Les équations différentielles Les équations linéaires du second ordre Christophe Palermo IUT de Montpellier Département Mesures Physiques & Institut d’Electronique du Sud Université Montpellier 2 Web : http://palermo.wordpress.com e-mail : [email protected]Cours du 7 décembre 2010 MONTPELLIER
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Les équations différentiellesLes équations linéaires du second ordre
1 Méthode et définitionsSchéma de résolutionDéfinitionsLinéarité et conséquences
2 Outils de résolution au second ordreSolution générale d’une EDL2 homogèneRecherche d’une solution particulière
3 Exemples de problèmes
4 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 2
Méthode et définitions
Plan
1 Méthode et définitionsSchéma de résolutionDéfinitionsLinéarité et conséquences
2 Outils de résolution au second ordreSolution générale d’une EDL2 homogèneRecherche d’une solution particulière
3 Exemples de problèmes
4 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 3
Méthode et définitions Schéma de résolution
À retenir : schéma de résolution d’un problème physique
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :
2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.3.1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues2.3.2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)2.3.3 fixer les inconnues
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Méthode et définitions Schéma de résolution
À retenir : schéma de résolution d’un problème physique
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.3.1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues2.3.2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)2.3.3 fixer les inconnues
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 4
Méthode et définitions Schéma de résolution
À retenir : schéma de résolution d’un problème physique
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)2.3.1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues2.3.2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I)2.3.3 fixer les inconnues
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Méthode et définitions Schéma de résolution
Au premier et au second ordre !
Pourquoi retenir un tel schéma ?
Parce qu’il est toujours vraisi l’équation est linéairequel que soit l’ordre de l’équation
Parce qu’il structure la rechercheles bonnes choses au bon momentévite les erreurs
♥ Parce qu’il sera demandé de le reproduire en devoir !
Différences 1er et 2ème ordre ?Recherche de yHRecherche de yPUniquement des techniques
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Méthode et définitions Définitions
Équation différentielle du second ordre
Equation différentielle...Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme :
F(t,y ,dydt ,
d2ydt2
)= F (t,y ,y ,y) = 0
y et y présentes : équation complèteSinon : équation incomplète
Solution généraleLa solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient... constante(s) d’intégration
Vrai même si elle est non-linéaire
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Méthode et définitions Définitions
Équation différentielle du second ordre
Equation différentielle...Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme :
F(t,y ,dydt ,
d2ydt2
)= F (t,y ,y ,y) = 0
y et y présentes : équation complèteSinon : équation incomplète
Solution généraleLa solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient2 constantes d’intégration
Vrai même si elle est non-linéaire
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Méthode et définitions Définitions
Équation linéaire (EDL2)
Équation LinéaireUne équation différentielle de y en t du second ordre est linéaire si ellepeut s’écrire sous la forme :
a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t)
où a, b et c sont des fonctions de t et où p(t) est un terme perturbateur
Même vocabulaire qu’au 1er ordre :∀t, p(t) = 0 =⇒ équation homogène ;a, b et c constantes =⇒ équation à coefficients constants ;b = 0 ou c = 0 =⇒ équation incomplète
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y + 2y = y + cos(t) → r2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) 7→ (C)
y2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire !
y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables !
y + 5y = 0 → r2 + 5r = 0
y + y = 0 → r2 + 1 = 0
y = 2 → r2 = 0 mais pas très utile
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions réelles de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0
2 solutions réelles pour (C) : r1 =−b −
√∆
2a et r2 =−b +
√∆
2ay(t) peut alors prendre la forme :
y(t) = er1t
y(t) = er2t
ou toute combinaison des deux
Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y(t) = K1er1t +K2er2t alors :y(t) = K1 · r1 · er1t + K2 · r2 · er2t
y(t) = K1 · r21 · er1t + K2 · r22 · er2t
=⇒ ay + by + cy = K1 · (ar21 + br1 + c)︸ ︷︷ ︸0(r1 solution de (C))
+K2 · (ar22 + br2 + c)︸ ︷︷ ︸0(r2 solution de (C))
·er2t = 0
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale quand ∆ > 0
Solution généraleSi ∆ > 0 alors la solution générale de (H) est
y(t) = K1er1t + K2er2t
avec K1 et K2 ∈ C
r1 et r2 sont les solutions réelles de (C)
Remarque : 2ème ordre, deux paramètres libres (constantesd’intégration)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions complexes de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0
r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C) :
r1 =−b − j
√−∆
2a et r2 =−b + j
√−∆
2aou bien r1 = α + jω et r2 = α− jω (avec α = − b
2a et ω =√−∆2a )
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = eα+jω
y(t) = eα−jω
ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)
Finalement : y(t) = K1eα+jω + K2eα−jω
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions complexes de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0
r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C) :
r1 =−b − j
√−∆
2a et r2 =−b + j
√−∆
2aou bien r1 = α + jω et r2 = α− jω (avec α = − b
2a et ω =√−∆2a )
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = eα+jω
y(t) = eα−jω
ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)
Finalement : y(t) = K1eα+jω + K2eα−jω
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions complexes de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0
r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C) :
r1 =−b − j
√−∆
2a et r2 =−b + j
√−∆
2aou bien r1 = α + jω et r2 = α− jω (avec α = − b
2a et ω =√−∆2a )
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = eα+jω
y(t) = eα−jω
ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)
Finalement : y(t) = K1eα+jω + K2eα−jω
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solutions complexes de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0
r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels
⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C) :
r1 =−b − j
√−∆
2a et r2 =−b + j
√−∆
2aou bien r1 = α + jω et r2 = α− jω (avec α = − b
2a et ω =√−∆2a )
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = eα+jω
y(t) = eα−jω
ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)
Finalement : y(t) = K1eα+jω + K2eα−jω
y(t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale quand ∆ < 0
On peut factoriser par eα
Solution généraleSi ∆ < 0 alors la solution générale de (H) est
y(t) = eαt ·(K1 · e jωt + K2 · e−jωt
)avec K1 et K2 ∈ C
Remarques :α > 0 =⇒ amplification de y dans le temps (cas le plus rare)α < 0 =⇒ amortissement de y dans le temps (cas le plus courant)eαt : terme d’amortissment
K1e jωt +K2e−jωr2t est un terme d’oscillation (conditions aux limites)si K1 = K2 =⇒ cos(ωt)si K1 = −K2 =⇒ sin(ωt)
Physiquement : solutions les plus intéressantesIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 20
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristique
Si le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristique
Si le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristique
Si le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristique
Si le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]= ert [t · (ar2 + br + c) + (2ar + b)]
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]= ert [t · (ar2 + br + c︸ ︷︷ ︸
r racine
) + (2ar + b)︸ ︷︷ ︸r racine double
]= 0
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution double de l’équation caractéristiqueSi le discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0
1 racine double pour C(r) : r = r1 = r2 =−b2a
y(t) peut alors prendre la forme :y(t) = ert
mais il en manque une !
r est aussi racine de C ′(r) = 2ar + b : on va essayer y = tert
y = rtert + ert = (rt + 1)ert
y = rert + r(rt + 1)ert = (r2 + 2r)ert
Injection dans l’application y 7→ ay + by + cyay + by + cy = ert [a(r2t + 2r) + b(rt + 1) + ct]= ert [t · (ar2 + br + c︸ ︷︷ ︸
r racine
) + (2ar + b)︸ ︷︷ ︸r racine double
]= 0
y(t) peut aussi prendre la forme y(t) = t · ert
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Solution générale pour ∆ = 0
Les combinaisons de ces deux solutions sont aussi solutions (linéarité)
Solution généraleSi ∆ = 0 alors la solution générale de (H) est y(t) = (K1 · t + K2) · ert
avec K1 et K2 ∈ C
Second ordre : deux paramètres
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 22
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
À retenir : Récapitulatif
Pour le polynôme caractéristique C(r) = ar2 + br + cde l’équation homogène ay + by + cy = 0 (H)
Discriminant Racines Solution générale∆ = b2 − 4ac de C de (H)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 23
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
À retenir : schéma de résolution d’un problème physique
Surlignons ce que nous savons faire
1 Faire la mise en équation → depuis le premier cours
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) → depuis le troisième cours
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 24
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (homogène)
x
m k
0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = 0 (H)
Wanted : Solution générale de (H)
, Équation homogène !
C(r) : r2 +km = 0 (C)
∆ = −4 km < 0 ou bien(
x − j√
km
)(x + j
√km
)= 0
racines : r1 = j√
km ou r2 = −j
√km ∈ C
Solution générale :
x(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C⇒ 2 : X
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (homogène)
x
m k
0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = 0 (H)
Wanted : Solution générale de (H)
, Équation homogène !
C(r) : r2 +km = 0 (C)
∆ = −4 km < 0 ou bien(
x − j√
km
)(x + j
√km
)= 0
racines : r1 = j√
km ou r2 = −j
√km ∈ C
Solution générale :
x(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C⇒ 2 : X
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (homogène)
x
m k
0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = 0 (H)
Wanted : Solution générale de (H)
, Équation homogène !
C(r) : r2 +km = 0 (C)
∆ = −4 km < 0 ou bien(
x − j√
km
)(x + j
√km
)= 0
racines : r1 = j√
km ou r2 = −j
√km ∈ C
Solution générale :
x(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C⇒ 2 : X
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (homogène)
x
m k
0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = 0 (H)
Wanted : Solution générale de (H)
, Équation homogène !
C(r) : r2 +km = 0 (C)
∆ = −4 km < 0 ou bien(
x − j√
km
)(x + j
√km
)= 0
racines : r1 = j√
km ou r2 = −j
√km ∈ C
Solution générale :
x(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C⇒ 2 : X
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène
Exemple de physique (inhomogène)
x
m
k
0x0
1 : Pendule élastique sansfrottements
x +kmx = −g (I)
Wanted : Solution générale de (I)
2 : / Équation inhomogène !
2.1 : x +kmx = 0 (H)
2.2 : xH déjà fait précédemment
Solution générale de (H) :
xH(t) = K1 · e−j√
km t + K2 · e j
√km t
Que faut-il faire maintenant ?
→ Rechercher une solution particulière xP ...→ ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !
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Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène