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Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle D5PHI2 D5PHI2 … de systèmes plus ou moins complexes
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Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Jun 18, 2022

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Page 1: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Equations différentielles

ordinaires : dérivation temporelle

D5PHI2D5PHI2

… de systèmes plus ou moins complexes

Page 2: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

codes 0D

Le logiciel (ici Trnsys) résoud des systèmes

d’équations différentielles en temps couplées.

Page 3: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Le couplage des méthodes de discrétisation temporelle avec différentes méthodes

de discrétisation spatiale des solutions donnent lieu à des méthodes de résolution

d’équations aux dérivées partielles.

-Différences finies

-Volumes finis

-Eléments finis

-Méthodes spectrales …

Si toutes ces méthodes diffèrent pour la représentation spatiale des solution et les

façons de poser les équations à résoudre,

elles ont toutes en commun la possibilité de mettre en œuvre

une discrétisation temporelle analogue.

Page 4: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Problème de Cauchy:

=

=∂

∂=

ℜ→ℜ×

ℜ∈≤≤

αy(a)

f(x,y(x))x

yy'(x)

xyxy

baf

bxa

:par définie )(: chercheOn

],[:

,Soient α

Condition initiale dite condition de Cauchy

4

Page 5: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Une solution à ce problème existe et est unique si

[ ]( )ℜ×∈ baCf ,* 0

variable2 la àrapport par ennelipschitziest f * ème

( ) ( ) [ ]

( ) ( ) 2121

21

,,

/ de teindépendan 0 ..

yylx,yfx,yf

bax,y,x,y

xlei

−≤−

ℜ×∈∀

>∃

Plus pratique: si y

ff y

∂= est continue et bornée, alors f est

lipschitzienne

5

Page 6: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Exemples : [ ]

[ ]

.ln

unique Solution

5,sur bornéeet continueest ln

1

ln

1

,ln

1

ln),(,

)(

5,,ln

1

ln'

x

xy

exxxy

f

xxx

yyxf

eey

exxxx

yy

=

−=∂

+−=

=

∈+−=

[ ]

[ ]

.2

xet y 0 possibles solutions 2

1,0sur bornée nonest 2

1

,),(,0)0(

1,0,'

2

==

=∂

=

=

∈=

y

yy

f

yyxfy

xyy

Page 7: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Systèmes d’équations différentielles du premier ordre.

[ ]

=

=

=

=

=

=

nnnnn

n

n

ay

ay

ay

bax

yyxfy

yyxfy

yyxfy

α

α

α

)(

...

)(

)(

,,,

),...,,('

...

),...,,('

),...,,('

22

11

1

122

111

Le théorème d’existence et d’unicité est identique en remplaçant, dans la

condition de Lipschitz la valeur absolue dans R par une norme dans Rn.

Page 8: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Equations différentielles d’ordre supérieur :

(type équation des ondes)

=

=

=

β

α

)('

)(

)',,(''

ay

ay

yyxfy

=

=

' pose On

2

1

yu

yu

On obtient le système différentiel du premier ordre équivalent :

=

=

=

=

β

α

)(

)(,

),,('

'

2

1

212

21

au

au

uuxfu

uu

Page 9: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Approche discrète: détail des méthodes à un pas

discrétisation du ‘temps’

N

abhNnnhax

bxxxa

n

n

−==+=

=<<<=

,,...,0,

...10

définition d’une suite: ),,(, 10 hyxhyyy nnnn Φ+== +α

La méthode sera définie par le choix de Φ

Méthode d’Euler: fΦyxhfyy nnnn =+=+ soit ),,(1

h

yyxy nn

n

−′ +1par )( remplaçant en obtenue

9

Page 10: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Les yi sont des valeurs approchées de la solution exacte

notée y(x). En règle générale yi≠ y(xi). Pour qu’une méthode

soit jugée bonne, il faut qu’elle soit convergente :

0)(max0

,..,0 →−→= hnn

Nnxyy

x

yy(x)

h

h/2

h/4

10

Page 11: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Consistance:

[ ] 0)),(,()()(1

maxlim

:équation cette de exacte

solution pour toute si ),( elledifférentiéquation l' avec

econsistantest ),,( méthode La

1,...,00

1

=

Φ−−

=′

Φ+=

+=→

+

hxyxxyxyh

y

yxfy

hyxhyy

nnnnNnh

nnnn

On a consistance si le schéma représente bien l’équation différentielle:

[ ]

))(,,(

))(,()(')),(,()()(1

1

nn

nnnnnnn

xyxhR

xyxfxyhxyxxyxyh

+

−=Φ−−+

on pose

Equation différentielle:

terme nul si solution exacte

RésiduSchéma appliqué à un

champ ∞C

11

Page 12: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

0))(,,(max:eConsistanc0

→→hnn

nxyxhR

)(!

...2

)()( 1

2

22

1

++ +

∂++

∂+

∂+= p

nx

p

pp

nxnx

nn hOx

y

p

h

x

yh

x

yhxyxy

∞C Champ

[ ]

)(!

...2

)(')),(,()()(1

2

1

2

2

1

),h),y(xΦ(x

hOx

y

p

h

x

yh

xyhxyxxyxyh

nn

p

nx

pp

nx

nnnnn

+∂

∂++

∂+

=Φ−−

+

[ ]

)(!

...2

)(

))(,()(')),(,()()(1

2

1

2

2

1

p

nx

pp

nx

nnnn

nnnnnnn

hOx

y

p

h

x

yh

),h),y(xΦ(x)x,yf(x

xyxfxyhxyxxyxyh

+∂

∂++

∂+

−+

−=Φ−−

+

Résidu

12

Page 13: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Schéma d’ordre p: )())(,,(max p

nnn

hOxyxhR =

Vérifier la consistance est insuffisant pour assurer

la convergence

Condition nécessaire et suffisante de consistance:

ℜ∈∀∈∀=Φ ybaxyxfyx ],,[),,()0,,(

13

Page 14: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Ne pas confondre l’ordre du schéma et l’ordre de l’erreur sur

1 pas:Schéma: ),,(1 hyxhyy nnnn Φ+=+

Solution exacte sur 1 pas:

)(!

...2

)()( 1

2

22

1

++ +

∂++

∂+

∂+= p

nx

p

pp

nxnx

nn hOx

y

p

h

x

yh

x

yhxyxy

Erreur sur 1 pas:

),,

)(!

...2

),,()(1

2

2

11

hy-hR(x

hOx

y

p

h

x

yh

x

yhyxhxyy

nn

p

nx

p

pp

nxnx

nnnn

=

+

∂−−

∂−

∂−Φ=−

++

Sur N pas, l’erreur est « multipliée par»h

abN

−=

14

Page 15: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

La méthode est dite stable si les solutions de:

vérifient:

( )

+Φ+=

Φ+= ++

fixé

),,(et

fixé

),,(

0

1

0

1

z

hzxhzz

y

hyxhyy nnnnnnnnn ε

nNn

nnNn

MzyMzy

hMM

ε,...,1

2001,...,0

21

maxmax

/ de tesindépendan ,

==+−≤−

Sensibilité aux conditions initiales

Sensibilité aux erreurs de troncatureset

bornées:

Méthode stable15

Stabilité :

Page 16: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Condition suffisante de stabilité:

Si Φ vérifie une condition de Lipschitz par

rapport à la 2ème variable, alors la méthode est stable:

En pratique, on vérifie que est continue et bornée.

yyMhyxhyx

hMyybax

−≤Φ−Φ

>∃ℜ∈∀∈∀

),,(),,(

/ de teindépendan 0,,],,[

yy

Φ∂=Φ

16

Page 17: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

CONSISTANCE+STABILITE=>CONVERGENCE

0max)(max0

,...,02

,...,0 →′≤−→== hn

Nnnn

NnMxyy ε

Consistance: ( )

0)max(lim avec

)),(,()()(

,...,00h

1

=′

′+Φ+=

=→

+

nNn

nnnnn hxyxhxyxy

ε

ε

stabilité consistance

0)(max0

,...,0 →−→= hnn

Nnxyy convergence

17

Page 18: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Méthode d’Euler:

=

+=+

α0

1 ),(

y

yxhfyy nnnn

Consistance :

Stabilité :Convergence

Ordre

)0,,(),(),,( yxyxfhyx Φ==Φ

f lipschitzienne

)()...(6

)(2

2

hOxyh

xyh

R nn =′′′+′′=1

}

18

Page 19: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

19

Méthode de Runge-Kutta d’ordre 2

11 ),(' ++ >>+=nnnnnn

xxxxhyyy

.2/ : Améliorons

. :Euler

hxx

xx

nn

nn

+=

=

)2/),(,2/())(,(nnnnnn

yxhfyhxfxyxf ++=

α=

+++=+

0

1 )2/),(,2/(

y

yxhfyhxhfyy nnnnnn

Schéma :

Runge Kutta d’ordre 3 : voir le TD.

Page 20: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Méthode de Runge Kutta d’ordre 4

[ ]

( )34

23

12

1

4321

,2

,2

2,

2

),(k

226

1),,(

hkyhxfk

kh

yh

xfk

kh

yh

xfk

yxf

kkkkhyx

++=

++=

++=

=

+++=Φ

20

Page 21: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Programmes Matlab de mise en œuvre des formules

d’Euler et de Runge Kutta d’ordre 4.

Page 22: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

A-stabilité

Un schéma est A-stable si, appliqué à l’équation différentielle

avec A une constante complexe de partie réelle positive, il satisfait pour

toute valeur de h :

Ayy −='

0lim =∞→

nn

y

0

1

1 )1()1(),( yhAyhAhAyyyxhfyyn

nnnnnnn

++ −=−=−=+=

Méthode d’Euler

La méthode est A-stable si 11 ≤− hA

Elle ne l’est donc pas forcément, notamment pour A imaginaire pur.

On peut montrer qu’aucune méthode à un pas n’est A-stable.

Page 23: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Rayon de stabilité des méthodes à un pas

Les méthodes adopteront un comportement décroissant vers 0 si Ah est inférieur

à une certaine valeur dite rayon de stabilité.

Si A est réel, la condition pour le schéma d’Euler devient :

stabilité. de rayonR,2Ahsoit ,11 =<<− Ah

Pour la méthode d’Euler améliorée, on trouve R=2 aussi.

Pour RK4, R=2,78.

Page 24: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

Méthodes multi-pas

( )nknknknkknk ffhyyy 0011 ββααα ++=+++ +−+−+ LL

Si 0=kβ la méthode est explicite , sinon elle est implicite.

Etude de consistance : utilisation de développements de Taylor.

Etude de stabilité : hors programme.

Page 25: Equations différentielles ordinaires : dérivation temporelle

25

Autres méthodes ),( tyft

y=

Adams Bashforth :

211

11

1

12

5

12

16

12

23

2

1

2

3

−−+

−+

+

+−=−

−=−

=−

nnn

nn

nnnn

nnn

fffh

yy

ffh

yy

fh

yy

( )

111

11

11

12

1

12

8

12

5

2

1

−++

++

++

−−=−

+=−

=−

nnn

nn

nnnn

nnn

fffh

yy

ffh

yy

fh

yy

Adams Moulton :

111

2

43 +−+

=+− n

nnn

fh

yyy1

11

22

43 −−+

−=+− nn

nnn

ffh

yyy

n

nn

fh

yy=

− −+

2

11

Autres formulations d’ordre 2 :

A-stable