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  • Guia Teorico PracticaIngenieria en Sistemas

    Analisis Matematico I

    Marta Garcia Ana Paula Madrid

    Cursada 2013

  • ii

  • Indice general

    Integrantes I

    Modalidad de Evaluacion III

    1. Trabajo Practico No 1: Funciones 11.1. Funcion definida por ramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Funcion Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2.1. Interpretacion del Valor Absoluto como distancia . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Inyectividad, Suryectividad, Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Funcion Parte Entera de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7. Funcion Par e Impar. Ceros de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2. Trabajo Practico No 2: Numeros Reales - Cotas 132.1. Propiedades Basicas de los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.2.1. Principio de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Cotas, Supremo e Infimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.3.1. Principio de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2. Desigualdad de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3. Trabajo Practico No 3: Sucesiones 193.1. Lmite por definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3.1.1. Algunas propiedades de lmites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2. Algebra de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    3.2. Lmites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1. Algunos Lmites Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2. La sucesion an = r

    n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. El numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4. Trabajo Practico No 4: Lmite de Funciones 314.1. Propiedades de los lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2. Calculo de Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3. Lmites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4. Lmite por definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5. Lmites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    4.5.1. Asntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    iii

  • iv INDICE GENERAL

    5. Trabajo Practico No 5: Continuidad 435.1. Tipos de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2. Algebra de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3. Continuidad de la funcion compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4. Teoremas sobre continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    6. Trabajo Practico No 6: Derivada de Funciones 536.1. Reglas de Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    6.1.1. Algebras de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.1.2. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3. Teoremas de aplicacion de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    6.3.1. Teorema del valor medio y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3.2. Teorema de la Derivada de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.5. Regla de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.7. Estudio de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    7. Trabajo Practico No 7: Integrales 737.1. Problema del Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.3. Teorema Fundamental del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.4. Integrales Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.5. Reglas de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.6. Metodo de Sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.7. Metodo de Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.8. Integracion de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    7.8.1. Metodo de Fracciones Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.9. Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.11. Aplicaciones de la integracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    7.11.1. Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.11.2. Area entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.11.3. Longitud del arco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    7.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    8. Trabajo Practico No 8. 938.1. Series Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    8.1.1. Serie Armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.1.2. Condicion necesaria de la convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.1.3. Criterio del n-esimo termino para la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.1.4. Serie Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.1.5. Serie Armonica Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.1.6. Propiedades de las series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    8.2. Serie de Terminos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.2.1. Criterio de comparacion para series de terminos positivos . . . . . . . . . . . . 968.2.2. Criterio de paso al lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.2.3. Criterio de DAlembert o del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2.4. Criterio de Cauchy o de la raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2.5. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2.6. Criterio de Leibniz para series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2.7. Convergencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.2.8. Convergencia Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    8.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.4. Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    8.4.1. Intervalo de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.5. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

  • INDICE GENERAL v

    8.5.1. Derivacion e Integracion termino a termino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

  • vi INDICE GENERAL

  • Integrantes

    Responsables de comision:

    Mg. Marta Garca

    Lic. Ana Paula Madrid

    Auxiliares de catedra:

    Mg. Mauro Natale

    Lic. Ismael Calomino

    Lic. Mara Jose Galotto

    Lic. Adriana Sequeira

    Lic. Luis Maiaru

    Prof. Virginia Cano

    Prof. Anibal Tolaba

    i

  • ii PREFACE

  • Modalidad de Evaluacion

    La evaluacion de la cursada de esta materia puede realizarse de dos formas, excluyentes una dela otra, es decir, al optar por una de ellas, no es posible cambiarse, debe respetarse hasta el final dela cursada.

    Opcion I: (Con Promocion)La evaluacion por promocion consistira en dos parciales teorico practicos con dos recuperatorios

    cada uno.Si el alumno obtiene una calificacion de 4 puntos a 6 (seis) en los dos parciales o en sus

    respectivos recuperatorios aprueba la cursada.Para promocionar la materia, el alumno debe obtener una calificacion de 7 o mas puntos,

    de los modos siguientes:

    en ambos parciales obtener una calificacion de 7 o mas puntos,

    en ambos parciales obtener una calificacion de 4 o mas puntos, puede promocionar en losprimeros recuperatorios,

    en un parcial obtener una calificacion de 4 o mas puntos, y el otro parcial desaprobar, puedepromocionar en los primeros recuperatorios,

    Quedan fuera del regimen de promocion aquellos alumnos que en ambos parciales obtengan unacalificacion menor a 4.

    El segundo recuperatorio (prefinal) tendra caracter solo practico y en esa instancia no sepuede promocionar.

    Opcion II: (Tradicional)En esta opcion los contenidos de la materia se dan en un solo examen parcial, sera de caracter

    solo practico, con dos posibles examenes recuperatorios.

    Enlaces de interesPagina de la catedra. En esta pagina estan las guias teoricas, los practicos, examenes que sehan tomado anos anteriores y cualquier informacion pertinente. http://analisis-matematico-i.alumnos.exa.unicen.edu.ar/

    Software para graficar. En este link encuentran el GeoGebra, un software de matematica parapoder hacer graficos interactivos, algebra y planillas dinamicas. http://www.geogebra.org/cms/es

    Software para graficar. En este link encuentran el Maxima, programa con el que puedes realizartodo tipo de operacion numerica o simbolica: polinomios, algebra matricial, calculo diferencial,analisis de Fourier y mucho mas. Asimismo, Maxima puede generar graficos 2D y 3D de altacalidad. http://maxima.softonic.com/

    iii

  • iv MODALIDAD DE EVALUACION

  • Captulo 1

    Trabajo Practico No 1: Funciones

    Con frecuencia, en las aplicaciones practicas el valor de una variable depende del valor de otra. Porejemplo, el salario de una persona puede depender del numero de horas que trabaje; la producciontotal de una fabrica puede depender del numero de maquinas que se utilicen, etc. Es decir, dosvariables estan relacionadas entre s de modo que a cada valor de una de ellas corresponde un valorde la otra, y la relacion entre ambas suele expresarse mediante una funcion. Por ejemplo el area deun crculo depende del diametro del mismo, A = pi.d, donde pi = 3, 14 representa un valor constante,mientras que A(area) y d(diametro) representan las variables. En este caso A representa la variabledependiente , (vara en funcion de como vara el diametro) y d representa la variable independiente.Entonces A es funcion de d y se denota A = f(d).

    Definition 1 Si A y B son conjuntos no vacos incluidos en R, una funcion con dominio A eimagen o rango B es una aplicacion que a cada elemento x de A asigna un unico elemento y de B.Decimos entonces

    f : A B

    Generalmente vamos a considerar funciones f : R R, indicando de este modo funciones quetoman valores del dominio e imagen en el conjunto de numeros reales. El dominio es:

    Dom(f) = {x : x R f(x)}Los numeros reales f(x) llamados imagenes, forman otro conjunto, el rango o imagen de f .

    Im(f) = {y R : y = f(x) x Dom (f)}Definition 2 Sea una funcion de A en B, f : A R B R. Se define el grafico de f y seindica con graf (f) como el conjunto de los pares ordenados (x, y) donde y = f(x), es decir,

    graf (f) = {(x, y) : y = f(x)}Sea f : R R,dada por f(x) = 2x+ 3, entonces el

    graf (f) = {(x, y) : y = 2x+ 3}

    -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

    -6

    -4

    -2

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    x

    y

    1

  • 2 CAPITULO 1. TRABAJO PRACTICO NO 1: FUNCIONES

    1.1. Funcion definida por ramas

    Veamos el siguiente ejemplo de funcion definida por ramas,

    Example 3 Sea f : R R dada por

    f(x) ={

    x 1 si x < 2x2 + 1 si x 2

    -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

    -10

    10

    20

    30

    2

    y

    Example 4 Trazar la grafica de la funcion dada, especificar dominio e imagen. Sea f : R Rdefinida por:

    f(x) ={x2 si 2 x 01 x si 0 < x 2

    El dominio de la funcion es D(f) = [2, 2] y la imagen de la funcion es Im f = [1, 4]

    -2 -1 1 2

    -1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    1.2. Funcion Valor Absoluto

    Definition 5 Sea x R definimos como modulo o valor absoluto de x,

    |x| ={

    x si x 0x si x < 0

    El grafico correspondiente es:

  • 1.2. FUNCION VALOR ABSOLUTO 3

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

    1

    2

    3

    4

    5

    x

    y

    Sean x, y R verifican las siguientes propiedades:

    i) x |x|

    ii) |x| = x2

    iii) |x.y| = |x| |y|

    iv) Si y 6= 0,xy = |x||y|

    v) Desigualdad triangular: |x+ y| |x|+ |y|vi) Si a > 0, entonces |x| a a x a Ejemplovii) Ademas, |x| a a x a Ejemploviii) |x y| ||x| |y||ix) |x| < |y| x2 < y2

    1.2.1. Interpretacion del Valor Absoluto como distancia

    La desigualdad |x| < 2, se interpreta como la distancia entre x y el origen debe ser menor que 2.En otras palabras, es el intervalo de valores de x comprendido entre 2 y 2

    -3 -2 -1 1 2 3

    -1

    1

    x

    y

    Example 6 Resuelva la desigualdad |x 4| < 2 y muestre el conjunto solucion en la recta real.Interprete el Valor Absoluto como una distancia.

    De acuerdo a la propiedad vi) |x 4| < 2 2 < x 4 < 2Sumando 4 a los 3 miembros de esta desigualdad se tiene 2 < x < 6.En terminos de distancia |x 4| < 2 representa la distancia entre x y 4 debe ser menor que 2,

    por lo tanto los valores de x que cumplen esta propiedad son los comprendidos entre 2 y 6.

  • 4 CAPITULO 1. TRABAJO PRACTICO NO 1: FUNCIONES

    Example 7 Resuelva la desigualdad |3x 5| 1 y muestre su conjunto solucion en la recta real.De acuerdo a la propiedad vii)

    |3x 5| 1 1 3x 5 11 + 5

    3 x 1 + 5

    34

    3 x 2

    El conjunto solucion es la union de los intervalos (, 4/3] [2,) .

    Example 8 Resuelva la desigualdad |2x 1| < |x+ 3| .De acuerdo a la propiedad ix)

    |2x 1| < |x+ 3| (2x 1)2 < (x+ 3)24x2 4x+ 1 < x2 + 6x+ 9

    3x2 10x 8 < 03

    [x2 10

    3x .

    2

    2 8

    3+ (

    5

    3)2(5

    3)2]< 0

    3

    [(x 5

    3)249

    9

    ]< 0

    3(x 53

    )2493< 0[

    (x 53

    )

    ]2 3 c) f(x) ={x2 4 si x < 32x 1 si x 3

    b) f(x) ={

    2x+ 1 si x 6= 20 si x = 2 d) f(x) =

    { 2 si x 0x 2 si x > 0

    7. Dadas las funciones f : R R definidas por:a) f(x) = 2x2 + 5x 4 b) f(x) = cos(3x) c) f(x) = 1

    x2+1

    Determinar los ceros de las funciones.

    8. Dados los siguientes pares de funciones, calcular f + g, f g, f.g, fg. Determinar dominio e

    imagen de cada funcion.

    a) f(x) =x, g(x) =

    4 x2

    b) f(x) =1

    x, g(x) = x2 3x+ 1

    3

    9. Decidir si es posible encontrar la funcion (f g) (x) . En caso afirmativo analizar su dominio ycalcular (f g) (2) y (f g) (x2)

    a) f(x) = x3 g(x) = x2 d) f(x) = 1x2 g(x) = x

    2

    b) f(x) = 1 + x2 g(x) = 1 + x e) f(x) = 1xg(x) = 3x

    c) f(x) =x g(x) = 1 + x3 f) f(x) = secx g(x) = x

    2

    10. Expresar las funciones dadas como composicion de dos o mas funciones simples.

    a) f(x) = (1 + x)2 b) f(x) =

    11+x2

    c) f(x) = 5tan(x3)

    11. Clasificar las siguientes funciones f : R R en pares, impares o ninguna de ambas:a) f(x) = cos x c) f(x) = x2 e) f(x) = x

    2

    1+x2g) f(x) = e

    xex2

    b) f(x) = sinx d) f(x) = x3 f) f(x) = |x| h) f(x) = sin3 x

  • 10 CAPITULO 1. TRABAJO PRACTICO NO 1: FUNCIONES

    12. En las siguientes funciones determinar dominio, imagen e investigar inyectividad y suryectivi-dad. Si es biyectiva determinar la funcion inversa.

    a) f(x) = 2x1x+3

    c) f(x) = x3 + 2

    b) f(x) = x2 1 d) f(x) = 2 + 5x

    13. Cual sera el dominio y la imagen para que la funcion y = sinx sea biyectiva. En ese intervalodefinir la funcion inversa. Graficar.

    Repaso de conceptosDetermine si es V o F.La funcion y = x3 es una funcion biyectiva en todo R. ..........La funcion y = x2 es una funcion biyectiva en todo R. ..........Una funcion biyectiva es una funcion uno a uno y entonces existe funcion inversa. ......Las graficas de una funcion y de su inversa son simetricas con respecto a la recta y = x.....

    Si ab< 0, entonces a < 0 y .....................o bien a > 0 y .................

    Cuales de las ecuaciones siguientes siempre son verdaderas?

    1. a) |x| = xb) |x|2 = x2c) |x . y| = |x| . |y|d)x2 = x

    Ejercicios de Repaso

    1. Encuentre f + g; f g; f.g y f/g e indique sus dominios si f(x) = x3 + 2x2 y g(x) = 3x2 12. Encuentre f g, f f , g f, g g y sus respectivos dominios si f(x) = x 1 y g(x) = x2

    3. Encuentre f g h si f(x) = 1x; g(x) = x2; h(x) = x2 + 2

    4. Exprese la funcion en la forma f g si F (x) = sin (x)5. Decir si la siguiente funcion es par, impar o ninguna de las dos; f(x) = 1

    x3+1

    6. Encuentre el dominio y grafique la siguiente funcion

    f(x) =

    { 1 si x 13x+ 2 si |x| < 17 2x si x 1

    7. Investigar inyectividad, suryectividad y biyectividad de la siguiente funcion. Si es biyectiva,determinar la funcion inversa

    f(x) =3x+ 1

    x 28. Sea f : A R B R. Determinar los conjuntos A y B para que f sea inyectiva.

    a) f(x) =x 2 c) f(x) = 2x1

    3x+1

    b) f(x) = x2 4 d) f(x) = tan x

  • 1.8. EJERCICIOS 11

    9. Sea A = {x R : x 3}, f : A R B R definida por f(x) = x4 y g : D R C Rdefinida por g(x) =

    x

    a) Determinar el conjunto B = Im (f)

    b) Deterninar D = D(g) y C = Im (g)

    c) Es posible realizar (g f) (x). Justifique la respuesta.10. Encuentre el conjunto solucion de la desigualdad dada.

    a)2x

    7 5 7

    b)x

    4+ 1 < 1

    11. Encuentre el conjunto solucion de la desigualdad dada.

    a) 2x2 + 5x 3 > 0

  • 12 CAPITULO 1. TRABAJO PRACTICO NO 1: FUNCIONES

  • Captulo 2

    Trabajo Practico No 2: Numeros Reales -Cotas

    2.1. Propiedades Basicas de los Numeros Reales

    Propiedades Basicas de la SumaS1(Propiedad conmutativa)Cualesquiera sean los numeros reales a y b, vale que:

    a+ b = b+ a

    S2(Propiedad asociativa)Cualesquiera sean los numeros reales a, b, y c vale que:

    a+ (b+ c) = (a+ b) + c

    S3(Propiedad de existencia del inverso neutro)Existe un numero real llamado cero y que indicamos con 0 tal que para todo numero

    real a vale:a+ 0 = a

    S4(Propiedad de existencia del inverso aditivo)Dado un numero real a, existe un numero real que llamamos inverso aditivo de a e indica-

    mos a tal que:a+ (a) = 0

    Propiedades Basicas del ProductoP1( Propiedad conmutativa)Cualesquiera sean los numeros reales a y b, vale que:

    a b = b aP2( Propiedad asociativa)Cualesquiera sean los numeros reales a, b y c vale que:

    a (b c) = (a b) cP3(Propiedad de existencia del elemento neutro)Existe un numero real distinto de cero que llamamos uno e indicamos con 1 tal que,

    para todo numero real a vale que:a 1 = a

    P4(Propiedad de existencia del inverso multiplicativo)Dado un numero real a, distinto de cero existe un numero real que llamamos inverso mul-

    tiplicativo de a e indicamos a1, tal que:

    a a1 = 1

    13

  • 14 CAPITULO 2. TRABAJO PRACTICO NO 2: NUMEROS REALES - COTAS

    Propiedad que relaciona suma y productoD(Propiedad distributiva)Cualesquiera sean los numeros reales a, b y c vale que:

    a (b+ c) = a b+ a cPropiedades Basicas para el Orden

    O1(Propiedad de tricotoma)Si a y b son dos numeros reales, vale una, y solo una de las siguientes posibilidades:

    a < b a = b a > b

    O2(Propiedad transitiva)Si a,b y c son numeros reales que verifican:

    a < b y b < c

    entonces necesariamente debe ser: a < c.O3(Propiedad de monotona de la suma)Si a y b son numeros reales que verifican:

    a < b

    entonces cualquiera sea el numero real c vale:

    a+ c < b+ c

    O4(Propiedad de monotona del producto)Si a y b son numeros reales que verifican:

    a < b

    entonces cualquiera sea el numero real c mayor que cero vale:

    a b < b c

    2.2. Numeros NaturalesDefinition 24 Proposition 25 Los numeros naturales tienen la propiedad que si n es natural ,entonces n+ 1 tambien es natural

    Definition 26 Llamaremos conjunto de los numeros naturales, y lo indicaremos con N , al subcon-junto de los numeros reales caracterizado por las siguientes propiedades:

    N1)N es inductivoN2) Si A es cualquier subconjunto inductivo de numeros reales, entonces N A

    2.2.1. Principio de induccion

    Supongamos que para cada numero natural n tenemos una afirmacion P (n) sobre el de tal maneraque se verifiquen las dos condiciones siguientes:

    Corollary 27 La afirmacion P (1) es verdaderaPara todo numero natural n ocurre lo siguiente: Si suponemos que P (n) es verdadera podemos

    deducir entonces que P (n+ 1) es tambien verdadera.En ese caso la afirmacion P (n) es verdadera para todo numero natural n.

    Example 28 Si n N,entonces n 1Consideramos P (n) = n 1P (1) = 1 1 es verdaderaP (n) = n 1 suponemos que es ciertaP (n+ 1) = n+ 1 1 es lo que tenemos que demostrar,n+ 1 1 + 1 = 2 1 = n+ 1 1, por consiguiente utilizando P (n) hemos

    llegado a demostrar P (n+ 1).

  • 2.3. COTAS, SUPREMO E INFIMO 15

    2.3. Cotas, Supremo e Infimo

    Definition 29 Sea A R, un subconjunto, un numero real c se dice cota superior de A si tienela siguiente propiedad:

    Para todo a A vale que a c. Es decir, un numero real cualquiera es cotasuperior de un conjunto cuando es mayor o igual que todos los elementos del conjunto. Si A tienecota superior se dice que A esta acotado superiormente.

    Definition 30 Sea A R, un numero real c se dice supremo de A y se escribe c = supA si tienelas dos propiedades siguientes:

    S1)c es una cota superior de A.S2)Si d es cota superior de A, entonces c d (esto expresa que c es la menor de las cotas

    superiores)

    Si el supremo c A se lo denomina maximo de A.

    Propiedad de Completitud

    Si A es un conjunto de numeros reales,A R, no-vaco y A es acotado superiormente, entoncesexiste: c = supA

    Theorem 31 Sea A un conjunto acotado superiormente y no-vaco; entonces un numero real c esel supremo de A y solo si cumple las dos condiciones siguientes:

    S1) c es cota superior de AS2) Si es un numero real arbitrario mayor que cero, entonces existe a A tal que c < a.

    Definition 32 Sea A R, un numero real d se dice cota inferior de A si tiene la siguientepropiedad:

    Para todo a A, d a. Si A tiene una cota inferior, A se dice acotadoinferiormente.

    Definition 33 Sea A R un numero real d se dice nfimo de A (y se indica d = nf A si tiene lasdos siguientes propiedades:

    I1) d es cota inferior de AI2) si k es cota inferior de A entonces k d (o sea, d es la mayor cota inferior).Si el nfimo d A se lo denomina mnimo de A.

    Example 34 Sea A = {x Z / 5 < x 8}, algunas cotas superiores de A son: 8 ; 8, 53 ; 9 ; 35, ... supA =8, algunas cotas inferiores: 16 ; 9, 45 ; 5, ..... nf A = 5.

    Theorem 35 Si A es un conjunto de numeros reales, A R, acotado inferiormente y no-vaco,entonces existe:d = nf A

    Theorem 36 Sea A un conjunto acotado inferiormente y no-vaco;entonces un numero real d es elnfimo de A si y solo si cumple las dos condiciones siguientes:

    I1)d es cota inferior de AI2)Para todo > 0, existe a A tal que a < d+

  • 16 CAPITULO 2. TRABAJO PRACTICO NO 2: NUMEROS REALES - COTAS

    2.3.1. Principio de Arqumedes

    Theorem 37 Si a es un numero real cualquiera entonces existe un numero natural n tal que n > aProof. Vamos a demostrarlo por el absurdo, supongamos que n a,n N = N esta acotadosuperiormente y como N no-vaco, entonces existe supN, = c, dado un > 0, n N / c < n,

    supongo = 1 = c 1 < n = c < n+ 1, luego n+ 1 N,Absurdo porque existe un elemento del conjunto n+ 1 mayor que el supremo del conjunto.Queda as demostrado que n > a

    Corollary 38 Sean a y b numeros reales tales que 0 < a < b. Entonces, existe un numero natural ntal que n a > b.Corollary 39 Si > 0,entonces existe un numero natural n tal que 1

    n< .

    Example 40 Analizar si el siguiente conjunto tiene supremo e nfimoDado el conjunto

    A =

    {1

    n, n N

    }donde N = {1, 2, 3, ....}. Nos preguntamos:

    1. Es distinto de vaco

    2. Es acotado en R3. Tiene supremo

    4. Tiene nfimo

    Respondemos los puntos anteriores:

    1. Un conjunto es distinto de vaco si tiene al menos un elemento. S n N, entonces n puedetomar todos los valores, n = 1, 2, .... , en particular n = 1, entonces A = {1}, por tanto hay unelemento, esto es suficiente para comprobar que A 6=

    2. Un conjunto es acotado en R si es acotado superior e inferiormente. Acotado superiormentesignifica que tenga cota superior. Para ello tenemos que ver que para todo a A exista c enR para el cual vale que a c. Dandole valor a n N, podemos observar que elementos delconjunto A son de la forma:

    A =

    {1,

    1

    2,1

    3, ...,

    1

    n, ...

    }Entonces podemos afirmar que 1

    n 1 para todo n. Con lo cual 1 es cota superior del conjunto

    A, entonces A esta acotado superiormente. Por otro lado vemos que 0 1n

    para todo n N,entonces A esta acotado inferiormente. En conclusion el conjunto A es acotado en R.

    3. Tiene supremo. Hasta el momento hemos demostrado que el 1 es cota superior, para demostrarque tiene supremo hay que encontrar una cota superior y demostrar que es la menor. Solamentevamos a limitarnos a encontrar el valor del supremo sin demostrar que es la menor de las cotasinferiores. Entonces, supA = 1.

    4. Tiene Infimo. Igual que para supremo. Sabemos que es cota inferior, si es la mayor de las cotas.inferiores entonces sera el nfimo del conjunto. Luego, nf A = 0.

    2.3.2. Desigualdad de Bernoulli

    Proposition 41 Sea h > 1, h R, entonces n N vale(1 + h)n 1 + nh

  • 2.4. EJERCICIOS 17

    2.4. Ejercicios

    1. Dado los siguientes conjuntos investigar los cuatro puntos como en el ejemplo anterior. Deter-minar si tienen maximos y mnimos

    a) A = {x Z : 5 < x 7}b) B =

    {x Q : 1

    4 x < 7}

    c) C = {x N : x 15}d) D =

    {x Q : 0 x 2}

    e) E = {x R : x2 + x+ 1 0}f) F = {x R : x2 + x 1 < 0}g) G =

    {nn+1

    : n N}h) H =

    {(1)nn

    + 2 : n N}

    i) I ={

    4n2

    2n2+1: n N

    }j) J =

    {(1)n

    3n+ 2 : n N

    }k) K = (9, 15] {3, 3}l) L =

    {3 (1)n

    n2: n N

    }m) M =

    {134n

    + (1)n : n N}n) N = {x R : |x 5| < 3}

    Repaso de conceptosLas siguientes preguntas tienen la finalidad de servir al alumno como revision.

    1. Contestar si es verdadero V o falso F

    i) Si un conjunto es no vaco y acotado superiormente tiene supremo. . . . . . . . . .

    ii) Si un conjunto es no vaco y acotado superiormente tiene maximo. . . . . . . . . . .

    iii) El conjunto N tiene nfimo pero no maximo. . . . . . . . . . . . .iv) El conjunto Z esta acotado inferiormente. . . . . . . . . . . . . .v) Todo intervalo finito de la recta esta acotado. . . . . . . . . . ..

    vi) Todo conjunto finito de puntos esta acotado. . . . . . . . . . . . .

    vii) Un conjunto infinito de puntos nunca esta acotado. . . . . . . ..

    viii) El nfimo es la menor de las cotas inferiores. . . . . . . . . . . . . . . . ..

    Ejercicios de Repaso

    1. Dados los siguientes conjuntos hallar, si tienen, nfimo, supremo, maximo y mnimo

    a) A = {x R / x2 + 1 > 0}b) B =

    {1 (1)n

    2n/ n N

    }c) C = {x R/ |x+ 2| 3}

  • 18 CAPITULO 2. TRABAJO PRACTICO NO 2: NUMEROS REALES - COTAS

  • Captulo 3

    Trabajo Practico No 3: Sucesiones

    Definition 42 Una sucesion es una funcion cuyo dominio es el conjunto de los numeros naturales,es decir a : N R. Hay una regla implcita para cualquier sucesion: a cada numero natural n lecorresponde un numero real que denotamos con a (n) = an.

    Example 43 A cada numero natural n = 1, 2, 3, 4, . . .le hacemos corresponder

    1,1

    2,1

    3,1

    4, .....

    entonces tenemos la sucesion definida a traves de la funcion a(n) = an =1n

    .

    Cuando estudiamos sucesiones se presentan dos cuestiones basicas:

    1. Dados los terminos de la sucesion encontrar la regla o ley que define el termino general.

    2. Conociendo su regla o ley investigar si la sucesion, a medida que n crece arbitrariamente seaproxima a algun valor prefijado.

    Example 44 Dada la sucesion

    1,3

    22,

    5

    32,

    7

    42,

    9

    52, ....

    encontrar cual es la regla o ley general que define esta sucesion.Es claro que la asignacion es de la siguiente forma:

    1 112

    2 322

    =2 2 1

    22

    3 532

    =2 3 1

    32

    4 742

    =2 4 1

    42........

    n 2 n 1n2

    Entonces sera an =2.n1n2

    .

    Los valores de una sucesion se pueden indicar en la recta real variando n en N.Analicemos ahora la segunda cuestion.

    19

  • 20 CAPITULO 3. TRABAJO PRACTICO NO 3: SUCESIONES

    Example 45 Dada la sucesion an designada por an =1n2

    , podemos verificar que dandole a n valoresdesde n = 1, los valores de la sucesion an se van acercando a un numero fijo, cual es este numero?.

    1 112

    = 1

    2 122

    = 0,25

    3 132

    = 0,11

    4 142

    = 0,06

    ......

    10 1102

    = 0,01

    Podemos suponer entonces que la sucesion an =1n2

    se acerca a 0 cuando n crece arbitrariamente.Esta aproximacion se formalizara a traves del concepto de lmite de una sucesion. La operacion lmitede una sucesion indica que cuando n crece los valores de la sucesion se acercan a un valor fijo. As,podemos indicar en forma intuitiva que el lmite de la sucesion an =

    1n2

    es 0 cuando n tiende ainfinito, es decir,

    lmn

    an = lmn

    1

    n2= 0

    No hicimos una demostracion, simplemente presentamos una idea intuitiva. Sobre el final del practicodemostraremos formalmente este lmite.

    Diremos que una sucesion {an} es convergente cuando existe el lmite de dicha sucesion.Definition 46 Una sucesion se dice que es acotada si verifica:

    n N = |an| M , siendo M R+

    Example 47 Demostar que la sucesion an = (1)n esta acotada.Efectivamente sea M un numero real positivo, M > 1 = |1| = 1 < M n N

    Example 48 Investigar si la sucesion an = 2 1n2 esta acotada.|an| =

    2 1n2

    = 2 1n2< 2, n N, ya que 1

    n2 0,

    Example 49 Demostrar que la sucesion an =34n2n2+1

    es acotada.

    |an| =3 4n2n2 + 1

    < 4n2 3n2 + 1 1

    Como an > 0 al multiplicar los dos miembros por an, resulta

    an+1 > an

    entonces la sucesion an es monotona creciente.

    Sucesiones No-Monotonas: Existen sucesiones que no son crecientes ni decrecientes, a lascuales llamaremos no-monotonas. Estas pueden ser convergentes, divergentes o no tener l`mite, comoveremos en los siguientes ejemplos.

    Example 53 Sea la sucesion an = (1)n.{an}nN = 1, 1,1, 1,1, 1, .......Esta sucesio`n no tiene l`mite.

    Example 54 Sea la sucesion an = 1 +(1)nn

    {an}nN = 0, 32 , 23 , 54 , ......Esta sucesio`n tiene l`mite 1.Example 55 Sea la sucesion an = (1)nn.{an}nN = 1, 2,3, 4,5, 6, .......Esta sucesio`n no tiene l`mite, tiende a si n es impar y a

    +, si n es par.Theorem 56 Toda sucesion monotona y acotada converge.

    Example 57 Investigue la convergencia de la sucesion{

    2n

    n!

    }n1 .

    Investiguemos si la sucesion es monotona. Se tiene,

    an+1an

    =2n+1

    (n+ 1)!

    n!

    2n

    =2 2n n!

    (n+ 1)! 2n

    =2

    n+ 1 1 n 1

    Multiplicando ambos miembros por an se tiene, an+1 an n entonces la sucesion es monotonadecreciente.

    Investiguemos si es acotada. Sabemos que an > 0 n. Ademas como es decreciente podemosescribir

    0 2n

    n! a1 = 2

    1

    1!= 2 n 1

    es decir, esta acotada. Del teorema anterior deducimos que la sucesion converge.

  • 22 CAPITULO 3. TRABAJO PRACTICO NO 3: SUCESIONES

    Example 58 Investigar si la sucesion an =3n+1

    2nes convergente. Aplicar el Teorema que toda suce-

    sion monotona y acotada converge.a) Es monotona?

    an+1an

    =3(n+ 1) + 1

    2(n+ 1):

    3n+ 1

    2n

    =(3n+ 4) 2n

    (2n+ 2) . (3n+ 1)

    =6n2 + 8n+2 2

    6n2 + 8n+ 2= 1 2

    6n2 + 8n+ 2< 1

    Por consiguiente la sucesion es monotona decreciente an > an+1.b) Es acotada?an =

    3n+12n

    > 0 n N. Ademas por lo demostrado en a) al ser monotona decreciente

    a1 = 2 > a2 > ... > an > ....n N

    Luego, 0 < an < 2 , n N con lo cual probamos que la sucesion es acotada.c) Es convergente?De los inciso a) y b) , por el Teorema anteriormente enunciado, se desprende que la sucesion

    converge.d) Cual es el valor lmite al cual tiende?Si queremos hallar el lmite,

    lmn

    3n+ 1

    2n= lm

    n

    3nn

    + 1n

    2nn

    =3

    2, porque

    1

    n 0

    Example 59 Sea la sucesion definida por:{a1 =

    2

    an+1 =

    2 + an

    Probar que la siguiente sucesion es convergente.

    Los primeros terminos de la sucesion seran....

    2,

    2 +

    2,

    2 +

    2 +

    2, .....

    Afirmamos que esta sucesion es acotada.an 0 n N,vamos a demostrar algo que intuitivamente observamos , que an 2 n N.

    Vamos a demostrarlo por induccion.P1) a1 2, porque si fuese a1 > 2 o sea que elevando al cuadrado sera 2 > 4. Absurdo.Pn) Suponemos an 2.Pn+1) Lo demostramos para n+ 1.

    an+1 =

    2 + an

    2 + 2 = 2. Con lo cual, obtenemos que

    0 an 2

    Vamos a probar que es una sucesion creciente, entonces

    an+1an

    =

    2 + anan

  • 23

    elevamos al cuadrado para quitar la raiz, sabiendo que an > 0,(an+1an

    )2=

    2 + ana2n

    =2

    a2n+ana2n

    =2

    a2n+

    1

    an

    Como tenemos que an 2 entonces 1an 12 y tambien a2n 4 entonces 2a2n 24

    = 12. Por lo tanto,(

    an+1an

    )2=

    2

    a2n+

    1

    an 1

    2+

    1

    2= 1

    As tenemos que an+1 an, en consecuencia la sucesion es creciente. Entonces por el teoremaanterior estamos en condiciones de afirmar que la sucesion converge, o sea existe el lmite.

    Propiedad del EmparedadoSupongamos que {an}n1 y {bn}n1 son dos sucesiones convergentes, con el mismo lmite L,

    lmn

    an = L = lmn

    bn

    y sea {cn}n1 una sucesion tal quean cn bn n N

    entonces {cn}n1 es convergente y su lmite es L,

    lmn

    cn = L

    Example 60 Determine la convergencia o divergencia de la sucesion an ={

    sinnn2

    }n1.

    Debemos encontrar dos sucesiones, una mayor y otra menor que la dada y que ademas ambastengan el mismo lmite. Recordemos que:

    1 sinn 1 nDividiendo por n2 se tiene

    1n2 sinn

    n2 1n2n 1

    Finalmente, observemos que

    lmn

    1n2

    = 0 y lmn

    1

    n2= 0

    entonces por la Propiedad anterior

    lmn

    sinn

    n2= 0

    Example 61 Investigar el lmite de la sucesion cos2 n

    2n.

    Primero notemos que no tenemos ningun medio directo para calcular

    lmn

    cos2 n

    2n

  • 24 CAPITULO 3. TRABAJO PRACTICO NO 3: SUCESIONES

    Intuitivamente, veramos que la sucesion tiende a 0 a medida que n aumenta ( porque el denominadorcrece mas rapidamente); por otro lado sabemos que la funcion coseno esta acotada por (-1) y (+1).Observe que el termino general de la sucesion satisface:

    (1) cos2 n (+1)(1)2n cos

    2 n

    2n (+1)

    2n

    Ademas, sabemos que 2n > n 12n< 1

    n, entonces

    1n (1)

    2n cos

    2 n

    2n (+1)

    2n + 1

    n

    Aplicando lmite cuando n, tenemoslmn

    1n

    = 0 y lmn

    1

    n= 0

    Luego por la Propiedad del emparedado

    = lmn

    cos2 n

    2n= 0

    3.1. Lmite por definicion

    Antes se haba presentado una idea intuitiva de lmite de una sucesion (Ejemplo 45). Ahorademostraremos que lmn 1n2 = 0. Para ello utilizamos la definicion formal de lmn an.

    Definition 62 Se dice que una sucesion {an}n1 tiene lmite l, o converge a l, si tiene la siguientepropiedad:

    dado > 0, n0 N tal que n n0 es |an l| < En simbolos

    lmn

    an = l

    Es decir, debemos probar que: para todo > 0 hay que encontrar un numero natural n0 tal quesi n n0 =

    1n2 0 < . Entonces 1

    n2 0 = 1

    n2sacando las barras de valor absoluto, lo cual es

    cierto n N. Por otro lado, si n n0 = 1n2 1n20 y esto debemos hacerlo menor que , es decir,1n20< , de donde n20 >

    1

    = n0 >

    1. Por tanto si se elige un n0 >

    1

    entonces si n n0, resulta1n2< , como se esperaba.Veamos otros ejemplos;

    Example 63 Probar el siguiente lmite lmn 2n2+3n5n2

    = 25

    utilizando la definicion .Entonces

    lmn

    2n2 + 3n

    5n2=

    2

    5 dado > 0 n0 N tal que si n n0 entonces

    2n2 + 3n5n2 25 <

    Partimos de 2n2 + 3n5n2 25 = 2n2 + 3n 2n25n2

    = 3 n5 n2

    =|3 n||5 n2| =

    3 n

    5 n2

    =3

    5n

  • 3.1. LIMITE POR DEFINICION 25

    Ahora como n n0 = 5 n 5 n0 = 15 n 15 n0 resulta2n2 + 3n5n2 25 = 35 n 35 n0

    Esa expresion debo hacerla menor que , es decir, 35 n0

    < . De esta desigualdad vemos que 35

    < n0.

    Entonces eligiendo n0 N tal que n0 > 35 resulta la desigualdad buscada, la cual verifica la existenciadel lmite. 2n2 + 3n5n2 25

    = 35 n 35 n0 < Example 64 Sea an =

    2n+43n27n . Demostrar que converge a 0.

    Vamos a demostrar utilizando la definicion, que la sucesion an converge a 0.As, dado cualquier > 0 se puede encontrar un correspondiente n0 N tal que si n n0 = 2n+4

    3n27n 0 < . 2n+ 43n2 7n 0

    = 2n+ 43n2 7n = |2n+ 4||3n2 7n|

    para sacar las barras de modulo debemos tener en cuenta que el numero expresado sea positivo,con (2n+ 4) no hay problema, mientras que para (3n2 7n) > 0 si 3n2 > 7n = n > 7

    3, o sea como

    n es natural debemos pedir que n > 2. Luego, n > 2,|2n+ 4||3n2 7n| =

    2n+ 4

    3n2 7n 9n, luego

    3n2 7n > 3n2 9n = 13n2 7n 0, , que secumple para aquellos n en N tales que 3n2 > 9n = n > 3. Entonces n > 3

    |2n+ 4||3n2 7n| 2 = n0 > 2 + 3.Entonces eligiendo un no N tal que no > max{3; 2 + 3} resulta la desigualdad buscada que verificala existencia del lmite.

    En efecto, 2n+ 43n2 7n 0 < 2n 3

    si n n0 > 2 + 3 = n 3 > 2 = 1n3 < 2 . Luego 2n+4

    3n27n < . Quedando demostrada la

    convergencia.

    3.1.1. Algunas propiedades de lmites de sucesiones

    1.Unicidad del lmite: Si (an)n1 es una sucesion tal que

    lmn

    an = l1 y lmn

    an = l2

    para ciertos numeros reales l1,l2.Entonces l1 = l2. Esto quiere decir que si el lmite de una sucesionexiste, es unico.

    2.

  • 26 CAPITULO 3. TRABAJO PRACTICO NO 3: SUCESIONES

    Proposition 65 Toda sucesion convergente es acotada

    Example 66 Dada la sucesion an =(1)n

    2n+ 1,aplicando el lmite,lmn

    (1)n2n

    + 1 = 1,entonces lasucesion es convergente, por la prosicion anterior esta acotada, verifiquemos esto.

    Observamos los valores de la sucesion son.an =12, 5

    4, 5

    6, 9

    8, ...,luego 1

    2 (1)n2n + 1 1

    3.

    Proposition 67 Sea (an)n1 una sucesion convergente con lmite l.i)si l > b para un cierto b real entonces existe n0 N tal que, para n n0 es an > bii)si l < b para un cierto b real entonces existe n0 N tal que, para n n0 es an < b

    Example 68 Dada la sucesion an = 2,32, 4

    3, 5

    4, ....n+1

    n, ...es una sucesion convergente con lmite 1.Por

    la proposicion anterior i), tomemos b = 0, 5 < 1, entonces existe un n0 N tal que, para n n0 esan > 0, 5,para ii) tomemos b = 1, 5 > 1, entonces existe un n0 N tal que, para n n0 es an < 1, 5.Corollary 69 Sea (an)n1 una sucesion convergente con lmite l.

    a)si an > b,n n0 l bb)si an < b,n n0 l b

    3.1.2. Algebra de sucesiones

    Proposition 70 Sean (an)n1 y (bn)n1 dos sucesiones convergentes entonces se tiene:i) lmn (an bn) = lmn an lmn bnii)lmn (an . bn) = lmn an. lmn bniii)lmn

    (anbn

    )= lmn an

    lmn bn , si lmn bn 6= 0iv)siendo k N, entonces lmn

    (akn)

    = (lmn an)k

    v)si lmn an = a 0 entonces lmnan =

    lmn an =a

    vi)si c R,entonces lmn c .an = c lmn an

    3.2. Lmites InfinitosConsideremos la sucesion an = n, es decir,

    {an}n1 = 1, 2, 3, 4.......esta sucesion no es convergente puesto que no es acotada. Se dice que esta sucesion tiende a infinito.

    Definition 71 Se dice que una sucesion {an}n1 tiende a +, y se escribelmn

    an = +

    si dado M > 0, existe n0 N tal que para n n0 es an > M.

    Example 72 lmn 4n2+2n

    2n3 = +

    Definition 73 Se dice que una sucesion {an}n1 tiende a , y se escribelmn

    an =

    si la sucesion {an}n1tiende a +.

  • 3.3. EL NUMERO E 27

    Example 74 lmnn2 = , luego la sucesion lmn (n2) = +

    Definition 75 Se dice que una sucesion {an}n1 tiende a , y se escribe

    lmn

    an =

    si la sucesion {|an|}n1tiende a +.

    Example 76 La sucesion an = (1)n n2 tiende a , porque lmn |(1)n n2| = +

    3.2.1. Algunos Lmites Especiales

    Lemma 77 Sea a un numero real mayor que cero entonces vale lo siguiente

    lmn

    na = 1

    Lemma 78 Vale la siguiente propiedad

    lmn

    nn = 1

    3.2.2. La sucesion an = rn

    Vale el siguiente lmite

    lmn

    rn

    0 si |r| < 1

    + si r > 1 si r < 1No existe si r = 1

    1 sir = 1

    3.3. El numero e

    Dada la sucesion an =(1 + 1

    n

    )nse demuestra en la clase teorica que es una sucesion convergente.

    Dicho lmite es el numero e

    lmn

    (1 +

    1

    n

    )n= e

    Tambien se verifica que siendo {an}n1 una sucesion tal que lmn an =, entonces

    lmn

    (1 +

    1

    an

    )an= e

    Example 79 Calcular el lmite de la sucesion

    an =

    (n+ 1

    n+ 2

    )3n+2utilizando el numero e. Entonces

  • 28 CAPITULO 3. TRABAJO PRACTICO NO 3: SUCESIONES

    lmn

    an = lmn

    (n+ 1 + 1 1

    n+ 2

    )3n+2= lm

    n

    (n+ 2

    n+ 2 1n+ 2

    )3n+2= lm

    n

    (1 1

    n+ 2

    )3 (n+2/3)= lm

    n

    (1 +

    1

    (n+ 2))3(n+22+2/3)

    = lmn

    [(1 +

    1

    (n+ 2))(1) 3(n+2)

    (1).

    (1 +

    1

    (n+ 2))4]

    =

    [lmn

    (1 +

    1

    (n+ 2))(n+2)]3

    . lmn

    (1 +

    1

    (n+ 2))4

    = e3

    3.4. Ejercicios

    1. Encontrar el termino general an para las siguientes sucesiones:

    a) {an}n1 = 0, 12 , 23 , 34 , 45 , ... c) {an}n1 = 1, 23 ,35 , 47 ,59 , ...b) {an}n1 = 122 , 223 , 324 , 425 , ... d) {an}n1 = 1, 11 1

    2

    , 11 2

    3

    , 11 3

    4

    , ...

    2. Dada las siguientes sucesiones indicar la solucion en R de sus terminos.a) an =

    2n1n2

    c) an = (1)n nn+1b) an =

    4n!

    d) an = (1)n n+23n13. Para las siguientes sucesiones investigar: i) si son monotonas, ii) si son acotadas, iii) si son

    convergentes.

    a) an =2n+1n2

    d) an =2n

    (n+1)!g) an =

    12, 2

    3, 3

    4, 4

    5, ...

    b) an =n+3n+2

    e) an =n2n

    h) an = cosnpi2

    c) an =7n+1

    3nf)an =

    5n+15n3

    4. Usar la propiedad del emparedado para demostrar que las sucesiones convergen a 0.

    a) an =cosnpin2

    b) an = (1)n enn c) an = (1)n lnnn2 d) an = sen3nn

    5. Investigar si la siguiente sucesion es monotona y acotada. Se deduce a partir de ello que esconvergente. Por que? {

    a1 =

    3an+1 =

    3 + an

    6. Determinar si las siguientes sucesiones convergen utilizando el numero e:

    a) an =(1 1

    n

    )nc) an =

    (n+1n+3

    )ne) an =

    (3n+43n+2

    )2n1b) an =

    (1 + 3

    n

    )2nd) an =

    (2n+12n+3

    )3n2f) an =

    (1 + 1

    2n

    )4n+1

  • 3.4. EJERCICIOS 29

    7. Encontrar el n0 de la definicion de lmn an que verifique los siguientes lmites

    a) lmn 1n3 = 0 f) lmn3n2+2n2n2+1

    = 3

    b) lmn nn+1 = 1 g) lmnn223n2+1

    = 13

    c) lmn 2n = 0 h) lmn(1)n1

    2n2 = 0

    d) lmn n+4n2+1 = 0 i) lmn3n2/3+n4/5+n5/2

    n3+n2/3+5n= 0

    e) lmn 1n+1+n = 0 j) lmn(

    n+ 1n) = 08. En la sucesion an =

    1n2

    encontrar un no correspondiente para 1 =110, 2 =

    1100

    y 3 =1

    1037

    Repaso de conceptosContestar si es V o F .Toda sucesion convergente es acotada. ........Toda sucesion acotada es convergente. ........Toda sucesion creciente y acotada superiormente es convergente. .......

    Ejercicios de Repaso

    1. Dada la sucesion an , i) investigar si es monotona (Justificar), ii) investigar si es acotada(Justificar), iii) es convergente? (Justificar), d) si es convergente calcular el valor del lmite.

    a. an =4n1

    3n

    b. an =12, 2

    3, 3

    4, 4

    5, ...

    c. an =5n21n2

    d. an =5n+1

    2n

    2. Resolver los siguientes lmites utilizando el numero e,

    a. lmn

    (1 + 2

    5n

    )2n+1= .

    b. lmn

    (3n+13n4

    )n+2=

    c) lmn

    (7n17n+3

    )5n1=

    3. Encontrar el no natural para el cual lmn

    an = 2, siendo an =6n2+n+53n2+4n2 .

    4. Sea n N, i) resolver lmn

    2n+ 52n, ii) demostrar por definicion el lmite hallado en i).

  • 30 CAPITULO 3. TRABAJO PRACTICO NO 3: SUCESIONES

  • Captulo 4

    Trabajo Practico No 4: Lmite deFunciones

    En un practico anterior trabajamos con Valor Absoluto, vamos a introducir dos letras del alfabetogriego y que se utilizan para representar numeros reales positivos de pequeno valor, estasletras seran utilizadas en el concepto de lmite.

    Example 80 Sea > 0, demuestre que |x 2| < /5 |5x 10| < .En terminos de distancia esto dice que la distancia entre x y 2 es menor que /5, si y solo si la

    distancia entre 5x y 10 es menor que .

    |5x 10| < |5| |x 2| < 5 |x 2| < 5 /5 |x 2| < /5

    Nuestro objetivo en esta etapa del analisis es investigar el comportamiento de una funcion f(x)cuando la variable independiente x se aproxima a un valor fijo x0. Decir que x se aproxima a x0,significa que nos referiremos al valor de f(x) cuando x 6= x0 incluso puede ocurrir que la funcion aestudiar no este ni siquiera definida en el punto x = x0. Antes de formalizar la definicion de lmitede una funcion en un punto, daremos una nocion intuitiva de su calculo.

    Example 81 Sea la funcion

    f(x) =x2 1x 1

    Vemos que f(x) no esta definida para x = 1. Pero nos podra interesar como se comporta la funcioncuando nos aproximamos a 1, en otras palabras: Se aproxima f(x) a algun valor cuando x tiendea 1? Para responder a esta pregunta vamos a calcular algunos valores de f(x) para valores de xproximos a 1 y bosquejaremos una grafica de y = f(x):

    x 1, 25 1, 1 1, 01 1, 001 1 0, 999 0, 99 0, 90 0, 75f(x) 2, 25 2, 1 2, 01 2, 001 ??? 1, 999 1, 99 1, 9 1, 75

    -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

    -4

    -2

    2

    4

    6

    x

    y

    31

  • 32 CAPITULO 4. TRABAJO PRACTICO NO 4: LIMITE DE FUNCIONES

    Toda esta informacion parece apuntar a una conclusion: f(x) tiende a 2 cuando x tiende a 1.Decimos de nuestro analisis grafico que

    lmx1

    x2 1x 1 = 2

    que se lee .el lmite cuando x tiende a 1 de f(x) es 2.Realizando un poco de algebra vemos que:

    lmx1

    x2 1x 1 = lmx1

    (x 1) (x+ 1)x 1 = lmx1x+ 1 = 2

    Notemos ademas que este lmite es 2 siempre que x no sea 1.

    4.1. Propiedades de los lmites

    Sea n Z, k cte, f y g funciones que tengan lmite en c. Entonces:

    i) lmxc

    k = k

    ii) lmxc

    k f(x) = k lmxc

    f(x)

    iii) lmxc

    [f(x) g(x)] = lmxc

    f(x) lmxc

    g(x) siempre que los lmxc

    f(x) y lmxc

    g(x).

    iv) lmxc

    [f(x) . g(x)] = lmxc

    f(x) . lmxc

    g(x) siempre que los lmxc

    f(x) y lmxc

    g(x).

    v) lmxc

    [f(x) / g(x)] = lmxc

    f(x) / lmxc

    g(x) , si lmxc

    g(x) 6= 0, siempre que los lmxc

    f(x) y lmxc

    g(x).

    vi) lmxc

    [f(x)]n =[lmxc

    f(x)]n

    vii) lmxc

    n

    f(x) = n

    lmxc

    f(x)

    Proposition 82 Propiedad del Emparedado. Sean f, g y h tres funciones definidas en un in-tervalo (a, b) salvo quizas en x0 (a, b) tales que:

    i) lmxx0

    f(x) = L = lmxx0

    g(x)

    ii) f(x) h(x) g(x) x (a, b), x 6= x0

    Entonceslmxx0

    h(x) = L

  • 4.2. CALCULO DE LIMITES 33

    4.2. Calculo de LmitesExample 83 Calular el lmite

    lmx2

    x3 + 2x2 15 3x

    lmx2

    x3 + 2x2 15 3x =

    lmx2 (x3 + 2x2 1)lmx2 (5 3x)

    =lmx2 x3 + 2 lmx2 x2 lmx2 1

    lmx2 5 3 lmx2 x=

    (2)3 + 2 (2)2 15 3 (2)

    = 111

    Para resolver este lmite aplicamos las propiedades de lmite las cuales estan justificadas debido aque existen tanto el lmite del numerador como del denominador.

    Example 84 Encuentre el lmite de

    lmx2

    x2 + 3x 10x2 + x 6

    Sea f(x) = x2+3x10x2+x6 . No podemos hallar el lmite al sustituir x = 2 porque f(2) no esta definida,

    tampoco podemos aplicar la ley del cociente porque el lmite del denominador es 0. Estamos en uncaso de lmite indeterminado, que el lmite sea indeterminado no significa que el lmite no exista.

    Se debe buscar metodos para eliminar la indeterminacion, como por ejemplo factorizar.

    lmx2

    x2 + 3x 10x2 + x 6 = lmx2

    (x 2) (x+ 5)(x 2) (x+ 3)

    = lmx2

    (x+ 5)

    (x+ 3)

    =7

    5Las indeterminaciones de lmites son:

    0

    0, , 0

    0, 1,, 0.,0

    Proposition 85

    lmx0

    sinx

    x= 1

    Usaremos este resultado para calcular lmites, como por ejemplo:

    Example 86 Resolver lmx0

    sin 4x5x

    Vemos que lmx0

    sin 4x5x

    = 00

    Utilizamos la propiedad anterior para resolver la indeterminacion,

    lmx0

    sin 4x

    5x=

    1

    5lmx0

    sin 4x

    x.4

    4

    =4

    5lmx0

    sin 4x

    4x

    =4

    5

  • 34 CAPITULO 4. TRABAJO PRACTICO NO 4: LIMITE DE FUNCIONES

    4.3. Lmites Laterales

    Vamos a introducir el concepto de lmites laterales. El smbolo x x+0 significa que x se aproximaa x0 por la derecha, mientras que el smbolo x x0 significa que x se aproxima a x0 por la izquierda.

    Example 87 Sea h una funcion de R en R definida por:

    h(x) ={ x+ 2 si x 1

    2x 2 si x > 1

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

    2

    4

    6

    8

    x

    y

    Entonceslmx1+

    h(x) = 0 6= lmx1

    h(x) = 1

    Para los valores positivos de x, si x se aproxima a uno el lmite de h(x) existe y el valor de ese lmitees 0 (lmite por derecha). Mientras que si x toma valores negativos la funcion tiende a 1, es decir sulmite por izquierda es 1 y por ende no coinciden, es decir: el lmite cuando x tiende a uno de h(x)no existe.

    Example 88 Sea h una funcion de R en R definida por:

    h(x) ={x2 1 si x 12x 2 si x > 1

    -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

    5

    10

    15

    20

    x

    y

    lmx1+

    h(x) = 0 = lmx1

    h(x)

    En este caso el lmite cuando x tiende a uno existe y vale 0.

    Daremos ahora la definicion formal de lmite por derecha y lmite por izquierda;

  • 4.4. LIMITE POR DEFINICION 35

    Definition 89 Sea x0 R y f una funcion definida en todos los puntos de un intervalo abierto(x0, a). Decimos que f tiene lmite L cuando x se acerca a x0 por la derecha y escribimos

    lmxx+0

    f(x) = L

    si dado > 0 existe un > 0 tal que si 0 < x x0 < entonces |f(x) L| < .

    Definition 90 Sea x0 R y f una funcion definida en todos los puntos de un intervalo abierto(a, x0). Decimos que f tiene lmite L cuando x se acerca a x0 por la izquierda y escribimos

    lmxx0

    f(x) = L

    si dado > 0 existe un > 0 tal que si 0 < x0 x < entonces |f(x) L| < .

    Example 91 Para que valores de a existe el lmxa f(x)? Siendo

    f(x) ={

    x si x Qx si x I

    -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

    Observando el grafico vemos que el unico punto donde el lmite existe es en x = 0, porque amedida que nos acercamos a 0 la diferencia entre el valor de la funcion y el lmite es cada vez menor.

    4.4. Lmite por definicion

    Daremos ahora la definicion formal de lmite y mostraremos varios ejemplos en los que probamosutilizando la definicion, el lmite de una funcion.

    Definition 92 Sea x0 R y f una funcion definida en todos los puntos de un intervalo abierto(a, b) que contiene a x0, salvo quizas en el mismo x0. Decimos que la funcion f(x) tiene lmite Lcuando x tiende a x0 si, para todo numero positivo , por pequeno que este sea, puede encontrarseotro positivo, que dependa de , tal que si 0 < |x x0| < para x 6= x0 entonces |f(x) L| < .Es decir,

    lmxx0

    f(x) = L dado > 0 = () > 0 tal que si0 < |x x0| < para x 6= x0

    entonces |f(x) L| <

  • 36 CAPITULO 4. TRABAJO PRACTICO NO 4: LIMITE DE FUNCIONES

    Example 93 Probar por definicio`n que lmx3 2x+ 1 = 7Entonces dado > 0 tenemos que encontrar un > 0 tal que si |x 3| < entonces |2x+ 1 7| 0, si el mnimo es =

    5=

    5< 1 entonces 0 < |x 2| < implica quex2 4 = |(x 2) (x+ 2)| = |x 2| |x+ 2| < 5 < 5

    5=

    Si el mnimo es = 1 = 1 < 5, luegox2 4 = |(x 2) (x+ 2)| = |x 2| |x+ 2| < 5. < 5,1 < 5.

    5=

    Con lo que queda demostrado el lmite efectivamente es 4.

    Example 95 Probar por definicion que si c > 0 y x > 0 entonces lmxcx =c.

    Buscamos primero un tal que si 0 < |x c| < = |xc| < . Entoncesxc = (xc) .(x+c)x+c = x cx+c

    =|x c|x+c 0, elegimos = .c entonces 0 < |x c| < implica quexc = (xc) .(x+c)x+c

    = x cx+c

    =|x c|x+c 2

    b)f(x) ={x+ 3 si x 23 x si x > 2

    lmx0

    f(x); lmx1

    f(x); lmx4

    f(x); lmx2

    f(x); lmx5

    f(x);

    lmx7

    f(x); lmx0+

    f(x); lmx2

    f(x); lmx5+

    f(x)

    4. Graficar f(x) = x [x]. Hallar los siguientes lmites o establecer que no existen

    lmx0

    f(x) lmx 1

    2

    f(x)

    5. Analizar para que valores de x0 existen los siguientes lmites:

    lmxx0

    (x [x]) lmxx0

    (|x| [x])

    6. Para cada una de las siguientes funciones hallen, si existen, las asntotas verticales y horizontales

    a)f(x) = 2.x6x29 c)f(x) =

    x322.x2+1

    b)f(x) = 5.x+33x d)f(x) =

    4x34.x2+3.x

    7. Propongan el grafico de una funcion que presente una asntota vertical en x = 2 y una asntotahorizontal en y = 0.

    8. Dibujen el grafico de una funcion que tenga asntotas en x = 4, x = 1 e y = 1.

    9. Grafiquen una funcion g(x) que verifique lo siguiente:

    Dom(g) = R {1, 5}lm

    x+g(x) = 6 lm

    xg(x) = 4

    lmx1

    g(x) = lmx5

    g(x) = 4

    C = (,1) (

    1

    2, 1

    ) (1, 3)

    10. Dibujen el grafico de una funcion f(x) que cumpla lo siguiente:

    Dom(f) = R {4, 3}lmx4

    f(x) = lmx3

    f(x) = lmx

    f(x) = 2

  • 40 CAPITULO 4. TRABAJO PRACTICO NO 4: LIMITE DE FUNCIONES

    11. Bosquejar la grafica de una funcion que satisfaga todas las condiciones siguientes:

    a) Su dominio es el intervalo [0, 4] ; f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 1;

    lmx1

    f(x) = 2; lmx3

    f(x) = 2; lmx2

    f(x) = 1; lmx3+

    f(x) = 1.

    b) Su dominio es el intervalo [0, 6], f(0) = f(2) = f(4) = f(6) = 2;

    lmx2

    f(x) = 1; lmx5+

    f(x) = 3

    c) Su dominio es el intervalo (5, 4) ; f(0) = f(2) = f(4) = 2; lmx2

    f(x) = 2;lmx0

    f(x) = 2; lmx0+

    f(x) = 0

    d) Su dominio es R; f(x) > 0en (, 1) ; lmx1

    f(x) = 2; lmx1+

    f(x) =1

    2;

    lmx1

    f(x) =1

    2; lmx1+

    f(x) = 1; f(x) < 0en (1,)

    12. Calcular los siguientes lmites:

    a) lmx x3+2x1

    2x33x+4 e) lmx(x21x+2 x2+1

    x2

    )b) lmx 2x

    23xx3+1

    f) lmx(

    x (x+ a) x)

    c) lmx 3x42x34x3+1

    g) lmx(

    x+x

    xx

    )d) lmx

    x2+x+1+

    x2x+1

    x+x2+1

    h) lmx x2

    1x

    13. Dados los siguientes graficos determinar dominio de la funcion e indicar el lmite en los puntosdonde la funcion presenta un salto:

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

    5

    10

    15

    20

    x

    y

    -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

  • 4.6. EJERCICIOS 41

    -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

    14. Verificar los siguientes resultados resolviendo los lmites:

    a) lmx2 x24

    x23x+2 = 4 f) lmx435+x15x = 13

    b) lmx5 x27x+10x225 =

    310

    g) lmx0

    1+x1x2x2+x =

    2

    c) lmx1 x33x+2x44x+3 =

    12

    h) lmx0 1cosxx2 =12

    d) lmh0(x+h)3x3

    h= 3x2 i) lmx0

    tan 4x cos(3x2)sin(2x) = 2 cos (2)

    e) lmx72x3x249 = 156 j) lmx 7x4x+1+16x2+x+1 = 78

    15. Sabiendo que lmx0(

    sinxx

    )= 1 calcular los siguientes lmites

    a) lmx0 sin 5xx d) lmx0sinx2

    x

    b) lmx0 sin 5x6x e) lmx0sinx3x

    c) lmx0 sinxx(1x) f) lmx01cos 2x

    2x

    16. Probar, usando la definicion de lmite de funciones, que:

    a) lmx2 3x 4 = 2 f) lmx2 x3 = 8b) lmx3 x2 = 9 g) lmx1 |6x 1| = 5

    c) lmx2 2x+13x2 =38

    h) lmx3 x2 + x 5 = 7d) lmx 1

    2

    x212x+1

    = 38

    i) lmx3 2x+13x+8 = 5

    e) lmx4x = 2 j) lmx2 3x+12x3 = 7

    Para el inciso a) dar valores de > 0 utiles para 1 = 15; 2 = 0, 27 y 3 = 0, 001.

    17. Sabiendo que lmx(

    1 + 1f(x)

    )f(x)= e con lmx f(x) =; calcular los siguientes lmites:

    a) lmx(1 + 7

    x

    )xe) lmx

    (x+1x3)x

    b) lmx(1 1

    x

    )xf) lmx0 (1 +mx)

    nx

    c) lmx(1 + 3

    x

    )2xg) lmx

    (3x+43x2

    )xd) lmx0 (1 + 2x)

    1x h) lmx

    (4x+54x3

    )6x+2

  • 42 CAPITULO 4. TRABAJO PRACTICO NO 4: LIMITE DE FUNCIONES

    Repaso de conceptosContestar si es V o F .- lmxa f(x) = L lmxa+ f(x) = L y lmxa f(x) = L.........- Para encontrar el valor del lmite de una funcion en un punto es necesario que la funcion

    este definida en ese punto.

    Ejercicios de repaso

    1. Si lmxa

    f(x) = 3 y lmxa

    g(x) = 1, hallar lmxa

    3g(x) [f(x) + |3g(x)|] =

    2. Encuentre el lmite indicado o establezca que no existe.

    a) lmx1

    x2+xx2+1

    d) lmt 0

    t|t| g) lmx

    2x2 + 32x2 5

    b) lmxpi

    2x26xpi+4pi2x2pi2 e) lm 0

    cot(pi) sin 2 sec

    h) lmx

    (4x+14x6

    )3x+1c) lm

    x3(x [x]) f) lm

    x3

    pix3+3x2x3+7x

    i) lmx

    (5x+15x3

    )2x+13. Demostrar los siguientes lmites utilizando la definicion.

    a)lmx5

    2x+1x3 =

    112

    c) lmx1

    | 3x 2| = 5 e) lmx9x = 3

    b) lmx0

    x. sin 1x

    = 0 d) lmx5

    x2 = 25 f)lmx3

    5x+12x4 = 8

    4. Realicen el grafico de una funcion cuyas asntotas sean y = 5 y x = 1.5. Analice la existencia de asntotas verticales de las siguientes funciones:

    f(x) =4.x

    2.x 1g(x) =

    { 2x1 , si x < 1x, si x 1

  • Captulo 5

    Trabajo Practico No 5: Continuidad

    Definition 103 Sea f una funcion definida sobre un intervalo abierto (a, b) de R y sea x0 (a, b),se dice que la funcion f es continua en x0 si y solo si:

    i) Existe f(x0)

    ii) Existe lmxx0 f(x) y es un numero finito

    iii) lmxx0 f(x) = f (x0)

    De acuerdo con la definicion de lmite, la continuidad de una funcion f en un punto x0 se puedeexpresar de la siguiente forma:

    Definition 104 Sea f una funcion definida sobre un intervalo abierto (a, b) de R y sea x0 (a, b),se dice que la funcion f es continua en x0 si y solo si:

    lmxx0

    f(x) = f (x0) > 0 > 0 tal que si x Dom(f) y |x x0| < = |f(x) f(x0)| <

    Example 105 Sea f : R {5} R definida por f(x) = x225x5 . Se desea estudiar la continuidad de

    f en x0 = 5.El punto x0 = 5 no pertenece al dominio de la funcion o sea no existe f(5). Sin embargo

    lmx5 f(x) = 10.El grafico de la funcion es la recta y = x + 5, de la cual se ha excluido el punto(5, 10). Luego esta funcion no es continua en el punto en estudio porque no se cumple la propiedadi).

    -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

    4

    6

    8

    10

    12

    x

    y

    Este tipo de discontinuidad puede ser salvado redefiniendo la funcion f a traves de otra funciong, que es igual a la funcion f salvo en el punto x = 5, de la siguiente forma:

    g(x) ={f(x) si x 6= 510 si x = 5

    con Dom(g) = Dom(f) {5} e Im(g) = Im(f) {10}. Asi la funcion g(x) es continua en x = 5.

    43

  • 44 CAPITULO 5. TRABAJO PRACTICO NO 5: CONTINUIDAD

    Example 106 Sea f(x) = |x|, la funcion valor absoluto, f(x) es continua en x = 0. En efecto:

    i) f(0) = 0

    ii) lmx0 f(x) existe y es cero puesto que lmx0+ f(x) = lmx0 f(x) = 0

    iii) Entonces lmx0 f(x) = f(0) = 0

    Definition 107 Se dice que una funcion es continua en un conjunto (por ejemplo el intervalo[a, b]) si es continua en cada uno de los puntos de ese conjunto. Si f es continua en todos los puntosde su dominio, se dice simplemente que f es continua.

    Example 108 Sea

    f(x) ={x2 si x 6= 210 si x = 2

    pretendemos estudiar la continuidad en el punto x = 2.La funcion no es continua en dicho punto puesto que lmx2 f(x) = 4 6= 10 = f(2). Es decir, no

    se cumple la propiedad iii).

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

    5

    10

    15

    20

    25

    x

    y

    Example 109 Sea

    f(x) ={

    sin 1x

    si x 6= 01 si x = 0

    -3 -2 -1 1 2 3

    -1.0

    -0.5

    0.5

    1.0

    x

    y

    Graficamente vemos que la funcion sin 1x

    cuando x 0 toma valores que oscilan entre 1 y 1 yno tiende a ningun valor fijo, entonces no existe el lmx0 f(x), por lo tanto la funcion no es continuaen dicho punto.

  • 5.1. TIPOS DE DISCONTINUIDAD 45

    5.1. Tipos de discontinuidad

    Cuando una funcion no es continua en un punto se dice discontinua en ese punto, pero lasdiscontinuidades que se presentan pueden ser diferentes.

    Entonces se puede realizar una clasificacion de las discontinuidades:

    * Una discontinuidad de la funcion f en el punto x0 es evitable si ocurre lo siguiente:

    Existe el lmite de la funcion en el punto x0, pero o no existe f(x0) o f(x0) no coincide con el lmitede la funcion en ese punto. La palabra evitable se debe a que se puede redefinir la funcion f enx0, de la siguiente forma: f(x0) = lmxx0 f(x) entonces la nueva funcion sera continua. (VerEjemplo 105)

    * Se dice que la discontinuidad que presenta la funcion f en el punto x0 es de primera especie siexisten en x0 los lmites laterales, pero son distintos. Es decir,

    lmxx+0

    f(x) 6= lmxx0

    f(x)

    Este tipo de discontinuidad se dice finita si ambos lmites son finitos, e infinita si alguno deellos es infinito. La diferencia lmxx+0 f(x) lmxx0 f(x) se denomina salto de la funcion.

    * Se dice que la discontinuidad que presenta la funcion f en x0 es de segunda especie en cualquierotro caso. (Ver Ejemplo 109)

    Example 110 Sea f una funcion definida de R en R definida por:

    f(x) =

    {x2 3 si 1 < x < 1

    2x 4 si 1 x < 25 x2 si 2 x < 3

    -1 1 2 3

    -4

    -3

    -2

    -1

    1

    x

    y

    Queremos investigar la continuidad de f(x) en los puntos x = 1 y x = 2 tomando como dominiode f a Dom(f) = {x R : 1 < x < 3}.

    Tenemos f(1) = 2 y f(2) = 1 y ademaslmx1+

    f(x) = lmx1

    2x 4 = 2 = lmx1

    f(x) = lmx1

    x2 3

    de modo que f(x) resulta continua en x = 1.Por otra parte,

    lmx2+

    f(x) = lmx2

    5 x2 = 1 6= lmx2

    f(x) = lmx2

    2x 4 = 0los lmites laterales existen pero son distintos por lo tanto la funcion es discontinua en x = 2. Estadiscontinuidad es de primera especie y el salto de la funcion en ese punto esta dado por la diferencia

    lmx2+

    f(x) lmx2

    f(x) = 1 0 = 1

  • 46 CAPITULO 5. TRABAJO PRACTICO NO 5: CONTINUIDAD

    5.2. Algebra de funciones continuas

    Sea A R y f, g funciones definidas en A en R. Si f y g son continuas en el punto x0 entonces:

    i) f + g es continua en x0

    ii) f.g es continua en x0

    iii) fg

    es continua en x0, si g(x0) 6= 0

    Proposition 111 i) La funcion ln : R>0 R es continua.ii) Si a > 0 , la funcion exponencial de R R dada por f(x) = ax es continua.iii) La funcion polinomica es continua

    iv) La funcion racional es continua en todos los puntos donde el denominador es distinto de 0.

    Example 112 Estudiar la continuidad de la funcion f(x) = 3x12x+3

    , por ser una funcion racional

    vemos que la discontinuidad se presenta donde se anula el denominador, o sea en xo = 32 .

    5.3. Continuidad de la funcion compuesta

    Definition 113 Sean f y g funciones de R en R. Si f es una funcion continua en x0 y g una funcioncontinua en f(x0), entonces la funcion compuesta (g f) (x) = g (f (x)) es continua en x0

    Example 114 Sean f(x) = 1x

    cuyo Dom(f) = R {0} y g(x) = x 3 cuyo Dom(g) = R. Sepretende analizar la continuidad de (g f) (x) en x = 3.

    Entonces

    (g f) (x) = g (f (x)) = g(

    1

    x

    )=

    1

    x 3 = (g f) (3) = 8

    3

    Por otro lado,

    lmx3

    (g f) (x) = lmx3

    (1

    x 3)

    = 83

    Entonces (g f) (x) es continua en x = 3.

    Example 115 Analizar utilizando la definicion de continuidad de f(x) =x

    Primero vemos que f : R+ R+, utilizaremos la definicion formal de continuidad:lmxx0

    x =xo > 0 > 0 tal que si |x x0| < =

    xxo < xxo = (xxo) (x+xo)(x+xo) = |xxo||x+xo| < |xxo|xo < xo <

    debido a quex+xo >

    xo = 1x+xo < 1xo

  • 5.4. TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD DE FUNCIONES 47

    Example 116 Continuidad de funciones trigonometricas.Sea f(x) = sin x. Demostraremos usando la definicion que dicha funcion es continua x.Sea x0 R, dado > 0 existira > 0 tal que si |x x0| < debemos probar que |sinx sinx0| 0tal que c c2 = 2 = c = 2.

    Theorem 119 (Bolzano): Sea f una funcion continua definida en el intervalo cerrado [a, b], tal quef(a) y f(b) tienen signos opuestos entonces existe al menos un punto x0 interior al intervalo [a, b]tal que f(x0) = 0.

    Example 120 Demostrar que la ecuacion 4x3 6x2 + 3x 2 = 0 tiene una raz entre 1 y 2.Sea f(x) = 4x3 6x2 + 3x 2, continua por ser un polinomio en [1, 2] ,

    f(1) = 1 < 0f(2) = 12 > 0

    Por TB existe un numero x0 (1, 2) tal que f(x0) = 0. En otras palabras la ecuacion 4x36x2 +3x 2 = 0 tiene por lo menos una raz x0en(1, 2) .

  • 48 CAPITULO 5. TRABAJO PRACTICO NO 5: CONTINUIDAD

    Example 121 Probar que la funcion polinomica f(x) = x3 + 2x 1 tiene un cero en el intervalo[0, 1].

    f es una funcion continua en el intervalo [0, 1] por ser polinomica. Dado que f(0) = 1 y f(1) = 2por el teorema de Bolzano existe un punto perteneciente al intervalo [0, 1] tal que f(c) = 0.

    Theorem 122 Si f es una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f esta acotadaen dicho intervalo.

    Theorem 123 Si f es una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza endicho intervalo maximos y mnimos relativos.

    5.5. Ejercicios

    1. Analizar la continuidad de las funciones en x0 = 2, justificando la respuesta, en caso de serdiscontinua clasificar la discontinuidad.

    a)f(x) = 4x2 2x+ 12 h)f(t) = [t 12

    ]b)f(x) = 8

    x2 i)g (x) =x38x2

    c)f(x) = 3x2

    x24 j)h(x) ={

    x38x2 si x 6= 212 si x = 2

    d)f(x) =x 1 k)f(x) =

    {x+ 3 si x < 2x2 + 1 si x 2

    e)f(t) = [t] l)f(x) =x2x2

    2. Bosquejar la grafica de una funcion f que satisfaga las condiciones siguientes:

    a) Su dominio es [2, 2]; f(2) = f(1) = f(1) = f(2) = 1; es discontinua en 1 y 1.b) Su dominio es R{1; 4} ; lmx1 f(x) = @; lmx f(x) = ; lmx4+ f(x) = ;lmx4 f(x) = +; lmx+ f(x) = 3.c) Su dominio es R {3, 3} ; lmx3 f(x) = +; lmx3+ f(x) = ; lmx3+ f(x) =+; es discontinua en 0.d) Su dominio es R {2, 2} ; lmx3 f(x) = @; lmx f(x) = ; lmx4+ f(x) = ;lmx4 f(x) = +; lmx+ f(x) = 3

    3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en el x0 indicado:

    i) f(x) =

    {1

    x3 , si x 6= 36, si x = 3

    en x0 = 3 iv)f(x) =

    { 1, si x < 00, si x = 0x, si x > 0

    en x0 = 0

    ii) f(x) =

    {x21x1 , si x 6= 13, si x = 1

    en x0 = 1 v)f(x) =9.x243.x2 en x0 = 23

    iii) f(x) = 1x

    en x0 = 0 vi) f(x) =

    {5, si x = 3

    x24.x+3x3 , si x 6= 3 en x0 = 3

    4. Probar que las siguientes funciones son continuas mostrando que son composiciones de funcionescontinuas:

    a)f(x) =x2 + 3x4 + 1 b)f(x) = sin x

    2+3x1x2+1

    c)f(x) = 3x1x2+3

  • 5.5. EJERCICIOS 49

    5. Determinar cuales de las siguientes funciones son continuas. Para aquellas que son discontinuasencontrar los puntos de discontinuidad y clasificarlos:

    a)f(x) = x2 sinx b)f(x) = x3+3x+7x26x+8 c)f(x) =

    {x2 6x+ 1 si 1 < x 2

    2x+ 6 si 2 < x < 3x3 15 si 3 x 5

    6. Calculen el valor de a para que la siguiente funcion sea continua en 3.

    f(x) =

    {3.x39.x2+4.x12

    x22.x3 si x 6= 3a si x = 3

    7. En que puntos, si los hay, son discontinuas las funciones siguientes:

    a)f(x) ={

    0 si x Qx2 si x I b)f(x) =

    x1x1

    8. Seaf(x) =

    {x si x Qx si x / Q

    bosqueje la grafica de esta funcion y decida donde es continua.

    9. Encuentre los valores de a y b de modo que las siguientes funciones sean continuas:

    f(x) =

    {x+ 1 si x < 1

    ax+ b si 1 x < 23x si x 2

    f(x) =

    {x3 si x 1

    ax+ b si 1 < x < 11 x si x 1

    10. Demostrar utilizando la definicion formal de continuidad:

    a) si la funcion f(x) = cos x es continua x.b) si la funcion f(x) = x2 es continua x.

    11. Determinen si la siguiente funcion es continua. En los valores que sea discontinua clasificar ladiscontinuidad y redefinir la funcion en el caso de ser discontinua evitable.

    f(x) =

    {3.x2 + 2 si x 2

    (x1)(3.x8)x21 si 2 < x 5

    2.x 3 si x > 5

    12. Encuentren el valor de a y de b para que la siguiente funcion sea continua en todo su dominio.

    f(x) =

    {2.x+ 3 si x < 1

    a.x+ b si 1 x 52.x 5 si x > 5

    13. Hallar el valor de a para que la funcion sea continua en x = 3

    f(x) =

    {a si x = 3x3x3 si x 6= 3

    14. Use el Teorema del Valor Intermedio para mostrar que x3 + 3x 2 = 0 tiene una solucion realentre 0 y 1.

  • 50 CAPITULO 5. TRABAJO PRACTICO NO 5: CONTINUIDAD

    15. Sea f(x) = tanx, a pesar de que f(pi4) = 1 y f(3pi

    4) = 1 no existe ningun punto x tal que

    perteneciente a[pi4, 3pi

    4

    ]para el cual f(x) = 0. Por que no hay contradiccion con el Teorema

    de Bolzano?

    16. Demostrar que existe un numero x tal que verifica la identidad siguiente:

    x179 +163

    1 + x2 + sin2 x= 119

    17. Demostrar utilizando un teorema conocido que la ecuacion 1x

    = 3 2x, tiene una raz real .18. Sea la funcion f(x), cuyo dominio es Dom (f) = [a 1, a+ 1]

    f(x) ={

    x2 si x aa+ 2 si x > a

    Es f continua para cualquier valor de a?. Graficar la funcion.

    19. Utilice el Teorema del valor Intermedio para demostrar que la ecuacion x cosx = 0 tiene unasolucion entre x = 0 y x = pi

    2.

    Repaso de conceptosContestar si es V o F .La funcion f(x) = 1

    xtiene una discontinuidad en x = 0...........

    La funcion f(x) = 1x2+1

    tiene una discontinuidad en x = 0...........

    La funcion f(x) = 1x

    tiene una discontinuidad en x = 0, pero se puede redefinir para que seacontinua en ese punto...........

    La funcion f(x) = x24x2 tiene una discontinuidad en x = 2, pero se puede redefinir para que sea

    continua en ese punto. ........

    Ejercicios de repaso

    1. Haga el bosquejo de la grafica de una funcion que tenga dominio [0, 2] y sea continua en [0, 2) ,pero no en x = 2.

    2. Sea f(x) ={

    x2 si x es racionalx2 si x es irracional

    Dibuje la grafica de la funcion y diga donde es continua.

    3. Decir si los hay los puntos donde las siguientes funciones son discontinuas

    a) f(x) = |x3|x3 d) f(x) =

    x1x1

    b) f(x) =

    {x2 9 si x 3

    (3 x)2 si x > 3 e) f(x) ={ x si x < 0x2 si 0 x 12 x si x > 1

    c) f(x) = senx21x+1

    f) f(x) = [x+ 1/2]

    4. Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar que la ecuacion x5 4x3 3x+ 1 = 0tiene al menos una solucion entre x = 2 y x = 3.

    5. Sea

    f(x) =

    {x2+x2x+2

    si x < 2mx si x 2

    Calcular el valor de m para que la funcion sea continua en todo punto.

  • 5.5. EJERCICIOS 51

    6. Sea

    f(x) =

    {1/x si x < b

    1 14x si x b

    Encontrar el valor real de b para que la funcion sea continua en ese punto.

    7. Encontrar el valor de A y B para el cual la funcion es continua en x = 2

    f(x) =

    {Ax+ 3 si x 2x2x2x24 si x > 2

    8. Demostrar utilizando la definicion de continuidad si la funcion f(x) = sin (2x) es continua x.

  • 52 CAPITULO 5. TRABAJO PRACTICO NO 5: CONTINUIDAD

  • Captulo 6

    Trabajo Practico No 6: Derivada deFunciones

    Definition 124 Sea f una funcion definida sobre un intervalo abierto (a, b) y sea x0 (a, b). Decimosque la funcion f es derivable en x0 si existe:

    f (x0) = lmh0

    f(x0 + h) f (x0)h

    = lmxx0

    f(x) f (x0)x x0

    Si este lmite existe, se lo indica f (x0) y se lo llama derivada de f en x0. Si no existe dicho lmite,f no es derivable en x0.

    Interpretacion geometrica de la derivada: Si f es derivable en x0 la recta que pasa por elpunto P (x0, f(x0)) con pendiente m = f (x0) es la recta tangente a la grafica de f en el punto P .

    x

    y

    f(x)

    f(x+h)

    x x+h

    Definition 125 La ecuacion de la recta tangente a la representacion grafica de f en el puntode coordenadas (x0, f (x0)) es

    y = f (x0) (x x0) + f(x0)La recta normal en el punto (x0, f(x0)) es la recta perpendicular a la recta tangente por dichopunto.

    Example 126 Hallar la derivada de la funcion f(x) = x en el punto x0 ,utilizando la definicion.

    f (x0) = lmh0

    f(x0 + h) f (x0)h

    = lmh0

    x0 + h x0h

    = lmh0

    h

    h= 1

    53

  • 54 CAPITULO 6. TRABAJO PRACTICO NO 6: DERIVADA DE FUNCIONES

    Example 127 Hallar la derivada de la funcion f(x) =x en el punto x0

    f (x0) = lmh0

    x0 + hx0

    h

    = lmh0

    x0 + hx0

    h.

    x0 + h+

    x0

    x0 + h+x0

    = lmh0

    x0 + h x0h.(

    x0 + h+x0)

    = lmh0

    1(x0 + h+

    x0)

    f (x0) = 12x0

    Example 128 Encontrar la ecuacion de la recta tangente en el punto.x0 = 4.Por el ejempplo anterior

    f (x0) = 12x0

    f (4) = 14

    La ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto (4, f(4)) es:

    y 2 = 14

    (x 4) = y = 14x+ 1

    -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

    -1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    Example 129 Sea f(x) = x2 + 5x hallar f (x) usando la definicion.

    f (x) = lmh0

    (x+ h)2 + 5 (x+ h) x2 5xh

    = lmh0

    x2 + 2xh+ h2 + 5x+ 5h x2 5xh

    = lmh0

    h (2x+ h+ 5)

    h= lm

    h0(2x+ h+ 5)

    = 2x+ 5

  • 55

    Example 130 Investigar si la funcion f(x) es derivable en x0 = 0, siendo

    f(x) ={x2 sin 1

    xsi x 6= 0

    0 si x = 0

    Hacemos

    f (0) = lmx0

    f(x) f (0)x 0 = lmx0

    x2 sin 1x 0

    x

    = lmx0

    x sin1

    x= 0

    Si bien el lmx0 sin 1x no existe, el lmx0 x sin1xexiste y es 0. Por lo tanto f es derivable en x0 = 0

    y f (0) = 0.Example 131 Investigar si la funcion f(x) es derivable en x0 = 0, siendo

    f(x) ={x sin 1

    xsi x 6= 0

    0 si x = 0

    Hacemos

    f (x) = lmxx0

    f(x) f (x0)x x0 = lmx0

    x sin 1x 0

    x 0= lm

    x0sin

    1

    x

    el cual no existe. Por lo tanto f no es derivable en x0 = 0. Es f continua?

    Example 132 Sea f(x) = sinx hallar f (x) usando la definicion.

    f (x) = lmh0

    sin (x+ h) sinxh

    = lmh0

    1

    h2 cos

    (2x+ h

    2

    )sin

    (h

    2

    )= lm

    h0cos

    (2x+ h

    2

    )lmh0

    sin(h2

    )h2

    = cosx

    Proposition 133 Si una funcion es derivable en x0 entonces es continua en x0.

    La recproca no es cierta, por ejemplo consideremos f : R R, definida por f(x) = |x|. Es claroque lmxx0 f(x) = f (x0) , lmxx0 |x| = |x0| luego la funcion es continua x0.En particular parax0 = 0, pero demostraremos que no es derivable en 0. Es decir no existe f

    (x0)

    f (x) = lmxx0

    f(x) f (x0)x x0 = lmx0

    |x| |0|x 0{

    lmx0+|x|x

    = 1

    lmx0|x|x

    = 1 = el lmite no existe

    Esto nos muestra que la derivada de la funcion f(x) = |x| no existe en el punto x0 = 0.Graficamenteesta funcion presenta un punto anguloso en 0.

  • 56 CAPITULO 6. TRABAJO PRACTICO NO 6: DERIVADA DE FUNCIONES

    6.1. Reglas de Derivacion

    A continuacion se presentan las derivadas de algunas funciones:Funcion f(x) Funcion Derivada f (x)c 0 c es constante realx 1xa axa1 a Rsinx cosxcosx sinxshx chxchx shxex ex

    ax ax ln a a Rlnx 1

    x

    tanx 1cos2 x

    6.1.1. Algebras de derivadas

    Si f y g son derivables en x0 entonces:

    i) (f g) (x0) = f (x0) g (x0)ii) (c.f) (x0) = c.f (x0)iii) (f.g) (x0) = f (x0) .g (x0) + f (x0) g (x0) Derivada de un productoExample 134 Hallar la derivada de f(x) = 3x2.(x3 1)

    f (x) = 6x . (x3 1) + 3x2. 3x2

    iv)(fg

    ) (x0) = f (x0).g(x0)f(x0).g(x0)g2(x0) si g (x0) 6= 0 Derivada de un cociente

    Example 135 Hallar la derivada de f(x) = x2+4xx4+x

    f (x) = (2x+ 4) . (x4 + x) (x2 + 4x) . (4x3 + 1)

    (x4 + x)2

    Example 136 Hallar la derivada de f(x) = tan x = sinxcosx

    f (x) = cosx . cosx sinx. ( sinx)cos2 x

    =cos2 x+ sin2 x

    cos2 x=

    1

    cos2 x

    6.1.2. Regla de la Cadena

    Si g es derivable en x0 y f es derivable en g(x0) entonces (f g) es derivable en x0 y ademas:(f g) (x0) = f (g (x0)) .g (x0)

    Example 137 Hallar la derivada de f(x) = sin 3(2x+ 5)f (x) = 3 sin 2(2x+ 5) cos (2x+ 5) ,2

  • 6.2. EJERCICIOS 57

    Example 138 Hallar f (x) en cada caso usando reglas de derivacion.a) f(x) = (x2 + 8) sinx = f (x) = 2x sinx+ (x2 + 8) cosxb) f(x) = ln4 x = f (x) = 4 ln3 x. 1

    x

    c) f(x) = ln4 (cosx) = f (x) = 4 ln3 (cosx) . 1cosx

    . ( sinx)

    d) f(x) = (x3 + 2x)sinx

    . Procedemos de la siguiente manera; sea

    y =(x3 + 2x

    )sinxAplicamos logaritmo

    ln y = ln(x3 + 2x

    )sinxpor propiedad de logaritmo

    ln y = sinx ln(x3 + 2x

    )derivando a ambos lados de la igualdad

    1

    yy = cosx. ln (x3 + 2x)+ sinx. 1

    x3 + 2x.(3x2 + 2

    )despejando

    y = y.[cosx. ln

    (x3 + 2x

    )+ sinx.

    3x2 + 2

    x3 + 2x

    ]=(x3 + 2x

    )sinx [cosx. ln

    (x3 + 2x

    )+ sinx.

    3x2 + 2

    x3 + 2x

    ]

    6.2. Ejercicios

    1. Investigar si cada una de las siguientes funciones es derivable en los valores de de x0 que seindican

    a)f(x) = 2x4 + 3 en x0 = 3 c)f(x) =x2 9 en x0 = 5

    b)f(x) = |x 2| en x0 = 0 d)f(x) = 3x+ 2 en x0 = 0

    2. Hallar f (x) usando la definicion de derivada:a)f(x) = x2 3x+ 2b)f(x) = cos x

    c)f(x) =1

    x

    3. Analizar usando la definicion de derivada, si las siguientes funciones son derivables en los valoresque se indican.

    a) f (1) si f(x) = 2.x+ 3b) f (2) si f(x) = xc) f (2) si f(x) = |x 2|

  • 58 CAPITULO 6. TRABAJO PRACTICO NO 6: DERIVADA DE FUNCIONES

    4. Para las funciones del ejercicio anterior, hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal,en los casos que exista la derivada, en los puntos indicados.

    5. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a f(x) = x2 3x en los puntos de abscisa x = 1y x = 4.

    6. Dibuja la grafica de f(x) = 1x

    y dibuja tambien las rectas tangentes en los puntos x = 1 yx = 1. Como son? Compruebalo encontrando sus ecuaciones.

    7. Hallar f (x) utilizando las reglas de derivacion:a)f(x) = 3.x3 + 6.x2 2.x+ 1 i)f(x) = (x2 + 1)

    x

    cos 4x

    b)f(x) = x1x

    j)f(x) = ln (shx)3

    c)f(x) = x3

    (4x2)3 k)f(x) = 3sinx 5,2tanx

    d)f(x) =

    6.x2 3.x 2 l)f(x) = (sin3 x)lnxe)f(x) = (x2 + 1) . lnx m)f(x) = 2x

    x

    f)f(x) = tan x n)f(x) = (sin (ln 5x))cosx

    g)f(x) = ch5x o)f(x) = x sinx+3x2

    h)f(x) = ln2 (shx) p) f(x) = tan4( 5

    2x2)

    8. Hallar f (x),a)f(x) = 75x+lnx

    2+ sin3 (x2 + 1) d)f(x) = ln

    (1 + ex 1) ln (1 + ex + 1)

    b)f(x) = ln 2x1x2

    3x

    + 23x x2 1 e)f(x) = arcsin x21

    x2+ arc cosx

    1x2

    c)f(x) = sin3 (5x) cos2 x3

    f)f(x) = 34

    ln x2+1x21 +

    14

    ln x1x+1

    + 12

    arctanx

    9. Calcular la derivada primera y segunda de las siguientes funciones

    a)f(x) = (2x+ sinx)3

    b)g(x) = ex(x2 + 3x 1)

    c)h(x) = ln (sin (4x))

    d)i(x) =x2 + x

    lnx

    10. Hallar la derivada de f (x)

    a)f(x) = xx b)f(x) = (cos 3x)3x

    2+2x c)f(x) =

    (1

    x2

    )sinx11. Probar que cada funcion satisface la ecuacion indicada.

    a)y = 2 sin x+ 3 cosx y+ y = 0b)y =

    10 cosxx

    xy+ y = sinx

    12. Analizar en los siguientes casos la existencia de la derivada en x0 = 0.

    a)f(x) =x b)f(x) = 3

    x

  • 6.3. TEOREMAS DE APLICACION DE DERIVADAS 59

    6.3. Teoremas de aplicacion de derivadas

    6.3.1. Teorema del valor medio y Aplicaciones

    Theorem 139 (Fermat): Si f esta definida en el intervalo abierto (a, b), si x0 (a, b) y es unmaximo o un mnimo de f y si f es derivable en x0, entonces

    f (x0) = 0Example 140 Sea la funcion f(x) = x2 + 6x 5 en (1, 7). Vemos que tiene un maximo en elpunto (3, 4). En dicho punto

    f (x) = 2x+ 6f (3) = 0

    -1 1 2 3 4 5 6 7 8

    -4

    -2

    2

    4

    6

    x

    y

    Theorem 141 (Rolle) Si f es:

    i) Continua en [a, b]

    ii) Derivable en (a, b)

    iii) f(a) = f(b)

    Entonces existe al menos un punto c, a < c < b, tal que f (c) = 0.Example 142 Las condiciones iniciales en el Teorema de Rolle son esenciales. Bosquejar las fun-ciones y senalar cual de las condiciones mencionadas no se cumple en los ejemplos siguientes:

    a) f(x) ={x si x [0, 1)

    0 si x = 1 Esta funcion satisface las condiciones ii) y iii) pero no satisface la

    condicion i) pues no es continua en x = 1 y por tanto no es continua en [0, 1].

    b) f(x) = |x| con x [1, 1]. Satisface las condiciones i) y iii) pero no es derivable en x = 0, luegono se cumple la condicion ii).

    c) f(x) = x con x [0, 1]. La condicion que no se cumple es la iii).Para estas funciones no existe un punto entre a y b tal que la derivada en ese punto valga 0.

    Example 143 Sea la funcion f(x) = 12x2 + 2x en el intervalo [5, 1].

    Es continua en [5, 1] por ser una funcion polinomica. Es derivable en (5, 1) por ser una funcionpolinomica. Ademas verifica que f (5) = f(1) = 5

    2. Entonces existe c (5, 1) tal que f (c) = 0.

    Dicho valor es c = 2.

  • 60 CAPITULO 6. TRABAJO PRACTICO NO 6: DERIVADA DE FUNCIONES

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

    5

    10

    15

    20

    x

    y

    Theorem 144 (Lagrange). Si la funcion f es:

    i) Continua en [a, b]

    ii) Derivable en (a, b)

    Entonces existe al menos un punto c, a < c < b, tal que

    f (c) = f (b) f (a)b a

    Example 145 Sea f(x) = 5 4x, hallar los valores de c en el intervalo (1, 4) tales que f (c) =

    f(4)f(1)41 . Sabemos que la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (1, f (1)) y (4, f (4))

    es f(4)f(1)41 =

    4141 = 1. Como f satisface las condiciones del teorema de Lagrange existe al menos un

    c (1, 4) para el cual f (c) = 1. Resolviendo la ecuacion f(x) = 1 obtenemos f (x) = 4x2

    = 1 lo cual

    implica que x = 2. Por lo tanto en el intervalo (1, 4) concluimos que c = 2. 5 4x

    -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

    -5

    5

    10

    x

    y

    Theorem 146 (Cauchy). Sean las funciones f y g

    i) Continuas en [a, b]

    ii) Derivables en (a, b)

    iii) g (x) 6= 0 en todos los puntos de (a, b)Entonces existe un punto c, a < c < b, tal que

    f (c)g (c) =

    f (b) f (a)g (b) g (a)

  • 6.4. EJERCICIOS 61

    6.3.2. Teorema de la Derivada de la funcion inversaSea f una funcion continua y estrictamente creciente o estrictamente decreciente en [a, b] con lo

    cual existe la funcion inversa definida por:

    f1 : [f(a), f(b)] [a, b] si f es estrictamente crecientef1 : [f(b), f(a)] [a, b] si f es estrictamente decreciente

    Si c (a, b), f es derivable en c y f (c) 6= 0 entonces f1 es derivable en f(c) y(f1) (f (c)) = 1

    f (c)Example 147 Hallar la derivada de la funcion f1(x) = arcsin x : [1, 1] [pi

    2, pi

    2

    ]. Notemos que

    y = arcsinx = x = sin y (6.1)Ademas la funcion seno es estrictamente creciente y derivable en

    [pi2, pi

    2

    ]. Por otra parte sabemos

    que (sinx) = cosx. Por lo tanto, usando la igualdad(f1) (x) = 1

    f (f1 (x))tenemos

    (arcsinx) = 1cos (arcsinx)

    Pero usando la igualdad (6.1) tenemos

    cos y =

    1 sin2 y

    =

    1 x2En definitiva;

    (arcsinx) = 1cos (arcsinx)

    =1

    cos y

    =1

    1 x2 con x (1, 1)

    6.4. Ejercicios

    1. Compruebe si se cumplen las condiciones del Teorema de Rolle para las siguientes funciones,en caso afirmativo hallar los valores de c que verifican la conclusion del teorema.

    a)f(x) = x x3 en [1, 0] d)f(x) = 4x2 9x en [0, 32

    ]b)f(x) = x x3 en [0, 1] e)f(x) = x 43 3x 13 en [0, 3]

    c)f(x) = 4x2 9x en [32, 0]

    2. Considere la grafica de la funcion f(x) = 13x2 2

    5x + 3

    4. Probar que la recta que pasa por los

    puntos(1

    9, f(1

    9

    ))y(

    53, f(

    53

    ))es paralela a la tangente que pasa por

    (79, f(

    79

    )).