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Formula Colebrook White

Feb 19, 2018

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  • 7/23/2019 Formula Colebrook White

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    FRMULA DE COLEBROOK-WHITE: VELHA M AS ACTUAL.

    SOLUES EXPLCITAS

    Jos Alfeu A. de S Marques

    Faculdade de C incias e Tecnologia da U niversidade de Coimbra

    Tel: +351.39.410681 Fax: +351.39.22833 [email protected]

    3000 COIMBRA - PORTUGAL

    Joaquim J. O. Sousa

    Instituto Superior de Engenharia do Instituto Politcnico de Coimbra

    Tel: +351.39.7000200 Fax: +351.39.7000270 E-mail:[email protected]

    3030 COIMBRA -PORTUGAL

    1.

    Introduo

    Aquando do processo de desenvolvimento de ferramentas informticas para

    obteno do equilbrio hidrulico em sistemas de distribuio de gua, os autores deste

    trabalho sempre se debateram com uma questo de base: Qual a lei de resistncia ao

    escoamento a incorporar nos modelos matemticos a desenvolver? .

    Como do conhecimento geral, a lei de resistncia inais comiuumente citada na

    literatura da especialidade e a ter uma vasta aplicao prtica por parte dos tcnicos

    ligados mecnica dos fluidos a frmula de Colebrook-White. Apesar de j ter

    surgido h 58 anos (1939), continua a ser considerada a que mais se aproxima da

    realidade fsica dos escoamentos, sendo-lhe atribudos erros entre 3

    e

    5%, o que,

    dentro do seu campo de aplicao, considerado bastante bom.

    No entanto, esta equao apresenta uma caracterstica que a torna pouco

    atractiva. Devido sua forma, no possvel expressar explicitamente o factor de

    resistncia em funo das restantes grandezas envolvidas no clculo do mesmo.

    Para ultrapassar este inconveniente, diversos investigadores desenvolveram

    esforos no sentido de obterem expresses que, sendo explcitas, reproduzissem com

    algum rigor os valores do factor de resistncia estimados pela frmula de Colebrook-

    White.

    2.

    A origem da frmula de Colebrook-White

    Em 1932 e 1933, Nikuradse desenvolveu vrias experincias com o objectvo de

    estudar os regimes de escoamento em condutas, Estas experincias foram orientadas

    por Prandt e von Karman e consistiram na determinao de perdas de carga contnuas

    provocadas por escoamentos no interior de condutas circulares com rugosidade

    artificial. Nas experincias realizadas as condutas eram materializadas por tubos de

    vidro e a rugosidade artificial era conseguida colando-se gros de areia s paredes

    desses tubos. Por sua vez, os gros de areia eram seleccionados por forma a obter

    rugosidades uniformes.

    Ao dispor os resultados obtidos nas suas experincias num diagrama em que

    figurava o logaritmo do factor de resistncia em funo do logaritmo do nmero de

    Reynolds, Nikuradse observou que existiam trs regimes bem distintos:

    1

    mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]
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    o regime laminar, em que o factor de resistncia (A,) depende apenas do nmero

    de Reynolds (Re), existindo uma relao linear entre ambas as grandezas

    expressa pela frmula de Hagen-Poiseille (1856):

    64

    logX = -io gR

    g

    + log 64 ou 3i= ~ (1)

    o regime turbulento liso, no qual o factor de resistncia continua a depender

    unicamente do nmero de Reynolds. Nikuradse (1932) confirmou que a

    relao entre ambos era correetamente definida pela frmula de

    Prandtl-von

    Karman:

    ^ c , >

    -7= = 2 log R

    V J - 0 , 8

    ou

    ~y=

    = -2 log p=

    (2)

    - 0 regime turbuiento rugoso, caracterizado pelo facto de o factor de resistncia

    ser independente do nmero de Reynolds e depender apenas da rugosidade

    relativa (quociente entre a rugosidade absoluta e o dimetro da conduta - e/D)

    sendo a relao de dependncia expressa pela frmula de von Karman

    (1930):

    sendo estes regimes separados po r regimes de transio:

    - o regime de transio laminar-turbulento, em que o factor de resistncia tem

    um comportamento instvel;

    - o regime de transio turbulento liso-turbulento rugoso. em que o factor de

    resistncia depende simultaneamente do nmero de Reynolds e da rugosidade

    relativa;

    no existindo na altura expresses matemticas que definissem o comportamento

    destas transies.

    Mais tarde, em 1937, Colebrook e Wbite desenvolveram experincias em

    condutas comerciais, com o objectivo de estudar a transio entre o regime turbulento

    liso e o regime turbulento rugoso, Como resultado do estudo empreendido, chegaram

    concluso de que adicionando o argumento da funo logaritmo da frmula de

    Prandtl-von Karman (regime turbulento liso) ao argumento da funo logaritmo da

    frmula de von Karman (regime turbulento rugoso) obtinha-se uma expresso que, em

    todo o domnio dos escoamentos turbulentos, traduzia com bastante rigor (erros de 3 a

    5%) os valores obtidos nas experincias realizadas, surgindo assim aquela que hoje

    vulgarmente conhecida por frmula deC olebrook-W hite (1939):

    - 2,51 ^

    Vx

    2 1 o g

    U , 7 D

    +

    R

    p

    4x)

    (4)

    Nesta expresso, devido ao facto de os materiais que constituem as paredes das

    condutas comerciais no terem rugosidade uniforme, o parmetro caracterizador da

    rugosidade de Nikuradse (e) foi substitudo por uma rugosidade equivalente (k), a

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    qual, para cada tipo de material utilizado, dever ser determinada experimentalmente a

    partir de medies de perda de carga.

    3 .

    A explicitao da frmula de Colebrook-White ao longo dos tempos

    Da simples observao da frmula de Colebrook-White, facilmente se depreende

    que esta no permite explicitar o factor de resistncia cm funo das restantes

    grandezas envolvidas no seu clculo. Como conseqncia deste facto. tornava-se

    imperativo o recurso a processos numricos de cada vez que se desejasse calcular .

    Para evitar este inconveniente, com base nas frmulas de Hagen-Poiseille

    e

    de

    Colebrook-White. Moody (1944) desenvolveu um baco que permitia facilmente

    determinar

    X

    em funo do nmero de Reynolds e da rugosidade relativa (o clebre

    baco de Moody). Apesar deste avano, Moody achava que o ideal seria obter uma

    expresso que permitisse explicitar

    X,

    Determinado a conseguir tal proeza,

    desenvolveu trabalhos nesse sentido, at que, em 1947, surgiu a frmula de

    Moody:

    X= 0,0055

    +

    k 1 0

    A

    20000+

    D R.

    5)

    Esta frmula era vlida nos limites 4xl0

    3

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    Churchill C1973), seguindo as pisadas de Barr, fez uso da expresso

    desenvolvida por Nikuradse (1932), j anteriormente utilizada por AJtshul que a

    atribuiu a K onakov:

    ~W

    obtendo outra expresso simples e bastante precisa (desvios entre -0,6 e 3.4%):

    1

    (9)

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    Ainda em 1980, Malafaya-Bapiista melhorou a expresso de Barr (1975) e

    utilizou-a na frmula de Colebrook-White como aproximao inicial, obtendo uma

    expresso com erros relativos inferiores a+0,15% :

    ^ =

    -2

    iog

    5,02

    3,7 D R. Iog

    k 2,51

    +

    [3 ,7 D R

    e

    0 . 4 9 R : ' + 0 J 8 I

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