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Funciones cuadráticas: valor mínimo, valor máximo y el vértice
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Funciones cuadráticas: valor mínimo, valor máximo y el vértice · Gráficas de funciones cuadráticas: vértice, máximo, mínimo La gráfica de una función cuadrática se conoce

Feb 09, 2019

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Funciones cuadráticas: valor mínimo,

valor máximo y el vértice

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Definiciones

• Si la gráfica de una función

sube en el plano de

izquierda a derecha, se dice

que es creciente en ese

intervalo.

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Definiciones (cont.)

• Si la gráfica de una función

baja de izquierda a derecha,

se dice que es decreciente

en ese intervalo.

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• Una función f se dice

que es constante en un

intervalo abierto del

dominio, si para todo

valor en el intervalo,

f(a) = f(b).

Definiciones (cont.)

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Indique los intervalos

donde f(x) es:

• creciente

• decreciente

• constante

Ejemplo

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Indique los intervalos

donde f(x) es:

• decreciente

• creciente

• constante

Ejemplo

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Indique los intervalos

donde f(x) es:

• creciente

• decreciente

• constante

Ejemplo

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Gráficas de funciones cuadráticas:

vértice, máximo, mínimo

La gráfica de una función cuadrática se conoce como una parabola.

El punto (h, k) en el cual la gráfica gira y cambia de dirección se llama el

vértice.

La función f(x) alcanza su valor máximo o mínimo en el vértice.

La línea vertical x = h se llama el eje de simetría y divide la gráfica en dos

partes idénticas.

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Gráficas de funciones cuadráticas:

vértice, máximo, mínimo

Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos

x = - 𝑏

2𝑎 y y = f(-

𝑏

2𝑎)

Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x2 + 12x + 16

a = 2 b= 12 c = 16

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Gráficas de funciones cuadráticas:

vértice, máximo, mínimo

Para identificar el vértice, (x, y), de una cuadrática, utilizaremos

x = - 𝑏

2𝑎 y = f(-

𝑏

2𝑎)

Ejemplo: Identificar el vértice de f(x) = 2x2 – 4x + 5

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Definición

Para f(x) = ax2 + bx + c, a se conoce como el coeficiente

principal.

Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre

hacia abajo.

Si la parábola abre hacia arriba, la función tiene un mínimo.

Si la parábola abre hacia abajo, la función tiene un máximo.

Ejemplo:

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Ejemplo

Determinar el vértice y el valor mínimo o máximo para f (x) = x2 + 10x + 23.

Solución:

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Ejemplo (cont.)

Trazar la gráfica de f (x) = x2 + 10x + 23

X Y

-5 -2

X Y

-2

-4

-5 -2

-7

-8

X Y

-2

-4

-5 -2

-7

-8

Vértice

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Práctica:

Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

a) Hallar el vértice.

El vértice es .

b) Determinar si la función tiene un máximo o un mínimo.

Hallar ese valor.

El coeficiente principal es . Por lo tanto la gráfica abre

hacia y la función tiene un .

Para determinar el mínimo, evaluamos .

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Ejemplo (cont.)

Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

c) Hallar el dominio y el campo de valores.

Dominio: ó .

Campo de valores:

Todos los valores .

ó .

d) ¿En qué intervalo es la función creciente?

¿…decreciente?

creciente:

decreciente:

vértice:

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Ejemplo (cont.)

Para la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

e) Hallar el int-y.

int – y : Para determinar el int-y, evaluamos

=

f) Hallar los ceros de la función.

Para hallar los ceros de la función resolvemos la

ecuación ________ que en este caso es

2x2 + 13x 7 = 0

Resolvemos la ecuación anterior ó

utilizando la .

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Ejemplo (cont.)

f ) Hallar los ceros de la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

2x2 + 13x 7 = 0

Para factorizar necesitamos hallar factores de

que sumen .

Los factores de -14 son: , , , .

Reescribimos la ecuación original como:

(2x2 x) + (14x 7) = 0 y factorizamos (o usamos la

fórmula cuadrática)

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Ejemplo (cont.)

g) Hallar los int-x de la función g(x) = 2x2 + 13x 7:

Hallar los int-x de g(x) es lo mismo, en este caso, que

.

Los ceros son x = ½ y x = -7, por lo tanto, los int-x son

y .

h) Evaluar g(-7.5) y g(1)

g(-7.5) =

g(1) =

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Ejemplo (cont.)

i) Trazar la gráfica de g(x) = 2x2 + 13x 7 = 0

Recopilemos la información que tenemos:

1) int-y:

2) int-x:

3) vértice:

4) dos puntos adicionales:

5. La gráfica es una que

abre hacia .

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Práctica adicional:

Para la función f(x) = x2 + 14x 47:

a) Hallar el vértice.

f(7) =

=

=

El vértice es .

b) Determinar si la función tiene una máximo o un mínimo.

Hallar ese valor.

El coeficiente principal es . Por lo tanto la gráfica abre

hacia y la función tiene un .

Para determinar el máximo, evaluamos .

El valor máximo es .

x =

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Práctica adicional (cont.)

Para la función f(x) = x2 + 14x 47:

c) Hallar el dominio y el campo de valores.

Dominio: ó .

Campo de valores:

Todos los valores .

ó .

d) ¿En qué intervalo es la función creciente?

¿…decreciente?

creciente:

decreciente:

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Práctica adicional

Determinar el vértice y el valor mínimo o máximo para

Solución:

g x x2

2 4x 8.

Para identificar el vértice, (x, y), de la cuadrática, utilizaremos

x = - 𝑏

2𝑎 y = f(-

𝑏

2𝑎)

Recuerde: g(x) también se puede escribir: g(𝑥) =1

2𝑥2 − 4𝑥 + 8

a = ½ b= -4 c = 8

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Solución:

Vértice:

Valor mínimo de la función:

int-y: f(0)=

otros puntos: f(8)=

f(x) es decreciente en:

f(x) es creciente en:

Práctica adicional

Trazar la gráfica de : g(𝑥) =1

2𝑥2 − 4𝑥 + 8

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Práctica adicional:

Identificar el dominio y el rango de :

g(𝑥) =1

2𝑥2 − 4𝑥 + 8