Top Banner

of 46

Euler -- 613

Mar 02, 2018

Download

Documents

neoalpha
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
  • 7/26/2019 Euler -- 613

    1/46

    Erluternde Darstellungen zu denletzten Kapiteln meines Buches

    Institutiones calculidifferentialis ber unerklrbare

    Funktionen

    Leonhard Euler

    1 Weil dieser Gegenstand, natrlich in der Analysis vollkommen neu, inkeinster Weise hinreichend klar und ausfhrlich behandelt worden ist, habeich beschlossen, hier denselben mit grerem Eifer noch einmal zu behandelnund alle Fundamente, auf welche er gesttzt ist, aus den ersten Prinzipienabzuleiten und erluternd darzustellen; dort wird es beraus frderlich sein,geeignete Zeichen in die Rechnung eingefhrt zu haben. So, wenn irgendeineReihe vorgelegt war, werde ich ihre den Indizes 1, 2, 3, 4 etc. entsprechendenTerme mit diesen Zeichen (1), (2), (3), (4) etc. darstellen und daher wirdder diesem Index x entsprechende allgemeine Term dieser Reihe fr mich(x) sein, welcher also fr jede Reihe eine gewisse Funktion von x sein wird,welche ich als vollkommen bekannt annehme, dabei natrlich so beschaffen,dass ihre Werte nicht nur fr ganze sondern auch fr gebrochene und sogarfr surdische anstelle von x angenommene Zahlen dargeboten werden knnen.

    Originaltitel: Dilucidationes in capita postrema calculi mei differentalis de functionibusinexplicabilibuss, erstmals publiziert in Memoires de lacademie des sciences de St.-Petersbourg4 1813, pp. 88-119, Nachdruck in Opera Omnia: Series 1, Volume 16,1 pp. 1 - 33 , Enestrm-Nummer E613 , bersetzt von: Alexander Aycock, Textsatz: Artur Diener, im Rahmen desProjektes Euler-Kreis Mainz

    1

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    2/46

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    3/46

    I. Differenzen II. Differenzen III. Differenzen

    (2) (1) = 1 2 1 = 21 22 21 = 31(3) (2) = 2 3 2 =

    22 2322 = 32

    (4) (3) = 3 4 3 = 23 24

    23 = 33 etc.(5) (4) = 4 5 4 =

    24 2524 = 34

    etc. etc. etc.

    4 Nachdem diese Charaktere festgelegt worden sind, werden die einzelnenTerme der Reihe aus dem ersten, (1), und seinen Differenzen 1, 21, 31, 41 etc. ausgedrckt werden knnen. Weil nmlich gilt

    (2) = ( 1) + 1 und 2 = 1+ 21,

    wird wegen (3) = ( 2) + 2 auch sein

    (3) = ( 1) + 2 1+ 21.

    Daraus iet nun diese Gleichheit

    3 = 1+ 2 21+ 31.

    Weil nun (4) = ( 3) + 3 ist, werden wir haben

    (4) = ( 1) + 3 1+ 3 21+ 31;

    Wegen (5) = ( 4) + 4 wird

    3

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    4/46

    (5) = ( 1) + 4 1+ 6 21+ 4 31+ 41

    und so weiter sein. Aus der Bildung dieser Formeln selbst ist es offenbar,dass hier dieselben Koefzienten, die man in der Binomialpotenz hat, derenExponent um eine Einheit kleiner ist als der Index des vorgelegten Terms,auftauchen. So wird sein

    (n) = ( 1) + n 11 1 + n 11

    n 22 21+ n 11

    n 22 n 33

    31+ etc.

    5 Wenn wir daher diese Zahl n um eine Einheit vermehren, werden wirhaben

    (n + 1) = ( 1) + n1 1+ n1

    n 12 21+ n1

    n 12 n 23

    31+ etc.

    Weil nun dieser letzte Ausdruck den Term darbietet, der vom ersten um n

    Schritte wegbewegt worden ist, wird auf die gleiche Weise der Term, der vomzweiten aus genauso viele Schritte nach vorne bewegt worden ist, (n + 2), ausdem zweiten und seinen Differenzen bestimmt; es wird nmlich gelten

    (n + 2) = ( 2) + n1 2+ n1

    n 12 22+ n1

    n 12 n 23

    32+ etc.

    Auf die gleiche Weise ist es ersichtlich, dass unmittelbar anschlieend seinwird

    (n + 3) = ( 3) + n1 3+

    n1

    n

    12 23+

    n1

    n

    12

    n

    23 33+ etc.,

    (n + 4) = ( 4) + n1 4+ n1

    n 12 23+ n1

    n 12 n 23

    34+ etc.

    4

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    5/46

    etc.

    6 Daher tritt es also klar zu tage, dass der allgemeine Terme unserer Reihe,also (x), aus dem ersten und seinen Differenzen auf diese Weise deniertwird

    (x) = ( 1) + x 11 1+ x 11

    x 22 21+ x 11

    x 22 x 33

    31+ etc.,

    woher der dem letzten folgende Term, (x + 1), offenbar sein wird

    (x + 1) = ( 1) + x1 1+ x1

    x 12 21+ x1

    x 12 x 23

    31+ etc.;

    weil dieser Ausdruck im Folgenden sehr hug auftaucht, wollen wir derkrze wegen die folgenden Charaktere einfhren:

    x1 = x,

    x1

    x 12 = x ,x1

    x 12 x 23 = x ,

    x1

    x 12 x 23

    x 34 = xetc.,

    unter Verwendung welcher wir die folgenden Gleichungen haben werden:

    5

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    6/46

    (x + 1) = ( 1) + x 1 + x 21 + x 31 + etc.,(x + 2) = ( 2) + x 2 + x 22 + x 32 + etc.,(x + 3) = ( 3) + x 3 + x 23 + x 33 + etc.,(x + 4) = ( 4) + x 4 + x 24 + x 34 + etc.,. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .(x + n) = ( n) + x n + x 2n + x 3n + etc.

    7 Des Weiteren werden auch die Summen wie vieler Terme unserer Reiheauch immer allein aus dem ersten Term und seinen Differenzen bestimmtwerden knnen, so wie die folgende Tabelle aufzeigt.

    : 1 = ( 1)add. (2) = ( 1) + 1

    : 2 = 2(1) + 1

    (3) = ( 1) + 2 1 + 21 : 3 = 3(1) + 3 1 + 21

    (4) = ( 1) + 3 1 + 3 21 + 31 : 4 = 4(1) + 6 1 + 4 21 + 31

    (5) = ( 1) + 4 1 + 6 21 + 4 31 + 41 : 5 = 5(1) + 10 1 + 10 21 + 5 31 + 41

    etc.

    Hier ist es wiederum ersichtlich, dass die Koefzienten dieselben sind wiedie, die in der Binomialpotenz derselben Ordnung auftauchen.

    6

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    7/46

    8 Also werden wir unter Verwendung der gerade zuvor eingefhrten Cha-raktere den summatorischen Term unserer Reihe selbst, also : x, ausdrckenknnen; es wird nmlich sein

    : x = x(1) + x 1+ x 21+ x 31+ etc.,

    welche Form schon so beschaffen ist, dass sich anstelle von x nicht nur gan-ze Zahlen, sondern auch gebrochene, ja sogar irgendwelche surdische, sopositive wie negative, annehmen lassen, in welchen Fllen dieser Ausdrucknatrlich bis ins Unendliche fortschreiten wird, wenn die vorgelegte Reihenicht zufllig schlielich zu verschwindenden Differenzen fhrt; Reihen vondieser Art pegen algebraisch genannt zu werden, in welchen Fllen alsonicht zu unerklrbaren Formeln gelangt wird. Dennoch bringt indes dieser frden summatorischen Term gefundene Ausdruck, wann immer er sich bis insUnendliche erstreckt, nichts an Vorteil mit sich, wann immer Differentiationenoder auch Integrationen durchzufhren sind; deswegen wird sich damit zu beschftigen sein, wie, zumindest fr bestimmte Flle, der gefundene sum-matorische Term in andere Formen berfhrt werden kann, die weder einerDifferentiation noch einer Integration hinderlich sind; und darauf beziehensich alle Hilfsmittel, die ich in meinem Buch Institutiones Calculi Differentialisumfassender dargestellt habe und deren der Fund zu nicht wenigen Teilen imVerborgenen gelegen haben. Aber diese ganze Aufgabe wird auf die folgende

    Weise leicht erledigt werden.

    9 Zu dem gerade zuvor fr den summatorischen Term : x gefundenenTerm werden nun mehrere in dieser Gattung enthaltene Formeln addiert

    (n) + x n + x 2n + x 3n + etc.. . . (x + n),

    deren Summen, weil sie dem Nichts gleich sind, alle, wie viele auch immer

    es waren, mit : x zusammen genommen nichts desto weniger den sum-matorischen Term ausdrcken werden. Es werden also fr n nacheinanderalle Zahlen 1, 2, 3, 4 etc. genommen und der Ausdruck auf die folgendeWeise nach den den einzelnen Werten x, x , x etc. entsprechenden Spalten

    7

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    8/46

    angeordnet.

    ALLGEMEINER AUSDRUCK FR DEN SUMMATORISCHENTERM

    x(1) + x 1+ x 21+ x 31+ etc.

    + ( 1) + x 1 + x 21 + x 31 + x 41 + . . . (x + 1)+ ( 2) + x 2 + x 22 + x 32 + x 42 + . . . (x + 2)+ ( 3) + x 3 + x 23 + x 33 + x 43 + . . . (x + 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ ( n) + x n + x 2n + x 3n + x 4n + . . . (x + n).

    10 Auch wenn die Gltigkeit dieses Ausdrucks nicht weiter einem Zweifelunterliegt, wird es dennoch nicht unwesentlich frderlich sein, ihn aus derForm selbst besttigt zu haben. Es werden natrlich die einzelnen Spalten zu

    einer Summe gesammelt; und freilich wird die Summe der ersten sein

    (1) + ( 2) + ( 3) + ( 4) + . . .+ ( n) = : n,

    Die zweite Spalte gibt

    x(( 1) + 1+ 2+ 3+ . . .+ n).

    Weil aber gilt

    8

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    9/46

    1 = ( 2)

    (1),

    2 = ( 3) (2), 3 = ( 4) (3)

    etc.,

    wird diese ganze Summe zusammengezogen werden zu

    x(n + 1).

    Auf die gleiche Weise wird die Summe der dritten Spalte sein

    x ( 1+ 21+ 23+ 4 + . . .+ 2n);

    und weil auch gilt

    21 = 2 1, 22 = 3 2 , . . . ,

    2n = (n + 1) n,

    wird jene Reihe zusammengezogen zu

    x (n + 1).

    Auf dieselbe Weise tritt es klar zu tage, dass die Summe der vierten Spaltediese sein wird

    x 2(n + 1)

    9

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    10/46

    und der fnften

    x 3(n + 1)

    und so weiter. Die Summe der letzten zu subtrahierenden Spalte ist hingegen

    (x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + . . .+ ( x + n) = : (x + n) : x.

    11 Die Summe aller mittleren Spalten auer der ersten und der letzten ist,

    wie wir gesehen haben, diese

    x(n + 1) + x (n + 1) + x 2(n + 1) + x 3(n + 1) + etc.

    Weil aber gilt

    x(1) + x 1+ x 21+ x 31+ etc. = : x,

    wird nach Vermehren der einzelnen Terme um die Zahl n die Summe unsererReihe diese sein

    x(n + 1) + x (n + 1) + x 2(n + 1) + etc. = : (x + n) : n;

    als logische Konsequenz ist die Summe gnzlich aller Spalten diese

    = : (x + n);

    daher, wenn die Summe der letzten Spalte, welche diese ist

    10

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    11/46

    : (x + n) : x,

    subtrahiert wird, wird die Summe des ganzen Ausdruckes als = : x zurck- bleiben, das heit der gesuchte summatorische Term.

    12 Hier wird es im hchsten Mae wundersam erscheinen, dass wir denWert der Formel : x, welcher mit einer hinreichend einfachen Reihe ausge-drckt wird, durch eine Ansammlung von unzhligen Reihen ausgedrcktund in selbige eingehllt angegeben haben; aber bald wird der riesige Nutzendieser sehr komplizierten Form klar zu tage treten, wann immer wir die

    Anzahl der horizontalen Reihen sogar bis ins Unendliche fortgesetzt habenwerden, was geschehen wird, wenn wir fr n eine unendlich groe Zahlannehmen, wie wir es nun deutlicher erklren werden.

    13 Whrend also n eine unendlich groe Zahl bezeichnet, wird die Summeder zweiten Spalte, die x(n + 1) ist, den innitesimalen Term unserer Rei-he enthalten; wenn dieser also verschwindet, werden noch um Vieles mehrdie Summen aller folgenden Spalten verschwinden, weswegen es fr diesenFall gengen wird, allein die erste zusammen mit der letzten Spalte in derRechnung beibehalten zu haben. Wenn aber die innitesimalen Terme nichtverschwinden, aber dennoch einander gleich waren, dann wird sich die drittezusammen mit allen folgenden Spalten verwerfen lassen. Wenn aber weitererst die zweiten innitesimalen Differenzen verschwinden, werden die erstendrei vertikalen Spalten in der Rechnung beibehalten werden mssen; und auf die gleiche Weise vier, wenn erst die dritten innitesimalen verschwinden.Nach diesem Unterschied werden wir also die Reihen selbst in die folgendenGattungen einteilen.

    11

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    12/46

    DIE ERSTE GATTUNG VON REIHEN, DERENINFINITESIMALE TERME VERSCHWINDEN

    14 Sooft also eine solche Reihe vorgelegt wird, wird es fr ihren summa-torischen Term gengen, die Terme der ersten und der letzten Spalte in derRechnung beibehalten zu haben, und so werden wir fr den summatorischenTerm den folgenden Ausdruck erlangen

    : x =

    (1) + ( 2) + ( 3) + ( 4) + etc.

    (x 1) (x 2) (x 3) (x 4) etc.,welcher freilich bis ins Unendliche luft und umso schneller konvergiert, umsokleiner der Index x war, weil ja, wenn er verschwindet, die ganze Reihe insNichts bergehen wird oder : 0 = 0 sein wird, was mit der Natur der Sacheberaus bereinstimmt; wann immer nmlich die Anzahl der zu addierendenTerme die Null ist, muss auch die Summe notwendigerweise verschwinden.

    15 Wann immer der Index x eine riesige Zahl ist, wird diese Reihe natrlichsehr langsam konvergieren; aber es wird immer mglich sein, Flle von dieserArt auf kleinere Indizes zurckzufhren. Weil nmlich gilt

    : (x + 1) = : x + ( x + 1),

    wird auf die gleiche Weise sein

    : (x + 2) = : x + ( x + 1) + ( x + 2)

    und daher im Allgemeinen, whrend i eine ganze Zahl bezeichnet,

    : (x + i) = : x + ( x + 1) + ( x + 2) + . . .+ ( x + i).

    12

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    13/46

    Deswegen, wenn die Summe von x + i Termen verlangt wird, wird es ausrei-chen, die Summe von x Termen, das heit : x, ausndig gemacht zu habenund auf diese Weise werden alle Fragen von dieser Art auf Flle zurckgefhrtwerden knnen, wo der Index x sogar kleiner ist als die Einheit, in welchemFall die zuvor fr : x gegebene Reihe sehr stark konvergieren wird.

    16 Eine solche Reduktion ist besonders notwendig, wann immer der Indexx eine negative Zahl ist. Weil nmlich gilt

    : x = : (x

    1) + ( x),

    wird sein

    : (x 1) = : x (x)

    und auf dieselbe Weise

    : (x

    2) = : x

    (x)

    (x

    1)

    und

    : (x 3) = : x (x) (x 1) (x 2)

    und im Allgemeinen

    : (x i) = : x (x) (x 1) . . . (x i + 1)und auf diese Weise, wie gro auch immer die negative Zahl x i war, kann

    13

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    14/46

    die Ausung immer auf : x zurckgefhrt werden, so dass x < 1 ist.

    BEISPIELEs sei diese harmonische Reihe vorgelegt

    1+ 12 + 13 +

    14 +

    15 + . . .+

    1x

    = : x,

    von welcher die Summe von x Termen verlangt werde, wo sich fr x irgend-welche auer den ganzen positiven Zahlen annehmen lsst, weil ja fr dieFlle, in denen x eine ganze positive Zahl ist, die ganze Sache keine Schwie-rigkeiten bereitet. In diesem Fall wird also aus der zuvor gegebenen Formsein

    : x =

    1 + 12 + 1

    3 + 1

    4 + etc.

    1

    x + 1 1

    x + 2 1

    x + 3 1

    x + 4 etc.;

    diese zwei Reihen werden zu dieser einen einzigen zusammengezogen werden

    : x = xx + 1 +

    x2(x + 2) +

    x3(x + 3) +

    x4(x + 4) + etc.,

    die Summe welcher Reihe per se bekannt ist, sooft x eine ganze positive Zahlwar. So wird es sich wie folgt verhalten,Ist x = 1,

    1 = 12 + 12 3

    + 13 4

    + 14 5

    + 15 6

    + etc.;

    14

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    15/46

    ist x = 2,

    1 + 12 =

    21 3 +

    22 4 +

    23 5 +

    24 6 +

    25 7 + etc.;

    ist x = 3,

    1 + 12 + 13 =

    31 4

    + 32 5

    + 33 6

    + 34 7

    + 35 8

    + etc.;

    ist x = 4,

    1+ 12 + 13 +

    14 =

    41 5

    + 42 6

    + 43 7

    + 44 8

    + 45 9

    + etc.;

    etc.,

    welche freilich allbekannt sind.

    18 Damit diese Dinge besser verstanden werden, wollen wir die Kurve (Fig.1) konstruieren, deren Abszisse

    0x = x

    diese Abszisse entspricht

    xy = y = : x,

    so dass, nachdem ber der Achse 0x in gleichen Einheitsintervallen 0, 1; 1, 2;2, 3; 3, 4 etc. genommen worden sind, die Ordinaten diese sein werden

    15

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    16/46

    x

    y

    ( 12)

    12

    0 12 1 2 3 4 5 6

    (6)(5)(3)

    (4)

    (2)

    1

    (1)

    Fig

    . 1

    1 . . .(1) = 1,

    2 . . .(2) = 1+ 12,

    3 . . .(3) = 1+ 12 + 13,

    4 . . .(4) = 1+ 12 + 13 +

    14

    etc.;

    und die Gleichung zwischen je zwei Koordinaten wird sein

    y = xx + 1 +

    x2(x + 2) +

    x3(x + 3) +

    x4(x + 4) + etc.,

    aus welcher Gleichung also alle dazwischen liegenden deniert werden kn-nen werden; und daher wird es ausreichen, fr x kleinere Werte als die Einheitangenommen zu haben. So, wenn die Ordinate 12 . . . 12 , die der Abszisse0 . . . 12 =

    12 entspricht, verlangt wird, wird aufgefunden werden

    12 . . .

    12 =

    13 +

    12 5

    + 13 7

    + 14 9

    + 15 11

    + etc.,

    16

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    17/46

    die Summe welcher Reihe auf diese Weise durch Logarithmen angegebenknnen wird. Es werde diese Reihe gebildet

    y = t3

    1 3 + t

    5

    2 5 + t

    7

    3 7 + t

    9

    4 9 + etc.,

    welche Reihe also nach Nehmen von t = 1 den gesuchten Werten geben wird;aber durch Differenzieren werden wir hingegen haben

    dydt

    = t2

    1 + t4

    2 + t6

    3 + t8

    4 + etc.

    und durch erneutes Differenzieren

    ddy2d2 = t + t

    3 + t5 + t7 + etc. = t1 tt.

    Daher wird also umgekehrt sein

    dy

    2dt = tdt

    1 tt und y = 2 dt tdt

    1 tt ,welche zweifache Integration auf die gewohnte Weise auf eine einzige redu-ziert wird, wonach sein wird

    y = 2t tdt1 tt 2 ttdt1 tt

    .

    Weil aber nach der Integration t = 1 gesetzt werden muss, wird sein

    y = 2 tdt1 tt 2 ttdt1 tt

    = 2 tdt1+ t ;

    17

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    18/46

    deswegen wird durch Integrieren werden

    y = 2t 2log( t + 1)

    und daher in unserem Fall

    y = 22log2,

    was nherungsweise 0, 61370564 ist.

    19 Nachdem nun die der Abszisse 12 entsprechende Ordinate gefundenworden ist, natrlich

    : 12 = 22log2,

    werden aus ihr leicht durch die oben gegebenen Formeln deriviert, natrlich

    : 1+ 12 = 23 +

    : 12,

    : 2+ 12 = 23 +

    25 +

    : 12,

    : 3+ 12 = 23 +

    25 +

    27 +

    : 12etc.

    Ja sogar die vorhergehenden in der Figur ausgedrckten Ordinaten werdenaus der Formel : (x i), welche wir in [ 16] gefunden haben, natrlich aus

    18

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    19/46

    : (x i) = : x (x) (x 1) (x 2) . . . (x i + 1),

    abgeleitet werden knnen. Weil also in unserem Fall x = 12 ist, wird dieOrdinate diese sein

    : 12 =

    : 12 2 = 2log2,

    sie wird natrlich negativ sein. Nachdem aber x = 1 genommen wordenist, wird sie unendlich. Sie wird in der Tat auch den Fllen x = 2, x = 3,x =

    4 etc. unendlich werden. Innerhalb dieser Intervalle wird aber sein

    : 1+ 12 =

    : 12 2+ 2,

    : 2+ 12 =

    : 12 2+ 2+ 23,

    : 3+ 12 =

    : 12 2+ 2+ 23 +

    25

    etc.

    20 Wir wollen nun die fr die Ordinate y gefundene Reihe differenzierenund es wird werden

    dydx

    = 1

    (x + 1)2 + 1

    (x + 2)2 + 1

    (x + 3)2 + etc.,

    welche Reihe also den Tangens des Winkels ausdrckt, unter welchem dasKurvenelement in y zur Achse geneigt ist; daher tritt es klar zu tage, dassdiese Neigung fr eine unendliche Abszisse null sein wird, oder dass der

    19

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    20/46

    Kurvenverlauf im Unendlichen der Achse parallel ist. Dann wird aber nachNehmen von x = 0 die Neigung der Kurve zum Anfang selbst

    = 1+ 14 + 19 +

    116 + etc. =

    6 = 1,644

    und daher der Winkel = 5842 sein. Dann wird nach Nehmen von x = 1hingegen sein

    dydx

    = 14 +

    19 +

    116 +

    125 + etc. =

    6 1 = 0,644,

    wo also die Neigung = 3248 sein wird, und indem von da aus weiter fortge-schritten wird, wird die Neigung ununterbrochen abnehmen.

    21 Wir haben aber hingegen durch Rckwrtsgehen zu negativen Abszissenoben gesehen, dass in den Fllen, in denen x = 1 oder x = 2 oder x = 3etc. ist, die Ordinaten unendlich gro sind und ebenso viele Asymptotender Kurve festlegen. Nun werden wir aber sehen, dass an denselben Stellendydx = wird und die Neigung der Kurve 90 ist oder die Tangenten zurAchse senkrecht sein werden. Zustzlich, weil ja die fr dydx gefundene Reiheimmer eine positive Summe hat, folgt, dass alle Teile der Kurve nach rechtshin ansteigen, andererseits aber, nach links, absteigen.

    22 Ja wir werden sogar eine Integration verwenden knnen und die Kurven-che vom Anfang aus bis hin zur Ordinate x . . . y angeben werden knnen.Denn aus der ersten Form, zu welcher wir unmittelbar gelangt sind, wirdoffenbar werden

    ydx =

    20

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    21/46

    x + 1

    2x + 1

    3x + etc.

    log(1+ x) log(2+ x) log(3+ x) etc.+ Konst.,

    welche Konstante so bestimmt werden muss, dass im Fall x = 0 die ganzeFlche verschwindet; daher wird jene in herkmmlicher Weise so ausgedrcktwerden:

    ydx =x +

    12x +

    13x + etc.

    log(1+ x) log 1+ 12x log 1+

    13x etc.

    Weil also gilt

    log 1+ x

    n = x

    n

    x2

    2n2 +

    x3

    3n3

    x4

    4n4 + etc.,

    wird der obere Ausdruck durch die folgenden Reihen ausgedrckt werdenknnen:

    ydx =+ x

    2

    2 x3

    3 + x4

    4 x5

    5 + x6

    6 etc.

    + x22 4 x3

    3 8 + x44 16

    x55 32

    + x66 64 etc.

    21

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    22/46

    + x2

    2 9 x3

    3 27 + x

    4

    4 81 x5

    5 243 + x

    6

    6 729 etc.

    + x2

    2 16 x

    3

    3 64 + x

    4

    4 256 x

    5

    5 1024 + x

    6

    6 4096 etc.+ etc.

    23 Wenn wir daher nun diese Spalten sammeln, werden wir haben

    ydx =+

    12x

    2 1+ 14 + 19 +

    116 +

    125 + etc. = + 0,822467x

    2

    13x

    3 1+ 18 + 127 +

    164 +

    1125 + etc. = 0,400685x

    3

    + 14x

    4 1+ 116 + 181 +

    1256 +

    1625 + etc. = + 0,270581x

    4

    15x

    5 1+ 132 + 1243 +

    11024 +

    13125 + etc. = 0,207385x

    5

    + etc.

    Wir wollen nun x = 1 setzen, dass die Flche 01(1) [Fig. 1] hervorgeht; undweil die hier gegebenen Dezimalbrche kaum konvergieren, sei es angemerkt,dass die Summe irgendeiner Reihe, wo die Vorzeichen alternieren, natrlich

    s = a b + c d + e etc.,

    so durch ununterbrochene Differenzen ausgedrckt werden, dass gilt

    s = 12a 14 a + 18 2a 116 3a + etc.,

    mit Hilfe welcher Regel die Rechnung auf die folgende Weise durchgefhrt

    22

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    23/46

    werden knnen wird:

    + 2

    3 + 4

    5 + 6 7 + 8

    a) 0, 8224670,421782

    b) 0, 400685 0, 2916780, 130104 0, 224770

    c) 0, 207385 0, 066908 0, 1832300, 063196 0, 041540 0, 154737

    d) 0, 207385 0, 025368 0, 028493 0, 1339360, 037828 0, 013047 0, 020801 0, 118072

    e) 0, 169557 0, 012321 0, 007692 0, 015864 0, 105564 etc.0, 025507 0, 005355 0, 004937 0, 012508

    f ) 0, 144050 0, 006966 0, 002755 0, 0033560, 018541 0, 002600 0, 001581

    g) 0, 125509 0, 004366 0, 0011740, 014175 0, 001426

    h) 0, 111334 0, 0029400,011235i) 0, 100099

    24 Von diesen Spalten, von welchen die erste aus den Institutiones CalculiDifferentialis Kap. VI. Teil II. S. 456 entnommen worden ist, bezeichnen dieoberen Zahlen den ersten Term a mit seinen ununterbrochenen Differenzen;die zweiten beim Heruntergehen bezeichnen hingegen den Term b mit seinenDifferenzen, die dritten den Term c mit ihren Differenzen. Weil nun die obers-ten Terme kaum konvergieren, wollen wir die zwei ersten a b tatschlichsammeln und es wird a b = 0,421782 sein; wir wollen hingegen die Summeder folgenden c d + e f + etc.

    = 12c

    14

    c + 18

    2c 116

    3c + etc.

    nach dem gegebenen Gesetz berechnen und es wird sein

    23

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    24/46

    + 1

    2c = 0,135290

    14

    c = 0,015799

    + 18

    2c = 0,003171

    116

    3c = 0,000815

    + 132

    4c = 0,000240

    164

    5c = 0,000077

    + 1128 6c = 0,000026

    eqq = 0,000010Summe = 0,155428a b = 0,421782

    Flche = 0,577210

    Ich hoffe aber, dass die genauere Entwicklung dieser ziemlich bemerkenswer-ten gekrmmten Linie niemanden unangenehm sein wird, besonders weildie Gleichung fr diese Kurve sich auf unerklrbare Funktionen bezieht unddeshalb die Abschweifung zu einem spezielleren Fall als unserem Ziel nichtfremd einzuschtzen ist.

    DIE ZWEITE GATTUNG VON REIHEN, DEREN ERSTEINFINITESIMALE DIFFERENZEN VERSCHWINDEN

    25 Auf diese Gattung beziehen sich also alle Reihen, deren innitesimaleTerme einander gleich sind. Um also den summatorischen Term dieser Reihen, : x, auzudrcken, ist nichts anderes ntig, auer dass zum Ausdruck der

    24

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    25/46

    vorhergehenden Gattung darber hinaus die Terme der zweiten Spalte derin 9 dargebotenen Form hinzugefgt werden, deren oberster Term einzelndarzubieten sein wird; und weil die einzelnen Reihen nun aus drei Termen bestehen, wird der gesuchte summatorische Term : x mit den folgendendrei Reihen deniert werden

    : x =

    + ( 1) + ( 2) + ( 3) + ( 4) + etc.+ x(1) + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + etc.

    (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) etc.;

    welche Form wegen

    1 = ( 2) (1), 2 = ( 3) (2), 3 = ( 4) (3) etc.

    in diese berfhrt wird

    : x =

    + ( 1 x)( 1) + ( 1 x)( 2) + ( 1 x)( 3) + ( 1 x)( 4) + etc.+ x(1) + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + etc.

    (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) etc.;

    welche Reihe umso strker konvergiert, umso kleiner x angenommen wird.Oben haben wir aber gelehrt, dass alle Flle immer dorthin reduziert werdenknnen, wo x ein Bruch kleiner als die Einheit ist.

    26 Wir wollen zuerst den einfachsten Fall betrachten, in welchem alle Termeder Reihe einander gleich sind, natrlich (x) = a; es tritt nmlich per se klar

    25

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    26/46

    zu tage, dass ihr summatorischer Term ax ist, welchen Wert unser Ausdrucksofort aufzeigen wird. Es wird nmlich : x = xa sein.

    27 Nun werde der Fall betrachtet, in welchem (x) = x+ 1x ist, so dass unsereReihe diese ist

    : x = 21 + 32 +

    43 + . . .+

    x + 1x

    + etc.,

    deren innitesimale Terme alle der Einheit gleich werden. Unsere Formel wirduns also geben

    : x =

    + ( 1 x) 21 + ( 1 x)

    32 + ( 1 x)

    43 + etc.

    + 2x + x 32 + x

    43 + x

    54 + etc.

    x + 2x + 1

    x + 3x + 2

    x + 4x + 3 etc.,

    woher es klar zu tage treten wird, dass nach Nehmen von x = 1 : x = 21sein wird; aber nach Nehmen von x = 2 wird werden

    : x =

    1 21 1

    32 1

    43 etc.

    + 4+ 2

    32 + 2

    43 + 2

    54 + etc.

    43

    54

    65 etc.

    26

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    27/46

    = 421 +

    32.

    28 Dieser Fall kann in der Tat leicht auf die vorhergehende Gattung redu-ziert werden. Weil nmlich der allgemeine Term (x) = x+ 1x ist, wird er inTeile aufgelst (x) = 1+ 1x geben; deswegen werden zwei Reihen gebildet, dieerste natrlich aus dem allgemeinen Term 1, die andere hingegen aus demallgemeinen Term 1x , und diese zwei Reihen werden zusammen genommendie gesuchte Summe : x geben; es wird natrlich sein

    : x =

    + 1+ 1 + 1 + 1 + . . .+ 1

    + 1+ 12 + 13 +

    14 + . . .+

    1x

    .

    Nun ist die Summe der oberen Reihe x, die untere kann hingegen durch dieerste Gattung entwickelt werden und daher wird man haben

    : x =

    x + 1 + 12 + 1

    3 + 1

    4 + etc.

    1

    x + 1 1

    x + 2 1

    x + 3 1

    x + 4 etc.,

    welcher Ausdruck um Vieles einfacher ist als der vorhergehende, aber nichts-destoweniger denselben Wert darbietet. So, wenn x = 12 genommen wird,wird uns der erste Ausdruck geben

    : x =

    27

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    28/46

    + 12

    21 +

    12

    32 +

    12

    43 +

    12

    54 + etc.

    + 1+ 12

    32 +

    12

    43 +

    12

    54 +

    12

    65 + etc.

    53

    75

    97

    119 etc.

    und nachdem die Terme der Reihe nach gesammelt worden sind, wird werden

    : 12 = 1+ 13 4

    + 15 12

    + 17 24

    + 19 40

    + 11160

    + etc.,

    deren Struktur deutlicher aus der folgenden Form zu tage treten wird

    : 12 = 1+ 1

    1 3 4 +

    12 5 6

    + 1

    3 7 8 +

    14 9 10

    + 1

    5 1112 + etc.

    Der andere Ausdruck gibt hingegen diese Reihe

    : 1

    2 =

    12 + 1 +

    12 +

    13 +

    14 + etc.

    23

    25

    27

    29 etc.,

    der nach Sammeln der Terme geben wird

    : 12 =

    12 +

    13 +

    12 5 +

    13 7 +

    14 9 + etc.

    28

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    29/46

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    30/46

    Daher werden wir also durch die gegebenen Vorschriften diesen Ausdruckhaben

    : x =

    + ( 1 x) 1+ ( 1 x) 2+ ( 1 x) 3+ etc.+ x + x 2 + x 3 + x 4 + etc.

    x + 1 x + 2 x + 3 etc.;

    wie sehr diese Reihe konvergiert, wollen wir im Fall x = 12 sehen und es wird

    sein

    : 12 =

    + 12 1+ 12 2+

    12 3+ 12 4+ etc.

    + 12 +

    12 2+ 12 3+

    12 4+ 12 5+ etc.

    32 52 72 92 etc.;und nach Sammeln der Terme wird irgendeiner sein

    12 n + 12 n + 1 2n + 12 ,

    was umso nher an das Nichts herankommen muss, um grer die Zahl n

    war, weshalb nherungsweise sein wird

    n + n + 1 = 2(2n + 1).30

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    31/46

    Nach Quadrieren wird man nmlich haben

    2n + 1+ 2 n(n + 1) = 2(2n + 1)und daher

    2 n(n + 1) = 2n + 1.Nach erneutem Quadrieren wird werden

    4nn + 4n = 4nn + 4n + 1,

    welches Verhltnis natrlich nherungsweis an die Gleichheit herankommt.Im brigen verdient es hier bemerkt zu werden, dass die wahren Werte frdie anstelle von x angenommenen Brche dermaen transzendent sind, dasssie mit berhaupt keinen analytischen Formeln ausgedrckt werden knnen. Ja es wird sich sogar jeder beliebige fr x angenommene Wert auf ein eigen-tmliches Geschlecht von Transzendenten beziehen.

    31 Bevor wir aber diese Gattung verlassen, wollen wir noch einen auerge-whnlichen Lehrsatz ber die Konvergenz von Formeln hinzufgen, der umVieles allgemeiner als der ist, den wir gerade zuvor angefhrt haben.

    LEHRSATZDie folgende Gleichheit

    ( ) n + (n + 1) = n +

    31

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    32/46

    wird umso nher an die Wahrheit herankommen, um grer die Zahl n an-genommen wird, und umso kleiner zugleich der Bruch

    war, wenn nur der

    Exponent kleiner als die Einheit war. Aber nachdem negativ genommenworden ist, wird hingegen diese Gleichheit

    n +

    (n + 1)=

    n + ohne die zweite Bedingung umso nher an die Wahrheit herankommen, umsogrer die Zahl n war und umso kleiner der Bruch war. Ja es wird sogarunter denselben Bedingungen durch Logarithmen zum einen gelten

    ( ) logn + log(n + 1) = log n +

    zum anderen

    logn +

    log(n + 1) =

    log n + .

    BEWEIS32 Dieser Lehrsatz folgt aus der fr diese Gattung gegebenen allgemeinenLsung, in welcher Geschlecht irgendein Term aus diesen Teilen besteht

    (1 x)( n) + x(n + 1) (n + x)

    und umso kleiner wird, umso grer die Zahl n angenommen wird, wh-rend x ein Bruch kleiner als die Einheit ist. Wenn wir daher nun x = und(x) = x und daher auch (n) = n setzen, ist es notwendig, dass < 1 ist,weil andernfalls die innitesimalen Terme keine verschwindenden Differenzen

    32

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    33/46

    htten. Diese Substitutionen liefern die in dem Lehrsatz gegebenen erstenFormeln. Wann immer aber der Bruch negativ angenommen wird, dannwird die vorgelegte Reihe sogar in der ersten Gattung enthalten sein, weil jadie innitesimalen Terme ins Nichts bergehen.

    33 Damit die Weite dieses Lehrsatz eingesehen wird, wird es frderlichsein angemerkt zu haben, dass diese Formeln in vier Fllen genau mit derWahrheit bereinstimmen; von diesen ist der erste der, wenn = 0 ist; derzweite der, in dem = ist; der dritte der, in dem = 0 ist; der vierte hatschlielich Geltung, wenn fr n eine unendliche Zahl angenommen wird,Auerdem ist aber ein fnfter Fall gegeben, in welchem in der ersten Form = oder n = n ist.

    DIE DRITTE GATTUNG VON REIHEN, VON WELCHEN ERSTDIE ZWEITEN INFINITESIMALEN DIFFERENZEN

    VERSCHWINDEN

    34 Dies wird also passieren, sooft die innitesimalen Termen selbst einearithmetische Progression festlegen; die zuvor in der oberen Gattung fr : x gefundene Formel wird an diesen Fall angepasst werden, wenn darber

    hinaus die einzelnen Termen der dritten Spalten (der in 9 dargebotenenallgemeinen Form) hinzugefgt werden. Auf diese Weise wird der summato-rische Terme so ausgedrckt werden

    : x =

    + ( 1) + ( 2) + ( 3) + . . .+ ( n) + etc.+ x(1) + x 1 + x 2 + x 3 + . . .+ x n + etc.+ x 1 + x 21 + x 22 + x 3 + . . .+ x 2n + etc.

    (x + 1) (x + 2) (x + 3) . . . (x + n) etc.

    33

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    34/46

    35 Wir wollen nun diesen Ausdruck in eine ntzlichere Form berfhren;und wir wollen freilich anstelle von x seinen Wert xxx2 schreiben; dann wirdaber wegen

    n = ( n + 1) (n)

    und

    2n = ( n + 2) 2(n + 1) + ( n)

    nach Einsetzen dieser Werte die letzte Reihe der vorhergehenden Formel indiese Form bergehen

    (n) + x (n + 1) + xx x2 (n + 2)

    x (n) (xx x)( n + 1)+ xx x2 (n)

    welche Terme gesammelt liefern

    xx 3x + 22 (n) (xx 2x)( n + 1) + xx x2 (n + 2).

    Wir wollen also der Krze wegen festlegen

    xx 3x + 22 = p, xx 2x = q und xx x2 = r

    und so wird der gesuchte summatorische Term mit der folgenden Form aus-gedrckt werden

    34

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    35/46

    : x =

    3x xx2 (1) + xx x2 (2)

    + p(1) q(2) + r(3) (x + 1)+ p(2) q(3) + r(4) (x + 2)+ p(3) q(4) + r(5) (x + 3)+ etc.,

    welche Reihe schon sehr stark konvergieren wird.

    36 Daher knnen wir also einen dem vorhergehenden aber sich um Vielesweiter erstreckenden Lehrsatz derivieren, indem wir wie zuvor festlegen

    x =

    , (n) = n,

    wo es schon gengt, dass der Exponent kleiner als zwei ist; aber um Vielesmehr wird sich dieser Exponent negativ festlegen lassen.

    LEHRSATZDiese Gleichheit

    ( 2 + 2 ) n (2 4 )

    (n + 1) + ( ) (n + 2)= 2 n +

    wird umso nher an die Wahrheit herankommen, umso grer die Zahl n

    35

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    36/46

    angenommen wird und umso weniger der Bruch von der Einheit abweichenwird, solange kleiner als zwei ist. Dann wird aber fr negativ genommenes um Vieles genauer gelten

    3 + 2 n 2 4

    (n + 1)+

    (n + 2)=

    2 n +

    .

    Ja es werden sogar Logarithmen fr die Wurzelformeln angenommen werdenknnen.

    37 Die Gltigkeit dieses Lehrsatzes besteht auch genau in diesen vier Fllen

    1) = 0, 2) = , 3) = 0, und 4) n = .

    Auerdem passiert in der Tat dasselbe, wann immer in der ersten Form entwe-der = oder = 2 ist, so dass n entweder n oder nn ist. Wir haben alsosechs Flle, in welchen dieser Lehrsatz nicht vollkommen von der Wahrheitabweicht; daher wird leicht eingesehen, dass auch in allen brigen Fllen derFehler nicht merklich sein kann.

    38 Wir knnen auch diesen Lehrsatz noch weiter verallgemeinern, indemwir nc anstelle von n schreiben und berall mit der entsprechenden Potenzvon c multiplizieren, damit die die Brche beseitigt werden. Und so wird dieerste Form werden

    ( 3 + 2 ) n 2 4 )

    (n + c)+( )

    (n + 2c) = 2 n + c

    ,

    diese andere Form weicht aber von dieser nur darin ab, dass die Wurzeln indie Nenner eingehen, was auch ber die Logarithmen zu verstehen ist.

    36

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    37/46

    39 Es wird also der Mhe wert sein, diesen Lehrsatz an einem Beispielillustriert zu haben. Es werde also = 1 und = 2 genommen und die imLehrsatz dargebotenen Gleichheiten werden werden

    3 n + 6 (n + c) (n + 2c) = 8 n + 12c

    ,

    3 n +

    6

    (n + 1) 1

    (n + 2)=

    8 n + 12

    .

    Wir wollen die erste Form auf Logarithmen anwenden und es wird werden

    3logn + 6log(n + c) log(n + 2c) = 8log n + 12c .

    Es sei nun n = 10 und c = 2, dass hervorgeht

    3log10+ 6log12 log4 = 8log11.

    Nach der Entwicklung wird also sein

    3log10 = 3, 0000000 log 14 = 1,14612806log12 = 6,4750872 8 log11 = 8,3311416

    9,4750872 = 9, 4772696,

    deren Differenz 0,0021824 ist, welche um Vieles kleiner hervorgegangen wre,wenn wir der Zahl n einen greren Wert zugeteilt htten.

    40 ber den summatorischen Term der vorgelegten Reihe sollte besonders bemerkt werden, dass so die Differentiation wie Integration leicht durchge-fhrt werden kann, nachdem natrlich der Index x als Variable genommen

    37

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    38/46

    worden ist, so wie dies schon in der ersten Gattung ausfhrlicher gezeigtwurde, wo der summatorische Term : x als Ordinate eine gewissen Kurve betrachtet worden ist, whrend der Index x die Abszisse darstellt, und haupt-schlich in diesem Hinblick habe ich in Calculi Differntialis die unerklrbarenFunktionen behandelt.

    41 Aus der oben fr den summatorischen Term : x gegebenen allge-meinen Formel wollen wir aber hier auch den Fall der harmonischen Reiheentwickeln, in welchem ist

    : x = 1+ 1

    2 +

    1

    3 +

    1

    4 + . . .+ 1

    x,

    und wir wollen ihren Wert fr den Index x = 12 suchen; und wegen (x) = 1x ,dann aber wegen

    p = 38, q =

    34, r =

    18

    werden wir haben

    : 12 = 58 116

    + 38 +

    316 +

    18 +

    332 + etc.

    + 38 +

    14 +

    316 +

    320 + etc.

    124

    132

    140

    148 etc.

    2

    3 2

    5 2

    7 2

    9 etc.

    oder es wird sein

    38

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    39/46

    8 : 12 = 92

    + 31 +

    32 +

    33 +

    34 + etc.

    + 62 +

    63 +

    64 +

    65 + etc.

    13

    14

    15

    16 etc.

    163

    165

    167

    167 etc.

    Wir wollen die einzelnen Spalten zu einem einzigen Term sammeln und eswird sein

    8 : 12 = 92 +

    61 2 3 3

    + 6

    2 3 4 5 +

    63 4 5 7

    + 6

    4 5 6 9 + etc.,

    welche Reihe natrlich schneller konvergiert als die, die wir in der zweitenGattung gefunden haben.

    42 Wenn wir daher aber die Terme nicht zusammenziehen, sondern die, diedenselben Nenner haben, sammeln, nachdem die unterste Reihe weggelassenworden ist, werden wir haben

    8 : 12 = 92 +

    31 +

    92

    + 8 1

    3 +

    1

    4 +

    1

    5 +

    1

    6 +

    1

    7 + etc.

    1613 +

    15 +

    17 +

    19 +

    111 + etc.

    39

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    40/46

    oder wir werden, indem anstelle der oberen Reihe dies geschrieben wird

    16 16 + 18 +

    110 +

    112 + etc. ,

    haben

    12

    : 12 34 =

    13

    15 +

    16

    17 +

    18

    19 +

    110

    111 + etc.

    Wir wollen auf beiden Seiten Nachstehendes addieren

    log2 = 112 +

    13

    14 +

    15

    16 + etc.;

    es wird werden

    12

    : 12 34 + log2 = 1

    12

    14 =

    14,

    als logische Konsequenz ist

    : 12 = 2 log2,

    welcher Wert beraus mit dem bereinstimmt, welcher in der ersten Gattunggegeben worden ist.

    40

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    41/46

    SUPPLEMENTBER UNERKLRBARE FUNKTIONEN DER FORM

    : x = A B C D E X 1 Hier sind die Faktoren A, B, C, D etc. die Terme einer gewissen Reihe,die den Indizes 1, 2, 3, 4 etc. entsprechen und X der Term, der dem Index xentspricht; aber die Brche, die den folgenden Indizes

    x + 1, x + 2, x + 3 etc.

    entsprechen, werde ich mit X , X , X etc. bezeichnen. Daher tritt es schon

    sofort klar zu tage, dass

    : (x + 1) = X : xund

    : (x + 2) = X X : xund so weiter sein wird. Die vorhergehenden werden hingegen diese sein

    : (x 1) = : x

    X etc.

    Daher wird auszureichen eingesehen, dass diese Formeln fr die Werte von x,die kleiner als die Einheit sind, angegeben werden.

    2 Sooft x eine ganze positive Zahl ist, gehen die Werte von : x von selbst

    hervor. Es wird nmlich sein

    : 1 = A, : 2 = AB, : 3 = ABC etc.

    41

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    42/46

    Wann immer aber x keine ganze positive Zahl ist, wird das Produkt, was wirmit dem Charakter : x bezeichnen, eine unerklrbare Funktion von x sein,wenn nicht zuflliug die Faktoren A, B, C, D etc, so beschaffen waren, dassdie vorhergehenden von den vorausgehenden aufgehoben werden, wie es beispielsweise bei dieser Form passiert

    : x = 12 23

    34

    45

    xx + 1,

    weil ja hier offenbar ist

    : x = 1x + 1,

    oder auch in diesem Beispiel

    : x = 34 89

    1516

    2425

    xx + 2x(x + 1)2 .

    Daher wird nmlich sein

    : 1 = 32 2, : 2 = 23 =

    42 3

    , : 3 = 58 = 52 4

    , : 4 = 35 = 62 5

    ,

    : 5 = 72 6 etc.,

    woher es klar zu tage tritt, dass im Allgemeinen sein wird

    : x =

    x + 22(x + 1) .

    42

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    43/46

    3 Aber die unerklrbaren Flle werden durch Logarithmieren auf die vor-hergehende Dissertation zurckgefhrt werden. Es wird nmlich sein

    log : x = log A + logB + logC + . . .+ logX ,

    welche Form uns mit der oben behandelten Form verglichen die folgendenWerte geben wird

    : x = log : x,(1) = log A, (2) = logB, (3) = logC etc. und (x) = logX ;

    dann wird aber sein

    (x + 1) = logX , (x + 2) = logX etc.;

    und nachdem diese bereinstimmung bemerkt worden ist, wollen wie dieoben behandelten Gattungen an den gegenwrtigen Fall anpassen.

    DIE ERSTE GATTUNG, WO DIE LOGARITHMEN DERINFINITESIMALEN FAKTOREN VERSCHWINDEN ODER WODIE INFINITESIMALEN FAKTOREN DER EINHEIT GLEICH

    WERDEN

    4 Weil wir also fr diese erste Gattung nach Einfhren der gerade gegebe-nen Werte haben

    log : x =

    + log A + logB + logC + logD + etc.

    logX logX logX logX IV

    etc.,

    43

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    44/46

    wird durch Delogarithmieren sein

    : x = AX

    BX

    CX

    DX etc.

    Hier fge ich keine Beispiele hinzu, weil schon viele in Calculi Differentialisentwickelt worden sind.

    DIE ZWEITE GATTUNG, WO DIE INFINITESIMALEN TERMEEINANDER GLEICH WERDEN

    5 Dann werden nmlich auch deren Logarithmen einander gleich sein unddaher werden alle ersten Differenzen verschwinden. Hierauf wollen wir alsodie oben in 25 gefundene Formel anwenden und es wird sein

    log : x =

    + ( 1 x) log A + ( 1 x) logB + ( 1 x) logC + etc.+ x log A + x logB + x logC + x logD + etc.

    logX logX logX etc.,

    woher wir durch Delogarithmieren haben werden

    : x = Ax A1x B

    x

    X B1x C

    x

    X C1x D

    x

    X etc.

    44

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    45/46

    DIE DRITTE GATTUNG, WO DIE INFINITESIMALEN TERMEEINE GEOMETRISCHE PROGRESSION FESTLEGEN

    6 Dann werden nmlich die Logarithmen dieser Terme eine arithmetischeProgression festlegen, deren zweite Differenzen also verschwinden werden.Um also den oben in 35 gefundenen Ausdruck auf diesen Fall anzuwenden,ist es anzumerken, dass der Krze wegen festgelegt worden ist

    p = xx 3x + 22 , q = xx 2x und r =

    xx x2 ,

    woher wir haben werden

    log : x =

    + p log A + p logB + p logC + etc.

    + 3x xx2 log A q logB q logC q logD etc.

    + xx x2 logB + r logC + r logD + r logE + etc.

    logX

    logX

    logX

    etc.

    Wir wollen aber hier weiter der Krze wegen festlegen

    xx 3x2 = m und xx x2 = n;

    und durch Delogarithmieren werden wir diesen Ausdruck haben

    : x = Bn

    Am A p

    Cr

    BqX B p

    Dr

    CqX C p

    Er

    DqX etc.

    45

  • 7/26/2019 Euler -- 613

    46/46

    7 Ich bin mir sicher, auf diese Weise die Lehre ber unerklrbare Funk-tionen, die in Calculi Differentialis nicht hinreichend genau und erhellenddargestellt worden ist, fast vollkommen erschpft zu haben, so dass nichtsWeiteres verlangt werden kann; dies schien umso mehr notwendig, weil dieserGegenstand gnzlich neu und von noch niemandem behandeln worden ist.Aber besonders gro ist sein Nutzen bei der Interpolation von Reihen unddaher waren sogar die Beschaffenheiten von gekrmmten Linien, deren Or-dinaten durch unerklrbare Funktionen ausgedrckt werden, ausndig zumachen.

    46