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euclidean&non euclidean geometry

Nov 14, 2014

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this is about Euclidean and non Euclidean geometry.

  • 1. WH A T I S G E O ME T R Y ?T h e w o r d G e o m e t r y c o m e s f r o m G r e e k w o r d g e o m e a n i n g t h e e a r t h a n d m e t r e i n m e a n i n g t o m e a s u r e . G e o m e t r y a p p e a r s t o ha v e or i gi na t e d f r om t h e n e e d f o r me a s u r i n g l a n d . N e a r l y 5000 y e a r s a g o g e o me t r y o r i g i n a t e d i n Egy pt a s a n a r t of e a r t h me a s u r e me n t . E g y p t i a n g e o me t r y w a s t h e s t a t e me n t s o f r e s u l t s . T h e k n o w l e d g e o f g e o me t r y

2. Euc l i de a n g e oe e t m e t ir t y w h i h ? G mo r y wThe c h we a r e mo s t f a mi l i a r i s c a l l e d Euc l i de a n g e o me t r y . E u c l i d e a n g e o me t r y w a s n a me d a f t e r E u c l i d , a Gr e e k Em act l hi edm aat ni g e o m ew hr oy l di evael ds u e c i a n t w i nt h p o iC n M o s lt i onf e s haen d i 300 B . t s , t pt l haenoer se & s o w it c h y r e tt e ru a c tt he a i n mh wh a gh t i on m ai kgeh csocm pol oel xs f t i ogduar ye s . n h h c a b e f o u n d i n E u c l i d 's 2000 y e a r o l d b o o k T H E E L E M E N T S . 3. EUCL I D E u c l i d ,300 B C , a l s o k n o wn a s E u c l i d o f Al e x a n d r i a , wa s a Gr e e k ma t h e ma t i c i a n , o f t e n r e f e r r e d t o a s t he "F a t h e r o f G e o m e t r y ". H i s E l e me n t s i s o n e o f t h e mo s t i n f l u e n t i a l wo r k s i n t h e h i s t o r y o f ma t h e ma t i c s . I n t h e E l e me n t s , E u c l i d 4. T H E E L E ME N T SE u c l i d 's E l e m e n t s i s a ma t h e ma t i c a l a n d g e o me t r i c t r e a t i s e c o n s i s t i n g o f 13 b o o k s . I t i s a c ol l e c t i on of de f i ni t i ons , pos t ul a t e s , p r o p o s i t i o n s (t h e o r e m s a n d c o n s t r u c t i o n s ), a n d ma t h e ma t i c a l p r o o f s o f t he pr opos i t i ons . The t hi r t e e n book s c ov e r E u c l i d e a n g e o me t r y a n d t h e a n c i e n t Gr e e k v e r s i o n o f e l e me n t a r y n u mb e r t h e o r y . T h e w o r k 5. Euc l i d s t a t e d f i v e p o s t u l a t e s o n wh i c h h e b a s e d a l l h i s t h e o r e ms : 1) A s t r a i g h t l i n e m a y b e d r a wn f r o m a n y o n e poi nt t o a ny ot he r poi nt . 2)A t e r m i n a t e d l i n e c a n be pr oduc e d i nde f i ni t e l y . 3)A c i r c l e c a n b e d r a w n wi t h a n y c e n t r e & r a di us . 6. E U C L I D S F I F T H P OS T UL AT E5)I f f a s t ma i n t h t h a n s t e x i n ona s t r a i ght l i ne l l i n g o n t wo r a i ght l i ne s k e s t he s um of t he t e r i or a ngl e s on e s a me s i d e l e s s a n t wo r i g h t g l e s , t h e n t h e t wo r a i ght l i ne s , i f t e nde d d e f i n i t e l y , me e t t ha t s i de on 7. F o r 2000 y e a r s p e o p l e w e r e u n c e r t a i n o f w h a t t o ma k e o u a d e t I f t E w c ls i v s r f yi fh ta hr p o ts o u l a t e ! du n d e r s t a n d . I t wa s n o t a s s i mp l i s t i c a s t h e f i r s t f our pos t ul a t e s . T h e p a r a l l e l p o s t u l doe s not s a y pa r a l l e l i n e s e x i s t i t s h o ws pr ope r t i e s of l i ne s t ha t a r e not pa r a l l e E u c l i d p r o v e d 28 pr opos i t i ons be f or e u t i l i z e d t h e 5t ha t e l t hel . he 8. a r a l l e lPos t ul a t e orThe oI s t hi s pos t ul a t e r e a l l y a t h e o r e m? I f s o , w a s E u c l i d s i mp l y n o t c l e v e r e n o u g h t o f i nd a pr oof ? M a t h e ma t i c i a n s w o r k e d o n p r o v i n g t h i s p o s s i b l e t h e o r e m b u t a l l c a me u p s hor t . 2n d c e n t u r y , P t o l e m y , a n d 5t h c e n t u r y Gr e e k phi l os ophe r , Pr oc l us t r i e d a nd f a i l e d . T h e 5t h p o s t u l a t e w a s 9. P l a y f a i r s P o s t u I n pr ma wi e q s t f a Pl Th na s c Pls t ov t h t h ui a t mo a y i s me i e a ye a d of t r y i ng t o e t h e 5t h p o s t u l a t e e ma t i c i a n s p l a y e d l ogi c a l l y v a l e nt e me n t s . T h e mo s t u s o f wh i c h wa s f a i r s P o s t u l a t e . p o s t u l a t e wa s d a f t e r Sc ot t i s h nt i s t J ohn f a i r , w h o ma d e i t t h 10. Gi v e n a l i n e a n d a poi nt not on t ha t l i ne , t he r e i s e x a c t l y one l i ne t hr ough t he poi nt t ha t i s pa r a l l e l t o t he l i ne .We c a n s a y t h a tE u c l i d s 11. N O N -E U C L I D E A N G E O ME T R Y 12. N o n -E u c l i d e a n g e o me t r y T o n s ah f o e sI n c e Fr Be Ri upe l Eu t q l f t ha c u e es t a x i om l i d i s i t e a s v i de nt ot he r s .t h e 19t h n t u r y , Ge o r g i e dr i c h r na r d e ma n n c a me wi t h t h e 13. N o n -E u c l i d e a n g e o me t r y T wo de t one a x i Al l l e n c i r a x i The l i np o i n t s ma y e r mi n e mo r e t h a n l i n e (i n s t e a d o f o m 1) l i ne s a r e f i ni t e i n g t h b u t e n d l e s s i .e . c l e s (i n s t e a d o f o m 2) r e a r e no pa r a l l e l e s (i n s t e a d o f a x i o m 14. T h e t h e o r e ms t h a t c a n b e de duc e d f r om t he s e ne w a x i o ms a r e 1. A l l p e r p e n d i c u l a r s t o a s t r a i g h t l i n e me e t a t one poi nt . 2. T w o s t r a i g h t l i n e s D o e tn h e s e e a n a r e a c l os T a Teh y s d u mi e f? w e ei a n ggl i e n e ma m hk ee s o s o f t h e n 3. s i l e t s poaf c ae t i r s al ni g k e a rh ee t s Ou t h a c e f a n s f o s n grr fa e e ru rtohfa cae 180p ha e r e ! s p h e r e , i t c a n b e s h o wn t h a t t he s hor t e s t di s t a nc e b e t we e n t wo p o i n t s i s a l wa y s t h e a r c o f a c i r c l e . 15. Al l p e r p e n d i c u l a r s t o a s t r a i g h t l i n e me e t a t Li ne s of o n e p o i n t . l ongi t ude a r e pe r pe ndi c ul a r t o t he e qua t or b uT wm e e tt r t it g h t l i n e s t a a he o s N o r te hn p o l oes e a n a r e a c lAn y t wo l i n e s of l ongi t ude (s t r a i g h t l i n e s ) me e t a t b o t h t h e No r t h a nd Sout h pol e s s o 16. a ngl e s of a t r i a ngl e a r e gr e a t e r t ha n 180 17. Th b E t d f se e u h e l pma i n d i f f e r e n c e t we e n E u c l i d e a n & n o n c l i d e a n g e o me t r y i s a t i ns t e a d of s c r i bi ng a pl a ne a s a a t s ur f a c e , a pl a ne i s a he r e .A l i ne on t he s phe r e i s a g r e a t c i r c l e wh i c h i s a n y c i r c l e on t he s phe r e t ha t 18. A R E E U C L I D S P O S T U L A T E S T RUE I N SPHERI CAL G E O ME T R Y ? 1)T h r o u g h a n y t w o poi nt s t he r e i s e x a c t l y one l i ne T RUE2)T h r poi n s a me e x a c T RUEough t s no l i ne t l y oa ny t on t he ne pt hr e e t he r e i s l a ne . 19. 3) A l i n e c o n t a i n s a t l e a s t t wo p o i n t s . T RUE 4) A l l r i g h t c ongr ue nt . T RUE C o me wo wr t h t h we t ru i e e r ua ngl e s a r eon! I l d n t t e m i f y e n t e !!!! 20. pos t ul a t e t r ue i n s phe r i c a l G i v e n ag l ei o e & at p o y n t n o t n me r i ? o n t h a t l i n e h o w ma n y l i n e s c a n b e d r a wn t h r o u g h t he poi nt t ha t a r e pa r a l l e l t o t he l i ne ? N O N E ,T H E R E F O R E T H E P A R A L LEE Lc ePpO S f o r A ThE I S x t T UL t e F A L S E c i r ScPl H E i n C A Le I N e RI t h G E O M E Tm i Y . d l e , t h e s e R dh d c so o e pr i z o not nt e r he r ent a l c i r c l e s s ha r e a wi t h t h e & t he r e f or e 21. I f t he pa r a l l e l pos t ul a t e i s not t r ue t h a t me a n s t h a t g i v e n a l i ne & a poi nt not on t h a t l i n e t h e r e i s NOT e x a c t l y one l i ne t hr ough t he poi nt wh i c h i s p a r a l l e l t o t he l i ne . Ho w c a n t h a t b e pos s i bl e ? R e m e m b e r p o i n t s ,l i n e s & pl a ne s a r e unde f i ne d 22. WH Y B O T H E R S T U D I N G S P H E R I C A L G E O ME T R Y ?BECAUSE T HE EART H I S A SPHERE. E u c l i d e a n g e o me t r y c a nnot be us e d t o Mo d e l t h e e a r t h b e c a u s e i t i s a s phe r e . I ns t e a d of t he Ca r t e s i a n c o o r d i n a t e s us e d 23. An y l o c a t i o n o n t h e e a r t h c a n b e f o u n d wi t h i t s l a t i t ude s & l ongi t ude s . M a h a r a s h t r a ,I n d i a L a t .=20 d e g r e e s n o r t h O o nag s =76 e re e ,r te h e e a s t Ln . ph d g e s s um of t he a ngl e s of a t r i a ngl e i s not e q u a l t o 180 . T h e s ur f a c e of a s phe r e i s not a Euc l i de a n s pa c e , but l o c a l l y t h e l a ws of t he Euc l i de a n 24. T h e ma i n d i f f e r e n c e b e t we e n E u c l i d e a n a n d n o n -E u c l i d e a n g e o m e t r y i s wi t h p a r a l l e l l i n e s . T wo l i n e s a r e p a r a l l e l i f t h e y n e v e r me e t , a n d mu c h o f h i g h s c h o o l g e o me t r y c l a s s i n v o l v e s p l a y i n g wi t h p r o p e r t i e s of pa r a l l e l l i ne s . Ho we v e r , o n a s p h e r e a n y t wo g r e a t c i r c l e s wi l l i n t e r s e c t i n t wo p o i n t s . T h i s me a n s t h a t i t i s not pos s i bl e t o dr a w 25. AP P L I CAT I ONS OF E U C L I D E A N G E O ME T R YOn e o f t h e e a r l i e s t r e a s o n s f o r i n t e r e s t i n g e o me t r y wa s s u r v e y i n g a n d c e r t a i n pr a c t i c a l r e s ul t s f r om E u c l i d e a n g e o me t r y , s u c h a s t h e r i g h t -a n g l e p r o p e r t y o f t r i a n g l e , we r e u s e d l o n g b e f o r e t h e y we r e p r o v e d f o r m a l l y .T h e f u n d a m e n t a l t y p e s o f me a s u r e me n t s i n E u c l i d e a n g e o me t r y a r e di s t a nc e s a nd a ngl e s , a nd bot h of t he s e qua nt i t i e s c a n b e me a s u r e d d i r e c t l y b y a s ur v e y or . Hi s t o r i c a l l y , d i s t a n c e s w e r e o f t e n me a s u r e d b y c h a i n s s u c h a s G u n t e r 's 26. AP P L I CAT I ONS OF S P H E R I C A L G E O ME T R Y O n e o f t h e mo s t u s e d g e o me t r y i s S p h e r i c a l

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