Les équations différentielles Outils de résolution des équations linéaires du premier ordre Christophe Palermo IUT de Montpellier Département Mesures Physiques & Institut d’Electronique du Sud Université Montpellier 2 Web : http://palermo.wordpress.com e-mail : [email protected]twitter: @chr_palermo Cours du 30 novembre 2010 MONTPELLIER
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Les équations différentiellesOutils de résolution des équations linéaires du premier ordre
1 Résolution des équations homogènesRecherche de la solution généraleExemple du circuit RC série
2 Résolution des équations inhomogènesRecherche de la solution généraleLien entre les solutions générales homogènes et inhomogènesRecherche d’une solution particulièreExemple du circuit RC série
3 La méthode de LagrangePrincipeExemple du circuit RC série
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Outils et linéarite
Au premier ordre, deux possibilités :L’équation n’est pas linéaire
(exemple : y − 3ty2 = 0
)L’équation est à variable séparéesL’équation n’est pas à variable séparées (substitution, numérique)
L’équation est linéaire =⇒ deux questions : est-ellehomogène ou inhomogène ?à coefficients constants ou pas ?
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Résolution des équations homogènes
Plan
1 Résolution des équations homogènesRecherche de la solution généraleExemple du circuit RC série
2 Résolution des équations inhomogènesRecherche de la solution généraleLien entre les solutions générales homogènes et inhomogènesRecherche d’une solution particulièreExemple du circuit RC série
3 La méthode de LagrangePrincipeExemple du circuit RC série
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Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale
EDL1 homogène
Equation Différentielle Linéaire du 1er ordre (EDL1) homogène :a(t) · y + b(t) · y = 0 c’est à dire a(t) · dydt + b(t) · y = 0
En manipulant un peu : dyy = −b(t)
a(t)· dt
Une EDL1 homogène est à variables séparées !
En intégrant des deux côtés : ln[y(t)] = −∫ b(t)
a(t)· dt + B, B ∈ R
Ensuite, deux possibilités :a(t) et/ou b(t) sont des fonctions : coefficients variablesa(t) = a et b(t) = b sont des constantes : coefficients constants
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Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale
Solution générale d’une EDL1 homogène
Pour des coefficients variables :on pose −
∫ b(t)
a(t)· dt = F (t) (pratique : constante d’intégration nulle)
donc ln(y) = F (t) + B, B ∈ Ret puis exp [ln y(t)] = y(t) = exp [−F (t) + B] = exp(B) · exp[−F (t)]On remplace exp(B) par K ∈ R et donc
y(t) = K · exp[−F (t)] , K ∈ R
Pour des coefficients constants :plus simple : primitive de −b/a avec const. d’intégration nulle : −bt/adonc −
∫ ba · dt = −b
a t + B avec B ∈ R
On remplace aussi exp(B) par K ∈ R et donc
y(t) = K · exp(−ba t), K ∈ R
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Résolution des équations homogènes Recherche de la solution générale
Solution générale d’une EDL1 homogène
Pour des coefficients variables :on pose −
∫ b(t)
a(t)· dt = F (t) (pratique : constante d’intégration nulle)
donc ln(y) = F (t) + B, B ∈ Ret puis exp [ln y(t)] = y(t) = exp [−F (t) + B] = exp(B) · exp[−F (t)]On remplace exp(B) par K ∈ R et donc
y(t) = K · exp[−F (t)] , K ∈ R
Pour des coefficients constants :plus simple : primitive de −b/a avec const. d’intégration nulle : −bt/adonc −
∫ ba · dt = −b
a t + B avec B ∈ R
On remplace aussi exp(B) par K ∈ R et donc
y(t) = K · exp(−ba t), K ∈ R
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Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Un exemple physique : circuit RC série
u
iE uR
ExempleDans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur decapacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur detension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de1 kΩ.
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Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Analyse de l’énoncé
ExempleDans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur decapacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur detension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de1 kΩ.
Analysons l’énoncé :Pour la mise en équation :
L’inconnue à déterminer ?La loi à appliquer ?Le terme perturbateur ?
Autres informations utiles ?
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Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Analyse de l’énoncé
ExempleDans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur decapacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur detension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de1 kΩ.
Analysons l’énoncé :Pour la mise en équation :
L’inconnue à déterminer ? uLa loi à appliquer ?Le terme perturbateur ?
Autres informations utiles ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8
Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Analyse de l’énoncé
ExempleDans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur decapacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur detension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de1 kΩ.
Analysons l’énoncé :Pour la mise en équation :
L’inconnue à déterminer ? uLa loi à appliquer ? Noeuds et maillesLe terme perturbateur ?
Autres informations utiles ?
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Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Analyse de l’énoncé
ExempleDans un circuit RC série où règne aux bornes d’un condensateur decapacité 2 mF une tension u constante de 3 V, on coupe le générateur detension. Décrire l’évolution de u dans le temps pour une résistance de1 kΩ.
Analysons l’énoncé :Pour la mise en équation :
L’inconnue à déterminer ? uLa loi à appliquer ? Noeuds et maillesLe terme perturbateur ? E = 0 V =⇒ équation homogène
Autres informations utiles ?La condition initiale : u(0) = 3 VLes valeurs R = 1000 Ω et C = 2× 10−3 F
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Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
L’équation différentielle
u
iE uR
Le courant i est le même dans tout le circuitCondensateur : Q = Cu =⇒ i = dQ
dt = CuRésistance : uR = R · i = RCuLoi des mailles : E = u + uR =⇒ 0 = u + RCuL’équation différentielle :
u +uRC = 0
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Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Résolution de l’équation différentielle
duu =
∫ −1RC · dt (variables séparées et coefficients constantes)
Donc ln u = − 1RC · t + B avec B ∈ R
Et finalement
u = K · exp[−tτ
]avec K ∈ R
avec τ = RC = 1000 Ω · 2× 10−3 F= 2 s
Analyse dimensionnelle : τ est un temps[τ ] = [Ω·F] =
[VA ·
CV
]=
[CA
]=
[A · sA
]= T
Expression de la solution générale : infinité de solutions
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Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
La résolution du problème
Nous avons extrait une infinité de solutions(donc) nous n’avons toujours pas résolu le problème physique
Equation différentielle
Solution générale La solution du problème
Problème physiqueLoi ou principe
Grandeurs physiques
1ère étape
Outil math.
Conditions initiales
ou aux limites
2ème étape
Outil math.
Maintenant, on intègre les conditions initialesu(0) = 3 V d’après l’énoncéu(0) = K · exp(0) = K d’après notre solution généraleDonc K = 3 V
On a extrait l’unique solution du problème
u(t) = 3 · exp[−t2
]où u est en V et t en s.
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Résolution des équations homogènes Exemple du circuit RC série
Courbes
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 2 4 6 8
Tens
ion
aux
born
es d
e C
(V)
Temps
3 exp( t/ )2 exp( t/ )
exp( t/ )
La tension à un instant donnédépend de la tension initiale !
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8
Tens
ion
norm
alis
ée u
(t)/u
(0)
Temps
37 %5 %
Courbe intégrale : accès à toutes lessolutions en multipliant par un réel
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Résolution des équations inhomogènes
Plan
1 Résolution des équations homogènesRecherche de la solution généraleExemple du circuit RC série
2 Résolution des équations inhomogènesRecherche de la solution généraleLien entre les solutions générales homogènes et inhomogènesRecherche d’une solution particulièreExemple du circuit RC série
3 La méthode de LagrangePrincipeExemple du circuit RC série
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Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Solution d’une EDL1 linéaire inhomogène
a(t) · y + b(t) · y = p(t) [ 6= 0] (I)
p(t) 6= 0 ne change rien à la définition de la solutionRésoudre une EDL1 inhomogène ⇐⇒ Résoudre une EDL1homogène :
trouver toutes les solutions de l’équationune infinité de solutions
Solution générale : écriture avec une constante d’intégrationSolution particulière : une fonction bien précise
Mais il y a une nuance !...La recherche de la solution générale d’un EDL1 inhomogène n’est pasaussi simple que celle d’une EDL1 homogène
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Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Exemple
Circuit RC série forcé par une tension E = 3 · cos(4t)
dudt +
uRC =
3τ· cos(4t)
Essayons de procéder comme précédemment :
duu =
(− 1RC + 3 · cos(4t)
u
)dt
L’équation n’est pas à variables séparées : impossible de continuer
Différence entre EDL1 linéaire homogène et inhomogèneHomogène : facile de trouver la solution généraleInhomogène : le plus souvent impossible de déterminer directementla solution générale
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Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Contre-exemple avec du déjà vu...
La solution générale de y = 2 est une somme
y = 2t + r
la solution générale de y = 0une solution particulière de y = 2avec constante d’intégration nulle
La solution générale de y = 2 est une somme
y = t2 + rt + s
la solution générale de y = 0une solution particulière de y = 2avec constante d’intégration nulle
Nous revenons sur cet aspect de somme maintenant !
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Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Une astuce ! ?
Attention :“contre-exemple” car solution générale facile à trouver
, mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent⇒ 1 écriture → 2 approches
Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration
Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par unesimple addition ?
Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ?
Maintenant :
Définition de l’équation homogène associée
Un petit peu d’algèbre linéaire (mais juste un petit peu alors....)
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Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Une astuce ! ?
Attention :“contre-exemple” car solution générale facile à trouver
, mais les techniques de résolution (somme) s’appliquent⇒ 1 écriture → 2 approches
Ce que nous venons de voir n’est pas une démonstration
Mais : possibilité de trouver la solution générale de (I) par unesimple addition ?
Possibilité de “d’utiliser” (I) “sous une forme” homogène ?
Maintenant :
Définition de l’équation homogène associée
Un petit peu d’algèbre linéaire (mais juste un petit peu alors....)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17
Résolution des équations inhomogènes Recherche de la solution générale
Equation homogène associée
Soit une équation différentielle du premier ordre inhomogène :
a(t) · y + b(t) · y = p(t) (I)
On lui associe l’équation homogène :
a(t) · y + b(t) · y = 0 (H)
(H) est l’équation homogène associée à (I)
Les solutions de yI de (I) sont liées aux solutions de yH de (H) !
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Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Propriété importante des équations linéaires # 1
solutions de (I)
autr
es fonctions
solu
tio
ns de (H)
autre fonction
linéaire
Somme de deux solutions....y1(t) −→ 0 est solution de (H) mais pas de (I)y3(t) −→ p(t) est solution de (I)Linéarité : y1(t) + y3(t) −→ 0 + p(t) = p(t)y1(t) + y3(t) est aussi solution (I) !Pareil pour y1(t) + y2(t) + y8(t) + y3(t)
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Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Propriété importante des équations linéaires # 2
La somme d’une solution particulière yP de (I) et de la solutiongénérale yH de (H) est solution de (I)
Mais surtout : la somme d’une solution particulière yP de (I) et de lasolution générale yH de (H) est la solution générale de (I)
Théorème (que nous ne démontrerons pas !)La solution générale yI d’une équation différentielle linéaire inhomogènedu premier ordre est la somme d’une solution particulière yP de cetteéquation (I) et de la solution générale yH de l’équation différentiellehomogène associée (H), de sorte que :
yI = yH + yP
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Résolution des équations inhomogènes Lien entre les solutions générales homogènes et inhomogènes
Synthèse de la recherche de yI
Résoudre une équation inhomogène (I)⇐⇒ Trouver sa solutiongénérale
Difficulté : pas de séparation de variables (sauf exception)
On utilise ce qui est en fait une astuce de calcul en 4 étapes :1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
3 Trouver une solution particulière yP de (I)4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
Concrètement :yH est facile à trouverMais comment trouver yP ?
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Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière
Recherche de yP
Pour trouver yP1 On va exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues2 On va injecter yP dans l’équation inhomogène (I) (puisqu’elle en est
une solution)3 On va fixer les inconnues
Mais comment choisir l’expression de yP de l’étape 1 ?Méthode du tableauMéthode de Lagrange
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Résolution des équations inhomogènes Recherche d’une solution particulière
La méthode du tableau
Forme de p(t) Forme yPrecommandée
Remarques
k ∈ R α ∈ Rekt · [A · sin(mt) ekt · [α · sin(mt) • valable pour k = 0+B · cos(mt)] +β · cos(mt)] et pour A = 0 ou B = 0exp(kt) · P(t) exp(kt) · Q(t) • valable pour k = 0
• deg(Q) = deg(P)si k 6= −b/a• deg(Q) = 1+deg(P)
si k = −b/aP1(t) sin(mt) Q1(t) sin(mt) • Faire apparaître sin
+P2(t) cos(mt) +Q2(t) cos(mt) et cos dans yP même siP1(t) = 0 ou P2(t) = 0• deg(Q1) = deg(P1)
et deg(Q2) = deg(P2)
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Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 1 : circuit RC série et tension continue
On applique au circuit RC vu précédemment une tension continueE (t) = E = 3 V alors que le condensateur n’est initialement paspolarisé. Décrire l’évolution dans le temps de u.
u +1τu =
3τ
(I)
avec τ = RC = 2 s.
Equation différentielle
Solution générale La solution du problème
Problème physiqueLoi ou principe
Grandeurs physiques
1ère étape
Outil math.
Conditions initiales
ou aux limites
2ème étape
Outil math.
Ce que nous allons faire :1 Déterminer la solution générale de (I)2 Donner la solution du problème
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Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 1 : détermination de uIEn 4 étapes :
1 Equation homogène associée (H)
u +1τu = 0 (H)
avec τ = RC = 2 s
2 Equation déjà résolue : uH(t) = K exp[−t2]avec K ∈ R
3 Trouver une solution particulière uP de (I)1 Forme de uP(t) “à quelque chose près” : uP(t) = α2 Injection dans (I) : 0 + α/τ = 3/τ3 α = 3 et donc uP = 3
4 Solution générale uI de (I) :uI = uH + uP = uI = K · e−t/2 + 3 avec K ∈ R
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Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 1 : Solution du problème
La solution du problème = solution pour laquelle les conditionsinitiales sont vérifiées
Conditions initiales : u(0) = 0 d’après l’énoncé
u(0) = K + 3 d’après la solution générale uI
donc K = −3
La solution du problème :
u(t) = 3(1− e
−t2)
N. B. : pas de constante d’intégration → solution particulière
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Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 1 : courbe de la solution
condition initiale
vers régimecontinu (permanent)
RemarquesModification de la solution générale par le terme perturbateurConditions initiales : courbe croissante ( 6= cas de la décharge)
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Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple # 2 : circuit série RC et tension harmonique
On applique au circuit une tension sinusoïdale E (t) = 3 · cos(4t) etdonc :
u +1τ· u =
3τ· cos(4t)
Même chose que précédemment : uH = K · e−t/2 avec K ∈ RSeule différence : détermination de uP
Choix de uP = α cos(4t) + β sin(4t)Injection dans (I) :−4α sin(4t) + 4β cos(4t)︸ ︷︷ ︸
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Résolution des équations inhomogènes Exemple du circuit RC série
Exemple #2 : Solutions générale uI et du problème u
uI(t) = K · e−t/2 +365 cos(4t) +
2465 sin(4t) avec K ∈ R
Solution du problème = solution particulière pour laquelle u(0) = 0Solution générale à t = 0 : 0 = K +
365 ⇔ K =
−365
Solution du problème :
u(t) =−365 · e
−t/2 +365 cos(4t) +
2465 sin(4t)
−3
−2
−1
0
1
2
3
0τ 2τ 4τ 6τ 8τ−0.4−0.3−0.2−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Pertu
rbat
ion
p(t)
(V)
Tens
ion
u(t)
(V)
Temps u(t)p(t)
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La méthode de Lagrange
Plan
1 Résolution des équations homogènesRecherche de la solution généraleExemple du circuit RC série
2 Résolution des équations inhomogènesRecherche de la solution généraleLien entre les solutions générales homogènes et inhomogènesRecherche d’une solution particulièreExemple du circuit RC série
3 La méthode de LagrangePrincipeExemple du circuit RC série
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La méthode de Lagrange Principe
La méthode de Lagrange
Aussi appelée méthode de variation de la constante.
Principe de la méthode au premier ordreOn peut trouver une solution particulière yP de (I) en remplaçant laconstante K de la solution générale yH par une fonction du temps K (t)puis en l’injectant dans (I) pour déterminer K (t).
Avantages :Pas besoin d’apprendre le tableau par cœurPeu de risques de se tromper
Inconvénients :Souvent un petit peu plus longueIl faut savoir intégrerFastidieuse au second ordre
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La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série
Retour sur l’exemple # 1
u +1τu =
3τ
(I)
avec τ = RC = 2 s.On a uH = K exp(−t/τ), K ∈ ROn pose uP = K (t) · exp(−t/τ) et l’on injecte dans (I) :
K (t) · exp(−t/τ)− 1τK (t) · exp(−t/τ)︸ ︷︷ ︸
uP
+1τK (t) · exp(−t/τ)︸ ︷︷ ︸
uP
=3τ
Simplification systématique : K (t) =3τexp
( tτ
)Constante nulle :K (t) = 3 exp
( tτ
)⇐⇒ uP(t) = 3 exp
( tτ
)exp
(− tτ
)= 3
On trouve la même chose qu’avec le tableauIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 32
La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série
Retour sur l’exemple # 2
u +1τu =
3τcos(4t) (I)
uH = K · exp(− t
2)⇒ uP = K (t) · exp
(− t
2)
On arrive à K (t) = 32 cos(4t) exp(t/2) = Re
(32e
t/2ej4t)
L’intégration de 32 · e
t(1/2+4j) donne 32 ·
2−16j65 et(1/2+4j) avec cste nulle
En ne gardant que la partie réelle :K (t) =
[365 cos(4t) + 24
65 sin(4t)]et/2
Même solution particulière qu’avec le tableau :
uP(t) =365 cos(4t) +
2465 sin(4t)
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La méthode de Lagrange Exemple du circuit RC série
Synthèse de résolution d’un problème physique
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :
1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
3 Trouver une solution particulière yP de (I)1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues (tableau ou
Lagrange)2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)3 fixer les inconnues
4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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