vo fazer com que o satlite reentre na atmosfera da Terra e seja destrudo pelo fogo ou pelo impacto, Figura 13.25.
Orbita elptica Todas as trajetrias realizadas pelos planetas e a maioria dos satlites so elpticas, Figura 13.26. Para a rbita de um satlite em torno da Terra, a distncia mnima da rbita at o centro da Terra O (o qual est localizado em um dos focos da elipse) r e pode ser encontrado utilizando-se a Equao 13.22 com tta = 0o. Portanto, (ver frmula) Esta distncia mnima chamada de perigeu da rbita. O apogeu ou distncia mxima ra pode ser encontrado utilizando-se a Equao 13.22 com d = 180. (nota de rodape 10 no final do texto) Desse modo, (ver frmula) Com referncia Figura 13.26, o meio-comprimento do eixo maior da elipse : (ver frmula) Utilizando a geometria analtica, pode ser mostrado que o meio-comprimento do eixo menor determinado pela equao: (ver frmula) Alm disso, por integrao direta, a rea de uma elipse : (ver frmula) A velocidade areolar foi definida pela Equao 13.13, dA / dt = h / 2. Integrando, resulta em A = h T / 2, onde T o perodo de tempo necessrio para fazer uma revoluo orbital. Da Equao 13.30, o perodo : (ver frmula) Pgina 126 Alm de prever a trajetria orbital de satlites terrestres, a teoria desenvolvida nesta seo vlida, para uma aproximao surpreendentemente estreita, em prever o movimento real dos planetas se deslocando em torno do Sol. Neste caso, a
massa do Sol, Ms, deve ser substituda por Me, quando as frmulas apropriadas so usadas. O fato de que os planetas necessariamente seguem rbitas elpticas em torno do Sol foi descoberto pelo astrnomo alemo Johannes Kepler no incio do sculo XVII. Sua descoberta foi feita antes que Newton tivesse desenvolvido as leis do movimento e a lei da gravitao, e, assim, na poca, ela forneceu uma prova importante quanto validade dessas leis. As leis de Kepler, desenvolvidas aps vinte anos de observao planetria, so resumidas a seguir:
Todo planeta se move em sua rbita de tal maneira que a linha juntando ele
ao centro do Sol varre reas iguais em intervalos de tempo iguais, qualquer que seja o comprimento da linha.
A rbita de todos os planetas uma elipse com o Sol colocado em um dos O quadrado do perodo de qualquer planeta diretamente proporcional ao Uma definio matemtica da primeira e segunda leis dada pelas equaes
seus focos.
cubo do eixo maior da sua rbita. 13.13 e 13.22, respectivamente. A terceira lei pode ser mostrada a partir da Equao 13.31 utilizando-se equaes 13.19, 13.28 e 13.29. (Ver Problema 13.116.) Exemplo 13.13 Um satlite lanado a 600 km da superfcie da Terra, com uma velocidade inicial de 30 Mm/h atuando paralela tangente superfcie da Terra, Figura 13.27. Supondo que o raio da Terra 6378 km e que sua massa 5,976(10 24) kg, determine (a) a excentricidade da trajetria orbital e (b) a velocidade do satlite no apogeu. SOLUO Parte (a) A excentricidade da rbita obtida utilizando a Equao 13.18. As constantes h e C so determinadas inicialmente pelas equaes 13.20 e 13.21. Visto que: (ver frmulas) Pgina 127 Por conseguinte,
(ver frmula) Da Equao 13.23, observe que a orbita uma elipse. Se o satlite fosse lanado no apogeu A mostrado na Figura 13.27, com velocidade vA, a mesma rbita seria mantida contanto que: (ver frmula) Utilizando a Equao 13.27, temos: (ver frmulas) Problemas Nos problemas a seguir, suponha que o raio da Terra 6378 km, a massa da Terra 5,976(1024) kg, a massa do Sol 1,99 (1030) kg e a constante gravitacional G = 66,73 (10-12) m3/(kg s2). 13.116. Prove a terceira lei do movimento de Kepler. Dica: utilize as equaes 13.19, 13.28, 13.29 e 13.31. 13.117. A sonda Viking aproxima-se do planeta Marte em uma trajetria parablica, como mostrado. Quando ele alcana o ponto A, sua velocidade de 10 Mm/h. Determine r0 e a velocidade necessria em A de maneira que ele possa manter uma rbita circular, como mostrado. A massa de Marte 0,1074 vezes a massa da Terra. 13.118. O satlite est em uma rbita elptica em torno da Terra, como mostrado. Determine a sua velocidade vetorial no perigeu P e apogeu A, e o perodo do satlite. 13.119. O satlite est se movendo em uma rbita elptica com uma excentricidade e = 0,25. Determine a sua velocidade escalar quando ele est na sua distncia mxima A e distncia mnima B da Terra. Pgina 128 13.120. O nibus espacial lanado com uma velocidade vetorial de 28000 km/h paralela tangente da superfcie da Terra no ponto P e ento se move em torno da rbita elptica. Quando ele chega ao ponto A, seus motores so ligados e sua velocidade vetorial subitamente aumentada. Determine o aumento necessrio na velocidade vetorial de maneira que ele entre na segunda rbita elptica.
13.121. Determine o aumento na velocidade vetorial do nibus espacial no ponto P de maneira que ele se desloque de uma rbita circular para uma rbita elptica que passa pelo ponto A. Tambm, calcule a velocidade escalar do nibus espacial em A. 13.122. O foguete est em voo livre ao longo de uma trajetria elptica A' A. O planeta no tem atmosfera, e sua massa 0,60 vezes a da Terra. Se a rbita tem a apoapside e a peripside mostradas, determine a velocidade vetorial do foguete quando ele est no ponto A. 13.123. Se o foguete deve pousar na superfcie do planeta, determine a velocidade escalar de voo livre que ele deve ter em A' de maneira que o pouso ocorra em B. Quanto tempo o foguete leva para pousar, indo de A' para BI O planeta no te, atmosfera, e sua massa 0,6 vezes da Terra 13.124. Um satlite de comunicaes ser colocado na rbita circular equatorial em torno da Terra de maneira que ele sempre permanea diretamente sobre um ponto na superfcie terrestre. Se isto exige que o perodo seja de 24 horas (aproximadamente), determine o raio da rbita e a velocidade vetorial do satlite. 13.125. A velocidade escalar de um satlite lanado em uma rbita circular em torno da Terra dada pela Equao 13.25. Determine a velocidade escalar de um satlite lanado paralelo superfcie da Terra de maneira que ele se desloque em uma rbita circular 800 km da superfcie da Terra. 13.126. A Terra tem uma rbita com uma excentricidade e = 0,0821 em torno do Sol. Sabendo que a distncia mnima da Terra ao Sol 151,3(10 6) km, determine a velocidade escalar na qual um foguete se move quando ele est a esta distncia. Determine a equao em coordenadas polares que descreve a rbita da Terra em torno do Sol.
13.127. Um foguete est em uma rbita elptica de voo livre em torno da Terra de tal maneira que a excentricidade da sua rbita e e seu perigeu r0. Determine o incremento mnimo de velocidade escalar que ele deve ter a fim de escapar do campo gravitacional da Terra quando ele est neste ponto ao longo da sua rbita. 13.128. Um foguete est em rbita circular em torno da Terra a uma altitude de h = 4 Mm. Determine o incremento mnimo na velocidade escalar que ele deve ter a fim de escapar do campo gravitacional da Terra. 13.129. O foguete est em voo livre ao longo de uma trajetria elptica A' A. O planeta no tem atmosfera, e sua massa 0,70 vezes a da Terra. Se o foguete tem uma apoapside e peripside, como mostrado na figura, determine a velocidade escalar do foguete quando ele est no ponto A. 13.130. Se o foguete deve pousar na superfcie do planeta, determine a velocidade escalar de voo livre necessria que ele deve ter em A' de maneira que ele atinja o planeta em B. Quanto tempo leva para o foguete pousar, indo de A' para B ao longo de uma trajetria elptica? O planeta no tem atmosfera, e sua massa 0,70 vezes a da Terra. Pgina 129 13.131. O satlite lanado paralelo tangente superfcie da Terra com velocidade de v0 = 30 Mm/h de uma altitude de 2 Mm acima da Terra, como mostrado. Demonstre que a rbita elptica e determine a velocidade vetorial do satlite quando ele chega ao ponto A. 13.132. O satlite est em uma rbita elptica tendo uma excentricidade de e = 0,15. Se a sua velocidade no perigeu vP= 15 Mm/h, determine a sua velocidade no apogeu A e o perodo do satlite. 13.133. O satlite est em uma rbita elptica. Quando ele est no perigeu P, sua velocidade vP = 25 Mm/h, e quando ele chega ao ponto A, sua velocidade vA= 15 Mm/h e sua altitude acima da superfcie da Terra 18 Mm. Determine o perodo do satlite.
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