Top Banner
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy
47

Fungsi Variabel Kompleks

Jun 25, 2015

Download

Documents

Rahma Ama
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS

Oleh:

Endang Dedy

Page 2: Fungsi Variabel Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks (1)

• Diskusikan!

Perhatikan definisi berikut: ”Bilangan kompleks

z adalah suatu bilangan yang didefinisikan

dengan z=x+iy, dan ”.Coba anda

analisis definisi tersebut,apa yang dapat anda

katakan? Jelaskan yang mendasari jawaban

anda!

Ryx, 1i

Page 3: Fungsi Variabel Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks (2)

DEFINISI:

Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua

bilangan real x dan y yang dinyatakan dengan

lambang z=(x,y). Himpunan bilangan kompleks

didefinisikan sebagai

a. Pada bilangan kompleks z=(x,y), x=Re(z) dan

y=Im(z)

b. Bilangan kompleks z disebut bilangan imajiner

murni, bila Re(z)=0

c. jika Re(z)=0 dan Im(z)=1, maka z disebut satuan

imajiner yang dilambangkan dengan i=(1,0).

RC yx,:y)(x,z:z

Page 4: Fungsi Variabel Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks (3)

DEFINISI:Diberikan bilangan kompleks zn=(xn,yn), n=1,2. Operasi pada himpunan bilangan kompleks didefinisikan dengan

(a) z1 = z2 jika dan hanya jika x1 = x2 dan y1 = y2

(b) z1 + z2 = (x1+x2,y1+y2)

(c) z1 - z2 = z1+(-z2)=(x1-x2,y1-y2)

(d) kz1 = (kx1,ky1), k konstanta real

(e) z1z2 = (x1x2 – y1y2,x1y2+x2y1)

Page 5: Fungsi Variabel Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks (4)

Coba Anda buktikan teorema berikut: ”Sistem

bilangan kompleks (C,+,.) merupakan suatu

lapangan (field).

Sebelum membicarakan bahwa sistem

bilangan kompleks merupakan perluasan dari

sistem bilangan real, coba buktikan terlebih

dahulu teorema berikut: “Diberikan himpunan

Jika suatu fungsi yang didefinisikan

dengan f(x,y)=(x,0), maka f fungsi bijektif.

.x (x,0),z:z RCC0

0CR:f

Page 6: Fungsi Variabel Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks (6)

Berdasarkan kesimpulan di atas, coba Anda

tuliskan definisi operasi pada himpunan

bilangan kompleks C.

DEFINISI(Operasi Konjuget):

Diberikan bilangan kompleks .

Bilangan kompleks sekawan (konjuget) dari z

didefinisikan dengan .

Ryxiyxz ,;

iyxz

Page 7: Fungsi Variabel Kompleks

Sistem Bilangan Kompleks (7)

Coba anda buktikan teorema berikut:

Diberikan ., 21 Czz Operasi konjuget pada sistem bilangan

kompleks adalah

(a) ____________

zzzz 2121 (e) zz

(b) 2121 zzzz (f) 22

)zIm()zRe(zz_

(c) ________

zzzz 2121 (g) )zRe(zz_

2

(d) 022121 z,z/zz/z___________

(h) )zIm(izz_

2

Page 8: Fungsi Variabel Kompleks

Geometri bilangan kompleks (2)

Y Sumbu imajiner

. (x,y)=x+iy=z

z

arg z X

arg z Sumbu real

Page 9: Fungsi Variabel Kompleks

Geometri bilangan kompleks (3)

Segmen oz menyatakan bilangan kompleks

z=x+iy

Panjang segmen oz menyatakan modulus dari z

dan dilambangkan dengan , dan

Untuk sebarang nilai utama argumen z

didefinisikan sebagai nilai tunggal argumen z

yang memenuhi hubungan

Nilai tunggal argumen z tersebut dilambangkan

dengan Arg z.

z 22 yxz

zargz,oz(__

argumen positif) realsumbu

Page 10: Fungsi Variabel Kompleks

Geometri bilangan kompleks (4)

Buktikan sifat-sifat modulus dari suatu bilangan

kompleks berikut ini.

Jika Cw,z , maka berlaku

)( )(

)()(

)()(

0,)()(

_22

_

wzwzhwzzwd

wzwzgzzzzc

wzwzfzwwzb

ww

z

w

zezzza

Page 11: Fungsi Variabel Kompleks

Akar Bilangan Kompleks (1)

Coba Anda buktika teorea De Moivre :” Jika

maka

untuk setiap .

DEFINISI (Akar):

Diberikan . Akar pangkat n dari w ditulis

didefinisikan sebagai bilangan kompleks z

sehingga berlaku

sincosz dengan irz C

ninrn sincosz nZn

Cw,z

nw

1

.n,n,wzn 2dan N

Page 12: Fungsi Variabel Kompleks

Akar Bilangan Kompleks (2)

a. Hitunglah i1/3

b. Berdasarkan penyelesaikan yang anda

kerjakan, simpulkan bagimana cara

menyelesaikan akar bilangan kompleks.

Nyatakan kesimpulan tersebut dalam bentuk

teorema, kemudian buktikan !

Page 13: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI KOMPLEKS [1]

DEFINISI (Fungsi bernilai tunggal):

Diberikan himpunan Fungsi kompleks

bernilai tunggal adalah suatu aturan yang

memasangkan setiap z A dengan tepat satu w B

yang dinotasikan dengan w = f(z).

Berdasarkan definisi diatas, tuliskan domain dan range

fungsi f, kemudian berikan contoh fungsi bernilai

tunggal.

Sekarang bandingkan apakah definisi berikut

bertentangan dengan definisi fungsi bernilai tunggal?

Berika penjelasan secukupnya.

Bdan .A CC

BA:f

Page 14: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI KOMPLEKS [2]

DEFINISI ( Fungsi Bernilai Banyak ):

Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi

kompleks bernilai banyak f:A B adalah suatu

aturan yang memasangkan setiap z A dengan

paling sedikit satu w B dan terdapat z A yang

dipasangkan dengan paling sedikit dua w B.

Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi f dan g

didefinisikan dengan w = f(z),z A dan s=g(z), z B.

Tulisakan operasi dari fungsi f dan g padaD=A B.

Page 15: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI KOMPLEKS [3]

Diberikan f : Df Rf dan g : Dg Rg adalah fungsi

kompleks. Tuliskan definisi fungsi komposisi dari f

dan g. Kemudian definisikan domain dan range

fungsi komposisi g o f.

Diskusikan!

Diberikan fungsi f(z) = 3z+i dan g(z) = z2+z+1–i

a. Tentukan (f + g)(z)

b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan

tuliskan aturan fungsinya.

Page 16: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI KOMPLEKS [4]

Diberikan A C dan B C. Fungsi f dan g didefinisikan dengan w = f(z) , z A dan s=g(z) , z B. Tuliskan Operasi dari fungsi f dan g pada D = A B

Diberikan f : Df Rf dan g : Dg Rg adalah fungsi kompleks. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar fungsi komposisi f dan g terdefinisi. Kemudian tuliskan persamaan fungsi komposisi f dan g, domain dan range gof

Diskuskan!

Diberikan fungsi f(z) = 3z+i dan g(z) = z2+z+1–i

a. Tentukan ( f + g ) (z)

b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan

tuliskan aturan fungsinya.

Page 17: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI EKSPONEN

Fungsi yang berbentuk disebut fungsi

eksponen.

DEFINISI:

Untuk bilangan kompleks z = x + iy didefinisikan

ez = ex(cos y + i sin y).

Gunakan definisi di atas untuk membuktikan teorema

berikut: Jika z,w C, maka

Cz,e)z(f z

(a) ez 0 (d)

zz ee

(b) ez+w

=ez.e

w (e)

w

zwz

e

ee

(c) izz ee 2 (f) Jika z=x+iy , maka xz ee dan Arg(ez)=y

Page 18: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI TRIGONOMETRI [1]

DEFINISI: Untuk bilangan kompleks z didefinisikan

2

2

i

eezsin)b(

eezcos)a(

iziz

iziz

cos

sintan)(

z

zzc

zzf

zze

z

zzd

sin

1csc)(

cos

1sec)(

sin

coscot)(

Page 19: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI TRIGONOMETRI [2]

Berdasarkan definisi di atas buktikan Teorema berikut:

Jika z,w C, maka berlaku

1cossin)(

cos)cos()(

sin)sin()(

, jika hanyadan jika 0cos)(

, jika hanyadan jika 0sin)(

22

2

zze

zzd

zzc

kkzzb

kkzza

Z

Z

Page 20: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI TRIGONOMETRI [3]

iyxzyxzk

iyxzyxzj

iyxzyxiyxzi

iyxzyxiyxzh

wzwzwzg

wzwzwzf

,sinhcoscos )(

,sinhsinsin )(

,sinhsincoshcoscos )(

,sinhcoscoshsinsin)(

sinsincoscos)cos( )(

sincoscossin)sin( )(

222

222

Page 21: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI HIPERBOLIK [1]

DEFINISI :

Untuk variabel kompleks z didefinisikan fungsi

hiperbolik

zcosh

zsinhztanh)c(

eezcosh)b(

eezsinh)a(

zz

zz

2

1

2

1

Page 22: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI HIPERBOLIK [2]

DEFINISI :

Untuk variabel kompleks z didefinisikan fungsi

hiperbolik

zzcshf

zze

z

zzd

sinh

1)(

cosh

1sec)(

sinh

coshcoth)(

Page 23: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI HIPERBOLIK [3]

Berdasarkan definisi di atas, buktikan Teorema berikut:

Jika z,w C, maka berlaku sifat-sifat

zzf

zze

zzd

zhzc

zhzb

zza

tanh)tanh( )(

cosh)cosh()(

sinh)sinh( )(

csc1coth)(

sectanh1)(

1sinhcosh)(

22

22

22

Page 24: Fungsi Variabel Kompleks

FUNGSI HIPERBOLIK [4]

wzwzwzh

wzwzwzg

sinhsinhcoshcosh)cosh( )(

sinhcoshcoshsinh)sinh( )(

iyxz,ysinxsinhiycosxcoshzcosh)j(

iyxz,ysinxcoshiycosxsinhzsinh)i(

iyxz,ysinxcoshzcosh)l(

iyxz,ysinxsinhzsinh)k(

222

222

Page 25: Fungsi Variabel Kompleks

Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [1]

DEFINISI :

Diberikan zo C, r R,dengan r>0.

(a) N(zo,r)={z C: z – zo < r} disebut lingkungan r

dari zo

(b) N*(zo,r)={z C:0< z – zo < r} disebut lingkungan

r dari zo tanpa zo

Page 26: Fungsi Variabel Kompleks

Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [2]

DEFINISI :

Diberikan himpunan A C.

a. Titik p C disebut titik dalam himpunan A, jika

terdapat bilangan r>0, sehingga berlaku N(p,r) A .

b. Himpunan titik dalam A didefinisikan dengan

A0 = {p C: p titik dalam himpunan A}.

c. Titik p C disebut titik luar himpunan A, jika terdapat

bilangan r>0, sehingga berlaku N(p,r) AC .

d. A disebut himpunan terbuka jika berlaku A0=A, yaitu

setiap z A merupakan titik dalam himpunan A .

Page 27: Fungsi Variabel Kompleks

Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [3]

DEFINISI :

Diberikan himpunan A C.

a. Titik p C disebut titik limit himpunan A, jika untuk

setiap bilangan r>0 berlaku N(p,r) A – {p} .

b. Himpunan titik limit A didefinisikan dengan

A’ = { p C: p titik limit himpunan A }

c. A disebut himpunan tertutup, jika berlaku A’ A.

d. Titik p C disebut titik terasing (terpencil) himpunan

A, jika dan p bukan titik limit A, yaitu terdapat

bilangan r>0 sehingga berlaku N(p,r) A= .

Page 28: Fungsi Variabel Kompleks

Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [4]

DEFINISI:

Diberikan himpunan A C.

a. Titik p C disebut titik batas himpunan A, jika untuk setiap bilangan r>0 berlaku N(p,r) A dan N(p,r) Ac .

b. Himpunan titik batas A didefinisikan dengan (A) = {p: p titik batas himpunan A}

c. Interior himpunan A didefinisikan dengan Int(A) = {z: z titik dalam A}

d. Eksterior himpunan A didefinisikan dengan Eks(A) ={z: z titik luar A}

e. Penutup himpunan A didefinisikan dengan )A(AAAA

Page 29: Fungsi Variabel Kompleks

Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [5]

Definisi :

Diberikan himpunan A C

a. Himpunan A dikatakan terhubung (connected), jika setiap z1,z2 A dapat dihubungkan oleh suatu lengkungan kontinu C yang seluruhnya terkandung di A

b. Himpunan A dikatakan daerah (domain) di C, jika A adalah suatu himpunan terbuka dan terhubung di C. Region adalah suatu daerah dengan atau tanpa titik batasnya.

Catatan:

Daerah seringkali disebut region terbuka sedangkan suatu daerah beserta titik batasnya disebut region tertutup.

Page 30: Fungsi Variabel Kompleks

Limit Fungsi Kompleks [1]

DEFINISI :

Diberikan suatu fungsi f yang terdefinisi pada daerah D C dan z0 D’.

a. jika dan hanya jika untuk setiap bilangan >0 terdapat bilangan >0 sehingga jika 0< z-zo < , z D berlaku f(z)-L <

b. jika dan hanya jika untuk setiap lingkungan N(L, ) terdapat lingkungan terhapuskan N*(z0, ) sehingga jika z N*(z0, ) D berlaku f(z) N(L, ).

L)z(flimzz 0

L)z(flimzz 0

Page 31: Fungsi Variabel Kompleks

Limit Fungsi Kompleks [2]

Buktikan bahwa:

a. b.

TEOREMA :

Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada daerah D C dengan zo D’ dan L,M C.

a. jika dan , maka L = M

b. jika dan hanya jika terdapat bilangan

k>0 dan bilangan >0 sehingga berlaku

221

iizlimz

i)iyx(limiz

42 2

2

L)z(flimozz

M)z(flimozz

L)z(flimozz

D),z(Nziapuntuk setk)z(f o

*

Page 32: Fungsi Variabel Kompleks

Limit Fungsi Kompleks [3]

TEOREMA:

Diberikan fungsi kompleks f dan g yang terdefinisi pada daerah D=Df Dg C dengan zo D’. Jika

maka

a.

b.

c.

d.

,)(lim )(lim00

MzgdanLzfzzzz

MLzgzfzz

)]()([lim0

CkkLzkfzz

,)(lim0

LMzgzfzz

)]().([lim0

0M , )(

)(lim

0 M

L

zg

zf

zz

Page 33: Fungsi Variabel Kompleks

Limit Fungsi Kompleks [4]

TEOREMA :

1. Diberikan fungsi kompleks f yang terdefinisi pada

daerah D C dengan zo D’.

a.

b.

2. Diberikan fungsi f, g, dan h didefinisikan pada

daerah D=Df Dg C dan zo D’. Jika

untuk setiap z N*(zo, ) D, dan

, maka

LzfmakaLLzfjikaz

)( lim 0,)(lim o0 zzz

0 lim 0lim00 zzz

)z(fjikahanyadanjika)z(fz

)z(h)z(g)z(f

L)z(flimzz 0

L)z(hlimzz 0

L)z(glimzz 0

Page 34: Fungsi Variabel Kompleks

Limit Fungsi Kompleks [5]

TEOREMA :

1. Diberikan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) terdefinisi pada daerah

D C dan zo=a+ib D’.

jika dan hanya jika

dan

2. Diberikan f(z)=u(x,y)+iv(x,y) terdefinisi pada

daerah D C dan zo=a+ib D’.

Jika selalu ada dengan

nilai L untuk sepanjang kurva S D dan zo

suatu titik limit S.

iBAzfzz

)(lim0

Ayxubayx

),(lim ),(),(

Byxvbayx

),(lim ),(),(

)z(flimmaka,L)z(flimzzzz 00

ozz

Page 35: Fungsi Variabel Kompleks

Limit Fungsi Kompleks [6]

Diskusikan !

1. Diketahui f(z)=1

2 2

22 y

ix

yx

xy. Selidiki apakah )z(flim

z 0 ada.

2. Buktikan bahwa 02242

22

0)

yx

xyi

yx

yx(lim

z

Selidikilah apakah 1

12

yx

zlim

iz ada?

Page 36: Fungsi Variabel Kompleks

Kekontinuan Fungsi Kompleks [1]

DEFINISI :

a. Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada

region D C yang memuat zo dengan zo suatu

titik limit dari D. Fungsi f dikatakan kontinu di zo

jika

b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C

yang memuat z0 . Fungsi f dikatakan kontinu di

zo jika untuk setiap bilangan >0 terdapat

bilangan >0 sehingga jika

berlaku

c. Fungsi f dikatakan kontinu pada region D C jika

f kontinu di setiap titik pada D

)()(lim 00

zfzfzz

Dz,zz 0

)z(f)z(f 0

Page 37: Fungsi Variabel Kompleks

Kekontinuan Fungsi Kompleks [2]

Diskusikan bukti teorema berikut:

a. Diberikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) terdefinisi pada

region D C yang memuat zo= a + ib. Fungsi f

kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y)

kontinu di (a,b).

b. Diberikan fungsi f dan g terdefinisi pada region D C dan zo D dan k suatu konstanta kompleks. Jika f dan g kontinu di zo, maka fungsi f + g, kf, dan fg semuanya kontinu di zo. Sedangkan fungsi f/g kontinu di zo asalkan g(zo) 0.

Page 38: Fungsi Variabel Kompleks

Kekontinuan Fungsi Kompleks [3]

c. Jika fungsi kompleks f kontinu di zo dan fungsi g

kontinu f(zo), maka fungsi komposisi g o f kontinu

di zo.

d. Fungsi polinom f kontinu pada seluruh bidang

kompleks.

e. Fungsi rasional (h dan g fungsi

polinom) kontinu pada C – {z C: g(z) = 0}

)z(g

)z(h)z(f

Page 39: Fungsi Variabel Kompleks

Turunan Fungsi Kompleks [1]DEFINISI :

a. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C

dan zo D. Turunan fungsi f di zo didefinisikan

dengan

jika limit ini ada.

b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C.

Turunan fungsi f pada D didefinisikan dengan

jika limit ini ada.

0

00

0 zz

)z(f)z(flim)z(f

zz

'

z

zfzzf

z

)()(lim 00

0

z

zfzzfzf

z

)()(lim)(

0

'

zw

zfwf

zw

)()(lim

Page 40: Fungsi Variabel Kompleks

Turunan Fungsi Kompleks [2]

Diskusikan bukti teorema berikut:

Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C

dan zo D. Jika f ’(zo) ada, maka f kontinu di zo.

Perlihatkan bahwa kontinu di seluruh

bidang kompleks, tetapi f hanya dapat diturunkan di

z = 0.

Diberikan fungsi f dan g dapat diturunkan pada

region D C, tuliskan turunan fungsi f + g, f – g,

kf (k konstanta ) dan fg pada D.

2z)z(f

Page 41: Fungsi Variabel Kompleks

Turunan Fungsi Kompleks [3]

Buktikan teorema berikut:

Diberikan fungsi f yang dapat ditunkan pada C.

a. Jika f(z) = k untuk setiap z C dengan k suatu konstanta, maka f ’(z) = 0

b. Jika f(z) = z untuk setiap z C, maka f ’(z) = 1

c. Jika f(z) = zn untuk setiap z C, n N, maka f ’(z) = nzn-1

d. Jika f(z) = aozn + a1z

n-1 + …+ an-1z + an untuk setiap z C, n N, maka

f ’(z) = aonzn-1 + a1(n-1)zn-2 + …+ an-1

e. Jika f(z) = zn untuk setiap z C, n Z, maka

f ’(z) = nzn-1

Page 42: Fungsi Variabel Kompleks

Persamaan Cauchy Reimann [1]

Buktikan teorema berikut:

a. Diberikan terdefinisi pada region D C dan zo=xo+iyo D. Jika maka

sehingga persamaan Cauchy Reimann berlaku yaitu

, ada)z(f o

'

)y,x(y

ui)y,x(

y

v)y,x(

x

vi)y,x(

x

u)z(f ooooooooo

'

)y,x(x

v)y,x(

y

udan)y,x(

y

v)y,x(

x

uoooooooo

Page 43: Fungsi Variabel Kompleks

Persamaan Cauchy Reimann [2]

b. Diberikan terdefinisi pada region D C dan zo=xo+iyo D. Jika (1) fungsi u(x,y), v(x,y), ux(x,y), uy(x,y), vx(x,y),dan

vy(x,y) semuanya kontinu di titik zo= (xo,yo)

(2) Memenuhi persamaan Cauchy Reimann

ux(xo,yo) = vy(xo,yo) dan uy(xo,yo) = - vx(xo,yo)

maka f’(zo) ada dan

f ’(zo) = ux(xo,yo)+i vx(xo,yo) = vy(xo,yo)-i uy(xo,yo)

)y,x(iv)y,x(u)z(f

Page 44: Fungsi Variabel Kompleks

Persamaan Cauchy Reimann [3]

Diskusikan !

1. Diberikan fungsi f dengan aturan

Perlihatkan bahwa f ’(0) ada tetapi tak kontinu di (0,0).

)0,0(),(, 0

)0,0(),(,1

sin)(

2

yx

yxx

xzf

Page 45: Fungsi Variabel Kompleks

Persamaan Cauchy Reimann [4]

2. Diberikan fungsi f dengan aturan

Tunjukkan bahwa persamaan C–R dipenuhi di z = 0, tetapi f ’(0) tidak ada.

0 0

0z, z2

z,

z)z(f

Page 46: Fungsi Variabel Kompleks

Persamaan Cauchy Reimann [5]

3. Selidiki dimanakah fungsi berikut dapat diturunkan, kemudian tentukan fungsi turunannya.

a. f(z) = x2 – iy2

b. f(z) =

c. f(z) =

z2

z

Page 47: Fungsi Variabel Kompleks

SekianTerima Kasih