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DUALIDAD

1. INTRODUCCIÓN

Dado un problema de programación lineal, denominado problema primal, existe

otro problema de programación lineal, denominado problema dual, íntimamente

relacionado con él. Se dice que ambos problemas son mutuamente duales.

Bajo ciertas hipótesis, los problemas primal y dual dan lugar al mismo valor óptimo

de la unción objetivo, y por tanto se puede resolver indirectamente el problema

primal resolviendo el problema dual.

 !dem"s nos permite utili#ando el algoritmo dual del simplex el resolver problemas

que por la orma est"ndar nos serían irresolubles. !dem"s permite acilitar otrosc"lculos como los de las variables artiiciales.

2. PROGRAMACIÓN LINEAL

$a programación lineal  es el campo de la optimi#ación matem"tica dedicado a

maximi#ar o minimi#ar %optimi#ar& una unción lineal, denominada unción objetivo, de

tal orma que las variables de dicha unción estén sujetas a una serie de restricciones

expresadas mediante un sistema de inecuaciones también lineales. $os métodosm"s recurridos para resolver problemas de programación lineal son algoritmos.

2.1. APLICACIONE

$a programación lineal constituye un importante campo de la optimi#ación por varias

ra#ones, muchos problemas pr"cticos de la investigación de operaciones pueden

plantearse como problemas de programación lineal. !lgunos casos especiales de

programación lineal, tales como los problemas de lujo de redes y problemas de lujo

de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matem"ticas lo

suicientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación

sobre algoritmos especiali#ados en su solución. 'na serie de algoritmos dise(ados

para resolver otros tipos de problemas de optimi#ación constituyen casos particulares

de la m"s amplia técnica de la programación lineal. )istóricamente, las ideas de

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programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de

optimi#ación tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la

convexidad y sus generali#aciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy

usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar 

al m"ximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción.

 !lgunos ejemplos son la me#cla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y

la gestión de las inan#as, la asignación de recursos humanos y recursos de

m"quinas, la planiicación de campa(as de publicidad, etc.

*tros son+

• *ptimi#ación de la combinación de ciras comerciales en una red lineal de

distribución de agua.

•  !provechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrogr"ica, para un

a(o con aluencias caracteri#adas por corresponder a una determinada

recuencia.

• Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema

de obras hidr"ulicas

• Solución de problemas de transporte.

!. DUALIDAD

-n atem"ticas, una "#ali"a", generalmente hablando, traduce conceptos,

teoremas o estructuras matem"ticas en otros conceptos, teoremas o estructuras, en

una manera /uno a uno/, a menudo %pero no siempre& por medio de una operación

de involución+ Si la dualidad de ! es B, entonces la dualidad de B es !. 0omo aveces la involución tiene puntos ijos, la dualidad de ! es a veces ! %ella misma&. 1or 

ejemplo, el 2eorema de Desargues en la geometría proyectiva es Dual a ella misma

en este sentido.

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-n el contexto de las matem"ticas, la dualidad posee numerosos signiicados, y

aunque es /un concepto muy penetrante e importante en las matem"ticas

modernas/3 y /un tema general importante que se ha maniestado en casi todas las

"reas de las matem"ticas/,4 no hay una sola deinición universal aceptada que

uniique todos los conceptos de dualidad.

uchas dualidades matem"ticas entre objetos de dos tipos corresponden

a emparejamientos, unciones bilineales de un objeto de un tipo y otro objeto de un

segundo tipo en alguna amilia de escalares. 1or ejemplo, la dualidad del "lgebra

lineal se corresponde de este modo con mapeos bilineales de pares de espacios

vectoriales a escalares, la dualidad entre distribuciones y las unciones de prueba

%2est 5unction&asociadas corresponde a los pares en el que uno integra una

distribución contra una unción de prueba, y la dualidad de poincaré corresponde de

manera similar al n6mero de intersecciones %7ntersection number &, visto como un

emparejamiento entre subvariedades de una variedad determinada.

!.1 DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL

Relaciones primal-dual 

 !sociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal

denominado problema dual (PD) , que posee importantes propiedades y relaciones

notables con respecto al problema lineal original, problema que para dierencia del

dual se denomina entonces como problema primal (PP).

$as relaciones las podemos enumerar como siguen+

a& -l problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa

 primal .

b& -l problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa

 primal.c& $os coeicientes de la unción objetivo del problema dual son los términos

independientes de las restricciones o 8)S del programa  primal .

d& $os términos independientes de las restricciones o 8)S del dual son los

coeicientes de la unción objetivo del problema primal .

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e& $a matri# de coeicientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la matri#

técnica del problema primal .

& -l sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de

las variables del mismo problema, dependen de la orma de que tenga el signo de las

variables del problema primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. %

9er tabla de 2'0:-8&

g& Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un

problema de minimización.

h& -l problema dual de un problema dual es el programa primal original.

!; 7<

= S7> <*S7 ?<* >

$. %ENTA&A

'na de las ventajas de la dualidad, es la posibilidad de

resolver gr"icamente algunos problemas.

0onsideremos el siguiente problema lineal+

in @%x& > 4 x3 A x4 A C x A 4 x A xC

Sujeto a+

x3A x4 A 4 x A x A xC ?

4 x3 E x4 A x A x A xC ?

x3 ? F , x4 ? F , x ? F , x ? F , xC ? F

Dado que se trata de un programa lineal en orma canónica,

ello nos proporciona un dual en orma simétrica como elsiguiente+

ax G%H& > H3 A H4

s.a+

H3 A 4 H4 = 4

H3 E H4 =

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4 H3 A H4 = C

H3 A H4 = 4

H3 A H4 =

H3 ? F , H4 ? F

-ste problema solo tiene dos variables y cinco restricciones

por tanto se puede resolver gr"icamente+

-l vértice solución es el punto %IC,IC& con un valor de la unción objetivo de C.

' ALGORITMO DUAL DEL IMPLE(

-l algoritmo dual del simplex ser" utili#ado cuando se llegue mediante el método

cl"sico del simplex a la siguiente situación+

E !lguna componente de la solución es menor que cero.

E 1ara todas las variables no b"sicas el 6ltimo renglón son mayores o iguales

que cero.

2ambién es 6til cuando la introducción de variables artiiciales complica demasiado

el problema.

0on este algoritmo podemos encontrarnos varias circunstancias+

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E -n el 6ltimo renglón todos los valores son positivos %no varía conorme a la

situación inicial& y los valores negativos de la solución han desaparecido.

-s entonces cuando encontramos la solución óptima.

E Si en el 6ltimo renglón tiene valores negativos la solución no es óptima.

• Si la solución tiene valores negativos el problema no tiene solución.

• Si la solución no tiene valores negativos para obtener la solución óptima se

utili#ar" el método cl"sico del simplex.

E Si adem"s de tener una componente negativa tenemos que los elementos de

su ila asociada no son también negativos tenemos que no hay solución

al problema.

-l método de resolución es muy similar al del simplex con las siguientes

dierencias+

• $a variable b"sica que sale es la que posee un valor negativo m"s alto.

• -n este caso la prueba para encontrar la variable que entra es la

siguiente+

'.1 E&EMPLO 1

Calc#lar la )ol#ción op*ima+ )i e,i)*e+ "el )ig#ien*e pro-lema. Realiar lo)

c/lc#lo) me"ian*e el "e)arrollo *a-#lar "el m0*o"o "#al "el imple,.

1ara resolver este problema introduciremos variables de holgura, y

multiplicaremos la segunda restricción por para que los c"lculos nos sean

m"s sencillos, quedando las ecuaciones de la siguiente manera+

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0omen#aremos con el desarrollo tabular del método dual del Simplex, recordar 

que partimos de una solución b"sica no actible.

$as variables que orman la base son+ x  , x C , x J .

 B

 B   y 3   y  4   y    y     y C   y J B

F  x  > 3 ED 4 3 F F 3

F  x C > 3 C ED F 3 F

F  x J > K4   E3 4 C F F 3 E4

Z  i  F F F F F F

Z  i K C i  F L J F F F

 !unque la solucion es b"sica no actible por lo cual tendremos que hacer 

un cambio de variables en la tabla.-scogemos de la columna ; B  la variable cuyo

valor es el m"s negative y est" sera la que deje de ormar parte de la base. -n este

xJ, veamos por cual caso es vamos a sustituir+

)emos comprobado que la variable xJ dejara de ormar parte de la sustituida por x3.

1or tanto el pivote sera el numero que est" en la casilla sombreada de la tableanterior. !hora, a partir del pivote calcularemos la nueva tabla.

$as variables que orman la base son+ x  , x C , x 3 .

 B

 B   y 3   y  4   y    y  D   y C   y J B

F  x  > M F EC E3L 3 F ED M

F  x C > 3 F N 3 F 3 3 3

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EF  x 3 > 4 3 E4 EC F F E3 4

Z  i  EF JF 3CF F F F

Z  i K C i  F JL 3CJ F F F

0omo Z  i K C i = F ∀ i %4,F,F,M,F,3,F& es la solución óptima del problema.

6 TEORÍA DE LA DUALIDAD

.1 PROLEMA PRIMAL 3 PROLEMA DUAL

0ada problema de programación lineal lleva asociado un problema OdualP con el

que pr"cticamente est" muy relacionado.

1ara calcular el problema dual, partimos del problema de programación linealexpresado de la orma siguiente %habitual en todos nuestros problemas&+

-l problema dual va a deinirse de la siguiente orma+

E Minimiar #na 4#nción 56 con unas variables distintas a @ y con los

coeicientes derechos de las restricciones como coeicientes. Quedaría como

sigue+

@ > b3y3 A b4y4 A RA bnyn

• -l problema dual tiene tantas variables como inecuaciones el sistema de

restricciones del problema pr imal.

• $os coeicientes de la unción objetivo del dual son los términos

independientes de las restricciones del primal.

E La) re)*riccione) quedarían de la orma siguiente+

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a33y3 A a43y4 A R A am3yn > c3

a44y3 A a44y4 A R A am4yn > c4

R

a3m

y3

A a4m

y4

A R A amn

yn

> c

n

• -l sistema de restricciones del dual tiene tantas inecuaciones ligadas por el

signo O>P como variables tiene el pr imal.

• $os coeicientes de las inecuaciones del sistema de restricciones del

problema dual son los mismos que los del sistema de restricciones del

problema primal cambiando ilas por columnas.

• $os términos independientes de las inecuaciones del sistema de

restricciones del dual son los términos de la unción objetivo del primal.

'n ejemplo de transormación primalIdual sería el que sigue+

1ara hallar la correspondencia entre ambos problemas se suele utili#ar la *a-la

primal7 "#al o "e T#c8er . -n ella se puede observar el problema primal por ilas,

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es decir verticalmente. 1or columnas, es decir hori#ontalmente, se observa el

problema dual.

1ara el ejemplo anterior tendríamos lo siguiente+

0omo conclusión la transormación del problema primal en el dual %y viceversa&

sería como sigue+

.2 PROPIEDADE 9ICA

Dada la relación existente entre el problema dual y el primal se pueden enumerar 

las siguientes propiedades que nos permitir"n el uso de esta dualidad para

r esolver dierentes aspectos de los problemas de optimi#ación.

>=>=

>=>=

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E Propie"a" "e la "#ali"a" "0-il: 0ualquier solución actible en el primal tiene

un valor menor o igual que una solución actible en el dual. atem"ticamente+

c; T> Ub. Siempre se cumple porque el valor m"ximo actible de @ es igual al

valor mínimo actible de @V.

E Propie"a" "e la "#ali"a" 4#er*e: Si ; e U son respectivamente

soluciones actibles del problema primal y del dual y se cumple que c;>Ub

entonces ; e U son soluciones a ambos problemas. -n conclusión, en el

óp*imo am-a) )ol#cione) )on ig#ale).

E Propie"a" "e la) )ol#cione) complemen*aria): -n cada iteración, el

simplex determina una solución 5-9 ; del primal, y una solución

complementaria U del dual. -n cada paso se obtienen variables b"sicas para el

primal, ; lo) <alore) "e la) <aria-le) "e =olg#ra )on la) )ol#cione) "el

"#al complemen*aria) óp*ima). Wstas se orman con los elementos

correspondientes situados en la 6ltima ila y en las columnas que est"n

asociadas a las variables de holgura.

0uando se est" resolviendo el problema primal, el problema dual es no

 actible. Sólo se vuelve actible cuando se halla la solución óptima.

E Propie"a" "e la) )ol#cione) complemen*aria) óp*ima): -n la tabla

simplex inal, se obtiene la solución óptima xX del primal, y se obtiene la

solución óptima complementaria yX del dual, y en este punto ambas son

 actibles.

c ,> ? ;>-

Lo) <alore) "e ;i> )e "enominan precio) )om-ra para el pro-lema primal.

E Propie"a" "e la )ime*r@a: 1ara cualquier problema, el dual del dual es

el pr imal.

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$a solución del problema dual corresponder" a los valores del 6ltimo renglón de

las variables de holgur a.

.! TEOREMA DE E(ITENCIA

$as relaciones entre el primal y el dual se pueden establecer en tres puntos+

3. Si un problema tiene soluciones actibles y unción objetivo acotada,

entonces el otro también y los valores de la unción objetivo en el óptimo son

iguales.

4. Si uno de los problemas tiene soluciones actibles y unción objetivo no

acotada, entonces el otro es no actible.

. Si un problema no tiene soluciones actibles, entonces el otro no tiene

soluciones actibles o tiene la unción objetivo no acotada.

-l Teorema "e E,i)*encia se enunciaría como sigue+ Dados un par de problemas

duales, una y sólo una de las siguientes airmaciones es verdad era!

•"inguno de los dos problemas posee soluciones  acti bles.

• #no de los problemas no tiene solución actible y el otro s$, pero no posee

solución ópti ma.

• %os dos problemas poseen solución ópti ma.

-sto puede resumirse diciendo que entre dos problemas duales 6nicamente se

pueden dar las siguientes alternativas+

3. !mbos poseen soluciones actibles, entonces los valores de lasunciones objetivo @ y @V son 4 conjuntos de n6meros. -l punto 1 la solución

simult"nea de los problemas dual y primal.

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4. $a unción @ no alcan#a un m"ximo, por lo tanto no existe una solución óptima

para el problema dual %no hay punto 1&.

. $a unción objetivo dual U no est" acotada ineriormente y por esto no hay

punto 1. -l problema primal no tendr" solución óptima.

. <o hay conjunto de soluciones actibles para @ ni para U, entonces ninguno de

esos dos problemas tiene soluciones actibles.

 ! partir de las cuatro alternativas podemos establecer dos reglas pr"cticas+

3. 2odo problema de programación lineal puede resolverse aplicando el algoritmo

del simplex a su problema dual asociado.

4. $os lemas de la dualidad son claves en la resolución de algunos problemas

%- j. Si ; e U son soluciones de un problema dual y primal correspondiente y c;

> Ub, ; e U ser"n óptimos&.

.$ E&EMPLOea el pro-lema "e programación lineal e,pre)a"o en 4orma primal:

1 E,pre)ar el pro-lema "#al a)ocia"o a 0)*e.

2 Re)ol<er el pro-lema primal aplican"o el algori*mo "el )imple, ; calc#lar 

la) )ol#cione) "el pro-lema "#al.

! Calc#lar aplican"o el algori*mo "el )imple, el pro-lema "#al

an*e) e,pre)a"o ; re)ol<er *am-i0n el pro-lema primal.

3& -xpresión del problema dual+

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4& 8esolución del problema pr imal.

7ntroducimos las variables de )olgura

0onstruimos la tabla simplex inicial. $as variables b"sicas son x, xC

$a variable de la base que va a entrar a la base es  x 4 , veamos por cual lo

hacemos mediante la prueba del cociente mínimo obviando los valores negativos+

)emos comprobado que la variable x 4 pasar" a ormar parte de la base en lugar 

de x C . 1or lo tanto el pivote ser" el n6mero que est" en la casilla sombreada de

la tabla anterior. !hora, a partir del pivote calcularemos la nueva tabla.

$as variables que orman la base son+ x  , x 4 .

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$a variable de la base que va a entrar a la base es x 3 , veamos por cual lo

hacemos mediante la prueba del cociente mínimo obviando los valores negativos+

)emos comprobado que la variable  x 3 pasar" a ormar parte de la base en lugar 

de x  . 1or lo tanto el pivote ser" el n6mero que est" en la casilla sombreada de

la tabla anterior. !hora, a partir del pivote calcularemos la nueva tabla.

$as variables que orman la base son+ x 3 , x 4 .

0omo es la solucion optima del primal, qued"ndose

relejando 6nicamente las tres variables principales en %J3,N,F&.

$a solución del problema dual corresponder" a los valores del 6ltimo renglón de

las variables de holgura por lo tanto .

4& 8esolución del problema dual.

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1ara resolver este problema introduciremos variables de holgura, y cambiamos

de signo las inecuaciones con el in de que podamos aplicar el algoritmo dual

del simples sin tener que introducir variables artiiciales. !l inal las ecuaciones

quedan de la siguiente manera+

0onstruimos la tabla simplex inicial. $as variables b"sicas son y,y, yC

 !unque la solución es basica no actible por lo cual tendremos que

aplicar el algoritmo dual del simplex.

-scogemos de la columna & B  ser" la salga de la base. -n este caso es la

variable cuyo valor es el m"s negativo y ésta y  , veamos por cual la vamos a

sustituir+

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)emos comprobado que la variable y 4 pasar" a ormar parte de la base en lugar 

de y  . 1or lo tanto el pivote ser" el n6mero que est" en la casilla sombreada de

la tabla anterior. !hora, a partir del pivote calcularemos la nueva tabla.

$as variables que orman la base son+ y  , y 4 , y C .

 !unque la solución es b"sica no actible por lo cual tendr emos

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que aplicar el algoritmo dual del simplex.

-scogemos de la columna & B  la variable cuyo valor es el m"s negativo y ésta

ser" la salga de la base. -n este caso es y, veamos por cual la vamos a sustituir+

)emos comprobado que la variable y 3 pasar" a ormar parte de la base en lugar 

de y . 1or lo tanto el pivote ser" el n6mero que est" en la casilla sombreada

de la tab le anter ior . !hora, a par t i r de l p ivote ca lcu laremos la nueva

tabla.

0omo Z   i K C i = F ∀  i %3,33,F,F,& es la solución óptima del problema dual,

qued"ndose 6nicamente con sus dos variables en %3,33& y tomando los valores del

6ltimo renglón para las variables de holgura este quedaría %J3,N,F&.

7 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA

'n problema de programación líneal est" destinado a la optimi#ación de

determinados recursos económicos. $os problemas OprimalesP consisten en

maximi#ar una unción objetivo sometida a un conjunto de restricciones

representadas por inecuaciones. $a interpretación económica de estos valores es

la siguiente+

E $as variables xi pueden interpretarse como los términos desconocidos de los

productos que  abr icar emos.

E $os bi son las cantidades disponibles de recursos para elaborar los

productos.

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E $os términos aij son las cantidades necesarias del recurso i para producir una

unidad del producto j.

E $as restricciones representar"n la limitación de los recursos disponibles para

abricar los productos.

E -l objetivo del abricante ser" obtener un beneicio m"ximo, o sea,

maximi#ar los beneicios, con lo cual cj ser"n los beneicios por cada unidad

producida del producto j.

 ! partir de las relaciones primalEdual interpretaremos económicamente los términos

del anterior+

E ;i+ 0ontribución a la ganancia por cada unidad del recurso i. -stas variables del

problema dual reciben el nombre de precio) "e )om-ra.

E ;iB?+ $a ganancia por cada unidad del recurso i, debe ser no negativa, de lo

contrario sería mejor no utili#ar este recurso en absoluto.

E .O-e*i<o+ -s la minimi#ación total del valor implícito de los recursos consumidos

por las actividades.

-n general el precio sombra de una restricción proporciona el cambio en el valor dela unción objetivo como resultado de un cambio unitario en el término

independiente de la restricción, suponiendo que el resto de par"metros del

problema permanecen inalterados.

-n muchos problemas de programación lineal los precios sombra son tan

importantes como la solución del problema, ya que proporcionan inormación sobre

el eecto en la unción objetivo de cambios en los recursos disponibles.

$.1 E&EMPLO

'n carpintero modesto abrica dos tipos de mesas de madera. 0ada mesa del tipo 3

necesita horas de mecani#ado primario %preparación de pie#as& y horas

de mecani#ado secundario %ensamblado y barni#ado&. !n"logamente, cada mesa

del tipo 4 necesita horas de mecani#ado primario y N horas de mecani#ado

secundario.

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$as disponibilidades diarias de mecani#ados primario y secundario son

r espectivamente de F y CJ horasEm"quina. $a venta de una mesa del tipo 3

reporta un beneicio de NF euros, mientras que la venta de una mesa del tipo 4 de

MF euros.

Siendo x3 y x4 son las cantidades diarias de mesas a abricar de los tipos 3 y 4

respectivamente el problema de programación lineal quedaría como sigue+

aximi#ar+

7ntroducimos las variables de )olgura

0onstruimos la tabla simplex inicial. $as variables b"sicas son x, xC

0omo es mejorable. $a variable x4 es la

variable que entrar" a la base, la variable que saldr" ser" la correspondiente a la

prueba del cociente mínimo.

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$a variable x saldr" de la base por lo que el elemento pivote es

el N.

0omo es mejorable. $a variable x3 es la

variable que entrar" a la base, la variable que saldr" ser" la correspondiente a la

prueba del cociente mínimo.

$a variable x saldr" de la base por lo que el elemento pivote es el 1F.

0omo es mejorable. $a variable x3 es la variable que

entrar" a la base, la variable que saldr" ser" la correspondiente a la prueba del

cociente mínimoY.

$a solución óptima %obtenida por el método gr"ico o el algoritmo del

simplex& establece que han de producirse diariamente N y sillas de los

tipos 3 y 4 respectivamente, lo que da lugar a un beneicio de LCF euros.

-ste resultado indica que ambos recursos de mecani#ado %primario y secundario&

est"n plenamente utili#ados porque las restricciones relacionadas con ellos

est"n ambas activas, es decir, las dos son restricciones obligatorias.

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1or otra parte, considérese que quiere aumentarse el beneicio diario. 1ara

ello es necesario aumentar la capacidad productiva. 0onsidérese que la

capacidad de mecani#ado secundario puede aumentarse cada día de CJ a N4

horas de m"quina. Z0ómo aecta esta ampliación de capacidad a los beneicios

diarios[

$a solución puede obtenerse mediante !n"lisis de Sensibilidad utili#ando

los mecanismos vistos en el tema anterior y el algoritmo dual del simplex si

procede.

-n este caso la solución óptima es x3 > y x4 > L con un beneicio m"ximo

diario de 3FFF euros.

-ste solución indica que el beneicio diario crece en 3CF euros y la

capacidad de mecani#ado secundario crece en N4 E CJ > 3J horas m"quina.

-l ratio 3FFFELCFI3J>3CFI3J>NCIL euros, al que la unción objetivo crece al crecer la capacidad de mecani#ado secundario 3 hora, se denomina sensibilidad o precio

sombra %también precio dual& de la capacidad de mecani#ado secundario.

-n general el precio sombra de una restricción proporciona el cambio en el valor de

la unción objetivo como resultado de un cambio unitario en el término

independiente de la restricción, suponiendo que el resto de par"metros del

problema permanecen inalterados. -n muchos problemas de programación lineallos precios sombra son tan importantes como la solución del problema, ya que

proporcionan inormación sobre el eecto en la unción objetivo de cambios en

los recursos disponibles. $os precios sombra pueden obtenerse resolviendo el

problema dual.

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-l problema dual del problema del carpintero se ormula a continuación.

7ntroducimos variables de holgura cambiando de signo las restricciones+ 

$a tabla simplex inicial quedaría+

 !unque la solución es b"sica no actible por lo cual tendremos

que aplicar el algoritmo dual del simplex.

-scogemos de la columna &B la variable cuyo valor es el m"s negativo y ésta

ser" la salga de la base. -n este caso es y, veamos por cual la vamos a sustituir+

)emos comprobado que la variable y 3 pasar" a ormar parte de la base en lugar

de y. 1or lo tanto el pivote ser" el n6mero que est" en la casilla subrayada de la

tabla anterior. !hora, a partir del pivote calcularemos la nueva tabla.

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0omo 

es mejorable. $a variable y4 es la

variable que entrar" a la base, la variable que saldr" ser" la correspondiente a la

prueba del cociente mínimo.

$a variable y saldr" de la base por lo que el elemento pivote es el 3JI.

$a solución óptima de este problema es y3 > JCIL, y4 > NCIL, y el valor óptimo

de la unción objetivo es LCF. *bsérvese que y3 y y4 son los preciossombra de las capacidades de mecani#ado primario y secundario,

respectivamente, y que los valor es óptimos de la unción objetivo de los problemas

primal y dual coinciden.

-l problema dual puede interpretarse de la siguiente manera. 0onsidérese

que el objetivo es vender tiempo de mecani#ado primario y secundario y

supóngase que de esta orma se obtienen al menos el mismo nivel de beneicios

que haciendo mesas. -n esta situación vender tiempo de mecani#ado y hacer 

mesas han de ser actividades igualmente lucrativas. $as variables y3 y y4 variables

representan los precios de venta de una hora de mecani#ados primario y

secundario respectivamente. 1ara preservar la competitividad del negocio, el

beneicio diario ha de minimi#arse, esto es minimi#ar la unción Fy3 A CJy4, donde

F y CJ representan respectivamente la disponibilidad diaria en horas de

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mecani#ado primario y secundario respectivamente. $as restricciones del

problema dual establecen que el coste de las horas de mecani#ado primario y

secundario para producir una mesa de cada tipo no debe superar el beneicio

que se obtiene por venta de la misma y que los precios son cantidades no

negativas.

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