funcoes e Geometria

7/25/2019 funcoes e Geometria

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Dias T32012/2013 Funes e Geometria

Grupo de Trabalho T3da Associao de Professores de Matemtica 1 .

I. Funes polinomiais.

Considera a funo f, de domnio IR definida por:

3 21

3 8 33

f x x x x

1. Determina o(s) zero(s) da funo f, com aproximao s centsimas.

2. A equao 3 6x

f xx

tem exatamente duas solues, sendo uma delas

positiva e a outra negativa. Determina a soluo positiva. Apresenta essa

soluo arredondada s centsimas.

3. Seja Po ponto do grfico da funo fque tem ordenada igual a 9 . Seja r

a reta tangente ao grfico da funo fno ponto P. Determina a equao

reduzida da reta r.

4. Na figura, est representada, num referencial o.n. xOy , parte do grfico da

funo f.

Os pontosAe Bpertencem ao

grfico da funo f, sendo as

suas ordenadas,

respetivamente, o mximo

relativo e o mnimo relativo

desta funo.

Os pontos Ce Dpertencem ao

eixo Ox .

A abcissa do ponto C igual do ponto Be a abcissa do ponto D

igual do pontoA.

Determina a rea do tringulo [OAC]. Apresenta os resultados com

aproximao s dcimas.

II. Funes - logartmica e quadrtica.

Considera:

- a famlia de funes 2f x kx , em que k um nmero real;

- a funo lng x x (logaritmo natural de base e);

Fazendo variar o valor de k, faz uma conjetura quanto ao nmero de

solues da equao f x g x


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Como abrir a aplicao Grficos?

Deves comear por abrir uma pgina com a aplicao Grficos.

Depois de ligar a unidade porttil encontras um ecr como o que

est representado direita.

Para aceder aplicao de Grficos deves selecionar a figura

que contm uma parbola num referencial e premir ,

abrindo um documento com uma pgina de grficos, ou caso

tenhas j um documento aberto, poders adicionar uma pgina

de grficos a esse documento. Para selecionares a figura com a

parbola, ou qualquer outra correspondente a uma aplicao

diferente, podes utilizar o Touchpade colocares o cursor sobre o

que pretendes selecionar. Em alternativa podes premir a tecla

eat fazeres a seleo pretendida.

Se tiveres um documento aberto e pretenderes abrir um novo

documento com uma pgina de grficos deves selecionar

1:Novono ecr inicial (utilizando o Touchpadou premindo 1).Surge uma caixa de dilogo onde ters de escolher entre

guardar ou no o documento aberto, para depois selecionares a

aplicao Grficos de uma lista que fornecida.

Ao abrires a aplicao, esta mostra uma pgina com um

referencial e com um editor de expresses analticas de funes.

Para esta aplicao Grficos h um menu associado, na maioria

das funcionalidades comum ao da aplicao Geometria, ao qual

se deve aceder para efetuar mexidas nas representaes

grficas, obter funcionalidades de clculo, etc

Esse menu acedido ao premir a teclab.


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Se premires sucessivamente /b surge um novo menu

onde obtns um conjunto de aes rpidas, incluindo as

funcionalidades utilizadas recentemente, as quais constituem o

chamado menu de contexto. Este menu parecido com o que

nos aparece no computador quando premimos o boto direito

do rato.

Pressiona novamentece experimenta criar vrias pginas e ver os respetivos

menus, premindo a teclab. Como podes observar so todos bastante diferentes.

Se quiseres passar de uma pgina para outra poders faz-lo com o rato ou ento

carregando em/ou/.

A TI-Nspire tem 3 nveis para trabalhar e gerir os documentos:

Documento Gestor de Pginas Meus Documentos

O Gestor de Pginas mostra todos os problemas do documento e todas as pginas

em cada problema (no formato miniaturas). Pressiona/ para passar do

documento atual para o Gestor de Pginas.

Aqui, podes rearranjar, copiar, apagar,, uma pgina.

Para passar do Gestor de Pginas para os Meus Documentos, onde se encontram

todos os documentos organizados em pastas, pressiona /.Para regressar deMeus Documentos ao Gestor de Pginas, pressiona/.

Para guardar um documento usa~e 1:Ficheiroe 5:Guardar como


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Como efetuar uma representao grfica de uma funo?

Considera uma pgina de Grficos. Vamos efetuar uma representao grfica de

uma funo quadrtica, por exemplo, 220 10 4 9f x x . x . Comea por escrever

a expresso, em funo de x , no editor de expresses, ao fundo do ecr. Prime

aps a introduo e se o grfico tiver pontos na janela pr-definida observars

a sua representao.

Nota que ao premir-se aps a introduo da expresso o grfico ser

representado e deixa de se ver o editor, ao premirepoder abrir-se novamente

o editor e escrever-se outras expresses. Se se pretender esconder o editor para

ter uma melhor visibilidade do referencial pode premir-se d. Com o editor

aberto, premindo x sobre as setas que se encontram no lado direito, abre-se a

linha de entrada com vrias opes para ao grficos, esconder/mostrar grfico,

alterar cor, etc. Para aparecer ou desaparecer a linha de entrada pode tambm

pressionar-se/G.

agora necessrio proceder a ajustes para obter uma melhor janela de

visualizao. Tal pode ser feito considerando trs procedimentos diferentes.

Utilizando as definies da janela

Prime b e acede a 4:Janela, onde podem efetuar-se

alteraes janela de visualizao ou escolher um zoom prdefinido.

Alterando a escala dos eixos

Fecha o cursor mo sobre uma marca de um dos eixos e move

com o boto de navegao. Para fechar a mo pressiona o boto

centralx,durante alguns segundos (ou ento/x)


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Movendo todo o ecr

Coloca o cursor num local vazio do ecr e depois de premir

/xmove com o boto de navegao.

Como obter pontos de interesse?

Pode-se percorrer a representao grfica de uma funo acedendo a b

5:Traare 1:Traado do grficoe utilizando de seguida o boto de navegao

para percorrer o grfico. Os valores aparecem no canto inferior direito. Repara no

que acontece quando se aproxima de um ponto de interesse (zero, mximo ou

mnimo). Se quisermos que as coordenadas desses pontos de interesse fiquem

marcadas no grfico basta carregar emquando o ponto est assinalado.

Pode-se definir o incremento da abcissa do ponto que

percorre o grfico acedendo a 3:Definies do

traado.

Nota:

Para desativar uma funcionalidade, deixando de ver o smbolo no canto superioresquerdo do ecr, deves premird.

Alternativamente, e de forma mais eficaz, poder obter-se pontos de interesse

utilizando o menu 6:Analisar grfico.

Depois de selecionares a opo 3:Mximo, ests pronto a definir a regio onde

pretendes determinar o mximo. Deves premirx esquerda, mover o cursor para

a direita do mximo e voltar a premirx.


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Outro procedimento que poders utilizar para obteno

do mximo ou outros valores notveis resulta da

manipulao de um ponto sobre o grfico. Podes aceder

a b 8:Geometria, 1:Pontos e Rectas e 2:Ponto

sobre um objecto.

Prime x x seguido de d num local darepresentao grfica.

De seguida move o ponto at que passe pelo vrtice e

uma etiqueta surge logo que o ponto esteja exatamentesobre o vrtice.

As coordenadas tornam-se visveis se carregares emd.

Ainda no menu 6:Analisar grfico, aps a escolha relativa derivada, 5:dy/dx,

ests pronto a observar o valor da derivada medida que percorreres a

representao grfica. Deves premirxnum local qualquer da representao.


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Para determinares a derivada, por exemplo, no ponto de ordenada 14, deves obter

as coordenadas do ponto e mudar o valor da ordenada. Automaticamente o ponto

ajustado em funo da alterao, assim como o valor da derivada.

Nota:

Caso pretendas obter o grfico da funo derivada de f, coloca em

2 1f x derivative f x ,x . Para isso, em 2f x carrega emk(catlogo)e em

1:kescolhe a opo derivative e escreve 1f x ,x .

Para obteres o grfico da funo, 2. derivada da funo f, coloca em

3 1 2f x derivative f x ,x, .

Para tornares visveis as coordenadas do ponto deves aceder a b 1:Aces

8:Coordenadas e Equaes. Para alterar o valor da ordenada primexxsobre

o valor da ordenada. Aps a sua edio podes efetuar a mudana e no final premir

.

Note-se que a manipulao das coordenadas de um ponto poder tambm permitir

responder a outro tipo de situaes, por exemplo, determinar a imagem dado o

objeto. Experimenta.

Outros pontos importantes podem ser aqueles que resultam de intersees de

grficos, como por exemplo o que resulta da interseo da parbola com a reta de

equao 20y .

Para tal, depois de representares as funes em causa, deves aceder a b

6:Analisar grficoe 4:Interseco. Este comando funciona de modo anlogo ao

que utilizmos anteriormente para calcular o mximo.


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Esta interseo tambm pode ser determinada atravs de b 8:Geometria,

1:Pontos e Rectase 3:Ponto(s) de interseo.

Como calcular: imagem de uma funo num ponto, razes de polinmios,

derivada de uma funo num ponto?

Usando a aplicao calculadora tambm podemos calcular

imagens ou derivadas de funes num ponto. Para isso,

cria uma pgina com a aplicao calculadora emc.

Calcula a imagem da funo no ponto 2,5.

Calcula a derivada da funo no mesmo ponto. Para o clculo da derivada vai a b

4:Clculo seguido de1:Derivada numrica num ponto.


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Tambm na aplicao calculadora podemos determinar, por mtodos numricos, as

razes reais ou complexas de um polinmio. Para isso escolheb 3:lgebra,

3:Ferramentas polinomiais e 1:Calcular razes do polinmio

Como traar a tangente ao grfico de uma funo num ponto e determinar

o seu declive?

Pode-se comear por colocar um ponto qualquer sobre o grfico da funo e alterar

a abcissa ou ordenada para o valor pretendido e seguidamente atravs de b

8:Geometria, 1:Pontos e Rectase 7:Tangente obter a reta tangente ao grfico

nesse ponto.

Usando o comando:b 8:Geometria, 3:Medio e 3:Declive, selecionando a

reta obtns o seu declive.

Para inserir m , primexxsobre o valor do declive.


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Se pretenderes prolongar a representao da reta tangente basta agarrares as

pontas das setas com um click longo e arrastares at onde desejares, terminando

com um.

Se quiseres ter visveis as equaes dessas tangentes, poders faz-lo indo a b

1:Acese 8:Coordenadas e Equaes.

Como determinar a rea de uma figura?

Se quiseres determinar a rea de um tringulo [ABC] em que A o mximo da

funo f, o B e o C so os zeros da funo f, comea por representar o tringulo

[ABC].

Sobre a representao grfica da funo f determina o mximo e os zeros. De

seguida podes nomear cada ponto, selecionando-o ponto e carregando em/

b2:Etiqueta.

De seguida em b 8:Geometria, 2:Formas e 2:Tringulo podes construir otringulo selecionando sucessivamente os pontos A, B e C.

Se quiseres colorir o tringulo, coloca o cursor sobre o

tringulo seguido de / b B:Cor e 2:Cor de

preenchimento.

Depois deves calcular a rea do tringulo carregando emb

8:Geometria, 3:Medioseguido de 2:reae selecionando

o tringulo. Assim obtns a rea do tringulo [ABC].


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Como estudar uma funo variando um dos parmetros da expresso analtica?

A tecnologia grfica pode contribuir eficazmente para a anlise do efeito provocado numa

funo e respetivo grfico a partir da variao de parmetros.

Para isso podemos utilizar seletores. Numa pgina de funes cria os seletores a, b ec.Para isso usabseguido de 1:Aese B:Inserir seletor.

Para mudar as definies dos seletores coloca a seta em cima de um deles clica em x,

seguido de/e deb. Define ade acordo com a figura abaixo, be cde acordo com

os valores indicados em b:

Introduz a funo definida por f x = . Altera cada um dos seletores,

pressionando o boto centralx com um clic longo e observa as transformaes no

grfico da funo.

Se quiseres podes tambm minimizar (ou animar) os seletores colocando a seta em

cima de cada um deles clicando emx, seguido de/e deb. Para terminares

a animao procede da mesma maneira indo a/b.


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Para esconder a funo racional, vai a b, partindo de 1:Aes e

3:Ocultar/Mostrar.

Para eliminar os cursores seleciona-os comx, carregando, de seguida, em/

be 4:Eliminar.

III. Incentro e reta de Euler

Investiga em que condies o incentro de um tringulo pertence reta de Euler.

(Reta de Euler a reta que passa pelo ortocentro, pelo baricentro e pelocircuncentro de um tringulo qualquer.)

Como traar um segmento de reta?

Abre uma pgina de geometria.

Primebe escolhe 4:Pontos e Retas; 5: Segmento. Marca um ponto, pressiona

, marca outro ponto, pressionae de seguidadpara sares dos pontos e

retas. Para alterares o segmento de reta criado aproxima o cursor de um dos

pontos at aparecer o smboloe pressionaxde forma continuada at que fique

com a forma de mo fechada({).


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Como traar a mediatriz de um segmento de reta?

Primebe escolhe7: Construo; 3. Mediatriz.Aproxima o cursor do segmento

at este estar identificado, pressionae de seguidadpara sares deste menu.

Como encontrar o ponto mdio de um segmento de reta?

Prime b e escolhe 7: Construo; 5: Ponto mdio. Aproxima o cursor do

segmento at este estar identificado, pressionae de seguidadpara sares.

Como traar uma reta perpendicular?

Escolhe o ponto por onde queres que a reta passe. Prime b e escolhe 7:

Construo; 1: Perpendicular. Aproxima o cursor do ponto at este estar

identificado e pressiona. De seguida indica o segmento em relao ao qual

pretendes que a reta seja perpendicular e pressiona .

Como traar a bissetriz de um ngulo?

Primeb e escolhe 7: Construo; 4: Bissectriz. Indica, por esta ordem, um

ponto do lado origem, o vrtice e um ponto do lado extremidade, pressionando

para cada um.


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Como prolongar o traado duma reta?

Aproxima o cursor de uma das extremidades da linha at aparecer o smbolo e

pressiona x de forma continuada at que fique com a forma de mo fechada ({)

prolonga at onde desejares e no final pressiona.

Como medir comprimentos?

Prime b e escolhe 6: Medio; 1: Comprimento. Aproxima o cursor do

segmento at este estar identificado e pressiona.

Como medir ngulos?

Prime be escolhe6: Medio; 4: ngulo.Clica sucessivamente sobre um dos

lados do ngulo, sobre o vrtice e sobre o outro lado do ngulo e pressiona .


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Como representar a regio admissvel?

Numa nova pgina de grficos, na rea de introduo de uma funo, apaga o sinal

de igual, substitui-o pelo sinal da inequao que pretendes representar

graficamente e escreve esta inequao.

IV. Programao Linear

Um agricultor possui um terreno de 20 ha onde pretende cultivar alface e tomate.

Uma empresa de distribuio props adquirir-lhe a totalidade da produo mascolocou-lhe algumas imposies:

no mnimo, ter de cultivar 4 ha de alface e 5 ha de tomate;

a rea cultivada de tomate no poder ser superior ao dobro da reacultivada de alface.

Pelo preo a que a empresa lhe ir comprar os produtos, o agricultor prev umlucro de 600 por cada hectare de alface e 1000 por cada hectare de tomate.

Qual dever ser a rea de cada tipo de cultura que o agricultor deve cultivar paravir a obter o mximo de lucro? E qual ser esse lucro?

1. Designando por x a rea cultivada de alface e por y a rea cultivada de

tomate, define por meio de um sistema de inequaes as restries doproblema.

2. Define a funo objetivo e resolve-a em ordem ay .

3. Usando a unidade TI-nspire:

i) Cria um novo problema e abra uma pgina de grficos. Nesta pgina,representa as condies dadas pelas restries.

ii)Determina as coordenadas de cada um dos vrtices do polgono de soluese represente-o.

iii)Cria um seletor para a varivel L(Lucro).

iv)Representa graficamente a funo objetivo. Altera os valores do seletor eprocura a melhor soluo para o problema.

4. Discute a relao entre os lucros das culturas para que a soluo tima doproblema seja diferente.


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Procede de igual forma com as restantes inequaes at obteres o polgono de

solues.

Uma vez que o grfico fica demasiado carregado de cor, depois de observares qual

o polgono de solues, ser prefervel colocares todas as regies da mesma cor

(por exemplo, branco) e representares posteriormente o polgono.

Para isso, coloca o cursor sobre cada uma das retas que limitam os semiplanos que

definidos pelas inequaes, pressiona simultaneamente as teclas/b, seleciona

B:Core 2:Cor de preenchimentoe escolhe branco.

Marca agora os vrtices da regio admissvel usando b8: Geometria, 1: Pontos

e rectase 3: Ponto(s) de interseo.


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Define o polgono de solues, pressionando novamente a tecla be selecionando

8: Geometria, 2: Formas e 4: Polgono. No final podes dar ento cor ao

polgono.

Como representar a funo objetivo?

Comea por criar um seletor para a varivel L.

Edita as definies do seletor e usa para valor mnimo 0 e para valor mximo

20000.

No editor de funes, introduz a funo objetivo resolvida em ordem a y.

Arrasta o cursor do seletor de modo a obter astranslaes da funo objetivo resolvida em ordem a

y. Para isso, posiciona o cursor sobre a rea do

seletor, pressiona o x at agarrar o cursor e

arrasta-o. Observa qual dos vrtices do polgono de

solues corresponde soluo tima.


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V. Quadrados inscritos num quadrado

Dado um quadrado de lado k, considere-se um ponto Q, que se desloca ao longo de

um dos lados e que vai gerando quadrados inscritos no quadrado dado.

a) Entre que valores pode variar o deslocamento?

b) H deslocamentos diferentes que do origem a quadrados com reas iguais?

c) Faz uma investigao para determinar o valor do deslocamento de Q de modo que

a rea do quadrado inscrito seja mnima.

Sugesto: i) Cria duas listas de dados, uma com a medida do deslocamento e outra

com a rea do respetivo quadrado inscrito. ii) Representa estes dados e encontra a

curva que melhor se ajusta nuvem de pontos.

(adaptado de Brochura de Geometria para o 10 Ano de Matemtica, DES, 1997)

Como construir um polgono regular?

Primebe escolhe5:Formas; 5:Polgono regular. Marca dois pontos o centro

do polgono e um dos vrtices e move o cursor at aparecer o nmero de lados

pretendido.

Pressiona e de seguidad para sares das formas. Se quiseres deslocar o

polgono no ecr ou alterar a medida do lado, aproxima o cursor de um dos lados

ou de um dos vrtices, respetivamente at que o cursor fique com a forma de mo

(), e pressiona de forma continuadaxat que fique com a forma de mo fechada({).

k

Q

k

Q

k

Q

k

Q


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Como representar segmentos com o mesmo comprimento?

Usa a ferramenta compasso para marcar um segmento com uma das extremidades

no vrtice B e de comprimento igual ao segmento [AQ]. (b; 7: Construo;

7:Compassoe indica dois pontos A e Q (raio) e transporta esse comprimento para

B).

Como marcar pontos de interseo?

Marca o ponto de interseo R entre a circunferncia e o lado [AB] do quadrado,

usando b; 4: Pontos e Rectas; 3:Ponto(s) de interseco. Clica na

circunferncia e no lado do quadrado e de seguida coloca-lhe a etiqueta R.

Como ocultar um objeto?

Para esconder a circunferncia, coloca o cursor sobre este objeto at aparecer a

palavra circunfernciae pressiona/be 4:Ocultar.

Como definir variveis?

Considera o tringulo [AQR], mede a sua rea e o comprimento do lado [AQ].

Para definir as variveis, areae comp, correspondentes aos valores das medidas da

rea do tringulo e do lado [AQ], coloca o cursor sobre cada um dos valores e,

quando aparecer , pressiona h; 1:Guardar Var;; substitui varpelo nome

da varivel e faz de novo.


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Como se captura para a folha de clculo os valores das variveis?

Cria uma folha de clculo. No topo da coluna A, junto da letra A, podes escrever o

nome das variveis (ladoe areatri).

Para capturar as variveis coloca o cursor na casa imediatamente acima de A1 e

faz:b;3:Dados; 2:Captura de dados; 1: Automtico e; pressiona agora

h, escolhe a varivel (por exemplo, comp) e. Repete este procedimento para

area.

Pressiona/; para voltar pgina de geometria; seleciona o ponto Q e

arrasta-o alterando o tringulo. Os dados do comprimento de [AQ] e da rea do

tringulo foram recolhidos na folha de clculo.

Como construir a nuvem de pontos na pgina de grficos?

Cria uma pgina de grficos. Seleciona Grfico de disperso, emb; 3: Edio de

grfico; 5: Grfico de Dispersoe indica para as variveis x e y (pressionando

emh) respetivamente ladoe areatri, que indicaste na primeira linha da folha de

clculo.


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Se a janela no for a adequada escolheb; 4: Janela; 9: Zoom Dados.

Como representar uma regresso sobre uma nuvem de pontos?

Para representar uma curva de regresso vai folha de clculo e fazb 4:

Estatstica, 1: Clculos estatsticos, 6:Regresso quadrtica.

Para visualizar a regresso sobre a nuvem de pontos volta pgina de grficos e

embmuda o tipo de grfico para funo.Vai ao editor de funes e emf1(x)

est a regresso quadrtica determinada. Carrega empara a visualizares.


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VI. O bolo e as funes definidas por ramos.

Para fazer um bolo para a sobremesa do jantar de Natal, a Marta ligou o forno

elctrico, e colocou o bolo no forno. Contudo, passados sete minutos houve um

corte de energia.

A partir do instante 0t , momento em que a Marta colocou o bolo no forno, a

temperatura no forno evoluiu de acordo com o seguinte modelo matemtico:

100240 , 0 7

3

160 260, 7

8 50

tt

T tt

tt

T em graus celcius e tem minutos

1.Determina a temperatura a que o forno estava quando houve a falha de

energia?

Apresenta os resultados arredondados s unidades.

2.Admite que, no momento em que houve a falha de energia, a Marta introduz

no forno um novo prato que necessita, no mnimo, de 10 minutos a uma

temperatura no inferior a 50C. Utiliza a calculadora grfica para investigar

se foi possvel confeccionar o referido prato.

Explicita a concluso a que chegaste, justificando-a devidamente.

Como definir uma funo por ramos?

Para representar funes por ramos coloca o

cursor na linha de entrada e prime em t

que est ao lado dek. Escolhe criar funes

por ramos.

Vamos escolher 3 ramos, como o exemplo ao

lado.


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Para escrever , ou carrega em/seguido de=.

Para representar uma funo num intervalo, por exemplo a funo:

pode escolher-se somente 1 ramo.

VII. Quadratura do retngulo.

Dado um retngulo, como construir um quadrado de rea igual?

Sugesto de resoluo: A partir de um retngulo [ABCD], construir uma

semicircunferncia com dimetro de ,conforme figura abaixo.

Determinar I, ponto de interseco da semicircunferncia com o prolongamento de[BC]. O quadrado de lado CI equivalente ao retngulo [ABCD]. Confirma.

VIII. Qual o tringulo de maior rea?

Dobra uma folha de papel de modo que o canto superior esquerdo toque o ladoinferior da folha, tal como mostra a figura. Qual o tringulo (T) de maior reaformado no canto inferior esquerdo da folha por efeito desta dobragem?

(in Funes para o 10 Ano Matemtica, DES, 1997)

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