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12.05.11  

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Diskrete  Signalverarbeitung  und    diskrete  Systeme  

Computer-­‐basierte  Verarbeitung  von  Signalen  und  Realisierung  von  Systemverhalten  erfordern  diskrete  Signale  und  diskrete  Systembeschreibungen.      Wegen  der  ausgerei?en  Theorie  für  analoge  Signale  und  Systeme  finden  Systementwicklungen  dennoch  vorwiegend  im  Analogen  staE.    Auch  gibt  es  für  die  meisten  grundlegenden  analogen  Zusammenhänge  genau  entsprechende  diskrete  Zusammenhänge.    Allerdings  gibt  es  auch  zahlreiche  diskrete  Verfahren  zur  Signalverarbeitung,  die  heurisJsch,  ohne  fundierte  Theorie,  angewendet  werden.    Beispiel:    GläEungsoperator            mit  Gewichten     3!

2!

2!2!2!

1! 1!

1! 1!

!"#$ =%&'!

( &'"'"'"()!

Diskrete  Faltung  

KonJnuierliche  Signalübertragung:  Alle  Signale  mit  Abtastwerten  beschrieben:  

g(t) = h(t) ! s(t)

!"#$%!"& "#$%#="#

#

$%

&'

(

)* +'(#)"

,&$% = *"#$%!"& "#$%

#="#

#

$%

&'

(

)* +'(#)"

,&$%+ '"#$%!"& "#$%

#="#

#

$%

&'

(

)* +'(#)"

,&$%

Daraus  folgt  für  die  Abtastwerte  (nach  einigen  SchriEen)  für  T=1  und  unter  der  Voraussetzung  bandbegrenzter  Signale  :  

!"#$ = %"#!&$'"&$&=!"

"

# "Diskrete  Faltung"  

Schreibweise  dafür  auch:        g(n)  =  h(n)  ∗  s(n)    Für  kausale  Systeme  ist  die  Impulsantwort  =  0  für  t  <  0.  Dann  gilt:  

!"#$ = %"#!&$'"&$&=!"

#

#

Die  diskrete  Faltung  ist  die  Grundlage  für  die  computerbasierte  Berechnung  von  Systemverhalten!  

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Lokale  0peratoren  

Bildverarbeitung  realisiert  Faltung  häufig  mit  "lokalen  Operatoren".  

Erzeuge  ein  neues  Bild                    ,  indem  ein  linearer,  lokaler  Operator  f  auf  alle  Pixel  eines  Bildes  angewandt  wird:  

ij  

Dij  

mn  

Die  Pixelindizes  i,  j  können  in  von  1  abweichenden  SchriEen  inkremenJert  werden.  

Beispiel  für  Stützfläche  

eines  lokalen  Operators  

!"#$ = %&'"( )"* )+++)",-&&&&&&&&"( )"* )+++)", !./0

ˆ g mn

Unter  welchen  Voraussetzungen  ist  diese  OperaJon  eine  Faltung?  

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Beispiel:  Kontrastverschärfung  Bildintensitäten  werden  durch  lokalen  Operator  mit  3x3  Stützfläche  an  Kanten  verstärkt  

"Unscharfes  Maskieren"  =  SubtrakJon  eines  unscharfen  Bildes  

!"#$ = "#$ !%

&'&"()

"()"*'#

!" !" !"!" # !"!" !" !"

Diese  Technik  wurde  (früher?)  häufig  analog  realisiert.  

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Behandlung  von  Störungen  ("Rauschen")  

Abweichungen  von  einem  idealen  Bildsignal  werden  häufig  mit  addiJvem  Rauschen  modelliert:  

=   +  

Typische  Eigenscha?en:  

•    MiEelwert  0,  Varianz  σ2  >  0  •    örtlich  unkorreliert:      E[  rij  rmn]  =  0                für  ij  ≠  mn  •    zeitlich  unkorreliert:      E[  rij,t1  rij,t2]  =  0      für  t1  ≠  t2    

•    Gauss-­‐Wahrscheinlichkeitsdichte:   !"#$ = %

! &"'# #&

&!&

Rauschen  entsteht  durch  einzelne  Ladungsträger  ("Schrotrauschen"),  elektromagneJsche  Einkopplung,  thermische  Molekularbewegungen  und  andere  Phänomene.  

Neben  addiJvem  Rauschen  gibt  es  mehrere  andere  Rauschmodelle.  

E[x]  ist    "Erwartungswert"  

von  x  

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GläEung  durch  MiEelung  

Zwei  grundsätzliche  Wege  zum  "AusmiEeln"  von  Rauschen:  -­‐    Zeitliches  MiEeln,  falls  mehrere  Proben    gij,t    desselben  Pixels  zu  verschiedenen  

Zeitpunkten  t  =  1  ...  T  zur  Verfügung  stehen  

-­‐    Örtliches  MiEeln,  falls  gmn  ≈  gij  für  alle  Pixel  gmn  in  einem  Bereich  um  gij  

Wie  effekJv  ist  das  MiEeln  von  Grauwerten?  

!"# =$#

"%%=$

#

! " & ProbenmiEelwert  nähert  sich  MiEelwert  der  Verteilung  an    

!"# =$#

"%%=$

#

! ist  Zufallsvariable,  Varianz  hängt  von  K  ab  

MiEelwert  

! "#$% !! #$%"# $%&'"# $% = ! #$%

'"# $% = !(%'

" $) &'

)=(

%

&"

#'

$

%( =

(%'

! $)'"# $% =

)'

%)=(

%

& Varianz  

Beispiel:  Um  die  Standardabweichung  zu  halbieren,  müssen  4  Werte  gemiEelt  werden  

! "#$!" #$ =%$

! #&!" #$&=%

$

% = '

Prinzip:  

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Einfache  GläEungsoperaJonen  

1.    MiEelung  

D  ist  Region  um  gij  !"#$ =%

&'&"()

"()!*'"

ij  

Beispiel  einer    3  x  3  Region  D  

2.    BeseiJgung  von  Ausreißern  

!"#$ =!

"#"$%&

$%&!'#" '''()&&''' $*+ #

!"#"

$%&$%&!'#" $ ,

gij  

S  ist  Schwellenwert  

3.    Gewichtetes  MiEeln  

!"#$ =%&'!

( &'"'"'"()! wk  =  Gewichte  in  D    

All  dies  sind  heurisJsche  OperaJonen  ohne  die  theoreJschen  Fundamente  von  INF-­‐N2!  

Beispiel  von  Gewichten  in  3  x  3  Region  

! " !" # "! " !

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Zweidimensionale  Diskrete    Fourier-­‐TransformaJon  (DFT)  

!"# =$%&

' ()**=+

&!$

")=+

%!$

" ,!-#./)"

%+*#&0

!"# = $ %&''=(

)!*

"&=(

+!*

" ,-#./"&

++#')0

Die  TransformaJon  basiert  auf  der  Periodizitätsannahme:  

Diskrete  Fourier-­‐TransformaJon:   Inverse  Diskrete  Fourier-­‐TransformaJon:  

=>    Periodische  Fortsetzung  kann  Randeffekte  bewirken  

für      u  =  0  ...  M-­‐1,  v  =  0  ...  N-­‐1   für      m  =  0  ...  M-­‐1,  n  =  0  ...  N-­‐1  

NotaJon:  

Guv  =  F{  gmn  }  

gmn  =  F-­‐1{  Guv  }  

Anwendung  auf  Bilder  

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Beispiel    eines  Amplitudenspektrums  

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Schnelle  Fourier-­‐TransformaJon    Normale  DFT  braucht  ~(MN)2  OperaJonen  für  ein  M  x  N  Bild.  Beispiel:    M  =  N  =  1024,  10-­‐12  sek/OperaJon    =>  1,1  sek  

FFT  (Fast  Fourier  Transform)  basiert  auf  einer  rekursiven  DekomposiJon  von  gmn  in  Subsequenzen      =>      parJelle  Resultate  können  mehrfach  gebraucht  werden        =>      ~MN  log2(MN)  OperaJonen.    Dasselbe  Beispiel  braucht  nur  0.000021  sek.  

DekomposiJonsprinzip  für  die  1D-­‐Fourier-­‐TransformaJon:  

!" =#$

%&&='

$!#" (!)#*"&

${  gn

(1)  }  =  {  g2n  }  

{  gn(2)  }  =  {  g2n+1  }  

{  gn  }  =   n  =  0  ..  N/2-­‐1  

!" =#$

%&'#()

!*"+"*&$ + %&

'*()!*"+"'*&+#(

$#$%

&%

'(%

)%&=,

$*!#

* r  =  0  ...  N-­‐1  

Gr = Gr(1) + e

!2"j rN Gr

(2)

r  =  0  ...  N/2-­‐1  

Gr+N 2 = Gr(1) ! e

!2"j rN Gr

(2)

Alle  Gr  können  in  2(N/2)2  

anstelle  von  (N)2  OperaJonen  berechnet  werden!  

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Diskrete  Faltung  mithilfe  der  FFT  

Faltung  kann  durch  TransformaJon  in  den  Frequenzraum  mit  der  FFT  insgesamt  effizienter  ausgeführt  werden!  

!!"# = $ !%&&='

()*

"%='

+#*

" ,"#%-##& (MN)2  OperaJonen  erforderlich  

Anwendung  der  FFT  and  Filtern  im  Frequenzraum:  

gmn      Guv      Guv´      gmn´  FFT   Huv   FFT-­‐1  

MN  log(MN)                MN    MN  log(MN)                  #  der  OperaJonen  

Beispiel  mit  M  =  N  =  512:  •  normale  Faltung  braucht  ~  1010  OperaJonen  •  Faltung  mithilfe  der  FFT  braucht  ~107  OperaJonen