Cours de Mathmatiques - ASINSA-1Les polynmesFrdric STURMPle de Mathmatiques, INSA de LyonAnne acadmique 2011-2012Les polynmes 2Plan du cours1 Dnition de lensemble des polynmes2 Oprations sur les polynmes3 Arithmtique pour les polynmes4 Drivation des polynmes5 Zros dun polynme6 Polynmes coefcients complexes ou relsF. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 3Plan du cours1 Dnition de lensemble des polynmes2 Oprations sur les polynmes3 Arithmtique pour les polynmes4 Drivation des polynmes5 Zros dun polynme6 Polynmes coefcients complexes ou relsF. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 4Polynme formelDnition 1.1Un polynme formel coefcients dans K est une suite (an)nNsur K dont les termes partir dun certain rang sont gaux 0,cest--dire: il existe N N tel quen N _n > N =an= 0_.On note Pnot.=(a0, a1, a2, . . . , aN, 0, 0, . . .) o a0, a1, a2,. . . , aNse nomment les coefcients du polynme et P K[X].On appelle polynme nul le polynme dont tous les coefcientssont nuls et on le note0K[X]not.=(0, 0, . . . , 0, . . .).Deux polynmes sont gaux sils ont mmes coefcients.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 5Fonction polynomialeDnition 1.2 tout polynme P= (a0, a1, a2, . . . , aN, 0, 0, . . .) de K[X] onassocie lapplication x K P(x) K appele fonctionpolynomiale associe dnie parP(x) =a0 + a1x+. . . + aNxN. .puissances croissantes= aNxN+. . . + a1x+ a0. .puissances dcroissantesExemple 1.1Si P= (1, 0, 0, 5 + i, 0, . . .) C[X] alorsx CP(x) = 1 + (5 + i)x3.Si P= (0, 0, 12i, 20, 1, 0, . . .) C[X] alorsx CP(x) = 12ix2+ 20x3+ x4.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 6Valuation et degr dun polynmeDnition 1.3Soit P= (an)nN un polynme non nul de K[X].Le plus grand entier naturel n tel an = 0 est appel ledegr de P. Il se note deg(P). Autrement dit,deg (P) = max{n N | an = 0}.Le plus petit entier naturel n tel an = 0 est appel lavaluation de P. Elle se note val (P). Autrement dit,val (P) = min{n N | an = 0}.Exemple 1.2Soit P= (1, 0, 0, 5 + i, 0, . . .) C[X]. val (P) = 0 et deg(P) = 3.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 7Dnition 1.4Soit P= (an)nN un polynme non nul de K[X].Le coefcient adeg(P) se nomme coefcient de plus hautdegr de P.Le polynme P est dit normalis si adeg(P)= 1.Exemple 1.3Soit P= (0, 0, 12i, 20, 1, 0, . . .). val (P) = 2 et deg(P) = 4. Cepolynme est normalis.RemarquePar convention, deg_0K[X]_ = et val_0K[X]_ = +.On a : val (P)deg(P) pour tout P K[X] non nul.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 8MonmeDnition 1.5Un polynme P K[X] non nul est appel un monme sival (P) = deg(P) .La fonction polynomiale P: K K associe unmonme P sappelle fonction monme.Exemple 1.4P= (0, 0, 5, 0, . . .) est un monme car val (P) = deg(P) = 2.Sa fonction monme est x P(x) = 5x2.Soient P, Q K[X]. On a limplication :P= Q =_ val (P) = val (Q)et deg(P) = deg(Q)_.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 9Plan du cours1 Dnition de lensemble des polynmes2 Oprations sur les polynmes3 Arithmtique pour les polynmes4 Drivation des polynmes5 Zros dun polynme6 Polynmes coefcients complexes ou relsF. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 10Addition de polynmesDnition 2.1Soient P= (an)nN, Q= (bn)nN deux polynmes de K[X]. Ondnit le polynme P + Q de K[X] comme suit :P + Qdf.=(an +Kbn)nN.Exemple 2.1Soient P= (1, 1, 1, 0, 0, . . .) et Q= (0, 2, 3, 1, 0, 0, . . .). Alors,P + Q= (1, 3, 4, 1, 0, 0, . . .). Remarquons que lon a :
(P + Q)(x) = 1 + 3x+ 4x2x3= 1 + x+ x2. .= P(x)+2x+ 3x2x3. .= Q(x).F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 11Addition, degr et valuationProposition 2.1Soient P et Q deux polynmes non nuls de K[X]. On a :deg(P + Q)max {deg(P) , deg(Q)}.val (P + Q)min{val (P) , val (Q)}.RemarquesSi deg(P) = deg(Q) alorsdeg(P + Q) = max {deg(P) , deg(Q)} .Si val (P) = val (Q) alorsval (P + Q) = min{val (P) , val (Q)}F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 12Structure de groupe commutatif sur K[X]On vrie les points suivants :Pour tous P, Q, R K[X], (P + Q) + R= P + (Q + R).Pour tout P K[X], P + 0K[X]= 0K[X] + P= P.Tout polynme P= (an)nN K[X] admet un oppos quiest le polynme not P dni par :P= (an)nN.En effet, P + (P) = (P) +P= 0K[X] pour tout P K[X].Pour tous P, Q K[X], P + Q= Q + P.En rsum, on dit alors que lensemble K[X] muni de ladditionpossde une structure de groupe commutatif.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 13Multiplication par un scalaireDnition 2.2Soient P= (an)nN un polynme de K[X] et K. On dnitle polynme P de K[X] comme suit : Pdf.=(Ka0, Ka1, . . . , Kan, . . .) .RemarquePour tous P K[X] et K,deg( P) = deg(P) et val ( P) = val (P) .Cette loi possde les proprits suivantes :Pour tous K, P, Q K[X], (P + Q) = P + Q.Pour tous (, ) K2, P K[X],(+K) P= P + P et ( P) = (K) P.Pour tout P K[X], 1 P= P.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 14Multiplication de polynmesDnition 2.3Soient P= (an)nN et Q= (bn)nN deux polynmes de K[X].On dnit le polynme P Q= (cn)nN avecn N cndf.= a0bn + a1bn1 +. . . + anb0.On a le rsultat suivant :Proposition 2.2Soient P et Q deux polynmes non nuls de K[X]. On a :deg(P Q) = deg(P) + deg(Q).val (P Q) = val (P) + val (Q).F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 15Exemple 2.2Soient P= (1, 2i, 2, 0, 0, . . .) et Q= (1, 2, 0, 0, . . .) dans C[X].___c0= a0b0= 1,c1= a0b1 + a1b0= 2 + 2i,c2= a0b2..=0+a1b1 + a2b0= 2 + 4i,c3= a0b3..=0+a1b2..=0+a2b1 + a3b0..=0= 4,c4= a0b4..=0+a1b3..=0+a2b2..=0+a3b1..=0+a4b0..=0= 0,cn= 0 pour tout n4.On a donc : P Q= (1, 2 + 2i, 2 + 4i, 4, 0, 0, . . .).F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 16Considrons les fonctions polynomiales associes :P= (1, 2i, 2, 0, 0, . . .) C[X] x C P(x) = 1 + 2ix+ 2x2Q= (1, 2, 0, 0, 0, . . .) C[X] x C Q(x) = 1 + 2x.Soit x C. On a alors :P(x) Q(x) = (1 + 2ix+ 2x2) (1 + 2x)= 1 + (2 + 2i)x+ (2 + 4i)x2+ 4x3.Or, P Q= (1, 2 + 2i, 2 + 4i, 4, 0, 0, . . .). Par consquent,x C (
P Q)(x) = P(x) Q(x).Ainsi, la fonction polynomiale associe au produit depolynmes est gale au produit des fonctions polynomialesassocies chacun des polynmes.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 17Structure danneau commutatif sur K[X]En plus dtre un groupe commutatif pour +, lensemble K[X]possde les proprits suivantes :Pour tous P, Q, R K[X], (P Q) R= P (Q R).Pour tous P, Q, R K[X],_P (Q + R) = (P Q) + (P R),(Q + R) P= (Q P) + (R P).Pour tout P K[X], P 1K[X]= 1K[X] P= P o1K[X]not.=(1, 0, 0, . . . , 0, . . .) .Pour tous P, Q K[X], P Q= Q P.En rsum, on dit que _K[X], +, _ est un anneau commutatif.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 18Intgrit de K[X]RemarqueDe plus, pour tous P, Q de K[X],_ P = 0K[X]et Q = 0K[X]_=P Q = 0K[X].ou, par contraposition,P Q= 0K[X]=_ P= 0K[X]ouQ= 0K[X]_.On dit que lanneau _K[X], +, _ est intgre.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 19Notion dindtermine et notationDnition 2.4On appelle indtermine le polynme de K[X] not Xdni parX= (0, 1, 0, 0, . . . , 0, . . .).On vrie alors queX2= X X = (0, 0, 1, 0, 0, 0, . . . , 0, . . .) ,X3= X2X = (0, 0, 0, 1, 0, 0, . . . , 0, . . .) .Par rcurrence, on montre :n NXn= (0, 0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .)o le coefcient 1 est plac au (n + 1)-ime rang.On convient que X0= 1K[X].F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 20Ainsi le polynme P= (a0, a1, a2, . . . , aN, 0, 0, . . .) scrit aussiP= a01K[X] + a1X+ a2X2+. . . + aNXNou encoreP= a0 + a1X+. . . + aNXN. .puissances croissantes= aNXN+. . . + a1X+ a0. .puissances dcroissantes.RemarqueOn a convenu de la notation suivante (abus dcriture!) :X not.= X 1K[X].Ainsi, P= (a0, 0, 0, . . .) scrit : P= a01K[X]not.= a0.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 21Plan du cours1 Dnition de lensemble des polynmes2 Oprations sur les polynmes3 Arithmtique pour les polynmes4 Drivation des polynmes5 Zros dun polynme6 Polynmes coefcients complexes ou relsF. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 22Division euclidienneThorme 3.1Soient deux polynmes A et B de K[X] avec B = 0. Il existe ununique couple (Q, R) de polynmes de K[X] tels queA = BQ + R et deg (R) < deg (B) .Dterminer ce couple (Q, R) de polynmes, cest effectuer ladivision euclidienne de A par B.Les polynmes A et B se nomment respectivementdividende et diviseur.Les polynmes Q et R se nomment respectivementQuotient et Reste.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 23IllustrationSoient A = X4+ 2X3X+ 6 et B= X36X2+ X+ 4 dansR[X]. Effectuons la division euclidienne de A par B. On a :A =Dividende .. X4+ 2X3X+ 6Q1 B= (X46X3+ X2+ 4X)R1= 8X3X25X+ 6Q2 B= (8X348X2+ 8X+ 32)R= R2= 47X213X 26. .ResteDiviseur .. X36X2+ X+ 4 = BX+ 8. .Quotient= Q1 + Q2. .= QOn a ainsi obtenu que deg(R) = 2 < deg(B) = 3 etA = B (X+ 8. .= Q) + 47X213X 26. .= R.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 24Attention aux critures !ATTENTION Lorsque lon pose la division euclidienne, ilest impratif dcrire ces deux polynmes A et B dansle sens des puissances dcroissantes. La division eu-clidienne est dailleurs appele aussidivision suivantles puissances dcroissantes.RemarqueSi deg(A) < deg(B) alors Q= 0K[X] et R= A puisqueA = B 0K[X]. .= Q+ A..= Ret deg(A). .= deg(R)< deg(B).F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 25Divisibilit dans K[X]Dnition 3.1Soient A et B deux polynmes de K[X]. On dit que B divise A(ou que A est divisible par B) sil existe Q K[X] tel queA = B Q.Autrement dit, B divise A si le reste de la division euclidiennede A par B est nul.RemarqueSi B divise A = 0 alors deg(B)deg(A).Le polynme nul est divisible par nimporte quel polynmede K[X].Pour tout K, A divise A puisque A = (A) 1.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 26Polynme irrductibleDnition 3.2Soit P K[X] tel que deg(P)1. Le polynme P est ditirrductible (ou premier) dans K[X] sil admet pour diviseuruniquement les polynmes de la forme 1K[X] et P o K.Dans le cas contraire, on dit quil est rductible.Exemple 3.1Le polynme X2+ 1 est irrductible dans R[X] mais il estrductible dans C[X] car X2+ 1 = (X i)(X+ i).RemarqueSi P K[X] est irrductible alors P = 0K[X].Tout polynme P= a1X+ a0 K[X] avec a1 = 0 estirrductible dans K[X].F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 27Division selon les puissances croissantesThorme 3.2Soit k N.Soient A et B deux polynmes de K[X] avecval (B) = 0. Il existe un unique couple (Qk, Rk) de polynmesde K[X] tels que :A = BQk+ Xk+1Rket deg(Qk)k.Pour k N donn, trouver Qket Rk, cest effectuer la divisionde A par B selon les puissances croissantes lordre k.Les polynmes A et B se nomment respectivementdividende et diviseur.Les polynmes Qket Xk+1Rkse nomment respectivementQuotient lordre k et Reste.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 28IllustrationSoient A = 4 +X2et B= 1 +X+X2deux polynmes de R[X].Effectuons la division selon les puissances croissantes lordrek= 2 de A par B . On obtient : deg(Q2) = 2k= 2 etA = B (4 4X+ X2. .= Q2) + X3(3 X). .= R2.Mais, chtre, comment avons-nous procd?ATTENTIONLorsquelonposeunedivisionselonlespuissancescroissantes(nimportequel ordre) deAparB, il est cettefois-ci impratif dcrirelespo-lynmesAet Bdanslesensdespuissancescrois-santes.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 29On pose la division comme suit :Dividende .. A = 4 + X2(4 + 4X+ 4X2)4X 3X2(4X 4X24X3)X2+ 4X3(X2+ X3+ X4)X3R2= 3X3X4. .ResteDiviseur .. 1 + X+ X2= B4 4X+ X2. .Quotient lordre 2= Q2F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 30Plan du cours1 Dnition de lensemble des polynmes2 Oprations sur les polynmes3 Arithmtique pour les polynmes4 Drivation des polynmes5 Zros dun polynme6 Polynmes coefcients complexes ou relsF. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 31Dnition dun polynme drivDnition 4.1Soient n1 et P= a0 +a1X +a2X2+. . . +anXnun polynmede K[X]. On appelle polynme driv de P le polynme deK[X] not Pdni parPdf.= a1 + 2a2X+ 3a3X2+. . . + nanXn1et on convient que si P= avec K alors Pdf.= 0K[X].Exemple 4.1Si P= 3 + 2X3+ 4X5alors P= 6X2+ 20X4.Soit n1. Si P=n
k=0akXkalors Pdf.=n
k=1kakXk1.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 32RemarquesSoit n N. Si deg(P) = n alors deg(P) = n 1.Si K = R alors P(x) correspond la drive de la fonctionpolynomiale P(x), autrement dit :x RP(x) =dPdx (x).Proposition 4.1Soient P, Q deux polynmes de K[X] et K. On a alors :(P + Q)= P+ Q.(P)= P.(PQ)= PQ + PQ.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 33Drives successivesDnition 4.2Soit P K[X]. On dnit par rcurrence le polynme drivdordre n du polynme P comme suit :_P(0)df.= Pn NP(n+1)df.=_P(n)_.Ainsi, on a successivement :P(0)= P, P(1)= P, P(2)= (P), P(3)= (P), . . .et on note souvent :P(2)not.= Pet P(3)not.= P.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 34Soit k un entier. tudions dans un premier temps les drivessuccessives du monme Xk. On vrie que :___(Xk)(1)= kXk1,(Xk)(2)= k(k 1)Xk2,(Xk)(3)= k(k 1)(k 2)Xk3,(Xk)(4)= k(k 1)(k 2)(k 3)Xk4,...(Xk)(h)= k(k 1)(k 2) . . . (k h + 1)Xkh,o h dsigne un entier infrieur ou gal k. En particulier :(Xk)(k)=_k (k 1) (k 2) . . . 2 1_. .= k!X0= k!.Cest un polynme constant. Ainsih N_ h > k =(Xk)(h)= 0_.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 35tudions prsent temps les drives successives dunpolynme quelconque de K[X]. SiP=n
k=0akXkalors, pour tout entier hn, on a :P(h)=n
k=h_k(k 1)(k 2) . . . (k h + 1)akXkh_.En particulier :P(n)=_n (n 1) (n 2) . . . 2 1_. .= n!anX0= n! anCest un polynme constant. Ainsi,h N_ h > n =P(h)= 0_.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 36Formules de Mac-Laurin et Taylor pour les polynmesProposition 4.2 (Formule de Mac-Laurin pour les polynmes)Soit P= a0 + a1X+ a2X2+. . . + anXnun polynme de K[X].Alors, pour tout k {0, 1, . . . , n}, ak= P(k)(0)/k!. En dautrestermes, si P est un polynme de degr n alorsP= P(0) +P(0)1!X+
P(0)2!X2+. . . +P(n)(0)n!Xn.Corollaire 4.1 (Formule de Taylor pour les polynmes)Soient c K et P K[X] tel que deg(P) = n. AlorsP= P(c) +P(c)1!(X c) +. . . +P(n)(c)n!(X c)n.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 37Plan du cours1 Dnition de lensemble des polynmes2 Oprations sur les polynmes3 Arithmtique pour les polynmes4 Drivation des polynmes5 Zros dun polynme6 Polynmes coefcients complexes ou relsF. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 38Dnition dun zroDnition 5.1Soit P un polynme de K[X]. On dit que K est un zro (ouune racine) de P siP() = 0o P est la fonction polynomiale associe P.Exemple 5.1X22 Q[X] nadmet aucun zro (dans Q).X22 R[X] admet un zro (dans R) car (2)22 = 0avec 2 R \ Q.X2+ 1 R[X] nadmet aucun zro (dans R).X2+ 1 C[X] admet un zro (dans C) car i2+ 1 = 0 aveci C \ R.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 39On appelle quation algbrique dinconnue x sur K unequation de la forme :P(x) = 0o P: K K est la fonction polynomiale associe unpolynme P de K[X].Proposition 5.1Soit P un polynme de K[X]. Llment de K est une racinede P si, et seulement si, X divise P.Exemple 5.2Le polynme P= 5X225X+ 30 de R[X] admet pour racineles deux rels 2 et 3 puisque P(2) = P(3) = 0. Il est doncdivisible la fois par X 2 et par X 3. On obtient :P= 5(X 2) (X 3) .F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 40Multiplicit dun zroDnition 5.2Soient P K[X] et K. On dit que est une racine demultiplicit h de P sil existe un polynme Q de K[X] tel queP= (X )hQ et Q() = 0.Lentier naturel h sappelle lordre de multiplicit de la racine .En particulier :la racine est appele racine simple de P lorsque h = 1,la racine est appele racine multiple de P lorsque h > 1.Si h = 2 alors est une racine double, si h = 3 alors est uneracine triple.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 41Exemple 5.3Considrons le polynme P= X5X3X2+ 1 de R[X].Il admet un zro simple qui est 1 car il existe Q1 R[X]avec Q1(1) = 0 tel queP= (X+ 1)(X4X3X+ 1. .= Q1).Le polynme Q1 sobtient en effectuant la divisioneuclidienne de P par X+ 1.Il admet un zro double qui est 1 car il existe Q2 R[X]avec Q2(1) = 0 tel queP= (X 1)2(X3+ 2X2+ 2X+ 1. .= Q2).F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 42Proposition 5.2Soit P K[X]. Si les scalaires 1, 2, . . . , m de K sont desracines distinctes de P, de multiplicits respectives h1, h2, . . . ,hm, alors il existe un polynme Q de K[X] tel queP=_m
k=1(X k)hk_Qavec Q(k) = 0 pour tout k {1, . . . , m}.Exemple 5.4Soit P= X5X3X2+ 1 R[X]. Il admet 1 pour zrosimple et 1 pour zro double car il existe Q R[X] tel queP= (X+ 1)(X 1)2(X2+ X+ 1. .= Q) et Q(1) = 0, Q(1) = 0.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 43RemarqueSi P=_m
k=1(X k)hk_Q alors, en passant aux degrs, on a :deg(P) = h1 + h2 +. . . + hm + deg(Q) .Ainsi, la somme des multiplicits des racines distinctes dunpolynme est infrieure ou gale au degr de ce dernier :h1 + h2 +. . . + hm deg(P) .Par consquent :Tout polynme P K[X] de degr n1 possde au plusn zros distincts. Il peut bien-sr nen possder aucun;Tout polynme P K[X] de degr n possdant n +1 zrosdistincts est ncessairement nul.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 44Lien entre multiplicit dun zro et polynmes drivsLemme 5.1Soit P un polynme de K[X]. Si est une racine de multiplicith > 1 de P alors est une racine de multiplicit h 1 de P.Proposition 5.3Soit P K[X]. Le scalaire K est une racine de multiplicit hde P si, et seulement si, on a la fois :_ k {0, . . . , h 1}P(k)() = 0_etP(h)() = 0.Exemple 5.5Soit P= X33X+ 2 R[X]. On a : P= 3X23 et P= 6X.P admet 1 pour racine double car P(1) =P(1) = 0 etP(1) = 6 = 0.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 45Plan du cours1 Dnition de lensemble des polynmes2 Oprations sur les polynmes3 Arithmtique pour les polynmes4 Drivation des polynmes5 Zros dun polynme6 Polynmes coefcients complexes ou relsF. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 46Polynmes de C[X]Thorme 6.1 (de dAlembert-Gauss)Tout polynme de C[X] de degr n1 admet au moins uneracine dans C.Jean Le Rond dAlembert(1717, Paris - 1783, Paris)Ainsi, tout polynme de C[X] de degr n1 possde n racinesdans C, distinctes ou confondues. En ce sens, on dit que C estun corps algbriquement clos.Consquence : les seuls polynmes irrductibles dans C[X]sont les polynmes de degr 1.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 47Soit P= (ak)kN C[X] tel que deg(P) = n.Si 1, . . . , m sont les m racines distinctes de P, demultiplicits respectives h1, . . . , hm, alorsmn et h1 +. . . + hm= n.Le polynme P se factorise alors sous la forme suivante :P= anm
k=1(X k)hk.Exemple 6.1Les zros de P= X5X3X2+ 1 C[X] sont les complexes1, j, j (zros simples) et 1 (zro double). La factorisation de Pen produit de polynmes irrductibles dans C[X] scrit :P= (X+ 1)(X 1)2(X j)(X j).F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 48Polynmes de R[X]Puisque R C, tout polynme de R[X] de degr n possden zros (distincts ou confondus) dans C.Proposition 6.1Soit P R[X]. C est un zro de multiplicit h de P dans Csi, et seulement si, est un zro de multiplicit h de P dans C.Les zros dun polynme de R[X] ne sont pas toujours tousrels. Si P= aX2+ bX+ c avec (a, b, c) R3, a = 0, Alorsle polynme P possde des zros rels seulement dans lecas o b24ac 0.Dans le cas o b24ac< 0 les zros du polynme Pappartiennent C \ R.Contrairement C, le corps R nest pas algbriquement clos.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 49Proposition 6.2Tout polynme de R[X] de degr impair admet au moins unzro rel.Dans R[X], les polynmes irrductibles sont :les polynmes de degr 1,les polynmes de degr 2 ne possdant aucune racinerelle.Tout polynme de R[X] de degr n3 est ncessairementrductible.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 50Factorisation irrductible dans R[X].Nous ne nous intressons ici quaux racines distinctes.Certaines de ces racines sont relles, notes 1, . . . , mde multiplicits h1, . . . , hm.Les autres racines appartiennent C \ R, classes parcouples de zros conjugus (1, 1), . . . , (m , m ) demultiplicits s1, . . . , sm .On a alors : h1 +. . . + hm + 2(s1 +. . . + sm ) = n.Le polynme P R[X] se factorise alors sur C comme suit :P= an_m
k=1(X k)hk_. .racines dans R_m
k=1(X k)sk(X k)sk_. .racines dans C \ R.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 51Le polynme P R[X] se factorise sur R comme suit :P= an_m
k=1(X k)hk_. .racines relles_m
k=1(X2+ pkX+ qk)sk_. .py irrductibles sur Ravec p2k 4qk< 0 pour k {1, . . . , m} et o X2+ pkX+ qkadmet ket kpour zros dans C.Exemple 6.2La factorisation de P= X5X3X2+ 1 R[X] en produit depolynmes irrductibles dans R[X] scrit :P= (X+ 1)(X 1)2(X2+ X+ 1).F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 52Relations entre coefcients et racines dun polynmeSoit P=
nk=0akXk K[X] de degr n. On suppose que Padmet n racines 1, . . . , n (distinctes ou conf.) sur K. AlorsP= ann
k=1(X k) .On dit alors que P est scind sur K. Il existe des relations entreses coefcients et ses n racines.Exemple 6.3Si P est un polynme scind de degr 2 alorsa2X2+ a1X+ a0= a2 (X 1) (X 2) .Do les deux relations (formules de Vite) :1 +2= a1/a2et 12= a0/a2.F. STURM, Ple de Mathmatiques, INSA de Lyon Cours de Mathmatiques - Premire Anne ASINSALes polynmes 53Plus gnralement, si P est un polynme scind de degr nalors il y a n formules reliant les coefcients et les racines de P.Elles scrivent :k {1, 2, . . . , n}
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