Distribucionet diskrete te probabilitetit

1

Variabla e rastësishme dhe distribucionet diskrete të probabilitetit

Ligjërata e pestë

Variabla e rastësishme dhe

distribucionet diskrete të probabilitetit

Qëllimet:

Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në gjendje që të : Definoni termet: variabël e rastësishme dhe distribucioni i probabilitetit.

Të bëni dallimet në mes distribucionene diskrete dhe kontinuale të probabilitetit.

Kalkuloni mesataren aritmetike, variancën dhe devijimin standard të distribucioneve diskrete të probabilitetit.

Përshkruani karakteristikat dhe të llogaritni probabilitetet duke shfrytëzar Distribucionin Binomial të probabilitetit.

2

Variablat e rastësishme

SHEMBULL 1: Marrim në konsiderim eksperimentin në të cilin monedha hudhet tri herë. Le të jetë X numri i rënjes së numrit. Me “N” do të evidentojmë rënjen e numrit kurse me “S” rënjen e stemës..

Variabla e rastësishme është përshkrimi me numra i rezultateve të një eksperimenti .

SHEMBULL 1 vazhdim

Hapësira e mostrës, gjegjësisht numri i rasteve të tërësishme për këtë eksperiment do të jetë: SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN.

Kështu vlerat e mundshme për X ( numri i N) janë : X = 0,1,2,3.

3

Shembull 1 vazhdim

Rezultati zero “numër” ndodh një herë.

Rezultati një herë “numri” ndodh tri herë.

Rezultati dy herë “numri” ndodh tri herë.

Rezultati tri herë numri ndodhë një herë.

Nga definimi i variablës së rastësishme , X i definuar në këtë eksperiment, është variabël e rastësishme.

Distribucionet e probabilitetit

Distribucioni i probabilitetit është numrimi i të gjitha rezultateve të mundshme të një eksperimenti dhe probalilitetet e lidhura me to. Për SHEMBULLIN 1,

X (numri i

N)

Rezultatet

Probabilitetet e rezultateve

0 1 1/8=0,125

1 3 3/8=0,375

2 3 3/8=0,375

3 1 1/8=0,125

Gjithsej:

8 8/8=1

4

Karakteristikat e distribucionit të probabilitetit

Probabiliteti i një rezultati duhet gjithmonë të jetë në mes të 0 dhe 1.

Shuma e të gjitha rezultateve reciprokisht përjashtuese është gjithmonë e babrabartë me një (1)

Llojet e variablave të rastësishme

Variablat e

rastësishme

Variabla të rastësishme diskrete/ e ndërpreë

Variabla të rastësishme kontinuale/ e vazhdueshme

5

Variabla e rastësishme diskrete/e ndërprerë

Variabla e rastësishme diskrete/ e ndërpreë është variabla e cila mund të marr vetëm disa vlera të caktuara qartë që rezultojnë nga numërimi i disa njësive që janë me interes.

P.sh. - Numri i SMS në telefonin tuaj gjatë ditës, - Numri i aksidenteve në komunikacion gjatë muajit

prill, - Numri i MP3 të shitur në një shitore, - Numri i produkteve me defekt gjatë një dite pune,

etj

Shembull: Le të jetë X numri i rënjes së “numri” kur monedha hudhet tri herë. Këtu vlerat për X janë:

X = 0,1,2,3.

Variablat e rastësishme kontinuale/e vazhdueshme

Variabël e rastësishme kontinuale /e vazhdueshme është variabla e cila mund të marr në infinit numër të madh të vlerave.

Shembuj:

- Gjatësia dhe pesha e studentëve,

- Koha e nevojshme që me taksi të vihet në fakultet nga shtëpia,

- Kohëzgjatja e një dremitje (gjumi) etj.

6

Modelet teorike të shpërndarjes së probabiliteve

2

Modelet e

shpërndarjes/distribucionit

Distribucioni diskret i

probabiliteve

Distribucioni kontinual i

probabiliteteve

Distribucioni i Poisson-it

Distribucioni uniformues

Distribucioni hipergjeometrik

Distribucioni Binomial

Distribucioni

(hi në katror)

Distribucioni i

“Studentit “

Distribucioni normal

Distribucioni i Fisherit

(Snedecor)

2

Distribucioni i probabilitetit për variablën e rastësishme përshkruan se si probabilitetet janë të shpërndara rreth vlerës së variablës së rastësishme.

Distribucionin diskret të probabilitetetve mund ta përshkruajmë me tabelë , grafik apo ekuacion.

Distribucioni diskret i probabiliteteve

7

Distribucioni i probabilitetit definohet përmes funksionit të probabilitetit, i shënuar me P(x), i cili siguron probabilitet për çdo vlerë të varablës së rastësishme.

Kushtet e kërkuara për funksionin e probabilitetit diskret janë:

Distribucionet diskrete të probabilitetit

P(x) > 0

P(x) = 1

Prezantimi tabelar i distribucionit të probabilitetit për shitjen e TV. .

Përdorimi i të dhënave për shitjen e TV në të kaluarën.

…

Numri i

Nj. e shitura ditëve

0 80

1 50

2 40

3 10

4 20

200

x P(x)

0 .40

1 .25

2 .20

3 .05

4 .10

1.00

80/200


8

.10

.20

.30

.40

.50

0 1 2 3 4 Vlerat e variablës së rastësishme x (Shitjet e TV)

Pro

bab

ilit

eti


Paraqitja grafike e distribucionit diskret të probabiliteteve

Distribucioni i probabilitetit diskret uniform/ i njëtrajtshëm

Distribucioni i probabilitetit diskret uniform është shembulli më i thjeshtë i distribucioneve diskrete të probabilitetit i dhënë me formulën vijuese:

Funksioni i distribucionit uniform të probabilitetit është:

P(x) = 1/n

ku: n = numri i vlerave të variablës së rastësishme që mund të ndodhin

Vlerat e variablës së rastësishme kanë gjasa të barbarta

9

Mesatarja , Varianca dhe Devijimi standard te distribucionet disktrete të probabiliteteve

Sikurse distribucioni i frekuencave që karakterizohet me mesataren , variancën dhe devijimin standard, ashtu edhe distribucioni i shpërndarjes së probabiliteve përmblidhet me mesataren e tij dhe variancën.

Mesatarja e distribucioneve të probabilitetit shënohet me shkronjën greke “mi”μ

Devijimi sandard i distribucionit të probabiliteteve shënohet me shkronjën greke „sigma”σ

Vlera e pritur dhe varianca

Vlera e pritur, ose mesatarja, e variablës së rastësishme është matës i tendencës qendrore.

Varianca përmbledh variabilitetin e vlerave të variablës së rastësishme.

Devijimi standard, , definohet si rrënja katrore e Variancës.

Var(x) = 2 = (x - )2P(x)

E(x) = = xP(x)

10

Vlera e pritur- mesatarja aritmetike

Numri i pritur i TVs të shitur brenda ditës

x P(x) xP(x)

0 .40 .00

1 .25 .25

2 .20 .40

3 .05 .15

4 .10 .40

E(x) = 1.20

Vlera e pritur dhe varianca

Varianca dhe Devijimi Standard

0

1

2

3

4

-1.2

-0.2

0.8

1.8

2.8

1.44

0.04

0.64

3.24

7.84

.40

.25

.20

.05

.10

.576

.010

.128

.162

.784

x - (x - )2 P(x) (x - )2P(x)

Varianca e shitjeve ditore= 2 = 1.660

x

TVs Në katror

Devijimi standard për shitjet ditore= 1.2884 TVs

Vlera e pritur dhe Varianca

E(x) = 1.20

11

Distribucioni binomial

Shpërndarja binomiale e probabilitetit është një shpërndarje e ndërprerë që gjen përdorim të madh në praktikë

Shpërndarja binomiale është e lidhur me eksperimentin shumëshkallësh të cilin e quajmë eksperiment binomial.

Një prej karakteristikave të shpërndarjes binomiale është se lidhet me eksperimentet ku çdo rezultat mund të marr vetëm dy forma. P.sh qëndrimi i saktë dhe i pasaktë.

Çdo rezultat është i papajtueshëm që do të thotë se diçka nuk mund të jetë e saktë dhe e pasaktë në të njejtën kohë.


Katër karakteristikat e Eksperimentit Binomial

3. Probabiliteti për sukses i shënuar me p nuk ndryshon prej një eksperimenti në një tjetër

4. Eksperimentet janë të pavarura.

2. Dy rezultate , suksesi dhe dështimi, janë të mundshme në çdo provë.

1. Eksperimenti përbëhet nga provat identike të njëpasnjëshme.

Supozimi i përhershëm

12


Ne jemi të interesuar për numrin e sukseseve që ndodhin në n prova.

Le te shenojmë me x numrin e sukseseve që ndodhin në n prova.

Distribucioni binomial - shembull

Eksperimenti i gjuajtjes së monedhës 10 herë.

A është eksperiment binomial apo jo?

Zgjidhje: Eksperimenti i hudhjes së monedhës 10 herë i plotëson të katër kushtet e distribucionit binomial.

1. Ka gjithsej 10 gjuajtje dhe të gjitha janë identike dhe kryhen në kushte të njejta, n=10

2. Çdo gjuajtje ka vetëm dy rezultate të mudshme: stema dhe numri. Le të shënojmë rënjen e stemës si “sukses” dhe rënjen e numrit si “mossukses”

3. Probabiliteti i rënjes së stemës është ½ (suksesit) , gjtithashtu edhe rënja e numrit e ka probabilitetin ½. p(S) =1/2 dhe q(N) =1/2

4. Gjuajtjet janë të pavarura. Rezultatet e gjuajtjes së parë nuk kanë ndikim në rezultatet e gjuajtjes së dytë.

13

Ku:

P(x) = Probabiliteti i suksesit x në n prova n- numri i eksperimenteve/provave x- numri i rasteve të suksesshme të vrojtuara p - probabiliteti i “suksesit” në cdo eksperiment/prove q - probabiliteti i “mossuksesit” në cdo eksperiment/prove (q = 1-p)

( )!( ) (1 )

!( )!n xxn

P x p px n x


Funksioni i probabilitetit binomial

( )!( ) (1 )

!( )!n xxn

P x p px n x


!

!( )!

n

x n x( )(1 )x n xp p

Funksioni i Probabilitetit Binomial

Probabiliteti i një pjese të veçantë të rezultateve

me x suksese në n prova

Numri i rezultateve të eksperimentit që sigurojnë

saktësisht x suksese në n prova.

14


Shembull: Firma “Electronics”

“Electronics” është e shqetësuar rreth largimit të punëtorëve nga firma. Në vitet e fundit , menaxhmenti i firmës ka vlerësuar se për çdo punëtor të zgjedhur rastësisht, probabiliteti se ai nuk do të jetë në kompani vitin e ardhsëm është 0.1


Përdorimi i funksionit të probabilitetit binomial

Zgjedhim 3 të punësuar rastësisht, sa është probabiliteti që 1 nga ata ta lëshoj kompaninë këtë vit?

( )!( ) (1 )

!( )!

x n xnP x p p

x n x

1 23!(1) (0.1) (0.9) 3(.1)(.81) 0.243

1!(3 1)!P

Le te jete: p = 0.10, n = 3, x = 1

15

Përdorimi i Tabelave të Probabilitetit Binomial

n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

3 0 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250

1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750

2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750

3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250

p


Shih tabelen e shpërndarjes binomiale ne librin “Bazat e Statistikës, fq.355


(1 )np p

E(x) = = np

Var(x) = 2 = np(1 p)

Vlera e pritur

Varianca

Devijimi standard

16


3(.1)(.9) 0 .52 tepunesuar

E(x) = = 3(.1) = 0.3 të punësuar prej 3

Var(x) = 2 = 3(.1)(.9) = 0.27

Vlera e pritur/ mesatarja aritmetike

Varianca

StandaDevijimi standard

Mënyrat për të llogaritur probabilitetet binomiale

1. Përdorimi i formulës binomiale është e përshtatshme kur numri i provave është relativisht i vogël.

2. Përdorimi i tabelave binomiale që gjinden në fund të cdo libri të statistikës.

3. Përdorimi i funksionit të Excel-it =BINOMDIST(x, n, p, false)” për të llogaritur probabilitet individuale . Zëvendësoni false me true për të fituar shumën e probabiliteteve binomiale prej 0 deri te x , gjegjësisht probabilitetet kumulative .

17

Shembull – tri mënyrat e llogaritjes së probabilitetit binomial …

Anisa nuk ka arritur që të mësoj në lendën e statistikës. Strategjia e Anisës është që të bazohet në fat për afatin e ardhshëm. Provimi përfshin 10 pyetje me shumë zgjedhje (n=10). Çdo pyetje ka nga 5 përgjigje ku vetëm njëra është e saktë. (p=0.2). Anisa planifikon që tia qëlloj secilës përgjigje.

Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëlloj asnjë përgjigje?

P(X=0) = P(0) =

Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të sakta?

P(X=2) = P(2) =

Shembull- vazhdim

n=10, dhe P(sukses) = 0.20

Sa është probabiliteti që Anisa të mos ketë qëlluar asnjë përgjigje?

Shenojme me x-suksesin, x, = 0; prej këtu ne dëshirojmë të dimë P(x=0)

Anisa ka afër 11% shanse që të mos e qëlloj asnjë përgjigje .

18

Shembull- vazhdim…

n=10, dhe P(sukses) = 0.20

Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të sakta?

Le të jetë suksesi, x, = 2; prej këtu ne dëshirojmë të dimë P(x=2)

Anisa ka 30 % shansë që të ketë dy përgjigje të sakta.

Probabiliteti kumulativ…

“Gjej probabilitetin se Anisa “ka dështuar në provim”

Nëse shkalla e rënjes në provim është më pak se 50% ( p.sh 5 pyetje nga 10 sa janë gjithësej) kjo konsiderohet se provimi nuk është kaluar.

P( nuk e ka dhënë provimin) = P(X < 4) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)

Kjo quhet probabiliteti kumulativ, ashtu që , P(X ≤ x)

Vërejtje: Llogaritja e të gjitha probabiliteteve individuale kërkon shumë punë dhe shumë kohë, megjithatë , Tabela e Shpërndarjes Binomiale në fund të librit ju jep probabilitetet kumulative për n=10, p=0.2, x=4]

19

Shembull-vazhdim…

Llogariten probabilitet indiviuale dhe mblidhen !

P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)

Ne veç e dime se P(0) = 0.1074 dhe P(2) = 0.3020. Përdorim formulën binomiale për të llogaritur edhe të tjerat:

P(1) = 0.2684 , P(3) = 0.2013, adhe P(4) = 0.0881

Prej këtu P(X ≤ 4) = .1074 + .2684 + … + .0881 =0.9672

OSE

Përdorimi i Tabelës Binomiale në fund të librit për n=10, p=0.2, dhe x=4 “Sllajdi në vijim” (Kujdes, tabela është për probabilitete kumulative)

Tabela binomiale e probabiliteteve kumulative…

“Sa është probabiliteti se Anisa do të dështojë në provim”? Gjegjësihst sa është P(X ≤ 4), duke ditur se P(sukses) = 0.20 dhe n=10 ?

P(X ≤ 4) = 0.967

20

Tabela binomiale kumulative…

“Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëllojë asnjë përgjigje?” P(X = 0), duke ditur se P(sukses) = 0.20 and n=10 ?

P(X = 0) = P(X ≤ 0) = 0.107

Funksioni i Excel-it… =BINOMDIST()

Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull :

Sa është probabiliteti që Anisa të ketë qëlluar dy përgjigje të sakta?

# suksesi

# provat

P(sukses)

True: Prob. kumulativ. False: Prob. individuale.

P(X=2)=.3020

21

Funkcioni në Excel …=BINOMDIST()

Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull :Sa është probabiliteti që Anisa të mos e kaloj provimin?

# suksesi

# provat

P(sukses)

Pr. Kumulativ- true P(X≤x)?)

P(X≤4)=.9672

KONCEPTET KYÇE

Variabla e rastësishme Variabla diskrete Variabla diskrete Distribucioni i probabilitetit Distribucioni diskret i probabiliteteve Distribucioni i variablave kontinuale Vlera e pritur- mesatarja aritmetike Devijimi standard dhe varianca.

Distribucioni binomial i probabilitetit Tabela e Distribucionit Binomial Vlera e pritur e distribucionit binomial Devijimi standard i distibucionit binomial Funksioni “…=BINOMDIST() “ në Excel……………

Distribucionet diskrete te probabilitetit

Documents