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平面图的Dunbar猜想
34

Dunbar’s conjecture for planar graphs

Aug 05, 2015

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Page 2: Dunbar’s conjecture for planar graphs

• 学号:PB06001074

• 姓名:王晶

• 年级:06级

• 系别:数学系

• 完成日期:2010年6月

• 指导教师:徐俊明

Page 3: Dunbar’s conjecture for planar graphs

致谢

首先我要感谢我的导师徐俊明教授,在大四上

学期结束时,徐老师就已经给我确定了论文题

目,这给了我充分的时间来完成该文章。

与此同时,我要感谢我的同学,他们与我共同探讨问题,一起解决论文中遇到的困难,同时给予我支持和鼓励,让我在大学时光的最后时刻依然体会到同学的友谊与温馨。

最后,我想感谢的时在与本论文相关领域做出贡献的大师和教授。

Page 4: Dunbar’s conjecture for planar graphs

目录

• 摘要 2

• Abstract 3

• 第一章 绪论 4 • 1.1 背景知识 4 • 1.2 本文主要内容 5

• 第二章 与束缚数有关的研究成果 6 • 2.1 some lemmas 6

• 第三章 主要的证明和猜想以及本文应用 8 • 3.1 主要证明 8 • 3.2 猜想 12 • 3.3 本文应用 12

• 参考文献 14

Page 5: Dunbar’s conjecture for planar graphs

对一个非空图G(graph),如果G中的每一个顶点都在D中或者与G的顶点相连,那么D就被称为非空图的控制集(dominating set),最小的控制数(dominating number)我们就用γ(G)表示。设E为为G的一个边的集合,如果G-E的控制数大于G的控制数,那么最小的集合E中边的数目就称为束缚数b(G)

(bondage number)。

摘要

Kang 和 Yuan 曾证明过对任意联通的平面图G来说 b(G)≤8。

Carlson 和 Develin 提供过一个简单,原始的证明:当G为平面图时

b(G)≤ min{8, △(G)+2}。在本文中,我们将尝试证明Dunbar的著名猜想b(G) ≤ △+1;由于证明本身困难,我们将先考虑部分情况,就是连通平面图,与此同时,我们将只考虑△≤3的特殊情况。

Page 6: Dunbar’s conjecture for planar graphs

关键词:束缚数(bondage number),控制数(domination number),连通的平面图(connected planar graph),度(degree),顶点(vertex)

Abstract: Given a nonempty graph G, a set D of its vertices is a

dominating set if every vertex of G is in D or adjacent to

a vertex in D. The dominating number γ(G) of a graph G

is defined t be the minumum size of a dominating set of

G. If E is a edge set of G, the bondage number b(G) of a

nonempty graph is defined to be the cardinality of the

smallest set E of edges of G such that the graph G-E

has domination number greater than that of G.

Kang and Yuan proved b(G)≤8 for every connected

planar graph G. Carlson and Develin presented a simple,

intuitive proof that b(G)≤ min{8, △(G)+2}for all planar

graphs G. In this paper, we conject that b(G) ≤ △+1

when 3≤△≤6. Since it is not very easy, we will consider

△≤3 first especially for a connected planar graph.

Page 7: Dunbar’s conjecture for planar graphs

第一章 绪论

•1.1背景知识

对一个非空图G而言,V(G)和E(G)分别用来表示G

的顶点的集合(vertex set)和边的集合(edge set)。而的d(G)则通常用来表示G中顶点u的顶点度(vertex

degree)定点度定义为G中于x关联边的数目(一条边要计算两次)。

G中顶点集的最大(maximum)和最小(minimum)顶点度分别被表示为△(G)和δ(G): △(G)=max{d(x):x V(G)},

δ(G)=min{d(x):x V(G)},

Page 8: Dunbar’s conjecture for planar graphs

设x,y V(G),从x到y的最短长度称为从x到y的距离(distance),记为d(x,y)。同样,对有向图而言,则为从x到y的有向图的最短长度。

对一个非空图G,如果G中的每一个顶点都在D

中或者与G的顶点相连,那么D就被称为非空图的控制集,最小的控制数我们就用γ(G)表示。束缚数最初由bauer et al.[1]在1983年提出。Fink et al.[3]在1900曾介绍过图的控制数。所谓束缚数是满足γ(G-E)>γ(G)的的E的最小数目,其中E为G的边的子集。

Page 9: Dunbar’s conjecture for planar graphs

Conjectore 1 (Dunbar et al.[2]). 如果G是一个平面图,那么b(G) ≤ △+1. Conjecture 2 (Teschner[9]).对任意的图,b(G)《3/2△(G).

下面是有关束缚数的最主要的两个猜想(conjecture):

在文献[3]中,最初提出了猜想1符合所有的图。这个结论被Teschner[8]和Hartnell以及Rall[6]

独立举出了反例。

不过也导致了猜想2的成立

Page 10: Dunbar’s conjecture for planar graphs

1.2

本文主要内容

第一章主要介绍的是本文的背景知识,以及关于束缚数的研究历程和与之相关的部

分文献,以及现在的研究现状。

第二章回顾了与束缚数有关的研究成果,主要结论的列举,以及本文可能用的的

部分主要结论。

第三章则为本文涉及的主要证明以及猜想和本文可能的应用

Page 11: Dunbar’s conjecture for planar graphs

第二章 与束缚数有关研究成果

2.1 some lemmas

Lemma 1 (Euler’s formula). 如果G可以嵌入有向

平面类g的表面,同时假设G是连通的图,那么

∣V(G)∣-∣E(G)∣+∣F(G)∣=2-2g

其中F(G)为在类g嵌入图G的表面集。

我们可以很容易的意识到这么一个问题,当G为连通平面图时,Euler’s formula 可以化为

∣V(G)∣-∣E(G)∣+∣F(G)∣=2。

Page 12: Dunbar’s conjecture for planar graphs

Lemma 2(Hartnell and Tall[6]). 如果G是一个图,

u和v 是图G中相邻的一对顶点集,那么我么可以得到

b(G)≤d(u)+d(v)-1-∣N(u)∩N(v)∣. 更进一步,这暗示着b(G)≤δ(G)+△(G)-1.

Lemma3(Fischermann et al.[4]).如果G是一个平面图,3≤g(G)≤∞,同时c(G)为截边集,那么

( )( ( ) 2) ( )( )

( ) 2

g G n G c Gm G

g G

Page 13: Dunbar’s conjecture for planar graphs

如果F1是一个图,它的顶点集为{u1,u2,u3,u4}边集为{uui∣i=1,2,3}∪{u1u2};F2为另一个图,它的顶点集为{v1,v2,v3.v4.v}边集为{vvi∣i=1,2,3,4}∪{v1v2,v3v4}.进一步而言,对每一个正整数t,假设H2,t是从完全双边图K2,t中获得的,其中K2,t是加入边xy的集合{x,y}和{w1,w2,w3,……wt}.

我们可以定义ζ={C4,C5,F1,F2}∪{H2,t∣t≥1},其中C4,C5分别为长4和5的环。

如果G是连通的平面图,3≤g(G)≤∞,如果G ζ那么:

3Φ(G)≤2m(G)-n2(G)-n1(G)

Page 14: Dunbar’s conjecture for planar graphs

Lemma4(Lovasz and Plummer[12])假设G

是一个双边平面图,而且顶点数n≥3,那么:

∣E(G)∣≤2n-4

Lemma5(Bondy and Murty[13])如果G

为平面图,顶点数n≥3,那么:

δ(G)≤5而且

∣E(G)∣≤3n-6

Lemma6(Kang and Yuan[7])如果G为连通平面图,那么:

b(G)≤△(G)+2

Page 15: Dunbar’s conjecture for planar graphs

Lemma 7 (Bauer et al. [1], Teschner [10]). 如果一个图的两个顶点为u,v,且d(u,v)≤2, 那么

b(G)≤d(u)+d(v)-1

Page 16: Dunbar’s conjecture for planar graphs

证明1: 如果G为连通的平面图,而且没有顶点的的度大于5,那么:

b(G)≤7.

第三章 主要的证明,猜想,本文应用

3.1

主要的证明

证明:假设b(G) ≥8,令X={v∈V(G)∣d(v)≤4}

同时假设X={v1,v2,……vk},我们可以得到对任意两个独立的顶点x,y∈,那么

d(x,y)≥3

定义H=G

1 ,1i i iH H F i k

Page 17: Dunbar’s conjecture for planar graphs

当 为 的子集,那么 还是一个平面集,而且当d(vi)≥3。

现在,我们可以知道对任意x∈X,y∈N(x),

(1)如果d(x)≤2,那么d(y)≥7,而且y在Hk中的最小度为7

(2)如果d(x)≥3而且∣N(x)∩N(y)∣≤1,那么d(y)≥6而且而且y在Hk中的最小度为7

(3)如果d(x)≥3而且∣N(x)∩N(y)∣≥2,那么d(y)≥7而且而且y在Hk中的最小度为7

通过对Hk的构造,我们知道Hk为平面图。但是Hk-

X是一个最小度为6的平面图,这与假设矛盾,问题得证。

1i iH F

Page 18: Dunbar’s conjecture for planar graphs

证明2: 如果G为连通平面图,那么

b(G)≤△(G)+2

证明:当△(G)≥6时,显然成立

当△(G)≤3时,结果可由lemma2直接得到

当△(G)=4而且δ(G)≤3,那么结果也可以由lemma2直接得到

当G为4规则平面图,由平面图中著名Euler‘s Formula,G

中至少有一个三角。通过应用lemma2对G中三角的顶点,结果就可得到。

现在假设G为平面图而且△(G)=5。如果δ(G)≤3,那么由lemma2,我们可以得到

b(G)≤δ(G)+△(G)-1)≤△(G)+2。

Page 19: Dunbar’s conjecture for planar graphs

如果G的一个子集为K4-e的同构(i.e两个有共同边的三角形),那么明显又G中相邻的顶点u,v,满足∣N(u)∩N(v)∣≥2。通过lemma2,我们可以进一步得到

b(G)≤d(u)+d(v)-1-∣N(u)∩N(v)∣≤5+5-1-2=△(G)+2。

我们可以假设δ(G)≥4(这暗示着G中肯定有三角形)对任意两个独立三角形C1和C2,E(C1)∩E(C2)为空集,定义

A={C∣C为G中三角形}

B={u∈V(G)∣d(u)=4}

T={u∈V(G)∣u在G里面的三角形上}

S={e∈E(G)∣e在G的三角形上}

令F(G)为G中集合的面的集合

由Euler‘s formula

∣V(G)∣-∣E(G)∣+∣F(G)∣=2。

通过计算G中边的数目,我们可以得到

2∣E(G)∣=4∣B∣+5(∣V(G)∣-∣B∣)=5∣V(G)∣-∣B∣ 而且

2∣E(G)∣≥3∣A∣+4∣F(G)∣-∣A∣=4 F(G)- ∣A∣

Page 20: Dunbar’s conjecture for planar graphs

进一步可得

∣A∣+∣B∣≥V(G)+8

令H为G的子集,V(G)=T,E(H)=S。因为△(G)=5,我们一定可得△(H)≤5

(事实上我们可以证明△(H)≤4,但是△(H)≤也是足够的)

那么我们可得

3∣A∣=∣S∣=∣E(H)∣≤1/2△(H) ∣V(H)∣=1/2△(H) ∣T∣≤∣T∣ 因此 ∣T∣≥6/5∣A∣≥∣A∣ ∣A∣+∣B∣>∣V(G)∣+8>∣V(G)∣ 这表明T∩B为空集。因此一定有一个G中的三角形C,C中包含一个G中度数为4的顶点。假设v是C中另一个顶点,那么uv∩E(G)

而且∣N(u)∩N(v)∣≥1,通过lemma2,

b(G)≤d(u)+d(v)-1-∣N(u)∩N(v)∣ ≤4+5-1-1

=△(G)+2

此次证明结束。

Page 21: Dunbar’s conjecture for planar graphs

证明3: 如果G为连通平面图,那么吧b(G)≤8。

证明:如果我们有b(G)≥9,我们根据lemma2,每一条xy

边需要满足d(x)+d(y)≥10。与前面相同,对每一条边ei,它的曲率为vi+fi-1;在计算fi,在决定面的边的时候,我们忽略垂直边。例如,我们将要考虑的是有三个面的有垂直边的三角形,而不是有5个的。如果ei只有一个顶点度为1,我们就可得到a1=a2=∞而且fi=0。

因为lemma2,那唯一的四倍组成部分(d(x),d(y),a1,a2),它的曲率为正(up to interchange of x and y and

a1 and a2)结果如下:;;

(1,k,∞,∞), where k 9, and ;

Page 22: Dunbar’s conjecture for planar graphs

(2,k,3,4), where k 9, and ;

(3,k,3,3), where k 9, and ;

(3,k,3,4), where k=8,9,10, or 11, and ;

(4,k,3,3), where k=8,9,10, or 11, and ;

and(5,7,3,3), where .

我们称这样的边为问题边,设G中的问题边的的集合为P(G)。对每一个顶点x,我们定义:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( 1) 1/ 2( 1)i i

i i i i

e xy P G e xy P Gd x d y

x V f v f

Page 23: Dunbar’s conjecture for planar graphs

现在,我们应用Euler‘s Formula,我们能够得到

无论如何,我们称每个顶点的和α(x)为非正的。如果一个顶点没有问题边,那么α(x)≤0。当一个顶点有一个问题边符合它,那么d(x)≥7。

如果d(x)=7,哪么每一个问题边的形式为(5,7,3,30并且 。通过lemma2,边xu和xv分享两个相邻顶点u,v。边xu和xv有价值 ,因此每个对α(x)贡献至多-1/42.因为每一个问题边至少有一个这样的边,我们可以得到α(x)<0

如果d(x)≥8,因为每一个问题边有一个至多度为4的顶点,两个这样顶点的距离表明b(G)≤,那么我们有至少一条问题边。

如果x有一个度为1,3,或者4的相邻顶点,那么它有至少7个相邻顶点度数为6。因为d(x)=8,d(y)≥6,而且a1,a2≥3,那么每一个x

和高度数顶点之间

的边满足 .

( ) ( )

( ) ( 1) 2i

i i

v V G e E G

v v f

1 1/ 24i iv f

Page 24: Dunbar’s conjecture for planar graphs

因为他们之中没有一个问题边,那么它们每一个对α(x)贡献价值的一半。我们的问题边对α

(x)贡献至多1/9,那么我们可以获得

α(x)≤1/9-7/48<0.

如果我们问题边有一个端点y的度为2,那么d

(x)≥9。应用lemma7,那么它至少有8个度数为8的相邻点。每一个相关联的边向α(x)贡献至多-7/144,而xy贡献至多7/36。因此

α(x)≤7/36-7/18<0.

Page 25: Dunbar’s conjecture for planar graphs

证明4: 如果图G的形式是G=H K1. 那么 b(G)=δ(H)+1

证明:如果{ui}是H的顶点{vi}是以冠的形式加在上面的顶点,从另一方面来说,就是vi是通过边ei与ui相连的顶点。那么我们可以得到γ(G)=|G|/2=|H|.特别要指出的是,所有G最小控制集合的形式是以以下的形式存在的:对H中任何顶点ui,集合一定包含顶点ui和vi中的某一个顶点。

为了表明b(G) δ(H)+1,,我们就必须证明如果我们去掉任意的δ(H)边,那么G的控制集的数目是不变的。假设我们去掉k的垂直边e1,…,ek

和H中 δ(H)-k的边。考虑集合S={v1,…,vk,uk+1,…,u|H|}. 整个集合中有

γ(G)=|H|,我们可以称这就是经我们改变后图的的控制集。非常明显vis

是在N[S]中的, 因为 v1,…,vk 是在 S 中,而且 vj 是与uj S相临的,j>k.

同理, uj S,j>k,那么我们唯一需要验证的是与S中元素相邻的uj,其中j≤k。那么无论如何uj在H中至少有δ(H)的度,而且只有H中k≤δ(H)元素从S中丢失,其中的一个一定是uj。因此,uj有一些在S中的相邻顶点,它们也在H中。

Page 26: Dunbar’s conjecture for planar graphs

为了证明b(G) δ(H)+1,我们仅需要表明在G中一个系列δ(H)+1,它们的去除增加了图中控制数的大小。我们会很容易的发现下面的集合是成立的:对H中任何极小集的度的顶点,可以去掉此顶点的垂直边。

证明5: 假设Kn是在n个顶点上的完全有向图,假设 Gn=Kn×Kn. 那么我们可以得到 b(Gn)=4(n-1)+1=Δ(Gn)+1.

证明:通过以上的证明,我们已经表明

b(Gn)≤4(n-1)+1。

为了表明对任何集合S, S E(Gn) 而且 |S|=4(n-1), 这里一定有一些大小为n的控制集Gn-S。我们称集合{I,k}对常数i和对Gn中ith行的变量k,{k,j}对常量j

和Gn中jth列的变量k。我们把Gn分为列的边集和行的边集,其中列的边集连

接了同列中两个元素,行的边集连接了同行中的两个元素。对一个给定的集合S而言,我们称顶点v控制了它的行,如果没有任何行的边从S中的v去除;同理可以定义v控制了它的列。如果一个行没有顶点控制它,那么我们称它为问题行,同理可以定义问题列。在S中,每一个在此行或列中顶点有至少一个行或列的边从它上面去掉;那么每一个问题行或列一定有n个连接行或列的边集。

Page 27: Dunbar’s conjecture for planar graphs

固定S,使得|S|=4(n-1). 不失一般性我们我们可以假设S中包含至多2(n-1)列边。对每一个有控制顶点的列而言,我们可以取出一个集合来形成大小为n的Gn-S 的控制集合。否则,S一定有一个问题列;不失一般性,我们假设它为0th列。

现在,当∣S∣<2n时,这里存在一个从S中它去掉的仅一个边集的(k,0)。不失一般性,我们可以假设此边是从(1,0)到(0,0)的。如果这儿存在j对它而言(0,j)既有到(0,0)的边又能控制它的列,我们可以取出集合{(1,0),(0,j),vt},其中vt控制列t,t≠0。这个集合可以控制Gn-S 而且大小为n。我们可以假设对任意的j,要么是从(0,j)到(0,0)的边,要么是从S中去除(0,j)的列边。这表明了S中额外的n-1条边。我们现在可以考虑去除(0,0)的列。

Page 28: Dunbar’s conjecture for planar graphs

证明6: 假设有在S中从(0,0)中去除的m列边,我们假设{ki}为行的

集合,而且它包含这些边中一条边的终点。那么下面的两条性质中一定有一条是成立的:

(i) 我们可以发现S中n-m条边,对行i≠0,那么要么是列边,要么存在于行i中,其中端点为(i,0)

(ii) 我们可以发现ji≠0 而且(ki,ji) 既有一条到(k1,0)的边,又能控制Gn-S.中它的列。

证明:如果m=1,那么除非(ii)是成立的,对任何一个j,我们从(k1,j) 要么是到(k1,0)的一条边,要么在S中一条列边。因为这一定符合形式1≤j≤n-1,我们可以获得n-1条边,它们要么都是列边,要么包含在行k1中。

如果m>1,我们可以应用到这些边的前m-

1条边。我们可以发现n-m+1条边满足问题的限制,那么我们一定可以发现n-m条满足此情形的边。如果(ii)是成立的,那么考虑所有j≠0, j1,…,jm-1. 如果任何j控制它的列而且有一条到(km,0)的边,我们可以设 jm=j

而且他是满足条件(II)的。如果情况不是这样的,那么对任意的j,便要么从(km,j) 到

(km,0),是在S中的,要么是一些在S中的包含(km,j)的列边,与此同时我们可以从S

中取出一个包含所有这些边的子集。这个集合有n-m个元素,而且它仅包含一个列边,活着边是端点在(km,0) 的行km,因此这个边的集合一定符合条件(I),问题得证。

Page 29: Dunbar’s conjecture for planar graphs

证明7: 对连通平面图,Dunbar的著名猜想是成立的,即b(G) ≤ △+1;△≤3。

证明:

当△=1时,显然是成立的,因为此时每个顶点与其他顶点最多有一条边相连,去掉任何一条边,b(G)就是增大的,此时b(G)=1,显然是小于2的,证明成立。

当△=2时,由lemma2b(G)≤δ(G)+△(G)-1.而δ(G)≤△(G)≤2,那么b(G)≤2+2-1=3≤2+1,定理得证。

当△=3时,由前面证明可以得到结果。

Page 30: Dunbar’s conjecture for planar graphs

3.2 猜想

当图G是连通平面图时Dunbar的著名猜想是成立的,即b(G) ≤ △+1;△≤3,而kelli

carlson 和Mike Develin 在2006年证明Dunbar猜想在有向图中是成立的。虽然近年来这方面的研究成果不少,但最终结果还是没有得到证明,但此猜想在△≤5的情况下应该肯定是成立的。

Page 31: Dunbar’s conjecture for planar graphs

应用图论(Graph Theory)的产生和发展经历了二百多年的历史,到现在已经有广泛的应用。而Bondage number作为图论中的一个猜想,虽然从提出到现在不到30年,但它的应用领域几乎涉及方方

面面,尤其是生产管理,军事,交通运输,计算机和通讯网络方面,因为他们需要涉及大量的离散性问题。

Bondage number 及其相关问题将在物理,化学,运筹学,计算机

科学,电子学,信息论,控制论,网络理论,社会科学及经济管理等几乎所有学科领域中各方面应用的研究都得到“爆炸性发展”。本文与Bondage number 有关的结果也会有很大的应用。

3.3 本文应用

Page 32: Dunbar’s conjecture for planar graphs

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