G5 SD-11-yayili kuvvetler - Omurtag...olarak, şiddetli esen rüzgâr etkisindeki bir yüksek yapı ya da akışkan basıncı altındaki bir su tankı ya da bir baraj kapağı gösterilebilir.

11.1 Tanım 343

11.2 Akışkanların Statiği (Hidrostatik) 343

Örnekler 348

11.3 Kaldırma Kuvveti 352

Örnek 354

11.4 Eylemsizlik Momenti 355

11.5 Eylemsizlik Yarıçapı 356

11.6 Eksen Takımının Değiştirilmesi 357

11.7 Asal Eylemsizlik Momentleri 359 Örnekler 359

PROBLEMLER 363

Fransız matematikçi katı cisimlerde ısı iletiminin bugün Fourier serileri olarak bilinen sonsuz serilerle çözülmesi yöntemini geliştirmiştir. Bunlar daha sonra akustik, optik, elektromagnetizma, elektrikli iletim, istatistiksel analiz, her çeşit titreşim problemi gibi fiziğin hemen her alanında yaygın olarak kullanılmıştır. Güneş lekeleri, gelgit ve hava koşulları gibi pek çok doğa olayını sınır değeri problemlerine indirgeyerek çözmüş ve bu yolla fiziksel matematiğe çok değerli katkılarda bulunmuştur. Fourier integrali olarak bilinen integrali de buldu. Mısır uzmanı olarak ta önemli çalışmaları olmuş ve eski mısır kültürü üstüne yoğun araştırmalarda bulunmuştur.

Joseph FOURIER (1768-1830)

11.1 TANIM

Gerçek anlamda tek bir noktaya etkiyen bir tekil kuvveti pratikte bulmak çok zor olduğundan genel yükleme durumu yayılı kuvvet biçimindedir. Bileşke kuvvetin hesabı da, yayılı yükün etkidiği alan üzerindeki dağılı-mına bağlıdır. Bunlara örnek olarak cismin ağırlığı ya da akışkanın temas içinde olduğu bir cisme uyguladığı etkileşim kuvveti gösterilebilir. Tabii şimdi akla ilk gelecek soru “Akışkan ile cisim arasındaki bu yayılı kuvvet cisme nasıl ve ne şekilde etkir?” olmalıdır. Akışkan, temas ettiği cismin yüzeyine dik olacak biçimde yayılı kuvvet uygular. Aşağıda bu ve benze-ri sorulara gerekli yanıtlar verilecek. Yalnız önce yayılı kuvvetlerin hesa-bında çok önemli bir kavram olan gerilmeyi açıklığa kavuşturalım.

Gerilme: Yayılı kuvvetin birim alandaki şiddetine verilen addır. Eğer gerilme, üzerine etkidiği yüzeye (alana) doğru yönelmişse buna basınç gerilmesi denir ve birimi de [kuvvet/Alan] dır. O nedenle belli bir alan-daki gerilmelerin toplamları da o alan üstünde bir basınç kuvveti üretir.

11.2 AKIŞKANLARIN STATİĞİ (HİDROSTATİK)

Bir yüzey üzerindeki yayılı kuvvet etkisi, cismin kendi ağırlığı nedeniyle meydana gelebileceği gibi, çeşitli dış etkilerle de oluşabilir. Buna örnek olarak, şiddetli esen rüzgâr etkisindeki bir yüksek yapı ya da akışkan basıncı altındaki bir su tankı ya da bir baraj kapağı gösterilebilir. Kitapta incelenecek olan konu hidrostatik, yani sıkıştırılamayan sıvıların statiği-dir. Sıvı ya da gaz halinde bir sürekli ortam oluşturan akışkan statik halde etkileşim içinde olduğu cismin yüzeyine, ona dik olacak biçimde bir basınç kuvveti uygular. Hareketsiz duran akışkanda, basınç, düşey doğ-rultuda ölçülen akışkan yüksekliğinin bir fonksiyonudur.

344 STATİK

YATAY YÜZEYDE BASINÇ: Şekil (11.1) deki akışkan ortamında sonsuz küçük diferansiyel hacim elemanı d d dV z A= yı inceleyelim. Sütun ele-manının üst yüzeyi dA ya etkiyen basınç kuvvetine d ( )zP dersek, tanım

gereği basınç gerilmesi,

d ( )

( )d

zz

A=

Pp (11.1)

biçiminde hesaplanır. Bu yüzeyden dz kadar aşağıdaki dA yüzeyindeki basınç ise,

d+p p (11.2)

olur. (11.2) deki d dp=p k , derinlikteki dz kadarlık artıştan doğan akış-

kan basıncındaki değişimdir. Yer çekimi ivmesi g ve akışkanda yoğunluk ise, özgül ağırlık g = olacağından, Şekil (11.2) deki diferansiyel

hacim elemanının ağırlığı,

( ) ( )d d d dg V g z A = =W k k (11.3)

olur. Şekil (11.1) deki akışkan ortamından çıkartılan diferansiyel hacim elemanı Şekil (11.2) de görüldüğü gibi çizilip, düşey denge denklemi yazılırsa,

( )d d d dA A+ - + =p W p p 0 d d dA=p W (11.4)

bulunur ve (11.4) de (11.3) yerleştirildikten sonra, ifade integre edilirse,

( )0 0

d dp z

p

p g z=ò ò ( )0p p g z= + (11.5)

sonucuna ulaşılır. (11.5) de 0p sıvı yüzeyindeki atmosferik basınç olup,

p ye de mutlak basınç denir. Görüldüğü gibi basınçtaki değişim, yüksek-

liğin doğrusal bir fonksiyonudur. Eğer atmosferik basınç göz önüne alın-madan hesap yapılırsa, o zaman (11.5) den akışkan basıncı,

► ( )p g z= (11.6)

olur. (11.6) daki p ye bağıl basınç denir ve bu bölümde tüm hesaplar

hep bağıl basınca göre yapılacak. Basınç, birim alana etkiyen kuvvettir ve SI birim sisteminde birimi kuvvet/Alan olur. Eğer kuvvet birimi Newton

[N] , uzunluk birimi metre [m] seçilirse, o zaman basınç birimi 2[N/m ]

ya da kısaca Pascal [Pa] olur.

352 STATİK

elde edilir. P kuvvetinin etki noktası,

dy P y P= ò

( )5

2 320 453

0

337 5 3 dy y y y y= + -ò 2.14my =

bulunur. Düşey doğrultuda 0.8y = ilişkisinden 1.71m = olur.

11.3 KALDIRMA KUVVETİ

Akışkan, içindeki cisme her zaman bir kaldırma kuvveti uygular. Aşağıda açıklanacak olan bu kuramın tarihçesi Arkhimedes (MÖ 280211) e kadar uzanır. Şimdi Şekil (11.7a) daki akışkan ortamında V hacminde bir kapalı bölge seçelim. Sonra bu bölgeyi Şekil (11.7b) de görüldüğü gibi akışkan içinden dışarıya çıkartalım, ama bölge çevresindeki akışkanda dengeyi korumak için parçadan akışkana gelecek etkileri akışkan yüze-yine yayılı f basıncıyla gözetelim. Böylece dışarıya çıkartılmış olan akış-kan parçasında denge Şekil (11.7c) de görüldüğü gibi olur. Akışkanın yoğunluğu ise, dışarıya çıkartılmış akışkan parçasının ağırlığı ile üzeri-ne etkiyen bileşke kuvvet, sırasıyla,

( )a g V

üï=- ïýï=- ïþ

W k

F f (11.18)

dir. Böylece, denge koşulu gereği,

a+ =F W 0 ( )g V=F k (11.19)

bulunur. Şimdi Şekil (11.7d) de görüldüğü gibi dışarı çıkartılan akışkan parçasının yerine eş boyutlarda ve W ağırlığında bir başka cisim yerleş-tirelim. Bu durumda cisme etkiyen bileşke kuvvet F ile, akışkan parçası-na etkiyen gV=F k özdeş olarak aynıdır. Şu halde (11.19) e göre; kal-

dırma kuvveti, cisme akışkan kaynaklı etkiyen bir bileşke kuvvet olup, şid-deti cisimle yer değiştirilecek akışkanın ağırlığına eşit ve zıt yöndedir.

O halde artık incelenmesi gereken problem kaldırma kuvvetiyle W ağırlığı arasındaki denge ilişkisinin nasıl oluşacağıdır. Bu kuvvet, akışkan içindeki cisimle yer değiştirilen akışkanın ağırlık merkezinden geçer ve yoğunluğu sabit olan sıvılarda yer değiştiren sıvının ağırlık merkezi ile yer değiştiren hacmin ağırlık merkezi çakışır. Eğer sıvı içindeki cismin yoğunluğu, akışkanın yoğunluğundan daha azsa, düşeyde dengelenmemiş bir kuvvetle karşılaşılır,

358 STATİK

yazılır. Yalnız kesitin ağırlık merkezindeki ),( yx takımında eksenlere

göre alan statik momentleri d 0y AS x A= =ò ve d 0x A

S y A= =ò oldu-

ğundan, yukarıdaki bağıntılardan,

2

2

x

y

xy

I I b A

I I a A

I I abA

üï= + ïïïï= + ýïïï= + ïïþ

(11.30)

bulunur. (11.30) aynı zamanda Steiner bağıntıları olarak da bilinirler. Yalnız bir kere daha hatırlatalım ki, (11.30) de kullanılan paralel eksen takımlarından bir tanesi geometrinin ağırlık merkezinden geçmektedir. Bazı durumlarda bu iki eksenden hiç biri ağırlık merkezine yerleştiril-memiş olabilir (Bakınız Şekil 11.19). Bu durumda (11.30) yardımıyla,

1

2

21

22

x

x

I I b A

I I b A

üï= + ïïýï= + ïïþ (11.31)

yazılır. Bunların farkından,

( )1 2

2 21 2I I b b A = + - (11.32)

bulunur. (11.32) un elde edilişinde kullanılan düşünceden yararlanılarak diğer eksen için,

( )1 2

2 21 2I I a a A = + - (11.33)

yazılır. 1 2a a> olduğuna göre, (11.31) den 1 2

I I > olacağı hemen

görülür. Buna göre, birbirlerine paralel eksenlere göre hesaplanan eylemsizlik momentleri içinde en küçük olanı, ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre hesaplanandır.

EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ: Şekil (11.20) de görüldüğü gibi, birbir-leriyle gibi bir açı yapan ki ),( yx ve ),( dik eksen takımlarının

koordinatları arasında dönüşüm bağıntıları,

cos sin

sin cos

x y

x y

ü= + ïïýï=- + ïþ (11.34)

dır. (11.34) den yararlanılarak ),( takımında eylemsizlik momentleri

hesaplanırsa,