Examen de admisión 2018-2 SOLUCIONARIOUNIcloud.vallejo.com.pe/SolUNI 2018-2 (MatSL)WSduabBhjemd.pdf · 2018. 8. 9. · 1 SOLUCIONARIOUNI Examen de admisión 2018-2 Matemática PREGUNTA

1

SOLUCIONARIOSOLUCIONARIO UNIUNIExamen de admisión 2018-2

Matemática

PREGUNTA N.º 1

Sean P(x)=9 – x2; Q(x)=ax3 – 2x+3.Determine el valor de a para que P(x) · (Q(x)–1) sea divisible por x – 3 y satisfaga que la suma de los coeficientes de los términos del cociente sea –12.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

Tema: División de polinomios

Análisis y procedimiento

Usando la identidad fundamental de la división se tiene P Q x qx x x( ) ( ) ( )−( )≡ −( ) +1 3 0

donde- q(x) es el cociente.

- el residuo es nulo por ser divisible.

Evaluemos para x=1 y del dato q(1)= –12.

P Q q1 1 11 2( ) ( ) ( )−( )= − ∧

8 (a+1–1)= – 2( –12) a=3

Respuesta: 3

PREGUNTA N.º 2

Determine cuántos números de 3 cifras que son divisibles por 11 tienen por suma de sus cifras igual a 15.

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN

Tema: Divisibilidad


Sea abc uno de los números pedidos, donde

abc a c b+ − +

= → + − =11 11

o o

(I)

Además, del dato, la suma de sus cifras debe ser igual a 15. a+b+c=15 → a+c=15 – b (II)

Reemplazamos (II) en (I).

15 11

11 4

−( )− =

+

↓b b

o

o

→ 11 4 2

o

+ = b

Aplicamos el principio de Arquímedes.

11 2

o

+ =b

Se deduce que b=2.

Luego, en (II) a+c=15 – 2 a+c=13

Finalmente, evaluamos los valores de a y c.

a c+ =

↓ ↓13

456789

987654

6 valores

Por lo tanto, hay 6 números de tres cifras que cumplen dicha condición.

Respuesta: 6

2

LUMBRERAS EditoresUNI 2018-2

PREGUNTA N.º 3

Sean las clases de equivalencia de números racionalesa

b

m

n

r

s

; y

Dadas las siguientes proposiciones:

I. Si a

b

m

n

∩

= φ, entonces an=bm.

II. Si a

b

m

n

∩

≠φ, entonces

n

b

m

a= .

III. Si a

b

m

n

r

s

+

=

, entonces

an bm

bn

r

s

+∈

.

¿cuáles son correctas?

A) solo I B) solo II C) solo IIID) II y III E) I y III

RESOLUCIÓN

Tema: Números racionales


Sean las clases de equivalencia de números racionales

a

b

m

n

r

s

; y

donde {a; m; r} ⊂ Z {b; n; s} ⊂ Z – {0}

I. Correcta

Si a

b

m

n

∩

= φ

� ��

, entonces an=bm.

a

b

m

n≠

→ an ≠ bm

II. Incorrecta

Si a

b

m

n

∩

= φ

� ��

, entonces n

b

m

a= .

a

b

m

n=

→ an=bm

Entonces, n

b

m

a= no cumple si a=0.

III. Correcta

Si a

b

m

n

r

s

+

=

de la construcción delconjunto dee los números

racionales, se tiene

� ��

, entonces an bm

bn

r

s

+∈

(a; b)∼(m; n) (a; b)+ (m; n)

a

b

m

n+

an bm

bn

+

(an+bm; bn)

→ an bm

bn

r

s

+

=

\ an bm

bn

r

s

+∈

Respuesta: solo III

PREGUNTA N.º 4

Halle el menor valor de a+n, donde a; n; M ∈ N, tales que

3 9 3 9 3 9 00 0 259

2 2

a a a

n n

( ) ( ) ( ) =... ...

cifras cifras� ��

MM 2

N es el conjunto de los números naturales.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

Tema: Teoría de divisibilidad


De la igualdad tenemos

3 9 3 9 3 9 00 0 259

2 2

a a a

n n

( ) ( ) ( ) =... ...

cifras cifras� ��

MM 2

3 9 3 9 3 9 10 259

2

2 2a a a M

n

n( ) ( ) ( ) × =...

cifras

� ��

3 9 3 9 3 9 10 259

2

2

37

7a a a

n

n( ) ( ) ( ) × = =...

cifras

o

o

o

� ��

UNI 2018-1Solucionario de MatemáticaAcademia CÉSAR VALLEJO

3

Matemática

Como 102n no es múltiplo de 7 ni de 37, se cumple que

3 9 3 9 3 9 259

2 37

7a a a

n

( ) ( ) ( ) = =...

cifras

o

o

o

� ��

Dado que debemos hallar el menor valor de a+n (a ∈ N; n ∈ N), analizaremos los valores que puede tomar n en la última expresión

Si n=1

→ 3 9 259a( ) =

o

(no existe solución)

Si n=2

→ 3 9 3 9 259

37

7a a( ) ( ) =

o

o

o

3 9 3 9 71a a( ) ( ) =

− 2 3 1

o

6 27 7a+ =o

6 7 6 7a+ + =o o

6 7 6a = −o

a = −7 1o

a=6 (incrementa porque a ≤ 3)

Si n=3

→ 3 9 3 9 3 9 259

37

7a a a( ) ( ) ( ) =

o

o

o

• 3 9 3 9 3 9 72 3 1a a a( ) ( ) ( ) =

− − − 2 3 1

o

0 7=o

(Para que cumpla el criterio del 7, a toma cualquier valor)

• 3 9 3 9 3 9 37a a a( ) ( ) ( ) =

o

3 9 3 9 3 9 37a a a( ) ( )+ ( ) =

o

303 90 909 30 37a a+ + + =

o

333 999 37a+ =

o

37 37 37

o o o

+ = (Para que cumpla el criterio de 37, a toma cualquier valor)

Como queremos el menor valor de a, le damos a=1.Por lo tanto, el menor valor de a+n es 4.

Respuesta: 4

PREGUNTA N.º 5

Se tiene dos barras de oro, en la primera el 80% del peso total es oro y en la segunda el 75% de su peso es oro, siendo esta el cuádruple de la anterior. Si se mezclan, determine la pureza resultante de dicha mezcla.

A) 0,755 B) 0,760 C) 0,765D) 0,770 E) 0,775

RESOLUCIÓN

Tema: Regla de mezcla


Según el enunciado, se tienen dos barras de oro donde el peso del segundo es el cuádruple del peso del primero.Además, nos indican lo siguiente:1.a barra

El 80% del peso total es oro puro. ley1=0,80peso=w

2.a barra

El 75% del peso total esoro puro .ley2=0,75 peso=4w

Nos piden la pureza resultante al mezclar ambas barras, es decir, nos piden la ley media.Finalmente, de los datos anteriores

leyM

w w

w=( )( ) + ( )( )

( )0 80 4 0 75

5

, ,

leyM=0,76

Respuesta: 0,760

4


PREGUNTA N.º 6

En un total de 15 personas, 10 son hombres y 5 son mujeres, van a ser divididos al azar en cinco grupos con 3 personas cada uno. Calcule la probabilidad que en cada uno de los cinco grupos siempre haya una mujer.

A) 0,05B) 0,06C) 0,07D) 0,08E) 0,09

RESOLUCIÓN

Tema: Probabilidades


e: Se divide al azar un total de 15 personas (10 hombres y 5 mujeres) en cinco grupos con 3 personas cada uno.A: En cada uno de los cinco grupos siempre hay

una mujer.

10 hombres y 5 mujeres

1 mujer y

2 hombres

1 mujer y

2 hombres

1 mujer y

2 hombres

1 mujer y

2 hombres

1 mujer y

2 hombres

Cantidad de

resultados

a favor del

evento A

C

= × ×5 2

10 44 3 2 1 528

26

24× × × × × × ÷C C C !

Cantidad de

resultados

totales

= × × × ×C C C C3

15312

39

36 1 ÷5!

De donde

PA

A[ ] =

Cantidad de

resultados a

favor del

evento

Canttidad de

resultados

totales

=× × × × × × ×5 4 3 22

1028

26

2C C C C44

315

312

39

36

1

1

×

× × × ×C C C C

= 81

1001

P A[ ] =0 080919, P A[ ] ≈0 08,

Respuesta: 0,08

PREGUNTA N.º 7

Señale la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. 111(3)=23(5)

II. 0,25=0 1 5, ( )

III. 0 11, ( )a =0 4 5, ( )

, donde a=10.

A) FVF B) FVV C) VFFD) VVF E) VVV

RESOLUCIÓN

Tema: Números avales


I. Verdadera

1113=235

Pasamos ambos números a base 10 para comprobar si se cumple la igualdad.

1×32+1×3+1=2×5 + 3

13=13

Como se puede observar, sí se cumple la igualdad.


5

Matemática

II. Verdadera

0,25=0 15,

Pasamos ambos números a su fracción generatriz

para comprobar si se cumple la igualdad.

25

100

1

4

5

5

=

1

4

1

4=

Como se puede observar, sí se cumple la igualdad.

III. Verdadera

0 0 411 5, ,a

=

Pasamos ambos números a su fracción generatriz.

a11

11

5

510

4

4( )=

a

101=

a=10 Se puede comprobar que el valor de a es 10.

Respuesta: VVV

PREGUNTA N.º 8

Indique el valor de verdad de las siguientes proposicionesI. Si a – b ∈ N y b ∈ N, entonces a ∈ N.II. Si a – b ∈ N y a ∈ N, entonces b ∈ N.III. si a2 ∈ N, entonces a ∈ N.N es el conjunto de los números naturales.

A) VFF B) VFV C) VVFD) VVV E) FVF

RESOLUCIÓN

Tema: Operaciones fundamentales


I. Verdadera

Dado que a – b ∈ N y a ∈ N, podemos afirmar que a – b=c (c ∈ N) a=c+b ↓ ↓ N N → a ∈ N

Entonces, a sí pertenece al conjunto de los naturales.

II. Falsa

Dado que a – b ∈ N y a ∈ N, podemos afirmar que

a – b=c (c ∈ N) a – c=b

↓ ↓ N N Entonces, b no necesariamente es un número

natural.

Nota

También se podría demostrar con un contraejemplo.

Si a=5 y b= (–3), entonces a – b=8.

Se puede observar que a – b ∈ N, pero b ∉ N.

III. Falsa

Dado que a2 ∈ N, podemos afirmar que

a2=c (c ∈ N)

a c= Entonces, a no necesariamente es un número

natural.

Nota

También se puede demostrar con un contraejemplo.

Si a2=8, entonces a= 8 .

Se puede observar que a2 ∈ N, pero a ∉ N.

Respuesta: VFF

PREGUNTA N.º 9

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).Sea A una matriz cuadrada de orden n e I la matriz identidad del mismo orden.

I. Si |A – kI|=0, k número real, entonces

A kIT − =0

II. Si A2= I – A, entonces |A|=0.

III. Si B= (–1)n+1|A|A2n, entonces |B|=|A|3n.

A) VVV B) VFV C) VVFD) FFV E) VFF

6


RESOLUCIÓN

Tema: Determinantes


I. Verdadera

0= − = −( )A kI A kIT

0 = − ( )A kIT T

0 = −A kIT

II. Falsa

A2= I – A ↔ A2+A= I

↔ A(A+ I)= I

↔ A A I I+( ) = → A A I

≠ ≠

⋅ + =

0 0

1

III. Verdadera

B A A A An n n

nn= −( ) = −( )( )+ +

1 11 2 1 2

B A An n n n

= −( ) +( )1

1 2

B An n n

= −( ) +( )1

1 3

Como el producto de dos enteros consecutivos es par n n+( )=( )1 par ,

→ B An= 3

Respuesta: VFV

PREGUNTA N.º 10

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).Sea la matriz

A=

1 0 1

0 1 0

0 0 1

.

I. det A nn( )= para todo n ∈ N.

II. An

n =

1 0

0 1 0

0 0 1

para todo n ∈ N.

III. Si B es la matriz inversa de An, entonces

det B nn( )= − para todo n ∈N.

A) VVV B) VFV C) FVVD) FVF E) FFF

RESOLUCIÓN

Tema: Matrices


I. Falsa

det(An)= (det(A))n

=

= × ×( ) =

1 0 1

0 1 0

0 0 1

1 1 1 1

n

n

Por ser una matriz triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

II. Verdadera

A2

1 0 1

0 1 0

0 0 1

1 0 1

0 1 0

0 0 1

1 0 2

0 1 0

0 0 1

=

=

A3

1 0 2

0 1 0

0 0 1

1 0 1

0 1 0

0 0 1

1 0 3

0 1 0

0 0 1

=

=

A

nn =

1 0

0 1 0

0 0 1

III. Falsa

det(Bn)=|B|n, pero B=A–1

det(Bn)=|A–1|n

det(Bn) =

= =1

1 1A

nn

Respuesta: FVF


7

Matemática

PREGUNTA N.º 11

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. Si a los términos de una progresión aritmética se

le aumenta un valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón.

II. Si la progresión tiene una cantidad par de tér-minos, la suma de los términos extremos de una progresión aritmética (primero y último) es igual a la suma de los términos centrales.

III. Si a los términos de una progresión aritmética se le multiplica por el valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón.

A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) VFF

RESOLUCIÓN

Tema: Sucesiones


Sea la sucesión lineal (progresión aritmética) de razón r.

a a a a a an n{ }: ; ; ; ; ...;1 2 3 4

r r r

I. Falsa

r r r

b a x a x a x a x a x a xn n n{ }= +{ } + + + + +: ; ; ; ; ...;1 2 3 4

II. Verdadera

Sea n=2k; k ∈ Z+. Entonces

a1; a2; a3; ... ; ak; ak + 1; ... ; a2k

k términos k términos

términos centrales

términos extremos

ka a

r

a a

r

k k k=−

+ =−

++2 1 11 1

a2k - ak+1 = ak - a1

a1 + a2k = ak+ak+1

III. Falsa

xr xr xr

c xa xa xa xa xa xan n n{ }={ }= 1 2 3 4; ; ; ; ...;

Si x ≠ 1, no cumple.

Respuesta: VVF

PREGUNTA N.º 12

Determine el conjunto de valores de K para que el siguiente sistema lineal en x e y admita al menos una solución.(K+3)x+2Ky=5K – 9(K+4)x+ (3K – 2)y=2K+1

A) ⟨ – ∞; – 2⟩ ∪ ⟨3; ∞⟩B) ⟨ – ∞; – 2⟩ ∪ ⟨ – 2; 3⟩ ∪ ⟨3; ∞⟩C) ⟨ – ∞; – 2⟩ ∪ ⟨ – 2; ∞⟩D) ⟨ – 2; 2⟩ ∪ ⟨2; 3⟩ ∪ ⟨3; ∞⟩E) ⟨ – ∞; 2⟩ ∪ ⟨2; ∞⟩

RESOLUCIÓN

Tema: Sistema de ecuaciones


Para que admita al menos una solución, debe ser compatible.Determinaremos el conjunto de valores de K donde el sistema sea incompatible para luego calcular su complemento y así determinar los valores de K donde el sistema sea compatible.Usamos el teorema para que el sistema sea incompatible.

K

K

K

K

K

K

+

+=

−≠

−

+

3

4

2

3 2

5 9

2 1� ��

(*)

(K+3)(3K – 2)=2K(K+4)

K2 – K – 6=0 K – 3 K 2

(K – 3)(K+2)=0 K=3 ∨ K= – 2

8


Reemplazamos en (*).

Si K=3: 6

7

6

7

6

7= ≠ (no cumple)

Si K= – 2 : 1

2

4

8

19

3=−

−≠−

− (sí cumple)

Entonces el sistema es incompatible para K= – 2; en consecuencia, es compatible para K ≠ – 2.

Respuesta: ⟨ – ∞; – 2⟩ ∪ ⟨ – 2; ∞⟩

PREGUNTA N.º 13

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).Respecto al sistema de ecuaciones lineales en x, y,

(1– l)x+y=c

2x – ly=2c

x – y= (1+l)c

I. Si l = – 2, el sistema tiene solución para todo c ∈ R.II. Si l=0, el sistema no tiene solución.III. Si l=1, el sistema tiene solución única para cada

valor real de c.

A) VVV B) VFV C) VFFD) FVF E) VVF

RESOLUCIÓN

Tema: Sistema de ecuaciones lineales


Se tiene el sistema (1- l)x+y=c

2x - ly=2c

x - y= (1+l)c

I. Verdadera

Para l=-2

3x+y=c (a) 2x+2y=2c (b) x - y=-c (q)

De a+q 4x=0 x=0 → y=c

CS={(0; c) / c ∈R}

Entonces, el sistema tiene solución para todo c ∈ R.

II. Falsa

Para l =0

x+y=c (a) 2x=2c (b) x - y=c (q)

De b x=c → y=0

CS={(c; 0) / c ∈ R}

Entonces, el sistema tiene solución.

III. Falsa

Para l=1

y=c (a) 2x - y=2c (b) x - y=2c (q)

De a

y=c → x c= 32

También x=3c. Esto es una contradicción. Entonces, el sistema no tiene solución ∀ c≠ 0.

Por lo tanto, la secuencia correcta es VFF.

Respuesta: VFF


9

Matemática

PREGUNTA N.º 14

En una granja de pollos se da una dieta “para engor-dar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A, y 20 unidades de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo M con una composición de 1 unidad A y 5 unidades de B, y el tipo N con una composición de 5 unidades de A y 1 de B.El precio del tipo M es de 1000 soles y el del tipo N es de 3000 soles.El dueño de la granja quiere saber qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las ne-cesidades con un costo mínimo.

Six: número de unidades del compuesto M que se

comprany: número de unidades del compuesto N que se

compranmodele el problema que responda a la inquietud del dueño de la granja.

A) mín(1000x + 3000y) sujeto a x + 5y ≤ 15 5x+y ≤ 20 x ≥ 0; y ≥ 0

B) mín(3000x +1000y) sujeto a x+5y ≥ 15 5x + y ≤ 20 x ≥ 0; y ≥ 0

C) mín(1000x+3000y) sujeto a x + 5y ≥ 15 5x+y ≥20 x ≥ 0; y ≥ 0

D) mín(1000x + 3000y) sujeto a x+5y ≥20 5x+y ≥ 15 x ≥ 0; y ≥ 0

E) mín(3000x + 1000y) sujeto a x+5y ≥ 15 5x+y ≥ 20 x ≥ 0; y ≥ 0

RESOLUCIÓN

Tema: Programación lineal


Ordenando los datos, tenemos

compuesto A B cantidad precio

tipo M 1 5 x 1000

tipo N 5 1 y 3000

Luego se requiere un mínimo de 15 unidades A: x+5y≥15se requiere un mínimo de 20 unidades B: 5x+y≥20

Además x ≥ 0; y ≥ 0

Se busca el costo mínimo. mín(1000x+3000y)

Por lo tanto, el modelo matemático tiene la forma

mín sujeto a1000 3000

5 15

5 20

0 0

x y

x y

x y

x y

+( )+ ≥

+ ≥

≥ ≥

;

Respuesta: mín(1000x + 3000y) sujeto a

x+5y ≥ 15 5x+y ≥20 x ≥ 0; y ≥ 0

PREGUNTA N.º 15

Sea M xx x

x x= ∈

+ − +

− − +≥

R2 3

1 40

¿Cuántos números enteros hay en MC?

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

10


RESOLUCIÓN

Tema: Inecuación con valor absoluto


Se tiene

M xx x

x x= ∈

+ − +

− − +≥

R2 3

1 40

Aplicamos un artificio.

x x x x x x

x x x x x x

+ − +( ) + + +( ) − + +( )

− − +( ) − + +( ) + + +( )≥

2 3 2 3 1 4

1 4 1 4 2 30

x x

x x

+( ) − +( )

−( ) − +( )≥

2 3

1 40

2 2

2 2

− +( )

− +( )≥

2 5

5 2 30

x

x

→ +( ) +( ) ≥ ≠−

2 5 2 3 03

2x x x;

++ ++––

– 5 2

– ∞ +∞– 3 2

→ = −∞−

∪

−+ ∞M ; ;

5

2

3

2

Luego,

MC=⟨–2,5; –1,5]

Por lo tanto, la cantidad de números enteros en MC

es uno.

Respuesta: 1

PREGUNTA N.º 16

La ecuación cuadrática x2+bx+c=0 tiene como conjunto solución (∆-1; ∆ + 1), ∆ es el discriminante de la ecuación. Determine la suma de sus raíces.

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 12

RESOLUCIÓN

Tema: Ecuación cuadrática


Sea la ecuación cuadrática x2+bx+c=0 de conjunto solución {∆ –1; ∆+1}.

Por propiedad de raíces• – b=∆ – 1+∆+1 → b= – 2∆• c= (∆ – 1)(∆+1) → c=∆2 – 1

Por definición de discriminante

∆=b2 – 4c

→ ∆ ∆ ∆= −( ) − −( )2 4 12 2

∆=4∆2 – 4∆2+4

∆=4

Luego, las raíces son 3 y 5.Por lo tanto, la suma de raíces es 8.

Respuesta: 8

PREGUNTA N.º 17

El mayor rango de la función x x

x

4 2

2

8 15

5

− +

− es

A) − ∞ −{ }3 5 5; \ ;

B) [-3; ∞⟩C) [-3; ∞⟩\{2}D) [-2; ∞⟩\{3}E) [-2, ∞⟩\{1}


11

Matemática

RESOLUCIÓN

Tema: Funciones


Sea la función

y fx x

xxx= =

− +

−≠( )

4 2

2

28 15

55;

yx x

x

x=−( ) −( )

−( )− ≠

2 2

2

23 5

5

5 0;

→ y = x2 - 3; x2≠ 5 → x2 - 3 ≠ 2 → y≠ 2

Además, x2 ≥ 0 x2 - 3 ≥ -3→ y ≥ -3

\ Ran(f): y∈[-3; +∞⟩ \ {2}

Respuesta: − +∞ { }3 2; \

PREGUNTA N.º 18

Considere la siguiente función f: [0; 6] → [-4; 4] cuya gráfica se muestra a continuación:

Y

X6

– 4

0

4

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. f es biyectiva.II. |f(x)|-f(x) > 0 para todo x ∈ [0; 6].III. g(x) = f(x)+|f(x)| es inyectiva.

A) VVV B) VVF C) VFFD) FFV E) FFF

RESOLUCIÓN

Tema: Funciones


Se tiene f: [0; 6] → [– 4; 4]

Y

4

60

− 4

X

I. Verdadera Del gráfico, f es inyectiva. Ran(f)= [– 4; 4] (sobreyectiva)

Por lo tanto, f es biyectiva.

II. Falsa

Sea H f fx x x( ) ( ) ( )= − .

Y

8

6 X

H

→ f f xx x( ) ( )− ≥∀ ∈[ ]0 6;

III. Falsa

Se tiene g f fx x x( ) ( ) ( )= + .

Y

8

6 X

g

Del gráfico, g no es inyectiva.

Respuesta: VFF

12


PREGUNTA N.º 19

Dado xyz = 14

, calcule

Exy z x y z xy z

xy z xy z=

+( ) + −( ) + −( )

+( ) − −( )

4 2 2 22 4

6 6

A) 1

4 B)

1

2 C) 1

D) 2 E) 4

RESOLUCIÓN

Tema: Productos notables


Sean a=xy+z; b=xy – z → ab=x2y2 – z2

→ a+b=2xy; a – b=2z

→ a2 – b2=4xyz=1, esto es a2 – b2=1

Al reemplazar, nos queda

Ea ab b

a b=

+ ( ) +

−

4 2 4

6 6

Ea a b b

a b a a b b a b=

+ +( )

−( ) + +( )=

−=

4 2 2 4

2 2 4 2 2 4 2 2

1

11

��

\ E=1

Respuesta: 1

PREGUNTA N.º 20

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. La función f(x)=4x+4– x es monótona.II. La función g(x)=4x– 4– x posee en algún x0 ∈ R

su valor mínimo.III. La función h(x)=2x – 3– x es una función impar.

A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFF

RESOLUCIÓN

Tema: Función exponencial


I. Falso

La gráfica de f(x)=4x+4 – x es

Y

X

La función no es creciente ni decreciente. Por lo tanto, no es monótona.

II. Falso

La gráfica de g(x)=4x – 4 – x es

Y

X

Por lo tanto, la función no tiene valor mínimo.

III. Falso

Se tiene h(x)= 2x – 3 – x

→ h( – x)=2 – x – 3x

Como h( – x) ≠ – h(x)

Por lo tanto, h(x) no es impar.

Respuesta: FFF

UNI 2018-1Solucionario de Aptitud Académica y HumanidadesAcademia CÉSAR VALLEJO

13

Aptitud Académica y Humanidades

PREGUNTA N.º 21

En un ángulo triedo isósceles una cara es recta y la medida del ángulo entre dichas caras y la arista opuesta es 45º. Calcule la medida de una de las caras congruentes.

A) 30º B) 45º C) 60º

D) arctan2

3 E) arcos

1

3

RESOLUCIÓN

Tema: Geometría del espacio: ángulo triedro


Sea PQ ⊥ AOB.

2a

PC

M

Q

N

B

a45º

45º

a

a

a

A

O

2a

2aaa

Datos: mS AOC=mS BOC=a mS AOB=90º mS POQ=45º

OQ: bisectriz del S AOB → mS QOM=mS QON

Como mS MON=90º → mS QOM=mS QON=45º

Si OM=a → MQ=a y OQ a= 2

En el PQO, PQ OQ a OP a= = → =2 2

En el PMO, OP OM= ( )2 .

\ a=60º

Respuesta: 60º

PREGUNTA N.º 22

Desde un punto O fuera del plano de un triángulo ABC, cuyo perímetro es p, se proyecta dicho triángulo ABC sobre un plano Q paralelo al plano del triángulo. Si A’B’C’ es el triángulo proyectado y AA’=AO, entonces el perímetro del triángulo A’B’C’ es

A) p

2 B) p C) 2p

D) 3p E) 4p

RESOLUCIÓN

Tema: Geometría del espacio


A

A'A'C'C'

B'B'

O

C

B

b

ac

2c2c2a2a

2b2b

Del dato a+b+c=p

A'A=AO=

Como el plano ABC es paralelo al plano A'B'C'→ AB//A’B’; AC//A’C’

• En el A'OB', OB=BB' → A'B'=2AB=2c

• En el A'OC', OC=CC' → A'C'=2AC=2b

• En el B'OC' → B'C'=2BC=2a

Por lo tanto, la longitud del perímetro de la región A'B'C' es 2(a+b+c)=2p.

Respuesta: 2p

14


PREGUNTA N.º 23

En el exterior de un poliedro convexo, se toma un punto, el cual se une con los vértices de la cara más próxima; este nuevo poliedro posee 16 aristas, su número de vértices es igual al número de caras, y el número de aristas excede en 4 a las del poliedro inicial. Determine el número de caras del poliedro inicial.

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN

Tema: Poliedros


Sea ABC... un poliedro y PABC... el nuevo poliedro.

Analizamos los datos.• Si el número de aristas del nuevo poliedro excede

en 4 al inicial, entonces desde P se han trazado 4 aristas. Por lo tanto, la cara más próxima tiene 4 lados.

• Si el nuevo poliedro tiene 16 aristas, entonces el poliedro inicial tiene 12 aristas; y como una de sus caras es un cuadrilátero, dicho poliedro solo puede ser un hexaedro de caras cuadrangulares.

• En el nuevo poliedro se tiene que cumplir que N.o de vértices = N.o de caras

Finalmente, con estos datos, podemos determinar la siguiente figura, donde vemos 9 vértices y 9 caras:

C

A

P

BB

Por lo tanto, el n.o de caras del poliedro inicial (hexaedro) es igual a 6.

Respuesta: 6

PREGUNTA N.º 24

Se tiene un tronco de cilindro circular recto, con

AB=8 cm como diámetro de la base, y generatrices

AC > 2 cm y BD=2 cm. La bisectriz del ángulo ACD

corta a AD en E, de tal forma que AE = 49

68 .

Si AC+CD=18 cm, halle volumen (cm3) del tronco de cilindro.

A) 60π B) 70π C) 80πD) 90π E) 100π

RESOLUCIÓN

Tema: Cilindro


Datos:

- BD=2; AC+CD=18

- AB=8

- AE = 89

17

Analizamos en el gráfico.

10

917

8

D

B

C

A

qqqq

2

8

8

9

8

917EE

Por teorema de Pitágoras BAD: AD = 2 17

Luego

DE DA AE= − =10

917


15


En ACD: aplicamos teorema de la bisectriz

AC

DC=

8 17

9

10 17

9

y del dato se deduce que AC=8 y DC=10.

\ Vtronco =+

=π π4

8 2

2802

Respuesta: 80π

PREGUNTA N.º 25

Se tiene 2 conos rectos de la misma altura h y bases del mismo radio R. Si el vértice de cada cono está en el centro de la base del otro cono, el volumen común (en u3) a los conos es

A) πR h2

4 B)

πR h2

6 C)

πR h2

8

D) πR h2

12 E)

πR h2

13

RESOLUCIÓN

Tema: Cono

Análisis y procedimiento:

Graficamos.

RR

RR

RRh

h/2

h/2

Piden el volumen común de los conos, es decir, el volumen de los dos conos pequeños mostrados.

→ Vcomún =

+

1

3 2 2

1

3 2 2

2 2π πR h R h

\ Vcomún =πR h2

12

Respuesta: πR h2

12

PREGUNTA N.º 26

Se tienen dos esferas concéntricas. Se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera

menor, determinando un círculo de área 16π m2. Calcule el área, en m2, del casquete menor formado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es 3 m.

A) 16π B) 18π C) 20πD) 22π E) 24π

RESOLUCIÓN

Tema: Esfera


Dato:

OT=3 m

AC=16π m2

33

OO

44B ATT

RR

CC

hcasquete

Del dato del área del círculo 16π m2, obtenemos

AT=4 y de allí OA=5.

Luego

R=5 ∧ h=2

Acasquete=2πRh

Acasquete=2π(5)(2)

Acasquete=20π

Respuesta: 20π

16


PREGUNTA N.º 27

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado.I. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan,

entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpen-

diculares y congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

III. Si las diagonales de un trapecio son congruentes, entonces el trapecio es isósceles.

A) VVF B) VFF C) VFVD) FVF E) VVV

RESOLUCIÓN

Tema: Cuadrilátero


I. Verdadera

En todo paralelogramo, sus diagonales se bisecan; análogamente, se cumple lo recíproco. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, este solo puede ser un paralelogramo.

II. Falsa

Si un cuadrilátero tiene diagonales perpendicu-lares y congruentes, no necesariamente es un cuadrado.

A A

B

D

B

D

C C

III. Verdadera

Si las diagonales de un trapecio son congruentes, dicho trapecio solo puede ser isósceles.

A D E

B C

d

α ββββ

dddd

BCED: paralelogramo CE=BD=d → a =b \ AB=CD

Respuesta: VFV

PREGUNTA N.º 28

Sean ABCD un cuadrado y AEF un triángulo equilátero, ambos inscritos en la misma circunferencia, de modo que AF y CD se intersecan en el punto I; ID=2 cm. Halle el radio de la circunferencia (en cm).

A) 2 2 6- B) 2 6+ C) 2 2 6+

D) 2 2 6+ E) 2 2 2 6+

RESOLUCIÓN

Tema: Circunferencia


Piden R.

R

CB

E

60º

60º15º

15º30º

44 2230º

90º

FI

DHA4 2 32 3

ABCD es un cuadrado, entonces m ºAD =90 .

AEF es un triángulo equilátero, entonces m ºADF =120 .

En el HID (notable de 30º), hallamos el lado AD del cuadrado en función del radio. AD R= = +2 4 2 3

\ R= +2 2 6

Respuesta: 2 2 6+


17


PREGUNTA N.º 29

En la figura mostrada, determine PO (en cm), tal que PC es la bisectriz interior en el triángulo BPN; mS BNO=mS ROP; AP=4 cm y ON=3 cm.

R

P

B C N

O

A

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

RESOLUCIÓN

Tema: Proporcionalidad


Piden PO=x.

R

P

B C N

O

MA

a a

xk

3k

q

q

4x4

x – 4

3

• En el PCN: RO//CN

Por corolario de Thales

PR

RC

PO

ON

x= =3

• Por teorema de la bisectriz PM=PA=4

• En el PCO: RM//CO Por corolario del teorema de Thales

x k

k x3

4

4=

−

x(x - 4)=12 \ x=6Respuesta: 6

PREGUNTA N.º 30

En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se ubican los puntos M y N, puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente. En AC se ubican los puntos R y H, de modo que R ∈ AH. Sabiendo que el área de la región formada por el cuadrilátero RMNH es la mitad del área formada por la región triangular ABC, calcule RH/MN.

A) 0,25 B) 0,50 C) 0,75D) 1 E) 1,25

RESOLUCIÓN

Tema: Áreas


Piden RH

MN.

b

2b

aA R

M N

B

H C

h

h

Por dato

AA

MNHRABC=2

→+

=

( )( )a bh

b h

2

1

2

2 2

2

a+b=2b → a=b

∴ = =RH

MN

a

b1

Respuesta: 1

18


PREGUNTA N.º 31

En una circunferencia, dos cuerdas paralelas miden 2 cm y 6 cm. Si la distancia entre ellas es 2 cm, calcule el radio (en cm) de dicha circunferencia.

A) 3 B) 10 C) 2 3

D) 4 E) 3 2

RESOLUCIÓN

Tema: Circunferencia


Piden R.

B

DC

H

2

2

222A

52

6

45º

R

90º

El DHB es notable de 45º.

→ mAD =90º

En el ADH: AD = 2 5

Como mAD =90º→ AD R= =2 2 5

\ R= 10

Respuesta: 10

PREGUNTA N.º 32

Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia; tiene por lados AB = 7a cm, BC=15a cm, CD=20a cm y AD=24a cm. Si M y N son puntos medios de las diagonales AC y BD,

respectivamente, y MN=15 cm, calcule el perímetro del cuadrilátero ABCD (en cm).

A) 130 B) 132 C) 135D) 140 E) 142

RESOLUCIÓN

Tema: Métricas en el cuadrilátero


Piden 2p ABCD

R

N

M

R

RR

20a15

53º53º

15a

24a

7a7a

D

C

A

B

aa

qq

37º16º

Por teorema de cosenos en ABD y BCD

(BD)2=625a2- 600a2cosq=625a2-336a2cosa

→ cosq=cosa=0

→ a=q=90º→ N es centro de la circunferencia

Luego,• MNC es notable de 53º. → NC=R=25

• BCD es notable de 37º. → BD=50 y BC=30=15a

→ a=2

Finalmente, hallamos el perímetro de la región ABCD (2p). 2p=7a+15a+20a+24a=66a

2p=132

Respuesta: 132


19


PREGUNTA N.º 33

La distribución diaria (en horas) de luz solar durante el año en Lima está dada por la función

f t tt( ) = −( )

+ ≤ ≤sen ; ,

2

36554 11 0 365

π

donde t es el número de días trascurridos desde el inicio del año. Determine en qué fecha del año se tiene la menor cantidad de luz.

A) 29 de nov.B) 27 de nov.C) 24 de nov.D) 20 de nov.E) 15 de nov.

RESOLUCIÓN

Tema: Funciones trigonométricas directas


f tt( ) = −( )

+sen

2

36554 11

π

donde 0 ≤ t < 365.

Por condición, f(t) es mínimo.

→ 2

36554

3

2

π πt −( ) =

Entonces, se obtiene t=327,75 días.

Observación

Para t=327 días 23 de noviembre

Por lo tanto, la fecha de menor cantidad de luz será 24 de nov.

Respuesta: 24 de nov.

PREGUNTA N.º 34

Resuelva la siguiente inecuación:

cos xx

+ ≥3

20

π

A) x∈ − +∞

π

3;

B) x∈ − +∞

π

2;

C) x∈ −∞ −

;π

2

D) x∈ −∞ −

;π

3

E) x∈ − +∞

5

12

π;

RESOLUCIÓN

Tema: Inecuaciones trigonométricas


cos xx

+ ≥3

20

π

3

2

xx

π≥ − cos ; f

xx( ) =

3

2π

g(x)=-cosx

Graficamos las funciones.

Y

X

1

-1

- π π2

- π2π

3- π

3x2π

y =

y = - cos x

Del gráfico, f(x) ≥ g(x) si

x∈ − +∞

π

3;

Respuesta: x∈ − +∞

π

3;

PREGUNTA N.º 35

Sea ABCD un cuadrilátero con AB=3 cm, BC=4 cm, CD=2 cm y AD=5 cm.

Calcule el valor de E =+1 6

5

cos

cos

B

D.

A) 1 B) 3/2 C) 2D) 5/2 E) 3

20


RESOLUCIÓN

Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos


BB D

C

D

A

3 cm

2 cm4 cm

5 cm

x

Aplicamos el teorema de cosenos.

ABC: x2= (3)2+ (4)2 - 2(3)(4)cosB

x2=25 - 24cosB

ADC: x2= (5)2+ (2)2 - 2(5)(2)cosD

25 - 24cosB=29 - 20cosD

20cosD=24cosB+4

20cosD=4(1+6cosB)

5cosD=1+6cosB

→ 11 6

5=

+ cos

cos

B

D

\ E=1

Respuesta: 1

PREGUNTA N.º 36

Dado el punto P = −( )2 3; , determine las nuevas coordenadas del punto luego de que los ejes coordenados giran un ángulo de 30º en sentido antihorario.

A) −

3

1

2; B) −

2 3

5

2; C) −

3

7

2;

D) −

3

2

5

2; E) − −

3

4

1

2;

RESOLUCIÓN

Tema: Transformación de coordenadasAnálisis y procedimiento

Datos:- P = −( )2 3;

- ángulo de giro: 30º

Nuevas coordenadas de P(x’; y’)

Entonces x’=xcosq+ysenq y’= – xsenq+ycosq

Reemplazamos valores. x ' cos º sen º= −( ) +2 30 3 30

y ' sen º cos º= − −( ) +2 30 3 30

Finalmente, se obtiene

x y' ; '= − =3

2

5

2

Respuesta: −

3

2

5

2;

PREGUNTA N.º 37

Dados dos ángulos, calcule la medida del menor ángulo en radianes si la diferencia de los cuatro tercios del número de grados sexagesimales de uno y los tres quintos del número de grados centesimales del otro es 20. Además, son complementarios.

A) 4

7π B)

4

9π C)

2

9π

D) π9

E) π16

RESOLUCIÓN

Tema: Sistemas de medidas angularesAnálisis y procedimiento

Planteamos.

Sº = Cg o g1 1S C=


21


Por condición

4

3

3

5201S C− =

También S+S1=90

Luego

4

3

4

31201S S+ = (I)

4

3

3

5201S C− = (II)

Al restar (I) y (II) se obtiene

4

3

3

51001 1S C+ =

4

39

3

510 1001 1k k( )+ ( )=

→ 9k1=50 → S1=50 → S=40

Por lo tanto, el menor ángulo será 40º; expresado en radianes es

2

9π

Respuesta: 2

9π

PREGUNTA N.º 38

En la circunferencia trigonométrica del gráfico mostrado si AM = θ , calcule la ordenada del punto P.

A

M

X

Y

O

P

q

A) tan

tan

θ

θ

( )( )−1

B) tan

tan

θ

θ

( )− ( )1

C) cos

cos

θ

θ

( )( )−1

D) cos

cos

θ

θ

( )− ( )1

E) sen

sen

θ

θ

( )( )−1

RESOLUCIÓN

Tema: Circunferencia trigonométrica


Piden la ordenada del punto P.

y 1 − y

45º

45º

P

M

Y

O cosθ

θ

− senθ− senθ

Xy

A

Del gráfico

y

y1−=− sen

cosθ

y= (1 – y)(– tanq) y= – tanq+ytanq tanq=y(tanq –1)

\ tan

tan

θ

θ −=

1y

Respuesta: tan

tan

θ

θ

( )( ) −1

PREGUNTA N.º 39

Si el ángulo q satisface sen(q)=1 - sen2(q), calcule M= csc2(q) - tan2(q)

A) 1

2 B) 2 C) 3

D) 2 E) 5

22


RESOLUCIÓN

Tema: Identidades trigonométricas fundamentales


Del dato sen(q)=1– sen2(q) sen(q)=cos2(q)

sen

cos

cos

cos

θ

θ

θ

θ

( )( )

=( )( )

2

tan(q)=cos(q)→ cot(q)= sec(q)

Piden

M=csc2(q) – tan2(q)

M=1+cot2(q) – tan2(q)

M=1+ sec2(q) – tan2(q)

M=1+1

\ M=2

Respuesta: 2

PREGUNTA N.º 40

Determine el conjunto solución de

1

1

4

60

tan tanθ θ( )−+ ( )−

> para θπ π

∈ −2 2; .

A) arctan 12

( )< <θπ

B) arctan arctan1 3( )< < ( )θ ;

arctan 62

( )< <θπ

C) arctan(2) < q < arctan(6)

D) arctan(1) < q < arctan(2);

arctan 62

( )< <θπ

E) arctan 62

( )< <θπ

RESOLUCIÓN

Tema: Inecuaciones trigonométricas


Sea la inecuación trigonométrica

1

1

4

60

tan tanθ θ( )−+

( )−>

→ tan(q)≠1 ∧ tan(q)≠6

Luego,

5 10

1 60

tan

tan tan

θ

θ θ

( )−( )−( ) ( )−( ) >

→ 5 2 1 6 0tan tan tanθ θ θ( )−( ) ( )−( ) ( )−( )>

1 2 6

+ +––

→ 1 < tan(q) < 2 ∨ tan(q) > 6

Del dato,

θπ π

∈ −2 2;

\ arctan(1) < q < arctan(2) ∨ arctan 62

( )< <θπ

Respuesta: arctan(1) < q < arctan(2);

arctan 62

( )< <θπ

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