fenómenos críticos

Fsica EstadsticaGrado de Fsicas

Leccion 6: Materia y campo magnetico. Introduccion a los fenomenoscrticos

Introduccion: Diamagnetismo y paramagnetismo Teorema de Bohr van Leeuwen Paramagnetismo: modelo de dipolos en un campo magnetico Paramagnetismo: modelo de fermiones de Pauli Diamagnetismo de Landau Ferromagnetismo: Modelo de Ising de Campo Medio Introduccion a los fenomenos crticos

1. Introduccion: Diamagnetismo y paramagnetismo.

Las propiedades magneticas de la materia tienen su origen, casi exclu-sivamente, en los momentos magneticos de los electrones. El nucleosolo contribuye en la practica a traves de su influencia en las funcionesde onda de los electrones y en la formacion de la funcion de onda delion. Esto es debido a que la masa del nucleo es aproximadamente 1000veces la electronica, y su momento magnetico es dado por ~ = g e2mc

~J.

Al aplicar exteriormente un campo magnetico, ~H, el sistema respondecon una magnetizacion, ~M, o momento magnetico total que presentauna componente Mz en la direccion del campo, de modo que la sus-ceptibilidad magnetica,

limH0

MzHMzH

pues suponemos linealidad de Mz para H suficientemente pequeno.Los materiales magneticamente activos pueden presentar dos tiposde comportamiento distinto:

Materiales diamagneticos.

Materiales paramagneticos.

1

Materiales diamagneticos.

Son materiales que son repelidos por el campo magnetico, esto es,llevados a regiones en las que este es mas debil.

La susceptibilidad es:

negativa, < 0

pequena, tpicamente 106 / mol depende poco de la temperatura (salvo a muy bajas temperaturas,

cuando los metales diamagneticos presentan fuertes variaciones de con T, y violentas oscilaciones al variar un poco el valor de ~H.Esto se llama efecto Haas van Alphen)

Materiales diamagneticos: benceno, cloruro sodico, bismuto,...

Materiales paramagneticos.

Los metales nodiamagneticos son paramagneticos: atraidos por campomagnetico.

> 0 y relativamente grande 102 103 / mol casi independiente de ~H, salvo cuando el campo es muy intenso. mayor sensibilidad a la temperatura que el diamagnetismo.

Experimentalmente se encuentra que los no metales tienen una sus-ceptibilidad:

T,P 1

T que es la llamada ley de CurieWeiss.

A temperaturas suficientemente altas, T >> , se tiene la ley de Curie 1/T.Los metales tienen un comportamiento mas complicado con la tem-peratura.

Materiales paramagneticos:

nometales: las sales de transicion y las tierras raras.

metales: aluminio, sulfato de cobre,...

2

Todos los materiales paramagneticos sufren un cambio de fase a tem-peraturas suficientemente bajas en los que el material tiene un mo-mento magnetico no nulo aun en ausencia de campo magnetico ex-terno. Veremos que el paramagnetismo y el diamagnetismo se puedenmodelar como gases ideales de momentos magneticos o cargas electricasinteraccionando con un campo magnetico externo. Para modelar losfenomenos ferromagneticos es necesario tener en cuenta la interaccionentre los momentos magneticos de cada partcula.

2. Teorema de Bohr van Leeuwen.

Teorema: El magnetismo es cuantico. Un sistema clasico de partculascargadas en equilibrio termodinamico no puede manifestar efectosmagne-ticos.

Demostracion: La funcion de particion clasica es una integral en :

QN () =

...

d ~p1... d ~pN d ~q1... d ~qN e

H .

Un campo magnetico ~H = ~ ~A aplicado al electron transforma:

~pj ~pj e

c~A (~qj) ,

donde ~A (~qj) es el potencial vector que representa el campo.

Entonces, aplicando a cada partcula la transformacion:

~q ~q

~p ec~A (~qj) ~k

se tiene la funcion de particion transformada:

QN () =

...

|J | d~k1... d~kN d ~q1... d ~qN eH

(kN ,qN),

donde el jacobiano |J | de la transformacion es la unidad.Se sigue que la funcion de particion transformada QN () no tienedependencia explcita en el campo ~H (ni en ~A), luego

Mz =1

HlnQN () = 0.

QED

3

3. Paramagnetismo: modelo de dipolos en un campo magnetico.

Modelamos ahora un material magnetico como un sistema ideal, estoes, H =

iHi. Notar que el modelo solo tendra sentido cuando los

elementos (ej, iones) magneticamente activos esten suficientementeseparados y/o la temperatura sea lo suficientemente alta para quela energa de interaccion dipolo-dipolo sea despreciable respecto ala energa termica. A bajas temperaturas se hacen importantes lasinteracciones entre los dipolos y se produce el cambio de fase a esta-dos ferro y antiferromagneticos que no puede ser explicados con unHamiltoniano de elementos independientes.

Sean N dipolos magneticos, cada uno con su momento magnetico ~,tal que:

pueden orientarse libremente,

son independientes (no interaccionan) entre s y

estan localizados (en los nudos de la red), esto es, son distinguibles.

Suponemos que, en presencia de un campo magnetico externo, ~H,tienden a orientarse en la direccion de este, contribuyendo as a lamagnetizacion total ~M.

No tenemos en cuenta otros efectos, as cuando H el sistemapresentara su magnetizacion maxima, ~M = N~.

Para valores de H finitos, esperamos que la interaccion de los dipoloscon el bano termico, consecuencia de las vibraciones de la red en laque estan localizados los dipolos, se oponga a la tendencia alineadoradel campo magnetico y, por lo tanto la magnetizacion disminuira.Cuando H = 0 los dipolos se orientaran al azar tendiendose a M = 0.Para construir el Hamiltoniano hemos de tener en cuenta que:

Aparte de la agitacion termica, los dipolos son practicamente estaticos,de modo que H no contiene terminos cineticos.

La energa potencial, debida a la interaccion de los dipolos con elcampo externo es, en buena aproximacion:

H = Ni=1

~i ~H = Ni=1

z(i)H

donde suponemos que el campo magnetico define el eje z.

4

El signo asegura la menor energa para dipolos paralelos a ~H.

La funcion de particion es:

QN () =

sobre estadosposibles

eH ={z}

exp

(H

Ni=1

z(i)

)

=Ni=1

{z}

exp (Hz)

= [Q1 ()]N (1)donde

Q1 () =z

exp (Hz)

que es la funcion de particion de uno cualquiera de los dipolos.

Sabemos que :

Mz

Ni=1

z(i)

=

1

HlnQN () =

N

HlnQ1 ()

Modelo clasico de Langevin:

Consiste en suponer que todos los dipolos admiten cualquier ori-entacion. Esto es, si z = cos :

Q1 () =

20

0

eH cos sen d d = 4senh (H)

Hse sigue para el momento magnetico medio por dipolo:

z MzN

=1

HlnQ1 () =

1

1

Q1

Q1H

=

[coth (H) 1

H

]= L (H) ,

donde L (x) coth (x) 1/x es la funcion de Langevin.Notese como la magnetizacion depende del argumento

x HkBT

5

que mide la relacion entre la energa (potencial) magnetica y la energatermica.

Es facil ver que cuando H entonces z (todos los dipolosestan alineados con el campo magnetico externo). Si H 0 o T entonces z ' x ' 1/T que es la Ley de Curie observada experimen-talmente.

Modelo cuantico:

El tratamiento original de Langevin es susceptible de incorporar elhecho de que, en la practica, el momento magnetico ~ solo admiteciertas orientaciones en el espacio, determinadas por los momentosorbitales y de espn totales. Mas concretamente, la componente de ~en la direccion del campo aplicado solo puede tomar los valores:

|~|z z = gBm

donde:

B =

eh2mec es el magneton de Bohr,

g = 32 +s (s+ 1) ` (`+ 1)

2j (j + 1)

m es el numero cuantico magnetico: m = j,j+ 1, ..., j1, j lo quesuele interpretarse como que solo son posibles 2j + 1 orientacionesde ~.

En estas condiciones la funcion de particion de un dipolo es:

Q1 () =

jm=j

exp (HgBm) .

Si escribimos definimos:x HgBj,

se tiene

Q1 () =

jm=j

exp

(mx

j

)=

senh[x(

1 + 12j

)]senh

(x2j

) ,

6

luego

z MzN

=1

HlnQ1 () =

1

1

Q1

Q1H

= gBj

{(1 +

1

2j

)coth

[x

(1 +

1

2j

)] 1

2jcoth

(x

2j

)}= Bj (x) ,

donde

Bj (x) (

1 +1

2j

)coth

[x

(1 +

1

2j

)] 1

2jcoth

(x

2j

)es la funcion de Brillouin de orden j:

Casos particulares:

H intenso y T baja (x = H/kBT >> 1) : de acuerdo con figura,Bj (x)

x1, luego se tiende hacia z = max |~| , que es un

estado de saturacion magnetica.

H debil y T alta (x

y la susceptibilidad sigue la ley de Curie para temperaturas altas:

limH

MzH

' N02

3kT

(1 +

1

j

)=

CjT

Lmite clasico: El modelo muestra una clara dependencia con j. Ellmite clasico es j (todas las orientaciones son posibles), parael que tendra que recobrarse la teora de Langevin. Este lmite hade tomarse conjuntamente con h 0, para que

= gBj = geh

2mecj hj

permanezca constante. Se tiene(1 +

1

2j

)coth

[x

(1 +

1

2j

)] coth (x)

1

2jcoth

(x

2j

) 1

2j

(2j

x+x

6j x

3

8 45j3+ ...

) 1

x

luego se confirma lo esperado:

limj

Bj (x) = coth (x)1

x= L (x)

Comparacion con experimentos:

La validez de esta ley ha sido comprobada en muchos materiales. Asien la figura vemos 1/ versus T para una sal de gadolinio:Gd(C2H5SO4)9H2O. La lnea recta es la ley de Curie.

Tambien se comprueba la prediccion general del modelo, z = Bj (x).En la figura vemos z/B versus H/T . Las curvas son la prediccion

8

experimental. Los smbolos son datos para, de abajo hacia arriba:(I) potassium chromium alum (j = 32 ,g = 2 ), (II) ammonia alum(j = 52 ,g = 2), y (III) gadolinium sulphate octahydrate (j =

72 ,g = 2).

4. Paramagnetismo: modelo de Fermiones de Pauli

En los modelos anteriores vimos que el ajuste con los experimentosera bueno. Sin embargo, la prediccion de esos modelos de saturacionmagnetica cuando la temperatura tiende a cero (Mz = N y = 0) noes correcta. Se observa con generalidad que a temperaturas suficien-temente bajas la susceptibilidad tiende a una constante no nula.

Pauli (1927) explico este desacuerdo como consecuencia de que loselectrones de conduccion de los metales alcalinos son un gas de Fermimuy degenerado. Pauli razona que como consecuencia del principio deexclusion no puede alcanzarse la saturacion magnetica a temperaturacero: si dos electrones estan en el mismo estado es imposible quetengan sus espines en la direccion ~H. Por lo tanto, ha de esperarse unasusceptibilidad lmite, 0, que sera independiente de la temperaturaaunque probablemente con fuerte dependencia en la densidad del gas.Veamos ese modelo.

Sean N fermiones libres de spn h/2 y energa

=p2

2m ~ ~H

El momento magnetico del electron es proporcional a su espn quesolo puede tener dos estados: es paralelo o antiparalelo a ~H,. De esta

9

forma la energa de un electron puede tener (al interaccionar con uncampo magnetico externo) dos valores segun sea su espn:

=p2

2m H

Pauli sugiere que se estudie el paramagnetismo como una mezcla dedos gases ideales de fermiones, una componente de la mezcla consisteen electrones que tienen todos sus espines positivos y la otra todosnegativos.

Sea np el numero de partculas con momento ~p cuyo momento magneticoes paralelo (antiparalelo) al campo. La energa total del gas es

E =~p

[(p2

2m H

)np +

(p2

2m+ H

)n+p

]=~p

p2

2m

(n+p + n

p

) H

~p

(n+p np

)=~p

p2

2m

(n+p + n

p

) H

(N+ N

)Al ser fermiones np = 0, 1. La funcion de particion se sigue de

Z =

N=N++N=

~p n+p +

~p np

np =0,1

exp (E)

que puede calcularse fijando N+ (que fija N = N N+), sumandosobre todos los posibles np , y sumando sobre N

+, desde N+ = 0 hastaN+ = N, esto es,

Z =N

N+=0

eH(2N+N)

n+p

(n+p =N

+)

e

~pp2

2mn+p

np

(np =N

)

e

~pp2

2mnp

= eHNN

N+=0

[e2HN

+

Z0(N+)Z0(N N+

)]donde

Z0 (N ) =np=1

(np=N )

e

~pp2

2mnp exp [A0 (N )]

10

representa la funcion de particion de un gas ideal de Fermi de Npartculas sin espn de masa m, y A0 (N ) es la energa libre de estesistema ficticio.

Tomando logaritmos:

1

NlnZ (N) = H

+1

Nln

NN+=0

exp[2HN+ A0

(N+) A0

(N N+

)] f(N+)

Las propiedades de la distribucion f (N+) nos son familiares. Apli-cando steepest descends se tiene

1

NlnZ (N) = H + 1

Nln f

(N+)

donde N+ es el valor de N+ que hace f (N+) maximo.

El numero medio de partculas con espn paralelo en el estado deequilibrio, N+, se sigue de la condicion de maximo,

2H[A0 (N

+)

N+

]N+[A0 (N N+)

N+

]N+

= 0,

que equivale a0(N+) 0

(N N+

)= 2H

con 0 (N ) el potencial qumico del sistema ficticio.Si definimos r tal que:

N+ =1 + r

2N, N =

1 r2

N,

se puede expresar la condicion anterior como una ecuacion para r:

0

(1 + r

2N

) 0

(1 r

2N

)= 2H

Por ultimo, conocido N+, la magnetizacion se sigue (N = N N+) deM =

(N+ N

) Nr, (0 r 1)

Para H = 0, no hay direccion preferida por los espines, luego M = 0 yr = 0 si H es suficientemente pequeno, se puede desarrollar alrededorde r = 0 para escribir:

0

(N

2

)+r

2

[0 (xN)

x

]x= 12

+ 0(N

2

)+

11

r

2

[0 (xN)

x

]x= 12

+ = 2H

de donde podemos despejar r en funcion de H. As obtenemos que:

=1

VlimH0

M

H=

22n[0(xN)

x

]x= 12

Para hacer explcito este resultado, hay que usar aqu la expresionadecuada para el potencial qumico del sistema de partculas sin espn.

En el cero absoluto ( ' F),

' F =(

3N

4V

)2/3h2

2m

luego, para un sistema de xN partculas se tiene:

0 (xN) = x2/3

(3N

4V

)2/3h2

2m

y para el sistema real

realF =1

22/3

(3N

4V

)2/3h2

2m.

As: [0 (xN)

x

]x= 12

=24/3

3realF

y se sigue:

(T = 0) =3

21/32

n

realFque es no-nula e independiente de T (pero depende de n).

Para temperaturas bajas, sabemos que

' F

[1

2

12

(kBT

F

)2]y se sigue que

' 0

[1

221/3

12

(kBT

F

)2]

12

5. Diamagnetismo de Landau

El diamagnetismo es consecuencia de la libertad de movimiento quetienen los electrones en presencia de un campo. Pero como vimos,por el Teorema de Bohr-van Leeuwen, la teora clasica es incapaz deexplicar efectos magneticos, luego ha de estar asociado a fenomenocuantico. Landau (1930) lo asocio con la cuantizacion de las orbitasde las partculas cargadas en presencia de ~H, esto es, con el hecho deque la energa cinetica de las partculas asociada con el movimientoperpendicular a la direccion del campo magnetico no puede tomarcualquier valor. Esta circunstancia implicaba que existe una con-tribucion adicional a la susceptibilidad paramagnetica, que es cuali-tativamente semejante a esta, pero negativa.

Sea un gas de electrones libres, salvo que interaccionan con ~H, sinespn (ya conocemos las consecuencias de este grado de libertad), yconfinado en volumen V. Con notacion usual, el hamiltoniano es

H =1

2m

(~p e

c~A)2

+ (~r) .

donde ~A = (yH2 ,xH2 , 0) Resolviendo la ecuacion de Schrodinger, sus

valores propios son

(j, pz) =ehHmc

(j +

1

2

)+

p2z2m

, j = 0, 1, 2, . . . (2)

Cada nivel energetico j tiene una degeneracion

g = LxLyeHhc

Esto es, g niveles (px, py, pz) cuando H = 0 se transforman en un solo (j, pz) cuando H 6= 0. Esta degeneracion se estima de la siguienteforma:

g =

en un crculo

dnx dny =p= hLn

LxLyh2

ehHmc j

p2x+p2y

2m ehHmc (j+1)

d px d py

(integrando en coordenadas polares)

=LxLyh2

[2m

ehHmc{(j + 1) j}

]= LxLy

eHhc,

que es una medida de la libertad que tiene la partcula para acomodarel centro de su orbita en el area LxLy del espacio fsico.

13

La Funcion de Particion Macrocanonica es

ln =

ln(1 + z e

)=

j=0

pz

g ln[1 + z e(j,pz)

]=

d pzLzhLxLy

eHhc

j=0

ln[1 + z e(j,pz)

]=V eHh2c

d pz

j=0

ln[1 + z e(j,pz)

](3)

y se tiene para el numero de electrones en equilibrio:

N [z

zln

]H,V,T

=V eHh2c

d pj=0

z e

1 + z e 1

z1 e +1

Implicaciones:

Temperaturas altas: Si suponemos que la densidad es suficien-temente baja, entonces z 1, as desarrollando las expresionesanteriores tenemos:

ln ' V eHh2c

d pz

j=0

z exp [ (j, pz)]

=zV eHh2c

d pz

j=0

exp

[ p

2z

2m ehH

mc

(j +

1

2

)]

=zV eHh2c

d p exp

( p

2

2m

)

integral gausiana

j=0

exp

[ehH

mc

(j +

1

2

)]

serie geometrica

=zV eHh2c

integral (2m

)1/2 serie [2 senh

(ehH2mc

)]1=zV

3x

senhx,

dondex BH (B = magneton de Bohr)

14

y

M 1

(

Hln

)= BNL (x)

donde L (x) cothx 1x

es la funcion de Langevin que ya aparecio

antes. De hecho, este resultado coincide con el paramagnetico,salvo que ahora es M < 0 independientemente del signo de lacarga eletrica de la partcula como se observa en situaciones dia-magneticas.

Temperaturas altas, n 1 y campos magneticos debiles: EntoncesBH kBT = x BHkBT 1, luego:

M ' BNx

3= N

2BH

3kBTy

= n2B3kBT

que es el equivalente magnetico de la ley de Curie.

kBT F (gas ideal muy degenerado) y H debil: En este caso

tenemos: ' F[1 212

(kBTF

)2]z exp

(

kBT

)= exp

(FkBT

+ ) 1.

Si, ademas el sabemos que BH kBT , puede aproximarse la sumasobre j de la funcion de particion por una integral utilizando laformula de Euler:

j=0

f

(j +

1

2

)'

0

f (x) dx+1

24f (0)

obteniendo despues de un pequeno calculo:

0 = 1

2n2B/F ,

otra vez independiente de la carga y del mismo orden que el efectoparamagnetico cuando es del orden de magnitud de B.

Efecto Haas-van Alphen (1930): para temperaturas muy por de-bajo de la de Fermi y campos relativamente fuertes, esto es,

kBT BH F

15

la Funcion de Particion Macrocanonica tiene una parte oscilatoriade la forma:

(ln )osc (BH)3/2

`=1

(1)`

`3/2

cos(

`BHF

4

)senh

(`BHkBT

)de donde se sigue una susceptibilidad oscilatoria,

osc =1

VH

(

Hln

)osc

.

Es notable el coseno del numerador, que predice violentas oscila-ciones con 1/H : Las oscilaciones son despreciables para BH kBT, como conse-

cuencia de la funcion hiperbolica en el denominador, y se tienenpropiedades suaves como predice el diamagnetismo de Landau

Estos terminos oscilatorios seran apreciables si BH 2kBT, loque corresponde a H 105T Oersted. Luego han de ser observ-ables para campos suficientemente intensos a muy bajas tem-peraturas, lo que explica oscilaciones descritas por primera vezen 1930, conocidas como efecto Haas-van Alphen.

Parte de su importancia radica en que el periodo de la oscilaciones funcion de F . Lo que permite conocer experimentalmente F .

6. Ferromagnetismo: Modelo de Ising de Campo Medio

Ya hemos dicho que todo material paramagnetico se convierte en fer-rromagnetico a bajas temperaturas. Para explicar ese cambio de fasehemos de abandonar los modelos de gas ideal de dipolos magneticose introducir modelos donde exista interaccion entre los momentosmagneticos de las partculas que componen el solido. Uno de los mod-elos mas sencillos que explica el cambio de fase para-ferromagneticoes el modelo de Ising resuelto exactamente en dos dimensiones porOnsager en 1944. Veamos una version simplificada del mismo.

Sea un conjunto de N partculas con espn si = 1 que interaccio-nan entre si por medio del Hamiltoniano

HN(s) = J

N

Ni=1

Nj=1

sisj Ni=1

Bisi (4)

16

donde J > 0 y Bi son campos magneticos locales que actuan sobrelos espines.

Nos interesa conocer las propiedades termodinamicas del sistema.Para ello calculamos la funcion de particion:

ZN =s1=1

s2=1

. . .sN=1

eHN (s)

=s

exp

JN

(Ni=1

si

)2+

Ni=1

Bisi

(5) Utilizamos la igualdad

e2

=12

Rdy exp

[y

2

2+

2y

](6)

para convertir el termino cuadratico ensi en un termino lineal.

Sustituyendo obtenemos:

ZN =12

Rdyey

2/2s

exp

[Ni=1

si

(Bi +

2J

Ny

)]

=12

Rdy exp

[y

2

2+

Ni=1

ln

(2 cosh

(Bi +

2J

Ny

))]donde ya hemos realizado la suma explcita sobre todas las config-uraciones de espines.

Para realizar la integral hemos de darnos cuenta que realizando elcambio de variables x = y/

N podemos escribirla:

ZN =

N

2

RdxeNG(x) (7)

donde

G(x) =x2

2 1N

Ni=1

log[2 cosh

(2Jx+ Bi

)](8)

Podemos extraer el comportamiento de la integral cuando N .Para ello buscamos el valor de x que hace extremal a la funcionG(x):

dG(x)

dx

x=x

= 0 (9)

17

y desarrollamos la funcion G alrededor de dicho valor:

ZN =

N

2

Rdx exp

[NG(x) N

2

d2G

dx2

x=x

(x x)2 +NO(x x)3]

Si realizamos el cambio de variable: z =N(x x) obtenemos:

ZN = (2)1/2eNG(x

)

Rdz exp

[1

2

d2G

dx2

x=x

z2 +O(N1/2)

] De esta forma la energa libre de Helmholtz es:

f = kBTN

lnZN = kBTG(x)

= kBT

[x2

2 1N

Ni=1

log[2 cosh

(2Jx + Bi

)]](10)

donde x es solucion de la ecuacion:

dG(x)

dx

x=x

= x

2J

N

Ni=1

tanh[

2Jx + Bi

]= 0 (11)

Caso homogeneo (Bi = B): En este caso la energa libre se escribe:

f = kBT

[x2

2 log

[2 cosh

(2Jx + B

)]](12)

donde x es solucion ahora de la ecuacion:

x2J

= tanh[

2Jx + B]

(13)

En este caso podemos interpretar fsicamente al parametro x:

x =

2m , m = si (14)

donde . . . = 1ZN

s eH(s) . . . y podemos escribir la energa libre

como:

f = Jm2 + kBT

[1

2ln(1m2

) ln 2

](15)

donde m es la magnetizacion promedio que es solucion de

m = tanh [2Jm+ B] (16)

Propiedades termodinamicas:

18

0 0,5 1 1,5 2T

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

m

B=0.1B=0.01B=0.001B=0

Mean field Ising model (J=1/2, kB=1)

(phase.agr)

Ecuacion de estado: m = m(T,B) Observamos que el sistemapresenta un cambio de fase de segundo orden para B = 0. ParaT > Tc = 2J/kB m = 0 y para T < Tc m 6= 0. En el punto crticola magnetizacion es contnua pero no derivable. Puesto que laenerga libre de Helmholtz depende de m esta singularidad sereflejara en todas las magnitudes termodinamicas.

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

Ene

rgy

0,5

1

1,5

2S

peci

fic h

eat

0 0,5 1 1,5T

0

10

20

30

40

Sus

cept

.

0,5 1 1,5 2T

-1,5

-1,25

-1

-0,75

Fre

e en

ergy

Punto crtico: Para B = 0 sabemos que m es solucion de laecuacion:

m = tanh [2Jm] (17)

cuando T < Tc m 6= 0 pero en las cercanas de Tc m ' 0 asi quepodemos desarrollar esa expresion para m pequenas:

m = 2Jm 13

(2Jm)3 +O(m5) (18)

despejando m obtenemos:

m2 =3

(2J)3(2J 1) +O(2J 1)3 (19)

19

luego si 2J 1 las soluciones son:

m = 31/2

(2J)3/2(2J 1)1/2 (20)

El punto crtico es el valor de Tc para el que la magnetizacionse hace cero:

2cJ = 1 Tc =2J

kB(21)

Exponentes crticos: Desarrollando los observables termodinamicosalrededor de la Temperatura crtica obtenemos sus compor-tamientos crticos:

m ' A01/2 = 1/2u ' A1c ' A2 = 0 ' A31 = 1m ' A4B1/3 = 3

donde = (T Tc)/Tc. Observar que se cumple la igualdad entreexponentes: + 2 + = 2 (igualdad de Rushbrooke) asi comola igualdad de Griffiths: + (1 + ) = 2.

Fluctuaciones: Podemos calcular la probabilidad de encontrar unvalor m de la magnetizacion:

PN(m) =s

ZN1eH(s)(m 1

N

Ni=1

si) (22)

Se puede demostrar que:

PN(m) = exp [N (f(m) f(meq))] (23)

donde

f(m) = Jm2 + 12

[(1m) ln (1m)

2+ (1 +m) ln

1 +m

2

](24)

donde meq es el valor de equilibrio. Observamos que meq es solucionde

f(m)

m

m=meq

= 0 (25)

Observar que la funcion f(m) es analtica en m. Sin embargo susextremales tienen un comportamiento no trivial con la temper-atura.

20

-1 -0,5 0 0,5 1m

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

f(m

)+T

ln2

T=0.6T=0.7T=0.8T=0.9T=1T=2

Free energy functional

(freeenergy.agr)

Por ultimo resaltar el concepto de ruptura expontanea de la simetradel sistema. Dado un sistema inicialmente con m = 0, si lo colo-camos a temperaturas menores que la crtica, este elegira uno delos dos estados posibles de equilibrio y el sistema perdera (paraesa realizacion) su simetra . La eleccion de uno u otro maximovendra determinada por las fluctuaciones microscopicas del sis-tema y no se necesita de ningun agente externo para que ocurrael fenomeno.

7. Introduccion a los fenomenos crticos

Definicion de Punto Crtico: Es un punto en el que acaba unacurva de coexistencia.

Un punto crtico esta asociado a un cambio de fase de segundoorden

Experimentalmente se encuentra que no solo las segundas derivadasson discontinuas, sino que en muchos casos son divergentes:

21

Las divergencias (en un fluido monocomponente) estan asociadasa que en el punto crtico coinciden los puntos de inestabilidad deambas fases con los de coexistencia y, por lo tanto es un punto deinflexion de la ecuacion de estado P = P (v, T ).

Luego un punto crtico es solucion de las ecuaciones:

P (vc, Tc)

vc= 0

2P (vc, Tc)

v2c= 0 (26)

donde P (v, T ) es la ecuacion de estado del sistema para temperat-uras por encima del punto crtico (donde no hay coexistencia defases).

Los puntos crticos tienen propiedades muy interesantes que soncomunes a otras disciplinas en fsica como el estudio de las partculaselementales (Teoria Cuantica de Campos). Entre otras podemosdestacar:

1. Exponentes crticos: Muchas magnitudes son SINGULARES(divergentes o con derivadas discontinuas) en el punto crtico.Por ejemplo, sea f = f() un observable que diverge en el punto

22

crtico ( = (T Tc)/Tc), esto es

f() ' A (27)

se denomina exponente crtico.

2. Existen conjuntos de sistemas cuyas magnitudes termodinamicasse comportan de igual forma cerca de sus puntos crticos (reescal-adas con respecto a sus respectivos puntos crticos), esto es,tienen el mismo conjunto de exponentes crticos. A cada grupose le denomina clase de universalidad.NOTAR: la Termodinamica relaciona los distintos observablesmacroscopicos luego si TODOS los observables reescalados dediversas substancias que pertenecen a la misma clase de univer-salidad se comportan de manera identica esto implica que todos

23

esas substancias son indistinguibles cerca del punto crtico. Estapropiedad se denomina Universalidad.Por ejemplo: Cerca del punto crtico TODAS LAS CURVAS DECOEXISTENCIA para distintas subs-tancias son identicas (nor-malizadas a sus respectivas temperaturas y densidades crticas)

3. Invariancia de escala: en el punto crtico la morfologa observadaen la substancia no depende de la escala de observacion.

Algunas de las preguntas que nos interesa responder son:

Como sistemas diferentes pueden comportarse de igual formacerca de un punto crtico

Como se diferencian sistemas que pertenecen a distintas clasesde universalidad?

Cuantas clases de universalidad existen? Las propiedades crticas se explican utilizando la Mecanica Es-

tadstica y el Grupo de Renormalizacion.

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